LÓGICA MATEMÁTICA. Prezado (a) Aluno (a),

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1 1 LÓGICA MATEMÁTICA Prezado (a) Aluno (a), Seja bem-vinda ao aprendizado da disciplina Lógica Matemática que, por sua vez, faz parte da grade curricular de várias ciências, como informática, Engenharia, Matemática, Física etc. Sabe-se que quando há diálogo entre professor e aluno (vice-versa), o ensino-aprendizado flui tranquilamente, em decorrência disso, sempre que precisar entre em contato com o seu professor. O conteúdo desse tópico da matemática objetiva auxiliar o alunado no desenvolvimento do raciocínio lógico, da compreensão de conceitos básicos e da verificação formal da linguagem matemática visando disciplinas futuras que utilizam algoritmo e programação. Este guia está dividido em cinco unidades, nas quais damos ênfase nos estudos das tabelas-verdade. Na primeira unidade utilizamos números binários (transformaçã/operação), proposição, conectivos e tabela-verdade, que permite uma boa informação teórica de lógica matemática. Na segunda unidade apresentamos operações lógicas sobre proposições visando à construção de tabelas-verdade para proposições compostas. Na terceira unidade apresentamos teorias e aplicações sobre tautologias, Contradições, Contingências, Implicação e Equivalência Lógica, dando destaque as propriedades. Na quarta unidade exibimos álgebra das proposições e método dedutivo, dando destaque a demonstração de implicação lógica sem o uso de tabelaverdade. Na quinta unidade mostrar-se argumento, regras de inferência e quantificadores oferecendo destaque ao critério de validade de um argumento e aos Tipos de quantificadores. É relevante observar que em todas as unidades são sugeridos ao alunado, exercícios de aprendizagem objetivando um conhecimento mais tranquilo.

2 2 Sabendo da importância que a lógica matemática tem para a informática e para outras ciências, como Engenharia, Física etc, espera-se que este trabalho seja um instrumento a mais para os estudos que você está realizando na área de informática. Anicio Bechara Arero. Introdução Ao iniciar o estudo sobre Lógica Matemática, o alunado tem a curiosidade de querer saber o significado de lógica matemática e qual a sua aplicabilidade na informática. O que podemos responder em relação a essas indagações é que, até os dias de hoje, a lógica não apresenta uma definição exata. Alguns matemáticos a definem como o estudo dos processos válidos que atinge a verdade, ou simplesmente a ciência das leis do pensamento. Outra citação refere-se a lógica como sendo o estudo filosófico (estudo de problemas relacionados à existência, ao conhecimento, à verdade, à mente e à linguagem) do raciocínio válido. É importante salientar que a Lógica Matemática é estudada em várias disciplinas, principalmente em Matemática, Ciência da Computação, Filosofia e Semântica (ocorre sobre palavras, frases, sinais e símbolos). O primeiro trabalho sobre Lógica está direcionado ao filósofo grego Aristóteles, nascido na cidade de Estagira (Macedônia), 384 a.c, hoje pertencente a Grécia. A Lógica Aristotélica foi amplamente aceita em matemática e ciências, sendo responsável pelos dois princípios da lógica que são a Lei da Não-Contradição (nenhuma afirmação pode ser verdadeira ou falsa ao mesmo tempo) e a Lei do Terceiro Excluído (toda proposição ou é verdadeira ou é falsa). O sistema lógico de Aristóteles introduziu o silogismo hipotético, lógica modal temporal e lógica indutiva. A Lógica Matemática é aplicada na linguagem de programação lógica, onde a primeira linguagem de programação foi de Planner, em seguida foram desenvolvidas as linguagens de programação QA-4, Popler, Conniver, e QLISP. As linguagens de programação Mercury, Visual Prolog, Oz e Frill, foram desenvolvidas a partir do Prolog. Atualmente existem linguagem de programação lógica concorrente derivadas do Planner e derivadas de Prolog. É relevante

3 3 observar que o sentido da programação lógica é trazer o estilo da lógica matemática à programação de computadores. Outra aplicabilidade da Lógica Matemática está relacionada à Ciência da Computação que abraça o estudo dos algoritmos, sua aplicação e de sua implementação, na forma de software, para execução em computadores elétricos. Como foi colocado na apresentação, distribuiremos nosso estudo sobre Lógica Matemática em 5 unidades que abrange todo o conteúdo da disciplina. UNIDADE I Números Binários, Proposições, Conectivos e Tabela-verdade. Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de: - Transformar e operar com números binários. - Citar os princípios da Lógica Matemática. - Conceituar proposição. - Definir valor lógico de uma proposição. - Identificar os tipos de proposições. - Definir conectivos. - Construir tabela-verdade. - Aplicar as operações lógicas sobre proposições. Nessa unidade-i, abordaremos as transformações e operações com números binários, os princípios da Lógica Matemática, os tipos de proposições, os conectivos, o valor lógico de uma proposição, tabela-verdade e operações lógicas sobre proposições. Além disso, estão disponibilizados exercícios e atividades para facilitar o aprendizado.

4 4 LÓGICA COMPUTACIONAL Sistemas numéricos Definição: São sistemas de notação usados para representar quantidades abstratas denominadas números. Um sistema numérico é definido pela base que utiliza. A base é o número de símbolos diferentes, ou algarismos, necessários para representar um número qualquer, dos infinitos possíveis no sistema. Por exemplo, o sistema decimal, utilizado hoje de forma universal, utiliza dez símbolos diferentes ou dígitos para representar um número e é, portanto, um sistema numérico na base 10. Valores posicionais Em um sistema de número posicional, um número é representado por uma seqüência de dígitos onde cada posição de dígito tem um peso associado. Tomando como exemplo o sistema decimal, ou base 10, que é sistema numérico que utilizamos diariamente (0, 1, 2,... 9), o valor D de um número decimal de 4 dígitos d 3 d 2 d 1 d 0 é D = d 3 * d 2 * d 1 * d 0 *10 0. Cada dígito d i tem um peso de 10 i. Por exemplo, o número (base 10) é a representação de 3* * * * * * *10 0. Sistema Binário O sistema binário, ou base 2, apresenta unicamente dois dígitos: 0,1. Neste sistema a contagem é realizada como segue: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000,... Conversão Binário para Decimal Sendo binário um sistema de número posicional, o valor B de um número binário de 8 dígitos b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 é B = b 7 *2 7 + b 6 *2 6 + b 5 *2 5 + b 4 *2 4 + b 3 *2 3 + b 2 *2 2 + b 1 *2 1 + b 0 *2 0. Cada dígito b i tem um peso de 2 i. Assim o valor binário b é calculado como segue b = 0*2 0 +1*2 1 +0*2 2 +1*2 3 +0*2 4 +1*2 5 +0*2 6 +1*2 7 = 170 d. Esta é a conversão de um número binário para decimal. Outro exemplo b = =153 d.

