Linhas de curvatura direcional média em superfícies imersas em R

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1 Linha d crara dircional média m rfíci imra m Li Frnando d Oório Mllo TESE APESETADA AO ISTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA DA UIVESIDADE DE SÃO PAULO PAA OBTEÇÃO DO GAU DE DOUTO EM MATEMÁTICA APLICADA Ára d Concnração: Eqaçõ Difrnciai Sima Dinâmico Orinador: Prof. Dr. Jor Manl Soomayor Tllo São Palo Aoo d 00 Dran a laboração d rabalho o aor rcb axílio financiro da CAPES conênio PICDT.

2 Caílo. Inrodção a Gomria Difrncial Cláica ddica- cial anção ao óico q raam da crara d ma rfíci imra m. Dnro d dacam o do nolndo a crara rinciai a fnçõ a la aociada como or xmlo a crara Gaiana Média [Car]. Inimamn liada à crara rinciai mo a dirçõ rinciai a cra inrai a linha d crara rincial a inlaridad o ono mbílico. Abordarmo inicialmn ano oi l no conca com a Toria Qaliaia da Eqaçõ Difrnciai Ordinária q é úil no conxo m q rabalho inr. A linha d crara rincial d ma rfíci imra m ão a cra obr a rfíci ai q ao lono d a dirçõ ann dnominada dirçõ rinciai a cram xrmalmn. Tai crara xrmai dnominam- crara rinciai alor ão obido araé da crara normal aaliada na dirçõ rinciai. A dirçõ rinciai ão m ral drminada or da ra oroonai. D modo fora do ono mbílico ond a crara rinciai coincidm a dirçõ rinciai drminam doi camo d dirçõ ann à rfíci dnominado camo d dirçõ rinciai. O ono mbílico ão conidrado inlaridad d

3 camo. A rd formada la cra inrai do camo d dirçõ rinciai jnamn com o ono mbílico dfinm o q chamamo d confiração rincial da rfíci; la conii m análoo naral ao rrao d fa ara camo d or m rfíci. Elr [El] foi o rimiro mamáico a inrir o méodo do Cálclo Infiniimal m Gomria o ronál la dfiniçõ báica acrca da crara rinciai m 760. o nano foi Mon [Mon] m 796 o rimiro a dacar a imorância da confiração rincial d ma rfíci. A l dmo a dcrição da confiração rincial não riial do lióid d rê ixo diino dnominado lióid d Mon. Tal fao coloca Mon como indicíl rcror da Toria Qaliaia da Eqaçõ Difrnciai qa m éclo mai ard fndada imaizada or Poincaré Liano arimorada or Androno Ponrjain Pixoo... conform [So]. A coninação do rabalho d Mon d- a dicílo Din o qal ob m méodo d dcrição d nmroa confiraçõ rinciai araé do conhcido rlado acrca da família rilamn oroonai d rfíci. Como m cao ariclar odmo ciar a qádrica homofocai ond ncaixa o lióid d Mon. Um aanço inificaio no do da confiraçõ rinciai foi dado or Darbox [Dar] m 896 q dcr o ono mbílico nérico caracrizando-o m rmo da condiçõ alébrica na rcira driada da rfíci. Em a homnam ai ono mbílico rcbram o nom d Darboxiano. Por qa m éclo o do da confiração rincial d ma rfíci rmanc m roo m q rlado banciai fom obido. Val ralar q no ríodo mncionado ho o nacimno com Poincaré a

4 roaação da Toria Qaliaia da Eqaçõ Difrnciai a qal no nano não alaro no ramo da Gomria Difrncial Cláica. Somn m 98 com o rabalho d Girrz Soomayor colado m [GS] é q o do da confiraçõ rinciai olo ao cnário foralc anho coro amoldo à modrna écnica da Toria Qaliaia da Eqaçõ Difrnciai do Sima Dinâmico com a inrodção d noo concio como Eabilidad Erral Gnricidad. Dnominarmo a a noa fac d Toria Qaliaia da Eqaçõ Difrnciai da Gomria com a rmião do rofor Soomayor q iliza nom m m d cro na USP. Em [GS] Girrz Soomayor dfiniram a cla GS da imrõ d cla C d rfíci comaca m r q aifazm a in condiçõ rminicn da d Pixoo ara Eqaçõ Difrnciai Ordinária [Pi]: i Todo o ono mbílico ão Darboxiano; ii Todo o ciclo rinciai ão hirbólico; iii ão xi conxão o aoconxão d arariz mbílica; i O conjno limi d cada linha d crara rincial á conido no conjno do ono mbílico ciclo rinciai. E aor dmonraram q oda imrão rncn ao conjno GS é rralmn ál bm como moraram q a cla é abra dna no conjno d oda a imrõ d rfíci comaca m com ooloia adqada. Para m maior clarcimno do rmo acima mrado bm

5 como oro aco a rio da confiraçõ rinciai rcomndamo o rcn do [GS] no qal nconra- ma lia d rfrência aalizada obr o ano. A noçõ d crara dirçõ rinciai linha d crara rincial ono mbílico rd confiraçõ rinciai bm como ora odm r ndida ara a hirrfíci imra m. Parindo d al iação Garcia m [Ga] m 989 nd arcialmn o rlado d Girrz Soomayor ara a hirrfíci comaca imra m. o q foi dio acima do rfr à codimnão. laarmo a ir o q abmo a rio do camo d dirçõ a inlaridad ara a imrõ d rfíci m. Para o do ral da rfíci m odmo ciar o marco d rfrência Foryh [For] Won [Won] Lil [Li]. E úlimo arna aln xmlo d camo d dirçõ com a conrçõ baada na li d crara a inlaridad. laciona aco locai como or xmlo o índic do camo d dirçõ na inlaridad iolada com aco lobai ilizando ara io hió adicionai como a comacidad da rfíci. Enconra ma inran rlação nr o índic d m camo d dirçõ chamado aqi d camo d dirçõ d crara dircional média o índic do camo d or crara média q comarilham da mma inlaridad arnando no nano m qíoco com rlação ao inal nolido na rlação. Mai cificamn qíoco aarc na inrração do inal da crara normal ja áina. E qíoco foi rcbido corriido or Ari m [A]. rabalho Ari rfaz o rinciai rlado d [Li]. Arnamo n noo rabalho ma ora rão d rlado d Lil Ari. Val obrar q na rfrência

