MÉTODOS NUMÉRICOS C. Mestrado de ciclo integrado em. Engenharia de COMUNICAÇÕES EXERCÍCIOS TEÓRICO-PRÁTICOS

Transcrição

1 MÉTODOS NUMÉRICOS C Mestrado de ciclo integrado em Engenharia de COMUNICAÇÕES EXERCÍCIOS TEÓRICO-PRÁTICOS Ano lectivo de 2007/2008

2 1 ERROS. SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO NÃO LINEAR. 1 1 Erros. Solução de uma equação não linear. 1.1 O resultado de uma operação não tem necessariamente o mesmo número de algarismos significativos do que as parcelas. Comprove a afirmação, calculando com x = e y = x + y 1.2 Para x = , y = e z = , calcule usando aritmética de três algarismos significativos (a) x + y (b) y x (c) xz Quantos algarismos significativos apresentam os resultados? Estime os erros de arredondamento cometidos. 1.3 Calcule um limite superior do erro absoluto no cálculo da expressão f(x,y,z) = 2xy x 2 + z Sabendo que são usados os seguintes valores aproximados: Estime também o erro relativo em f. x = de π y = de 3 z = de Calcule um limite superior do erro absoluto no calculo da expressão f(x,y,z) = x + y 2 + sen(z) sabendo que sao usados os seguintes valores aproximados: x = 1.1 (δ x = 0.05); y = 2.04 (δ y = 0.005); z = 0.5rad. (δ z = 0.05). Quantos algarismos significativos apresenta o valor calculado de f? 1.5 (TPC) Uma corrente eléctrica atravessa uma resistência (R) de 20Ω. A resistência foi medida com um erro relativo que não excede A intensidade da corrente (I) é 3.00 ± 0.01A. Sabendo que a tensão da corrente é dada por V=RI, determine um limite superior do erro absoluto no cálculo da tensão da corrente. Quantos algarismos significativos garante para o valor calculado da tensão? 1.6 (TPC) Seja A = 3 3a 2 2 a área de um hexágono regular de lado a. Seja 1m o valor aproximado para o lado do hexágono. Considerando um valor aproximado de 3 com quatro algarismos significativos, com que aproximação se deve medir o lado de modo a que o limite superior do erro absoluto no cálculo da area não exceda 100cm 2?

3 2 ZEROS DE FUNÇÕES Pretende-se calcular a área de um círculo, de raio aproximadamente igual a 25cm, com erro absoluto que em modulo não excede 0.5cm 2. Com que aproximação se deve medir o raio do círculo e quantos algarismos significativos se devem usar no valor aproximado de π? 2 Zeros de funções 2.1 Localize através do método gráfico as raízes das equações não lineares em x: (a) f(x) x 3 3x + 1 = 0; (b) f(x) sen(x) + x 2 = 0; (c) f(x) e x + x 1 = 0; (d) (AULA)f(x) x + ln(x) = A equação f (x) 1 + (sec(x)) 1 2 tg (x) = 0 surge na teoria das reacções nucleares e tem várias raízes. Calcule a raiz que pertence ao intervalo [1,1.5] usando um método iterativo que não precise do cálculo das derivadas. Pare o processo iterativo quando o critério de paragem for verificado para ε 1 = ε 2 = (TPC) Baseado num trabalho de Frank-Kamenetski, em 1955, a temperatura no interior de um material, quando envolvido por uma fonte de calor, pode ser determinada se resolvermos a seguinte equação não linear em x: e 0.5x cosh(e 0.5x ) = 0.5L Para L = 0.088, calcule a raiz da equação, usando um método que não recorra a derivadas. Tome como aproximação inicial o intervalo [ 1, 0] e pare o processo iterativo quando o critério de paragem for verificado para ε 1 = 0.5 e ε 2 = 0.1, ou ao fim de 2 iterações. Nota: cosh(y) = ey +e y (TPC) Considere a equação não linear f(x) x + ln(x) = 0 que tem uma única raiz. Sabe-se que esta pertence ao intervalo [0.5,1.0]. (a) Determine uma aproximação a essa raiz através do método de Newton. Considere no critério de paragem ε 1 = e ε 2 = (b) Repita o processo, para o método de Newton, tomando agora x 1 = 3.0. Que conclusões pode tirar desta implementação? 2.5 (AULA) Uma bola esférica de raio r = 10 cm feita de uma substância cuja densidade é ρ = 0.638, foi colocada num recipiente com água. Calcule a distância x da parte submersa da bola sabendo que f (x) π ( x 3 3x 2 r + 4r 3 ρ ) = 0 3 usando o método de Newton. Pare o processo iterativo quando o critério de paragem for verificado para ε 1 = ε 2 = 0.001, ou ao fim de 3 iterações.

