REPRESENTAÇÃO TABULAR DE UMA FUNÇÃO

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2 REPRESENTÇÃO TULR E UM FUNÇÃO 2 2 ENTRS (variáveis independentes) FUNÇÃO Representação de uma função F (,, ) de 3 variáveis em diagrama de blocos. F SÍ (variável dependente) representação mais elementar duma função lógica é a tabela de verdade, que indica o valor da função para cada combinação de entradas possível. tabela de verdade duma função de n variáveis possui 2n linhas. Enumeram se as linhas pelos equivalentes decimais da configuração de variáveis em cada linha. numeração só faz sentido depois de atribuídos pesos às variáveis. variável maisàesquerdanatabelaéaque tem maior peso (4), e a variável mais à direita a que tem o menor peso (). É esta a regra seguida doravante. numeração das linhas não faz parte da tabela. ORENÇÃO F Representação tabular da função F. irectamente da tabela de verdade (sem introduzir simplificação), podem extrair se dois tipos de expressões booleanas da função: extracção pelos uns (s) para se construir uma soma de produtos canónica (soma de mintermos, forma N OR); extracção pelos zeros (0s) para se construir um produto de somas canónico (produto de maxtermos,formaor N). Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

3 REPRESENTÇÃO LGÉRI E UM FUNÇÃO EM SOM E MINTERMOS 2 3 Na extracção da expressão algébrica pelos s constrói se uma soma dos mintermos que correspondem às linhas da tabela de verdade para as quais a função é. Um mintermo (produto canónico, implicante canónico ou termo minimal) representa uma combinação das variáveis binárias na tabela de verdade da função. ada mintermo é designado por m i em que o índice i indica o número decimal equivalente à combinação binária por ele representada (número da respectiva linha da tabela). Uma função de n variáveis tem 2 n mintermos. Num mintermo m i todas as variáveis aparecem exactamente uma vez, complementadas ou não: uma variável é complementada se o bit correspondente na representação binária de i for 0, caso contrário a variável é não complementada. Por exemplo o mintermo m 3 corresponde ao da quarta linha da tabela e é representado por. MINTERMO F EXPRESSÃO LGÉRI O MINTERMO m m m m 3 0 m m 5 0 m 6 0 m 7 expressão algébrica de F na forma de soma de mintermos, também designada forma canónica N OR ou disjuntiva, éentão: F (,, ) = = m 3 + m 5 + m 6 + m 7 = = m (3, 5, 6, 7) ou simplesmente = (3, 5, 6, 7) Representação algébrica de F em soma de mintermos formacanónican OR ou disjuntiva. Representação tabular da função F assinalandose na coluna da direita a expressão algébrica dos mintermos para os quais a função é. notação m (3, 5, 6, 7) identifica uma lista de mintermos erepresentaasomadosmintermos3,5, 6e7envolvendoasvariáveis,e. À lista de mintermos também se dá o nome de ON SET da função lógica. forma canónica N OR é única para uma dada função F, mas a sua expressão algébrica não é a mais simples possível para a função. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

4 REPRESENTÇÃO LGÉRI E UM FUNÇÃO EM PROUTO E MXTERMOS 2 4 Na extracção pelos 0s constrói se um produto dos maxtermos que correspondem às linhas da tabela de verdade para as quais a função é 0. Um maxtermo (ou termo maximal) representa uma combinação das variáveis binárias na tabela de verdade da função. Os maxtermos podem ser numerados à semelhança do que se fez para os mintermos: cada maxtermo é designado por M i em que o índice i indica o número decimal equivalente à combinação binária por ele representada (número da respectiva linha da tabela). Uma função de n variáveis tem 2 n maxtermos. Quando se lêem somas nas tabelas de verdade para construir um produto de maxtermos as variáveis que se mantêm em 0 são lidas na forma não negada, e as que se mantêm em são lidas na forma negada. Isto é de esperar porque a leitura pelos 0 equivale à leitura pelos s da função invertida F. expressão obtida para F deve portanto ser novamente invertida para ser apresentada na forma normal, o que levará, pelas leis de e Morgan, à expressão algébrica de F na forma de soma de maxtermos, também designada forma canónica OR N ou conjuntiva:: F (,, ) = ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) = M 0. M. M 2. M 4 = = M (0,, 2, 4) ou simplesmente = (0,, 2, 4) Representação algébrica de F em produto de maxtermos forma canónica OR N ou conjuntiva. MXTERMO F EXPRESSÃO LGÉRI O MXTERMO M M M M 3 0 M M 5 0 M 6 0 M 7 Representação tabular da função F assinalando se a expressão algébrica dos maxtermos para os quais a função é 0. notação M (0,, 2, 4) identifica uma lista de maxtermos e representa o produto dos maxtermos 0,, 2 e 4 envolvendo as variáveis, e. À lista de maxtermos também se dá o nome de OFF SET da função lógica. forma canónica OR N é única para uma dada função F, mas a sua expressão algébrica não é a mais simples possível para a função. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

5 TERMINOLOGI 2 5 São utilizadas 5 representações possíveis de uma função lógica neste capítulo: Tabela de verdade. Mapa de Karnaugh. Soma canónica (forma canónica disjuntiva ou N OR). Lista de Mintermos. Produto canónico (forma canónica conjuntiva ou OR N e dual da soma canónica). Lista de Maxtermos (dual da Lista de Mintermos). Na representação algébrica de funções salienta se que uma função booleana tem: uma só forma canónica disjuntiva, uma só forma canónica conjuntiva, várias formas normais disjuntivas (somas de produto), várias formas normais conjuntivas (produtos de somas). Terminologia: onstante: 0 (F) ou (T). Literal: uma variável ou o seu complemento (negação): e são literais. Termo Produto (ou Termo de Produto): N de um ou mais literais como,,,. Termo Soma (ou Termo de Soma): OR de um ou mais literais como, +, + +, + +. Termo Normal: um termo produto ou soma em que nenhuma variável aparece mais que uma vez: se aparece uma variável, não aparece o seu complemento e vice versa. Mintermo (ou termo minimal): um termo produto normal que engloba todas as variáveis independentes (entradas primárias). Maxtermo (ou termo maximal): um termo soma normal que inclui todas as variáveis independentes Soma canónica: soma de Mintermos. Produto canónico: produto de Maxtermos. Soma de Produtos (SOP): uma expressão lógica com a estrutura de uma soma (OR) de termos produto (N) forma normal disjuntiva. Produto de somas (POS): uma expressão lógica com a estrutura de um produto (N) de termos soma (OR) forma normal conjuntiva. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

