Álgebra de Boole e Simplificação de Circuitos Lógicos
|
|
|
- Matheus Henrique Almeida Sá
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Álgebra de oole e Simplificação de ircuitos Lógicos Flávio Euripedes de Oliveira UEMG Unidade Ituiutaba Nesta apresentação serão vistos os postulados e propriedades e formas canônicas de expressões booleanas lém disso, serão vistas duas forma de simplificar circuitos Fatoração Diagramas de Veitch- Karnaugh flaviooliveira@hotmail.com
2 Motivação omo visto, os circuitos lógicos correspondem (executam) expressões booleanas, as quais representam problemas no mundo real Porém, os circuitos gerados por tabelas verdade muitas vezes admitem simplificações, o que reduz o número de portas lógicas; essa redução diminui o grau de dificuldade na montagem e custo do sistema digital 2
3 Motivação O estudo da simplificação de circuitos lógicos requer o conhecimento da álgebra de oole, por meio de seus postulados, propriedades, equivalências, etc De fato, na álgebra de oole encontram-se os fundamentos da eletrônica digital de circutos 3
4 onstantes, Variáveis e Expressões Existem apenas duas constantes booleanas 0 (zero) 1 (um) Uma variável booleana é representada por letra e pode assumir apenas dois valores (0 ou 1) Exemplos:,, Uma expressão booleana é uma expressão matemática envolvendo constantes e/ou variáveis booleanas e seu resultado assume apenas dois valores (0 ou 1) Exemplos: S =. S = +. 4
5 Postulados & Propriedades Na álgebra booleana há postulados (axiomas) a partir dos quais são estabelecidas várias propriedades Existem várias propriedades da negação (complemento, inversor), adição (porta E) e soma (porta OU) Estas propriedades podem ser verificadas como equivalências lógicas Para demonstrar cada uma, basta utilizar as tabelas-verdade, constatando a equivalência 5
6 Postulados omplemento Se =0 então =1 Se =1 então =0 Notações alternativas = =. = (.) dição = = = = 1 Multiplicação 0. 0 = = = = 1 6
7 Propriedades Propriedade omplemento dição Multiplicação + 0 =. 0 = 0 Identidade = + 1 = 1 + =. 1 =. = + = 1. = 0 omutativa + = +. =. ssociativa +(+) = (+)+ = ++.(.) = (.). =.. Distributiva +(.) = (+). (+).(+) =. +. 7
8 Propriedades bsorção + (.) =. (+) = Outras Identidades +. = + (+).(+) = +. De Morgan (.) = + (+) =. De Morgan se estende para n variáveis ( n) = n ( n) = n 8
9 Exercício Mostre, usando simplificação por postulados e propriedades, ou seja, por transformações algébricas que: +. =.(+) = 9
10 Solução +. = +. =.(1+) =.(1) =.(+) =.(+) = (.) + (.) = + (.) = distributiva identidade da adição identidade da multiplicação distributiva identidade da multiplicação pela prova do exercício acima 10
11 Exercício Idem ao exercício anterior +. = + (+).(+) = +. 11
12 Solução +. = + +. = ( +.) = (. (.) ) = (. ( + )) = (. +.) = (0 +.) = (.) = = = ( + + ).(+ ) = 1.(+) = + identidade do complemento De Morgan distributiva identidade da multiplicação identidade da adição De Morgan distributiva α+β.γ= (α+β).(α+γ) identidade da adição identidade da multiplicação 12
13 Solução (+).(+) = +. (+).(+) = = = = +.(+) +. =.(1 + (+)) +. =.(1) +. = +. distributiva comutativa identidade da multiplicação distributiva distributiva identidade da adição identidade da multiplicação 13
14 Simplificação de Expressões ooleanas Usando a álgebra booleana é possível simplificar expressões omo cada circuito corresponde a uma expressão, simplificações de expressões significam em simplificações de circuitos Há duas formas para simplificar expressões Fatoração Mapas de Veitch-Karnaugh Veremos, a seguir, o processo de fatoração 14
15 Fatoração onsiste na aplicação dos postulados e propriedades da álgebra booleana, com o objetivo de simplificar a expressão Por exemplo S = =.(. + + ) =.(. + ( + )) =.(. + ( ( + ) ) ) =.(. + (.) ) =.(. + (.) ) =.(1) = distributiva associativa identidade do complemento De Morgan comutativa identidade da adição (D+ð=1) identidade da multiplicação 15
16 Fatoração Portanto, = Essa expressão mostra a importância da simplificação de expressões e a consequente minimização do circuito, sendo o resultado final igual ao da variável ircuito antes da simplificação ircuito após simplificação S S 16
17 Exercício Simplifique as expressões S = S =
18 Solução Simplifique as expressões S = = =..( + ) +.. =..(1) +.. =. +.. S =. +. =.(+) =.(1) = 18
19 Exercício Simplifique as expressões S = S = (++).(++) 19
20 Solução S = = =.. + ( ). =.. + ( ). =.. + (.( + ) +.( + )). =.. + (.(1) +.(1)). =.. + ( + ). =.. + (1). =.. + identidade X+(X.Y) = X+Y =. + S = (++).(++) = = = = ( ) = (1) 20
21 Formas Normais (anônicas) Toda expressão booleana pode ser escrita em uma forma padronizada, denominada forma normal ou forma canônica Duas formas normais são Forma Normal onjuntiva (FN), Produto de Somas ou Produto de Maxtermos Forma Normal Disjuntiva (FND), Soma de Produtos ou Soma de Mintermos 21
22 Maxtermos e Mintermos Maxtermos (ou maxitermos) Variável com valor 0 é deixada intacta Variável com valor 1 é alterada pela sua negação Variáveis de uma mesma linha são conectadas por + (adição) Mintermos (ou minitermos) Variável com valor 1 é deixada intacta Variável com valor 0 é alterada pela sua negação Variáveis de uma mesma linha são conectadas por. (multiplicação) Maxtermo Mintermo
23 Forma Normal Disjuntiva Mintermo (ou minitermo) é o termo produto associado à cada linha da tabela verdade, no qual todas as variáveis de entrada estão presentes Dado um dado mintermo, se substituirmos os valores das variáveis associadas, obteremos 1 Porém, se substituirmos nesse mesmo mintermo quaisquer outras combinações de valores, obteremos 0 Dessa forma, se quisermos encontrar a equação para uma função a partir de sua tabela verdade, basta montarmos um OU entre os mintermos associados aos 1s da função 23
24 FND: Exemplo S é uma função das variáveis de entrada, e Os valores de (,,) para os quais S=1 encontram-se nas situações 2, 3, 5 e 6 Os mintermos associados a essas condições (ou seja, os mintermos 1) são mostrados na tabela ao lado Logo, a expressão em soma de produtos (FND) para S será o OU entre estes produtos S = Situação S Mintermo
25 Forma Normal onjuntiva Maxtermo (ou maxitermo) é o termo soma associado à cada linha da tabela verdade, no qual todas as variáveis de entrada estão presentes Dado um dado maxtermo, se substituirmos os valores das variáveis associadas, obteremos 0 Porém, se substituirmos nesse mesmo maxtermo quaisquer outras combinações de valores, obteremos 1 Dessa forma, se quisermos encontrar a equação para uma função a partir de sua tabela verdade, basta montarmos um E entre os maxtermos associados aos 0s da função 25
26 FN: Exemplo S é uma função das variáveis de entrada, e Os valores de (,,) para os quais S=0 encontram-se nas situações 0, 1, 4 e 7 Os maxtermos associados a essas condições (ou seja, os maxtermos 0) são mostrados na tabela ao lado Logo, a expressão em produto de somas (FN) para S será o E entre estas somas S = (++). (++). (++). (++) Situação S Maxtermo