4 2 ZEROS DE FUNÇÕES 3 = (AULA) Considere a figura ao lado que representa um lago. h é a profundidade do lago, A(h) = 4.7h é a área da secção molhada, P(h) = 4 + 2h representa o perímetro molhado, R(h) é o raio hidráulico dado, S = (inclinação longitudinal do lago), v = 0.02 (parâmetro de rugosidade da superfície do lago) e Q = 12.2 (vazão do lago). por A(h) P(h) Pretende-se determinar a profundidade h do lago pela aplicação da equação de Manning para verificação da capacidade da vazão de lagos: Q = A(h)R(h)2 3 S 1 2 v Sabendo que h [1, 2], utilize o método mais adequado, considerando no critério de paragem ε 1 = 10 1 e ε 2 = 10 2 (2 iterações). 2.7 (TPC) A equação a(x) = 2.02x x x x x é usada num estudo do comportamento mecânico de materiais, sendo a(x) o comprimento da fissura e x (positivo) representa uma fracção de ciclos de propagação. Pretende-se saber para que valores de x é nula a velocidade de propagação. Utilize um método que não recorre ao cálculo de derivadas, usando no critério de paragem ε 1 = ε 2 = 10 3, ou no máximo 3 iterações. a'(x), velocidade de propagação x, número de ciclos de propagação

5 3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 4 3 Sistemas de equações lineares 3.1 (AULA) Dada a matriz A = e o vector b = (14.6, 11.4, 14.0, 0.9) T (a) Resolva o sistema correspondente por um método directo e estável. (b) Calcule o determinante da matriz A por um método directo e estável. (c) Calcule A 1 usando o método de eliminação de Gauss com pivotagem parcial. 3.2 (TPC) A aplicação da lei de voltagem nos nós para o circuito apresentado na figura resulta no seguinte sistema linear: 17V 1 8V 2 3V 3 = 480 2V 1 + 6V 2 3V 3 = 0 V 1 4V V 3 = 0 (a) Resolva o sistema por um método directo e estável. (b) Calcule a inversa e o determinante da matriz dos coeficientes do sistema linear. 3.3 (TPC) Considere o sistema x x x 3 = 2 0.5x 1 + x x 3 = 2 0.5x x 2 + x 3 = 2 (a) Use o método iterativo de Gauss-Seidel para calcular a solução, com uma precisão (em termos relativos) igual a 0.3. (b) Estude a convergência através das condições suficientes. 3.4 (AULA) Considere o sistema 2x 1 + x 2 + x 3 = 5 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 9 x 1 + x 2 + 3x 3 = 6 Estude a convergência do método de Gauss-Seidel através das condições suficientes.