6 MP E KRNUGH 2 6 m 0 m m 4 m 5 m 2 m 3 F (4) () m 0 m 2 m 3 m m 4 m 6 m 7 m 5 (2) O mapa de Karnaugh (já abordado no capítulo anterior), é uma reordenação da tabela de verdade de uma função em duas dimensões. ada quadrado corresponde a uma linha da tabela de verdade e inscreve se nele o valor que a função toma para essa configuração: 0 ou. Os quadrados que só diferem numa variável ficam em quadrículas adjacentes. m 6 m 7 Visualização do mapa de Karnaugh a 3 dimensões. Uma forma de desenhar o Mapa de Karnaugh genérico de uma função a 3 variáveis. Maurice Karnaugh 924 (New York US) Para uma função de 3 variáveis cada quadrado tem 3 quadrados adjacentes. Por exemplo: o quadrado correspondente ao termo m 5 tem como posições adjacentes os quadrados m,m 7 em 4. Tudo se passa como se as posições laterais extremas no mapa estivessem encostadas, como mostra o desenho na perspectiva de 3 dimensões. Genericamente um termo com n literais tem n adjacentes possíveis. Os quadrados a amarelo situados por baixo do traço (a vermelho) de referência de cada variável correspondem às configurações em que ela assume o valor na tabela de verdade. Os quadrados a verde correspondem às configurações em que ela variável assume o valor 0 na tabela de verdade. O diagrama de Veitch foi um embrião do que viria a ficar consagrado como mapa de Karnaugh (m K) quando surgiu em 952 num artigo de autoria do físico Edward Veitch intitulado hart Method for Simplifying Truth Functions. Maurice Karnaugh, um físico de formação que trabalhava nos laboratórios ell, refinou o mapa de Veitch dando origem ao mapa de Karnaugh actual, revelando o método num artigo intitulado The Map method for Synthesis of ombinational Logic ircuits publicado nas Transactions of the merican Institute of Electrical Engineers em Novembro de 953. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

7 SIMPLIFIÇÃO E UM FUNÇÃO POR GRUPMENTO E MINTERMOS EM MP E KRNUGH 2 7 representação de funções por mapas de Karnaugh permite um método de simplificação de maior eficiência e sistematização. reordenação das linhas da tabela facilita o agrupamento dos mintermos contendo os s (uns) da função e a extracção da expressão booleana com o menor número de variáveis nos termos, e com o menor número de termos. F (4) () Por exemplo, entre m 3 em 7 só a variável é que varia, o que permite pôr em evidência. e igual forma só varia entre m 5 em 7,esóvariaentrem 6 em 7 o que permite as seguintes simplificações: (2) F = + + m 3 + m 7 = + = ( + ) = m 5 + m 7 = + = ( + ) = Simplificação da função F no mapa de Karnaugh por agrupamento de mintermos. m 6 + m 7 = + = ( + ) = F = m 3 + m 5 + m 6 + m 7 = = m (3,5,6,7) = = (3, 5, 6,7) = = forma canónica antes da minimização = + + forma MSOP depois da minimização Notações algébricas equivalentes de F. Resumindo: no mapa agrupam se os s adjacentes, numa quantidade que seja potência inteira de 2, e na maior quantidade possível. expressão simplificada da função é obtida pela união dos grupos obtidos. Um novo grupo pode utilizar s que já tenham servido noutros grupos. expressão obtida está na forma de soma de produtos minimizada (MSOP, de MINIMIZE SUM OF PROUTS), ou forma N OR simplificada. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

8 SIMPLIFIÇÃO E UM FUNÇÃO POR GRUPMENTO E MXTERMOS EM MP E KRNUGH 2 8 onsidera se agora a função invertida de F, ou seja F. Fazendo a leitura de F pelos uns (s) do mapa de Karnaugh pelo método preconizado obtém se a função F minimizada: F F = m 0 + m + m 2 + m 4 = = m (0,, 2, 4) = = + + obtenção da função F pelo agrupamento dos s corresponde à leitura e agrupamento dos 0s no mapa da função F. Este método pode ser utilizado directamente no mapa como se mostra, e corresponde à minimização por agrupamento de maxtermos. F ( ) = + Minimização da função F (complementar de F) no mapa de Karnaugh por agrupamento de mintermos. Para a obtenção da função F a partir F há que negar a sua expressão algébrica. plicando à expressão obtida as leis de Morgan obtém se: F = (F ) = { m (0,, 2, 4) } = ( m 0 + m + m 2 + m 4 ) = = m 0. m. m 2. m 4 = M 0. M. M 2. M 4 = M (0,, 2, 4) = ( ) ( ) ( ) = (+) (+) (+) ( ) = + ( ) = + F= (+) (+) (+) Minimização da função F no mapa de Karnaugh por agrupamento de maxtermos. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

