Exercícios TP/P. 1 Condições de optimalidade - Restrições de igualdade

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1 Campus de Gualtar Escola de Engenharia Braga - P Departamento de Produção e Sistemas Exercícios TP/P Mestrado e curso de especialização em Engenharia Industrial - MEI Ramo Logística e Distribuição Ano Lectivo 2004/ Condições de optimalidade - Restrições de igualdade 1.1 Considere o problema x IR 2 x2 1 + x 2 1x x 1 x 2 + x x 2 s.a 2x 1 + 5x 2 + x 3 = 3. Verifique se os pontos x a = (0, 0, 2), x b = (0, 0, 3), x c = (1, 0, 1): (a) são pontos estacionários da Lagrangeana; (b) são imizantes locais, maximizantes locais ou pontos de descanso. 1.2 Use as condições de optimalidade para deterar o rectângulo cujos lados são paralelos aos eixos e que tem o maior perímetro inscrito na elipse x 2 1 a 2 + x2 2 b 2 = 1. NOTA: Considere o vértice (x 1, x 2 ) do rectângulo no primeiro quadrante. 1.3 Use as condições de optimalidade para deterar um maximizante e um imizante da função x 1 x 2 que pertence à circunferência x x 2 2 = 1. A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 1

2 1.4 Considere o problema de optimização não linear com restrições de igualdade 3x 1 4x 2 s. a (x 1 + 1) 2 + x = 0 (x 1 1) 2 + x = 0. Calcule os pontos admissíveis. Verifique se são pontos regulares. Verifique ainda se os pontos encontrados satisfazem as condições KT. 1.5 Calcule um ponto estacionário da Lagrangeana associada ao problema não linear com restrições de igualdade x 4 1x x 2 1x x 1x 2 + x 3 s. a x 1 + x 2 + x 3 = 1. Verifique se a condição suficiente de 2 a ordem para um imizante local forte é satisfeita. 1.6 Calcule os pontos estacionários da Lagrangeana associada ao problema não linear com restrições de igualdade x 2 1 x 2 2 s. a x x 2 2 = 4. Destes, quais são os imizantes e maximizantes locais fortes? 1.7 Considere o seguinte problema de optimização f (x) (x 1 2) 2 + (x 2 2) 2 + (x 3 3) 2 + (x 4 4) 2 x IR 4 c 1 (x) x 1 2 = 0 c 2 (x) x x = 0. Verifique as condições necessárias e suficientes de optimalidade. 1.8 Verifique se o ponto x = (2.5, 1.5, 1) T satisfaz as condições de optimalidade do problema 1.9 Considere o problema Verifique se os pontos x IR 3x2 1 2x 1 + x 2 2 x x 3 s.a x 1 x 2 + 2x 3 = 2. x IR 3x2 1 + x 2 1x x 1 x 2 + x x 2 s.a 2x 1 + 5x 2 + x 3 = 3. A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 2

3 (0, 0, 2) T (0, 0, 3) T (1, 0, 1) T (a) são pontos estacionários da Lagrangeana. (b) são imizantes locais, maximizantes locais ou pontos de descanso Seja A n m uma matriz de característica igual a m (m n). Detere os pontos do conjunto que imizam f(x) = 1 2 xt x. A T x = b (x IR n, b IR m ) 1.11 Um ponto x é regular se a matriz do Jacobiano das restrições, c (x ) T n m, tiver característica igual a m (m n), isto é, se tiver m linhas linearmente independentes. Para c 1 (x) = x x x = 0 e c 2 (x) = 2x 1 4x 2 + x = 0, verifique se o ponto x = (1, 1, 1) T é regular Calcule um ponto estacionário da Lagrangeana associada ao problema 1.13 Considere o problema x IR 3x4 1x x 2 1x x2 1 + x 1 x 2 + x 3 s.a x 1 + x 2 + x 3 = 1. x IR 22 ( x x ) x 1 s.a x x = 0. Mostre que x = (1, 0) T associado a ele. é um imizante e λ = 3 2 é o vector dos multiplicadores 2 Método de programação quadrática sequencial 2.1 Usando o método da programação quadrática sequencial, resolva o seguinte problema: x R 3 4x x x x x 2 24x 3 3x 1 2x 2 2 = 7 4x 1 + x 2 3 = 11 A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 3

4 Use (x 1, x 2, x 3 ) (1) = (4, 3, 4) e λ (1) = (1, 1) T. Implemente duas iterações usando a eliação de Gauss com pivotagem parcial na resolução do sistema KT e introduza a função Mérito, com µ = Tendo como objectivo fabricar latas cilíndricas com um volume de 1000cm 3 e tapálas em ambas as extremidades, qual deverá ser o raio da base e a altura da lata de modo a imizar a quantidade de placa metálica, em termos de área superficial? Implemente duas iterações do método da programação quadrática sequencial. Considere os seguintes valores iniciais (r, h) 1 = (5, 10) e λ 1 = 1. Na condição de Armijo use µ = Identifique, em cada iteração, os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Na resolução dos sistemas lineares, pode recorrer à aplicação CONUM. 2.3 Pretende-se desenhar um tanque cilíndrico em que as extremidades são segmentos esféricos, tal como mostra a figura. Despreza-se a espessura das paredes. A área da superfície e o volume de cada um dos segmentos esféricos (se) são dados por A se = π(h 2 + r 2 ) V se = 1 6 πh(3r2 + h 2 ). A área e o volume da parte cilíndrica (c) são dados por A c = 2πrL V c = πr 2 L. Calcule os valores óptimos de h, r e L que maximizam o volume total do tanque, sabendo que a área total da superfície é 0.2m 2. Implemente duas iterações do método da programação quadrática sequencial. Como valores iniciais use (r, h, L) 1 = (0.1, 0.05, 0.05) T e λ 1 = 1. Na condição de Armijo use µ = Identifique, em cada iteração, os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Na resolução dos sistemas lineares, pode recorrer à aplicação CONUM. 2.4 Considere a porção de uma esfera com raio r, em que a altura do segmento esférico é h. Detere os valores de r e h de tal forma que o volume, v, desse segmento esférico A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 4