6 3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Considere a matriz dos coeficientes de um certo sistema linear k 3 1 A = k Com base numa das condições suficientes baseada na matriz A, para que valores de k se garante a convergência do método de Gauss-Seidel? 3.6 Considere o seguinte sistema de equações lineares 2x x 2 = 1 0.5x 1 + x 2 = 1 2x 3 = 1 x 4 + x 5 = 1 x 4 + 2x 5 = 1 Implemente o método iterativo de Gauss-Seidel para resolver o sistema. Pare o processo iterativo quando uma das seguintes condições for verificada: x (k+1) x (k) i. x (k+1) 0.5 ii. n max = Considere o seguinte sistema de equações lineares 0.8x x x 3 = x x x 3 = x x x 3 = 4.0 Estude a convergência do método de Jacobi na sua resolução. Justifique. 3.8 (TCP) Considere o seguinte sistema de equações lineares 5x 1 + x 2 + x 3 = 1 0.1x x x 3 = x x x 3 = 6 (a) Estude a convergência do método iterativo de Jacobi. Justifique a sua resposta. (b) Calcule a solução do sistema, pelo método indicado, usando no critério de paragem o seguinte valor para o parâmetro: ε = 0.1 (no máximo 3 iterações). 3.9 (AULA) A aplicação da lei de voltagem nos nós para o circuito apresentado na figura resulta no seguinte sistema linear: 17V 1 8V 2 3V 3 = 480 2V 1 + 6V 2 3V 3 = 0 V 1 4V V 3 = 0

7 4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES 6 Use o método de Gauss-Seidel para encontrar uma aproximação à solução. Considere V (1) = (0,0,0) T como aproximação inicial, ε = 0.2 e faça no máximo 2 iterações. 4 Sistemas de equações não lineares 4.1 (TPC) A posição de um determinado objecto O 1 no plano xy é descrita em função do tempo (t) pelas seguintes equações: x 1 (t) = t, y 1 (t) = 1 e t. A posição de um segundo objecto O 2 é descrita pelas seguintes equações: x 2 (t) = 1 cos(α)t, y 2 (t) = sin(α)t 0.1t 2 em que α representa o ângulo em radianos, como mostra a figura. Quando se iguala as coordenadas x e y, obtém-se o seguinte sistema: { t = 1 cos(α)t 1 e t = sin(α)t 0.1t 2 cujos valores de t e de α são desconhecidos. Determine os valores de t e α na posição em que os dois objectos colidem, i.e., na posição em que se igualam as coordenadas x e y. Considere os valores iniciais (t,α) (1) = (4.3,2.4), ε 1 = ε 2 = e faça no máximo duas iterações. 4.2 Considere o seguinte sistema de equações: { 3x 2 +2y 2 = 35 4x 2 3y 2 = 24. Como se pode observar na figura o sistema tem 4 raízes. Utilize o método de Newton para resolução de sistemas de equações não lineares para determinar uma aproximação à raiz do 1 o quadrante. Considere como aproximação inicial o ponto (2.5,2) e ε 1 = ε 2 = 10 1 ou no máximo 2 iterações.

8 5 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL (AULA) Em problemas de navegação, é necessário encontrar a posição de um ponto (x,y), através dos valores das distâncias r 1 e r 2 a dois pontos de posição conhecida (x 1,y 1 ) e (x 2,y 2 ), como mostra a figura. (x, y) r 1 (x 1, y 1 ) r 2 (x 2, y 2 ) (a) Formule o problema como um sistema de equações não lineares em função das coordenadas do ponto (x,y). Note que r 1 e r 2 são os raios das circunferências de centro (x 1,y 1 ) e (x 2,y 2 ), respectivamente. (b) Considerando (x 1,y 1 ) = (10,10), (x 2,y 2 ) = (10, 10), r 1 = 14 e r 2 = 16, calcule as coordenadas do ponto (x,y) através do método iterativo de Mewton para (x,y) (1) = (0,0). Apresente o valor final ao fim de duas iterações com a correspondente estimativa do erro de aproximação. 4.4 Duas estações eléctricas vão fornecer energia a uma certa região da forma mais económica possível. O custo total de operação das duas estações é dado por f(x 1,x 2 ) = x 1 x x x (x 1 + x 2 100) em que x 1 é a energia fornecida pela primeira estação e x 2 é a energia fornecida pela segunda estação. Determine os valores de x 1 e x 2 por forma a minimizar o custo total de operação das duas estações. Utilize como aproximação inicial o ponto (2.0, 0.5) e ε 1 = ε 2 = 0.2 (uma iteração). 5 Interpolação polinomial 5.1 (TPC) Dada a tabela de valores de uma função f(x) x i f(x i ) (a) Pretende-se aproximar f(0.6) usando um polinómio de grau 3. Use a fórmula interpoladora de Newton baseada em diferenças divididas. (b) Estime o erro de truncatura cometido na alínea anterior.

