Circuitos Digitais. Conteúdo. Lógica. Introdução. Tabela-Verdade. Álgebra Booleana. Álgebra Booleana / Funções Lógicas. Ciência da Computação

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1 Ciência da Computação Álgebra Booleana / Funções Lógicas Prof. Sergio Ribeiro Material adaptado das aulas de I do Prof. José Maria da UFPI Conteúdo Introdução Álgebra Booleana Constantes e Variáveis Booleanas Tabela-Verdade Operações OR, AND e NOT, e suas Portas Lógicas Descrevendo Circuitos Lógicos Algebricamente Avaliando as saídas dos circuitos lógicos Implementando circuitos a partir de expressões Booleanas Portas NOR e Portas NAND Universalidade das Portas NAND e NOR Simbologia alternativa para Portas Lógicas Símbolos Lógicos do Padrão IEEE/ANSI 2 Introdução Lógica A Álgebra de Boole é aplicável ao projeto dos circuitos lógicos e funciona baseada em princípios da lógica formal, uma área de estudo da filosofia. Um dos pioneiros no estudo da lógica formal foi Aristóteles ( AC), que publicou um tratado sobre o tema denominado "De Interpretatione". George Boole percebeu que poderia estabelecer um conjunto de símbolos matemáticos para substituir certas afirmativas da lógica formal. Publicou suas conclusões em 854 no trabalho: "Uma Análise Matemática da Lógica". Claude B. Shannon mostrou (em sua tese de mestrado no MIT) que o trabalho de Boole poderia ser utilizado para descrever a operação de sistemas de comutação telefônica. As observações de Shannon foram divulgadas em 938 no trabalho "Uma Análise Simbólica de Relés e Circuitos de Comutação". 3 A lógica (do grego clássico λoyikή logos, que significa palavra, pensamento, idéia, argumento, relato, razão lógica ou princípio lógico) é uma ciência de índole matemática e fortemente ligada à Filosofia. Assim, a lógica é o ramo da filosofia que cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar. Um sistema lógico é um conjunto de axiomas e regras de inferência que visam representar formalmente o raciocínio válido. Lógicas são linguagens formais para a representação de conhecimento que permite que conclusões possam ser tomadas. 4 Álgebra Booleana Tabela-Verdade A álgebra booleana é uma ferramenta matemática que nos permite descrever relações entre as entradas e as saídas dos circuitos lógicos como uma equação algébrica (uma expressão Booleana). Constantes e Variáveis Booleanas A principal diferença entre a álgebra booleana e a álgebra convencional é que as constantes e variáveis podem assumir apenas dois valores possíveis: 0 e. As variáveis booleanas não Nível Lógico 0 Nível Lógico representam efetivamente Falso Verdadeiro números, mas sim o estado Desligado Ligado da variável monitorada Baixo Alto indica um nível lógico. Não Sim Chave aberta Chave fechada 5 6

2 Operações Lógicas Básicas Operação OR e a Porta OR A álgebra booleana tem, de fato, apenas três operações básicas: OR (OU) AND (E) NOT (NÃO) 7 8 Operação OR e a Porta OR Operação OR e a Porta OR Muitos sistemas de controle industrial requerem a ativação de uma função de saída sempre que qualquer uma das várias entradas for ativada. Por exemplo, em um processo químico pode ser necessário que um alarme seja ativado sempre que a temperatura do processo exceder um valor máximo ou sempre que a pressão ultrapassar um certo limite. 9 0 Operação OR e a Porta OR Operação OR e a Porta OR Considere que os diagramas de tempo abaixo correspondem às entradas A e B da porta lógica OR. Acompanhe como serão as saídas obtidas. Considere que os diagramas de tempo abaixo correspondem às entradas A, B e C da porta lógica OR. Acompanhe como serão as saídas obtidas. 2 2

3 Operações Lógicas Básicas Operação AND e a Porta AND A álgebra booleana tem, de fato, apenas três operações básicas: OR (OU) AND (E) NOT (NÃO) 3 4 Operação AND e a Porta AND Operação AND e a Porta AND Considere que os diagramas de tempo abaixo correspondem às entradas A e B da porta lógica OR. Acompanhe como serão as saídas obtidas. 5 6 Operação AND e a Porta AND Considere que os diagramas de tempo abaixo correspondem às entradas A e B da porta lógica AND. Acompanhe como serão as saídas obtidas. Operações Lógicas Básicas A álgebra booleana tem, de fato, apenas três operações básicas: OR (OU) AND (E) NOT (NÃO) Circuito inibidor quando B = 0 e Circuito de habilitação quando B = 7 8 3