5 é máximo, para uma área da superfície A fixa. Assim, o problema pode ser formulado como max v(r, h) = πh 2 (r h 3 ) com 2πrh = A. Considerando A = 100, implemente duas iterações do método da programação quadrática sequencial. Como valores iniciais use (r, h) 1 = (10, 2) e λ 1 = 1. Na condição de Armijo use µ = Identifique, em cada iteração, os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Na resolução dos sistemas lineares, pode recorrer à aplicação CONUM. 2.5 No planeamento da produção de dois produtos, uma deterada companhia espera obter lucros iguais a P : P (x 1, x 2 ) = α 1 (1 e β 1x 1 ) + α 2 (1 e β 2x 2 ) + α 3 (1 e β 3x 1 x 2 ) x 1 x 2 em que x 1 é a quantia gasta para produzir e promover o produto 1, x 2 é a quantia gasta para produzir e promover o produto 2, e os α is e β is são constantes definidas. P, x 1 e x 2 estão em unidades de 10 5 euros. Sabendo que a quantia total a ser gasta é de euros, detere o máximo de P e os valores óptimos de x 1 e x 2 sob as seguintes condições: α 1 = 3, α 2 = 4, α 3 = 1, β 1 = 1.2, β 2 = 1.5 e β 3 = 1. Implemente duas iterações do método da programação quadrática sequencial. Como valores iniciais use (x 1, x 2 ) 1 = (1, 1) e λ 1 = 1. Na condição de Armijo use µ = Identifique, em cada iteração, os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Na resolução dos sistemas lineares, pode recorrer à aplicação CONUM. 2.6 Qual o ponto da esfera x x x 2 3 = 1 que está mais afastado do ponto (1, 2, 3)? Implemente duas iterações do método da programação quadrática sequencial. Como valores iniciais use (x 1, x 2, x 3 ) 1 = ( 0.2, 0.3, 0.4) e λ 1 = 1. Na condição de Armijo use µ = Identifique, em cada iteração, os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Na resolução dos sistemas lineares, pode recorrer à aplicação CONUM. A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 5

6 2.7 Numa empresa, a procura anual de um produto é de p = 200 unidades. Para satisfazer os seus clientes, a empresa faz pedidos de compra de q unidades de cada vez, p/q vezes por ano. Seja c 1 = 60 cêntimos o custo de cada pedido de compra. A duração do intervalo entre pedidos é q/p, e a quantidade deste produto em stock em cada intervalo, decresce uniformemente de q a 0, de tal forma que o stock em média é de q/2. O custo de armazenamento do produto é de 8 cêntimos, por unidade de produto e por unidade de tempo. Suponha porém que a empresa tem alturas em que o stock se esgota. Se c 3 = 5 cêntimos é o custo resultante da falta de produtos para venda, por unidade de produto e por unidade de tempo, então, o custo total deste problema de controlo de inventário passa a ser f(q, s) = p q c (q s)2 1 + c 2 + s2 c 3 2q 2q em que s representa o número de produtos em falta. A relação entre q e s tem que ser em cada instante q + s = 10. Esta restrição não suave pode ser transformada nas quatro restrições seguintes: x 1 + x 2 = 1, x 1 x 2 = 1, x 1 + x 2 = 1, x 1 x 2 = 1 Pretende-se deterar as quantidades q e s, por forma a imizar o custo total. Considere como valores iniciais (q, s) 1 = (70, 41) e λ 1 = (1, 1, 1, 1). Implemente duas iterações do método da programação quadrática sequencial. Na condição de Armijo use µ = Identifique, em cada iteração, os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Na resolução dos sistemas lineares, pode recorrer à aplicação CONUM. 2.8 Considere o seguinte problema s. a f (x) (x 1 1) 2 + (x 1 x 2 ) 2 + (x 2 x 3 ) 4 x IR 3 x 1 ( 1 + x 2 2 ) + x 4 3 = Implemente 2 iterações do método programação quadrática sequencial com função mérito, utilizando x 1 = (1.5, 1.5, 1.5) T, λ 1 = 1, µ = Resolva o seguinte problema, usando o método de programação quadrática sequencial: x IR 3 4x x x x x 2 24x 3 3x 1 2x 2 2 = 7 4x 1 + x 2 3 = 11. A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 6

