Bioinformática Avançada e Biologia de Sistemas Optimização

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1 Bioinformática Avançada e Biologia de Sistemas Optimização Mestrado em Bioinformática EXERCÍCIOS TEÓRICO-PRÁTICOS Ano lectivo de 2007/2008

2 Mestrado em Bioinformática - Optimização - A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas 1 1 MATLAB Operações básicas 1.1 Dada a matriz A = e o vector b = (14.6, 11.4, 14.0, 0.9) T. Usando o MATLAB: (a) Resolva o sistema. (b) Calcule o deterante da matriz A. (c) Calcule A A aplicação da lei de voltagem nos nós para o circuito apresentado na figura resulta no seguinte sistema linear: V 1 8V 2 3V 3 = 480 2V 1 + 6V 2 3V 3 = 0 V 1 4V V 3 = 0 Usando o MATLAB (a) Resolva o sistema. (b) Calcule a inversa e o deterante da matriz dos coeficientes do sistema linear. 1.3 Localize através do gráfico as raízes das equações não lineares em x: (a) f(x) x 3 3x + 1 = 0; (b) f(x) sen(x) + x 2 = 0; (c) f(x) e x + x 1 = 0; (d) f(x) x + ln(x) = Sabendo que x 3 3x+1 = 0 é equivalente a x 3 = 3x 1, desenhe os gráficos de x 3 3x+1, x 3, 3x 1 e confirme que o zero da primeira função é o ponto de intersecção das outras duas funções. 1.5 A equação f (x) 1 + (sec(x)) 1 2 tg (x) = 0 surge na teoria das reacções nucleares e tem várias raízes. Desenhe o gráfico no intervalo [1,1.5] usando o MATLAB. Detere um zero da função usando o gráfico para obter uma aproximação inicial.

3 Mestrado em Bioinformática - Optimização - A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas Baseado num trabalho de Frank-Kamenetski, em 1955, a temperatura no interior de um material, quando envolvido por uma fonte de calor, pode ser deterada se resolvermos a seguinte equação não linear em x: Para L = 0.088, calcule a raiz da equação: e 0.5x cosh(e 0.5x ) = 0.5L (a) através do desenho do gráfico em MATLAB; (b) usando a função fzero, usando como aproximação inicial x 0 = 0.5. (Use um ficheiro M e o inline para definir a função). 2 MATLAB - Optimização não linear sem restrições 2.1 Dada a função detere os seus pontos extremos. 2.2 Dada a função f : R 3 R definida por f (x) = x 3 6x 2 + 9x + 4 f (x 1,x 2,x 3 ) = 5x x x x 3 + 6x 1 x 2 + 5x 2 verifique que ela tem apenas um ponto estacionário. Classifique-o. 2.3 Considere a função Mostre que: f (x,y) = 3x 2 1 x x 3 1 (a) a função dada tem um máximo local em ( 2,0) T ; (b) a função dada tem um ponto de sela em (0,0) T ; (c) a função dada não tem mínimos. 2.4 Uma empresa produz dois artigos A e B. O custo de produção é dado por: C = f (q 1,q 2 ) = 10q q q 1 900q onde C é o custo total de produção (em euros), q 1 e q 2 são, respectivamente, as quantidades produzidas dos artigos A e B. Pretende-se deterar as quantidades que permitem imizar o custo total. (a) Utilize um método de procura directa considerando n max = 10. Considere o seguinte ponto inicial: x 0 = (0.75,6.125) T. (b) Use as condições de optimalidade de primeira e segunda ordem para obter a solução exacta do problema.

