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Camila Tuschinski César
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1 Universidade Federal do ABC Eletrônica Digital Aula 3: Álgebra Booleana Prof. Rodrigo Reina Muñoz RRM T

2 Teoremas Booleanos Auxiliam a simplificar expressões lógicas e circuitos lógicos; - Alguns teoremas para uma única variável (1) Elemento Nulo (6) (2) Elemento Neutro (5) (3) Idempotência (7) (4) Complemento (8) (9) x x x (9) Involução Obs: A variável x pode representar uma expressão com mais de uma variável, por exemplo: A. B. (A. B ) = 0, sendo x = A. B 2

3 Teoremas Booleanos (cont.) - Alguns teoremas com mais de uma variável x + y = y + x x. y = y. x x + (y + z) = (x + y) + z = x + y + z x. (y. z) = (x. y). z = x. y. z Leis comutativas Leis associativas x. (y + z) = x. y + x. z (w + x). (y + z) = w. y + w. z + x. y + x. z Lei distributiva Obs.: A Lei distributiva pode ser usada para fatorar expressões, por exemplo: AB C + A B C = B.(AC + A C ) Exercício: Desenhar os circuitos e provar por verificação exaustiva as leis comutativas, associativas e distributiva. 3

4 Teoremas Booleanos (cont.) Diferentemente dos anteriores, os teoremas a seguir não possuem equivalentes na álgebra convencional. x + x. y = x x. (x + y) = x Teorema da cobertura x. y + x. y = x (x + y). (x + y ) = x Teorema da combinação x + x. y = x + y x + x. y = x + y Teoremas auxiliares Exercício: Usando os teoremas anteriores, demonstre algebricamente os teoremas acima. 4

5 Exemplos 1. [3.13, Tocci] Simplifique a expressão y = AB D + AB D. Resp.: AB 2. [3.14, Tocci] Simplifique z = (A + B)(A + B). Resp.: B 3. [3.15, Tocci] Simplifique x = ACD + A BCD. Resp.: ACD+BCD 5

6 Teoremas de De Morgan Dois dos mais importantes teoremas da álgebra booleana foram contribuições do matemático Augustus De Morgan. Generalizando: (x + y) = x. y (x. y) = x + y (x + y + w n) = x. y. w..... n (x. y. w..... n) = x + y + w n Exercício: Fazer a prova dos teoremas. Obs: Os teoremas continuam válidos se x e y são expressões com mais de uma variável. p. ex.: (AB +C) = (AB ) C, nesse caso, consideramos x = (AB ) e y = C. Exercício: Simplifique as expressões a seguir: S = A. B + A. B + A. B Resp: A + B S = (A + A. B + C. D) Resp: A. (C + D ) 6

7 Diagramas de Venn Pode-se empregar diagrams de Venn, também usados na teoria de conjuntos e probabilidades, para visualizar graficamente os vários teoremas booleanos. Por exemplo: A + A = 1 A e A formam o conjunto universo: todos os pontos dentro do retângulo. Um ponto pertence ao disco A ou está fora dele. Pontos associados a proposições, p. ex.: A = vai chover ; A = não vai chover AB + AB + A B + A B = 1 (A + B) + (A+B) = 1 Os dois últimos diagramas demonstram que A B = (A+B) (De Morgan) [Fig , TAUB] 7

8 Implicações dos Teoremas de De Morgan 8

9 Universalidade das Portas NAND e NOR Todas as expressões booleanas baseiam-se em operações AND, OR e NOT. É possível implementar qualquer expressão usando apenas portas NAND, porque sua correta combinação resulta nas funções AND, OR e NOT. 9

10 Universalidade das Portas NAND e NOR (cont.) Similarmente, a correta combinação de portas NOR resulta nas funções AND, OR e NOT. Obs: Qualquer circuito lógico pode ser implementado através das portas NAND ou NOR. 10

11 Universalidade das Portas NAND e NOR (cont.) Exemplo: Implemente um circuito que execute a função: x = A.B + C.D Aplicação prática: acionar o motor x caso as chaves A e B sejam ligadas ou caso os sinais de comando C e D sejam ativados. 11

12 Universalidade das Portas NAND e NOR (cont.) Implementação que emprega dois CIs Implementação mais econômica: usa apenas 3 portas NAND de um único CI. 12

13 Exemplo de Montagem Prática no Lab. Montagem com uma porta AND. [Fig. 3-22, Schaum] 13

14 Simbologia Alternativa para Portas Lógicas Inverter cada entrada e cada saída do símbolo-padrão. Equivalências servem para portas com qualquer número de entradas; Não há diferença entre os circuitos mesmo circuito físico. 14

15 Interpretação de Símbolos Lógicos Entrada ou saída sem inversor ativa Alto Entrada ou saída com inversor ativa Baixo 15

16 Interpretação de Símbolos Lógicos (cont.) Entrada ou saída sem inversor ativa Alto Entrada ou saída com inversor ativa Baixo 16

17 Simbologia de Porta Lógica (a) Circuito original usando símbolo padrão. (b) Representação equivalente: Z = 1 quando A = B = 1 ou C = D = 1 ou A = B = C = D = 1. (c) Representação equivalente: Z = 0 quando A ou B = 0 e C ou D = 0. Qual usar? Se a saída aciona um circuito com nível alto, usar (b); se aciona com nível baixo, usar (c). Caso tanto o nível alto quanto o baixo produzam acionamentos distintos (p.ex. RD / WR ), pode-se usar qualquer representação. 17

18 Simbologia de Porta Lógica (cont.) Exemplo: Modifique o circuito de forma para melhor representar sua operação. A saída Z é usada para ativar um alarme quando Z = 1. Exemplo: Modifique o circuito de forma para melhor representar sua operação. A saída Z é usada para ativar um outro circuito quando Z = 0. OBS: Não é obrigatório seguir essa recomendação 18

19 Exemplo: Análise o seguinte circuito. DRIVE = 1 quando A 1 = A 2 = A 3 = A 4 = A 5 = A 6 = A 7 = 1 e A 0 = 0 e IN = 1 ou OUT = 1 (ou ambas IN = OUT =1). 19

20 Símbolos Lógicos do Padrão IEEE/ANSI Tradicional IEEE/ANSI 20

21 Atividade extra aula Resolver os problemas do livro texto. Recomenda-se fazer, pelo menos, dois exercícios de cada seção. Aula 1: Caps. 1 e 2, Sec. 6.2 (comp. de 2) Aula 2: Cap. 3 até a Sec. 3.9 Aula 3: Cap. 3, Sec até

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