SISTEMAS DIGITAIS (SD)

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1 SISTEMAS DIGITAIS (SD) MEE Acetatos das Aulas Teóricas Versão Português Aula N o 10: Título: Sumário: ircuitos combinatórios: somadores, subtractores e comparadores Somadores, subtractores e comparadores. 2014/2015 Nuno.Roma@tecnico.ulisboa.pt

2 Sistemas Digitais (SD) ircuitos combinatórios: somadores, subtractores e comparadores Aula Anterior Na aula anterior: ircuitos combinatórios típicos: Descodificadores odificadores Multiplexers Demultiplexers Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 2

3 Planeamento SEMANA TEÓRIA 1 TEÓRIA 2 PROLEMAS/LAORATÓRIO 15/Set a 20/Set Introdução Sistemas de Numeração e ódigos 22/Set a 27/Set Álgebra de oole Elementos de Tecnologia P0 29/Set a 4/Out Funções Lógicas Minimização de Funções ooleanas (I) L0 6/Out a 11/Out Minimização de Funções ooleanas (II) Def. ircuito ombinatório; Análise Temporal P1 13/Out a 18/Out ircuitos ombinatórios (I) odif., MUXs, etc. ircuitos ombinatórios (II) Som., omp., etc. L1 20/Out a 25/Out ircuitos ombinatórios (III) - ALUs ircuitos Sequenciais: Latches P2 27/Out a 1/Nov ircuitos Sequenciais: Flip-Flops Ling. de Descrição e Simulação de HW (ferramentas disponíveis no laboratório) 3/Nov a 8/Nov aracterização Temporal Registos P3 10/Nov a 15/Nov Revisões Teste 1 ontadores L3 17/Nov a 22/Nov 24/Nov a 29/Nov 1/Dez a 6/Dez 8/Dez a 13/Dez Síntese de ircuitos Sequenciais: Definições Síntese de ircuitos Sequenciais: Síntese com ontadores Máq. Estado Microprogramadas: ircuito de Dados e ircuito de ontrolo ircuitos de ontrolo, Transferência e Processamento de Dados de um Processador Síntese de ircuitos Sequenciais: Minimização do número de estados Memórias Máq. Estado Microprogramadas: Microprograma Lógica Programável L2 P4 L4 P5 L5 (1ª Parte) 15/Dez a 19/Dez P6 P6 L5 (2ª Parte) Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 3 Sumário Tema da aula de hoje: ircuitos combinatórios típicos: Somadores / Subtractores omparadores ibliografia: M. Mano,. Kime: Secções 4.2 a 4.4 G. Arroz, J. Monteiro, A. Oliveira: Secções 5.1 a 5.3 Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 4

4 Somadores ircuito para soma aritmética Exemplo: Somador de 2 números de 4 bits cada arry A estrutura mais simples resolve 1 bit de cada vez: A3 A2 A1 A S3 S2 S1 S0 A 3 3 A 2 2 A 1 1 A S 3 3 S2 2 S1 1 S0 Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 5 Somadores ircuito semi-somador O circuito semi-somador (em inglês, half-adder) soma 2 bits de entrada (sem transporte anterior) e produz 1 bit da soma e 1 bit de transporte. A + arry-out Sum orresponde p.ex. ao 1º passo do algoritmo de soma: soma os 2 bits de menor peso e obtém 1 bit S0 da soma e o transporte 1 para o passo seguinte A3 A2 A1 A S3 S2 S1 S0 1 A S 0 Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 6

5 Somadores ircuito semi-somador A out S out S A A A 1 S & out Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 7 Somadores ircuito somador completo O circuito somador completo (em inglês, full-adder) soma 3 bits de entrada (incluindo o transporte anterior) e produz 1 bit da soma e 1 bit de transporte. A arry-in + arry-out Sum P.ex. no 2º passo: soma 3 bits A1 e 1 e o transporte 1 do passo anterior, e obtém 1 bit S1 da soma e o transporte 2 para o passo seguinte A A3 A2 A1 A S3 S2 S1 S0 + S 1 Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 8