4 Mestrado em Bioinformática - Optimização - A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas Calcule o mínimo da função f (x) definida por f (x 1,x 2 ) = max ((x 1 1) 2,x (x 2 1) 2) usando a função MATLAB mais adequada. Use como aproximação inicial o vector x 0 = (1,1) T. 2.6 No planeamento da produção de dois produtos, uma deterada companhia espera obter lucros iguais a P: P(x 1,x 2 ) = 3(1 e 1.2x 1 ) + 4(1 e 1.5x 2 ) + (1 e x 1x 2 ) x 1 x 2 em que x 1 e x 2 são respectivamente, as quantias gastas para produzir e promover os produtos 1 e 2, em unidades de 10 5 e. Detere o máximo de P e os valores óptimos de x 1 e x 2 usando como aproximação inicial o vector x o = (0.5,0.5) T. Considere como critério de paragem um erro relativo em x e no valor da função objectivo de 10 8 e 10 5, respectivamente. 2.7 Três estações eléctricas vão fornecer energia a uma certa região da forma mais económica possível. Os custos individuais de operação de cada uma das estações são dados por f 1 = x f 2 = y y 2 f 3 = z z z 3 em que x, y e z são as energias fornecidas pelas três estações (em MWatt). Detere os valores de x, y e z que imizam o custo total se a energia total a ser fornecida for de 100MWatt, recorrendo ao MATLAB. Como valores iniciais use (y,z) (1) = (30,50). NOTA: Use a restrição relacionada com a energia a fornecer, para eliar uma das variáveis, por exemplo, x = 100 y z. 2.8 Dada a função f : R 2 R definida por f (x 1,x 2 ) = x 2 1 6x2 2 calcule o seu máximo usando o MATLAB incluindo o uso de derivadas. O processo iterativo deve ser iniciado com o ponto (1, 1). 2.9 A energia potencial de duas barras ligadas, como ilustra a figura, é dada por: f(x 1,x 2 ) = EA ( ) l 2 x 2 1 s 2s + EA s ( ) h 2 x 2 2 s Px 1cos(θ) Px 2 sen(θ) em que E = Pa (modulus de Young), A = 10 5 m 2 (área transeccional de cada barra), l = 1.5m (distância entre as duas barras), s é o comprimento das barras, h = 4m (altura da ligação), P = 10 4 N (força aplicada), θ = rad (ângulo a que a força é aplicada) e x 1 e x 2 são respectivamente, a componente horizontal e vertical da energia potencial no ponto de aplicação.

5 Mestrado em Bioinformática - Optimização - A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas 4 Calcule os valores de x 1 e x 2 que imizam a energia potencial usando o MATLAB A figura ao lado representa uma caixa cuja parte superior e inferior é formada por abas que permitem fechá-la. Pretendese detere as dimensões da caixa que imizam o gasto de material na sua construção, sabendo que a sua capacidade (volume da caixa) deve ser de 10 dm 3. Use a restrição do volume para eliar a variável x 3 na função a imizar obtendo uma função em x 1 e x 2. x 1 x 2 2 x 2 x 1 2 x 3 (a) Use o MATLAB considerando x (0) = (x (0) 1,x(0) 2 )T = (1.5,1.5) T. (b) Use a condição de optimalidade de primeira ordem para obter a solução exacta do problema. Confirme que se trata de um mínimo através da condição de optimalidade de segunda ordem Considere um circuito eléctrico em que existem duas resistências variáveis, R e X, como se mostra na figura abaixo. O valor médio da energia do circuito é dado por P = 10 4 R (R + 20) 2 + X 2. Detere os valores de R e X para os quais se obtém uma energia de saída máxima. Use o MATLAB considerando como aproximação inicial (R,X) (1) = (10,5).

6 Mestrado em Bioinformática - Optimização - A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas Dada a função f : R 2 R definida por f (x 1,x 2 ) = x x2 2 x 1x 2 calcule o seu mínimo usando o algoritmo quasi-newton, na versão DFP. O processo iterativo deve ser iniciado com o ponto (1,0) usando o MATLAB O deslocamento de uma estrutura em oscilação depende de k e do instante t e é dado por f(k,t) = 10e kt cos(ωt). Para ω = 2 detere k e t de modo que o deslocamento seja mínimo. Use o método Quasi-Newton baseado na fórmula BFGS do MATLAB. O processo iterativo deve ser iniciado com o ponto (k,t) (1) = (0.5,10). 3 MATLAB - Optimização não linear com restrições 3.1 Detere e classifique, usando as condições de optimalidade de primeira e segunda ordem, os pontos estacionários dos seguinte problemas de optimização não linear: (a) (hs014) x R 2(x 1 2) 2 + (x 2 1) 2 s.a x x2 2 1 x 1 2x 2 = 1 (b) (hs015) x R 2100(x 2 x 2 1) 2 + (1 x 1 ) 2 s.a x 1 x 2 1 x 1 + x Considere o seguinte problema de optimização: x (x 1 0.5) 2 (x 2 0.6) 2 x R 2 sujeito a x 1 x 2 1 = 0 x x Verifique se o ponto x = (1.6,0.6) T satisfaz as condições de optimalidade de primeira e segunda ordem.