9 6 APROXIMAÇÃO DOS MÍNIMOS QUADRADOS POLINOMIAIS E LINEARES 8 (c) Estime f (0.6) usando todos os pontos da tabela. 5.2 (AULA) Considere a seguinte tabela: x f(x) (a) Construa a tabela das diferenças divididas (utilize nos cálculos 6 casas decimais). (b) Estime o valor de f(0.5) utilizando dois polinómios interpoladores de grau 3. (c) Comente os resultados obtidos. 5.3 (AULA) Considere a seguinte tabela de uma função polinomial x p(x) Sem recorrer à expressão analítica de p(x): (a) mostre que p(x) é um polinómio interpolador de grau 2. (b) determine p(10). 5.4 A velocidade do som na água varia com a temperatura de acordo com a tabela abaixo: Temperatura ( o C) Velocidade (m/s) (a) Pretende-se estimar a velocidade do som na água a uma temperatura de 100 o C, utilizando: i. um polinómio interpolador de Newton de grau dois; ii. um polinómio de grau dois no sentido dos Mínimos Quadrados, usando os mesmos pontos que utilizou na alínea anterior. (b) Comente e justifique os resultados. 6 Aproximação dos mínimos quadrados polinomiais e lineares 6.1 De uma tabela de logaritmos obteve-se o seguinte quadro de valores: x i ln(x i ) Calcule uma aproximação a ln(0.5), tendo como base o polinómio dos mínimos quadrados de grau dois que melhor se ajusta aos pontos do quadro. 6.2 (TCP) Um carro inicia a sua marcha num dia frio de inverno e um aparelho mede o consumo de gasolina verificado no instante em que percorreu x Km. Os resultados obtidos foram: x (Km) f(x) (lkm 1 ) Construa um modelo quadrático, para descrever o consumo de gasolina em função da distância percorrida, usando a técnica dos mínimos quadrados.

10 6 APROXIMAÇÃO DOS MÍNIMOS QUADRADOS POLINOMIAIS E LINEARES (TCP) Pretende-se ajustar o modelo linear à função f(x) dada pela tabela M(x;c 1,c 2,c 3 ) = c 1 e x + c 2 x + c 3 x i f(x i ) no sentido dos mínimos quadrados. Determine os coeficientes do modelo apresentado. Apresente uma estimativa para f(0.5). 6.4 Considere os seguintes valores de f da tabela: Suponha que pretendia ajustar o modelo x i f i M(x) = 1 a + bx aos valores de f da tabela no sentido dos mínimos quadrados, em que a e b são os parâmetros do modelo. (a) Calcule o modelo M usando (a,b) (1) = (1.4,0.2). Faça apenas uma iteração. (b) Avalie o modelo, justificando se este se ajusta bem aos valores da tabela. 6.5 Considere a seguinte tabela matemática x i f i Qual dos modelos a seguir indicados ajusta melhor os dados da tabela, no sentido dos mínimos quadrados? i. p 1 (x) = (x 2) ii. p 2 (x) = (x 2) [ (x 2) ] iii. M(x;a,b) = e x (AULA) A resistência de um certo fio (de uma certa substância), f (x), varia com o diâmetro desse fio, x. A partir de uma experiência registaram-se os seguintes valores: x i f (x i ) Foram sugeridos os seguintes modelos para ajustar os valores de f (x), no sentido dos mínimos quadrados: - uma recta - o modelo linear: M (x,c 1,c 2 ) = c 1 x + c 2x (a) Calcule a recta. (b) Calcule o modelo M (x). (c) Qual dos modelos escolheria? Justifique a sua escolha.