6 Somadores Somador completo A in out S S: out : A in A in S in in A A out in in A A A in in in A A A in A A 1 1 S & & 1 out in Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 9 Somadores Somador em cascata (ripple carry adder) N A N 3 A 3 2 A 2 1 A 1 0 A 0 N FA N-1 FA 3 4 FA 2 FA 1 FA 0 S N S 3 S 2 S 1 S 0 A velocidade máxima de execução é limitada pela necessidade de propagar o arry desde a soma do primeiro bit até à soma do bit mais significativo. No pior caso, o tempo de propagação do arry será N x t PFA. Exemplo: A 0 comuta de 0 para 1 A i = 0, i0 i = 1, i Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 10

7 Somadores Somador em cascata (ripple carry adder) N A N 3 A 3 2 A 2 1 A 1 0 A 0 N FA N-1 FA 3 4 FA 2 FA 1 FA 0 S N S 3 S 2 S 1 S 0 O Ripple arry Adder é o somador mais simples possível (que requer menos portas lógicas). Existem inúmeros circuitos alternativos para diversos compromissos velocidade/área. Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 11 Somadores Somador de 4 bits Somador de 4 bits completo: Soma: o 2 números de 4 bits cada o 1 bit de carry-in. Gera: o Resultado da soma, com 4 bits o 1 bit de carry-out. TTL 74LS283 0 }P } Q 3 I O Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 12

8 Representação de números com Representação de números negativos Módulo + Sinal O bit mais significativo representa o, e os restantes bits representam o seu valor absoluto. Ex.: -9 = O valor zero tem duas representações Módulo Decimal + Sinal ? Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 13 Representação de números com Representação de números negativos omplemento para 1 O complemento para 1 de N, em n bits, é definido como (2 n - 1) - N. 2 n 1 é um número constituído por n 1 s. Subtrair de 1 equivale a inverter o bit: 1 0 = 1 e 1 1 = 0. Portanto, complementar para 1 corresponde a inverter todos os bits (0 1 e 1 0). Ex.: -9 = ( = = ). O valor zero tem duas representações omplemento Decimal para ? Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 14

9 Representação de números com Representação de números negativos omplemento para 2 O complemento para 2 de N, em n bits, é definido como 2 n N para N 0, e 0 para N = 0. Portanto, complementar para 2 corresponde a complementar para 1 e somar 1. Ex.: -9 = ( = = ). Na prática, o complemento para 2 pode ser formado do seguinte modo: mantém-se todos os 0 s menos significativos e o primeiro 1, e invertemse todos os outros bits mais significativos. Uma única representação para o valor zero. omplemento Decimal para ? Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 15 Representação de números com Números binários com As operações usando o sistema de e valor são mais complicadas, devido à necessidade de gerir separadamente o e o valor. Por isso, são normalmente utilizadas representações em complemento. A representação em complemento para 2 é habitualmente preferida em sistemas digitais por ter uma única representação para o valor zero, e por as operações envolvidas serem mais simples. Decimal omplemento para 2 omplement o para 1 Módulo + Sinal ? Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 16

10 Representação de números com Extensão do (complemento para 2) Representação de um número utilizando um determinado número de bits, através da adição/remoção de bits à esquerda iguais ao bit de Exemplos: 0100 = +4 (4 bits) ??? = +4 (8 bits) 1011 = - 5 (4 bits) ??? = - 5 (8 bits) 0010 = +2 (4 bits)??? 010 = +2 (3 bits) 1010 = - 6 (4 bits)??? = - 6 (3 bits) Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 17 Representação de números com Extensão do (complemento para 2) Representação de um número utilizando um determinado número de bits, através da adição/remoção de bits à esquerda iguais ao bit de Exemplos: 0100 = +4 (4 bits) = +4 (8 bits) 1011 = - 5 (4 bits) = - 5 (8 bits) 0010 = +2 (4 bits) 010 = +2 (3 bits) 1010 = - 6 (4 bits)??? = - 6 (3 bits) Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 18