7 Mestrado em Bioinformática - Optimização - A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas Considere o problema x R 2 x2 1 + x2 1 x x 1x 2 + x x 2 s.a 2x 1 + 5x 2 + x 3 = 3. Verifique se os pontos x a = (0,0,2), x b = (0,0,3), x c = (1,0,1): (a) são pontos estacionários da Lagrangeana; (b) são imizantes locais, maximizantes locais ou pontos de descanso. 3.4 Use as condições de optimalidade para deterar o rectângulo cujos lados são paralelos aos eixos e que tem o maior perímetro inscrito na elipse x 2 1 a 2 + x2 2 b 2 = 1. NOTA: Considere o vértice (x 1,x 2 ) do rectângulo no primeiro quadrante. 3.5 Três estações eléctricas vão fornecer energia a uma certa região da forma mais económica possível. Os custos individuais de operação de cada uma das estações são dados por f 1 = x f 2 = y y 2 f 3 = z z z 3 em que x, y e z são as energias fornecidas pelas três estações (em MWatt). Detere os valores de x, y e z que imizam o custo total se a energia total a ser fornecida for de 100MWatt, recorrendo ao MATLAB. Como valores iniciais use (y,z) (1) = (30,50). NOTA: Não use a restrição relacionada com a energia a fornecer para eliar uma das variáveis. 3.6 Considere o seguinte problema de optimização (hs014) x R 2(x 1 2) 2 + (x 2 1) 2 s.a x x2 2 1 x 1 2x 2 = 1 (a) Apresente um gráfico com as curvas de nível da função objectivo e da respectiva região admissível. (b) Através da visualização do gráfico indique quais são os pontos óptimos para o problema. (c) Confirme que os pontos deterados na alínea anterior são de facto óptimos locais, através das condições de optimalidade de primeira e segunda ordem. (d) Use o MATLAB para obter uma solução numérica para o problema.

8 Mestrado em Bioinformática - Optimização - A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas Considere o seguinte problema de optimização com x 0 = (1,...,1) T, e 10 x R 10 s.a x 2 i i=1 ( 10 x i e i=1 ij ( 10 i=1 x 2 i a i e ij = ) ) 1 = 0, j = 1,...,8 4 = 0 { 2 se i = j 1 se i j a i = 1 + (i 1). 3 Use o MATLAB para obter uma solução para o problema. 3.8 Pretende-se desenhar um tanque cilíndrico em que as extremidades são segmentos esféricos, tal como mostra a figura. Despreza-se a espessura das paredes. A área da superfície e o volume de cada um dos segmentos esféricos (se) são dados por A se = π(h 2 + r 2 ) V se = 1 6 πh(3r2 + h 2 ). A área e o volume da parte cilíndrica (c) são dados por A c = 2πrL V c = πr 2 L. Calcule os valores óptimos de h, r e L que maximizam o volume total do tanque, sabendo que a área total da superfície é 0.2m 2. Use o MATLAB para resolver o problema e considere os seguintes valores iniciais (r,h,l) 1 = (0.1,0.05,0.05) T 3.9 Considere a porção de uma esfera com raio r, em que a altura do segmento esférico é h. Detere os valores de r e h de tal forma que o volume, v, desse segmento esférico é máximo, para uma área da superfície A fixa. Assim, o problema pode ser formulado como max v(r,h) = πh 2 (r h 3 ) com 2πrh = A. Resolva o problema com o MATLAB, considerando A = 100.