6 acima nada nconra no mold do rlado d Girrz-Soomayor o ja no mold da Toria Qaliaia da Eqaçõ Difrnciai da Gomria. Ana rcnmn foi dado ênfa ao do mai dalhado do camo d dirçõ a inlaridad obr a rfíci m. Podmo ciar o rabalho [GGST] d Girrz Gadal Soomayor Tribzy d 987 ond daram a linha d crara m rfíci mínima imra m o rabalho d Girrz Gadal Tribzy Gíñz [GGTG] d 997 ond aor fizram m do dalhado a rio da inlaridad nérica do camo d dirçõ cja cra inrai chamaram d linha d crara. O moio d nom m do fao d q na dfinição d camo d dirçõ ilizamo o ono obr a li d crara q drminam o maior mnor ixo da mma ja áina 0. Val obrar q o do da inlaridad foi fio m coordnada ciai no cao coordnada ioérmica. D- a Garcia Soomayor m [GaS] o do mai abrann do camo d dirçõ acima a inlaridad. E aor adoaram m nom mai io ara a cra inrai d camo d dirçõ chamando-a d linha d crara axial bm como aaram a dnominar a inlaridad d ono aximbílico la ria analoia com o cao d. Coném alinar q o rabalho [GaS] coném mio mai. El raa ainda do do do ciclo da abilidad rral no mold da imrõ d rfíci m acima mncionado. como a mma linha d rabalho nconramo ainda o do d Garcia Mochida Fr a [GMF] obr a inlaridad nérica do camo d dirçõ ainóica ja áina 5. Tai inlaridad ão dnominada ono d inflxão. Aqi o alo com o é d cra forma arificial oi a 5

7 conrção m nada m a r com a cra ainóica q aarcm m rfíci imra m. A única mlhança rid no fao d q camo ão dfinido ana m cra riõ da rfíci dnominada riõ hirbólica como no cao do o índic da inlaridad d camo é. o rabalho acima roa- q nricamn ± como obr a rfíci localmn conxa camo ão lobalmn dfinido dmonra- o in orma: qalqr fra nricamn mrlhada como ma rfíci localmn conxa m oi lo mno ono d inflxão. E io d rlado é íico. D o do índic da inlaridad nérica da caracríica d Elr-Poincaré da rfíci comaca cha- a l facilmn. o rn rabalho rdmonramo rlado ilizando o mmo ono d inflxão ma aora olhando-o como inlaridad d oro camo d dirçõ. Aqi al ma dirão. lacionada ao númro d inlaridad d m camo d dirçõ obr ma rfíci comaca d mo a Conjcra d Carahéodory a qal afirma q obr odo oalóid rfíci comaca com crara Gaiana oiia xim lo mno doi ono mbílico. Ea conjcra rmanc m abro lo mno ara o cao não analíico. cn conribiçõ ao nndimno da mma êm ido dada como or xmlo o rabalho [SM] ond rfrência ara o ano odm r nconrada. o do ralizado or Garcia Soomayor m [GaS] mncionado acima aarc d forma naral ma qação difrncial qárica a qação difrncial da linha d crara axial. Ocorr q qando a imrão da rfíci m á m ariclar conida m m hirlano a qação qárica faora- nm rodo d da qaçõ difrnciai qadráica ndo ma dla a qação difrncial da linha d crara rincial a ora 6

8 dnominada d qação difrncial da linha d crara média. O do rlacionado a a úlima qação foi fio or Garcia Soomayor m [GaS]. rabalho o aor dnolram odo o do da abilidad rral: fizram o do da inlaridad nérica do ciclo hirbólico do comoramno do conjno limi da linha d crara média da arariz da inlaridad nérica como no cao da linha d crara rincial ra ciado. Conidrmo aora a imrão d ma rfíci m façamo a a comoição com a alicação inra da rojção roráfica d m S. Tmo aim naralmn ma imrão d ma rfíci m. Em [Li] Lil moro q com a conrção a linha d crara rincial da imrão m ão lada na linha ainóica da imrão m bm como o ono mbílico da imrão m ão lado no ono d inflxão da imrão m. Uma rna naral r: Em qai linha ão alicada a linha d crara média dada or Garcia Soomayor m [GaS]? Uma roa ara a rna é dada no dcorrr d rabalho. D fao fazmo alo m oco mai abrann. Dnolmo odo o do da abilidad rral ara m cro io d camo d dirçõ dnominado n rabalho d camo d dirçõ d crara dircional média cja dfinição od r ia na áina 7 dido à a liação com o cao m. A cra inrai d camo ão chamada d linha d crara dircional média. Mai cificamn rabalho dnol do in modo. o caílo fazmo ma rião do rinciai concio a rio d ma imrão d ma rfíci m. iamo a forma fndamnai da imrão a li d crara a fnçõ a la aociada como o or crara normal o or crara média a crara normal. Fazmo a 7

9 conrção do camo d dirçõ d crara dircional média drminamo a a qação difrncial. la q a qação difrncial é ma qação difrncial binária como a da linha d crara rincial ara imrõ m. o caílo damo daq ao do da inlaridad do camo d dirçõ d crara dircional média chamada aqi d H-inlaridad. Moramo q la ocorrm no ono d inflxão o no ono ond o or crara média H é nlo o ja na inlaridad do camo d or crara média. Exloramo n caílo o concio d H-inlaridad ranral ond a cra q dfinm a H-inlaridad nconram- ranralmn o concio d índic do camo d dirçõ na H- inlaridad. Uma rlação nr o índic da H-inlaridad o índic da inlaridad do camo d or crara média é ablcida. o caílo damo ma cla da H-inlaridad dnominada d io i. O bíndic rfr- ao númro d arariz da H- S i inlaridad. Ea inlaridad ão análoa ao ono mbílico Darboxiano da imrõ m. Fazmo al do na cara d Mon. O caílo 5 é ddicado ao do da linha d crara dircional média riódica o ciclo d crara dircional média. Drminamo a driada da alicação d rimiro rorno como ma xrão inral nolndo inarian omérico da imrão ao lono do ciclo. Com io mo ma caracrização do ciclo hirbólico. o caílo 6 damo a iação ond a imrão d ma rfíci m é orinda d ma imrão d ma rfíci m roráfica d m S ia inra da rojção. Eablcmo ma corrondência nr a forma fndamnai nr aln camo d dirçõ nr a inlaridad no 8