27 Simplificação a partir da Forma Normal Uma vez obtida a forma normal de uma função booleana, é possível simplificá-la por meio de manipulação algébrica, respeitando os postulados e propriedades da álgebra booleana, com visto anteriormente 27
28 Mapas de Veitch-Karnaugh lternativamente ao método de simplificação algébrico por fatoração, há outro método de simplificação baseado na identificação visual de grupos de mintermos que podem ser simplificados Para tanto, é necessário que os mintermos sejam dispostos de maneira conveniente, em tabelas conhecidas como diagramas ou mapas de Veitch-Karnaugh 28
29 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis Em um mapa de Veitch-Karnaugh, há uma região própria para cada linha da tabela verdade Essas regiões são os locais ondem devem ser colocados os valores que a expressão S assume nas diferentes possibilidades Para obter a expressão simplificada por meio do diagrama grupar as regiões onde S=1 no menor número possível de pares (diagonais não são permitidas no agrupamento de pares) s regiões onde S=1 que não puderem ser agrupadas em pares são consideradas isoladamente Situação S Situação Situação Situação Situação 3 29
30 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis Região (=1) Região (=1) Região. (=0 e =0) Região. (=0 e =1) Região (=0) Região (=0) Região. (=1 e =0) Região. (=1 e =1) 30
31 Exemplo tabela verdade mostra o estudo de uma função expressão booleana da função S obtida da tabela verdade usando mintermos é S = Obtenha uma expressão equivalente, simplificada usando mapa de Veitch- Karnaugh Situação S
32 Exemplo Inicialmente, o diagrama é Situação S preenchido com cada situação da tabela verdade
33 Exemplo Inicialmente, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação S
34 Exemplo Inicialmente, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação S
35 Exemplo Inicialmente, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação S
36 Exemplo Inicialmente, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação S
37 Exemplo gora tentamos agrupar Situação S as regiões onde S=1 no menor número possível de pares Um par é o conjunto de duas regiões onde S=1 que tem um lado em comum, ou seja, são vizinhos Par 1 37
38 Exemplo gora tentamos agrupar Situação S as regiões onde S=1 no menor número possível de pares Um par é o conjunto de duas regiões onde S=1 que tem um lado em comum, ou seja, são vizinhos Um mesmo valor 1 pode pertencer a mais de um par Par 1 Par 2 38
39 Exemplo Então, escrevemos a expressão de cada par, ou seja, a região que o par ocupa no diagrama O par 1 ocupa a região =1, então sua expressão é Situação S O par 2 ocupa a região onde =1, sendo sua expressão Neste caso, nenhum 1 ficou isolado, ou seja, fora dos pares asta então somar os resultados de cada par S = Par 1 + Par 2 S = Par 1 Par 2 39
40 Exemplo expressão de S obtida por mapa de Veitch-Karnaugh é S = + omo é possível notar, essa é a expressão de uma porta OU, pois a tabela verdade também é da porta OU Outro ponto importante é que a expressão obtida diretamente da tabela verdade S = é visivelmente maior que a expressão minimizada Situação S Par 1 Par 2 40
41 Exercício Dada a tabela ao lado, obtenha a expressão de S diretamente da tabela, usando mintermos seguir, transporte a tabela para o diagrama de Veitch- Karnaugh e obtenha a expressão simplificada Situação S
42 Solução Dada a tabela ao lado, obtenha a expressão de S diretamente da tabela, usando mintermos S = Situação S seguir, transporte a tabela para o diagrama de Veitch-Karnaugh e obtenha a expressão simplificada S = Par 1 + Par 2 S = Nota-se que a tabela verdade é a de uma porta NND, cuja expressão é S=(.) plicando De Morgan na expressão encontrada, tem-se S = + = (.) Par 1 Par 2 42
43 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 3 Variáveis De forma análoga para 2 variáveis, com 3 variáveis também há uma região própria para cada linha da tabela verdade em um mapa de Veitch-Karnaugh Para obter a expressão simplificada por meio do diagrama grupar as regiões onde S=1 no menor número possível de quadras Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de pares s regiões onde S=1 que não puderem ser agrupadas em quadras ou pares são consideradas isoladamente Situação S Situação Situação Situação Situação Situação Situação Situação Situação 6 43
44 uadras Região =1 (Região ) Região =1 (Região ) Região =1 (Região ) Região =0 (Região ) Região =0 (Região ) Região =0 (Região ) 44
45 Pares (1/2) Região. Região. Região. Região. Região. Região. 45
46 Pares (2/2) Região. Região. Região. Região. Região. Região. 46
47 uadra e Pares nas Extremidades Região =0 (Região ) Região. De forma análoga, estas regiões marcadas correspondem a pares Note que a região marcada corresponde a uma quadra, mesmo não estando contígua no diagrama Região. 47
48 Exemplo expressão extraída diretamente da tabela verdade para S é S = omo antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação S
49 Exemplo expressão extraída diretamente da tabela verdade para S é S = omo antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação S
50 Exemplo expressão extraída diretamente da tabela verdade para S é S = omo antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação S
51 Exemplo expressão extraída diretamente da tabela verdade para S é S = omo antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação S
52 Exemplo expressão extraída diretamente da tabela verdade para S é S = omo antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação S
53 Exemplo expressão extraída diretamente da tabela verdade para S é S = omo antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação S
54 Exemplo expressão extraída diretamente da tabela verdade para S é S = omo antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação S
55 Exemplo expressão extraída diretamente da tabela verdade para S é S = omo antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação S
56 Exemplo expressão extraída diretamente da tabela verdade para S é S = omo antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação S
57 Exemplo gora tentamos agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de quadras Situação S
58 Exemplo gora tentamos agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de quadras No exemplo, tem-se a quadra omo nenhuma quadra adicional pode ser encontrada, tentamos localizar agora o menor número de pares Não devem ser considerados os pares já incluídos em quadras ontudo, pode acontecer de um parser composto por um 1 externo e outro interno a uma quadra Situação S
59 Exemplo gora tentamos agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de quadras No exemplo, tem-se a quadra omo nenhuma quadra adicional pode ser encontrada, tentamos localizar agora o menor número de pares Não devem ser considerados os pares já incluídos em quadras ontudo, pode acontecer de um parser composto por um 1 externo e outro interno a uma quadra No exemplo, tem-se o par. Situação S
