Sistemas Digitais. 6 Funções lógicas

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1 Para o estudo das funções lógicas usa-se a álgebra de Boole, assim chamada em homenagem ao seu criador George Boole. A álgebra de Boole opera com relações lógicas e não com relações quantitativas como acontece na álgebra tradicional. De facto, os circuitos electrónicos que são a base dos sistemas digitais exibem em cada momento um valor de tensão que representa um de dois estados possíveis. Essa situação pode ser interpretada como uma grandeza que pode assumir dois valores, os quais são habitualmente referidos como 0 e 1. Porém, a grandeza não tem qualquer significado numérico, pelo que, os símbolos 0 e 1 não representam números, mas sim estados Octávio Dias Sistemas Digitais/1

2 Em vez do conjunto B={0, 1} poderia usar-se outro conjunto de duas designações diferentes, como por exemplo {F (false), T (true)} ou {L (low), H (high}. 0 F L 1 T H Uma grandeza que apenas pode assumir um de dois valores é representada por uma variável binária, também designada por variável booleana. Deste modo, os valores 0 e 1 que a variável booleana pode assumir, chamam-se valores booleanos, valores binários ou valores lógicos Octávio Dias Sistemas Digitais/2

3 O universo de partida das funções lógicas é portanto B= {0, 1}. Trata-se de um conjunto finito de dois elementos, o que permite uma abordagem algébrica simples. Sobre esta conjunto podem ser definidas funções que se designam por funções lógicas ou funções booleanas. Como o conjunto B= {0, 1}, é finito, e tem apenas dois elementos, as possibilidades dos valores que as funções lógicas podem assumir, são limitadas, o que permite definir estas funções lógicas por intermédio de uma tabela, designada por tabela de verdade ou simplesmente por tabela da função. Estudaremos de seguida as funções, e as portas lógicas que as implementam, de maior relevância no contexto da disciplina Octávio Dias Sistemas Digitais/3

4 Funções lógicas de uma variável Função NOT Porta lógica NOT (negação, inversora, complementação) f A = S = A A S Símbolos da função NOT. S=1 S=0 Tabela de verdade da função NOT A S=A Para além da função NOT, podem também definir-se as funções identidade e constante Octávio Dias Sistemas Digitais/4

5 Funções lógicas de duas ou mais variáveis Função AND (E) Porta lógica AND (conjunção) f A, B = S = A. B A B S Símbolos da função AND. Tabela de verdade da função AND A B S=A.B Octávio Dias Sistemas Digitais/5

6 Funções lógicas de duas ou mais variáveis Função OR (OU) Porta lógica OR (disjunção) f A, B = S = A + B Símbolos da função OR. A B S Tabela de verdade da função AND A B S=A+B Octávio Dias Sistemas Digitais/6

7 Funções lógicas de duas ou mais variáveis Função NAND - Porta lógica NAND (não E) f A, B = S = A. B A B S A B S Símbolos da função NAND. Tabela de verdade da função NAND A B S=A. B Octávio Dias Sistemas Digitais/7

8 Funções lógicas de duas ou mais variáveis Função NOR - Porta lógica NOR (não OU) f A, B = S = A + B A B S A B S Símbolos da função NOR. Tabela de verdade da função NOR A B S=A + B Octávio Dias Sistemas Digitais/8

9 Funções lógicas de duas ou mais variáveis Função XOR - Porta lógica XOR (OU Exclusivo) f A, B = S = A B A B S A B S Símbolos da função XOR. Tabela de verdade da função XOR A B S = A B Octávio Dias Sistemas Digitais/9

10 Funções lógicas de duas ou mais variáveis Função XNOR - Porta lógica XNOR (Não OU Exclusivo) f A, B = S = A B A B S A B S Símbolos da função XNOR. Tabela de verdade da função XNOR A B S = A B Octávio Dias Sistemas Digitais/10

11 Postulados da álgebra de Boole Postulados mais significativos da álgebra de Boole. Elemento neutro A.1=A (conjunção) A+0=A (disjunção) Elemento absorvente A.0=0 (conjunção) A+1=1 (disjunção) Idempotência A.A=A (conjunção) A+A=A (disjunção) Octávio Dias Sistemas Digitais/11

12 Postulados da álgebra de Boole Complemento A. A = 0 (conjunção) A + A = 1 (conjunção) Dupla negação A = A Inversão dos dois membros de uma igualdade S= A.B S =A. B (conjunção) S= A+B S =A + B (disjunção) Octávio Dias Sistemas Digitais/12