10 doi cao conidrado. Obmo ainda m rlado q aran a faoração da qação difrncial qárica da linha d crara axial nm rodo d da qaçõ difrnciai qadráica ma dla ndo a qação difrncial da linha ainóica a ora a qação difrncial da linha d crara dircional média. o caílo 7 dfinimo o concio d confiração dircional média d modo análoo ao d confiração rincial ara o cao m rlado rfrn à H-inlaridad d io. D o do ao ciclo d crara dircional média hirbólico dnolmo o do da abilidad rral da confiraçõ dircionai média. io S i Tndo m mão o rlado obr a nricidad da H-inlaridad d io no caílo 7 odmo obr alma informaçõ acrca d qõ lobai da rfíci adicionando hió como or xmlo a comacidad conxidad da mma. Io é fio no caílo 8. o caílo 9 arnamo conclõ a rio d rabalho liamo aln roblma m abro dnro d ano. o final arnamo ma lia conndo a rinciai rfrência biblioráfica ilizada n rabalho. S i 9

11 Caílo. Eqação Difrncial ara a Linha d Crara Dircional Média E caílo á diidido m da ar. a rimira dla ablcrmo a rinciai dfiniçõ do objo raado n rabalho io q ma rand ar dla não é d o coidiano. Fixarmo ainda a noaçõ mrada ao lono do rabalho. a nda ção nconrarmo a qação difrncial da linha d crara dircional média qação a q no acomanhará ao lono d odo o rabalho... A Eli d Crara Sja r : M ma imrão d cla C r d ma rfíci rlar orinada M m o qal á orinado mnido do rodo inrno clidiano < >. Dnomo rciamn or TM M o fibrado ann normal d or T M M a rcia fibra io é o lano ann normal m M. Amamo q ja ma cara oiia d M q { } ja m rfrncial oiio d ond { } é m 0

12 rfrncial d camo d or oronormai a. a cara a rimira forma fndamnal d I é dada or ond I I d d E d F dd G d E F G. A nda forma fndamnal d II é dfinida or ond II II d d II II IIi i II i i i d f i dd i d f ara i. i i i i ja [Li]: Tmo a in fnçõ aociada à imrão ara maior dalh o or crara média d H H H H.. ond Ei Ffi Gi H i H i ara i ; EG F a crara normal d E f f F G f f k k ;.. EG F a rlan d II II f 0 f 0 d EG F 0 f ;.. 0 f

13 o or crara normal d η é dfinido or η : TM M ond η II w η w. I w D modo análoo ao do da imrõ d rfíci m olhar o or crara normal da in manira: odmo Para cada or niário w T M ja γ : ε ε M ma cra aramrizada lo comrimno d arco al q γ 0 γ 0 w. D modo η w η w é a rojção d γ 0 obr o lano normal M. Ea inrração indnd da ariclar colha da cra γ. Com ia na imlificação do cálclo nolido amo adoar ma cara : M d modo q na cara a rimira forma fndamnal ja diaonalizada com E G F 0. D modo { } é m rfrncial oronormal d T odo w S T M od r crio como w ϕ co n. M Com a conidraçõ mo co η w η ϕ co f f co n n co n n H ond na xrõ acima aarcm a comonn com rlação ao rfrncial

14 { } oronormal d M. Uilizando a idnidad co co n n n co odmo rcrr η w da in forma dond f co η w. n f f co η w H.. n f Podmo dacar o in rlado ja fira..: i Como η : S T M M é afim q a imam dcr ma li m M chamada a li d crara d no ono dnoada or ε ; ii Ea li od dnrar m m mno d ra ma circnfrência o m ono; iii O cnro da li d crara é o or crara média H. Porano a li d crara ε od r cria como η H H ; i A ára da li d crara é calclada como ndo a ára d ε S mlilicada lo módlo do drminan da ranformação afim o ja

15 π π f f k ; A alicação η rria a S ndo qadráica é m dlo rcobrimno da li d crara ε. Aim odo ono da li corrond a doi ono diamralmn ooo na circnfrência ann niária ao qai farmo corrondr ma dirção m T ; M i A li d crara é inarian or roaçõ no lano ann normal loo odmo olhar a a ára a crara normal o cnro o or crara média como inarian da imrão. ão é difícil obrar q a rlan ambém é m inarian da imrão. Fira... A li d crara. Um ono M é chamado d ono mínimo d H 0 é chamado d ono d inflxão d k 0. S q é m

16 ono d inflxão omn f f f f 0 o or i omn a li d crara ε for m mno d ra radial. S d q a arir d qalqr bm dfinida colha d ono obr a li camo d dirçõ ann odm r conrído obr M. S a colha não á bm dfinida ara ono ciai d M dizmo q ai ono ão ono inlar do camo d dirçõ. Conidrmo aln xmlo da conrçõ. Camo d dirçõ ainóica. Sonhamo q a orim d M não rnça à rião limiada la li d crara ε M. O doi ono obr ε no qai a ra rada lo or crara normal ão ann a ε indzm m ar d dirçõ no T M à qai m ral não ão oroonai. Fazndo a conrção ara odo M mo bm dfinido doi camo d dirçõ ann obr M chamado camo d dirçõ ainóica. A inlaridad d camo ão o ono ond a li d crara orna m mno d ra radial o ja o ono d inflxão conform obração acima. Garcia Mochida Fr a daram camo a inlaridad m [GMF]. Vja fira... a fira.. a ra rada lo or crara normal ão ann à li d crara no ono. A ré-iman do ono ão o ono m S T M o qai drminam a ra. D modo análoo o ono indz a ra. Como d m modo ral o ono não ão 5