60 Exemplo gora tentamos agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de quadras No exemplo, tem-se a quadra omo nenhuma quadra adicional pode ser encontrada, tentamos localizar agora o menor número de pares Não devem ser considerados os pares já incluídos em quadras ontudo, pode acontecer de um parser composto por um 1 externo e outro interno a uma quadra No exemplo, tem-se o par. Por último, resta considerar termos isolados, que não foram agrupados nem em quadras, nem em pares No exemplo, não temos nenhum termo isolado Situação S
61 Exemplo gora, basta somar as expressões referentes às quadras, pares e termos isolados No exemplo, temos uadra Par. expressão final minimizada é S = +. omparando com a expressão antes da minimização, é possível notar a redução do número de portas e operações necessárias para obter-se o mesmo resultado S = Situação S
62 Exercício Minimizar o circuito que executa a tabela verdade ao lado Situação S
63 Exercício Minimizar o circuito que executa a tabela verdade ao lado Lembrar de agrupar as quadras, depois os pares e por últimos os termos isolados Situação S
64 Solução Minimizar o circuito que executa a tabela verdade ao lado Lembrar de agrupar as quadras, depois os pares e por últimos os termos isolados Nesse caso, há apenas 3 pares... Portanto, a expressão minimizada é S = Situação S
65 Solução Minimizar o circuito que executa a tabela verdade ao lado Lembrar de agrupar as quadras, depois os pares e por últimos os termos isolados Nesse caso, há apenas 3 pares... Portanto, a expressão minimizada é S = Poderíamos também ter agrupado da seguinte maneira, gerando a expressão S = Essas duas expressões, sintaticamente diferentes, são semanticamente equivalentes, pois possuem o mesmo comportamento em cada situação da tabela verdade Situação S
66 Exercício Simplifique a expressão, utilizando diagrama de Veitch- Karnaugh S =
67 Solução Simplifique a expressão, utilizando diagrama de Veitch- Karnaugh S = pós a minimização, obtém-se S = +. Situação S
68 Exercício Simplifique a expressão, utilizando diagrama de Veitch- Karnaugh Tente montar o diagrama sem escrever a tabela verdade S =
69 Exercício Simplifique a expressão, utilizando diagrama de Veitch- Karnaugh Tente montar o diagrama sem escrever a tabela verdade S =
70 Solução Simplifique a expressão, utilizando diagrama de Veitch- Karnaugh S = pós a minimização, obtém-se S =. +. Situação S
71 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 4 Variáveis Nesse caso, para obter a expressão simplificada por meio do diagrama grupar as regiões onde S=1 no menor número possível de oitavas Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de quadras Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de pares s regiões onde S=1 que não puderem ser agrupadas em oitavas, quadras ou pares são consideradas isoladamente No diagrama, os lados extremos opostos se comunicam, podendo formar oitavas, quadras ou pares 71
72 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 4 Variáveis omo antes, há uma região para cada linha na tabela verdade Situação D S ð Situação 0 ð Situação 4 ð Situação 12 ð Situação 8 D Situação 1 D Situação 5 D Situação 13 D Situação 9 D Situação 3 D Situação 7 D Situação 15 D Situação 11 ð Situação 2 ð Situação 6 ð Situação 14 ð Situação 10 72
73 Oitavas Região =1 (Região) Região =1 (Região ) Região =1 (Região ) Região D=1 (Região D) Região =0 (Região ) Região =0 (Região ) Região =0 (Região ) Região D=0 (Região ð) 73
74 uadras (1/3) Região. Região. Região. Região. Região. Região. Região. Região. 74
75 uadras (2/3) Região.D Região.ð Região. Região. Região.D Região.ð Região. Região. 75
76 uadras (3/3) Região.D Região.ð Região.D Região.ð Região.D Região.ð Região.D Região.D 76
77 Pares (1/4) Região.. Região.. Região.. Região.. Região.. Região.. Região.. Região.. 77
78 Pares (2/4) Região..D Região..D Região..ð Região..ð Região..D Região..D Região..ð Região..ð 78
79 Pares (3/4) Região..D Região..D Região..ð Região..ð Região..D Região..D Região..ð Região..ð 79
80 Pares (4/4) Região..D Região..D Região..ð Região..ð Região..D Região..D Região..ð Região..ð 80
81 Exemplo Simplifique a expressão usando mapa de Veitch- Karnaugh S =...D +...ð...d +...D +...D +...ð +...D +...D +...ð +...D +...D 81
82 Exemplo Simplifique a expressão usando mapa de Veitch- Karnaugh S =...D +...ð...d +...D +...D +...ð +...D +...D +...ð +...D +...D Transpondo para o diagrama, temos o diagrama ao lado
83 Exemplo Simplifique a expressão usando mapa de Veitch-Karnaugh S =...D +...ð...d +...D +...D +...ð +...D +...D +...ð +...D +...D Transpondo para o diagrama, temos o diagrama ao lado Localizando oitavas
84 Exemplo Simplifique a expressão usando mapa de Veitch-Karnaugh S =...D +...ð...d +...D +...D +...ð +...D +...D +...ð +...D +...D Transpondo para o diagrama, temos o diagrama ao lado Localizando oitavas, quadras
85 Exemplo Simplifique a expressão usando mapa de Veitch-Karnaugh S =...D +...ð...d +...D +...D +...ð +...D +...D +...ð +...D +...D Transpondo para o diagrama, temos o diagrama ao lado Localizando oitavas, quadras e pares Observe que não existem elementos isolados neste exemplo expressão simplificada é S = D
86 Exercício Simplifique a expressão usando mapa de Veitch- Karnaugh S =...D +...D +...ð +...D D +...ð D +...ð 86
87 Exercício Simplifique a expressão usando mapa de Veitch- Karnaugh S =...D +...D +...ð +...D D +...ð D +...ð...d...d...ð...d...d...ð...d...ð 87
88 Solução Simplifique a expressão usando mapa de Veitch- Karnaugh S =...D +...D +...ð +...D D +...ð D +...ð Não há oitavas possíveis Há duas quadras
89 Solução Simplifique a expressão usando mapa de Veitch- Karnaugh S =...D +...D +...ð +...D D +...ð D +...ð Não há oitavas possíveis Há duas quadras, um par
90 Solução Simplifique a expressão usando mapa de Veitch- Karnaugh S =...D +...D +...ð +...D D +...ð D +...ð Não há oitavas possíveis Há duas quadras, um par e um elemento isolado Portanto, a expressão minimizada é S =.D D +...ð
91 Exercício Simplifique a expressão usando mapa de Veitch- Karnaugh S =...ð +...D +...ð +...D +...ð +...D +...ð +...D +...D 91
92 Exercício Simplifique a expressão usando mapa de Veitch- Karnaugh S =...ð +...D +...ð +...D +...ð +...D +...ð +...D +...D...ð...D...ð...D...D...D...ð...D...ð 92
93 Exercício Simplifique a expressão usando mapa de Veitch- Karnaugh S =...ð +...D +...ð +...D +...ð +...D +...ð +...D +...D
94 Solução Simplifique a expressão usando mapa de Veitch-Karnaugh S =...ð +...D +...ð +...D +...ð +...D +...ð +...D +...D Não há oitavas possíveis Há duas quadras e um par Portanto, a expressão minimizada é S =.D +.ð +..D
95 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 5 Variáveis Nesse caso, para obter a expressão simplificada por meio do diagrama grupar as regiões onde S=1 no menor número possível de hexas Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de oitavas Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de quadras Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de pares s regiões onde S=1 que não puderem ser agrupadas em oitavas, quadras ou pares são consideradas isoladamente No diagrama, os lados extremos opostos secomunicam, assim como um diagrama se sobrepõe ao outro 95
96 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 5 Variáveis Situação D E S Situação D E S