9 Mestrado em Bioinformática - Optimização - A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas No planeamento da produção de dois produtos, uma deterada companhia espera obter lucros iguais a P: P (x 1,x 2 ) = α 1 (1 e β 1x 1 ) + α 2 (1 e β 2x 2 ) + α 3 (1 e β 3x 1 x 2 ) x 1 x 2 em que x 1 é a quantia gasta para produzir e promover o produto 1, x 2 é a quantia gasta para produzir e promover o produto 2, e os α i s e β i s são constantes definidas. P, x 1 e x 2 estão em unidades de 10 5 euros. Sabendo que a quantia total a ser gasta é de euros, detere o máximo de P e os valores óptimos de x 1 e x 2 sob as seguintes condições: α 1 = 3,α 2 = 4,α 3 = 1,β 1 = 1.2,β 2 = 1.5 e β 3 = 1. Considere como valores iniciais (x 1,x 2 ) 1 = (1,1) para deterar a solução do problema (MATLAB) Qual o ponto da esfera x x2 2 + x2 3 = 1 que está mais afastado do ponto (1,2,3)? 3.12 Numa empresa, a procura anual de um produto é de p = 200 unidades. Para satisfazer os seus clientes, a empresa faz pedidos de compra de q unidades de cada vez, p/q vezes por ano. Seja c 1 = 60 cêntimos o custo de cada pedido de compra. A duração do intervalo entre pedidos é q/p, e a quantidade deste produto em stock em cada intervalo, decresce uniformemente de q a 0, de tal forma que o stock em média é de q/2. O custo de armazenamento do produto é de c 2 = 8 cêntimos, por unidade de produto e por unidade de tempo. Suponha porém que a empresa tem alturas em que o stock se esgota. Se c 3 = 5 cêntimos é o custo resultante da falta de produtos para venda, por unidade de produto e por unidade de tempo, então, o custo total deste problema de controlo de inventário passa a ser f(q,s) = p q c 1 + (q s)2 c 2 + s2 c 3 2q 2q em que s representa o número de produtos em falta. A relação entre q e s tem que ser em cada instante q + s = 10. Neste contexto a restrição não suave pode ser transformada nas restrições seguintes: q + s = 10, q 0, s 0. Pretende-se deterar as quantidades q e s, por forma a imizar o custo total. Considere como valores iniciais (q,s) 1 = (70,41).

10 Mestrado em Bioinformática - Optimização - A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas Considere o seguinte problema de optimização (hs032.mod) (x x R x 2 + x 3 ) 2 + 4(x 1 x 2 ) 2 s.a 6x 2 + 4x 3 x x 1 + x 2 + x 3 = 1 Verifique as condições de optimalidade de primeira e segunda ordem para o ponto x 1 = (1,2, 2). Verifique que a solução 1 do problema x 2 = (0,0,1) não satisfaz as condições de optimalidade de primeira ordem. Resolvendo a segunda restrição (igualdade) em ordem a x 1 e substituindo na função objectivo obtém-se um problema de dimensão dois (n = 2) sem restrições (considerando que a restrição de desigualdade não está activa). Use as condições de optimalidade para problemas sem restrições (gradiente da função objectivo tem de ser nulo) para deterar que o ponto x 3 = ( 1 2, 1 2,2)T é solução do problema. Verifique que x 3 é mínimo local fraco (e é restrição degenerada) (Nash&Sofer) Use as condições de optimalidade para encontrar todos os óptimos locais do problema Atenção as desigualdades!!! x R 2x 1 + x 2 s.a (x 1 1) 2 + x (x 1 + 1) 2 + x Resolva o seguinte problema utilizando uma das funções do MATLAB. Consider the network in the figure below. This represents a set of road intersections, and the arrows indicate the direction of traffic. If few cars are on the roads, the travel times between intersections can be considered as constants, but if the traffic is heavy the travel times can increase dramatically. Let us focus on the travel time between a pair of intersections i and j. Let t i,j be the (constant) travel time when the traffic is light, let x i,j be the number of cars on the road, let c i,j be the capacity of the road, and let αi,j be a constant that measures how rapidly the travel time increases as the traffic get heavier. Then the travel time between intersections i and j could be modeled by 1 Indicada no ficheiro hs032.mod c i,j x i,j T i,j (x i,j ) = t i,j + α i,j. c i,j x i,j