17 imérico com rlação ao cnro da li q a ra não ão oroonai d m modo ral. o caílo 6 rmo m cao ond io não aconc o ja ocorr a oroonalidad do camo d dirçõ ainóica. Fira... Camo d dirçõ ainóica. Camo d dirçõ d crara axial. O doi máximo o doi mínimo da norma d η H drminam qaro ono obr a li d crara ε o qai ão éric. Ea conrção indz oio ono obr a circnfrência S T M o qai dfinm qaro dirçõ no lano ann. Fazndo a conrção ara odo M dfinimo m camo d -crz obr M chamado camo d dirçõ d crara axial. Ea conrção falha no ono aximbílico ond a li d crara orna ma circnfrência o m ono. Girrz Gadal Tribzy Gíñz m [GGTG] Garcia Soomayor m [GaS] daram cao. Vja fira... a fira.. o éric da li d crara ão dnoado lo númro. O éric drminam o ixo mnor da li 6

18 nqano o éric drminam o ixo maior da li d crara. O ono da li d crara indz a dirção o ono a dirção o ono a dirção o ono a dirção. Como o ono ão imérico com rlação ao cnro da li q a dirçõ ão oroonai. O mmo ndo álido ara o ono ara a dirçõ. Aora como o ono da li é médio do ono q a dirção bica a dirçõ. O mmo raciocínio é álido ara o ono ara a dirção. Fira... Camo d dirçõ d crara axial. Camo d dirçõ d crara dircional média. A ra rada lo or crara média H inrca a li d crara ε m doi ono. Ea conrção indz da dirçõ oroonai m T M. Fazndo a conrção ara odo M dfinimo doi camo d dirçõ obr M chamado camo d dirçõ d crara dircional média. A inlaridad d camo chamada aqi H-inlaridad ão o ono ond a conrção acima falha o ja ond H 0 ono mínimo o ond a li d crara orna m 7

19 mno d ra radial ono d inflxão. O conjno da H-inlaridad rá dnoado or S. Vja fira... a fira.. o ono rrnam o ono obr a li d crara rlado da inrção da com a ra rada lo or crara média H. O ono indz a dirção obr T M nqano o ono indz a dirção. Como o ono ão imérico com rlação ao cnro da li q a dirçõ acima ão oroonai. Fira... Camo d dirçõ d crara dircional média. Uma linha d crara dircional média é ma cra rlar ϕ : a b M al q m cada m d ono a ra ann a la á nma dirção d crara dircional média além dio la coném qalqr ora cra rlar com a roridad q a inrc... A Eqação Difrncial da Linha d Crara Dircional 8

20 Média a dfinição da dirçõ d crara dircional média xiimo q o or H η jam arallo aim a qação difrncial da linha d crara dircional média é dada or η H 0.. a qal é ma qação difrncial qadráica da forma ond A d B dd C d 0.. A A E f f F.. B B f f E f f G.. C C f f F G...5 A H-inlaridad ão drminada araé d.. ndo caracrizada como o ono ond rificação d q A B C EC FB GA. 0. o nano é imdiao a Tmo ablcido a in rooição. r Prooição... Sja : M ma imrão d cla C r d ma rfíci rlar orinada M m. Com a noaçõ acima mo: i A qação difrncial da linha d crara dircional média d é dada or..; ii A H-inlaridad d ão dada or A B 0 ond A B ão 9

21 dfinido m.. m.. rciamn. omo q a qação difrncial da linha d crara dircional média.. od r cria qialnmn como { Jac II II I 0 Jac }...6 Em coordnada ioérmica ond E G λ F 0 a qação.. m a forma ond A d B dd A d 0..7 A..8 B f f...9 Lma... A B 0 omn H 0 o é m ono d inflxão d M. Proa. É ficin roar o lma ara o cao da coordnada ioérmica. Façamo S não f f 0 A f B f f 0 A f B. f f 0 0 io imlica q não H 0. S f f 0 f f f f 0 0

22 io imlica q é m ono d inflxão. A rcíroca é imdiaa. Obração... A arir do lma.. q S S S ond { M / H 0} S { M / é m ono d inflxão} S. Aqi cab m qno comnário a rio da narza do conjno acima. Pod arcr a rimira ia q a aração d S m doi conjno ja arificial o ja o conjno riam ana ma roam difrn ndo no fndo o mmo. Io d fao não aconc. Conform rmo no caílo 8 xim imrõ d rfíci m xibindo omn m io d H-inlaridad. A oriori caílo 8 odmo rcbr or xmlo a não oibilidad d conrirmo m camo d dirçõ obr ma rfíci imra m Sja S S q xiba ana inlaridad no ono mínimo. B AC > 0 S. S q H o q imlica na xiência d da olçõ oroonai ara a qação difrncial da linha d crara dircional média... Aim nma izinhança d ono xim doi camo d dirçõ dnoado or L H l o q or a z imlica na xiência d da família d cra oroonai dnoada ambém or L H lh. Sob a hió d orinabilidad é oíl lobalizar ara oda a rfíci M a dfinição do camo d dirçõ acima o q fazmo a ir. Obrmo q m M S a qação.. dfin m camo d con oroonai. Para o q conidrarmo ana o or não naio d cada con conform fira...

23 Fira... O con m. Para cada M S ommo { coniindo d or niário da da dirçõ d crara dircional média d al or q conjno ja ma ba oiia d T M oiia ambém ara o con m io é o or comrndido nr é oiio. Podmo aora dfinir L H. l H.. D modo doi camo d dirçõ ão lobalmn dfinido o q imlica q a da família d cra oroonai ambém ão lobalmn dfinida rcbm o nom d linha d crara dircional média máxima linha d crara dircional média mínima rciamn. Cada família dfin ma folhação a folhação dircional média máxima F H a folhação dircional média mínima f H na rfíci fora da H-inlaridad. Cada H-inlaridad iolada dfin ma inlaridad iolada d amba a folhaçõ. Podmo dar ma xlicação a rio do nom máximo mínimo } L H l ilizado acima. Para qalqr ono S jam o doi ono no lano normal no qai a ra rada or H inrca. Gnricamn mo oi ocorr ana qando a li d crara é m mno d ra o ja qando 0. k ε H

24 Sonhamo q > 0. cao ana m ono diamo á mai afaado da orim. A dirção d crara dircional média máxima rciamn mínima é a dirção d crara dircional média indzida or rciamn. o cao m q k < 0 dmo rocar. k