7 Implemente duas iterações deste método com função mérito, tendo como base o algoritmo das repetidas divisões de α por dois. Use x 1 = (4, 3, 4) T, λ 1 = (1, 1) T e µ = Considere o seguinte problema de optimização f(x) =(x 1 2) 2 + (x 2 2) 2 + (x 3 3) 2 + (x 4 4) 2 x IR 4 s.a c 1 (x) = x 1 2 = 0 c 2 (x) = x x = 0 (a) Verifique as condições de 1 a ordem no problema. (b) Sabendo que x 1 = (1, 1, 1, 1) T e λ 1 = (0, 0) T, detere o imizante da função f (fazendo 2 iterações) usando o método de programação quadrática sequencial Considere o seguinte problema f(x) =(x 1 1) 2 + (x 1 x 2 ) 2 + (x 2 x 3 ) 4 x IR 3 s.a x 1 (1 + x 2 2) + x 4 3 = em que x 1 = (1.5, 1.5, 1.5) T, λ 1 = 1 e µ = Implemente 2 iterações do método de programação quadrática sequencial Considere o seguinte problema com x 1 = (1, 1) T, λ 1 = 1 e µ = x IR 2 f(x) =x x 2 2 s.a x 1 + 2x 2 = 1 Implemente 2 iterações do método de programação quadrática sequencial Use o método de programação quadrática sequencial para calcular a solução do problema x IR 2e3x 1+4x 2 s.a x x = 0. Tome como aproximação inicial a x, o ponto ( 0.7, 0.7) T e λ 1 = Sem introduzir a função Mérito, verifique que na quarta iteração atinge para x L um valor da ordem de 10 6 e para c um valor da ordem de 10 5 (x 5 = ( , ) T e λ 5 = ). A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 7

8 2.14 Considere o seguinte problema f(x) =(1 x 1) 2 x IR 2 s.a 10 ( x 2 x 2 1) = 0 e como condições iniciais: x 1 = ( 1.2, 1) T e λ 1 = 1. Detere o imizante da função, implementando 2 iterações do: (a) Método da programação quadrática sequencial. (b) Método da programação quadrática sequencial com função Mérito (µ = 0.08). 3 Método de penalidade sequencial 3.1 Dada a função f : IR 3 IR definida por e a restrição f (x 1, x 2, x 3 ) = 0.01 (x 1 1) 2 + ( x 2 x 2 1 x 1 + x 2 3 = 1, construa a função de penalidade baseada na função de penalidade l 2. Relativamente à técnica de penalidade para o cálculo do mínimo do problema proposto e para ρ 1 = 1, (x 1, x 2, x 3 ) 1 = (2, 2, 2), γ = 10 e ε 3 = 0.1, implemente duas iterações. Na resolução do subproblema sem restrições pelo método de segurança de Newton, apresente os cálculos relativos a uma iteração. Tome η = Na procura unidimensional, baseada na técnica de Armijo, use µ = Considere o seguinte problema de optimização (hs032.mod) (x 1 + 3x 2 + x 3 ) (x 1 x 2 ) 2 x IR 3 s.a 6x 2 + 4x 3 x x 1 + x 2 + x 3 = 1 Implemente em MATLAB um método de penalidade sequencial (com a função de penalidade l 1 ), que faça um pré-deterado número de iterações. Use ρ 1 = 1 (valor inicial para o parâmetro de penalidade), γ = 10 (factor de actualização do parâmetro de penalidade) e x 1 0 = (0.1, 0.7, 0.2) T (aproximação inicial). Proceda a alguns testes modificando o valor inicial e o factor do parâmetro de penalidade. Experimente o mesmo problema com a função de penalidade l 2. Nota: Use a função func do MATLAB na resolução dos subproblemas finitos. A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 8 ) 2

9 3.3 Três estações eléctricas vão fornecer energia a uma certa região da forma mais económica possível. Os custos individuais de operação de cada uma das estações são dados por f 1 = x f 2 = y y 2 f 3 = z z z 3 em que x, y e z são as energias fornecidas pelas três estações (em MW att). Detere os valores de x, y e z que imizam o custo total se a energia total a ser fornecida for de 100M W att, implementando duas iterações do método de penalidade sequencial baseado na função de penalidade l 2. Como parâmetros de entrada do algoritmo, considere ρ 1 = 1, γ = 10 e (x, y, z) 1 = (30, 20, 50). Identifique, em cada iteração, os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Na resolução do problema sem restrições pode recorrer à aplicação CONUM (segurança de Newton, η = , ε = 0.05, µ 1 = e µ 2 = 0.9). 3.4 Tendo como objectivo fabricar latas cilíndricas com um volume de 1000cm 3 e tapálas em ambas as extremidades, qual deverá ser o raio da base e a altura da lata de modo a imizar a quantidade de placa metálica, em termos de área superficial? Implemente duas iterações do método de penalidade sequencial baseado na função de penalidade l 2. Como parâmetros de entrada do algoritmo, considere ρ 1 = 1, γ = 10 e (r, h) 1 = (5, 10). Identifique, em cada iteração, os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Na resolução do problema sem restrições pode recorrer à aplicação CONUM (segurança de Newton, η = , ε = 0.05, µ 1 = e µ 2 = 0.9.) 3.5 A soma dos comprimentos das doze arestas de uma caixa rectangular é 20m e a soma das áreas das seis faces da caixa é 16m 2. Calcule o comprimento das arestas x 1, x 2 e x 3 (x 1 x 2 x 3 ) de forma a maximizar a diferença do volume da caixa em relação ao volume de um cubo cujas arestas são iguais à menor das arestas da caixa. Implemente duas iterações do método de penalidade sequencial baseado na função de penalidade l 2. Como parâmetros de entrada do algoritmo, considere ρ 1 = 1, γ = 10 e (x 1, x 2, x 3 ) 1 = (1, 1, 0.5). Identifique, em cada iteração, os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Na resolução do problema sem restrições pode recorrer à aplicação CONUM (segurança de Newton, η = , ε = 0.05, µ 1 = e µ 2 = 0.9).) 3.6 Considere a porção de uma esfera com raio r, em que a altura do segmento esférico é h. Detere os valores de r e h de tal forma que o volume, v, desse segmento esférico é máximo, para uma área da superfície A fixa. Assim, o problema pode ser formulado como max v(r, h) = πh 2 (r h 3 ) A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 9