97 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 5 Variáveis ð D ð D ð Ē Situação 0 ð E Situação 1 D E Situação 3 D Ē Situação 2 ð Ē Situação 16 ð E Situação 17 D E Situação 19 D Ē Situação 18 ð Ē Situação 4 ð E Situação 5 D E Situação 7 D Ē Situação 6 ð Ē Situação 20 ð E Situação 21 DE Situação 23 DĒ Situação 22 ð Ē Situação 12 ð E Situação 13 D E Situação 15 D Ē Situação 14 ð Ē Situação 28 ð E Situação 29 D E Situação 31 D Ē Situação 30 ð Ē Situação 8 ð E Situação 9 D E Situação 11 D Ē Situação 10 ð Ē Situação 24 ð E Situação 25 D E Situação 27 D Ē Situação 26 97
98 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 5 Variáveis 98
99 Hexas (1) ð D ð D ð D ð D Região Região ð D ð D ð D ð D Região Região 99
100 Hexas (2) ð D ð D ð D ð D Região Região D ð D ð D ð D ð D Região Região ð 100
101 Hexas (3) ð D ð D Região E ð D ð D Região Ē 101
102 Oitavas (1/10) ð D ð D ð D ð D Região. Região. ð D ð D ð D ð D Região. Região. 102
103 Oitavas (2/10) ð D ð D ð D ð D Região. Região. ð D ð D ð D ð D Região. Região. 103
104 Oitavas (3/10) ð D ð D ð D ð D Região.D Região.ð ð D ð D ð D ð D Região.D Região.ð 104
105 Oitavas (4/10) ð D ð D ð D ð D Região.E Região.Ē ð D ð D ð D ð D Região.E Região.Ē 105
106 Oitavas (5/10) ð D ð D ð D ð D Região. Região. ð D ð D ð D ð D Região. Região. 106
107 Oitavas (6/10) ð D ð D ð D ð D Região.D Região.ð ð D ð D ð D ð D Região.D Região.ð 107
108 Oitavas (7/10) ð D ð D ð D ð D Região.E Região.Ē ð D ð D ð D ð D Região.E Região.Ē 108
109 Oitavas (8/10) ð D ð D ð D ð D Região.D Região.ð ð D ð D ð D ð D Região.D Região.ð 109
110 Oitavas (9/10) ð D ð D ð D ð D Região.E Região.Ē ð D ð D ð D ð D Região.E Região.Ē 110
111 Oitavas (10/10) ð D ð D ð D ð D Região D.E Região D.Ē ð D ð D ð D ð D Região ð.e Região ð.ē 111
112 Exemplo: Simplifique o ircuito representado pelo diagrama ð D ð D
113 Exemplo: 2 uadras ð D ð D
114 Exemplo: 2 uadras, 5 Pares ð D ð D Ē E Ē S=.. +.ð.e +..ð.ē +..D.E +...ð +..D.Ē +..D.Ē 114
115 Exercício ð D ð D
116 Solução ð D ð D Ē E Ē S=.E +.D.Ē +..ð.ē 116
117 asos Sem Simplificação Seja a expressão S =. +. o tentar simplificar a expressão pelo diagrama de Veitch-Karnaugh, nota-se que não é possível agrupar termos Nesse caso, a expressão dada já se encontra minimizada O mesmo ocorre com a expressão S =. +. ue também se encontra minimizada
118 asos Sem Simplificação O mesmo ocorre nas duas situações seguintes, que também não admitem simplificação Estes casos também ocorrem para 4 ou mais variáveis de entrada
119 Outra Maneira de Utilização Outra maneira de utilizar um diagrama Veitch-Karnaugh consiste em utilizar o complemento da expressão ssim, somente são considerados os casos onde a expressão S=0 om isso, têm-se o complemento da função, que precisa, portanto, ser invertida Isso corresponde a utilizar De Morgan 119
120 Diagrama de Veitch-Karnaugh pelo omplemento Usando o diagrama pelo método convencional, obtém-se S = + Situação S
121 Diagrama de Veitch-Karnaugh pelo omplemento Usando o diagrama pelo método convencional, obtém-se S = + Usando o complemento, tem-se S =. Portanto, S = (.) plicando-se De Morgan na expressão acima, tem-se S = (.) = + Situação S
122 Resumo Neste apresentação foram vistos os postulados e propriedades da álgebra de oole É importante lembrar que qualquer expressão booleana pode ser escrita de forma padronizada, obtida a partir da tabela verdade Produto de Maxtermos Soma de Mintermos Uma vez obtida a expressão booleana de um circuito, é possível realizar simplificações que visam reduzir redução de custo de fabricação dos circuitos Fatoração (simplificação algébrica) Diagrama de Veitch-Karnaugh (simplificação visual) 122
123 opyright presentação 2012 por José ugusto aranauskas Universidade de São Paulo Professores são convidados a utilizarem esta apresentação da maneira que lhes for conveniente, desde que esta nota de copyright permaneça intacta. Slides baseados em: Idoeta, I.V. & apuano, F.G.; Elementos de Eletrônica Digital, 12ª. edição, Érica, E. Mendelson; Álgebra booleana e circuitos de chaveamento, McGraw-Hill,
Apostila Mapas de Veitch-Karnaugh
Apostila Mapas de Veitch-Karnaugh Álgebra de Boole e Simplificação de Circuitos Lógicos... 3 Variáveis e Expressões na Álgebra de Boole... 3 Postulados... 3 Postulados da Complementação... 3 Postulado
ELETRÔNICA DIGITAL Aula 4-Álgebra de Boole e Simplificações de circuitos lógicos
ELETRÔNICA DIGITAL Aula 4-Álgebra de Boole e Simplificações de circuitos lógicos Prof.ª Eng. Msc. Patricia Pedroso Estevam Ribeiro Email: patriciapedrosoestevam@hotmail.com 08/10/2016 1 Introdução Os circuitos
Tabela 1 - Minitermos e Maxtermos para uma função de 3 variáveis.
Curso Técnico em Eletrotécnica Disciplina: Automação Predial e Industrial Professor: Ronimack Trajano 1 FORMAS CANÔNICAS A lógica estruturada é baseada na capacidade de escrever equações booleanas de maneira
CIRCUITOS DIGITAIS I
Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Sinop Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas CIRCUITOS DIGITAIS I ROGÉRIO LÚCIO LIMA Sinop Janeiro de 2017 Simplificação de Expressões Booleanas através
Utiliza variáveis binárias, i.e., que só podem assumir um de dois valores: {0,1}; {Low,High}; {True,False}; etc.
Álgebra de oole binária através do recurso à utiliação de funções booleanas (ou funções lógicas) é a principal teoria de suporte às metodologias de síntese e análise de circuitos digitais. Utilia variáveis
Simplificação de expressões booleanas através dos diagramas de Veitch-Karnaugh Aprendemos até aqui, simplificação de expressões mediante a utilização
Simplificação de expressões booleanas através dos diagramas de Veitch-Karnaugh Aprendemos até aqui, simplificação de expressões mediante a utilização dos postulados, propriedades e identidades da álgebra
Lógica Digital e Álgebra Booleana
Roteiro Lógica Digital e Álgebra ooleana Sistemas Lógicos 27/ Leandro Galvão D/UFM www.dcc.ufam.edu.br/~dcc_sl galvao@dcc.ufam.edu.br Portas LógicasL hips Digitais ásicos Álgebra ooleana Operação lógica
Circuitos Combinacionais
Circuitos Combinacionais Nesta apresentação será fornecida uma introdução aos circuitos cuja saída depende exclusivamente das variáveis de entrada: os circuitos combinacionais José ugusto aranauskas Departamento
Histórico. George Boole ( ) Claude Elwood Shannon ( )
Histórico Em meados do século XIX o matemático inglês George oole desenvolveu um sistema matemático de análise lógica Em meados do século XX, o americano Claude Elwood Shannon sugeriu que a Álgebra ooleana
ÁLGEBRA DE BOOLE POSTULADOS, TEOREMAS E PROPRIEDADES
ÁLGEBRA DE BOOLE POSTULADOS, TEOREMAS E PROPRIEDADES A aplicação principal da álgebra de Boole é o estudo e a simplificação algébrica de circuitos lógicos. As variáveis booleanas podem assumir apenas dois
Arquitetura e Organização de Computadores. Álgebra Booleana
Arquitetura e Organização de Computadores Álgebra Booleana 1 Histórico e Propriedades Formalizada por George Boole em 1854 Usada por Shannon em 1938 para provar propriedades de circuitos de chaveamento
Aula 13. Conceitos Básicos de Eletrônica Digital Circuitos Combinacionais. Prof. Dr. Dilermando Piva Jr.