4 Operação NOT (Não) ou Inversor Resumo das Operações Booleanas OR = = + 0 = + = AND 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0 = NOT 0 = = Descrevendo Circuitos Lógicos Algebricamente Descrevendo Circuitos Lógicos Algebricamente Qualquer circuito lógico, não importando sua complexidade, pode ser descrito usando as três operações Booleanas básicas. Sendo assim, as portas OR, AND e INVERSOR são os blocos fundamentais dos sistemas digitais. Por exemplo, considere o circuito abaixo: qual será a expressão lógica da saída x? Verificar o que vem primeiro (usar parênteses), senão as operações AND são realizadas primeiro Descrevendo Circuitos Lógicos Algebricamente Descrevendo Circuitos Lógicos Algebricamente Qualquer circuito lógico, não importando sua complexidade, pode ser descrito usando as três operações Booleanas básicas pois as portas OR, AND e INVERSOR são os blocos fundamentais dos sistemas digitais. Desta forma, qual seria a expressão para a saída do circuito abaixo?

5 Descrevendo Circuitos Lógicos Algebricamente Avaliando as Saídas dos Circuitos Lógicos De forma semelhante, qual seria a expressão para a saída do circuito abaixo? Segue-se as seguintes regras para se avaliar uma expressão booleana:. Primeiro, realize as inversões de termos simples. 2. Em seguida, realize todas operações dentro de iiyiparêntesis. 3. Realize as operações AND antes das operações iiyior (a menos que os parêntesis indiquem o iiyicontrário). 4. Se uma expressão tiver uma barra sobre ela, iiyirealize a operação indicada pela expressão e, iiyiem seguida, inverta o resultado Avaliando as Saídas dos Circuitos Lógicos Avaliando as Saídas dos Circuitos Lógicos Uma vez de posse da expressão booleana para a saída de um circuito, podemos obter o nível lógico da saída para qualquer conjunto de níveis lógicos de entrada. Exemplo I: A = 0, B =, C = e D = x = ABC(A + D) = 0 (0 + ) = (0 + ) = () = 0 = 0 Uma vez de posse da expressão booleana para a saída de um circuito, podemos obter o nível lógico da saída para qualquer conjunto de níveis lógicos de entrada. Exemplo II: A = 0, B = 0, C =, x = [D + (A + B) C] E D = e E = = [ + (0 + 0) ] = [ + 0 ] = [ + 0] = [ + ] = = Avaliando as Saídas dos Circuitos Lógicos Implementando Circuitos a partir de Expressões O nível lógico da saída, em função dos níveis lógicos especificados para as entradas, pode ser determinado diretamente a partir do diagrama do circuito sem usar a expressão booleana. Esta técnica é muitas vezes utilizada para a análise de defeitos, ou teste de um sistema lógico Quando a operação de um circuito é definida por uma expressão booleana, podemos desenhar o diagrama do circuito lógico a partir da expressão. Por exemplo, se precisarmos de um circuito definido por x = A B C, saberemos imediatamente que precisamos de uma porta AND de três entradas. Mas como proceder para uma expressão mais complexa??? Por exemplo, se precisarmos de um circuito definido por x = A + B, podemos usar uma porta com um INVERSOR em uma das entradas. O mesmo raciocínio pode ser aplicado para circuitos mais complexos. 30 5