10 com 2πrh = A. Considerando A = 100, implemente duas iterações do método de penalidade sequencial baseado na função de penalidade l 2. Como parâmetros de entrada do algoritmo, considere ρ 1 = 1, γ = 10, (r, h) 1 = (10, 2) e λ 1 = 1. Na condição de Armijo use µ = Identifique, em cada iteração, os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Na resolução do problema sem restrições pode recorrer à aplicação CONUM (segurança de Newton, η = , ε = 0.05, µ 1 = e µ 2 = 0.9.) 3.7 Pretende-se desenhar um tanque cilíndrico em que as extremidades são segmentos esféricos, tal como mostra a figura. Despreza-se a espessura das paredes. A área da superfície e o volume de cada um dos segmentos esféricos (se) são dados por A se = π(h 2 + r 2 ) V se = 1 6 πh(3r2 + h 2 ). A área e o volume da parte cilíndrica (c) são dados por A c = 2πrL V c = πr 2 L. Calcule os valores óptimos de h, r e L que maximizam o volume total do tanque, sabendo que a área total da superfície é 0.2m 2. Implemente duas iterações do método de penalidade sequencial baseado na função de penalidade l 2. Como parâmetros de entrada do algoritmo, considere rho 1 = 1, γ 1 = 10 e (r, h, L) 1 = (0.1, 0.05, 0.05). Na condição de Armijo use µ = Identifique, em cada iteração, os valores das condições que definem o critério de paragem. A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 10

11 NOT A : Na resolução do problema sem restrições pode recorrer à aplicação CONUM (segurança de Newton, η = , ε = 0.05, µ 1 = e µ 2 = 0.9). 3.8 Qual o ponto da esfera x x x 2 3 = 1 que está mais afastado do ponto (1, 2, 3)? Implemente duas iterações do método de penalidade sequencial baseado na função de penalidade l 2. Como parâmetros de entrada do algoritmo, considere ρ 1 = 1, γ = 10 e (x 1, x 2, x 3 ) 1 = ( 0.2, 0.3, 0.4). Na condição de Armijo use µ = Identifique, em cada iteração, os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Na resolução do problema sem restrições pode recorrer à aplicação CONUM (segurança de Newton, η = , ε = 0.05, µ 1 = e µ 2 = 0.9).) 3.9 No planeamento da produção de dois produtos, uma deterada companhia espera obter lucros iguais a P : P (x 1, x 2 ) = α 1 (1 e β 1x 1 ) + α 2 (1 e β 2x 2 ) + α 3 (1 e β 3x 1 x 2 ) x 1 x 2 em que x 1 é a quantia gasta para produzir e promover o produto 1, x 2 é a quantia gasta para produzir e promover o produto 2, e os α is e β is são constantes definidas. P, x 1 e x 2 estão em unidades de 10 5 euros. Sabendo que a quantia total a ser gasta é de euros, detere o máximo de P e os valores óptimos de x 1 e x 2 sob as seguintes condições: α 1 = 3, α 2 = 4, α 3 = 1, β 1 = 1.2, β 2 = 1.5 e β 3 = 1. Implemente duas iterações do método de penalidade sequencial baseado na função de penalidade l 2. Como parâmetros de entrada do algoritmo, considere ρ 1 = 1, γ = 10 e (x 1, x 2 ) 1 = (1, 1). Na condição de Armijo use µ = Identifique, em cada iteração, os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Na resolução do problema sem restrições pode recorrer à aplicação CONUM (segurança de Newton, η = , ε = 0.05, µ 1 = e µ 2 = 0.9.) 4 Condições de optimalidade - Restrições de desigualdade 4.1 Considere o seguinte problema de optimização (hs032.mod) (x 1 + 3x 2 + x 3 ) (x 1 x 2 ) 2 x R 3 s.a 6x 2 + 4x 3 x x 1 + x 2 + x 3 = 1 Verifique as condições de optimalidade de primeira e segunda ordem para o ponto x 1 = (1, 2, 2). Verifique que a solução 1 do problema x 2 = (0, 0, 1) não satisfaz as condições de optimalidade de primeira ordem. 1 Indicada no ficheiro hs032.mod A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 11

12 Resolvendo a segunda restrição (igualdade) em ordem a x 1 e substituindo na função objectivo obtém-se um problema de dimensão dois (n = 2) sem restrições (considerando que a restrição de desigualdade não está activa). Use as condições de optimalidade para problemas sem restrições (gradiente da função objectivo tem de ser nulo) para deterar que o ponto x 3 = ( 1 2, 1 2, 2)T é solução do problema. Verifique que x 3 é mínimo local fraco (e é restrição degenerada). 4.2 (Nash&Sofer) Use as condições de optimalidade para encontrar todos os óptimos locais do problema Atenção as desigualdades!!! x R 2x 1 + x 2 s.a (x 1 1) 2 + x (x 1 + 1) 2 + x Use as condições de optimalidade para deterar soluções locais do problema x IR 3 x2 1 + x x 2 3 x 1 + x 2 + x 3 0 2x 1 + 2x Use as condições de optimalidade para deterar soluções locais do problema x IR 2 x 1 2x x 1 x x Use as condições de optimalidade para deterar soluções locais do problema x IR 2 x2 1 + x 2 2 x x Use as condições de optimalidade para deterar soluções locais do problema x IR 2 x 1 (x 1 + 1) 2 + x x x A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 12