13 Aula 13 Conceitos Básicos de Eletrônica Digital Circuitos Combinacionais Prof. Dr. Dilermando Piva Jr. Site Disciplina: http://fundti.blogspot.com.br/ Tópicos Álgebra de Boole Portas Lógicas Circuitos
Circuitos Sequenciais: Circuitos Combinacionais: SISTEMAS DIGITAIS. Módulo 2 Prof. Celso
1 Circuitos Combinacionais: São circuitos cuja saída depende apenas dos valores das entradas. Circuitos Sequenciais: São circuitos cuja saída depende tanto do valor atual das entradas quanto do valor anterior
Organização e Arquitetura de Computadores I
Universidade Federal de Campina Grande Departamento de Sistemas e Computação Curso de Bacharelado em Ciência da Computação Organização e Arquitetura de Computadores I Circuitos Lógicos L Combinacionais
Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh
Formas Canônicas e Mapas de Karnaugh Prof. Ohara Kerusauskas Rayel Disciplina de Eletrônica Digital - ET75C Curitiba, PR 16 de abril de 2015 1 / 23 Introdução Manipulação Algébrica não é trivial. Requer
Apostila de Sistemas Digitais e Computadores MÓDULOS I & II: REVISÃO ÁLGEBRA DE BOOLE.
INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO METROPOLITANO DE ANGOLA DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS E ENGENHARIAS Apostila de Sistemas Digitais e Computadores MÓDULOS I & II: REVISÃO ÁLGEBRA DE BOOLE. SDC LCC1N
Álgebra de Boole. Nikolas Libert. Aula 4B Eletrônica Digital ET52C Tecnologia em Automação Industrial
Álgebra de Boole Nikolas Libert Aula 4B Eletrônica Digital ET52C Tecnologia em Automação Industrial Álgebra de Boole Álgebra de Boole Augustus De Morgan (1806-1871) e George Boole (1815-1864). Desenvolvimento
Simplificação e Mapa de Karnaugh. Sistemas digitais
Simplificação e Mapa de Karnaugh Sistemas digitais Agenda } Simplificação de circuitos lógicos } Álgebra booleana X mapa de Karnaugh } Derivação de expressões } Soma de produtos X Produto da soma } Mapa
Unidade IV. Unidade III. Na álgebra booleana, estão todos os fundamentos da eletrônica digital.
Unidade IV 9 INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA DE BOOLE Na álgebra booleana, estão todos os fundamentos da eletrônica digital 91 Operador binário O sistema numérico surgiu ao longo da história do desenvolvimento humano
Capítulo 09: Mintermos, Maxtermos e Mapa de Karnaugh
ELE 0316 / ELE 0937 Eletrônica Básica Departamento de Engenharia Elétrica FEIS - UNESP Capítulo 09: Mintermos, Maxtermos e Mapa de Karnaugh 1. 1 9.1 - Mintermo / Maxtermo São duas formas padrões para expressar
Tecnologia dos Computadores 2002/2003. Exercícios
Introdução à Álgebra de Boole 1 Introdução Em 1854, George Boole, um matemático inglês, inventou um sistema algébrico de dois valores, cujo resultado da sua evolução até aos dias de hoje se dá o nome de
Capítulo II Álgebra Booleana e Minimização Lógica
Capítulo II Álgebra Booleana e Minimização Lógica 1 Introdução Vimos no Capítulo I que a unidade básica construtiva de um sistema digital é a Porta Lógica e que Funções Lógicas com diversas variáveis de
EXPESSÕES BOOLEANAS E MAPAS DE KARNAUGH (Kmaps) AULA 05 Arquitetura de Computadores Gil Eduardo de Andrade
EXPESSÕES BOOLEANAS E MAPAS DE KARNAUGH (Kmaps) AULA 05 Arquitetura de Computadores Gil Eduardo de Andrade O conteúdo deste documento é baseado no livro Princípios Básicos de Arquitetura e Organização
LOGIC CIRCUITS CMOS Circuitos Lógicos CMOS
LOGIC CIRCUITS CMOS Circuitos Lógicos CMOS M-1112A *Only illustrative image./imagen meramente ilustrativa./ Imagem meramente ilustrativa. EXPERIMENTS MANUAL Manual de Experimentos Manual de Experimentos
COLÉGIO DO INSTITUTO BATISTA AMERICANO PROF. ABIMAILTON PRATTI DA SILVA Rua Mariana N.º 70 Retiro Volta Redonda Telefone: (24)
COLÉGIO DO INSTITUTO BATISTA AMERICANO PROF. ABIMAILTON PRATTI DA SILVA Rua Mariana N.º 70 Retiro Volta Redonda Telefone: (24) 33381279 SOLICITAÇÃO Não temos direito autoral reservado para o presente trabalho.
Postulado da complementação
Postulado da complementação ҧ ҧ ҧ Chamaremos A de o complemento de A 1) Se A = 0 A = 1 2) Se A = 1 A = 0 LOGO ഥA = A 1) Se A = 0, temos ҧ A = 1 ҧ ҧ A = 0 2) Se A = 1 temos ҧ A = 0 ҧ ҧ A = 1 Regras da adição
Circuitos Digitais. Conteúdo. Lógica. Introdução. Tabela-Verdade. Álgebra Booleana. Álgebra Booleana / Funções Lógicas. Ciência da Computação
Ciência da Computação Álgebra Booleana / Funções Lógicas Prof. Sergio Ribeiro Material adaptado das aulas de I do Prof. José Maria da UFPI Conteúdo Introdução Álgebra Booleana Constantes e Variáveis Booleanas
Mapas de Karnaugh Prof. Rômulo Calado Pantaleão Camara. Carga Horária: 2h/60h
Mapas de Karnaugh Prof. Rômulo Calado Pantaleão Camara Carga Horária: 2h/60h Mapas de Karnaugh O mapa de Veitch-Karnaugh, ou simplesmente mapa de Karnaugh, é uma tabela montada de forma a facilitar o processo
Sistemas Digitais Universidade Católica do Salvador Professor Marco Antônio C. Câmara. Aula 03 Simplificação de Expressões Lógicas.
Sistemas Digitais Universidade Católica do Salvador Professor Marco Antônio C. Câmara Aula 03 Simplificação de Expressões Lógicas Roteiro da Aula : Nesta aula conheceremos os métodos mais utilizados para
ELETRÔNICA DIGITAL. Parte 5 Circuitos Combinacionais. Professor Dr. Michael Klug. 1 Prof. Michael
ELETRÔNICA DIGITAL Parte 5 Circuitos Combinacionais Professor Dr. Michael Klug 1 2 Qualquer circuito lógico, não importando a sua complexidade, pode ser descrito usando as três operações booleanas básicas
Circuitos Digitais. Prof. Esp. Pedro Luís Antonelli Anhanguera Educacional
Circuitos Digitais Prof. Esp. Pedro Luís Antonelli Anhanguera Educacional OBJETIVOS DA AULA : - Modelar, simplificar e implementar Circuitos Combinacionais; - Trabalhar a simplificação de expressões lógicas
Introdução à Informática. Álgebra de Boole. Ageu Pacheco e Alexandre Meslin
Introdução à Informática Álgebra de oole geu Pacheco e lexandre Meslin Objetivo da ula: Estudar os conceitos e regras que regem o projeto e funcionamento dos circuitos lógicos dos computadores digitais.
