Lógica Boolena. Aula 05. Prof. Msc. Arthur G. Bartsch

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1 Lógica Boolena Aula 05 Prof. Msc. Arthur G. Bartsch Departamento de engenharia elétrica DEE Centro de ciências tecnológicas CCT Universidade do estado de Santa Catarina UDESC Álgebra de Boole ALB /02 1/25

2 Sumário 1 Introdução 2 Álgebra de Boole 3 Funções lógicas básicas 4 Operações lógicas básicas 5 Operações lógicas derivativas 6 Postulados da Álgebra de Boole 7 Teoremas Básicos da Álgebra de Boole 8 Mapa de Karnaugh 9 Exercícios 2/25

3 Introdução 3/25

4 Introdução Nesta aula, iremos tratar da lógica booleana. 3/25

5 Introdução Nesta aula, iremos tratar da lógica booleana. Assim, utilizaremos outro tipo de operação sobre códigos binários: até agora trabalhamos as operações aritméticas, a partir daqui, iremos trabalhar com as operações lógicas. 3/25

6 Álgebra de Boole 4/25

7 Álgebra de Boole (Histórico) Em 1854, George Boole, matemático e pensador inglês, apresentou o trabalho An investigation of the law of thought, que serviu como base para a teoria matemática das proposições lógicas. 4/25

8 Álgebra de Boole (Histórico) Em 1854, George Boole, matemático e pensador inglês, apresentou o trabalho An investigation of the law of thought, que serviu como base para a teoria matemática das proposições lógicas. Em 1938, Claude Elwood Shannon, engenheiro americano, aplicou a teoria de Boole na simplificação de funções usadas em telefonia, além de mostrar a aplicabilidade dessa álgebra em circuitos baseados em circuitos lógicos de relés. 4/25

9 Álgebra de Boole (Histórico) Em 1854, George Boole, matemático e pensador inglês, apresentou o trabalho An investigation of the law of thought, que serviu como base para a teoria matemática das proposições lógicas. Em 1938, Claude Elwood Shannon, engenheiro americano, aplicou a teoria de Boole na simplificação de funções usadas em telefonia, além de mostrar a aplicabilidade dessa álgebra em circuitos baseados em circuitos lógicos de relés. Como a álgebra tradicional, a álgebra de Boole apresenta postulados e teoremas, úteis para a análise e simplificação de funções lógicas. 4/25

10 Funções lógicas básicas 5/25

11 Variáveis e funções lógicas e tabela verdade Uma dada variável lógica A {0, 1} é uma variável que possui apenas valores lógicos em seu domínio. 5/25

12 Variáveis e funções lógicas e tabela verdade Uma dada variável lógica A {0, 1} é uma variável que possui apenas valores lógicos em seu domínio. Uma função lógica Y : {0, 1} n {0, 1} é uma função multivariável que, para n variáveis lógicas apresenta uma saída relativa a essa função. 5/25

13 Variáveis e funções lógicas e tabela verdade Uma dada variável lógica A {0, 1} é uma variável que possui apenas valores lógicos em seu domínio. Uma função lógica Y : {0, 1} n {0, 1} é uma função multivariável que, para n variáveis lógicas apresenta uma saída relativa a essa função. Exemplo: Y (A, B) = Y = A + B O domínio D de Y é D = {0, 1} 2. O contradomínio CD de Y é CD = {0, 1} 5/25

14 Variáveis e funções lógicas e tabela verdade Uma dada variável lógica A {0, 1} é uma variável que possui apenas valores lógicos em seu domínio. Uma função lógica Y : {0, 1} n {0, 1} é uma função multivariável que, para n variáveis lógicas apresenta uma saída relativa a essa função. Exemplo: Y (A, B) = Y = A + B O domínio D de Y é D = {0, 1} 2. O contradomínio CD de Y é CD = {0, 1} A tabela verdade é uma tabela que descreve todos os possíveis resultados da função lógica, em função de suas variáveis de entrada. 5/25