11 Representação de números com Soma aritmética de números com usando complemento para 2 A soma aritmética de dois números binários com, representados em complemento para 2, é obtida pela simples adição dos dois números incluindo os bits de. O último carry out não é considerado. Exemplos: ( 3) ( 3) Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 19 Subtractores Subtracção de números com A subtracção de 2 números binários com, representados em complemento para 2, é realizada de forma idêntica ao que acontece na representação decimal: Exemplo: orrow O bit de empréstimo (borrow) é um valor que vai ser retirado ao bit de peso seguinte. Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 20

12 Subtractores Subtracção de números com usando complemento para 2 A subtracção de dois números binários com, representados em complemento para 2, é obtida do seguinte modo: forma-se o complemento para 2 do subtractor soma-se ao subtraendo. Exemplo: ( 3) (através de complemento para 2) (através de complemento para 1) Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 21 Subtractores Subtracção de números com usando complemento para 2 omplemento para 2 = (omplemento para 1) + 1 A complementação para 1 é realizada invertendo todos os bits do subtractor. A adição de 1 é efectuada pondo o arry inicial a 1. 3 A 3 2 A 2 1 A 1 0 A 0 FA 3 4 FA 2 FA 1 FA 1 S 3 S 2 S 1 S 0 Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 22

13 ircuito somador/subtractor ircuito somador/subtractor As operações de adição e subtracção são habitualmente combinadas num único somador genérico, através da inclusão de 1 porta ou-exclusivo em cada Full-Adder. Quando o de controlo SUTRAT = 0, é realizada a adição A + (os operandos i não são invertidos e 0 = 0). Quando o de controlo SUTRAT = 1, é realizada a subtracção A (os operandos i são invertidos e 0 = 1). 3 A 3 2 A 2 1 A 1 0 A 0 SUTRAT FA FA FA FA S 3 S 2 S 1 S 0 Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 23 Excesso Excesso (overflow) ??? Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 24

14 Excesso Excesso (overflow) Para se obter um resultado correcto, na adição e na subtracção, é necessário assegurar que o resultado tem um número de bits suficiente. Se somarmos dois números de N bits e o resultado ocupar N+1 bits diz-se que ocorreu um overflow. As unidades aritméticas digitais usam um número fixo de bits para armazenar os operandos e os resultados, sendo necessário detectar e izar a ocorrência de um overflow. Exemplo: um overflow pode ocorrer na adição se os dois operandos são ambos positivos ou se são ambos negativos. Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 25 Excesso Excesso (overflow) A condição de overflow pode ser detectada por inspecção dos dois bits de carry mais significativos. Exemplo: Overflow arryout N arryout 1 N ovfl ( 5) ovfl Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 26

15 Excesso Qual a diferença entre os sinais de carry e overflow? Representação = N-1 = 1 O = 1 SEM Excedeu a capacidade de representação Sem significado OM Sem significado Excedeu a capacidade de representação Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 27 ircuito omparador omparador de números de 4 bits Este circuito faz a comparação de 2 números binários de 4 bits. A comparação é realizada através de uma operação de subtracção e análise do resultado. O circuito pode ser ligado em cascata, para realizar comparações entre números de N > 4 bits, utilizando os 3 bits de entrada suplementares. TTL 74LS85 OMP 0 }P > = < 0 }Q P>Q P=Q P<Q Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 28

16 Próxima Aula Tema da Próxima Aula: Unidade Lógica e Aritmética (ULA) Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 29 Agradecimentos Algumas páginas desta apresentação resultam da compilação de várias contribuições produzidas por: Guilherme Arroz Horácio Neto Nuno Horta Pedro Tomás Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 2014/15 30