CAPÍTULO 3 PORTAS LÓGICAS E ÁLGEBRA BOOLEANA
CAPÍTULO 3 PORTAS LÓGICAS E ÁLGEBRA BOOLEANA Introdução Tabela Verdade Operações OR e AND Portas OR e AND Inversor Expressões Algébricas Portas NAND e NOR Teoremas Booleanos Introdução A álgebra booleana
Capítulo 3. Álgebra de Bool
Capítulo 3 Álgebra de Bool Adaptado dos transparentes das autoras do livro The Essentials of Computer Organization and Architecture Objectivos Compreender a relação entre lógica Booleana e os circuitos
Prof. Sérgio Rebelo. Curso Profissional Técnico de Eletrónica, Automação e Comando
Prof. Sérgio Rebelo Curso Profissional Técnico de Eletrónica, utomação e Comando Módulo I.I Circuitos Lógicos 2 Carga Horária: 25 horas Objetivos: Álgebra de oole e funções lógicas: Reconhecer o estado
Simplificação de Circuitos
Simplificação de Circuitos Nikolas Libert ula 5 Eletrônica Digital ET52C Tecnologia em utomação Industrial Diagrama de Veitch-Karnaugh Diagrama de Veitch-Karnaugh. Um diagrama ou mapa de Veitch-Karnaugh
PCS 3115 (PCS2215) Conteúdo
-Mar-8 PCS 35 (PCS225) Sistemas Digitais I Módulo 5 Álgebra Booleana Prof. Dr. Marcos A. Simplicio Jr. versão: 3. (Jan/26) Conteúdo Conceitos básicos Teoremas de variável Teoremas de 2 variáveis Teoremas
Eletrônica Digital. Funções e Portas Lógicas. Prof. Renato Moraes
Eletrônica Digital Funções e Portas Lógicas Prof. Renato Moraes Introdução Em 1854, o matemático inglês George Boole apresentou um sistema matemático de análise lógica conhecido como Álgebra de Boole.
Técnicas Digitais para Computação
INF 8 Técnicas Digitais para Computação Minimização de Funções Booleanas Aula Técnicas Digitais. Mapas de Karnaugh com 2 variáveis Diagrama onde cada célula corresponde a um mintermo Exemplo com 2 variáveis
PCS 3115 (PCS2215) Sistemas Digitais I. Módulo 05 Álgebra Booleana. Prof. Dr. Edison Spina. Sobre o material do Prof. Dr. Marcos A. Simplicio Jr.
PCS 35 (PCS225) Sistemas Digitais I Módulo 5 Álgebra Booleana Prof. Dr. Edison Sobre o material do Prof. Dr. Marcos A. Simplicio Jr. versão: 5 (Mar/28) Conceitos básicos Conteúdo Teoremas de variável Teoremas
CAPÍTULO 1 REVISÃO DE LÓGICA COMBINACIONAL
1 CAPÍTULO 1 REVISÃO DE LÓGICA COMBINACIONAL Sumário 1.1. Sistemas de Numeração... 3 1.1.1. Conversão Decimal Binária... 3 1.1.2. Conversão Binária Decimal... 3 1.1.3. Conversão Binária Hexadecimal...
Circuitos Digitais Álgebra de Boole
Circuitos Digitais Álgebra de Boole Álgebra de Boole (ou Booleana) Desenvolvida pelo matemático britânico George Boole para estudo da lógica. Definida sobre um conjunto de dois elementos: (falso, verdadeiro)
Circuitos Sequenciais
Circuitos Sequenciais Tópicos: Contadores Memórias Circuitos Sequenciais Teoremas DeMorgan Mapas de Karnaugh Multiplexadores Flip Flops Flip Flop Os flip flops são unidades básicas de memória. Cada circuito
Sistemas Digitais Álgebra de Boole Binária e Especificação de Funções
Sistemas Digitais Álgebra de Boole Binária e Especificação de Funções João Paulo Baptista de Carvalho (Prof. Auxiliar do IST) joao.carvalho@inesc.pt Álgebra de Boole Binária A Álgebra de Boole binária
Figura 1 - Display de 7 segmentos
Lista de exercicio para revisão Um display de 7 segmentos é um dispositivo eletrônico composto por sete led s com formato de segmento, posicionados de modo a possibilitar a formação de um algarismo decimal
Teoremas de De Morgan
Teoremas de De Morgan Augustus De Morgan - Matemático e lógico britânico. Concebeu as Leis de De Morgan e foi o primeiro a introduzir o termo e tornar rigorosa a idéia de indução matemática. Fonte:http://pt.wikipedia.org/wi
Sistemas Digitais. 6 Funções lógicas
Para o estudo das funções lógicas usa-se a álgebra de Boole, assim chamada em homenagem ao seu criador George Boole. A álgebra de Boole opera com relações lógicas e não com relações quantitativas como
Mapas de karnaugh. Mapas de Karnaugh para funções de duas variáveis. m 0 m 1. m 2 m 3 X Y. Mapas de Karnaugh para funções de três variáveis
Mapas de karnaugh ESTV-ESI-Sistemas Digitais-Mapas de Karnaugh 1/7 onstitui um método gráfico/tabular de representação de funções e de aplicação sistemática do processo de simplificação algébrica. Permite
Aula 07 : Portas Lógicas e Álgebra Booleana
ELE 0316 / ELE 0937 Eletrônica Básica Departamento de Engenharia Elétrica FEIS - UNESP Aula 07 : Portas Lógicas e Álgebra Booleana 1. 1 7.1 Portas Lógicas e Expressões Algébricas 1. 2 7.1 Portas Lógicas
Álgebra de Boole. Álgebra de Boole - axiomas
854 - George Boole Álgebra de Boole formular proposições como V ou F combinar proposições avaliar a sua veracidade ou falsidade 938 - (Bell Labs) Claude Shannon adaptou a álgebra de Boole à análise de
FUNDAMENTOS DA AUTOMAÇÃO Funções e Portas Lógicas. Prof. Luiz Fernando Laguardia Campos FMS
FUNDAMENTOS DA AUTOMAÇÃO Funções e Portas Lógicas Prof. Luiz Fernando Laguardia Campos FMS lflcampos@machadosobrinho.com.br Funções e Portas Lógicas Funções lógicas e, ou, não, ne e nou. Nas funções lógicas,
MAPAS DE KARNAUGH A.B A.B A. B A. B A.B C. D C.D
Eletrônica Método de Quine-Mcluskey Prof. Luiz Marcelo hiesse da Silva MAPAS DE KARNAUGH Os Mapas de Karnaugh são uma representação gráfica de uma tabela verdade de modo a tornar mais visível a soma dos
1. [1 val] Converta para base 2 o número hexadecimal (base 16) B06E. Justifique.
![1. [1 val] Converta para base 2 o número hexadecimal (base 16) B06E. Justifique.](/thumbs/82/86362518.jpg "1. [1 val] Converta para base 2 o número hexadecimal (base 16) B06E. Justifique.")