9 REPRESENTÇÃO GRÁFI O PROUTO OS MXTERMOS 2 9 F (4) m 0 m 2 m 3 m m 4 m 6 m 7 m 5 (2) () F = m (3, 5, 6, 7) F (4) m 0 m 2 m 3 m m 4 m 6 m 7 m 5 (2) () F = m (0,, 2, 4) Um mintermo m i corresponde a uma função 0 com o número mínimo de 's na tabela de verdade. Um maxtermo M i corresponde a uma função com o número máximo de 's na tabela de verdade. Um mintermo e um maxtermo com o mesmo índice são complementos um do outro. F = (F ) = ( m 0 + m + m 2 + m 4 ) = O produto lógico dos vários maxtermos permite obter o mapa de F como se mostra em baixo: = m 0. m. m 2. m 4 = M 0. M. M 2. M 4 = M (0,, 2, 4) M 0 m 0 M 0 = m 0 = ( ) = = + + M m M = m = ( ) = = + + M 2 m2 M 2 = m 2 = ( ) = = + + M 4 F = m 4 M 4 = m 4 = ( ) = F = M. 0 M. M. 2 M 4 = + + Representação do produto dos maxtermos intervenientes na forma OR N de F. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

10 MINIMIZÇÃO E FUNÇÕES POR GRUPMENTO E MINTERMOS E E MXTERMOS 2 0 REPRESENTÇÃO FUNÇÃO POR LIST E MINTERMOS: F= m (3, 5, 6, 7) REPRESENTÇÃO FUNÇÃO POR LIST E MXTERMOS: F = M (0,, 2, 4) F ( ) = + F ( ) = + 0 F = + + F= (+) (+) (+) ( ) = + Minimização da função F no mapa de Karnaugh por agrupamento de mintermos. Minimização da função F no mapa de Karnaugh por agrupamento de maxtermos. Implementação da função F por simplificação na forma N OR (MSOP). F Implementação da função F por simplificação na forma OR N (MPOS). F Esta forma é também designada por MPOS, do inglês Minimized Product Of Sums). Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

11 FORMS N OR NÓNI (SOP) E MINIMIZ (MSOP) 2 m 3 = m 5 = F = m 3 + m 5 + m 6 + m 7 = Ʃ m (3, 5, 6, 7) = Ʃ (3, 5, 6, 7) = = = = + + Notações algébricas equivalentes de F. m 6 = m 7 = F = Representação de F na forma canónica N OR (SOM E MINTERMOS). Esta forma é também designada por SOP,do inglês SUM OF PROUTS. N OR F = + + Representação algébrica de F na forma N OR minimizada, não canónica. (SOM E TERMOS PROUTO). Esta forma é também designada por MSOP,do inglês MINIMIZE SUM OF PROUTS. iagrama lógico de F configurado em duas formas N OR, uma canónica, outra não canónica. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

12 FORMS OR N NÓNI (POS) E MINIMIZ (MPOS) 2 2 M 0 =++ M = ++ F = M 0. M. M 2. M 4 = M (0,, 2, 4) = (0,,2,4) = = ( + + ). ( + + ). ( + + ). ( + + ) = = ( + ). ( + ). ( + ) Notações algébricas equivalentes de F. F = ( + + ). ( + + ). ( + + ). ( + + ) M 2 =+ + M 4 =++ + Representação de F na forma canónica OR N (PROUTO E MXTERMOS). Esta forma é também designada por POS,do inglês PROUT OF SUMS. + + OR N F = ( + ). ( + ). ( + ) Representação algébrica de F na forma OR N minimizada, não canónica (PROUTO E TERMOS SOM). Esta forma é também designada por MPOS,do inglês MINIMIZE PROUT OF SUMS. iagrama lógico de F configurado em duas formas OR N, uma canónica, outra não canónica. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

13 ONVERSÃO ENTRE FORMS NÓNIS 2 3 F = = = m (3, 5, 6, 7) Formas anónicas N OR de F e F. SOM E MINTERMOS. F = = = m (0,, 2, 4) F = (++). ( ++). (+ +). (++ ) = = M (0,, 2, 4) F =( + +). ( ++ ). (+ + ). ( + + ) = = M (3, 5, 6, 7) Formas anónicas OR N de F e F. PROUTOS E MXTERMOS. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

14 IMPLEMENTÇÕES LTERNTIVS E UM FUNÇÃO 2 4 SOP anónica F = = = m (3, 5, 6, 7) SOP Forma anónica N OR. SOM E PROUTOS (MINTERMOS). F = + + MSOP Soma de Produtos Minimizada. MSOP F = (++). ( ++). (+ +). (++ ) = = M (0,, 2, 4) POS anónica MPOS F = (+). (+). (+) POS Forma anónica OR N. PROUTO E SOMS (MXTERMOS). MPOS Produto de Somas Minimizado. iagrama lógico de 4 implementações equivalentes de uma função F: duas formas canónicas e duas formas minimizadas. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

15 SIMPLIFIÇÃO GRÁFI E UM FUNÇÃO N FORM OR N (EX. 2 ) 2 5 Exemplo 2 OJETIVO Obter a forma OR N simplificada da função G definida pela equação ao lado utilizando mapas de Karnaugh. G= ( ) + ( + ) + (( + ) ) + ( + ) (( + ).) G = ( + ). Mapa de Karnaugh de G obtido pela soma de mapas K parciais correspondentes aos termos da função G. G = + G = ( + ) = ( + + ) ( + + ) Obtenção de G por aplicação das Leis de e Morgan à equação algébrica de G. OR N iagrama lógico da função na forma OR N. G Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

