CálculoDiferencialem R n Domínios

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1 ROSÁRIO LAUREANO 1 CálculoDiferencialem R n Domínios [Elaborado por Rosário Laureano] [2012/13] Esteficheirocontém: 1. Tópicosdeteoria-domíniosdedefinição(p. 1) 2. Exercícios resolvidos(p. 4) 3. Exercício propostos(p. 8) 1 Tópicosdeteoria-domíniosdedefinição Função real com múltiplas variáveis Uma função real (ou escalar) de n (com n > 1) variáveis reais (também se diz de variável vectorial x =(x 1,...,x n ))éumafunçãof cujodomínioéumsubconjunto der n ecujocontradomínioéumsubconjuntoder, f : D f R n R (x 1,...,x n ) D f y=f(x 1,...,x n ) R. É definida por uma expressão com n variáveis x 1,...,x n. A designação "função real" indica que o contradomínio é um subconjunto de R. No caso mais simples de n = 2 temos f : D f R 2 R de variável vectorial x =(x 1,x 2 ). Nestecasoográficodef Gr(f)= (x 1,x 2,y) D f R R 2 R y=f(x 1,x 2 ) } R 3 pode ser pensado como uma superfície no espaço 1. É o caso do seguinte exemplo. Example1 Afunçãof :R 2 Rdefinidapor f(x,y)=x 2 +y 2, 1 Quando n = 1 (ou seja, para f : D f R R) é usual a designação de função real/escalar de variável real/escalar(f.r.v.r.) e o gráfico Gr(f)=(x,y) D f R R R y=f(x)} R 2 podeserpensadocomoumacurvanoplano.

2 ROSÁRIO LAUREANO 2 dedomíniod f =R 2, temcomográfico umparabolóidede vértice noponto (0,0,0). Asfunçõesg:R 2 Reh:R 2 Rdefinidaspor g(x,y)=5+x 2 +y 2 e h(x,y)=(x 3) 2 +y 2, respectivamente, têm o mesmo domínio que f, D g,h = R 2. No entanto, o gráficodeg éumparabolóidedevérticenoponto(0,0,5)eográficodehé umparabolóidedevérticenoponto(3,0,0). Os gráficos de g e de h correspondem a translações do gráfico de f, translaçãosegundoovector v =(0,0,5)nocasodeg etranslaçãosegundo ovector v =(3,0,00)nocasodeh. Função vectorial de múltiplas variáveis Uma função vectorial (ou campo de vectores) de n variáveis reais é uma função F cujo domínio é um subconjunto de R n e cujo contradomínio é um subconjunto der m comm 2,ouseja, F : D F R n R m comm 2 (x 1,...,x n ) (y 1,...,y m ) R m. emque(y 1,...,y m )=(F 1 (x 1,...,x n ),...,F m (x 1,...,x n )) R m. Édefinida porumsistemademfunçõesf 1,...,F m reaisdenvariáveisreais,designadas porfunçõescomponentesdafunção F. Example2 Afunção F :R\1} R R 3 definidapor ( ) F(x)= x+3,x 2 2, x 1 é uma função vectorial de variável real/escalar. As suas funções componentes são F 1 (x,y)=x+3, F 2 (x,y)=x 2 e F 3 (x,y)= 2 x 1. Example3 Afunção F :R 3 \(0,0, 2)} R 3 R 4 definidapor ( ) 4 F(x1,x 2,x 3 )= x 1 +2,x 1 x 3,x 1 +x 2 +2x 3, x 2 1+x 2 2+(x 3 +2) 2