5 5 Os números com parte fracionária, da mesma forma, podem ser representados, usando-se potências negativas de dez, na base dez e de dois, na base dois. Assim, 327,723 significa: 3x x x x x x10-3 O número binário 1011,1101 significa, na base dois: 1x x x2 1 +1x x2-1 +1x x x2-4 Sabe-se que, na base dez, para se multiplicar um número pela base, isto é, por dez, basta deslocar a vírgula uma casa para a direita. O mesmo ocorre com qualquer base, em particular com a base dois. Para multiplicar um número por dois, basta deslocar a vírgula uma casa para a direita. Conversão Decimal para Binário No sistema decimal, por exemplo, o número 654 corresponde a 4 unidades, 5 dezenas e 6 centenas. Para verificar isto, divide-se o número pela sua base (que é 10): Para a conversão de decimal para binário utilizamos o mesmo processo. Por exemplo, para obtermos o correspondente binário do número 200 d, dividimos primeiramente este valor por 2 e anotamos o resto de cada divisão. Em seguida, dividimos novamente o dividendo da operação anterior por 2 e anotamos novamente o resto da divisão. Isto é repetido até a última divisão, conforme abaixo:

6 6 O correspondente binário de 200 d é obtido unindo-se os restos da divisão por 2 na ordem inversa, assim 200d= b. Exemplos: 1) Transformar os números decimais abaixo em binário: a) b) 5,3 10 c) 23,5 10 d) 1,6 10 e) 0,9 10 Solução: a) = (restos da direita para a esquerda) 15/2=7 resto=1, 7/2 = 3 resto = 1, 3/2 = 1 resto = 1, 1/2 = 0 resto=1 b) 5,3 10 = 101, Inicialmente transforma-se a parte inteira: 5/2 = 2 resto=1, 2/2 = 1 resto = 0, 1/2 = 0 resto = 1 A parte decimal multiplica-se por dois até zerar (ou ir para o infinito). 0,3x2=0,6 0,6x2=1,2 0,2x2=0,4 0,4x2=0,8 0,8x2=1,6 0,6x2=1,2 0,2x2=... c) 23,5 10 = 10111,10 2

7 7 23/2=11 resto=1, 11/2 = 5 resto = 1, 5/2 = 2 resto = 1, 2/2 = 1 resto=0 1/2=0 resto 1 Parte decimal: 0,5 x 2 = 1,0 0,0x2=00 d) 1,6 10 = 1, /2 = 0 resto: 1 Parte decimal: 0,6x2=1,2 0,2x2=0,4 0,4x2=0,8 0,8x2=1,6... e) 0,9 10 = 0, ,9x2=1,8 0,8x2=1,6 0,6x2=1,2 0,2x2=0,4... 2) Complete a tabela abaixo: Notação decimal Notação binária ,6... Sistema Octal O sistema binário ou base 8 apresenta oito dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Neste sistema, a contagem é realizada como segue: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20,... Conversão Octal para Decimal Sendo o sistema octal um sistema de número posicional, o valor O de um número octal de 4 dígitos o 3 o 2 o 1 o 0 é O = d 3 *8 3 + d 2 *8 2 + d 1 *8 1 + d 0 *8 0. Cada dígito o i tem um peso de 8 i. Assim o valor octal é calculado como segue = 5*8 0 +7*8 1 +1*8 2 = Esta é a conversão de um número octal para decimal.

8 8 Conversão Decimal para Octal Para a conversão de decimal para octal utilizamos o mesmo processo da conversão do sistema decimal para binário. Por exemplo, para obtermos o correspondente octal do número 200 d, dividimos primeiramente este valor por 8 e anotamos o resto de cada divisão. Em seguida, dividimos novamente o dividendo da operação anterior por 8 e anotamos novamente o resto da divisão. Isto é repetido até a última divisão, conforme abaixo:: 200/8= 25 Resto 0 25/8 = 3 Resto 1 3/8 = 0 Resto 3 O correspondente octal de 200 d é obtido unindo-se os restos da divisão por 8 na ordem inversa, assim 200 d =310 o. Sistema Hexadecimal Na base hexadecimal tem-se 16 dígitos que vão de 0 à 9 e da letra A até F. Estas letras representam os números 10 d a 15 d. Assim nós contamos os dígitos hexadecimais da seguinte forma: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12,..., 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20, 21,... Conversão Binário para Hexadecimal A conversão entre números binários e hexadecimais é simples. A primeira coisa a fazer é dividir o número binário em grupos de 4 bits, começando da direita para a esquerda, os lugares que faltam são complementados por zeros. Por exemplo, o número b ( = 43 d ), nós dividimos este em grupos de 4 bits e nós temos 10;1011. Nós completamos o último grupo com zeros: 0010;1011. Após nós tomamos cada grupo como um número independente e nós convertemos estes em dígitos decimais: 0010;1011=2;11. Mas desde que nós não podemos representar o número hexadecimal como 211 porque isto é um erro, nós temos que substituir todos os números decimais maiores que 9 pelas suas respectivas representações em

9 9 hexadecimal, com o que nós obtemos: 2B h. A tabela abaixo pode auxiliar na conversão de números binário para hexadecimal. BINÁRIO HEXADECIMAL DECIMAL OA OB OC OD OE OF 15 A fim de obter um número hexadecimal em binário deve-se apenas inverter os passos. Conversão Hexadecimal em Decimal Para converter um número hexadecimal em decimal, nós utilizamos a mesma fórmula utilizada na conversão binário para decimal, sendo que a base 2 é trocada por 16. Por exemplo, para converter B2A h em decimal: B -> 11*16 2 = 2816 d 2 -> 2*16 1 = 32 d A -> 10*16 0 = 10 d 2858 d

10 10 Conversão Decimal para Hexadecimal Para converter um número decimal em hexadecimal, nós utilizamos a mesma fórmula utilizada na conversão de um número decimal para binário, dividindo por 16 em vez de 2. Por exemplo, para converter 1069 d em hexadecimal: 1069/16= 66 Resto 13 d = D h 66/16 = 4 Resto 2 d = 2 h 4/16 = 0 Resto 4 d = 4 h 1069 d = 42D h EXERCÍCIOS 01) Represente os números na forma decimal: a) b) c) d) ) Converter número binário em número decimal: a) 110 b) c) d) ) Converter número decimal em número binário: a) 459 d b) d c) d d) 10 d 04) Converter número octal em número decimal: a) 32 o b) 137 o c) 2456 o d) o 05) Converter número decimal em número octal: a) 120 d b) 324 d c) 4576 d d) d 06) Converter número binário em número hexadecimal: a) 1001 b) c) d) ) Converter número hexadecimal em número decimal: a) 3AE h b) ADC2 h c) 5FE3 h d) 5A7D h