16 RITÉRIOS MINIMIZÇÃO LÓGI 2 6 Resumindo, a MINIMIZÇÃO LÓGI significa: Na forma N OR (SOP): a minimização do número de termos produto (redução do número de portas lógicas) e a minimização do número de literais (redução do número de entrada das portas lógicas). Na forma OR N (POS): a minimização do número de termos soma (redução do número de portas lógicas) e a minimização do número de literais (redução do número de entrada das portas lógicas). Para aprofundar o método de minimização em SOP e POS pelo mapa de Karnaugh e delinear o algoritmo adequado ver se ão primeiro algumas definições. Para funções das mesmas variáveis, diz se que uma função booleana simples X implica outra função Y ( X Y )se,para todos os valores de entrada em que a função X vale, a função Y também vale. Quando X é um produto, diz se ser um IMPLINTE da função Y. Um termo produto diz se IMPLINTE de uma função sse essa função assume para todos os mintermos que constituem esse termo produto. F lguns implicantes de uma função F agrupados: cada ou grupo de s (uns) que podem ser combinados são implicantes. F = m (, 2, 6, 7, 0, 2, 4, 5) = = Implicantes: ; ; ; ; ; ; ; etc. iz se que o termo produto de menor dimensão é IMPLINTE de um termo produto de maior dimensão se todos os seus mintermos estão incluídos no termo produto maior. Todos os mintermos de uma função F são IMPLINTES dessa função. Nos quadros de Karnaugh, os IMPLINTES correspondem a associações válidas de s (cada ou grupo de s que podem ser combinados). No mapa indicam se alguns implicantes da função F de 4 variáveis. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

17 TERMO PROUTO OU IMPLINTE 2 7 implicante ( ) 2 implicante ( ) 3 implicante ( ) mintermo ou 0 implicante ( ) implicante () implicante () 2 implicante () 3 implicante () Vários tipos de implicantes de uma função de 4 variáveis: 0 implicantes, implicantes, 2 implicantes, 3 implicantes. Implicantes maiores correspondentes ao menor produto. IMPLINTES de uma função são quaisquer elementos do ON SET (cada ou grupos de s que podem ser combinados). Graficamente são quaisquer círculos válidos (não necessariamente os maiores possível). Um mintermo é um caso especial de implicante que tem presentes todas as variáveis da função (é o produto de maior dimensão). Um mintermo é também designado de 0 IMPLINTE (tambémdesignadopor0 cubo). Todos os mintermos são implicantes, mas nem todos os implicantes são mintermos. Um IMPLINTE (ou um cubo) é um produto com uma variável eliminada (obtido pela combinação de dois 0 implicantes adjacentes). remoção de uma variável de um termo é conhecida como a expansão do termo, e corresponde a expandir o tamanho de um círculo no mapa de Karnaugh. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

18 IMPLINTE PRIMO E IMPLINTE NÃO PRIMO 2 8 não é implicante primo não é implicante primo não é implicante primo é implicante primo (IP) é implicante primo (IP) Graficamente, um IMPLINTE PRIMO de uma função corresponde aos círculos que são os maiores possíveis. Se uma variável for eliminada deste implicante, o resultado será um termo produto que não é implicante da função, pois cobrirá um termo que não pertence ao ON SET da função. Implicantes de 4 variáveis não primos. Implicantes primos (IP) de 4 variáveis. Um implicante designa se de IMPLINTE PRIMO quando não pode ser combinado com mais nenhum outro implicante para eliminar outra variável (primo vem do inglês prime e neste contexto significa principal). Um IMPLINTE PRIMO de uma função booleana não implica nenhum outro implicante. importância dos implicantes primos decorre de eles corresponderem, no mapa de Karnaugh, aos grupos maiores, que não podem ser expandidos. Esses são exactamente os grupos que interessam para as minimizações, porque possuem as expressões mais simples, com menos literais. é implicante primo (IP) é implicante não primo Implicantes primos e não primos de 4 variáveis. é implicante não primo é implicante primo (IP) Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

19 IMPLINTE PRIMO ESSENIL, IMPLINTE PRIMO REUNNTE E IMPLINTE PRIMO SELETIVO IPR 2 9 é IP essencial (IPE) é IP redundante (IPR) é IP essencial (IPE) Implicantes primos essenciais (IPE) e implicantes primos redundantes. Um implicante primo de uma função diz se IMPLINTE PRIMO ESSENIL (IPE) se contém pelo menos um mintermo não contido em nenhum outro implicante primo. Os IMPLINTES PRIMO ESSENIIS associam pois mintermos que não podem ser associados em implicantes primos de outra forma. Um implicante primo não essencial (redundante) é um implicante primo em que todos os s (uns) estão também incluídos em implicantes primos essenciais. Nem todos os implicantes primos da função serão usados na expressão minimizada, mas todos os implicantes primos essenciais têm de estar presentes na expressão mínima na forma SOP ou POS. IPE IP selectivo (IPS) IPE IPR IPE ( ) IPE ( ) Mapa com 6 implicantes primos, 3 essenciais (IPE) que cobrem todos os s do mapa, e 3 redundantes (IPR). IPE () Um implicante primo que não é IMPLINTE PRIMO ESSENIL (IPE) nem IMPLINTE PRIMO REUNNTE (IPR) é designado de IMPLINTE PRIMO SELETIVO (IPS). Os IPS ocorrem em pares. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

20 REGRS MINIMIZÇÃO LÓGI EM MP E KRNUGH 2 20 omo nem todos os implicantes primos são utilizados para originar a expressão minimizada, a escolha é feita de acordo com o seguinte critério. LGORITMO E MINIMIZÇÃO O procedimento sistemático para a obtenção da expressão simplificada (MSOP ou MPOS) de uma função representada num mapa de Karnaugh, corresponde à execução dos seguintes passos: Passo : grupar todos os s (cobrir todos os mintermos). onsiderar as eventuais indiferenças e adjacências das linhas e colunas dos extremos, e dos cantos. F IPR (não extraído) Extração tomando em conta só os implicantes primos essenciais e descartando os redundantes. F = Passo 2: Passo 2: Passo 3: Usar só implicantes primos essenciais (IPE). aso não estejam cobertos todos os s do quadro, determinar o menor conjunto de implicantes primos selectivos que cobrem os s remanescentes. Não usar implicantes primos redundantes (IPR). Passo 3: É boa sugestão começar se pelos IPE em ordem ascendente: primeiro os 0 implicantes, depois os implicantes, 2 implicantes, etc.. Extrair a expressão simplificada como soma/produto de todos os termos produto/soma seleccionados nos passos anteriores. F IPS (não extraído) IPS Extração tomando em conta só os implicantes primos essenciais e selectivos. F = + + Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