3 ROSÁRIO LAUREANO 3 éumafunçãovectorialdevariávelvectorial x =(x 1,x 2,x 3 ). Assuasfunções componentes são F 1 (x 1,x 2,x 3 )=x 1 +2, F 2 (x 1,x 2,x 3 )=x 1 x 3, F 3 (x 1,x 2,x 3 )=x 1 +x 2 +2x 3 e F 4 (x 1,x 2,x 3 )= 4 x 2 1+x 2 2+(x 3 +2) 2. Nocasomaissimplesemquam=2temos F : R R 2 entãoo gráficode F é Gr( F)= (x,y 1,y 2 ) R 2 R R 2 y 1 =F 1 (x) y 2 =F 2 (x) } R 3 epodeserpensadocomoumacurvanoespaço. Quando n = 1 (ou seja, para F : R R m com m 2) é ainda usual a designação de função vectorial de variável real/escalar, e quando n 2 é usual a designação de função vectorial de variável vectorial x =(x 1,...,x n ). Domínios(dedefinição) Dadaumfunçãorealf :D f R n Rou umafunçãovectorial F : R n R m,podemconstituiroseudomínio todososelementosder n paraosquaisépossívelefectuar(emr)todasas operações indicadas na(s) expressão(ões) que define(m) a função. Para tal, háqueteremcontaoseguinte: umquociente u v estádefinidoparav 0 umradicaldeíndicepar n u(comnpar) estádefinidoparau 0 umafunção u v estádefinidaparau>0 umlogaritmo log a u (coma>0, a 1)estádefinidoparau>0 tangente tanu estádefinidaparau ± π 2 +2kπ, comk Z cotangenmte cotu estádefinidaparau ±π+2kπ, comk Z arcoseno arcsinu earcocoseno arccosu estãodefinidospara 1 u 1.

4 ROSÁRIO LAUREANO 4 Odomínio com F (x1,...,x n )=(F 1 (x 1,...,x n ),...,F m (x 1,...,x n )) correspondeàintersecçãodosdomíniosdasfunçõescomponentesf 1,...,F m, ou seja, =D F1 D Fm. Example4 Afunção F :R R\0} R 2 R 3 definidapor ( F(x,y)=(F1 (x,y),f 2 (x,y),f 3 (x,y))= x 2 +y 2, x ) y, 1 y+2 tem por funções componentes Temos F 1 (x,y)=x 2 +y 2, F 2 (x,y)=x/y e F 3 (x,y)=1/(y+2). que corresponde à intersecção =R R\ 2,0} R 2 = D F1 D F2 D F3 = R 2 (R R\0}) (R R\ 2})=R R\ 2,0}. 2 Exercícios resolvidos Exercício DetermineodomíniodedefiniçãoD f dafunção 4 (x+1) 2 y 2 f(x,y)=. 4 y x 2 RESOLUÇÃO: Temos D f = (x,y) R 2 4 (x+1) 2 y } y x 2 0 y x 2 0 = (x,y) R 2 (x+1) 2 +y 2 4 y x 2 0 y x 2 0 } = (x,y) R 2 (x+1) 2 +y 2 4 y>x 2}.

5 ROSÁRIO LAUREANO 5 A condição (x+1) 2 +y 2 4 define o círculo de centro ( 1,0) e raio 2, enquantoacondiçãoy>x 2 definearegiãodoplanoacimadaparábolade equaçãoy=x 2 (acurvadaparábolanãoestáincluída). Estaparábolatem concavidade virada para cima e vértice na origem. O domínio corresponde então à intersecção do círculo com a região acima da parábola. Exercício DetermineodomíniodedefiniçãoD f dafunção x 2 +y 2 sex 2 +y 2 <1e(x,y) (0,0) ln(x f(x,y)= 2 +y 2 ) 0 se(x,y)=(0,0). RESOLUÇÃO: Temos D f =D 1 D 2 sendod 1 definidopelo1 o ramodedefiniçãoed 2 definidopelo2 o ramode definição. Como tal, D f =D 1 D 2 =D 1 (0,0)}. DeterminemosentãoD 1. Parax 2 +y 2 <1(1 o ramodedefinição)e(x,y) (0,0)(1 o ramodedefinição),exigimosquex 2 +y 2 >0(atendendoàfunção logarítmica)eln(x 2 +y 2 ) 0(atendendoàfracção). Temosentãoaseguinte conjunção( ) de condições x 2 +y 2 >0 x 2 +y 2 >0 x 2 +y 2 >0 ln(x 2 +y 2 ) 0 ln(x 2 +y 2 ) ln1 x 2 +y 2 1. x 2 +y 2 <1 x 2 +y 2 <1 x 2 +y 2 <1 (x,y) (0,0) x 0 y 0 x 0 y 0 A condição x 2 +y 2 > 0 é verdadeira sempre que x 0 y 0, ou seja, sempreque(x,y) R 2 \(0,0)}(atodooplanoR 2 éretiradooponto(0,0) obtendo-ser 2 \(0,0)}). Acondiçãox 2 +y 2 <1correspondeaoconjuntodos pontosdointeriordocírculodecentro(0,0)eraio1(acircunferêncianãoestá incluída;notequetambémacondiçãox 2 +y 2 1excluiacircunferência). Considerando a intersecção destes elementos geométricos, temos D 1 = (x,y) R 2 x 2 +y 2 <1 (x,y) (0,0) }

