Minimização de Expressões Método de Karnaugh

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Zilda Padilha Brandt
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1 Minimização de Expressões Método de Karnaugh Conceitos básicos Método de Karnaugh Mapas de Karnaugh de três variáveis 2 1

2 A minimização de uma expressão lógica é um processo que, para uma função, permita obter a sua expressão mais simples, chamada expressão mínima. Por vezes há várias expressões nessas condições. Nesse caso faz sentido falar de expressões minimais. Na realidade, em geral, não se procura a expressão minimal (em absoluto) mas uma expressão minimal num dado formato (por exemplo, soma de produtos). 3 A forma exposta de minimizar uma expressão é manipulá-la seguindo as regras da álgebra de Boole até atingir a expressão minimal no formato pretendido. Este método é cansativo e só com grande experiência se consegue garantir que se chegou a uma expressão minimal. Por isso foram desenvolvidos métodos mais expeditos. 4 2

3 Retome-se o exemplo da função que já conhecemos anteriormente. Esta função tem outra expressão, na forma canónica normal disjuntiva que resulta da leitura directa da sua tabela: A primeira expressão é a expressão minimal na forma de soma de produtos. Como passar da segunda para a primeira? 5 Aplicando as regras da álgebra de Boole pode ser feita a minimização: O método que se vai apresentar de seguida procura refazer esta minimização de forma tabular. 6 3

4 Recupere-se a tabela da função e a expressão dando ênfase aos seus mintermos: Repare-se como se chegou ao produto na expressão minimal. Foi por junção dos mintermos 6 e 7 7 Algebricamente verificou-se: Mas na tabela pode verificar-se que as duas linhas correspondentes a estes dois mintermos (m 6 e m 7 ) são as duas únicas linhas com a = b = 1 e, para essas linhas a função é 1. Pode então ler-se directamente que f = 1 sempre que a b = 1. Logo f = a b

5 Do mesmo modo é fácil ler da tabela que a função vale 1 nas linhas 2 e 6 que têm comum b = 1 e c = 0. É portanto fácil concluir, apenas por leitura da tabela, que Pode-se simplificar a função por observação da tabela, associando linhas em que a função assuma o valor 1 e que difiram apenas de uma variável. 9 O Mapa de Karnaugh permite arrumar a tabela da função de modo a colocar as linhas que diferem apenas em uma das variáveis juntas ou, pelo menos simétricas. Código reflectido! 10 5

6 As simetrias no Mapa de Karnaugh de três variáveis, são as seguintes: Assinalando agora as posições simétricas ou adjacentes da posição 6, por exemplo 11 Coloque-se a função que se tem vindo a estudar num mapa de Karnaugh: 12 6

7 A leitura do mapa faz-se da seguinte forma: Agrupam-se os uns que estão adjacentes até cobrir todos os uns Lê-se os produtos que eles representam. c b a a 13 O mapa de Karnaugh não tem de ter a arrumação de variáveis e o formato que tem o apresentado. Mostram-se outras hipóteses. 14 7

8 Considere-se agora outro exemplo de uma função dada pela soma dos seus mintermos: Do seu mapa de Karnaugh é fácil extrair a expressão abaixo Mas é fácil manipular a expresão para obter a seguinte que é mais simples 15 Será que o mapa não permite obter a expresão mais simples? O problema é que não se teve em conta que os dois agrupamentos da ponta são simétricos em relação ao eixo central. Se se considerar isso, a leitura é imediata 16 8

9 Num mapa, um agrupamento de 4 uns resulta do agrupamento de dois grupos de dois uns simétricos, do mesmo modo que se construiram grupos de dois uns. Do mesmo modo pode encontrar-se um grupo de oito uns mas sempre por junção de dois grupos simétricos. Por isso nunca haverá grupos de três, cinco, seis, sete uns. 17 Exemplos de agrupamentos proibidos: 18 9

10 Usou-se até agora agrupamentos de uns (mintermos) para obter somas de produtos lógicos. Podemos agrupar zeros (maxtermos) para obter produtos de somas lógicas. Repare-se que, na leitura, estamos agora a ler somas (associações de maxtermos), e as variáveis, quando estão a 0, são lidas não negadas e, quando a 1, são lidas negadas. 19 Livro recomendado, secção 2.3 Carlos Sêrro: Sistemas Digitais fundamentos algébricos, ISTPress 2003, Capítulos 6 e 7 Existem muitos livros com capítulos sobre o assunto. A Internet é, como de costume, uma fonte que, explorada com espírito crítico, tem muito para dar. Na página alternativa há um applet interessante. kvd-karnaugh 20 10

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