21 MPS E KRNUGH UM, US, TRÊS, QUTRO E INO VRIÁVEIS 2 2 m K a variável. m K a 2 variáveis. m K a 3 variáveis. E E E E E E E E E m K a 4 variáveis. E E E E E E E E E E E E m K a 5 variáveis. E E E E E E E E E E E E O mapa de Karnaugh (m K) pode ser usado com qualquer número de varáveis. Mapas de Karnaugh com mais de 4 variáveis são pouco usuais por não ser simples a sua utilização. Na Fig. estão representados mapas de Karnaugh com diferentes número de variáveis. ssinalam se a vermelho as quadrículas para as quais a variável vale. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

22 MPS E KRNUGH 5 VRIÁVEIS 2 22 F (,,,, E ) = m (0, 2, 4, 6, 7, 0,, 5, 7, 9, 2, 23, 26, 27, 3) Função de 5 variáveis da qual se pretende obter a expressão algébrica simplificada. E = 0 E = forma mais simples de visualização de um mapa de Karnaugh de 5 variáveis é a que se obtém pela duplicação de um mapa de 4 variáveis. ssume se E como variável de maior peso. o lado esquerdo está o mapa correspondente a E=0,doladodireito odee=. ada mapa apresenta uma leitura individual. Se a leitura de um dos mapas for sobreposta à do outro as duas leituras correspondem a um único termo caso de ou entro de cada quadrado do mapa e a vermelho estão indicadas as posições dos índices dos mintermos. escuro estão marcados os s para os quadrados correspondentes aos mintermos em que a função é. F = E + E + + Equação algébrica após simplificação. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

23 MP E KRNUGH: PRÕES ENVOLVENO XOR () 2 23 través dos mapas de Karnaugh é possível obter expressões simplificadas envolvendo a operação XOR. O XOR toma o valor para as configurações que pertencem a um número ímpar de agrupamentos e o valor 0 para as configurações que pertencem a um número par de agrupamentos (ou que não pertencem a nenhum). 0 0 F = + = = 0 0 F = + = = ( ) = ( ) = ( ) F = F = ( + ) F = () F = ( ) 0 0 F = + ( ) Exemplos de funções extraídas do mapa de Karnaugh envolvendo operações XOR. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

24 MP E KRNUGH: PRÕES ENVOLVENO XOR (2) F= F= ( ) F= F= F= Exemplos de funções extraídas do mapa de Karnaugh envolvendo operações XOR. M= ( + ) + M= ( ) + Os dois circuitos dos 2 quadros acima correspondem a duas assinaturas distintas da mesma função M (Maioria), uma fazendo uso de um XOR, importantes no estudo do arry out do somador. M M Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

25 FUNÇÕES INOMPLETMENTE ESPEIFIS () 2 25 Quando não é definido o valor da função, por não se considerar possível a ocorrência de determinadas configurações à entrada, ou por se julgar irrelevante a resposta da função a essas combinações, usa se: um símbolo de indefinição ou X (indiferença, irrelevância ou don t care) na tabela de verdade ou mapa de Karnaugh da função, e F (8) () (2) (4) F 2 (8) () (2) (4) a letra d na representação sob a forma de lista de mintermos (como em F 2 ), ou para o caso de lista de maxtermos. NasimplificaçãopormapadeKarnaugh,aestratégiaéade atribuir aos don t care valor lógico 0 ou conforme mais conveniente para uma maior simplificação ( X não existe, apenas existem 0 ou ). existência de indiferenças em F 2 permitiu reduzir o número de entradas da porta e a complexidade do circuito relativamente à mesma função implementada em F sem indiferenças: atribuiu se o valor à indiferença correspondente ao mintermo 3 e o valor 0 às correspondentes a 6 e 2. iagrama lógico de duas funções F e F2 quase idênticas assinalando se a redução do número de entradas em F2 atribuível ao uso de indiferenças (ausentes em F). F = + F 2 = + Mapas de Karnaugh e equações algébricas de F e F 2 assinalando a redução do número de entradas em F 2 atribuível ao uso de indiferenças. (ausentes em F ). F = = m (, 3, 5, 7, 9) F 2 = = m (, 3, 5, 7, 9) + d (6, 2, 3) Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

26 FUNÇÕES INOMPLETMENTE ESPEIFIS (2) 2 26 F 3 = (, 2) + d (3) F 4 = (2, 4, 7) + d (, 6) F 5 = (0, 2, 5) + d (3, 4) F 3 () F 4 () F (2) (4) 0 (2) F 3 = + F 4 = + + F 5 = + F 6 = (, 2, 5, 6, 0) + d (3, 4, 9,, 3, 4, 5) F 7 = (0, 6, 7, 8, 9) + d (, 4,, 4, 5) F 8 = (0,, 3, 5, 9, 0, ) + d (2, 8, 3) F 6 (8) () (2) F 6 = (4) F F 7 = + F F 8 = + Mapas de Karnaugh e expressões algébricas minimizadas de várias funções especificadas através da lista de mintermos, assinalando se o uso criterioso das indiferenças. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