11 Mestrado em Bioinformática - Optimização - A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas 10 If there is no traffic on the road (i j, x i,j = 0) then the travel time is t i,j. If x i,j approaches the capacity of the road, c i,j, then the travel time tends to +. T i,j is a nonlinear function of x i,j. Suppose we wish to imize the total travel time through the network for a volume of cars X. Then our model is subject to the constraints imize f(x) = x i,j T i,j (x i,j ) x 1,2 + x 1,3 = X x 2,3 + x 2,4 x 1,2 = 0 x 3,4 x 1,3 x 2,3 = 0 x 2,4 + x 3,4 = X x i,j 0 The equations ensure that all the cars entering an intersection also leave an intersection. The objective sums up the travel times for all the cars. Para simplificar a notação, use a seguinte correspondência, os valores e X = 200. Índice da variável Par de intersecção i e j 1 1,2 2 1,3 3 2,3 4 2,4 5 3,4 i t i c i α i Considere o problema relaxado, isto é, o problema em que os valores das variáveis x 1,..., x 5 podem aparecer não inteiros e o seguinte vector inicial: Detere x e f(x ). x 1 = (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) 1 = (50,100,50,100,50) Consider the feasible region illustrated in Figure 1 and described by x 1 + x 2 1 This feasible region with nonsmooth boundary can be described by smooth constraints: x 1 + x 2 1 x 1 x 2 1 x 1 + x 2 1 x 1 x 2 1.

12 Mestrado em Bioinformática - Optimização - A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas 11 Figura 1: A feasible region with nonsmooth boundary Figura 2: Problem (1) countor and feasible region Including an objective function, the problem becomes (Figure 2): x R 2f(x) x2 1 + x2 2 (1 x 1x 2 ) 2 subject to x 1 + x 2 1 x 1 x 2 1 x 1 + x 2 1 x 1 x 2 1. (1) Use como aproximação inicial x 1 = (1,1) nas seguintes alíneas. (a) Detere x e f(x ) para o problema (1). (b) Adicionando ao problema (1) a restrição (x 1 1) 2 + x 2 2 = 1, obtém-se o problema

13 Mestrado em Bioinformática - Optimização - A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas 12 Figura 3: Problem (2) countor and feasible region (2), Figura 3: f (x) x R x x 2 2 (1 x 1 x 2 ) 2 s. a x 1 + x 2 1 x 1 x 2 1 x 1 + x 2 1 x 1 x 2 1 (x 1 1) 2 + x 2 2 = 1. (2) Detere x e f(x ) para o problema (2). (c) O problema f (x) x R x x2 2 (1 x 1x 2 ) 2 s. a x 1 + x 2 1 x 1 x 2 1 x 1 + x 2 1 x 1 x 2 1 (x 1 1) 2 + x 2 2 = 1 x x2 2 = 0.5, (3) representado na Figura 4, foi obtido do problema (2), adicionando a restrição x x 2 2 = 0.5. Detere x e f(x ) Resolva o seguinte problema de optimização não linear com restrições, utilizando o pacote de software MATLAB e considerando x 1 = ( 2,2,2, 1, 1) T. f(x) x R ex 1x 2 x 3 x 4 x ( x x ) 2