11 11 08) Converter número decimal hexadecimal em número hexadecimal: a) 135 d b) 1432 d c) 2567 d d) d 09) Transformar os números decimais abaixo em número binário: a) 2,4 10 a) 12,5 10 a) 52,7 10 a) 36,1 10 Aritmética Binária Esta seção apresenta as quatro operações básicas no sistema binário: adição, subtração, divisão e multiplicação. Adição Para somar dois números binários, fazem-se as contas coluna a coluna, da direita para a esquerda, como de costume, fazendo o transporte de um (<e vai um>) quando for o caso. Para isto, observe as seguintes operações básicas: = = = 0 (1 mais 1 é igual a 0 e vai 1) = 1(1 mais 1 mais 1 é igual a 1 e vai 1)

12 12 * As operações com números fracionárias segue o mesmo princípio dos números, sendo necessário, agora, que alinhem-se as vírgulas, ou separadores de casas decimais antes de fazer a operação. 10, ,01 2 = X 2 10, , , Converta para binário e efetue as seguintes operações: a) b) c) d) e) B5D16 + A2C16 f) C g) E5D F2A 16 Subtração Como o conjunto de símbolos contém apenas 2 dígitos, ao se efetuar a subtração parcial entre 2 dígitos, um do diminuendo e outro do diminuidor, se o segundo (diminuidor) exceder o primeiro (diminuendo), subtrai-se uma unidade ao dígito imediatamente à esquerda no diminuendo (se existir e o seu valor for 1), convertendo-o a 0. Em seguida, substituímos o diminuendo por 2, que corresponde à equivalência 1*2, da unidade extraída. Se o dígito imediatamente à esquerda for 0, procura-se nos dígitos consecutivos.

13 13 A segunda forma de realizar a subtração, por exemplo de a-b, e realizar a soma de a por -b. Esta subtração é feita pelo chamado método do complemento de dois. O complemento de dois transforma um número positivo em negativo. Neste método, o diminuendo (a) é somado com o complemento de dois do diminuidor (- b). Note que o número de dígito dos operandos devem ser o mesmo: para isto complemente o operando com menor número de dígitos com zeros a esquerda (antes do complemento). Para realizar o complemento de dois, basta trocar os uns pelos zeros e vice-versa e adicionar um ao resultado. Por exemplo, a subtração de é feita da seguinte maneira: 1. Completa-se o número de dígitos do diminuidor: Realiza-se o complemento de dois do diminuidor: = Soma-se os dois operandos = Despreza-se o transporte final, pois, o resultado tem um bit a mais que os dois operandos: 1001 Uma subtração com números binários baseia-se em uma soma (!) onde o segundo termo é um número negativo. Antes disto, devemos entender o que é o Complemento de um Número e Complemento de 2 de um Número. Complemento (ou Complemento de 1) de um Número é a quantidade que falta para este número chegar ao maior valor da atual potência. Vamos tomar como exemplo o número decimal Na atual potência 10 3 o maior valor é Para que o número 4178 alcance o número 9999, faltam 5821 números, ou seja, 5821 é o complemento de Tratando-se de números binários, para encontrarmos o complemento de um número, basta inverter todos os seus bits. Tomando o número como exemplo: Invertendo-se todos os seus bits descobrimos que o Complemento de é

14 14 Complemento de 2 de um Número nada mais é do que a quantidade que falta para este número chegar à próxima potência, ou seja, é o Complemento do número +1. Exemplo para o número novamente: = O seu Complemento é e o Complemento de 2 é Voltando ao assunto em questão: para se subtrair dois números binários, somamos o primeiro termo com o oposto do segundo termo, ou seja, com o Complemento de 2 do termo. Vale alertar também sobre sinais em números binários. O sinal é definido por um bit o primeiro que, quando ZERO quer dizer que o número é positivo, e, quando UM, que o número é negativo. Vejamos alguns exemplos: à = X 2 Primeiramente, os termos devem ter a mesma quantidade de bits e devemos achar o C 2 do 2º termo, ou seja, seu oposto = X 2 C2( ) = = Bit de Sinal â Overflow Em algumas subtrações pode acontecer um Overflow, ou seja, ultrapassar o número de bits da subtração. O que devemos fazer é desconsiderar este bit. Resultado: = 19 10

15 15 Um exemplo que dará resultado negativo: à = X 2 C2( ) = = Como, é positivo acrescenta 0 e é negativo acrescenta = (1 significa negativo e 0 positivo) Assim como na Soma, podemos fazer subtrações em binário com números não binários. Para isso, basta convertermos o número para a base binária antes de fazer a operação. 25, B,49 16 = X 2 25,46 8 à , B,49 16 à , à C2 = , , , , Ex.: Converta para binário e efetue as seguintes operações: a) b) c) d) e) BB16 AA16 f) C g) h) Multiplicação Deve-se realizar a operação semelhante à multiplicação decimal, exceto pelo fato da soma final dos produtos se fazer em binário. Para tal, as seguintes igualdades devem ser respeitadas: 0.0=0; 0.1=0; 1.0=0; 1.1=1

16 16 Exemplos: - Multiplicar os números 1011 e Multiplicar os números 1001 e Ex.: Converta para binário e efetue as seguintes operações: a) * 4210 b) 9610 * 8210 c) 638 * 348 d) 748 * 128 e) BB16 * AA16 f) C4316 * g) * 9 10 h) * 45 8 Divisão A operação de divisão de binário pode ser feita de maneira idêntica à divisão decimal, exceto pelo fato das multiplicações e subtrações internas ao processo serem feitas em binário.

17 17 Exemplo: - Dividir e Dividir e 101. A prova é: Exercícios Converta para binário (quando necessário) e efetue as seguintes operações: a) / b) / 4 10 c) / d) / e) / f) A3D5 16 / C 16

18 18 ÁLGEBRA DE BOOLE E SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS LÓGICOS. A álgebra booleana tem apenas três operações básicas: AND (E), OR (OU), NOT (NÃO). Ela trabalha com duas constantes booleanas: 0(zero) ou 1(um), sendo a variável booleana representada por letras que pode assumir valor 0 ou 1. Expressão booleana: é uma expressão matemática envolvendo constantes e/ou variáveis booleanas e seu resultado assume dois valores 0 ou 1. Exemplos: a) S = A.B B) S= A + B.C Existem propriedades da negação (complemento, inversor), multiplicação (PORTA AND = E) e soma (porta OR = OU), sendo demonstrada cada uma através de tabelas-verdade, constatando a equivalência lógica. PROPRIEDADES Propriedade Complemento Adição Multiplicação Identidade (A ) A + 0 = A A + 1 = 1 A + A = A A + A = 1 A. 0 = 0 A. 1 = A A. A = A A. A = 0 Comutativa A + B = B + A A. B = B. A Associativa A+(B+C)=(A+B)+C A.(B.C)=(A.B).C Distributiva A+(B.C)=(A+B).(A+C) A.(B+C)=(A.B)+(A.C)