27 FUNÇÕES INOMPLETMENTE ESPEIFIS (3) 2 27 F 9 F 9 = M (2, 3, 0,, 2, 3, 4 ) (4, 5, 8) F 9 = ( +) (+ ) (+ ) Mapa de Karnaugh e expressão algébrica minimizada na forma MPOS, assinalando se o uso das indiferenças. Verificação através da multiplicação lógica bit a bit dos mapas representando cada maxtermo para obtenção do mapa inicial (em cima): Resumindo: No caso da representação sob a forma de lista de mintermos, ao somatório m dos termos iguais a, junta se o somatório dos termos opcionais (indiferenças), normalmente indicados por d. No caso da representação sob a forma de lista de maxtermos, multiplicam se os maxtermos (piatório M) pelos termos opcionais (indiferenças), normalmente indicados por. leitura do mapa de Karnaugh feita directamente pelos zeros origina uma expressão minimizada na forma de produto de somas (MPOS) Mapas de Karnaugh e expressões algébricas minimizadas de várias funções especificadas através da lista de maxtermos, assinalando se o uso criterioso das indiferenças. = F 9 Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

28 IMPLEMENTÇÃO E UM FUNÇÃO IRUITOS LTERNTIVOS (EX. 2 2 ) 2 28 Exemplo 2 2 OJETIVO esenhar o circuito da função G na tabela da Fig. nas várias formas correspondentes às representações em SOP, MSOP, soma de produtos após factorização e com utilização de uma porta XOR. Mintermo G m m m m 3 0 m m 5 0 m 6 0 m 7 0 Tabela de Verdade funcional do circuito. G F = + + G Umamanipulaçãofeitaapartirdaexpressãoalgébricaoudomapa de Karnaugh da função permite obter expressões em várias formas, como a que usa o XOR e a factorização da variável. F = + ( + ) ( + ) G G F = Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

29 IMPLEMENTÇÃO E UM FUNÇÃO IRUITOS LTERNTIVOS (EX ) 2 29 Exemplo 2 2 G = m (3, 4, 5, 6) G = ( + ) G G G G SOP FormaanónicaN OR ou disjuntiva (soma de mintermos e 2 níveis). MSOP Soma de Produtos Minimizada (2 níveis). Soma de Produtos após simplificação e factorização (4 níveis). Implementação utilizando um XOR (2 níveis). s 4 implementações são funcionalmente equivalentes: com os mesmos estímulos à entrada, as formas de onda, obtidas nas saídas dos 4 circuitos são quase idênticas. s pequenas variações devem se aos atrasos e aos GLITHES que podem surgir devido às diferenças no número de níveis de portas e na estrutura interna das mesmas. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

30 MÉTOOS E NÁLISE E IRUITOS OMINTÓRIOS ircuito analisado por determinação exaustiva das oito (0 a 7) combinações das entradas ( tabela de verdade). M análise consiste na obtenção de uma descrição formal da função lógica do circuito. descrição funcional mais descritiva corresponde à tabela de verdade. Um dos métodos de obter a tabela de verdade consiste em exaustivamente determinar as saídas parciais de todas as combinações de valores das variáveis de entrada ao longodocircuito,epropagaressainformaçãoatéà saída (desenho de cima). ircuito analisado por determinação das expressões algébricas. m M M Tabela de Verdade funcional obtida a partir dos métodos de análise do circuito acima. Outro método consiste em ir obtendo as expressões algébricas para cada troço do circuito correspondente aos operadores lógicos envolvidos, e propagar estas expressões parciais até à saída. Este método é simples se o circuito tiver sido manipulado graficamente até à obtenção de Ns, ORs e NOTs para simplificar a análise algébrica (como exemplificado no capítulo anterior desenhodo meio). partir daí é possível: eterminar o comportamento do circuito para diferentes combinações das entradas. Manipular a sua descrição algébrica e obter diferentes topologias de circuito para a mesma função lógica. Utilizar a descrição algébrica na análise de um sistema de complexidade superior que inclua o circuito num dos seus módulos. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

31 NÁLISE E UM IRUITO OMINTÓRIO (EX. 2 3 ) 2 3 Exemplo 2 3 OJETIVO Para o circuito da Fig. realizado só com portas NN de 2 entradas, obter: F a) Por manipulação gráfica, a expressão algébrica na forma N OR simplificada (MSOP). b) lista de mintermos. c) expressão algébrica na forma OR N simplificada (MPOS). d) lista de maxtermos. (a) F = ( + ) + ( + ) F conversão gráfica consiste em adoptar para as portas NN e NOR o símbolo gráfico que melhor se adapte ao cancelamento de pares dos círculos símbolos de inversão (técnica bubble to bubble). pósareduçãográficaan,orenotémuito mais fácil extrair a expressão booleana. F Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

32 NÁLISE E UM IRUITO OMINTÓRIO (EX ) 2 32 Exemplo 2 3 (a) F F= ( + ) + ( + ) = (b) F= F = m (0,, 3, 5, 7, 0,, 2, 4, 5) = (c) F F = F= (+ +)(+ +) ( ++ )(++ ) (d) F= (+ +) (+ +) ( ++ ) (++ ) F = M (2, 4, 6, 8, 9, 3) Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

33 NÁLISE E UM IRUITO OMINTÓRIO (EX ) 2 33 Exemplo 2 3 F F = ( + ) + ( + ) MSOP MPOS F= F = m (0,, 3, 5, 7, 0,, 2, 4, 5) F= (+ +) (+ +) ( ++ ) (++ ) F = M (2, 4, 6, 8, 9, 3) omparando a forma MSOP com a forma MPOS, verifica se que a forma MSOP se revela ligeiramente menos complexa. mbas apresentam um mesmo número de portas N e OR, mas no total há menos dois pinos de entrada para as portas N da forma MSOP do que para as portas OR da forma MPOS. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