13 Propriedades da álgebra de Boole Propriedades mais significativas da álgebra de Boole. Comutativa A.B = B.A (conjunção) A+B = B+A (disjunção) Associativa A.B.C = A.(B.C)= (A.B).C (conjunção) A+B+C = A+(B+C)= (A+B)+C (disjunção) Distributiva A.(B+C) = A.B+A.C (conjunção) A+(B.C) = A+B.C = (A+B).(A+C) (disjunção) Octávio Dias Sistemas Digitais/13

14 Teoremas da álgebra de Boole Teoremas mais significativos da álgebra de Boole. Absorção A+A.B = A A.(A+B) = A Redundância A + A.B = A+B Consenso A. A + B = A.B A.B+B.C+A.C = A.B+AC Octávio Dias Sistemas Digitais/14

15 Teoremas da álgebra de Boole Teoremas mais significativos da álgebra de Boole com operadores XOR. A B = B A A B C = (A B) C = A (B C) A B = A.B+A. B A B = (A+B).(A+ B) A 0 = A A 1 =A A B = A B = A B A B= A B Octávio Dias Sistemas Digitais/15

16 Leis de Morgan A + B = A. B A. B = A + B As leis de Morgan são de grande utilidade na simplificação de funções, uma vez que permitem transformar expressões construídas com base em somas em expressões construídas com base em produtos, e vice-versa, como se exemplifica na expressão lógica abaixo. B. C D. A B. C D. A B. C. D. A ( B C).( D A) ( B C).( D A) Octávio Dias Sistemas Digitais/16

17 Principio da dualidade Pelos postulados e teoremas relativos às funções AND (conjunção) e OR (disjunção), conclui-se que para cada expressão válida para a função AND, existe uma expressão válida, isto é uma igualdade verdadeira, para a função OR, que pode ser obtida da primeira, trocando entre si o par de valores 0 e 1 e o par de operadores AND e OR. Como exemplo, considerem-se os postulados abaixo explicitados. A. A = 0 A + A = Octávio Dias Sistemas Digitais/17

18 Precedência das operações Parêntesis; NOT (negação); AND (E); OR, XOR (OU e OU Exclusivo). O uso de parêntesis altera a precedência normal das operações. S1=A.B+C S2=A. (B+C) A B C S1 S Octávio Dias Sistemas Digitais/18

19 Forma canónica normal disjuntiva de uma função booleana Diz-se que uma expressão lógica está na forma canónica normal disjuntiva, ou primeira forma canónica, quando está representada por uma soma de produtos, onde cada um deles contém todas as variáveis da expressão. Cada um dos produtos é designado por minitermo, ou termo mínimo f(a, B, C) =S = A.B.C + A.B. C + A. B. C A primeira forma canónica obtém-se da tabela de verdade da função, por intermédio da soma dos seus minitermos. Cada minitermo corresponde a uma linha da tabela da verdade onde a função toma o valor 1. Conclui-se assim, que o número de minitermos da expressão é igual ao número de linhas com o valor 1 da tabela de verdade da função Octávio Dias Sistemas Digitais/19

20 Forma canónica normal disjuntiva de uma função booleana Exemplo 1 Explicite a primeira forma canónica da função lógica com a seguinte tabela de verdade. Resolução A B C S f(a, B,C) =S = A.B.C + A.B. C +A.B.C f(a, B,C) = m(2, 7,6) (minitermos) Octávio Dias Sistemas Digitais/20

21 Forma canónica normal conjuntiva de uma função booleana Diz-se que uma expressão lógica está na forma canónica normal conjuntiva, ou segunda forma canónica, quando está representada por um produto de somas, onde cada uma delas contém todas as variáveis da expressão. Cada uma das somas é designada por maxitermo ou termo máximo. f(a, B. C) =S=(A+B+C). (A+B + C). (A + B + C) A primeira forma canónica obtém-se da tabela de verdade, por intermédio da soma dos seus maxitermos. Cada maxitermo corresponde a uma linha da tabela da verdade onde a função toma o valor 0. A variável deve ser negada nos maxitermos onde toma o valor 1. O número de maxitermos da expressão é igual ao número de linhas com o valor 0 da tabela de verdade da função Octávio Dias Sistemas Digitais/21

22 Forma canónica normal conjuntiva de uma função booleana Exemplo 2 Explicite a segunda forma canónica da função lógica com a seguinte tabela de verdade. Resolução A B C S f(a, B,C) =S =(A+B+C). (A+B+C). (A+B+C). (A+B+C). (A+B+C) M(0,1,3,4,5) (Maxitermos) Octávio Dias Sistemas Digitais/22