25 Caílo. Edo da H-Sinlaridad Sja ma H-inlaridad d ma imrão : M. Dizmo q é ma H-inlaridad ranral A B J A B 0 ond a fnçõ A B ão dfinida m.... rciamn. O inificado omérico da condição é q a cra A 0 B 0 cja inrçõ dfinm a H-inlaridad ão rlar inrcam ranralmn no ono. S q a H-inlaridad ranrai ão iolada. cordmo q o índic i d m camo d dirçõ m ma inlaridad iolada é o númro oal d ola q o camo xca doi d rcorrr ma z o bordo d m dico oiiamn orinado conndo a inlaridad m inrior ja [Ho]. Sja ma H-inlaridad iolada. Enão é ma inlaridad iolada d cada ma da da família d linha d crara dircional média. D modo m m índic com rio a cada ma da família; ma ma z q a linha d ma família ão oroonai à linha da ora família q índic dm r iai.

26 Sja X X X m camo d or lanar ja ma inlaridad iolada d X. Dizmo q é ma inlaridad ranral d X J X 0. oamn o inificado omérico da condição é q a cra X 0 X 0 cja inrçõ dfinm a inlaridad d X ão rlar inrcam ranralmn no ono. cao o índic do camo X na inlaridad é dado or I X inal d { J X }.. Uando a fnçõ A B dfinida m rciamn dfinimo o camo d or X B A.. Aim é ma H-inlaridad iolada d inlaridad iolada do camo d or X. omn for ma Lma.. Sja i o índic d ma H-inlaridad iolada M ja I X o índic da inlaridad iolada do camo d or X como m.. Enão mo i I X.. Proa. Sja i ma H-inlaridad iolada. D modo o lmno d d d id rol a qação..7 omn o or for oroonal a A B. 5

27 d d dd..5 Eqialnmn o or oroonal a. o qal m a forma B A X for colinar a.5. Ma.5 od r crio como d d dd d d idd d id m noação comlxa. Como o armno d d d id o lma á roado. d id.6 é o dobro do armno Paarmo aora ao do do doi io d H-inlaridad ranrai. Achamo mai connin fazê-lo aradamn. D modo odmo dacar a cliaridad d cada cao dando daq ao cao da H- inlaridad ranrai q ão ono mínimo o ja a H-inlaridad ranral rnc ao conjno S. cao a H-inlaridad ranral é ambém inlaridad ranral do camo d or crara média H. Embora camo não arn dinâmica do ono d ia da rfíci ma inran rlação nr o índic do camo H o índic do camo d dirçõ d crara dircional média rá ablcido na ção.. a ção. darmo a H-inlaridad ranrai drminada lo ono d inflxão io é rncn a S... O Cao do Pono Mínimo Prooição... Sja M m ono ond H 0 k 0. Enão é ma inlaridad ranral do camo d or X como m. 6

28 omn é ma inlaridad ranral do camo d or normai H. Proa. Tmo a in qação f f A A B B.... Aim [ ]. H J E f f H J E f f X J Como q. D modo mo 0 H [ ]. H J E k H J E f f X J.. Uma z q a rooição á roada. 0 0 > E k Torma... Sja ma H-inlaridad ond. Enão é ma H-inlaridad ranral omn é ma inlaridad ranral do camo d or normai H. M 0 0 k H Proa. É imdiaa a arir da rooição.. d d d X J A A B B B B A A B A... 7

29 Torma... Sja M m ono ond H 0 k 0. Sonhamo q ja ma H-inlaridad ranral. Enão o índic do camo d or crara média H m I H é ±. E mai o índic da H-inlaridad i é ±. O inai concordam k > 0 dicordam k. < 0 Proa. Como é ma H-inlaridad ranral do orma.. d. q D.. mo { J H } I H inal d ±. J X k E J H. Aim inal d { J X } inal d k. inal d { J H }. Io imlica q inal d k. I H I X. Ma d.. mo i inal d k. I H inal d k. ± ± inal d k. E orma aarc com ma ora dmonração m [Li]. o nano há lá m nano com rlação à inrração do inai do doi índic o inal da crara normal. Ari m [A] fz a corrção d nano ilizando a mma écnica d Lil difrn da aqi arnada. 8

30 .. O Cao do Pono d Inflxão Dfinimo a in fnçõ T T f f T f f.. o in camo d or Y T T.. Y T T... omo q T T T 0 omn é m ono d inflxão dond Y Y 0 omn é m ono d inflxão. Prooição... Sja M m ono d inflxão ond H 0. Enão é ma inlaridad ranral do camo d or X m. omn é ma inlaridad ranral do camo d or. Y Proa. Tmo a in qação Ma J X J Y J Y... J Y J Y...5 D.. d..5 q J X J Y...6 Torma... Sja M m ono d inflxão ond H 0. Enão é ma H-inlaridad ranral omn é ma inlaridad 9

31 ranral do camo d or Y. Proa. Imdiaa a arir da rooição.. d A B J X. Torma... Sja M m ono d inflxão ond H 0. Sonhamo q ja ma H-inlaridad ranral. Enão o índic da H-inlaridad i é ±. Proa. D..6 d. mo I X inal d { J X } inal d { J Y } ±. Uilizando. q i I X ±. Obração... Em ora alara o q o rlado acima ão dizndo é q mbora na caracrização do ono d inflxão façamo o da rê fnçõ T T T ana da dla or xmlo T T ão d fao nciai. A inrração omérica da ranralidad d m ono d inflxão é a mma da anrior o ja é m ono d inflxão ranral omn a cra T. 0 T 0 ão rlar inrcam ranralmn no ono O rlado da ção rão ilizado ambém no caílo 6 ond arnamo ma ora xrão ara a qação difrncial da linha 0

32 ainóica difrn daqla q aarc m [GMF].

