Álgebra de Boole. Álgebra de Boole - axiomas

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1 854 - George Boole Álgebra de Boole formular proposições como V ou F combinar proposições avaliar a sua veracidade ou falsidade (Bell Labs) Claude Shannon adaptou a álgebra de Boole à análise de circuitos condição de um contacto como V ou F representado como uma variável Booleana ( ou ) 6 Álgebra de Boole - axiomas Definições fundamentais seja uma variável booleana = se = se ( ou é ou é ) 2 se = então = 2 se = então = ( é o oposto de ) 62 - MIEEC - FEUP/DEEC

2 Álgebra de Boole - axiomas 3. = 4. = 5. =. = (operador E: 2 interruptores em série) 3 + = 4 + = 5 + = + = (operador OU: 2 interruptores em paralelo) 63 Álgebra de Boole - axiomas Os axiomas definem a álgebra de Boole Convenções: operador E representa-se por. (ponto) pode chamar-se ao E produto lógico operador OU representa-se por + (mais) pode chamar-se ao OU soma lógica o E tem precedência em relação ao OU podem usar-se parêntesis em expressões 64 - MIEEC - FEUP/DEEC 2

3 Álgebra de Boole - teoremas Uma variável T + = T. = T2 + = T2. = T3 + = T3. = T4 ( ) = T5 + = T5. = 65 Álgebra de Boole - teoremas Duas e três variáveis T6 +=+ T6.=. T7 (+)+=+(+) T7 (.). =.(.) T8.+.=.(+) T8 (+).(+) = +. T9 +.= T9.(+)= T.+. = T (+).(+ ) = T.+.+. =.+. T (+).( +).(+) = (+).( +) 66 - MIEEC - FEUP/DEEC 3

4 Leis de DeMorgan (T4) (. ) = + ( +) =. Generalizando: [F(, 2, 3,... n, +,. ) ] = F(, 2, 3,..., n,., +) Exemplo: [.B+( +B).(+C)] = ( +B ).( (.B ) +(.C ) ) 67 Teorema de expansão de Shannon F(, 2, 3,...,n)=. F(, 2, 3,...n) +. F(, 2, 3,...n) F(, 2, 3,...,n)= [ + F(, 2, 3,...n) ]. [ + F(, 2, 3,...n) ] 68 - MIEEC - FEUP/DEEC 4

5 Princípio da dualidade Um igualdade verdadeira mantém-se quando se trocam entre si zeros e uns, e + e. Exemplo: os teoremas Txx são duais dos teoremas Txx e os teoremas Txx são duais dos teoremas Txx Se é verdade que então também é verdade.+(+ ) =(+ ). (+).(. ) =(. )+ 69 Simplificação de expressões (.B+( +B) )+.C =.B+.B +.C = (Leis de DeMorgan).(B+B )+.C = (teorema T8).+.C = (teorema T5) +.C = (teorema T ) (teorema T9) 7 - MIEEC - FEUP/DEEC 5

6 Representação de funções Uma função booleana de N variáveis domínio: todas as 2 N combinações das variáveis contra domínio: [:] Como representar? Expressão algébrica: F(,,)= Tabela de verdade: todos os valores de F() Circuito lógico 7 Tabela de verdade 2 N linhas ordem natural F(,,) Valores da função 72 - MIEEC - FEUP/DEEC 6

7 Tabela de verdade F(,,) Nestes casos, o valor de F(,,) só depende de e Pode-se compactar a escrita da tabela de verdade: F(,,) x x x x significa ou 73 Circuito lógico Uma rede de portas lógicas interligadas entre si s porta lógicas representam as operações elementares da álgebra booleana: B E.B B.B. B OU NÃO +B B +B.. F(,,) portas lógicas elementares circuito lógico 74 - MIEEC - FEUP/DEEC 7

8 Circuito lógico s portas lógicas E e OU podem ter um número qualquer de entradas (na realidade, é limitado por razões ligadas à realização física dos circuitos electrónicos) BC D.B.C.D B C +B+C Podem ser desenhadas portas lógicas com entradas negadas: B. B B + B Ou com a saída negada: (neste caso chamam-se NÃO-E ou NND e NÃO-OU ou NOR) B. B B + B 75 Representação standard lgumas definições (e como são as duais?) Literal: RED Termo de produto:... Soma de produtos: +. + (ou SOP) Termo normal:. Termo mínimo:.... (3 variáveis) 76 - MIEEC - FEUP/DEEC 8

9 Representação standard Termo mínimo é um termo normal de produto que só é para uma única linha da tabela Número da linha F(,,) minterms Representação standard Soma canónica soma lógica dos minterms para os quais F() é Exemplo: para a função anterior: F(,,) = Identificando cada minterm pelo número da linha lista de minterms: F(,,) = Σ,, (,,4,5,7) IMPORTNTE: os números dependem da ordem das variáveis! 78 - MIEEC - FEUP/DEEC 9