11 7 MÍNIMOS QUADRADOS NÃO LINEARES 10 7 Mínimos quadrados não lineares 7.1 Em sistemas de transportes urbanos o preço das viagens depende da procura. Quanto maior é a procura, x, mais baixo é o preço P(x) (em euros). Obtiveram-se, no passado, os seguintes valores: x P(x) Pretende-se construir um modelo do tipo M (x;c 1,c 2 ) = e c 1x + c 2 para descrever o comportamento de P(x). Usando a técnica dos mínimos quadrados, calcule os coeficientes do modelo apresentado. Use o método de Gauss-Newton e pare o processo iterativo quando o critério de paragem for verificado para ε 1 = ε 2 = 0.1 (ou ao fim de uma iteração). Tome como aproximação inicial o vector (c 1,c 2 ) (1) = (0.15,0.15). 7.2 (TPC) Muitos processos em engenharia são determinados através da medição de uma variável dependente ( output do sistema) para um conjunto de valores da variável independente ( input do sistema). Dado o modelo matemático do processo, que depende de um conjunto de parâmetros desconhecidos, o modelo é ajustado aos dados, usando a técnica dos mínimos quadrados. Considere a função f(x) (variável dependente) definida pela seguinte tabela x i f i Pretende-se, no sentido dos mínimos quadrados, ajustar o modelo M (x;c 1,c 2 ) = c 1 e c 2x aos valores de f(x). Implemente uma iteração do método de Gauss-Newton e tome como aproximação inicial o vector (1,1). 7.3 (AULA) Implemente o método iterativo de Gauss-Newton, com o objectivo de ajustar o melhor possível o modelo não linear M (x;c 1,c 2 ) = c 1 + sen (c 2 x) à função f (x) dada pela seguinte tabela de 3 pontos x i f i no sentido dos mínimos quadrados. Como aproximação inicial aos parâmetros considere o vector (1,3). Pare o processo iterativo quando o critério de paragem for verificado para ε 1 = ε 2 = 0.02.

12 8 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 11 8 Integração numérica 8.1 Foram registados os consumos, f(x i ), de um aparelho em determinados instantes, x i (em segundos): x i f(x i ) Calcule o consumo total ao fim de 10 segundos. 8.2 A função F(t) surge na determinação da tensão à superfície de um líquido que rodeia uma bolha esférica de gás: t P(x) F(t) = dx para 0 t 1 0 Q(x) em que P(x) = 3 + 3x + x 2 Q(x) = 3 + 6x + 6x 2 + 2x 3 Determine F(1) considerando apenas os seguintes valores de x no cálculo do integral 0, 0.25, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, (TPC) Considere a seguinte tabela de valores da função P (x) : x i P (x i ) (a) Calcule a melhor aproximação ao integral 1 usando toda a informação da tabela. 0 sen (xp (x)) dx (b) Estime o erro de truncatura cometido no intervalo [0.7,1] com a aproximação da alínea anterior. 8.4 O comprimento do arco da curva y = f (x) ao longo do intervalo [a,b] é dado por b 1 + (f (x)) 2 dx. a Calcule uma aproximação numérica ao comprimento do arco da curva f (x) = e x no intervalo [0,1], usando 5 pontos igualmente espaçados no intervalo. 8.5 (TPC) A função distribuição normal acumulada é uma função importante em estatística. Sabendo que F(z) = 1 z e x2 /2 dx = z 2π z e x2 /2 dx. 2π 2 Calcule uma estimativa de F(1), usando a fórmula composta do trapézio com 5 pontos no cálculo do integral.