33 Caílo. H-Sinlaridad do Tio S o caílo anrior damo a H-inlaridad ranrai imo q la ão caracrizada la ranralidad da cra q a dfinm. caílo darmo m bconjno da H-inlaridad ranrai o qal como rmo mai adian caílo 7 m a roridad d r dno no conjno da H-inlaridad. Podmo ainda adianar ma ora roridad da H-inlaridad d conjno la ão nm cro nido a r rciado caílo 7 localmn ái. Por ora baa a idéia iniia d abilidad q odo nó mo. Volarmo a falar nio mai adian. Vamo omar a rfíci M na cara d Mon io é a rfíci M é o ráfico da alicação S ond S ão fnçõ d cla r dfinida m ma izinhança U C r d 00 aifazndo S S S Para cada ono M o lano ann T M é rado or

34 { 0 S 0 S } bm como o lano normal M é rado or S S 0. S S S S S S S S S S D modo E F G ond i i f i i i i i ara i i. i mo Ecrndo a xanão d Taylor da fnçõ S m orno d 0 a d b c S O r0 r0 a d b c r O Aim o coficin da rimira da nda forma fndamnai na cara d Mon ão dado or E O F O G O a d f d b. 0 O O b c r a d 0 O 0 O f r d b r b c. O 0 O

35 Dfinimo a in fnçõ J 0r0 0r0 K a r b b r a L d r c c r d r0 r0 r 0 0 M. a b r a b r r d d c d r c d r r b b P A qação difrncial da linha d crara dircional média.. cria na cara d Mon m a forma C d B dd A d 0. ond C J K L Q B M P Q A J K L Q Q Q Q ão da ordm O. o ono 00 mo E 00 G00 F 00 0

36 00 0 f r0 f 00 r 00 r0. D. a condiçõ ara 00 r ma H-inlaridad ão M J r 0 r0 0 0 r0 r0 r Sja {} TM 0 o fibrado ann ond rmomo a ção nla mnido da rlação ~ dfinida da in manira: ~ q w q λw λ 0. É imdiao q a rlação ~ é ma rlação d qialência m TM. Chamamo d fibrado rojio d M PM o aço qocin TM 0 ~. A rojção naral rá dnoada or π : PM M. Sja {} 0 {}/ M ma H-inlaridad. Enão xi ma izinhança V M a qal od r dcria na cara d Mon. a condiçõ a qação difrncial da linha d crara dircional média é da forma dada m.. O aço PM od r aramrizado or da cara coordnada d d ; q ;. A qação difrncial da linha d crara d d dircional média. dfin ma rfíci W no aço PM. a cara ; a rfíci W é dfinida or W T 0 ond J K L Q M P Q J K L Q T..5 5

37 Fora d π 00 a rfíci W é rlar ndo d fao m dlo rcobrimno d π M {00}. Além dio a ra rojia π 00 á conida m W. D fao T 00 J 00 M 00 J 00 0 J 00 M 00 0 io é 00 for ma H-inlaridad d M. cao T 00 K00 00 K00 T 00 L00 P00 L00 T 00 J 00 M O olinômio T 00 T 00 êm raiz comm omn 00 L00 K00 P00 0 o ja o olinômio acima não êm raiz comm omn 00 L00 K00 P00 0 ndo a úlima dialdad ma condição ncária ficin ara 00 r ma H-inlaridad ranral d M. Plo Torma da Fnção Imlícia a rfíci W é rlar nma izinhança do ixo ra rojia omn 00 for ma H-inlaridad ranral. Sonhamo q 00 ja ma H-inlaridad ranral. cao odmo conidrar o in camo d or obr W T T T T X..6 6

38 A in afirmaçõ ão rificada. Primiramn o camo X é ann a W. A inlaridad d π X ocorrm omn na orim mai ; j W não T ; π dfin ma linha d crara dircional j média com dirção j. A inlaridad d camo X localizada obr a ra rojia ão dada la raíz do in olinômio cúbico ϕ T 00 T Uma dirção T M é ma dirção d aroximação da H- 00 inlaridad 00 xiir ma linha d crara dircional média aifazndo a in da condiçõ: i coném a orim m fcho; ii o camo d dirçõ ann m a dirção como limi na H- inlaridad. Lma.. S 00 é ma H-inlaridad ranral não xi ma corrondência bijia nr a inlaridad d X ao lono da ra rojia a dirçõ d aroximação d 00. Proa. Sja O ma linha d crara dircional média. Enão é raiz d.7 dond é ma inlaridad d X. Aora 00 é ma inlaridad d X o or 0 T00 W ma z q l é normal ao radin d W n ono. D modo xi ma cra γ m W al q or ann m 00 é 0 π γ é ma linha d crara dircional média. 7

39 Uma arariz da H-inlaridad é a imam não dnrada ob ma arariz d la do camo X. Ela ão linha d crara dircional média q ndm à H-inlaridad q aram riõ d difrn modo d aroximar da H-inlaridad. Como a cúbica.7 m nricamn ma o rê raíz rai o camo d or X m nricamn ma o rê inlaridad obr a ra rojia à qai ão do io la o nó. Dcorr ainda q mo ana ma da in rê oibilidad: π d i O camo d or X m ma única inlaridad do io la. cao 00 é ma H-inlaridad ranral do io S ja fira.; ii O camo d or X m rê inlaridad ndo m nó da la. cao 00 é ma H-inlaridad ranral do io S ja fira.; iii O camo d or X m rê inlaridad oda do io la. cao 00 é ma H-inlaridad ranral do io S ja fira.. Tio S Tio S Tio S Fira.. H-inlaridad do io S. 8

40 Obração.. O índic i d S dnoa o númro d arariz da H- inlaridad. A fira. rrna a confiração local do rê difrn io d H-inlaridad dnoada or i S S S chamada d H-inlaridad d io S. O índic é no cao S S no cao. S A ir amo analiar aradamn cada m do doi cao d H- inlaridad. Para cada m dl amo dar ma dcrição da rfíci na cara d Mon caracrizando o rê io d H-inlaridad m rmo do coficin do jao da imrão... O Cao do Pono Mínimo Sonhamo q M ja ma H-inlaridad aifazndo a condiçõ H 0 k 0. Ecolhndo aroriadamn ma roação no lano normal d modo q jam na dirçõ do ixo rinciai da li d crara é oíl crr r 0 r0 0. cao dcorr ainda q 0. Aora colhndo aroriadamn ma roação no lano é oíl crr b a. Aim. od r crio como A a d b c S O 6 6 a d a c C O Io imlica q. m a forma J 0 K 0 L A c d M 0 C a b P C c d... 9