15 Operações lógicas básicas 6/25

16 Operação SIM (TRUE) Ideia: Se a entrada é verdadeira, a saída é verdadeira. Se a entrada é falsa a saída é falsa. 6/25

17 Operação SIM (TRUE) Ideia: Se a entrada é verdadeira, a saída é verdadeira. Se a entrada é falsa a saída é falsa. Função lógica: Y = A 6/25

18 Operação SIM (TRUE) Ideia: Se a entrada é verdadeira, a saída é verdadeira. Se a entrada é falsa a saída é falsa. Função lógica: Tabela verdade: Y = A A Y /25

19 Operação OU (OR) Soma lógica Ideia: Se ao menos uma das entradas é verdadeira, a saída é verdadeira. Se todas as entradas são falsas a saída é falsa. 7/25

20 Operação OU (OR) Soma lógica Ideia: Se ao menos uma das entradas é verdadeira, a saída é verdadeira. Se todas as entradas são falsas a saída é falsa. Função lógica: Y = A + B 7/25

21 Operação OU (OR) Soma lógica Ideia: Se ao menos uma das entradas é verdadeira, a saída é verdadeira. Se todas as entradas são falsas a saída é falsa. Função lógica: Y = A + B Tabela verdade: A B Y /25

22 Operação OU (OR) Soma lógica Ideia: Se ao menos uma das entradas é verdadeira, a saída é verdadeira. Se todas as entradas são falsas a saída é falsa. Função lógica: Tabela verdade: Y = A + B A B Y A operação OU também é conhecida como disjunção e simbolizada por A B 7/25

23 Operação E (AND) Produto lógico Ideia: Se ao menos uma das entradas é falsa, a saída é falsa. Se todas as entradas são verdadeiras a saída é verdadeira. 8/25

24 Operação E (AND) Produto lógico Ideia: Se ao menos uma das entradas é falsa, a saída é falsa. Se todas as entradas são verdadeiras a saída é verdadeira. Função lógica: Y = A B 8/25

25 Operação E (AND) Produto lógico Ideia: Se ao menos uma das entradas é falsa, a saída é falsa. Se todas as entradas são verdadeiras a saída é verdadeira. Função lógica: Y = A B Tabela verdade: A B Y /25

26 Operação E (AND) Produto lógico Ideia: Se ao menos uma das entradas é falsa, a saída é falsa. Se todas as entradas são verdadeiras a saída é verdadeira. Função lógica: Tabela verdade: Y = A B A B Y A operação E também é conhecida como conjunção e simbolizada por A B 8/25

27 Operação NÃO (NOT ou FALSE) Ideia: Se a entrada é verdadeira, a saída é falsa. Se a entrada é falsa a saída é verdadeira. 9/25

28 Operação NÃO (NOT ou FALSE) Ideia: Se a entrada é verdadeira, a saída é falsa. Se a entrada é falsa a saída é verdadeira. Função lógica: Y = A = A = A 9/25

29 Operação NÃO (NOT ou FALSE) Ideia: Se a entrada é verdadeira, a saída é falsa. Se a entrada é falsa a saída é verdadeira. Função lógica: Tabela verdade: Y = A = A = A A Y /25

30 Operação NÃO (NOT ou FALSE) Ideia: Se a entrada é verdadeira, a saída é falsa. Se a entrada é falsa a saída é verdadeira. Função lógica: Tabela verdade: Y = A = A = A A Y A operação NÃO também é conhecida como negação e simbolizada por A 9/25

31 Simbologia em portas lógicas Existem muitas formas de representar graficamente as operações lógicas básicas. As representações mais comuns são o diagrama de circuitos, o diagrama de contatos, os circuitos de relés e as portas lógicas. 10/25

32 Simbologia em portas lógicas Existem muitas formas de representar graficamente as operações lógicas básicas. As representações mais comuns são o diagrama de circuitos, o diagrama de contatos, os circuitos de relés e as portas lógicas. Essa última forma de representação é a mais utilizada em eletrônica digital e será adotada ao longo da disciplina. A Figura abaixo expõe a simbologia das portas lógicas básicas. Fonte: site nova eletrônica. 10/25

