Arquitetura e Organização de Computadores. Álgebra Booleana

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Jónatas Filipe Lameira
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1 Arquitetura e Organização de Computadores Álgebra Booleana 1

2 Histórico e Propriedades Formalizada por George Boole em 1854 Usada por Shannon em 1938 para provar propriedades de circuitos de chaveamento Conjunto de elementos Variáveis Booleanas Operadores lógicos Axiomas e propriedades {0, 1} A, B, C,... E (.), OU (+) e complemento ( ) idempotência, comutatividade, associatividade, distributividade 2

3 Operações Básicas Operação OU ( adição lógica - OR) Regra: Resultado é 1 se ao menos uma das variáveis de entrada valer 1 A B A+B A B C A+B+C

4 Operações Básicas Operação E ( multiplicação lógica - AND) Regra: Resultado é 0 se ao menos uma das variáveis de entrada valer 0 A B A B A B C A B C

5 Operações Básicas Complementação (ou negação ou inversão - NOT) A A é um operador unário (i.e., só é aplicável a uma variável por vez) 5

6 Expressões Booleanas Variáveis, operadores e constantes podem ser combinadas para formar Expressões Booleanas. Exemplos: A.B + A.C A+B.C A.B + B.C A.C.D + B.A 6

7 Expressões Booleanas (cont.) Podem ser usados parênteses em expressões booleanas. Tanto para alterar a precedência natural quanto para deixar uma expressão mais legível. Exemplos: (A+B).C (A+B). (B+C) O operador de multiplicação lógica (.) pode ser omitido: AB + AC A+BC 7

8 Expressões e Funções Booleanas A ordem de precedência natural dos operadores é a seguinte: 1. Parênteses 2. Complementação (negação) 3. Multiplicação Lógica 4. Soma Lógica Funções Booleanas são criadas se atribuindo uma expressão booleana a um identificador de função F, G, H,...: F = A.B + A.C G = (A+B). (B+C) 8

9 Avaliação de Expressões Booleanas 1. Criar colunas para as variáveis de entrada e listar todas as combinações possíveis, utilizando a fórmula: Número de combinações = 2 n (onde n é o número de variáveis de entrada) 2. Criar uma coluna para cada variável de entrada que apareça complementada na equação e anotar os valores resultantes 3. Avaliar a equação seguindo a ordem de precedência, a partir do nível de parênteses mais interno 9

10 Propriedades da Álgebra Booleana Propriedade das Variáveis Booleanas Seja A uma variável Booleana. Então: Se A 0 A = 1 Se A 1 A = 0 (espaço de uma variável Booleana) 10

11 Propriedades da Álgebra Booleana Propriedades da adição lógica (1) A+ 0= A (2) A+ 1= 1 (3) A+ A = A (4) A+ A = 1 Propriedade da complementação (9) A = A Propriedades da multiplicação lógica (5) A 0 = 0 (6) A 1 = A (7) A A = A (8) A A = 0 11

12 Propriedades da Álgebra Booleana Propriedade comutativa (10) A+ B= B+ A (11) A B = B A Propriedade associativa (12) A + (B+ C ) = (A+ B)+ C=( A+ C)+ B (13) A (B C) = (A B) C = (A C) B Propriedade distributiva (14) A + BC = (A + B).(A + C) (15) A (B + C) = A B + A C 12

13 Teoremas de De Morgan Para n variáveis: A B C... = A + B + C +... A + B + C +... = A B C... Para 2 variáveis: A B = A + B A + B = A B 13

14 Portas Lógicas Portas OU (OR) A B A+B A B C A+B+C (a) (b) 2 entradas 3 entradas 14

15 Portas Lógicas Portas E (AND) A B A.B A B C A.B.C (a) (b) 2 entradas 3 entradas 15

16 Portas Lógicas Inversor (NOT) A A 16

17 Desenho de Circuitos Lógicos Para desenhar um circuito a partir da equação Booleana, seguir a ordem de avaliaçãode expressões: 1. Parêntesis (dos mais internos para os mais externos); 2. Operações E para portas AND 3. Operações OU para portas OR Exemplo: W = X + Y Z X Y W Z 17

18 Derivação de Expressões Booleanas Tabela verdade equação 2 Possibilidades: Soma de Produtos (SdP) Lista todas as combinações das variáveis de entrada para os quais a função vale 1 ou Produto Produto de Somas de Somas (PdS) Lista todas as combinações das variáveis de entrada para os quais a função vale 0 18

19 Soma de Produtos (SdP) Dada uma função Booleana de n variáveis (=n entradas) há 2 n combinações possíveis dessas variáveis Para cada combinação pode-se associar um produto entre as variáveis de entrada A B C mintermo A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C cada produto é chamado mintermo 19

20 Soma de Produtos (SdP) Exemplo: encontrar a equação em soma de produtos (SdP) para a função F, descrita pela seguinte tabela verdade: A B C F ABC ABC ABC ABC F= ABC + ABC + ABC + ABC 20

21 Produto de Somas (PdS) Para cada combinação pode-se associar uma soma lógica ( OU ) entre as variáveis de entrada A B C maxtermos A+ B+ C A+ B+C A+ B + C A + B A + B+ Cada soma é chamada maxtermo C C A+ B + C A+ B+ C A+ B+ C 21

22 Produto de Somas (PdS) Exemplo: encontrar a equação em soma de produtos (SdP) para a função F, descrita pela seguinte tabela verdade: A B C F A + B + C A + B + C A + B + C A + B + C F= (A + B + C) (A + B + C) (A+ B + C) (A+ B + C) 22

23 Formas Canônicas ou Padrão Soma de mintermos: É a toda a equação em soma de produtos em que cada produto é um mintermo Produto de maxtermos: É a toda a equação em produto de somas em que cada produto é um mintermo 23

24 Simplificação Redução do número de literais ou de operações na equação Booleana, através da aplicação das propriedades da Álgebra Booleana F = ABC + ABC + ABC + ABC Pela prop. (14), A (B + C) = A B+ A C F = AB(C + C) + ABC + ABC Pela prop. (4), C+ C=1 F = A B 1+ AB C + ABC Pela prop. (6), A B 1= A B F = AB + ABC + ABC Soma de Produtos simplificada 24

25 Relações entre Expressões, Circuitos e Tabela-Verdade Análise Expressão Booleana Avaliação Circuito Lógico Desenho (Projeto) Derivação Tabela Verdade 25

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