SISTEMAS DIGITAIS MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS

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1 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS Outubro de

2 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 2 SUMÁRIO: MINIMIZAÇÃO ALGÉBRICA MINIMIZAÇÃO DE KARNAUGH REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES DE N VARIÁVEIS QUADROS DE 3 e 4 VARIÁVEIS QUADROS DE N VARIÁVEIS AGRUPAMENTOS DE UNS E ZEROS EIXOS DE SIMETRIA IMPLICANTES E IMPLICADOS IMPLICANTES E IMPLICADOS PRIMOS IMPLICANTES E IMPLICADOS PRIMOS ESSENCIAIS MÉTODO DE MINIMIZAÇÃO DE KARNAUGH ALGORITMO DE MINIMIZAÇÃO FORMA NORMAL/MÍNIMA DIJUNTIVA FORMA NORMAL/MÍNIMA CONJUNTIVA FUNÇÕES INCOMPLETAMENTE ESPECIFICADAS Outubro de

3 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 3 SIMPLIFICAÇÃO ALGÉBRICA PELO TEOREMA DA ADJACÊNCIA Um termo com n literais tem n adjacentes possíveis Exemplo x 3 x 2 x f m tem 3 adjacentes possíveis, mas apenas m também vale. m = x 3 x2.. x x. x x. x 2 x. x 2. x. x. x = m = m 2 = m m apenas pode ser simplificado com m. ( x + x ) x3 2 m. = x + m = x3 x2.. 4 Outubro de

4 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 4 SIMPLIFICAÇÃO ALGÉBRICA PELO TEOREMA DA ADJACÊNCIA (cont.) Exemplo x 3 x 2 x f adjacentes m m m só pode ser simplificado com m m m, m 3, m 5 m pode ser simplificado com m ou com m 3 ou com m 5 m 3 m, m 7 m 3 pode ser simplificado com m ou com m 7 m 5 m, m 7 m 5 pode ser simplificado com m ou com m 7 m 7 m 3, m 5 m 7 pode ser simplificado com m 3 ou com m 5 Outubro de

5 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 5 SIMPLIFICAÇÃO ALGÉBRICA PELO TEOREMA DA ADJACÊNCIA (cont.) Exemplo x 3 x 2 x f f f f ( m + m ) ( m3 + m7 ) ( m + m ) = essencial + + = x = + + x 3 3 x x 2 2 x x 2 x x 2 + x 5 adjacentes Outubro de

6 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 6 REORDENAÇÃO DA TELA Exemplo x 3 x 2 x f m m m 3 m 2 m 6 m 7 m 5 m 4 Os termos em linhas consecutivas diferem apenas de bit. Deste modo, grande parte dos termos adjacentes ficam representados em linhas contíguas, o que facilita a identificação de adjacências. Não é habitualmente usada, porque se preferem os quadros a 2 dimensões. Outubro de

7 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 7 QUADRO DE KARNAUGH Exemplo Quadro de Karnaugh = Reordenação da tabela da verdade em 2 dimensões. x 3 x 2 x f m m m 3 m 2 m 6 m 7 m 5 m 4 Os termos adjacentes ficam representados em linhas/colunas contíguas. x 2 x x3 3 2 x 2 x x3 x 2 x x3 Outubro de

8 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 8 IDENTIFICAÇÃO DOS TERMOS NO QUADRO DE KARNAUGH Exemplo x 2 x x3 O termo é quando: x 3 =; e x 2 =; e x = ou x = x3. x. x + x x. x ou seja: 3 2 ( ) 3 2 simplificados x 2 x x3 O termo é quando: x 3 = ou x 3 =; e x 2 = ou x 2 =; e x = ou seja: (( x3 + x3 ). ( x2 + x2 )). x x simplificados Outubro de

9 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 9 REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES Q. DE KARNAUGH Quadros de 3 Variáveis Y YZ X XYZ XYZ XYZ XYZ f(x,y,z) YZ X m m m 3 m 2 X XYZ XYZ XYZ XYZ Z m 4 m 5 m 7 m 6 Exemplos: f(x,y,z) = Σm(,3,5,6) YZ X Outubro de