6 ROSÁRIO LAUREANO 6 quecorrespondeaointeriordocírculodecentro(0,0)eraio1exceptuando oseucentro(0,0). Atendendoaooutroramodedefinição,temos D 2 =(0,0)}. Odomíniodafunçãoéentãodadopor D f = D 1 (0,0)} = (x,y) R 2 x 2 +y 2 <1 (x,y) (0,0) } (0,0)} = (x,y) R 2 x 2 +y 2 <1 }, ouseja,ospontosdointeriordocírculodecentro(0,0)eraio1. Exercício DetermineodomíniodedefiniçãoD f dafunção ln(y x 2 ) se (x,y) 2 f(x,y)=. 1 x2 y 2 se (x,y) <2 RESOLUÇÃO: Temos D f =D 1 D 2 sendod 1 definidopelo1 o ramodedefiniçãoed 2 definidopelo2 o ramode definição. Temos D 1 = (x,y) R 2 y x 2 >0 (x,y) 2 } e D 2 = (x,y) R 2 1 x 2 y 2 0 (x,y) <2 } Considerandoanormaeuclidiana, (x,y) = x 2 +y 2,temosentão D 1 = (x,y) R 2 y>x 2 } x 2 +y 2 2 = (x,y) R 2 y>x 2 x 2 +y 2 4 }

7 ROSÁRIO LAUREANO 7 e D 2 = (x,y) R 2 x 2 y 2 1 } x 2 +y 2 <2 = (x,y) R 2 x 2 +y x 2 +y 2 <4 } = (x,y) R 2 0 x 2 +y 2 1 }. Portanto, D f = D 1 D 2 = (x,y) R 2 y>x 2 x 2 +y 2 4 } (x,y) R 2 0 x 2 +y 2 1 }, emqued 1 éaregiãoacimadaparábolay=x 2 (semaincluir)queestána circunferência de centro (0,0) e raio 2 e no seu exterior, enquanto D 2 é o círculodecentro(0,0)eraio1. Exercício Considere a funçãovectorial F : R 2 R 2 definida por F 1 (x,y)=y+ x x 2 F(x,y) F 2 (x,y)= Determineodomíniodedefiniçãodafunção F. 1. xy 1 RESOLUÇÃO: Sejam as funções componentes F 1 (x,y)=y+ x x 2 e F 2 (x,y)= 1 xy 1 Odomíniode F éaintersecçãodosdomíniosdassuasfunçõescomponentes, =D F1 D F2. Temos D F1 = (x,y) R 2 x x 2 0 } = (x,y) R 2 x(1 x) 0 }

8 ROSÁRIO LAUREANO 8 e D F2 = (x,y) R 2 } xy 1 0 xy 1 0 = (x,y) R 2 xy 1 0 xy 1 0 } = (x,y) R 2 xy 1>0 } = (x,y) R 2 xy>1 }. Acondiçãox(1 x) 0éverdadeirasemprequex [0,1]ey R,atendendo ao sinal da abcissa dos pontos da parábola com concavidade virada para baixo ecujoszerossão0e1. Logo D F1 =[0,1] R. Considerandoentãoquex 0,acondiçãoxy>1éequivalenteay>1/x parax 0. Considerandox=0obteríamosaproposiçãofalsa0>1apartir dacondiçãoxy>1,paraqualquery R. Concluímosentãoque = (x,y) R 2 x ]0,1] y> 1 }. x 3 Exercício proposto Exercício Considereafunçãovectorial F : R 2 R 2 definidapor 1 F 1 (x,y)= xy 1 F(x,y): F 2 (x,y)=x+. y y 2 Determineodomínio erepresente-ograficamente.