Teste Sistemas Digitais - MEEC 8/9. [ val] Converta para base o número hexadecimal (base 6) 6E. Justifique. 6E = {{{{ 6 E Como 6= é uma potência de, a conversão entre base 6 e base pode fazer-se directamente:
Revisão: família lógica TTL
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETROTÉCNICA ELETRÔNICA DIGITAL - ET75C Prof.ª Elisabete Nakoneczny Moraes Aula 3- TÉCNICAS DE SIMPLIFICAÇÃO Soma dos Produtos, Produto
Álgebra de Boole (ou Boleana) Circuitos Digitais Portas Lógicas e Álgebra de Boole. Álgebra de Boole: Tabela Verdade. Álgebra de Boole: funções
6/3/2 Circuitos Digitais Portas Lógicas e Álgebra de Boole Prof. Abel Guilhermino Aula 3 (ou Boleana) Desenvolvida pelo matemático britânico George Boole para estudo da lógica. Definida sobre um conjunto
Sistemas Digitais Módulo 5 Teoremas Lógicos, Simplificação Algébrica e Projeto de Circuitos Lógicos
Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Computação Sistemas Digitais Módulo 5 Teoremas Lógicos, Simplificação Algébrica e Projeto de Circuitos Lógicos Graduação em Sistemas de Informação Prof.
Sistemas Digitais / Sistemas Digitais I 3 Simplificação de funções
Simplificação de funções lógicas com mapas de Karnaugh característica essencial dos mapas de Karnaugh é que quadrículas geometricamente adjacentes na horizontal ou na vertical (mas não na diagonal) correspondem
Creative Commons License: Atribuição - Uso não comercial - Permanência da Licença
Álgebra ooleana MT115 Introdução ao Processamento de Dados Professor: Ibirisol Fontes Ferreira DCC: Departamento de Ciência da Computação Todo o material aqui disponível pode, posteriormente,
LABORATÓRIO I CONCEPÇÃO DE UM CIRCUITO COMPARADOR SIMPLES USANDO LÓGICA COMBINATÓRIA. Nome dos alunos
LABORATÓRIO I CONCEPÇÃO DE UM CIRCUITO COMPARADOR SIMPLES USANDO LÓGICA COMBINATÓRIA Nome dos alunos Data do laboratório Turno de laboratório (dia da semana e sala) INTRODUÇÃO O objectivo deste trabalho
24/08/2010 ELETRÔNICA DIGITAL
4/8/ ELETRÔNIIGITL Parte 5 Mapas de Karnaugh Prof.: Stefano É um método gráfico usado para simplificar uma equação lógica ou para converter uma tabelaverdade no seu circuito lógico correspondente, de uma
Eletrônica Digital 1 Curso Técnico Eletrônica. Fábio Kurt Schneider
Eletrônica Digital Curso Técnico Eletrônica Fábio Kurt Schneider Funções Lógicas Álgebra Boolena Soma de Produtos e Produto de Somas Aritmética binária ESTE MATERIAL ESTÁ BASEADO EM SLIDES PREPARADOS PELO
SIMPLIFICAÇÃO GRÁFICA DE EXPRESSÕES BOOLEANAS Minitermos e Maxitermos
SIMPLIFICAÇÃO GRÁFICA DE EXPRESSÕES BOOLEANAS Minitermos e Maxitermos Além da simplificação algébrica, existe outra forma bem mais prática, que é a simplificação gráfica, através dos mapas de Veitch-Karnaugh,
Descrevendo Circuitos Lógicos Capítulo 3 Parte II
Descrevendo Circuitos Lógicos Capítulo 3 Parte II Slides do Prof. Gustavo Fernandes de Lima slide 1 Os temas abordados nesse capítulo são: Usar a álgebra booleana para simplificar
(A1) As operações + e são comutativas, ou seja, para todo x e y em A, x + y = y + x e x y = y x
Notas de aula de MAC0329 (2003) 17 3 Álgebra Booleana Nesta parte veremos uma definição formal de álgebra booleana, a qual é feita via um conjunto de axiomas (ou postulados). Veremos também algumas leis
Lógica Boolena. Aula 05. Prof. Msc. Arthur G. Bartsch
Lógica Boolena Aula 05 Prof. Msc. Arthur G. Bartsch Departamento de engenharia elétrica DEE Centro de ciências tecnológicas CCT Universidade do estado de Santa Catarina UDESC Álgebra de Boole ALB0001 arthur.bartsch@udesc.br
APOSTILA DE TÉCNICAS DIGITAIS LDM1 PROF ANDRÉ GARCIA
POSTIL DE TÉCNICS DIGITIS LDM PROF NDRÉ GRCI. SISTEMS DE NUMERÇÃO Sistemas de numeração são mecanismos usados para numerar determinados eventos, através de uma lei de formação. Todos os sistemas que a
Descrevendo Circuitos Lógicos (Continuação) Teoremas Booleanos. CPCX UFMS Slides: Prof. Renato F. dos Santos Adaptação: Prof. Fernando Maia da Mota
Descrevendo Circuitos Lógicos (Continuação) Teoremas Booleanos CPCX UFMS Slides: Prof. Renato F. dos Santos Adaptação: Prof. Fernando Maia da Mota 3.10 Teoremas booleanos Investigaremos os vários teoremas
PCS 3115 Sistemas Digitais I Mapas de Karnaugh Prof. Dr. Marcos A. Simplicio Jr.
PCS 3115 Sistemas Digitais I Mapas de Karnaugh Prof. Dr. Marcos A. Simplicio Jr. Adaptado por Glauber De Bona (2018) 2 Objetivos da aula Minimização de circuitos digitais combinatórios. Mapas de Karnaugh:
Abaixo descreveremos 6 portas lógicas: AND, OR, NOT, NAND, NOR e XOR.
9. Apêndice - Portas e Operações Lógicas Uma porta lógica é um circuito eletrônico (hardware) que se constitui no elemento básico de um sistema de computação. A CPU, as memórias, as interfaces de E/S são
Prof. Leonardo Augusto Casillo
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO Aula 6 Álgebra de Boole Prof. Leonardo Augusto Casillo Álgebra de Boole (ou Boleana) Desenvolvida pelo matemático britânico George
PORTAS NOR e NAND OR - AND - NOT. Considerando as entradas A e B, teremos na saída a complementação ou negação das mesmas.
PORTAS NOR e NAND As portas NOR e NAND são obtidas a partir da complementação das funções OR e AND. Podemos então dizer que o operador booleano lógico NOR é a negação do operador booleano OR enquanto que
Teoria Elementar dos Conjuntos
Teoria Elementar dos Conjuntos Última revisão em 27 de fevereiro de 2009 Este texto é uma breve revisão sobre teoria elementar dos conjuntos. Em particular, importam-nos os aspectos algébricos no estudo
Teoria Elementar dos Conjuntos
Teoria Elementar dos Conjuntos Este capítulo visa oferecer uma breve revisão sobre teoria elementar dos conjuntos. Além de conceitos básicos importantes em matemática, a sua imprtância reside no fato da
Licenciatura em Engenharia Informática e de Computação. Electrónica Digital (2000/2001) CORRECÇÃO
Licenciatura em Engenharia Informática e de omputação Electrónica igital (2/2) ª chamada - 6/Janeiro/2 ORREÇÃO uração: 2 horas, sem consulta. ntes de começar, tenha em atenção as seguintes recomendações:
Prof. Leonardo Augusto Casillo
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO Aula 1 Sistemas de numeração posicional Aula 2 Modificadores e conectores lógicos Prof. Leonardo Augusto Casillo OBJETIVOS DO CURSO
MATEMÁTICA I. Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari
MATEMÁTICA I Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari amanda.perticarrari@unesp.br www.fcav.unesp.br/amanda MATEMÁTICA I AULA 1: PRÉ-CÁLCULO Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari CONJUNTOS NUMÉRICOS
ELETRÔNICA DIGITAL. Parte 5 Mapas de Karnaugh. Prof.: Michael. 1 Prof. Michael
ELETRÔNIC DIGITL Parte 5 Mapas de Karnaugh Prof.: Michael 1 É um método gráfico usado para simplificar uma equação lógica ou para converter uma tabelaverdade no seu circuito lógico correspondente, de uma
6. Análise Lógica Combinacional
Objetivos 6. Análise Lógica Combinacional Analisar circuitos lógicos combinacionais básicos, tais como AND-OR, AND-OR-inversor, EX-OR e EX- NOR Usar circuitos AND-OR e AND-OR-inversor para implementar
Sistemas Digitais I LESI :: 2º ano
Sistemas Digitais I LESI :: 2º ano - Álgebra António Joaquim Esteves João Miguel Fernandes www.di.uminho.pt/~aje Bibliografia: secções 3. e 4., DDPP, Wakerly DEP. DE INFORMÁTICA ESCOLA DE ENGENHARIA UNIVERSIDADE