10 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES Q. DE KARNAUGH (cont.) Quadros de 4 Variáveis A mesma função pode ter representações diferentes, mas equivalentes, num Quadro de Karnaugh pela simples alteração da localização das variáveis f(w,x,y,z) f(w,x,y,z) YZ WX WX YZ m m m 3 m 2 m m 4 m 2 m 8 m 5 m 6 m 4 m 7 m 5 m 9 m m 3 m 3 m 4 m 2 m 5 m 7 m m 3 m 5 m 9 m m 8 m m 6 m m 2 m 4 Outubro de

11 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES Q. DE KARNAUGH (cont.) Quadros de N Variáveis Um Quadro de Karnaugh de N variáveis é obtido pela duplicação de quadro de N- variáveis devendo ser acrescentada a N ésima variável e o correspondente eixo de simetria de modo a manter a representação das variáveis de forma reflectida. f(v,w,x,y,z) XYZ V W m m 2 m m 3 m 7 m 4 m 6 m 5 m 9 m m 8 m m 5 m 2 m 4 m 3 m 25 m 26 m 24 m 27 m 3 m 28 m 3 m 29 m 7 m 8 m 6 m 9 m 23 m 2 m 22 m 2 Outubro de

12 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 2 AGRUPAMENTO DE MINTERMOS E MAXTERMOS Eixos de Simetria β x 2 x α β x 3 γ α δ x 2 x 2 quadrados dizem-se adjacentes em termos lógicos quando apenas uma variável lógica altera o seu valor na representação desses quadrados. β x 2 x x 4 x 3 ε φ γ α δ β x 5 x 4 ε φ x 3 x 2 x α η γ ϕ λ δ µ Num quadro de N variáveis para cada quadrado existem, sempre, N outros adjacentes Outubro de

13 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 3 AGRUPAMENTO DE MINTERMOS E MAXTERMOS (cont.) Implicante: Um termo de produto diz-se um implicante de função sse essa função assume para todos os mintermos que o constituem. Exemplos: BC A 3 2 f(a,b,c) = Σm(,,4,6) C BC A 3 2 C C C C+C = BC AC Agrupamentos de 2 n quadrados correspondem à eliminação de n literais Outubro de

14 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 4 AGRUPAMENTO DE MINTERMOS E MAXTERMOS (cont.) Exemplos da Representação de Maxtermos: BC A 3 2 A+B+C BC A A BC A + + B BC A C Outubro de

15 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 5 AGRUPAMENTO DE MINTERMOS E MAXTERMOS (cont.) Implicado: Um termo de soma diz-se um implicado de função sse essa função assume para todos os maxtermos que o constituem. Exemplos: BC A 3 2 f(a,b,c) = ΠM(2,3,5,7) A+B+C BC A 3 2 A+B+C A+B+C A+B+C A+C B+C A+B Agrupamentos de 2 n quadrados correspondem à eliminação de n literais Outubro de

16 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 6 AGRUPAMENTO DE MINTERMOS E MAXTERMOS (cont.) Implicante Primo: Um termo de produto diz-se um implicante primo se a remoção de um qualquer literal, desse termo de produto, resulta num termo de produto que não é um implicante da função. Exemplos: C A A C BD A AC B A BD D C AD C Outubro de

17 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 7 AGRUPAMENTO DE MINTERMOS E MAXTERMOS (cont.) Implicado Primo: Um termo de soma diz-se um implicado primo se a remoção de um qualquer literal, desse termo de produto, resulta num termo de soma que não é um implicado da função. Exemplos: B+D A+B+C A+B+C A+C+D A+C+D A+C+D A+B+D A+C+D A+C B+C+D A+B+D B+C+D A+B+C B+D A+B+D A+B+C A+C C+D Outubro de

18 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 8 AGRUPAMENTO DE MINTERMOS E MAXTERMOS (cont.) Implicante Primo Essencial: Um implicante primo de uma função diz-se implicante primo essencial se contém pelo menos um mintermo não contido em nenhum outro implicante primo. Exemplos: Implicantes Primos Implicantes Primos A C BD Implicantes Primos Essenciais Implicantes Primos Essenciais C A Outubro de

19 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 9 AGRUPAMENTO DE MINTERMOS E MAXTERMOS (cont.) Implicado Primo Essencial: Um implicado primo de uma função diz-se implicado primo essencial se contém pelo menos um maxtermo não contido em nenhum outro implicado primo. Exemplos: Implicados Primos Implicados Primos A+B+C A+C+D A+C+D Implicados Primos Essenciais Implicados Primos Essenciais B+D A+B+C Outubro de