19 19 Propriedades 1ª) Absorção: 1.1) A + (A.B) = A 1.2) A. ( A+ B) = A 2ª) Outras Identidades: 2.1) A + Ᾱ. B = A + B 2.2) (A + B). ( A + C) = A + BC 3ª) Regras de Morgan: 3.1) A negação do produto é igual a soma das negações: (A. B) = A + B 3.2) A negação da soma e igual ao produto das negações. (A + B) = A. B Em regra geral, temos: 3.3) (A.B.C.....N) = A +B +C N 3.4) (A+B+C+... +N) = A.B +C..... N Exemplo: Utilizando transformações algébricas, mostre as identidades: a) A + A.B =A b) A. (A + B) = A c) (A+B). (A + C) = A + B.C d) A.B.C+.A.C +A.B = A e) A.B.C + (A.B.C) = B+A+C f) A B C + A B C+A BC + ABC = AB +BC g) A.)B.C) +A(C+CB) =A(B +C ) h) A(A + B)+B(A + B) = A FORMAS NORMAIS (CANÔNICAS) Toda expressão booleana pode ser escrita em forma padronizada denominada de Forma Normal ou Forma Canônica, que se apresentam de duas maneiras: 1ª) Forma Normal Conjuntiva (FNC): Produto de Somas ou Produto de Maxtermos. Maxtermos: trabalha-se com as variáveis pertencentes as linhas que apresentam 0 como saída.

20 20 2ª) Forma Normal Disjuntiva (FND): Soma de Produtos ou Produto de Mintermos. Mintermos (ou minitermos): trabalha-se com as variáveis pertencentes as linhas que apresentam 1 como saída. A B C Maxtermo Mintermo A + B + C A. B. C A + B + C A. B. C A + B + C A. B. C A + B + C A. B. C A + B + C A. B. C A + B + C A. B. C A + B + C A. B. C A + B + C A. B. C Obs.: FND só trabalha com saída 1 (soma dos produtos) e FNC só com saída 0 (produto das somas). Introdução PORTAS LÓGICAS As portas lógicas são componentes básicos da eletrônica digital. Elas são usadas para criar circuitos digitais e até mesmo circuitos integrados complexos. Em eletrônica digital apenas dois níveis são permitidos, 0 e 1. Zero representa tensão de 0 VOLTS, enquanto que 1 representa uma tensão de 5 VOLTS no padrão TTL. Assim as portas lógicas são capazes de realizar diversas operações matemáticas, para desenvolvimento da lógica digital. Portas lógicas Básicas: Inversor Como o próprio nome já sugere, o inversor irá inverter o estado da entrada. Se você entrar o número 0 em um circuito inversor, você obterá na saída o número 1, e vice-versa. A porta inversora é mais conhecida como NOT.

21 21 AND Uma porta lógica AND realiza uma operação lógica E, Ela possui pelo menos duas entradas. Por isso, se A e B são suas entradas, na saída teremos o resultado de A x B (também representado como A B). OR A porta lógica OR realiza uma operação lógica OU. Ela possui pelo menos duas entradas. Por isso, se A e B são suas entradas, na saída teremos o resultado de A + B.

22 22 Portas Lógicas Derivadas: NAND: Esta porta nada mais é do que uma porta AND com um inversor acoplado. Por isso, sua saída é o oposto da AND. NOR: NOR é uma porta OR com um inversor acoplado. Por isso, sua saída é o oposto da porta OR. Você.

23 23 XOR: XOR significa OU exclusivo. A porta lógica XOR compara dois valores e se eles forem diferentes a saída será 1 e se forem iguais será 0., XNOR: XNOR significa NOR exclusivo e é uma porta XOR com sua saída invertida. Dessa forma, sua saída será igual a 1 quando suas entradas possuírem o mesmo valor e 0 quando elas forem diferentes.

24 24 MAPAS DE VEITCH-KARNAUGH É outro método (grupos de mintermos) de simplificação das expressões booleanas. DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA DUAS VARIÁVEIS: 1) S = A B+AB +AB 2) S = A B +A +B+AB

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26 PRICÍPIOS DA LÓGICA MATEMÁTICA A Lógica Matemática é constituída de três princípios, cujo objetivo é de compreender as relações que se estabelecem entre as proposições. Esses princípios são: 1 0 ) Principio da Identidade: se um enunciado é verdadeiro, então é verdadeiro. 2 0 ) Princípio da Não-Contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 3 0 ) Princípio do Terceiro Excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se um destes casos e nunca um terceiro. Para compreender melhor esses princípios da Lógica, devemos observar os seguintes conceitos. 02- Proposição: é o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. 03- Valor Lógico de uma Proposição: é a verdade (V) se a proposição é verdadeira e a falsidade (F) se a proposição é falsa. Sobre o conceito do valor lógico de uma proposição, vamos resolver os seguintes exemplos determinando o valor lógico de cada proposição: a) Belém é a capital do Estado do Pará. b) Sen 30 0 = ½ c) (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 d) 9 é primo. e) < 3,34... f) (a b) 2 = a 2 b 2 g) Log 3 81 = 4

27 27 h) 52/52 = 0 As respostas são: a) verdade e) verdade b) verdade f) falsidade c) verdade g) verdade d) falsidade h) falsidade 04- PROPOSIÇÕES SIMPLES E PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 4.1- Proposição simples (ou Atômica): apresenta apenas uma proposição, sendo representada por letras minúsculas denominadas de letras proposicionais. Exemplo: a) p: 3 é um número primo. b) 2 é um número racional Proposição Composta (ou Molecular): é formada por mais de uma proposição, sendo representada por letras maiúsculas denominadas de letras proposicionais. Exemplo: a) João é rico e José é estudioso. b) Se Arero é Paysandu, então é feliz. 05- CONECTIVOS: são palavras, expressões ou símbolos usados para formar novas proposições a partir de outras.

28 28 Abaixo temos os conectivos na linguagem corrente (usual) e na linguagem simbólica, respectivamente. não (~ ou ), e (,, ), ou- inclusive (), ou... ou...- exclusive, mas não ambos (), se... então... () e,... se e somente se,... () Exemplo a) Antonio não é gordo. b) Paulo é rico e João é vaidoso. c) Fátima é alegre e não é vaidosa. d) Adolfo é médico ou José é professor. - ou inclusive: pode acontecer ao mesmo tempo. e) Adolfo é paulista ou é mineiro. - ou exclusive: não pode acontecer ao mesmo tempo. f) Se Pedro é rico, então é feliz. g) Log 5 = 0,699, se e somente se, 5 é um número ímpar. 06- TABELA-VERDADE É um tipo de tabela matemática usada em Lógica para determinar se um fórmula é válida. - Para construir uma tabela-verdade, utilizamos o seguinte procedimento: 1- Número de linhas de uma tabela-verdade (L) é calculado pela fórmula L = 2 n, onde n é o número de proposições simples. 2- Colocam-se as proposições simples em colunas da seguinte maneira: 2.1- Tabela-verdade com uma proposição simples.