13 8 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA A resposta de um transdutor a uma onda de choque causada por uma explosão é dada pela função F(t) = 8e ti(a) para t a, em que π I(a) = 2 1 f(x,a)dx com f(x,a) = eax x Calcule I(1) usando a fórmula composta do trapézio com erro de truncatura inferior a (TPC) Considere o seguinte integral I = 1 0 x 2 e x dx. Calcule uma aproximação ao integral I obtida a partir da fórmula composta do trapézio, de tal forma que o erro (de truncatura) cometido, em valor absoluto, não exceda Determine uma aproximação ao valor do integral definido 1 ( x ) dx x através da fórmula de Simpson, com um erro de truncatura, em valor absoluto, inferior a (AULA) A velocidade de queda de um paraquedista é dada pela seguinte equação: V (t) = gm (1 e ( ) m)t c c onde m é a massa do paraquedista e c é o coeficiente de atrito. Determine a distância de queda do paraquedista ao fim de 10 segundos sabendo que a massa do paraquedista é de 71kg e que o coeficiente c = 12.5kg/s, com erro absoluto inferior a 10 4, usando a regra dos 3 8. Assuma que o paraquedista salta de um avião no instante de tempo 0 e considere g = 9.81m/s (AULA) Pretende-se calcular a pressão, P, que suporta um semicírculo de raio r, submerso verticalmente em água, de tal forma que o seu diâmetro coincide com a superfície livre da água, como mostra a figura h 0 x r dh X Y Para calcular a pressão do líquido, usa-se a lei de Pascal. Assim, a pressão total é definida por P = 2γ r 0 h r 2 h 2 dh em que γ é o peso específico da água. Considere γ = 1 e r = 7.

14 9 OPTIMIZAÇÃO NÃO LINEAR SEM RESTRIÇÕES 13 (a) Calcule a pressão, P, usando seis pontos igualmente espaçados no intervalo [0,5] e cinco pontos igualmente espaçados no intervalo [5,7]. (b) Estime o erro de truncatura cometido na alínea anterior apenas para o intervalo [0,5]. 9 Optimização não linear sem restrições 9.1 Dada a função determine os seus pontos extremos. 9.2 Dada a função f : R 3 R definida por f (x) = x 3 6x 2 + 9x + 4 f (x 1,x 2,x 3 ) = 5x x2 2 + x4 3 32x 3 + 6x 1 x 2 + 5x 2 verifique que ela tem apenas um ponto estacionário. Classifique-o. 9.3 (AULA) Considere a função Mostre que: f (x,y) = 3x 2 1 x x 3 1 (a) a função dada tem um máximo local em ( 2,0) T ; (b) a função dada tem um ponto de sela em (0,0) T ; (c) a função dada não tem mínimos. 9.4 (TPC) Mostre que qualquer ponto da linha x 2 2x 1 = 0 é um mínimo de f : R 2 R definida por f (x 1,x 2 ) = 4x 1 2 4x 1 x 2 + x (TPC) Dada a função f : R 2 R definida por f (x 1,x 2 ) = x 2 1 (1 x 1) 2 + x 1 x 2. Verifique se tem pontos máximos, mínimos e/ou de descanso. 9.6 A função f (x) definida por f (x) = sen (x)tg (1 x) dá a posição de um ponto relativamente a um centro de coordenadas, como função de um ângulo x. Pretende-se calcular o ponto mais alto dessa trajectória, no intervalo [0,1], isto é, o máximo de f (x). Use o método iterativo de Newton para calcular um ponto estacionário e pare o processo iterativo quando o critério de paragem for verificado para ε 1 = 0.5 e ε 2 = 0.1. Verifique se o ponto encontrado é máximo.

15 10 ALGORITMO DAVIES, SWANN E CAMPEY (DSC) Algoritmo Davies, Swann e Campey (DSC) 10.1 Dada a função f : R R definida por f (x) = x 2 x calcule o seu mínimo usando o algoritmo de Davies, Swann e Campey (DSC), baseado na interpolação quadrática. O processo iterativo deve ser iniciado com o ponto x 0 = 2. Considere δ = 1, M = 0.5 e ε = (TPC) Um navio encontra-se atracado num porto. A distância h, de um dado ponto do casco do navio ao fundo do mar, varia com a maré. Admita que h é dada, em função do tempo x, por h(x) = 10 3cos(2x). Qual a distância desse ponto do casco ao fundo do mar no momento da maré alta? Resolva o problema através do algoritmo de DSC, baseado na interpolação quadrática. Comece o processo iterativo com x (1) = 15. Considere δ = 1, M = 0.1 e ε = 0.5 (ou no máximo duas iterações) (AULA) Tendo como objectivo fabricar latas cilíndricas com um volume de 1000cm 3 e tapá-las em ambas as extremidades, qual deverá ser o raio da base e a altura da lata de modo a minimizar a quantidade de placa metálica, em termos de área superficial? Utilize o algoritmo de DSC, baseado na interpolação quadrática, com o valor inicial r 1 = 7, δ = 0.5, ε = 0.1 e M = 0.5. NOTA: Use a restrição do volume para eliminar uma das variáveis, por exemplo, h = 1000 πr No circuito eléctrico que se apresenta na figura abaixo, a energia à saída da resistência R é dada por P = 104 R (R + 20) 2. Determine o valor de R que maximiza a energia de saída, utilizando o método de DSC baseado em interpolação quadrática.