34 SÍNTESE E IRUITOS OMINTÓRIOS: ONVERSOR 7 SEGMENTOS (EX. 2 4 ) 2 34 Exemplo 2 4 OJETIVO Para o circuito conversor do código 7 segmentos (do tipo TIVE HIGH) da Fig. abaixo obter, por manipulação gráfica, a expressão algébrica das saídas. ódigo a... iagrama de blocos do conversor. (8) g (2) () (4) ódigo 7 segmentos a f e a g d b c isposição e identificação dos 7 segmentos de um display de caracteres decimais (segmento a iluminado). Um segmento ilumina se quando o circuito apresenta um na saída correspondente, caso contrário o onversor seria do tipo TIVE LOW. 0 0 a = + + aracteres decimais resultantes da iluminação dos segmentos num display de 7 segmentos. Pesos m a b c d e f g Tabela de verdade de um conversor 7 segmentos do tipo TIVE HIGH. Mapas de Karnaugh mostrando a referência dos mintermos, o preenchimento dos s para o segmento a, e a equação algébrica do segmento a através da utilização de uma porta XOR. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

35 ONVERSOR 7 SEGMENTOS (EX ) 2 35 Exemplo 2 4 a b c d a = + + b = + c = + + d = ( + ) + ( ) e f g e = ( + ) f = + +( + ) g = + +( + ) Mapas de Karnaugh dos diversos segmentos e equações algébricas simplificadas fazendo uso intensivo das indiferenças. s expressões obtidas são do tipo N OR e XOR e tomam em conta a factorização. Quando há várias funções dependentes das mesmas variáveis de entrada tem interesse sintetizar uma função a partir de outra já existente, para minimizar o número de portas. Há que identificar um padrão comum às várias funções e reutilizá lo. Esta minimização utiliza o método multinível, ou de RIGING. Nasexpressõesdef e g os termos + ( + ) são recorrentes, sendo este bloco gerado uma só vez em f, e reutilizado em g. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

36 ONVERSOR 7 SEGMENTOS (EX ) 2 36 Exemplo 2 4 a = + + b = + ódigo a... g c = + + iagrama de blocos. d = ( + ) + ( ) e = ( + ) f = + ( + ) + g = + ( + ) + iagrama lógico de um onversor 7 segmentos do tipo TIVE HIGH utilizando portas N, OR e XOR de 2 entradas. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

37 OMPROR E NÚMEROS E 2 ITS (EX. 2 5 ) 2 37 Exemplo 2 5 OJETIVO Para o circuito comparador de 2 números (de 2 bits cada) da Fig. ao lado, obter a expressão algébrica das saídas. N N 2 LT EQ GT LT EQ GT iagrama de blocos do circuito comparador com 4 entradas e 3 saídas. LT EQ GT Less Than Equal Greater Than LT = se N <N 2 (<) N (bits e ) e N 2 (bits e ) são os 2 números a comparar. N 2 N m LT EQ GT Tabela Funcional. EQ = = = ( + ) ( + ) = = ( ) ( ) EQ LT LT = + + GT GT = + + Tabela Funcional, Mapas de Karnaugh e Equações lgébricas das Saídas do omparador. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

38 OMPROR E NÚMEROS E 2 ITS (EX ) 2 38 Exemplo 2 5 LT N N 2 LT EQ GT LT EQ GT GT EQ iagrama de blocos de um comparador de números de 2 bits. LT = + + GT = + + N N 2 ( ) ( ) EQ EQ iagrama lógico do omparador com 3 circuitos alternativos para implementação da saída EQ. EQ = = = ( ) ( ) Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

39 MULTIPLIOR E NÚMEROS E 2 ITS (EX. 2 6 ) 2 39 Exemplo 2 6 OJETIVO Para o circuito multiplicador de 2 números de 2 bits cada da Fig. ao lado, obter a expressão algébrica das saídas. N e N 2 : números a multiplicar N N P P 2 P 4 P 8 iagrama de blocos. N x N 2 P 2 N 2 N m 2 2 P 8 P 4 P 2 P P P 2 = = = P = P 4 2 P P 4 = = P = = Tabela funcional. Mapas de Karnaugh e equações simplificadas das saídas. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

40 MULTIPLIOR E NÚMEROS E 2 ITS (EX ) 2 40 Exemplo P = P 2 = P 4 = N N P 8 = 2 2 P 2 = 2 2 P 4 = 2 2 P 8 iagrama lógico final mostrando alternativas de implementação de P2 e P4 fazendo uso de XOR. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

41 INREMENTOR E UM NÚMERO (EX. 2 7 ) 2 4 Exemplo 2 7 OJETIVO Para o circuito incrementador de código da Fig. ao lado, obter, por manipulação gráfica, a expressão algébrica das saídas na forma N OR simplificada (MSOP). ódigo O O 2 O 4 O 8 iagrama de blocos do circuito Incrementador com 4 entradas em código e 4 saídas apresentando o código de entrada incrementado de unidade. ódigo + O 8 4 m O 8 O 4 O 2 O Tabela funcional. O O 2 = O O = 4 O 8 2 O 4 = O 8 = Mapas de Karnaugh e equações simplificadas das saídas. Nas configurações de entrada que não são, não é importante considerar o valor da função, uma vez que essas configurações nunca ocorrem. 2 4 Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

42 INREMENTOR E UM NÚMERO (EX ) 2 42 Exemplo O = O 2 = O 4 = ódigo de entrada + O 8 = ódigo de entrada iagrama lógico do circuito incrementador de um número na forma N OR. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

43 INIOR OM 4 SENSORES E 4 LÂMPS (EX. 2 8 ) 2 43 Exemplo 2 8 OJETIVO Para o circuito da Fig. ao lado, obter a expressão algébrica das saídas e desenhar o diagrama lógico só com portas NN de 2 e 3 entradas. O comportamento do circuito é o seguinte: uma lâmpadade saída Li ilumina se quando:. estiverem activos pelo menos 2 sensores; 2. não estiver ativo o sensor Si correspondente; 3. a lâmpada se encontrar fora do intervalo dos sensores ativos. Sensores S S 2 S 3 S 4 L L 2 L 3 L 4 Lâmpadas iagrama de blocos do circuito indicador com 4 lâmpadas (saídas) que se iluminam consoante a configuração de 4 sensores (entradas). m S 4 S 3 S 2 S L 4 L 3 L 2 L L S L 2 S L3 S S 3 S 3 S 4 S 4 S 4 S 2 S 2 S 2 L = S S 2 S 3 + S S 2 S 4 + S S 3 S 4 L 2 = S S 2 S 3 S 4 L 3 = S S 2 S 3 S 4 L 4 S S 3 S 4 L 4 = S S 2 S 4 + S 2 S 3 S 4 + S S 3 S 4 S 3 Tabela funcional. S 2 Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