20 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 2 MÉTODO DE MINIMIZAÇÃO DE KARNAUGH Algoritmo de Minimização: O procedimento sistemático para a obtenção da expressão simplificada de uma função representada num quadro de Karnaugh, corresponde à execução dos seguintes passos: Passo : Identificação de todos os implicantes/implicados primos essenciais. Passo 2: Determinação do menor conjunto de implicantes/implicados primos que contenham os mintermos/maxtermos não incluídos nos implicantes/implicados primos essenciais identificados no passo anterior. Passo 3: Escrita da expressão simplificada como soma/produto de todos os termos de produto/soma seleccionados nos passos e 2. Outubro de

21 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 2 MÉTODO DE MINIMIZAÇÃO DE KARNAUGH (cont.) Forma Normal/Mínima Disjuntiva Exemplos: Funções cuja simplificação utiliza apenas implicantes primos essenciais. BC A 3 2 AC A C f(a,b,c) = C + C + C + C 8 9 C A f(a,b,c,d) = f(a,b,c) = + AC f(a,b,c,d) = C + A + C + A Outubro de

22 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 22 MÉTODO DE MINIMIZAÇÃO DE KARNAUGH (cont.) Forma Normal/Mínima Disjuntiva Exemplos: f(a,b,c,d) = Σm(,,5,7,,4,5) = Soluções alternativas 3 2 f(a,b,c,d) = C + D + C + A O conjunto de implicantes primos não essenciais que completam a expressão simplificada oferece várias alternativas. O conjunto de implicantes primos essenciais é único f(a,b,c,d) = C + A + B + A 8 9 Outubro de

23 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 23 MÉTODO DE MINIMIZAÇÃO DE KARNAUGH (cont.) Exemplos: Expressão Original: 5 Termos de Produto de 5 Literais Expressão Simplificada: 6 Termos de Produto de 4 Literais Termo de Produto de 3 Literais Outubro de

24 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 24 MÉTODO DE MINIMIZAÇÃO DE KARNAUGH (cont.) Forma Normal/Mínima Conjuntiva Exemplos: f(a,b,c,d) = ΠM(2,3,4,6,8,9,,2,3) = (A+B+C+D). (A+B+C+D). (A+B+C+D). (A+B+C+D). (A+B+C+D). (A+B+C+D). (A+B+C+D). (A+B+C+D). (A+B+C+D) Soluções alternativas 3 2 f(a,b,c,d) = (A+C).(A+B+C).(A+B+D).(A+B+D) O conjunto de implicados primos não essenciais que completam a expressão simplificada oferece várias alternativas. O conjunto de implicados primos essenciais é único f(a,b,c,d) = (A+C).(B+C+D).(B+C+D).(A+C+D) 8 9 Outubro de

25 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 25 MÉTODO DE MINIMIZAÇÃO DE KARNAUGH (cont.) Algoritmo de Minimização (Funções Incompletamente Especificadas) : O procedimento sistemático para a obtenção da expressão simplificada de uma função representada num quadro de Karnaugh, corresponde execução dos seguintes passos: Passo : Identificação de todos os implicantes/implicados primos essenciais. * Passo 2: Determinação do menor conjunto de implicantes/implicados primos que contenham os mintermos/maxtermos não incluídos nos implicantes/implicados primos essenciais identificados no passo anterior. * Passo 3: Escrita da expressão simplificada como soma/produto de todos os termos de produto/soma seleccionados nos passos e 2. * Incluindo as indeterminações sempre que isso permita reduzir o número de literais presentes nesse implicante/implicado. Outubro de

26 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 26 MÉTODO DE MINIMIZAÇÃO DE KARNAUGH (cont.) Funções Incompletamente Especificadas Exemplos: f(a,b,c,d) = Σm(,,5,7,,4,5)+Σm d (8,3) =ΠM(2,3,4,6,9,,2).ΠM d (8,3) x x x 8 9 x 8 9 x 8 9 x x x 8 9 x 8 9 x Outubro de

27 MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS - 27 MÉTODO DE MINIMIZAÇÃO DE KARNAUGH (cont.) Funções Incompletamente Especificadas Exemplos: E x E x x x x x x x x x x x x x x x x x E x x x x x x ou E x x x x x x x x x x x x Outubro de