13 4.7 Use as condições de optimalidade para deterar soluções locais do problema x IR 2 x 1 + x 2 (x 1 1) 2 + x (x 1 + 1) 2 + x Use as condições de optimalidade para deterar soluções locais do problema x IR 3 x2 1 x 2 2 x x 1 + 6x 2 x 1 + x 2 2 2x 1 + 3x Use as condições de optimalidade para deterar soluções locais do problema x IR 2 x2 1 + x 2 2 x x Use as condições de optimalidade para deterar soluções locais do problema x IR 3 x2 1 + x x 2 3 x 1 + x 2 + x 3 0 2x 1 + 2x Use as condições de optimalidade para deterar soluções locais do problema x IR 2 x 1 2x x 1 x x 2 0. A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 13

14 4.12 Use as condições de optimalidade para deterar soluções locais do problema x IR 2 x 1 + x 2 (x 1 1) 2 + x (x 1 + 1) 2 + x Use as condições de optimalidade para deterar soluções locais do problema x IR 2 x 1 (x 1 + 1) 2 + x x x Use as condições de optimalidade para deterar soluções locais do problema x IR 2 x 1 + x 2 (x 1 1) 2 + x (x 1 + 1) 2 + x Use as condições de optimalidade para deterar todas locais do problema x IR 2 x2 1 + x 2 2 x x Use as condições de optimalidade para deterar soluções locais do problema x IR 3 x2 1 x 2 2 x x 1 + 6x 2 x 1 + x 2 2 2x 1 + 3x A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 14

15 4.17 Use as condições de optimalidade para deterar soluções locais do problema x IR 3 x2 1 + x x 2 3 x 1 + x 2 + x 3 0 2x 1 + 2x Use as condições de optimalidade para deterar soluções locais do problema x IR 2 x 1 (x 1 + 1) 2 + x x x Método primal-dual de pontos interiores 5.1 Dada a função f : IR 3 IR definida por e as restrições construa a função barreira logarítmica. f (x 1, x 2, x 3 ) = x x x 2 3 x x x 1 1 Relativamente à técnica de pontos interiores para o cálculo do problema proposto e para ρ 1 = 1, (x 1, x 2, x 3 ) 1 = (1, 1, 1), λ 1 = (1, 1) e β = 2, implemente duas iterações. Na procura unidimensional, baseada na técnica de Armijo, use µ = Considere o problema x IR 2 x 1 2x x 1 x x 2 0. Implemente uma iteração do Método Primal Dual de Pontos Interiores para calcular uma aproximação à solução do problema. Tome como valor inicial o ponto x 1 = (2, 2) T. Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Pode utilizar a aplicação CONUM para resolver sistemas de equações não lineares e para calcular inversas de matrizes. A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 15

16 5.3 Considere o problema x IR 3 x2 1 + x x 2 3 x 1 + x 2 + x 3 0 2x 1 + 2x 3 2. Implemente uma iteração do Método Primal Dual de Pontos Interiores para calcular uma aproximação à solução do problema. Tome como valor inicial o ponto x 1 = (2, 1, 1) T. Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Pode utilizar a aplicação CONUM para resolver sistemas de equações não lineares e para calcular inversas de matrizes. 5.4 Considere o problema x IR 2 x 1 (x 1 + 1) 2 + x x x Implemente uma iteração do Método Primal Dual de Pontos Interiores para calcular uma aproximação à solução do problema. Tome como valor inicial o ponto x 1 = (1, 1) T. Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Pode utilizar a aplicação CONUM para resolver sistemas de equações não lineares e para calcular inversas de matrizes. 5.5 Considere o problema x IR 2 x 1 + x 2 (x 1 1) 2 + x (x 1 + 1) 2 + x Implemente uma iteração do Método Primal Dual de Pontos Interiores para calcular uma aproximação à solução do problema. Tome como valor inicial o ponto x 1 = (0, 0) T. Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Pode utilizar a aplicação CONUM para resolver sistemas de equações não lineares e para calcular inversas de matrizes. A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 16

17 5.6 Considere o problema x IR 3 x2 1 x 2 2 x x 1 + 6x 2 x 1 + x 2 2 2x 1 + 3x Implemente uma iteração do Método Primal Dual de Pontos Interiores para calcular uma aproximação à solução do problema. Tome como valor inicial o ponto x 1 = ( 5, 9, 1) T. Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Pode utilizar a aplicação CONUM para resolver sistemas de equações não lineares e para calcular inversas de matrizes. 5.7 Considere o problema x IR 2 x2 1 + x 2 2 x x Implemente uma iteração do Método Primal Dual de Pontos Interiores para calcular uma aproximação à solução do problema. Tome como valor inicial o ponto x 1 = (2, 2) T. Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Pode utilizar a aplicação CONUM para resolver sistemas de equações não lineares e para calcular inversas de matrizes. 5.8 Considere o problema x IR 2 x 1 2x x 1 x x 2 0. Implemente uma iteração do Método Primal Dual de Pontos Interiores para calcular uma aproximação à solução do problema. Tome como valor inicial o ponto x 1 = (2, 2) T. Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Pode utilizar a aplicação CONUM para resolver sistemas de equações não lineares e para calcular inversas de matrizes. A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 17