29 29 p V F 2.2- Tabela-verdade com duas proposições simples (proposição composta). p q V V V F F V F F 2.3- Tabela-verdade com três proposições simples (proposição composta). p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F 07- Operações Lógicas sobre Proposições.

30 30 Já estudamos a maneira de construir uma tabela-verdade, a partir de agora estudaremos as operações lógicas fundamentais. Essas operações obedecem as seguintes regras do cálculo denominado cálculo proposicional. 1ª) Negação (~): é uma proposição p representada por não p cujo valor lógico é a verdade quando p é falsa e a falsidade quando p é verdadeira. Nota: A negação deve aparecer na frente do verbo. p ~p V F F V ~V = F e ~F = V V(~p) = ~V(p) Exemplos: a) p: a derivada primeira da função do espaço representa a função velocidade (V). ~p: a derivada primeira da função espaço não representa a função velocidade (F). V(~p) = ~V(p) = ~V = F b) p: Log 1000 = 10 (F) e ~p: Log (V) V(~p) = ~V(p) = ~F = V 2 a ) Conjunção (): conjunção de duas proposições p e q é a proposição representada por p e q, cujo valor lógico é a verdade (V) quando as proposições são ambas verdadeiras e a falsidade (F) nos demais casos. p q pq V V V V F F F V F F F F

31 31 V V = V, V F = F, F V = F e F F = F 3 a ) Disjunção (): disjunção de duas proposições p e q é a proposição representada por p ou q, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ao menos uma das proposições é verdadeiras e a falsidade (F) quando ambas são falsas. p q pq V V V V F V F V V F F F V V = V, V F = V, F V = V e F F = F 4 a ) Disjunção Exclusiva (): disjunção exclusiva de duas proposições p e q é a proposição representada simbolicamente por p q, que se lê: ou p ou q, cujo valor lógico é a verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadeiras, e a falsidade quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. p q pq V V F V F V F V V F F F V V = F, V F = V, F V = V e F F = F 5 a ) Condicional (): é a proposição representada por se p então q, cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa e a verdade nos demais caos. p q pq V V V V F F F V V F F V

32 32 V V = V, V F = F, F V = V e F F = V 6 a ) Bicondicional (): é a proposição representada por p se e somente se q, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ambas são verdadeiras ou ambas falsas, e a falsidade nos demais caso. p q pq V V V F F V F F V F F V VV = V, VF = F, FV = F e FF = V Exercícios: 01- Sejam as proposições p: Diogo é estudioso e q: Igor é trabalhador. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: a) ~p q b) p q c) ~q p d) p q 02- Sejam as proposições p: Laura é forte e q: Laura é bonita. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Laura é forte e bonita b) Não é verdade que Laura é forte ou bonita c) Laura é forte ou é fraca e bonita. SÍNTESE DA UNIDADE

33 33 Nesta unidade, você aprendeu os princípios da Lógica Matemática; verificou o que é proporção; calculou o valor lógico de uma proposição; identificou os tipos de proposições, definiu os conectivos, construiu tabela-verdade, identificou as operações lógicas. Logo, a partir desse momento você está capaz de iniciar a II unidade. UNIDADE II CONSTRTUÇÃO DE TABELAS-VERDADE Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de: - Construir tabela-verdade de uma proposição composta. - Calcular o valor lógico de uma proposição composta. - Usar parêntesis na simbolização das proposições. Nessa unidade-ii, abordaremos a construção de tabelas-verdade utilizando proposição composta, o valor lógico de uma proposição composta e o uso de parêntesis nas proposições. É importante salientar que estão disponibilizados, nessa unidade, exercícios e atividades para promover o aprendizado. 01) CONSTRUÇÃO DE TABELAS-VERDADE 1.1- Tabela-Verdade de uma Proposição Composta. - Para construir uma proposição composta devemos ajustar duas ou mais proposições simples pelos conectivos visto anteriormente. Por exemplo, P(p,q) = p (q ~p) Número de linhas de uma tabela-verdade (L). - É calculado pela fórmula L = 2 n, onde n é o número de proposições simples Construção de tabela-verdade de uma proposição composta. - Para construir uma tabela-verdade, inicialmente calcula-se o número de linhas, colocam-se as proposições simples em colunas e, em seguida, assentam-se, em colunas, as operações, como os exemplos abaixo: 1) Construir a tabela verdade da proposição p (q ~p). L = 2 n = 2 2 = 4 linhas. p q ~p (q ~p) p (q ~p)

34 34 P(p,q) : U {V, F} V V F F F V F F F F F V V V V F F V F V P(VV) = F, P(VF) = F, P(F,V) = V, P(FF) = V VV P U VF F FV V FF 2) P(p,q,r) = (p ~q) (~p r) L = 2 n = 2 3 = 8 linhas p q r ~p ~q (p ~q) (~p r) (p ~q) (~p r) V V V F F V F F V V F F F V F F V F V F V V F F V F F F V V F F F V V V F F V F F V F V F F F V F F V V V V V V F F F V V V F F P(VVV) = F, P(VVF) = F, P(VF,V) = F, P(VFF) = F, P(FVV) = F, P(FVF) = V, P(FF,V) = V, P(FFF) = F P(p,q,R) : U {V, F} 02- Valor lógico de uma proposição composta. - É sempre possível conhecer o valor lógico de uma proposição composta P(p, q, r,...), quando é conhecido o valor de cada proposição simples p, q, r,... Observe os exemplos: 1) Sendo verdade o valor lógico de p e a falsidade o valor lógico de q, determine o valor lógico de P(p,q) = (p ~q) (~p q). Solução: P(p,q) = (p ~q)(~p q) = (V ~F)(~V F) = (V V)(F F) = VF = F

35 35 2) Dadas as proposições simples p: Lim x 3 2 x 9 6 x 3 e q: Log 2 64 = 5. Encontre o valor lógico da proposição composta P(p,q) = ~(p q) (p ~q). Solução: P(p,q) = ~(p q) (p ~q) = ~(V F) (V~F) = ~F(VV) = VV = V 03- Uso do Parêntesis. Observe a expressão p q ~p. Ao acrescentar parêntesis, podemos transformar numa conjunção ou numa condicional, da seguinte maneira: a) p (q ~p) b) (p q) ~p Em a, temos uma proposição composta onde, o conectivo principal é e, em b) Temos uma proposição composta em que, o conectivo principal é. É relevante entender que essas duas proposições não têm o mesmo significado. Agora vamos identificar as proposições que podem surgir da expressão colocando parêntesis: p q r s a) ((p q) r) s Bicondicional b) p ((q r) s) Condicional c) (p (q r)) s Bicondicional d) p (q (r s)) Condicional e) (p q) (r s) Conjunção Para encontrar o valor lógico das proposições identificadas acima, devemos agir da seguinte maneira: a) ((p q) r) s Resolve-se na ordem a condicional, a conjunção e a bicondicional.