4. Desenhe um digrama esquemático para cada uma das funções abaixo. a.
Eletrônica Digital Lista de Exercícios 1. Preencha a tabela abaixo para cada uma das funções indicadas. x 2 x 1 x 0 x 2 x 1 x 2 +x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 + x 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1
Laboratório 1 (Trabalho sem Relatório) Semana 20 de Setembro a 24 de Setembro
Laboratório (Trabalho sem Relatório) Semana 20 de Setembro a 24 de Setembro Verificação de equivalência de representações através de expressões booleanas, tabelas de verdade e esquemáticos. Contacto com
Circuitos Lógicos Combinacionais (parte 2) CPCX UFMS Slides: Prof. Renato F. dos Santos Adaptação: Prof. Fernando Maia da Mota
Circuitos Lógicos Combinacionais (parte 2) CPCX UFMS Slides: Prof. Renato F. dos Santos Adaptação: Prof. Fernando Maia da Mota 4.5 Método do Mapa de Karnaugh Método gráfico usado para simplificar uma equação
Notas de aula de MAC0329 Álgebra Booleana e Aplicações
Notas de aula de MAC0329 Álgebra Booleana e Aplicações Nina S. T. Hirata Depto. de Ciência da Computação IME / USP Este texto é uma referência-base para o curso de MAC0329 (Álgebra Booleana e Aplicações).
ORIENTAÇÃO. Leia o Guia Logístico de Avaliação UNITINS publicado no site
!"#$%&"$!'!'"& '&()**+,(,-$%.!! /)(,-$'(),*0)**+ /'$/1'"%%!2%/! )**+, ORIENTAÇÃO Leia o Guia Logístico de Avaliação UNITINS publicado no site www.educon.br/unitins ATENÇÃO: 1. Verifique se a numeração
ÁLGEBRA DE BOOLE B.1 - DIAGRAMA DE VENN
ÁLGEBRA DE BOOLE B.1 - DIAGRAMA DE VENN No século XIX Georges Boole desenvolveu uma teoria matemática com base nas leis da lógica - a Álgebra de Boole - cuja aplicação nos circuitos digitais e computadores
(A1) As operações + e são comutativas, ou seja, para todo x e y em A, x + y = y + x e x y = y x
Notas de aula de MAC0329 (2003) 17 3 Álgebra Booleana Nesta parte veremos uma definição formal de álgebra booleana, a qual é feita via um conjunto de axiomas (ou postulados). Veremos também algumas leis
Eletrônica Digital. Lógica Booleana e Circuitos Lógicos FACULDADE FUCAPI
FACULDADE FUCAPI Eletrônica Digital Lógica Booleana e Circuitos Lógicos, M.Sc. Doutorando em Informática (UFAM) Mestre em Engenharia Elétrica (UFAM) Engenheiro de Telecomunicações (FUCAPI) Introdução 2
Introdução à Informática. Funções Lógicas. Ageu Pacheco e Alexandre Meslin
Introdução à Informática Funções Lógicas Ageu Pacheco e Alexandre Meslin Objetivo da Aula: Estudar os principais métodos empregados na simplificação/minimização de funções lógicas (booleanas( booleanas).
Simplificação de Expressões Booleanas e Circuitos Lógicos
Simplificação de Expressões Booleanas e Circuitos Lógicos Margrit Reni Krug Julho/22 Tópicos Revisão Álgebra Booleana Revisão portas lógicas Circuitos lógicos soma de produtos produto de somas Simplificação
Sistemas Digitais. Revisão Portas Lógicas. Isaac Maia
Sistemas Digitais Revisão Portas Lógicas Isaac Maia Portas Lógicas - Revisão Conteúdo Introdução Notações Tabela Verdade Diagramas de Tempo Porta OR(Operação OU) Porta AND(Operação E) Porta NOT(Inversor)
Álgebra de Boole. João Paulo Cerquinho Cajueiro 19 de agosto de 2009
Álgebra de Boole João Paulo Cerquinho Cajueiro 19 de agosto de 2009 A álgebra de Boole foi desenvolvida por George Boole(1815 1864) em seu livro An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded
Mapa de Karnaugh. UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR Faculdade de Engenharia Departamento de Informática
Mapa de Karnaugh Nuno Pombo / Miguel Neto Arquitectura Computadores I 2014/2015 15 Simplificação Na forma mínima soma de produtos só devem aparecer termos correspondentes a grupos primários. Cada célula
Disciplina: Eletrônica Digital Aluno: Nº: Código: EL52M Turma: Prof: Gustavo B. Borba Código: Data: / /
Ministério da Educação Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná Departamento Acadêmico de Eletrônica DAELN Curso Superior de Tecnologia em Mecatrônica Disciplina: Eletrônica Digital Aluno: Nº:
UNIP Ciência da Computação Prof. Gerson Pastre de Oliveira
Aula 6 Lógica Matemática Álgebra das proposições e método dedutivo As operações lógicas sobre as proposições possuem uma série de propriedades que podem ser aplicadas, considerando os conectivos inseridos
Minimização de Expressões Método de Karnaugh
Minimização de Expressões Método de Karnaugh Conceitos básicos Método de Karnaugh Mapas de Karnaugh de três variáveis 2 1 A minimização de uma expressão lógica é um processo que, para uma função, permita
INSTITUTO FEDERAL DE. BAHIA Campus Santo Amaro. Curso de Eletromecânica. Eletrônica Digital. Prof.: Elvio Prado da Silva
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA BAHIA Campus Santo Amaro Curso de Eletromecânica Introdução a: Eletrônica Digital Prof.: Elvio Prado da Silva 27 de abril de 2012 4 a Edição Sumário
PCS 3115 Sistemas Digitais I Análise e Síntese de Circuitos Combinatórios Prof. Dr. Marcos A. Simplicio Jr.
PCS 3115 Sistemas Digitais I Análise e Síntese de Circuitos Combinatórios Prof. Dr. Marcos A. Simplicio Jr. Adapatdo por Glauber De Bona (2018) O que vimos até agora Sistemas de numeração posicionais,
F.1 - FORMAS STANDARD PARA FUNÇÕES LÓGICAS
FUNÇÕES LÓGIAS F. - FORMAS STANDARD PARA FUNÇÕES LÓGIAS Para a simplificação eficaz de expressões booleanas definem-se 2 formas standard nas quais as expressões podem ser escritas. F.. - Soma de produtos
Automação Industrial Parte 8
Automação Industrial Parte 8 Prof. Ms. Getúlio Teruo Tateoki http://www.getulio.eng.br/meusalunos/autind.html -Vamos supor que seja necessário determinar a função lógica interna de um sistema desconhecido.