6 Implementando Circuitos a partir de Expressões Suponha que desejamos construir um circuito cuja saída seja: y = AC + BC + ABC Como proceder??? A expressão booleana contém três termos sobre os quais aplica-se a operação OR, conforme abaixo: Implementando Circuitos a partir de Expressões Observe que cada entrada da porta OR tem um termo que é um produto lógico AND. Assim, o circuito pode ser expandido a partir destes termos conforme a figura abaixo: 3 32 Implementando Circuitos a partir de Expressões Portas NOR e Portas NAND OBSERVAÇÃO: Este procedimento geral pode sempre ser seguido, embora mais adiante veremos que existem outras técnicas mais eficientes que podem ser empregadas. EXEMPLO: Desenhe o diagrama do circuito que implemente a expressão: X = (A + B)(B + C) Dois outros tipos de portas lógicas, as portas NAND e NOR, são muito usados em circuito digitais. Na realidade elas combinam as operações básicas AND, OR e NOT, de modo que é relativamente simples escrever suas expressões booleanas Portas NOR e Portas NAND Portas NOR e Portas NAND Dois outros tipos de portas lógicas, as portas NAND e NOR, são muito usados em circuito digitais. Na realidade elas combinam as operações básicas AND, OR e NOT, de modo que é relativamente simples escrever suas expressões booleanas. Determine a expressão booleana para uma porta NOR de três entradas seguidas de um inversor. 35 Sempre que duas barras estiverem sobre a mesma variável ou expressão, uma cancela a outra, como mostrado acima. Entretanto, em casos como: A + B as barras de inversão não se cancelam. Assim: A + B A + B e A B A B 36 6

7 Portas NOR e Portas NAND Implemente, usando apenas portas NOR e NAND, o circuito lógico que tem como expressão: X = AB (C + D) COMENTÁRIOS: o termo (C + D) é a expressão para a saída de uma porta NOR. Deve-se fazer uma operação AND desse termo com A e B, e inverter o resultado gerando uma operação NAND. Teoremas Booleanos Vimos como a álgebra booleana pode ser usada para ajudar na análise de um circuito lógico e como expressar matematicamente a operação do circuito. Prosseguimos com a álgebra booleana investigando teoremas booleanos, que poderão nos ajudar a simplificar expressões lógicas e circuitos lógicos. Começaremos com os teoremas para uma variável lógica, acompanhados de um circuito lógico para demonstrar sua validade. Em seguida, serão apresentados os teoremas com mais de uma variável lógica Teoremas Booleanos :: Teoremas com variável lógica Teoremas Booleanos :: Teoremas com variável lógica Ressalta-se que a variável x em que se aplica os teoremas de () a (8) pode ser uma expressão que contenha mais de uma variável. Por exemplo, se tivéssemos a expressão AB(AB), poderíamos considerar x = AB e aplicar o teorema (4): Teorema (4): x x = 0 Assim: AB(AB) = 0 A mesma idéia pode ser aplicada no uso de qualquer um desses teoremas! Teoremas Booleanos :: Teoremas com mais de uma variável lógica Teoremas Booleanos :: Teoremas com mais de uma variável lógica Leis Comutativas (09) x + y = y + x (0) x y = y x Leis Associativas () x + (y + z) = (x + y) + z = x + y + z (2) x (y z) = (x y) z = x y z Lei Distributiva (3a) x (y + z) = xy + xz (3b) (w + x) (y + z) = wy + xy + wz + xz Os teoremas (09) a (3) têm equivalência na álgebra convencional! 4 Teoremas da Absorção (4) e (5) (4) x + xy = x (5a) x + xy = x + y (5b) x + xy = x + y Provando o Teorema (4) x + xy = x + x y Teorema (2) e (3a) = x ( + y) Teorema (6) = x Teorema (2) = x 42 7

8 Teoremas Booleanos :: Teoremas com mais de uma variável lógica (5a) x + xy = x + y Dois dos mais importantes teoremas da álgebra booleana foram uma contribuição do matemático Augustus DeMorgan. Provando o Teorema (5a) x + xy = x ( + y) + xy Teorema (6) = x + xy + xy Teorema (3a) = x + y (x + x) Teorema (3a) = x + y () Teorema (8) = x + y Teorema (2) Augustus DeMorgan (Madura, Índia, 27 de junho de 806 Londres, 8 de março de 87) foi um matemático e lógico britânico Os teoremas de DeMorgan são extremamente úteis na simplificação de expressões nas quais um produto, ou uma soma, de variáveis aparece negado (barrado). Os dois teoremas são: (6) (x + y) = x y (7) (x y) = x + y Embora os teoremas tenham sido apresentados em termos das variáveis x e y, eles são igualmente válidos para situações em que x e/ou y são expressões com mais variáveis. Exemplo: (AB + C) = (AB) C 45 EXEMPLO: Simplifique a expressão z = (A + C) (B + D) para que ela tenha apenas variáveis simples invertidas. SOLUÇÃO Usando o teorema (7), temos: z = (A + C) (B + D) = (A + C) + (B + D) = A C + B D = A C + B D Os teoremas de DeMorgan podem ser estendidos para mais de duas variáveis? 46 Considere o complemento da soma lógica para três variáveis lógicas: x + y + z = (x + y) z Expressão semelhante ao = x y z teorema para 2 variáveis!! Raciocínio semelhante pode ser aplicado para o complemento da soma lógica de N variáveis. De forma semelhante, temos que: x y z = x + y + z O teorema de DeMorgan para o complemento do produto lógico também pode ser estendido para N variáveis. 47 Analisando os teoremas de DeMorgan do ponto de vista das portas lógicas. 48 8