36 36 b) p ((q r) s) Resolve-se na ordem a conjunção, a bicondicional e a condicional. c) (p (q r)) s Resolve-se na ordem a conjunção, a condicional e a bicondicional. d) p (q (r s)) Resolve-se na ordem a bicondicional, a conjunção e a condicional. e) (p q) (r s) Resolve-se a condicional e a bicondicional e, em seguida, a conjunção. Como podemos acrescentar parêntesis a uma expressão, também podemos suprimi-los, a fim de simplificar as proposições simbolizadas. A supressão dos parêntesis nas proposições é feita através de convenções, e entre elas destacam-se duas: 1 a ) Utiliza-se os conectivos numa ordem que vai do mais fraco ao mais forte da seguinte maneira: Negação (~); Conjunção (); Disjunção (); Condicional (); Bicondicional () Observe, por exemplo, a proposição: p q r s é uma bicondicional, pois, é o conectivo mais forte. Para resolver essa proposição, devemos partir do conectivo mais fraco para o mais forte, isto é, resolve-se primeiramente a conjunção, depois a condicional e por último a bicondicional. Usando parêntesis, temos: (p (q r)) s. Para transformá-la numa condicional ou numa conjunção, utiliza-se parêntesis. p (( q r) s) ou (p q) (r s)

37 37 2 a ) Suprimem-se os parêntesis da proposição quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, realizando-se a associação a partir da esquerda. Note, por exemplo, a proposição: ((~(~(p q))) (~q)) Podemos escrevê-la mais simples do seguinte modo: ~~(p q) ~q Exercícios: 1- Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições: a) (p q) ~p b) (~p q) q c) p ~q p q d) (~p q) q q e) (p q) q r f) ((p q) r) ((p q) ~r) g) ~(p v ~q) h) ~(p ~q) i) p ^ q p v q j) ~p (q p) k) (p q) p ^ q l) ~p ^ r q v ~r m) p r q v ~r n) p (p ~r) q v r 0) (p ^ q r) v (~p q v ~r) 2) Dada a proposição P(p,q) = (p ~q) ((~p q) q), determine: a) P(VV) b) P(VF) c) P(FV) d) P(FF) 3) Determinar P (VV, VF, FV, FF) em cada um dos seguintes casos: a) P(p, q) = ~(~q p) b) P(p, q) = ~p v ~q p c) P(p, q) = (p v q) ~(p q) d) P(p, q) = (p v ~q) v (~p v q) e) P(p, q) = ~((p v q) (p v ~q) 4) Determine P(VFV) em cada caso: a) P(p,q,r) = (p q) (r ~p) b) P(p, q, r) = ~p v (q ~r) c) P(p, q, r) = (p v q) (p v r) d) P(p, q, r) = (p v ~r) (q v r) (r ~p)

38 38 5) Sabendo que os valores lógicos das proposições simples p, q e r são respectivamente V, V e F, determine o valor lógico da proposição composta P(p,q,r) = ((p q) r) (p ~r). 6) Sabendo que a proposição P(p,q) = ~p q ~q r ~r é uma bicondicional. Converta-a, usando parênteses, em: 5.1) Condicional. 5.2) Disjunção. 5.3) Conjunção. 7) Transformar a proposição P(p,q)=(((~p) q) (~q)) numa proposição mais simples (subtrair parêntesis). 8) Dadas as proposições: p: 2.(5 4) = 2, q: = 6 e r: = 2. Construa a tabela verdade da das proposições compostas abaixo: a) A(p,q): (~p q) (~q p) b) B(p,r): ((~p r) ~r) (p ~r) c) C(p,q,r): ((p q) (~q r)) ~r d) D(p,q,r): ((~p q) r) (p ~r) SÍNTESE DA UNIDADE Nesta unidade, você aprendeu a Construir tabela-verdade de uma proposição composta; a calcular o valor lógico de uma proposição composta e utilizar parêntesis na simbolização das proposições. Logo, a partir desse momento você está capaz de iniciar a III unidade. UNIDADE III - TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÕES, CONTINGÊNCIAS, IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA LÓGICA: Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:

39 39 - Definir tautologia, contradição e contingência. - Definir Implicação Lógica. - Identificar as propriedades da Implicação lógica. - Definir Equivalência Lógica. - Identificar as propriedades da Equivalência Lógica. - Definir proposição associada a uma condicional. - Definir negação conjunta de duas proposições. Nessa unidade-iii, abordaremos o estudo sobre a existência de tautologia, contradição ou de contingência numa proposição composta, citaremos as propriedades da Implicação e Equivalência Lógica, definiremos proposição associada a uma condicional e negação conjunta de duas proposições. Além disso, estão disponibilizados exercícios e atividades para facilitar o aprendizado. Durante a utilização de tabelas-verdade, observamos que essas tabelas podem apresentar como resultado valor lógico verdade ou valor lógico falsidade ou ambos. Em decorrência disso, vamos definir Tautologia, Contradição e Contingência. 01- Tautologia: é toda proposição composta que apresenta na última coluna da sua tabela-verdade apenas o valor lógico verdade. Exemplo: - Verificar se a proposição P(p,q) = (p q) (p q) é tautológica. Solução: p q (p q) (p q (p q) (p q) V V V V V V F F F V F V F V V

40 40 F F V V V Observe que a resposta apresenta somente valor lógico verdade, logo, P é uma tautologia. 02- Contradição: é toda proposição composta que apresenta na última coluna da sua tabela-verdade apenas o valor lógico falsidade. Exemplo: - Verificar se a proposição P(p,q) = ~p (p ~q) é uma contradição. Solução: p q ~p ~q (p ~q) ~p (p ~q) V V F F F F V F F V V F F V V F F F F F V F F F Observe que a resposta apresenta somente valor lógico falsidade, logo, P é uma contradição. 03- Contingência: é toda proposição composta que apresenta na última coluna da sua tabela-verdade os valore lógicos verdade e falsidade. Exemplo: Verificar se a proposição P(p,q) = (p q) (p ~q) é uma contingência. Solução: p q ~q (p q) (p ~q) (p q) (p ~q) V V F V F V V F V F V V F V F F F F

41 41 F F F V F V Note que o resultado tem valor lógico verdade e falsidade, logo, P é uma contingência. Exercício: - Verificar se as proposições apresentam tautologia, contradição ou contingência. a) P(p,q) = (p q) (p ~q) b) P(p,q) = (q p) (p q) c) P(p,q) = ((p q) p) q d) P(p,q) = ((p q) ~p) ~q) e) P(p,q) = (p q) (p (q r)) f) P(p,q) = (p q) (p q) 04- IMPLICAÇÃO LÓGICA () Definição: a proposição P implica a proposição Q, quando a condicional P Q for uma tautologia. Simbolicamente representamos a implicação lógica por P Q. Exemplo: - Dadas as proposições P(p,q): p q, Q(p,q): p q e R(p,q): q v p, verifique se: a) P Q b) P R c) Q R - Construir a tabela-verdade das proposições P, Q e R, temos: P Q R p q (q p) (p q) (p q) P Q P R Q R V V V V V V V V V F F F V V V V F V F F V V V V F F F V F V V F Note que as condicionais P Q e P R são tautológicas, logo, a proposição P implica tanto a proposição Q, como a proposição R (P Q e P