33 Exemplos/Exercícios 1- Obtenha a tabela verdade e a representação em portas lógicas das seguintes funções lógicas: a) Y = A B b) Y = (A B) + A c) Y = B + (A B) 2- Considere o circuito lógico abaixo. Obtenha uma função lógica que descreva o circuito. 11/25

34 Operações lógicas derivativas 12/25

35 Operação NÃO OU (NOR) Função lógica: Y = A + B 12/25

36 Operação NÃO OU (NOR) Função lógica: Tabela verdade: Y = A + B A B Y /25

37 Operação NÃO E (NAND) Função lógica: Y = A B 13/25

38 Operação NÃO E (NAND) Função lógica: Tabela verdade: Y = A B A B Y /25

39 Operação OU EXCLUSIVO (XOR) Exclusividade Lógica Função lógica: Y = A B + A B = A B 14/25

40 Operação OU EXCLUSIVO (XOR) Exclusividade Lógica Função lógica: Y = A B + A B = A B Tabela verdade: A B Y /25

41 Operação NÃO OU EXCLUSIVO (XNOR) Coincidência lógica Função lógica: Y = A B + A B = A B = A B 15/25

42 Operação NÃO OU EXCLUSIVO (XNOR) Coincidência lógica Função lógica: Y = A B + A B = A B = A B Tabela verdade: A B Y /25

43 Simbologia A seguinte simbologia é adotada para as portas lógicas das lógicas derivativas: Fonte: site nova eletrônica. Como deve ser o símbolo da porta XNOR? 16/25

44 Exemplos/Exercícios 1- Construa a tabela verdade e os circuitos lógicos para as seguintes funções lógicas: a) Y = (A + B) A b) Y = (A B) A c) Y = (A B) + C d) Y = C A + B 2- Encontre uma função lógica que apresente a seguinte tabela verdade: A B Y /25

45 Postulados da Álgebra de Boole 18/25

46 Postulados da Álgebra de Boole 1- Associativa das operações: (A B) C =A (B C) (A + B) + C =A + (B + C) 18/25

47 Postulados da Álgebra de Boole 1- Associativa das operações: (A B) C =A (B C) (A + B) + C =A + (B + C) 2- Comutativa das operações: A B =B A A + B =B + A 18/25

48 Postulados da Álgebra de Boole 1- Associativa das operações: (A B) C =A (B C) (A + B) + C =A + (B + C) 2- Comutativa das operações: A B =B A A + B =B + A 3- Elemento neutro: 1 A = A 0 + A = A 18/25

49 Postulados da Álgebra de Boole 4 Elemento nulo: 0 A = A = 1 19/25

50 Postulados da Álgebra de Boole 4 Elemento nulo: 5 Distributiva das operações: 0 A = A = 1 A (B + C) = (A B) + (A C) A + (B C) = (A + B) (A + C) 19/25

51 Postulados da Álgebra de Boole 4 Elemento nulo: 5 Distributiva das operações: 0 A = A = 1 A (B + C) = (A B) + (A C) A + (B C) = (A + B) (A + C) 6 Existência de elemento complementar: A A =0 A + A =1 19/25

52 Teoremas Básicos da Álgebra de Boole 20/25

53 Teoremas da Dualidade e Teorema da Convolução Teoremas da dualidade (ou idempotência): A A =A A + A =A 20/25

54 Teoremas da Dualidade e Teorema da Convolução Teoremas da dualidade (ou idempotência): A A =A A + A =A Teorema da convolução (ou complemento do complemento): A = A 20/25

55 Teoremas da Dualidade e Teorema da Convolução Teoremas da dualidade (ou idempotência): A A =A A + A =A Teorema da convolução (ou complemento do complemento): A = A Teoremas da exclusão: A B + B = A + B (A + B) B = A B 20/25