41 cao o olinômio cúbico.7 m a forma L P L ϕ. Aim 0 é ma raiz a ora irão dndr do dicriminan do olinômio qadráico nr arên dado or P P. S > L L L L mo ma única raiz ral m dada or P 0. S < mo raíz rai L L 0 P P 0 L L L P P. L L L omo q na hió d rmo raíz não a dirçõ não a dirçõ.. Aim < 0 L L não ão m m or d mdida ão m m or d mdida π. π. S > 0 L A mariz Jacobiana d X m ma inlaridad da ra rojia é dado or L P L P L 0 0 P L 00. Podmo obrar q o jacobiano d X m 0 é dado or 0

42 JX 0 L. Loo JX 0.. Podmo não irar a in conclõ: L L L i S < 0 não > o q imlica q JX 0 < 0 o q or a z L imlica q a orim é m ono d la. ii S > > 0 o q imlica q > 0 não JX 0 > 0 o q imlica L q a orim é m nó. Analiando a ora da raíz mo q la ão ono d la. iii S < 0 o q imlica q > 0 não JX 0 < 0 o q imlica q L a orim é m ono d la. Analiando a ora da raíz mo q la ambém ão ono d la. Dfinimo W A c.. d W C a.. b W C c...5 d Lma... Com a conrção acima omn M é ma H-inlaridad ranral a b. c d Proa. A condição d ranralidad é dada or L 0 à qal é qialn a..6. D fao como amo amindo or hió q a crara normal no ono 00 é difrn d zro a cr como

43 k 00 AC 0 a afirmação acima é imdiaa. Da análi q fizmo acima rla o in orma. Torma... Conidrmo ma H-inlaridad ranral ond H 0 k 0. Enão mo: i S W W W >..7 W não a H-inlaridad é do io S fira.; ii S W W W > W > 0 W W..8 não a H-inlaridad é do io S fira.; iii S W W < 0..9 não a H-inlaridad é do io S fira.. Proa. A inlaridad do camo d or X.6 obr o ixo ra rojia ão dada la raíz da in qação cúbica.7

44 ϕ T 00 T Ea cúbica rá ma o rê raíz rai. Porano o camo d or X m: a Uma única inlaridad no ono qação qadráica é naio. A inlaridad 000 do camo X é ma la omn..7 é rificado; cao o dicriminan da b Trê inlaridad no ono ond 0 ão a raíz d ϕ. cao o dicriminan da qação qadráica é oiio. A inlaridad 000 é m nó a inlaridad 0 00 ão da la omn..8 é rificado; 0 c Trê inlaridad no ono ond 0 ão a raíz d ϕ. oamn n cao o dicriminan da qação qadráica é oiio. Ea rê inlaridad ão rê la omn..9 é rificado. A confiraçõ locai da H-inlaridad d io S ilrada na fira. ão obida rojando- obr o lano a confiraçõ da inlaridad acima conform [GS]. Obração... Coném n ono dacar a imorância do inal da crara normal. Por xmlo onhamo q a crara normal m 00 ja oiia. Plo orma.. abmo q n cao o inai ± do índic do camo H na inlaridad 00 IH00 do índic da H-inlaridad 00 i00 concordam. S IH00 q 00 é ma H-inlaridad d io S oi a é a única com índic naio.

45 .. O Cao do Pono d Inflxão Sonhamo q M ja ma H-inlaridad à qal é m ono d inflxão com H 0. Uma z q n cao a li d crara é m mno d ra radial odmo colhr aroriadamn ma roação no lano normal d modo a crr r 0 r 0 r 0. Aora colhndo aroriadamn ma roação no lano é oíl crr b a. Aim. od r crio como A S B O.. a d a c O. 6 6 Io imlica q. m a forma J 0 K 0 L A d c.. M 0 ab Ad P B c d Aa. Dfinimo W A d.. c W ab Ad.. W B c d Aa...5 Lma... Com a conrçõ acima omn M é ma H-inlaridad ranral W W 0...6

46 Proa. A condição d ranralidad n cao é dada or qialn a..6. D modo análoo ao orma.. mo o in orma. L 0 à qal é Torma... Conidrmo ma H-inlaridad à qal é m ono d inflxão H 0. Enão mo: i S W W W >..7 W não a H-inlaridad é do io S fira.; ii S W W W > W > 0 W W..8 não a H-inlaridad é do io S fira.; iii S W W < 0..9 não a H-inlaridad é do io S fira.. 5

47 Caílo 5. Linha d Crara Dircional Média Priódica O objio d caílo é ablcr ma fórmla ara a rimira driada da alicação d rorno Poincaré d ma linha d crara dircional média riódica m rmo d inarian omérico da imrão. Uma linha d crara dircional média riódica γ da folhação f H rciamn F H é chamada d ciclo d crara dircional média mínimo rciamn máximo d. Dnomo or π π γ a alicação d Poincaré rimiro rorno dfinida la linha d crara dircional média da folhação à qal γ rnc obr m mno d linha d crara dircional média da folhação oroonal araé d 0 m γ. Um ciclo d crara dircional média é chamado hirbólico a rimira driada da alicação d rorno for difrn d m io é π 0. cao o ciclo d crara dircional média γ arai π 0 < a linha d crara dircional média róxima o a rl π 0 >. Sja γ : I M m ciclo d crara dircional média da folhação mínima f H aramrizado lo comrimno d arco d ríodo L. 6

48 } Tommo { T γ T m rfrncial oronormal d T M noando q T é ann à linha d crara dircional média oroonal a γ { } m rfrncial oronormal d γ M d modo q γ { T T } } ja m rfrncial oiio d rfrncial { com a in roridad. Ecolhmo o η γ T a H η γ T b H. Io é obido fazndo ma roação m γ M d modo q o camo d or ja na dirção do camo d or H. Io é mr oíl oi H H 0 ma z q γ é ma linha d crara dircional média. Dcorr da obração q a fnçõ a b acima ão rlacionada or ma rlação da forma a b. Podmo conrir o rfrncial d Darbox aociado a γ da in manira: T T k T η γ T k T a H ; k a H τ T τ. T τ k T τ τ ; T τ τ T n ; n Aqi H H é o or crara média τ τ τ 7