18 5.9 Considere o problema x IR 2 x 1 (x 1 + 1) 2 + x x x Implemente uma iteração do Método Primal Dual de Pontos Interiores para calcular uma aproximação à solução do problema. Tome como valor inicial o ponto x 1 = (1, 1) T. Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Pode utilizar a aplicação CONUM para resolver sistemas de equações não lineares e para calcular inversas de matrizes Considere o problema x IR 2 x 1 + x 2 (x 1 1) 2 + x (x 1 + 1) 2 + x Implemente uma iteração do Método Primal Dual de Pontos Interiores para calcular uma aproximação à solução do problema. Tome como valor inicial o ponto x 1 = (0, 0) T. Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Pode utilizar a aplicação CONUM para resolver sistemas de equações não lineares e para calcular inversas de matrizes Considere o problema x IR 2 x2 1 + x 2 2 x x Implemente uma iteração do Método Primal Dual de Pontos Interiores para calcular uma aproximação à solução do problema. Tome como valor inicial o ponto x 1 = (2, 2) T. Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Pode utilizar a aplicação CONUM para resolver sistemas de equações não lineares e para calcular inversas de matrizes. A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 18

19 5.12 Considere o problema x IR 3 x2 1 + x x 2 3 x 1 + x 2 + x 3 0 2x 1 + 2x 3 2. Implemente uma iteração do Método Primal Dual de Pontos Interiores para calcular uma aproximação à solução do problema. Tome como valor inicial o ponto x 1 = (2, 1, 1) T. Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Pode utilizar a aplicação CONUM para resolver sistemas de equações não lineares e para calcular inversas de matrizes Considere o problema x IR 3 x2 1 + x x 2 3 x 1 + x 2 + x 3 0 2x 1 + 2x 3 2. Implemente uma iteração do Método Primal Dual de Pontos Interiores para calcular uma aproximação à solução do problema. Tome como valor inicial o ponto x 1 = (2, 1, 1) T. Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Pode utilizar a aplicação CONUM para resolver sistemas de equações não lineares e para calcular inversas de matrizes Considere o problema x IR 3 x2 1 x 2 2 x x 1 + 6x 2 x 1 + x 2 2 2x 1 + 3x Implemente uma iteração do Método Primal Dual de Pontos Interiores para calcular uma aproximação à solução do problema. Tome como valor inicial o ponto x 1 = ( 5, 9, 1) T. Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Pode utilizar a aplicação CONUM para resolver sistemas de equações não lineares e para calcular inversas de matrizes. A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 19

20 5.15 Considere o problema x IR 2 x 1 + x 2 (x 1 1) 2 + x (x 1 + 1) 2 + x Implemente uma iteração do Método Primal Dual de Pontos Interiores para calcular uma aproximação à solução do problema. Tome como valor inicial o ponto x 1 = (0, 0) T. Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Pode utilizar a aplicação CONUM para resolver sistemas de equações não lineares e para calcular inversas de matrizes Considere o problema x IR 3 x2 1 x 2 2 x x 1 + 6x 2 x 1 + x 2 2 2x 1 + 3x Implemente uma iteração do Método Primal Dual de Pontos Interiores para calcular uma aproximação à solução do problema. Tome como valor inicial o ponto x 1 = ( 5, 9, 1) T. Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Pode utilizar a aplicação CONUM para resolver sistemas de equações não lineares e para calcular inversas de matrizes Considere o problema x IR 2 x 1 2x x 1 x x 2 0. Implemente uma iteração do Método Primal Dual de Pontos Interiores para calcular uma aproximação à solução do problema. Tome como valor inicial o ponto x 1 = (2, 2) T. Considere θ = 1 e ε = 0.1. Identifique os valores das condições que definem o critério de paragem. NOTA: Pode utilizar a aplicação CONUM para resolver sistemas de equações não lineares e para calcular inversas de matrizes. A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 20

21 6 MATLAB 6.1 Resolva o seguinte problema utilizando uma das funções do MATLAB. Consider the network in the figure below. This represents a set of road intersections, and the arrows indicate the direction of traffic. If few cars are on the roads, the travel times between intersections can be considered as constants, but if the traffic is heavy the travel times can increase dramatically. Let us focus on the travel time between a pair of intersections i and j. Let t i,j be the (constant) travel time when the traffic is light, let x i,j be the number of cars on the road, let c i,j be the capacity of the road, and let αi, j be a constant that measures how rapidly the travel time increases as the traffic get heavier. Then the travel time between intersections i and j could be modeled by c i,j x i,j T i,j (x i,j ) = t i,j + α i,j. c i,j x i,j If there is no traffic on the road (i j, x i,j = 0) then the travel time is t i,j. If x i,j approaches the capacity of the road, c i,j, then the travel time tends to +. T i,j is a nonlinear function of x i,j. Suppose we wish to imize the total travel time through the network for a volume of cars X. Then our model is subject to the constraints imize f(x) = x i,j T i,j (x i,j ) x 1,2 + x 1,3 = X x 2,3 + x 2,4 x 1,2 = 0 x 3,4 x 1,3 x 2,3 = 0 x 2,4 + x 3,4 = X x i,j 0 The equations ensure that all the cars entering an intersection also leave an intersection. The objective sums up the travel times for all the cars. Para simplificar a notação, use a seguinte correspondência, A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 21