56 Teoremas de De Morgan Primeiro teorema de De Morgan: o complemento da soma lógica é igual ao produto lógico dos seus complementos. Portanto: X 0 + X 1 + X X n = X 0 X 1 X 2... X n 21/25

57 Teoremas de De Morgan Primeiro teorema de De Morgan: o complemento da soma lógica é igual ao produto lógico dos seus complementos. Portanto: X 0 + X 1 + X X n = X 0 X 1 X 2... X n Segundo teorema de De Morgan: o complemento do produto lógico é igual à soma lógica dos seus complementos. Portanto: X 0 X 1 X 2... X n = X 0 + X 1 + X X n 21/25

58 Exemplos/Exercícios 1- Simplifique as seguintes funções lógicas, aplicando os postulados e os teoremas e escreva o circuito lógico obtido: a) Y = (A + B) A b) Y = (A B)B c) Y = B + (A B) d) Y = C (A (A + C)) e) Y = A (B + B) + A B f) Y = A B C + A B + A C g) Y = (A + B) C + D (C + B) h) Y = A B C + A B C + A B C + A B C 2- Prove os seguintes teoremas algebricamente e construa a tabela verdade da forma mais simples: a) AB + AB = AB + AB b) AB + AC + BC = AB + AC 22/25

59 Mapa de Karnaugh 23/25

60 Mapa de Karnaugh Os mapas de Karnaugh são diagramas utilizados para a simplificação de funções booleanas, especialmente se a Tabela verdade é conhecida (Obs: a explicação da técnica será feita utilizando o quadro). 23/25

61 Mapa de Karnaugh Os mapas de Karnaugh são diagramas utilizados para a simplificação de funções booleanas, especialmente se a Tabela verdade é conhecida (Obs: a explicação da técnica será feita utilizando o quadro). Quando uma função não apresenta o valor da saída para uma determinada combinação das variáveis de entrada, é possível utilizar o X, e aplicar o mapa considerando que X pode ser 0 ou 1, dependendo da conveniência. 23/25

62 Exemplos/Exercícios 1- Aplique o mapa de Karnaugh para simplificar as seguintes funções lógicas: a) Y = A (B + B) + A B b) Y = AB(B + A) + CD(C + A + D) 2- Aplique o Mapa de Karnaugh para obter uma expressão para a seguinte tabela verdade: A B C D Y /25

63 Exercícios 25/25

64 Exercícios Obtenha a função lógica de quatro variáveis mais simples o possível para que a saída seja igual a 1 se o número de 0 for igual ao de 1 e para que a saída seja zero caso contrário. Obtenha uma função lógica que a saída seja 1 se uma palavra binária de quatro bits lida na entrada estiver no intervalo [4,14) e zero para os demais valores. Em uma determinada empresa, os membros do conselho administrativo detêm todo o capital que está assim distribuído: Aurélia detém 40%, Bastião detém 35%, Celina detém 20% e Duarte 5%. Cada membro tem um poder de voto igual a sua participação no capital. Para que uma proposta seja aprovada, é necessário que o total de votos seja superior a 50%. Foi decidido que haveria um sistema eletrônico de votação. Cada membro acionaria uma chave de sua mesa de reuniões, por meio da qual possa vota sim ou não. Se o total de votos ultrapassar 50% uma lâmpada deve acender, indicando que a medida da votação foi aprovada. Construa a Tabela Verdade, o mapa de Karnaugh e o diagrama de portas lógicas para esse sistema. 25/25

Abaixo descreveremos 6 portas lógicas: AND, OR, NOT, NAND, NOR e XOR.

Abaixo descreveremos 6 portas lógicas: AND, OR, NOT, NAND, NOR e XOR. 9. Apêndice - Portas e Operações Lógicas Uma porta lógica é um circuito eletrônico (hardware) que se constitui no elemento básico de um sistema de computação. A CPU, as memórias, as interfaces de E/S são

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