23 Diagramas lógicos Os diagramas lógicos ou logigramas são representações de funções por intermédio da interligação adequada de portas lógicas, de forma a ilustrar o funcionamento de alto nível da função lógica. Ou seja, os diagramas lógicos são representações do funcionamento lógico dos circuitos que implementam a função, sem conterem detalhes eléctricos ou da tecnologia utilizada. Diagrama lógico da função S=AB + CD (Fonte: Digital Fundamentals, T. Floyd, 2006) Octávio Dias Sistemas Digitais/23

24 Representação de funções lógicas Uma função lógica pode ser representada por intermédio da expressão booleana, da tabela de verdade ou do diagrama lógico. S=A.B+C Expressão booleana A B C S Tabela de verdade A B C Diagrama lógico S Octávio Dias Sistemas Digitais/24

25 Conjuntos completos de portas lógicas Habitualmente, nem todos os tipos de portas lógicas são usadas para implementação dos circuitos, uma vez que o projecto e a implementação são simplificadas se forem usadas apenas um ou dois tipos de portas lógicas. Deste modo, é importante identificar os conjuntos de portas lógicas funcionalmente completos, ou seja, os conjuntos de portas lógicas que, asseguram a realização de todas as funções. Conjuntos de portas lógicas funcionalmente completos: AND, OR, NOT; AND, NOT; OR, NOT; NAND; NOR Octávio Dias Sistemas Digitais/25

26 Conjuntos completos de portas lógicas Conjunto NAND. NOT AND OR Octávio Dias Sistemas Digitais/26

27 Conjuntos completos de portas lógicas Conjunto NOR. NOT OR AND Octávio Dias Sistemas Digitais/27

28 7 Simplificação de funções lógicas Mapas de Karnaugh A simplificação das expressões lógicas tem por objectivo implementar a função lógica com circuitos lógicos menos complexos. Esta simplificação pode ser realizada por intermédio da utilização dos axiomas, postulados e teoremas da álgebra de Boole, como se constatou através dos exercícios já realizados. Porém, a simplificação de funções lógicas pode ser conseguida por métodos mais expeditos como é o caso da técnica, conhecida por método de Karnaugh, desenvolvida em 1953 por Maurice Karnaugh, engenheiro de telecomunicações dos laboratórios Bell Octávio Dias Sistemas Digitais/28

29 7 Simplificação de funções lógicas Mapas de Karnaugh Para simplificar uma função lógica pelo método de Karnaugh é de interesse representá-la na forma canónica disjuntiva (soma de minitermos), e identificar as linhas adjacentes da tabela de verdade cuja soma tem o valor 1, entendendo-se por linhas adjacentes as que diferem apenas pelo valor de uma das variáveis. Tome-se como exemplo a tabela de verdade, Linha A B C S Octávio Dias Sistemas Digitais/29

30 7 Simplificação de funções lógicas Mapas de Karnaugh Constata-se que as linhas 4 e 6 são adjacentes e que as linhas 6 e 7 são também adjacentes. Linhas 6 e 7 Da análise das linhas adjacentes 6 e 7, conclui-se que para S=1 basta ter A=1 e B=1; a variável C não tem influência em S, pois varia nestas duas linhas. S = A. B + Linhas 4 e 6 Da análise das linhas adjacentes 4 e 6, conclui-se que para S=1 basta ter A=1; e C=0; a variável B não tem influência em S, pis varia nestas duas linhas. Conclui-se assim, que a função pode ser expressa por, S = A. B + A. C Octávio Dias Sistemas Digitais/30

31 7 Simplificação de funções lógicas Mapas de Karnaugh Este exemplo evidencia o facto de ser vantajoso que as linhas logicamente adjacentes sejam também fisicamente adjacentes, o que na forma tabular não é possível. Reorganizando a tabela de verdade na forma de um mapa que faça com que as linhas logicamente adjacentes sejam também graficamente adjacentes, consegue-se visualizar com maior facilidade a simplificação de funções. Os mapas assim conseguidos têm a designação de mapas de Karnaugh. No caso do exemplo será, BC A Octávio Dias Sistemas Digitais/31

32 7 Simplificação de funções lógicas Mapas de Karnaugh A figura abaixo, ilustra um mapa de Karnagh genérico para uma função de três variáveis. Repare-se que, para cada posição do mapa, existem três minitermos adjacentes. Por exemplo para a posição P tem os minitermos adjacentes A1, A2 e A3. De facto, A2 001 A1 100 P 101 A Octávio Dias Sistemas Digitais/32

33 7 Simplificação de funções lógicas Mapas de Karnaugh Repare-se qua os minitermos laterais também são logicamente adjacentes, o que corresponde a uma adjacência gráfica que se conseguiria se o mapa estivesse desenhado sobre um cilindro de eixo vertical. De facto, A2 010 A1 111 P 110 A Octávio Dias Sistemas Digitais/33