42 42 R). Contudo, a proposição Q não implica a proposição R (Q R), pois a condicional Q R não é tautológica. Propriedades da Implicação Lógica: Seja P, Q e R proposições compostas: 1 a ) Reflexiva: P Q 2 a ) Transitiva: Se P Q e Q R, então P R Exercícios: 1) Dadas as proposições P(p,q) = p q, Q(p,q) = p q e R = p V q, verificar se: a) P Q b) P R c) Q R 2) Verifique se P = (p q) ~p implica Q = q. 05- EQUIVALÊNCIA LÓGICA () Definição: Uma proposição composta P é equivalente a uma proposição composta Q, se as tabelas-verdade de ambas as proposições são idênticas, ou se a bicondicional P Q é tautológica. P(p,q,...) Q(p, q,...) Exemplo: Verifique se as proposições P(p,q): p (p q) e Q(p,q): p q são equivalentes. Solução: P Q p q (p q) p (p q) (p q) P Q V V V V V V V F F F F V F V F V V V F F V V V V

43 43 Note que as proposições P e Q além de apresentarem tabelas-verdade idênticas, a bicondicional entre elas (P Q) é tautológica, logo, estas proposições são equivalentes. p (p q) p q Nota: os símbolos,, e são distintos, onde os dois primeiros fazem parte de operação lógica, enquanto os dois últimos de relação. Propriedades da Equivalência Lógica: Seja P, Q e R proposições compostas: 1 a ) Reflexiva: P Q 2 a ) Transitiva: Se P Q, então Q P 3 a ) Simétrica: Se P Q e Q R, então P R Exercícios: 1) Verifique se P: p (p q) e Q: p p são equivalentes. 2) A condicional P: p q é equivalente a conjunção Q: ~p q? 3) Sabendo que P: p q, Q = (p q) (p q) e R: (p q) (q p), verifique se: 3.1) P Q 3.2) P R b) R Q 4) Sabendo que k é uma proposição que encerra somente valor lógico falsidade, P(p,q): (p ~q) k e Q(p,q): p q, verifique se as proposições P e Q são equivalentes, ou seja, se a bicondicional P Q é tautológica. 5) Construa a tabela da bicondicional (((p q) r) (p (q r))), verificando se existe equivalência entre as condicionais ((p q) r) e (p (q r)). 06- Proposições Associadas a uma Condicional. - Denominam-se proposições associadas a condicional p q as três seguintes proposições condicionais que contêm p e q:

44 44 1- Proposição recíproca de p q: q p. 2- Proposição contrária de p q: ~p ~q. 3- Proposição contrapositiva de p q: ~q ~p. Exemplo: Construindo a tebela-verdade das proposições p q, q p, ~p ~q e ~q ~p, temos: p q ~p -q p q q p ~p ~q ~q ~p V V F F V V V V V F F V F V V F F V V F V F F V F F V V V V V V - Observe que as condicionais p q e ~q ~p são idênticas, logo, são equivalentes. p q ~q ~p - Também as condicionais q p e ~p ~q são idênticas, logo, são equivalentes. p q ~p ~q Exercícios: 1- Encontre a contrapositiva da condicional p q: Se Paulo é Paysandu, então é feliz. A contrapositiva da condicional p q é ~p ~q: Se Paulo é infeliz, então não é Paysandu. 2- Encontre a contrapositiva de p ~q. 3- Encontre a contrapositiva da recíproca de p q. 07- Negação Conjunta de duas Proposições - Denomina-se negação conjunta de duas proposições p e q a proposição não p e não q, representada simbolicamente por ~p ~q ou p q. Logo: p q ~p ~q. p q p q

45 45 V V V F F V F F F F F V 08- Negação Disjunta de duas Proposições - Denomina-se negação disjunta de duas proposições p e q a proposição não p ou não q, representada simbolicamente por ~p ~q ou p q. Logo: p q ~p ~q. p q p q V V V F F V F F F V V V Os símbolos e são chamados conectivos de SCHEFFER. Exercícios: 1- Verifique as equivalências abaixo utilizando tabela-verdade: 1.1- ~p p p 1.2- p q (p q) (p q) 1.3- p q (p p) (q q) 2- Se o valor lógico da proposição p é a falsidade e os valores lógicos das proposições q e r são verdades, encontre o valor lógico das seguintes proposições: 2.1- (p ~q) (q ~r)

46 (~p ~q) ((q p) (r p)) 2.3- (r q) (p ~q) 3- Verifique se a proposição (p (q ~p)) (~q p) é tautológica. SÍNTESE DA UNIDADE Nesta unidade, você definiu Implicação Lógica; Identificou as propriedades da Implicação lógica, definiu Equivalência Lógica, identificou as propriedades da Equivalência Lógica, definiu proposição associada a uma condicional e conceituou negação conjunta de duas proposições. Logo, a partir desse momento você está capaz de iniciar a IV unidade. UNIDADE I V ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de: - Citar as propriedades da conjunção, da disjunção e da conjunção e disjunção. - Negar a condicional e a bicondicional. - Empregar o método dedutivo. - Reduzir o número de conectivos. - Definir forma normal das proposições. - Conceituar Princípio da Dualidade. Nessa unidade-iv, abordaremos as propriedades da conjunção, da disjunção e da conjunção e disjunção utilizando tabelas-verdade, demonstraremos as implicações e equivalências por meio do método denominado Método Indutivo, usaremos técnicas para reduzir o número de conectivos e aplicaremos o Princípio da Dualidade. Além disso, estão disponibilizados exercícios e atividades para facilitar o aprendizado.