22 os valores e X = 200. Índice da variável Par de intersecção i e j 1 1,2 2 1,3 3 2,3 4 2,4 5 3,4 i t i c i α i Considere o problema relaxado, isto é, o problema em que os valores das variáveis x 1,..., x 5 podem aparecer não inteiros e o seguinte vector inicial: Detere x e f(x ). x 1 = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) 1 = (50, 100, 50, 100, 50). 6.2 Consider the feasible region illustrated in Figure 1 and described by x 1 + x 2 1 Figura 1: A feasible region with nonsmooth boundary This feasible region with nonsmooth boundary can be described by smooth constraints: x 1 + x 2 1 x 1 x 2 1 x 1 + x 2 1 x 1 x 2 1. A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 22

23 Figura 2: Problem (1) countor and feasible region Including an objective function, the problem becomes (Figure 2): x IR 2f(x) x2 1 + x 2 2 (1 x 1 x 2 ) 2 subject to x 1 + x 2 1 x 1 x 2 1 x 1 + x 2 1 x 1 x 2 1. (1) Use como aproximação inicial x 1 = (1, 1) nas seguintes alíneas. (a) Detere x e f(x ) para o problema (1). (b) Adicionando ao problema (1) a restrição (x 1 1) 2 + x 2 2 = 1, obtém-se o problema (2), Figura 3: f (x) x2 x IR x 2 2 (1 x 1 x 2 ) 2 s. a x 1 + x 2 1 x 1 x 2 1 x 1 + x 2 1 x 1 x 2 1 (x 1 1) 2 + x 2 2 = 1. (2) Detere x e f(x ) para o problema (2). A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 23

24 Figura 3: Problem (2) countor and feasible region Figura 4: Problem (3) countor and feasible region (c) O problema f (x) x2 x IR x 2 2 (1 x 1 x 2 ) 2 s. a x 1 + x 2 1 x 1 x 2 1 x 1 + x 2 1 x 1 x 2 1 (x 1 1) 2 + x 2 2 = 1 x x 2 2 = 0.5, (3) representado na Figura 4, foi obtido do problema (2), adicionando a restrição x x 2 2 = 0.5. Detere x e f(x ). A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 24

25 6.3 Resolva o seguinte problema de optimização não linear com restrições, utilizando o pacote de software MATLAB e considerando x 1 = ( 2, 2, 2, 1, 1) T. f(x) ex 1x 2 x 3 x 4 x ( x 3 x IR x ) 2 x x x x x = 0 x 2 x 3 5x 4 x 5 = 0 x x = x i 2.3, i = 1, x i 3.2, i = 3, 4, 5 (a) Sem fornecer derivadas. (b) Fornecendo as primeiras derivadas, quer da função objectivo, quer das restrições. 6.4 Minimize a função f(x) de 10 variáveis, dada pela expressão e sujeita às restrições 10 ) x j f(x) x j (c j + ln x x 10 j=1 x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 6 + x 10 2 = 0 x 4 + 2x 5 + x 6 + x 7 1 = 0 x 3 + x 7 + x 8 + 2x 9 + x 10 = x i, i = 1,..., 10 utilizando a toolbox de optimização do MATLAB sem fornecer derivadas. NOTA: Considere o vector (0.1,..., 0.1) como valor inicial e c j dado pela tabela seguinte j c j j c j Utilizando o pacote de software MATLAB, resolva o problema de optimização f(x) (x 1 + 3x 2 + x 3 ) (x 1 x 2 ) 2 x IR 3 s.a 6x 2 + 4x 3 x x 1 x 2 x 3 = 0 0 x i, i = 1, 2, 3 Tome para valor inicial x 1 = (0.1, 0.7, 0.2) T. A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 25

26 (a) Sem fornecer derivadas. (b) Fornecendo primeiras derivadas da função e das restrições. 6.6 Resolva o seguinte problema de optimização com restrições x IR 4 f(x) x 1x 2 s.a (x 1x 3 + x 2 x 4 ) 2 (x x 2 2) x 1 x x 2 x x 2 3 x = 0 x 3 x 4 x 4 1, utilizando uma das funções do MATLAB e tomando para aproximação inicial x 1 = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) 1 = (1, 0, 0, 1), tolx = e tolfun = (a) Sem fornecer derivadas, detere x, f, número de iterações e o número de cálculos da função objectivo. (b) Fornecendo derivadas, detere x, f, número de iterações e o número de cálculos da função objectivo. 6.7 Considere a região admissível ilustrada na Figura 5 e descrita por: 5 x x 2 5. (4) Figura 5: Região admissível de (4) Incluindo a função objectivo f(x) sin(x 1 x 2 ) + x 1 + x 2 obtém-se o problema: A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 26