16 11 ALGORITMO NELDER-MEAD 15 Utilize como valor inicial R 1 = 15, δ = 2, ε = 0.5 e M = Considere a função f : R R definida por { (x 1) 2 para x / [0,2] 1 para x [0,2] Implemente o algoritmo de Davies, Swann e Campey (DSC), baseado em interpolação quadrática, fazendo x 0 = 4, δ = 0.5 e M = A figura representa dois triângulos equiláteros x 30 O maior tem lado igual a x. Usando o método DSC (baseado em interpolação quadrática) determine x de modo a minimizar a soma das áreas dos dois triângulos. Use 4 casas decimais nos cálculos e inicie o processo iterativo com x 1 = 20. Considere ainda δ = 1, M = 0.1 e ε = 0.5 (duas iterações). Que relação existe entre os triângulos? Nota: A área de um triângulo é igual a 0.5 base altura. 11 Algoritmo Nelder-Mead 11.1 (AULA) Calcule o mínimo da função f (x) definida por f (x 1,x 2 ) = max ((x 1 1) 2,x (x 2 1) 2) implementando o método de Nelder-Mead, tomando para conjunto inicial os vectores ( ) ( ) ( ) 1 0 1, e e ε = No planeamento da produção de dois produtos, uma determinada companhia espera obter lucros iguais a P: P(x 1,x 2 ) = 3(1 e 1.2x 1 ) + 4(1 e 1.5x 2 ) + (1 e x 1x 2 ) x 1 x 2 em que x 1 e x 2 são respectivamente, as quantias gastas para produzir e promover os produtos 1 e 2, em unidades de 10 5 euros. Determine o máximo de P e os valores óptimos de x 1 e x 2 usando o método de Nelder- Mead. O processo iterativo deve terminar quando o critério de paragem for verificado para ε = 0.6, ou ao fim de duas iterações. Considere os seguintes pontos iniciais: (0.5, 0.5) T, (0.5, 2.0) T, (1.5, 0.5) T.

17 12 ALGORITMO DE SEGURANÇA DE NEWTON (TPC) Uma empresa produz dois artigos A e B. O custo de produção é dado por: C = f (q 1,q 2 ) = 10q q q 1 900q onde C é o custo total de produção (em euros), q 1 e q 2 são, respectivamente, as quantidades produzidas dos artigos A e B. Pretende-se determinar as quantidades que permitem minimizar o custo total. (a) Utilize o método de Nelder-Mead e termine o processo iterativo quando o critério de paragem for verificado para ε = 0.5 (n max = 2). Considere os seguintes pontos iniciais: (0.75,6.125) T, (2,2.75) T, (4,12) T. (b) Use as condições de optimalidade de primeira e segunda ordem para obter a solução exacta do problema. 12 Algoritmo de Segurança de Newton 12.1 Três estações eléctricas vão fornecer energia a uma certa região da forma mais económica possível. Os custos individuais de operação de cada uma das estações são dados por f 1 = x f 2 = y y 2 f 3 = z z z 3 em que x, y e z são as energias fornecidas pelas três estações (em M W att). Determine os valores de x, y e z que minimizam o custo total se a energia total a ser fornecida for de 100MWatt, recorrendo ao método de segurança de Newton. Como valores iniciais use (y,z) (1) = (30,50), no critério de paragem considere ε 1 = ε 2 = ε 3 = 0.5 e tome η = Como estratégia de procura unidimensional utilize o algoritmo das repetidas divisões de α por dois. NOTA: Use a restrição relacionada com a energia a fornecer, para eliminar uma das variáveis, por exemplo, x = 100 y z (TPC) Dada a função f : R 2 R definida por f (x 1,x 2 ) = x 2 1 6x 2 2 calcule o seu máximo usando o algoritmo de segurança de Newton. O processo iterativo deve ser iniciado com o ponto (1, 1) e deve terminar quando o critério de paragem for verificado para ε 1 = ε 2 = ε 3 = 0.5. Considere η = Deve implementar o algoritmo das repetidas divisões de α por dois para calcular o comprimento do passo α, em cada iteração (AULA) A energia potencial de duas barras ligadas, como ilustra a figura, é dada por: f(x 1,x 2 ) = EA ( ) l 2 x 2 1 s 2s + EA s ( ) h 2 x 2 2 s Px 1cos(θ) Px 2 sen(θ)