10 E agora... dualidade! Termo máximo é um termo normal de soma que só é para uma única linha da tabela Número da linha F(,,) maxterms Dualidade continua... Produto canónico produto lógico dos maxterms para os quais F() é Exemplo: para a função anterior: F(,,) = (+ +). (+ + ). ( + +) Identificando cada maxterm pelo número da linha lista de maxterms: F(,,) = Π,, (2,3,6) IMPORTNTE: os números dependem da ordem das variáveis! 8 - MIEEC - FEUP/DEEC

11 Formas padrão para representar funções booleanas tabela de verdade enumeração exaustiva para todas as combinações das variáveis lista de minterms números das linhas em que a função vale lista de maxterms números das linhas em que a função vale soma canónica soma lógica dos termos mínimos produto canónico produto lógico dos termos máximos circuito lógico interligação de portas lógicas 8 Projecto de sistemas digitais nálise dado um circuito lógico, descobrir a sua função descrever a relação entre entradas e saídas Síntese transformar uma especificação num circuito objectivo: fazer o mais barato possível problema de minimização: encontrar uma expressão booleana que gaste o menor número possível de portas lógicas 82 - MIEEC - FEUP/DEEC

12 Síntese de circuitos digitais (combinacionais) Expressões booleanas não simplificadas soma canónica e produto canónico realizadas como circuitos lógicos de 2 níveis: F(,,) = (+ +). (+ + ). ( + +) nível de portas ND F(,,) nível de portas OR 83 Minimização de circuitos lógicos de 2 níveis Mapa de Karnaugh: outra forma de representar funções booleanas: Ordem natural trocada! Valores da função Propriedade entre duas posições geometricamente adjacentes (linhas ou colunas) apenas uma variável troca de valor lógico = = 84 - MIEEC - FEUP/DEEC 2

13 Minimização de expressões SOP Cada no mapa de Karnaugh corresponde a um termo mínimo na soma canónica Se o pertence às linhas ou colunas de uma variável, essa variável aparece não negada Se o não pertence às linhas ou colunas de uma variável, essa variável aparece negada Pode-se estender essa correspondência para grupos rectangulares de 2 N uns adjacentes F(,,) = Combinando estes termos obtém-se:..(+ ) =. 85 Minimização de expressões SOP F(,,) = Combinando estes termos obtém-se:.(+ ) = Corresponde ao grupo de 4 uns: não pertence completamente às colunas da variável 86 - MIEEC - FEUP/DEEC 3

14 Minimização de expressões SOP (é implicante primo).. (não é implicante primo!) O termo implica a função F(,,): quando é, também F() é Implicante primo (prime implicant): é um termo normal de produto que implica F, tal que se uma variável for removida desse termo deixa de implicar F; corresponde a um grupo de uns que sejam o maior possível (ou termos o menor possível). O termo.. não é implicante primo: se for retirada, continua a implicar F 87 Minimização de expressões SOP (é implicante primo). (já é implicante primo!) F(,,) = +. O que significa este pertencer a dois termos (ou grupos) que implicam F( )? Teorema dos implicantes primos: a expressão mínima soma-de-produtos é uma soma de implicantes primos 88 - MIEEC - FEUP/DEEC 4

15 Minimização de expressões POS (teorema da dualidade!) F(,,) = (+ ). ( +) Cada no mapa de Karnaugh corresponde a um termo máximo na soma canónica Se o pertence às linhas ou colunas de uma variável, essa variável aparece negada Se o não pertence às linhas ou colunas de uma variável, essa variável aparece não negada Pode-se estender essa correspondência para grupos rectangulares de 2 N zeros adjacentes 89 Minimização de expressões POS Pode-se obter a expressão mínima SOP de F (,,), negando-a aplicando o teorema generalizado de DeMorgan: F (,,) =. +. plicando o teorema generalizado de DeMorgan: F(,,) = [ F (,,) ] = (+ ). ( +) 9 - MIEEC - FEUP/DEEC 5

16 Termos indiferentes (don t care) F(,,) = Σ,, (,,4,5) + d(7) F(,,) = Expressão mínima SOP d Lista de termos don t care F(,,) = Expressão mínima POS quando = o valor da função não interessa é indiferente ser ou 9 Mapa de Karnaugh de 4 variáveis W W os lados também são adjacentes entre si! F(W,,,) =. + W. + W.. + W.. +W MIEEC - FEUP/DEEC 6

17 Mapa de Karnaugh de 2 variáveis F(,) = Σ, (,2,3) Expressão mínima SOP F(,) = + 93 Mapa de Karnaugh de 5 variáveis F(V,W,,,) = Σ V,W,,, (,,4,5,8,9,,2,6,7,9,2,2,23,27,3) W. W W W W V = (termos a 5) V = (termos 6 a 3) 94 - MIEEC - FEUP/DEEC 7

18 Funções mínimas de igual custo W W F(W,,,) = W., + W.. + W.. ou F(W,,,) = W., + W Minimização de várias funções F(,,) = Σ,, (,3,4) G(,,) = Σ,, (,,3,4,5) F(,,) =. +.. G(,,) = +. função G(,,) fica mais barata com o termo.. (grupo de um) Regra: tentar maximizar o número de grupos comuns entre as funções 96 - MIEEC - FEUP/DEEC 8