27 x IR 2 f(x) sin(x 1x 2 ) + x 1 + x 2 s. a 5 x x 2 5. em que na Figura 6 se apresentam as curvas de nível. (5) Figura 6: Curvas de nível do problema (5) (a) Usando o MATLAB, resolva o problema (5), sem fornecer derivadas, com x 1 = (3, 1) T. (b) Adicionando ao problema a restrição x 1 +x 2 1 0, obtém-se o seguinte problema, representado na Figura 7: x IR 2 f(x) sin(x 1x 2 ) + x 1 + x 2 s. a 5 x x 2 5 x 1 + x Resolva o problema (6), sem fornecer derivadas e com x 1 = (3, 1) T. Calcule x e f. (c) Obtém-se o problema (7) (cujas curvas de nível são representadas na figura 8) adicionando a restrição x x (6) x IR 2 f(x) sin(x 1x 2 ) + x 1 + x 2 s. a 5 x x 2 5 x 1 + x x x (7) A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 27

28 Figura 7: Curvas de nível do problema (6) Figura 8: Curvas de nível do problema (7) Resolva o problema (7), sem fornecer derivadas e com x 1 = (3, 1) T. Calcule x e f. (d) Obtém-se o problema (8), cujas curvas de nível estão representadas na figura 9, adicionando a restrição x x x IR 2 f(x) sin(x 1x 2 ) + x 1 + x 2 x x s. a 5 x x 2 5 x 1 + x x x (8) Resolva o problema (8), sem fornecer derivadas e com x 1 = (3, 1) T. Calcule x e f. A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 28

29 Figura 9: Curvas de nível do problema (8) (e) Resolva o problema (8), fornecendo as primeiras derivadas de f e das restrições não lineares, com x 1 = (3, 1) T. Calcule x e f. 7 AMPL 7.1 O seguinte problema surge na definição de trajectórias de robots. s.a 7 f(x, y) = x IR 7,y IR 7 i=1 (x(i) y(i)) 2 6 cos(x(i)) + 0.5cos(x(7)) xp = 0 i=1 6 sen(x(i)) + 0.5sen(x(7)) yp = 0 i=1 y(i) = zp(i), para i = 1,..., 7 d x(i) h, para i = 1,..., 7 y(i) = 0, para i = 1,..., 7 em que xp = 4, yp = 4, d = , h = e zp(i) = 0.0 para i = 1,..., 7. Codifique este problema em AMPL e resolva-o usando o LOQO. Calcule o óptimo da função objectivo do problema primal, óptimo da função objectivo do problema dual, o valor óptimo da variável x, o valor óptimo da variável y e o número de iterações. A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 29

30 7.2 Considere o problema de optimização linear com restrições f(x, y, z) x IR N,y IR N,z IR B s.a N x i y i i=1 N (x i + y i ) + i=1 x i + y i + B j=1 z 2 j B z j B + 1 j=1 B z j B = 0, para i = 1,..., N j=1 1 x i 1, para i = 1,..., N 1 y i 1, parai = 1,..., N 0 z j 2, paraj = 1,..., B para N = 100 e B = 5. Considere a seguinte aproximação inicial x i = 0.5 para i = 1,..., N y i = 0.5 para i = 1,..., N z j = 0.5 para j = 1,..., B. (a) Quantas restrições de desigualdade existem no problema? (b) Quantas restrições de igualdade existem no problema? (c) Quantas restrições de limites simples? (d) Quantas variáveis tem o problema? (e) Codifique o problema em AMPL. (f) Use o LOQO para deterar a solução do problema. 7.3 O ficheiro prob4p2.mod contém a codificação de um problema de optimização na linguagem de programação AMPL A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 30

31 (a) Apresente a formulação matemática completa (equações) do problema para N = 10. Qual é a aproximação inicial. (b) A i,j representa o elemento da linha i e coluna j de uma matriz quadrada A de ordem N = 10. Suponha, agora, que a matriz A é A = e o vector b é dado por b i = 1, i = 1,..., N. i Codifique este novo problema em AMPL e resolva-o utilizando o LOQO. Apresente x, f e o número de iterações necessárias até convergir. 7.4 Considere o problema hs025.mod na directoria modelos\hs. (a) Resolva-o utilizando o LOQO e apresente os seguintes resultados: i. Valor óptimo da função objectivo do problema primal. ii. Valor óptimo da função objectivo do problema dual. iii. Valor óptimo da variável x. iv. Número de iterações. (b) Resolva o mesmo problema alterando o ponto inicial para x = (10, 1.25, 0.3). i. Valor óptimo da função objectivo do problema primal. ii. Valor óptimo da função objectivo do problema dual. iii. Valor óptimo da variável x. iv. Número de iterações. (c) Resolva o mesmo problema alterando a restrição constr3 para : 0 <= x[3] <= 7; i. Valor óptimo da função objectivo do problema primal. ii. Valor óptimo da função objectivo do problema dual. iii. Valor óptimo da variável x. iv. Número de iterações. A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 31,

32 7.5 Considere o problema polygon.mod na directoria modelos\polygon. Descodifique-o da linguagem AMPL para a sua formulação matemática. 7.6 Codifique em AMPL o seguinte problema e resolva-o utilizando o solver LOQO: 1x 2 x 3 x 4 x 5 0.5(x 3 x IR 5ex 1 + x ) 2 s.a l i x i u i, i = 1,..., 5 5 x 2 i = 10 i=1 x 2 x 3 5x 4 x 5 = 0 x x 3 2 = 1 sendo l = (2.3, 2.3, 3.2, 3.2, 3.2) T inicial x = ( 2, 2, 2, 1, 1) T. e u = (2.3, 2.3, 3.2, 3.2, 3.2) T. Considere para ponto A. Ismael F. Vaz - Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho 32