34 7 Simplificação de funções lógicas Mapas de Karnaugh Adjacências lógicas periféricas do mapa de Karnaugh Três variáveis Quatro variáveis BC A m0 m1 m3 m2 1 m4 m5 m7 m6 CD AB m0 m1 m3 m2 0 1 m4 m5 m7 m6 1 1 m12 m13 m15 m m8 m9 m11 m Octávio Dias Sistemas Digitais/34

35 7 Simplificação de funções lógicas Mapas de Karnaugh Para explicitar a expressão de uma função lógica a partir do mapa de Karnaugh, procede-se do modo seguinte, Identificam-se os agrupamentos formados por 2 n, (número par) minitermos adjacentes, correspondentes aos minitermos (células com o valor 1 ); A expressão de cada agrupamento contém apenas as variáveis que mantêm o valor constante dentro do agrupamento; A expressão da função é constituída pela soma das expressões de cada um dos agrupamentos; Deve ter-se o cuidado de não formar agrupamentos em que todas as suas células já estejam incluídas noutros agrupamentos Octávio Dias Sistemas Digitais/35

36 7 Simplificação de funções lógicas Mapas de Karnaugh Exemplo para duas variáveis Uma função lógica com a tabela de verdade, A B S Corresponde o mapa de Karnaugh, B A Portanto, a expressão da função é dada por, S = B Octávio Dias Sistemas Digitais/36

37 7 Simplificação de funções lógicas Mapas de Karnaugh Exemplo para três variáveis Considere-se a uma função lógica com a tabela de verdade, A B C S Da tabela obtém-se o mapa de Karnaugh, Do qual se retira a função, BC A S = A. B + A. C Octávio Dias Sistemas Digitais/37

38 7 Simplificação de funções lógicas Mapas de Karnaugh Exemplo para três variáveis Cada um dos dois agrupamentos é lido do seguinte modo: Grupo AB esta expressão contém as variáveis A e B porque elas mantêm o valor dentro do grupo; a variável C, não é incluída na expressão porque o seu valor não se mantém constante dentro do grupo; Grupo AC esta expressão contém as variáveis A e C uma vez que elas mantêm o mesmo valor dentro do grupo; já a variável B, não é incluída na expressão uma vez que não se mantém constante dentro do grupo. Sublinha-se que, a expressão correspondente a cada agrupamento só contém as variáveis que mantêm o valor constante dentro do grupo Octávio Dias Sistemas Digitais/38

39 7 Simplificação de funções lógicas Mapas de Karnaugh Exemplo para três variáveis Considere-se uma função lógica f= m(0, 2, 4, 5, 6) com o mapa de Karnaugh, BC A Do mapa de Karnaugh retira-se a expressão, f = AB + BC+BC Os agrupamentos de minitermos100/110, 000/ 010 e 000/100/010/110 não são considerados porque esses minitermos já estão incluídos noutros grupos. A expressão f = AB + BC+BC, pode ainda ser simplificada. De facto, f = AB + BC+BC=AB + C(B + B)= AB + C(1) f= AB + C Octávio Dias Sistemas Digitais/39

40 7 Simplificação de funções lógicas Mapas de Karnaugh Exemplo para três variáveis A expressão f(a, B, C) = AB + C poderia ser retirada directamente do mapa de Karnaugh se tivéssemos optado pelos agrupamentos, BC A De facto, a opção por estes agrupamentos permite encontrar a expressão, f= AB + C Pode assim concluir-se que, a escolha dos agrupamentos de minitermos é de grande importância para a obtenção da expressão mais simples para a função Octávio Dias Sistemas Digitais/40

41 7 Simplificação de funções lógicas Mapas de Karnaugh Exemplo para quatro variáveis Considere-se a função lógica de quatro variáveis com o mapa de Karnaugh, CD AB Do mapa de Karnaugh retira-se a expressão, f(a, B, C, D) = ABC+ACD + ABC + ACD Repare-se que, o agrupamento dos minitermos 0101/0111/1101/1111 não foi considerado porque esses minitermos já se encontram incluídas nos outros agrupamentos, o que torna o agrupamento redundante Octávio Dias Sistemas Digitais/41