47 Álgebra das Proposições 1.1- Propriedades da Conjunção 1 a ) Idempotente: p p p (p uma proposição simples) - Observe a tabela-verdade abaixo. p pp ppp V V V F F V As tabelas-verdade das proposições p e p q são idênticas, ou seja, a bicondicional é tautológica, logo, (p q) é equivalente a p. p q p Exemplo: a = 7 a = 7 a = 7 2 a ) Comutativa: p q q p (p e q proposições simples) - Observe a tabela-verdade abaixo. p q p q q p p q q p V V V V V V F F F V F V F F V F F F F V As tabelas-verdade das proposições p q e q p são idênticas, ou seja, a bicondicional p q q p é tautológica, logo, (p q) é equivalente a (q p). p q q p Exemplo: x = x < 7 x < 7 x = a ) Associativa: (p q) r p (q r) (p, q e r proposições simples) - Observe a tabela-verdade abaixo. p q r (p q) (p q) r (q r) p (q r) (p q) r p (q r) V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F F F F V V F F F F F F V

48 48 F V V F F V F V F V F F F F F V F F V F F F F V F F F F F F F V As tabelas-verdade das proposições (p q) r e p (q r) são idênticas, ou seja, a bicondicional (p q) r p (q r) é tautológica, logo, (p q) r é equivalente a p (q r). (p q) r p (q r) Exemplo: (x = 3 x > 1) x < 5 x = 3 (x > 1 x < 5) 4 a ) Identidade: (p a) p e (p b) b (a e b proposições simples, onde a encerra somente a verdade e b a falsidade). - Observe a tabela-verdade abaixo. p a b (p a) (p b) (p a) p (p b) b V V F V F V V F V F F F V V - As proposições a e b são respectivamente elemento neutro e elemento absorvente da conjunção. Exemplo: x 2 /x/ 0 x 2 x 2 /x/ < 0 /x/ < Propriedades da Disjunção 1 a ) Idempotente: p p p (p uma proposição simples) - Observe a tabela-verdade abaixo. p p p p p p V V V F F V

49 49 As tabelas-verdade das proposições p e p q são idênticas, ou seja, a bicondicional é tautológica, logo, (p q) é equivalente a p. p q p Ex: 0 < x < 2 0 < x < 2 0 < x < 2 2 a ) Comutativa: p q q p (p e q proposições simples) - Observe a tabela-verdade a seguir: p q p q q p p q q p V V V V V V F V V V F V V V V F F F F V As tabelas-verdade das proposições p q e q p são idênticas, ou seja, a bicondicional p q q p é tautológica, logo, (p q) é equivalente a (q p). p q q p Exemplo: a = 4-5 a < 2-3 a < 2-3 a = a ) Associativa: (p q) r p (q r) (p, q e r proposições simples) - Observe a tabela-verdade abaixo. p q r (p q) (p q) r (q r) p (q r) (p q) r p (q r) V V V V V V V V V V F V V V V V V F V V V V V V V F F V V F V V F V V V V V V V F V F V V V V V F F V F V V V V F F F F F F F V

50 50 As tabelas-verdade das proposições (p q) r e p (q r) são idênticas, ou seja, a bicondicional (p q) r p (q r) é tautológica, logo, (p q) r é equivalente a p (q r). (p q) r p (q r) Exemplo: (x 3 x > 4) x < 6 x 3 (x > 4 x < 6) 4 a ) Identidade: (p a) a e (p b) p (a e b proposições simples, onde a encerra somente a verdade e b a falsidade). - Observe a tabela-verdade abaixo. p a b (p a) (p b) (p a) a (p b) b V V F V V V V F V F V F V V - Observe que as proposições a e b são respectivamente elemento absorvente e elemento neutro da disjunção. Exemplo: x 2 /x/ 0 /x/ 0 x 2 /x/ < 0 x PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO E DISJUNÇÃO 1 a ) Distributiva: Dadas as equivalências lógicas abaixo, onde p, q e r são proposições simples p (q r) (p q) (p r) 1.2- p (q r) (p q) (p r) - Observe a tabela-verdade da proposição p (q r) (p q) (p r).

51 51 p q r (qr) p(qr) (pq) (pr) (pq)(pr) p(qr)(pq)(pr) V V V V V V V V V V V F V V V F V V V F V V V F V V V V F F F F F F F V F V V V F F F F V F V F V F F F F V F F V F F F F F V F F F F F F F F V As tabelas-verdade das proposições p (q r) e (p q) (p r) são idênticas, ou seja, a bicondicional p (q r) (p q) (p r) é tautológica, logo, p (q r) é equivalente a (p q) (p r). p (q r) (p q) (p r) - Note a tabela-verdade da proposição p (q r) (p q) (p r). p q r (qr) p(qr) (pq) (pr) (pq)(p r) p(qr)(pq)(pr) V V V V V V V V V V V F F V V V V V V F V F V V V V V V F F F V V V V V F V V V V V V V V F V F F F V F F V F F V F F F V F V F F F F F F F F V As tabelas-verdade das proposições p (q r) e (p q) (p r) são idênticas, ou seja, a bicondicional p (q r) (p q) (p r) é tautológica, logo, p (q r) é equivalente a (p q) (p r). p (q r) (p q) (p r) Observe que as bicondicionais p (q r) (p q) (p r) e p (q r) (p q) (p r) são tautológicas, portanto, a equivalência 1.1 explica que a conjunção é distributiva em relação à disjunção e a equivalência 1.2 explica que a disjunção é distributiva em relação à conjunção.

52 52 Exemplo: 1- A proposição João pratica esporte e Carlos estuda ou passeia é equivalente a proposição João pratica esporte e Carlos estuda ou João pratica esporte e Carlos passeia. 2- chove ou faz vento e frio é equivalente a chove ou faz vento e chove ou faz frio 02) Absorção: 2.1- p (p q) p p q p q p (p q) p (p q) p V V V V V V F V V V F V V F V F F F F V Observe que as proporções p (p q) e p apresentam tabelas-verdade idênticas, ou seja, a bicondicional p (p q) p é tautológica, logo, a equivalência p (p q) p existe p (p q) p p q p q p (p q) p (p q) p V V V V V V F F V V F V F F V F F F F V Observe que as proporções p (p q) e p apresentam tabelas-verdade idênticas, ou seja, a bicondicional p (p q) p é tautológica. Logo, a proposição p (p q) é equivalente a proposição p. Regras de Morgan:

53 53 1ª) A negação de uma conjunção entre duas proposições simples é equivalente a disjunção das negações das proposições. ~(p q) ~p ~q é inteligente e estuda é equivalente a não é inteligente ou não estuda 2ª) A negação de uma disjunção entre duas proposições simples é equivalente a conjunção das negações das proposições. ~(p q) ~p ~q é médico ou professor é equivalente a não é médico e não é professor p q ~p ~q p q ~(p q) ~p ~q ~(p q) ~p ~q V V F F V F F V V F F V F V V V F V V F F V V V F F V V F V V V Observe que as proporções ~(p q) e ~p q apresentam tabelas-verdade idênticas, ou seja, a bicondicional ~(p q) ~p ~q é tautológica. Logo, a proposição (p q) é equivalente a proposição p ~q. Note que as Regras de Morgan demonstram que a negação transforma a conjunção em disjunção e a disjunção em conjunção. 03- Negação da Condicional Já vimos que a condicional p q é equivalente a (~p q), logo, negando a condicional temos: a) p q ~p q ~( p q) ~(~p q) ~~p ~q p ~q b) ~( p q) p ~q Observe as tabelas-verdade das proposições (~( p q) e (p ~q)) p q ~q ( p q) ~( p q) p ~q ~( p q) p ~q