44 INIOR OM 4 SENSORES E 4 LÂMPS (EX ) 2 44 Exemplo 2 8 S S S2 S 2 S 3 S 3 S 4 S 4 L = S S 2 S 3 + S S 2 S 4 + S S 3 S 4 L 2 = S S 2 S 3 S 4 L 3 = S S 2 S 3 S 4 L 4 = S S 2 S 4 + S 2 S 3 S 4 + S S 3 S 4 S S 2 S 3 S 4 iagrama lógico do circuito indicador de implementado só com portas NN de 2 e de 3 entradas. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

45 ELIMINÇÃO E HZRS E GLITHES OM MP E KRNUGH 2 45 = Z: 0 = = Z: 0 = Z Z Z S = Z + Z ircuito típico de HZR estático evidenciando um GLITH a 0 de duração igual a uma unidade do tempo de atraso. Z Z Z S = Z + Z dição de uma porta N extra para eliminação do HZR edoglith. Num circuito que implemente uma soma de produtos a 2 níveis só podem ocorrer HZRS ESTÁTIOS (como se viu no capítulo anterior com o circuito da Fig.). HZRS ESTÁTIOS 0 podem ocorrer num circuito OR N dual do representado. O HZR só aparece quando ==, e o sinal Z viaja para a direita através das portas N. Na mudança de Z de para 0 há um período transitório diminuto em que as entradas da porta OR vão simultaneamente a 0 podendo produzir um GLITH a 0(se o N que transita para 0 o fizer antes do N que transita para ). S Z S = Z + Z = = Z + Z + Os mapas de Karnaugh podem ser usados para detectar HZRS estáticos em circuitos com estrutura N OR ou OR N. O pressuposto de que apenas uma entrada varia em cada instante equivale a efectuar um deslocamento através de células vizinhas num mapa de Karnaugh (como indicado pela seta no mapa). No mapa da Fig. não há um termo produto que cubra simultaneamente as combinações Z= e Z=0. Para eliminar o HZR e o GLITH tem de incluir se no circuito uma porta N redundante (correspondente a esse termo produto e à área a vermelho no mapa) que se mantém a durante a transição da variável Z, forçando sempre a entrada do OR a. Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

46 LS 2 ÍNIE LS 2 REPRESENTÇÃO E MINIMIZÇÃO E FUNÇÕES 2. Representação Tabular de uma Função 3. Representação lgébrica de uma Função em Soma de Mintermos 4. Representação lgébrica de uma Função em Produto de Maxtermos 5. Terminologia 6. Mapa de Karnaugh 7. Simplificação de uma Função por grupamento de Mintermos em Mapa de Karnaugh 8. Simplificação de uma Função por grupamento de Maxtermos em Mapa de Karnaugh 9. Representação Gráfica do Produto dos Maxtermos 0. Minimização de por grupamento de Mintermos e de Maxtermos. Formas N OR anónica (SOP) e Minimizada (MSOP) 2. Formas OR N anónica (POS) e Minimizada (MPOS) 3. onversão entre Formas anónicas 4. Implementações lternativas de uma Função 5. Simplificação Gráfica de uma Função na forma OR N (Ex. 2 ) 6. ritérios da Minimização Lógica 7. Termo Produto ou Implicante 8. Implicante Primo e Implicante Não primo 9. Implicante Primo Essencial, Implicante Primo Redundante e Implicante Primo Selectivo 20. Regras da Minimização Lógica em Mapa de Karnaugh 2. Mapas de Karnaugh a Uma, uas, Três, Quatro e inco variáveis 22. Mapas de Karnaugh a 5 Variáveis 23. Mapa de Karnaugh: Padrões envolvendo XOR () 24. Mapa de Karnaugh: Padrões envolvendo XOR (2) 25. Incompletamente Especificadas () Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET

47 LS 2 ÍNIE Incompletamente Especificadas (2) 27. Incompletamente Especificadas (3) 28. Implementação de uma Função ircuitos lterna vos (Ex. 2 2 ) 29. Implementação de uma Função ircuitos lterna vos (Ex ) 30. Métodos de nálise de ircuitos ombinatórios 3. nálise de um ircuito ombinatório (Ex. 2 3 ) 32. nálise de um ircuito ombinatório (Ex ) 33. nálise de um ircuito ombinatório (Ex ) 34. Síntese de ircuitos ombinatórios: onversor 7 Segmentos (Ex. 2 4 ) 35. onversor 7 Segmentos (Ex ) 36. onversor 7 Segmentos (Ex ) 37. omparador de Números de 2 its (Ex. 2 5 ) 38. omparador de Números de 2 its (Ex ) 39. Multiplicador de Números de 2 its (Ex. 2 6 ) 40. Multiplicador de Números de 2 its (Ex ) 4. Incrementador de um Número (Ex. 2 7 ) 42. Incrementador de um Número (Ex ) 43. Indicador com 4 Sensores e 4 Lâmpadas (Ex. 2 8 ) 44. Indicador com 4 Sensores e 4 Lâmpadas (Ex ) 45. Eliminação de Hazards e Glitches com Mapa de Karnaugh 46. LS 2 Índice 47. LS 2 Índice 2 Lógica e Sistemas igitais 2 ISEL EET