9 Universalidade das Portas NAND e NOR Todas as expressões booleanas consistem em combinações das operações básicas OR, AND e NOT. Mas, é possível implementar qualquer expressão usando apenas portas NAND, e nenhum outro tipo de porta lógica. Universalidade das Portas NAND e NOR De modo similar, notamos que as portas NOR podem ser associadas para implementar qualquer operação booleana, tornando possível a implementação de qualquer expressão usando apenas portas NOR, e nenhum outro tipo de porta lógica Universalidade das Portas NAND e NOR EXEMPLO: Em um determinado processo de fabricação, uma esteira de transporte deve ser desligada sempre que determinadas condições ocorrem. Essas condições são monitoradas e têm seus estados sinalizados por quatro sinais lógicos, que são: A será ALTO sempre que a velocidade da esteira for muito alta. B será ALTO sempre que o recipiente no final da esteira estiver cheio. C será ALTO quando a tensão da esteira for muito alta. D será ALTO quando o comando manual estiver desabilitado. Um circuito lógico é necessário para gerar um sinal x que será ALTO sempre que as condições A e B existirem simultaneamente, ou sempre que as condições C e D existirem simultaneamente. Solução x = AB + CD Como implementar o circuito com o mínimo de CIs? 5 Universalidade das Portas NAND e NOR Solução (continuação) Considere que os CIs TTL abaixo estão disponíveis para a implementação: Uma forma simples de implementar o circuito lógico usando os CIs dados é: Porém, uma alternativa é: Após eliminação das inversões duplas 52 Simbologia Alternativa para Portas Lógicas Simbologia Alternativa para Portas Lógicas Embora ainda seja comum o uso dos símbolos-padrão das portas lógicas em diagramas de circuitos, é cada vez mais comum encontrar diagramas que usam símbolos lógicos alternativos juntamente com os símbolos-padrão. O símbolo alternativo para cada porta é obtido a partir do símbolo-padrão seguindo o procedimento abaixo:. Inverta cada entrada e cada saída do símbolo-padrão. Isso é feito acrescentando pequenos círculos nas entradas e saídas que não têm os círculos, e removendo os já existentes. 2. Mude o símbolo da operação AND para OR, ou de OR para AND. No caso do INVERSOR, o símbolo da operação não é alterado

10 Simbologia Alternativa para Portas Lógicas Quando uma linha de entrada ou saída em um símbolo de um circuito lógico não tem um pequeno círculo, diz-se que ela é ativa- ALTO. Quando uma linha de entrada ou saída tem um pequeno círculo, diz-se que ela é ativa-baixo. Para ilustrar, temos: Que Simbologia de Porta Lógica Adotar A resposta depende da função específica atribuída à saída do circuito. Se ela estiver sendo usada para ativar algo (por exemplo ligar um LED ou ativar um exemplo, outro circuito lógico) quando a saída Z for para o estado, então podemos dizer que a saída Z é ativa-alto. Por outro lado, se o circuito estiver sendo usado para atuar quando a saída Z estiver no estado 0, então Z será ativa-baixo. DÚVIDA: Qual simbologia usar? Símbolos Lógicos do Padrão IEEE Exercícios. Simplifique as expressões: a) S = (A + B) (A + B) b) S = ABC + AC + AB 2. Desenhe o diagrama de circuito que implemente a expressão: S = (A + C) (A + D) Exercícios Bibliografia Básica 3. Faça: a) Escreva a expressão de saída do circuito abaixo. b) Monte a tabela-verdade. c) Desenhe a forma de onda da saída X. Tocci, R. j., Widmer, N. S.; Sistemas Digitais - Princípios e Aplicações - 8ª Ed, Editora Pearson, Capuano, F. G., Idoeta, I.V.; Elementos de Eletrônica Digital 40ª Ed, Editora Érica,