18 13 ALGORITMO QUASI-NEWTON 17 em que E = Pa (modulus de Young), A = 10 5 m 2 (área transeccional de cada barra), l = 1.5m (distância entre as duas barras), s é o comprimento das barras, h = 4m (altura da ligação), P = 10 4 N (força aplicada), θ = rad (ângulo a que a força é aplicada) e x 1 e x 2 são respectivamente, a componente horizontal e vertical da energia potencial no ponto de aplicação. Calcule os valores de x 1 e x 2 que minimizam a energia potencial usando o método de Segurança de Newton (η = ). Inicie o processo iterativo com o ponto (0.2, 0.001). O processo iterativo deve terminar quando o critério de paragem for verificado para ε 1 = ε 2 = ε 3 = 0.001, ou ao fim de duas iterações A figura ao lado representa uma caixa cuja parte superior e inferior é formada por abas que permitem fechá-la. Pretendese determine as dimensões da caixa que minimizam o gasto de material na sua construção, sabendo que a sua capacidade (volume da caixa) deve ser de 10 dm 3. Use a restrição do volume para eliminar a variável x 3 na função a minimizar obtendo uma função em x 1 e x 2. (a) Utilize o método de segurança de Newton para determinar uma aproximação à solução. Use x (0) = (x (0) 1,x(0) 2 )T = (1.5,1.5) T e faça apenas uma iteração. (b) Use a condição de optimalidade de primeira ordem para obter a solução exacta do problema. Confirme que se trata de um mínimo através da condição de optimalidade de segunda ordem. 13 Algoritmo Quasi-Newton 13.1 (AULA) Considere um circuito eléctrico em que existem duas resistências variáveis, R e X, como se mostra na figura abaixo. O valor médio da energia do circuito é dado por P = 10 4 R (R + 20) 2 + X 2. Determine os valores de R e X para os quais se obtém uma energia de saída máxima. Use uma estratégia quasi-newton e os valores iniciais (R,X) (1) = (10,5). x 1 x 2 2 x 2 x 1 2 x 3

19 13 ALGORITMO QUASI-NEWTON 18 Utilize ainda o algoritmo das repetidas divisões de α por dois para determinar o comprimento do passo α em cada iteração e no critério de paragem ε 1 = ε 2 = ε 3 = Dada a função f : R 2 R definida por f (x 1,x 2 ) = x x 2 2 x 1 x 2 calcule o seu mínimo usando o algoritmo quasi-newton, na versão BFGS. O processo iterativo deve ser iniciado com o ponto (1,0) e deve terminar quando o critério de paragem for verificado para ε 3 = Para calcular o comprimento do passo α, use, em cada iteração á técnica das repetidas divisões de α por (TPC) O deslocamento de uma estrutura em oscilação depende de k e do instante t e é dado por f(k,t) = 10e kt cos(ωt). Para ω = 2 determine k e t de modo que o deslocamento seja mínimo. Use o método Quasi-Newton baseado na fórmula BFGS. O processo iterativo deve ser iniciado com o ponto (k,t) (1) = (0.5,10). Faça duas iterações.