42 7 Simplificação de funções lógicas Mapas de Karnaugh Implicantes, implicantes primos e implicantes essenciais Designa-se por implicante de uma função lógica, um agrupamento de minitermos que satisfaz as regras da associação, ou seja, que só agrupa minitermos adjacentes e que os agrupamentos contêm 2 n minitermos. Designa-se por implicante primo de uma função lógica, um agrupamento de minitermos que satisfaz as regras da associação e agrupa o maior número possível de minitermos. Designa-se por implicante primo essencial de uma função lógica, um implicante primo que inclui um ou mais minitermos que apenas podem estar contidos nesse agrupamento Octávio Dias Sistemas Digitais/42

43 7 Simplificação de funções lógicas Mapas de Karnaugh Implicantes, implicantes primos e implicantes primos essenciais ABD - é um implicante primo essencial, por ser o único que pode incluir o minitermo 0010; ABD - é um implicante primo essencial, por ser o único que pode incluir o minitermo 0111; ABCD - é um implicante primo essencial, por ser o único que pode incluir o minitermo 1011; ABC - é um implicante primo não essencial, porque os minitermos 0000 e 0001 podem ser agrupados de outras formas; ABC - é um implicante primo não essencial, porque os minitermos 0001 e 0101 podem ser agrupados de outras formas; Octávio Dias Sistemas Digitais/43

44 7 Simplificação de funções lógicas Mapas de Karnaugh Implicantes, implicantes primos e implicantes primos essenciais A função lógica do slide anterior, que como se constatou tem dois implicantes primos não essenciais, pode ser representada por intermédio de duas expressões mínimas diferentes, contendo cada uma delas todos os implicantes primos essenciais e um dos não essenciais. f=abd+abd+abcd+abc f=abd+abd+abcd+acd Octávio Dias Sistemas Digitais/44

45 7 Simplificação de funções lógicas Mapas de Karnaugh Implicantes, implicantes primos e implicantes primos essenciais Existem funções sem implicantes primos essenciais. Por exemplo a função, f= m(0, 1, 5, 7, 8, 10, 14, 15) não tem quaisquer implicantes mínimos essenciais e pode ser representada por duas expressões mínimas f=abc+abd+abc +ABD f=acd+bcd+acd+bcd Octávio Dias Sistemas Digitais/45

46 8 Circuitos combinatórios Conceito de circuito combinatório Circuitos combinatórios são circuitos cujas saídas num dado instante dependem unicamente da combinação dos sinais de entrada nesse instante. Análise de circuitos combinatórios A análise de um circuito combinatório corresponde a determinar o seu funcionamento a partir da informação existente num diagrama lógico. Como exemplo, o circuito abaixo, implementa a função, X=(A+B)+C Octávio Dias Sistemas Digitais/46

47 8 Circuitos combinatórios Análise de circuitos combinatórios E 8.1 Determine a expressão da função implementada pelo circuito, X=(D+(A + B)C)E E 8.2 Explicite a função que o circuito abaixo implementa. X=ABC(A + B) Octávio Dias Sistemas Digitais/47

48 8 Circuitos combinatórios Síntese de circuitos combinatórios A síntese de circuitos combinatórios é o processo inverso da análise. Assim, o processo de síntese parte de uma descrição da função pretendida, para obter o circuito lógico correspondente. A descrição da função do circuito pode ser feita por intermédio de texto, da tabela de verdade, da expressão da função, ou de um exemplo ilustrativo. Por exemplo a expressão X=(A+B)(B + C) é implementada pelo circuito, Octávio Dias Sistemas Digitais/48

49 8 Circuitos combinatórios Síntese de circuitos combinatórios E 8.3 Desenhe o circuito que implementa a função Y=AC+BC+ABC E 8.4 Desenhe o circuito que implementa a função X=(A+B)(B+C) Octávio Dias Sistemas Digitais/49

50 8 Circuitos combinatórios Síntese de circuitos combinatórios E 8.5 Considere a tabela de verdade abaixo e construa o circuito lógico mais simples que a implementa. A B C F A construção do circuito mais simples implica a identificação da expressão lógica mais simples, pelo devemos usar o mapa de Karnaugh para a obter. BC A S=AB + C Octávio Dias Sistemas Digitais/50

51 8 Circuitos combinatórios Síntese de circuitos combinatórios Basta agora desenhar o circuito lógico que implementa a função, F=AB + C E 8.6 Construa o circuito lógico mais simples para detectar a votação da maioria de um júri constituído por três elementos. O primeiro passo consiste em obter a tabela de verdade para a função detector de votação. A B C S Octávio Dias Sistemas Digitais/51

52 8 Circuitos combinatórios Síntese de circuitos combinatórios A partir da tabela de verdade obtida, constrói-se o mapa de Karnaugh correspondente. A B C BC A S=AC+AB+BC S=AC+AB+BC Octávio Dias Sistemas Digitais/52