14 Mestrado em Bioinformática - Optimização - A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas 13 Figura 4: Problem (3) countor and feasible region sujeito a x x2 2 + x2 3 + x2 4 + x = 0 x 2 x 3 5x 4 x 5 = 0 x x = x i 2.3, i = 1,2 3.2 x i 3.2, i = 3,4,5 (a) Sem fornecer derivadas. (b) Fornecendo as primeiras derivadas, quer da função objectivo, quer das restrições Minimize a função f(x) de 10 variáveis, dada pela expressão e sujeita às restrições f(x) 10 j=1 ) x j x j (c j + ln x x 10 x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 6 + x 10 2 = 0 x 4 + 2x 5 + x 6 + x 7 1 = 0 x 3 + x 7 + x 8 + 2x 9 + x 10 = x i, i = 1,...,10 utilizando a toolbox de optimização do MATLAB sem fornecer derivadas. NOTA: Considere o vector (0.1,...,0.1) como valor inicial e c j dado pela tabela seguinte j c j j c j

15 Mestrado em Bioinformática - Optimização - A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas Utilizando o pacote de software MATLAB, resolva o problema de optimização f(x) (x x R x 2 + x 3 ) 2 + 4(x 1 x 2 ) 2 s.a 6x 2 + 4x 3 x x 1 x 2 x 3 = 0 0 x i, i = 1,2,3 Tome para valor inicial x 1 = (0.1,0.7,0.2) T. (a) Sem fornecer derivadas. (b) Fornecendo primeiras derivadas da função e das restrições Resolva o seguinte problema de optimização com restrições x R 4 f(x) x 1x 2 s.a (x 1x 3 + x 2 x 4 ) 2 (x x2 2 ) x 2 3 x = 0 x 1 x x 2 x x 3 x 4 x 4 1, utilizando uma das funções do MATLAB e tomando para aproximação inicial x 1 = (x 1,x 2,x 3,x 4 ) 1 = (1,0,0,1), tolx = e tolfun = (a) Sem fornecer derivadas, detere x, f, número de iterações e o número de cálculos da função objectivo. (b) Fornecendo derivadas, detere x, f, número de iterações e o número de cálculos da função objectivo Considere a região admissível ilustrada na Figura 5 e descrita por: 5 x x 2 5. (4) Incluindo a função objectivo f(x) sin(x 1 x 2 ) + x 1 + x 2 obtém-se o problema: x R 2 f(x) sin(x 1x 2 ) + x 1 + x 2 s. a 5 x x 2 5. (5) em que na Figura 6 se apresentam as curvas de nível. (a) Usando o MATLAB, resolva o problema (5), sem fornecer derivadas, com x 1 = (3,1) T.

16 Mestrado em Bioinformática - Optimização - A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas 15 Figura 5: Região admissível de (4) Figura 6: Curvas de nível do problema (5) (b) Adicionando ao problema a restrição x 1 + x 2 1 0, obtém-se o seguinte problema, representado na Figura 7: x R 2 f(x) sin(x 1x 2 ) + x 1 + x 2 s. a 5 x x 2 5 x 1 + x (6) Resolva o problema (6), sem fornecer derivadas e com x 1 = (3,1) T. Calcule x e f. (c) Obtém-se o problema (7) (cujas curvas de nível são representadas na figura 8) adicionando a restrição x x

17 Mestrado em Bioinformática - Optimização - A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas 16 Figura 7: Curvas de nível do problema (6) x R 2 f(x) sin(x 1x 2 ) + x 1 + x 2 s. a 5 x x 2 5 x 1 + x x x (7) Figura 8: Curvas de nível do problema (7) Resolva o problema (7), sem fornecer derivadas e com x 1 = (3,1) T. Calcule x e f. (d) Obtém-se o problema (8), cujas curvas de nível estão representadas na figura 9,

18 Mestrado em Bioinformática - Optimização - A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas 17 adicionando a restrição x x x R 2 f(x) sin(x 1x 2 ) + x 1 + x 2 x x s. a 5 x x 2 5 x 1 + x x x (8) Figura 9: Curvas de nível do problema (8) Resolva o problema (8), sem fornecer derivadas e com x 1 = (3,1) T. Calcule x e f. (e) Resolva o problema (8), fornecendo as primeiras derivadas de f e das restrições não lineares, com x 1 = (3,1) T. Calcule x e f.