49 é o or orção odéica τ n é a orção normal do rfrncial { }. o ono γ a inrção da rfíci M com o hirlano rado or { T } é a cra Γ ann a T m γ. Ea cra Γ od r aramrizada or Γ γ T V V a crara é dada or η γ T. Da conidraçõ mo Γ 0 γ Γ 0 T Γ 0 b H γ [0 L]. S q a fnçõ V V aifazm [ V ] [ V ] [ V ] V 0 V [ V ] b H γ [0 L]. 0 0 D modo mo a in xrõ b H V A O 6 V B O 6 A A 0 B B 0. 8

50 Lma 5.. Sja γ m ciclo d crara dircional média da folhação f H aramrizado lo comrimno d arco d ríodo L. Tommo o rfrncial oronormal oiio d Darbox { T T ao lono d γ. Enão a xrão k 5 5. dfin m cara local d M L riódica m d cla C m ma izinhança d γ. } γ T b H A O 6 B O 6 5. Proa. O lma a arir do Torma da Fnção Inra da alicação γ T k à qal é d cla C dfin ma izinhança blar d γ. A fnçõ A B k 5 m 5. ão d cla C. D 5. do rfrncial d Darbox mo E 0 G 0 F a H f 0 τ 0 b H f 0 τ. omo q ao lono d γ mo k a b H k 0 τ 9

51 0 τ a b H. Como H H 0 [0 ] a fnçõ a b não ão imlanamn L nla dmo r τ 0 [0 L]. Lma 5.. Sja γ m ciclo d crara dircional média conidrmo a cara obida m 5.. Enão o rfrncial oronormal { do fibrado normal aifaz a in qaçõ ond 0 τ } T b H T a 0 τ T a 0 a a 0 5. é a orção normal do rfrncial { } aociado à linha d crara dircional média oroonal a γ no ono γ. Proa. a cara a in qaçõ à qai fazm ar da qaçõ d rra ão aifia F fg ff E a EG F EG F F fg ff E a. EG F EG F Uilizando 5. o lma á roado. 50

52 Vamo a ir calclar a driada com rlação à ariál do coficin da rimira nda forma fndamnai. 0 0 k T T E γ γ F γ γ bh T G γ γ 0 0 b a H k a bh T T T n τ τ τ γ a k bh a bh T T T bh f τ τ τ γ 0 0 A a bh T T bh B A τ γ 0 0 a ah a T T T n τ τ τ τ γ 0 0 a k a T T k bh f τ τ τ τ τ γ. 0 0 bh a B a T bh B A τ γ 5

53 Lma 5.. A fnção B inrodzida m 5. é dada or H 0 H a a b τ τ τ B n. 5.5 Proa. a cara mo E Ff G H. EG F Driando a fnção H com rlação à ariál ilizando o lma á roado. Prooição 5.. Sja γ m ciclo d crara dircional média da folhação f H aramrizado lo comrimno d arco d ríodo L. Enão a driada da alicação d rimiro rorno é dada or H H a L a τ τ n π 0 x d τ Proa. A driada da alicação d Poincaré aifaz a in qação difrncial linar Porano d d d d 0 B A d d 0. L A 0 π 0 x d B 0 ond a fnçõ A B ão dada m..... Uilizando mo 5

54 0 b a H B τ 5.8 [ ] [ ]. 0 b a b a H a H a H b ab H A n n τ τ τ τ τ τ 5.9 D modo [ ]. 0 0 a H H a b a H b a b a H a H a H B A n n τ τ τ τ τ τ τ τ τ omo q 0 0 L d τ τ. D modo d 5.7 mo L n d a H H a 0 x 0 τ τ τ π. Obração 5.5. Qando γ é m ciclo d crara dircional médio da folhação mo F H L n d a H H b 0 x 0 τ τ τ π. 5.0 Prooição 5.6. Sja ma imrão d cla ja m ciclo d crara dircional média da folhação aramrizado lo : M 6 r C r γ f H 5

55 comrimno d arco d comrimno L. Tom a cara como no lma 5. conidr a in dformação τ β ε a β ε ε δ 6 ond δ nma izinhança d 0 com or qno a fnção a não idnicamn nla. Enão γ é m ciclo d crara dircional média d β ara odo ε 0 qno mai γ é m ciclo d crara dircional média hirbólico ara ε 0. β ε ε Proa. Cálclo com a dformação β ε no fornc H 0 τ τ τ H a B εa τ. n Porano amindo q a fnção a não ja idnicamn nla mo d dε L a τ τ 0 [ lnπ 0] d a d 0 ε 0. 0 L Obração 5.7. A xrão 5.6 é a driada da alicação d ranição ara ma folhação dircional média a qal n ono é ana d cla ao lono d m arco d linha d crara dircional média. Podmo aroximar ma 6 imrão d cla C or ma d cla C. A corrondn alicação d ranição aora d cla C cja driada é dada or 5.6 conr na cla C ara a alicação d ranição oriinal ma q cja xrão d r dada la mma inral ma z q ara a fnçõ nolida xim limi niform d acordo com [GaS]. C 5

56 Caílo 6. Um Cao Ecial caílo amo fixar noa anção m ma iação q mbora arça baan ariclar or m lado orna- ambém baan inran or oro oi r d on ara ma analoia nr rfíci imra no aço ando a m. Mai cificamn amo dar a imrõ d rfíci m S rfíci imra m ia alicação inra da rojção roráfica d ma. Doi farmo m do comaraio do ono d ia d aln camo d dirçõ a inlaridad nr a imrõ o ja a imrão d ma rfíci m a imam m ia alicação inra da rojção roráfica. Arnamo na rcira ção d caílo ma abla d do comaraio. a úlima ção d caílo falarmo a rio da rfíci imra m ando na fra S. 6.. A Projção d ma Srfíci Imra m m S Sja φ : S a alicação inra da rojção roráfica dada or ond φ x y z x y z w w 55

57 x y w z. cordmo q φ é m difomorfimo d m S \ {000 é conform. Sja : M ma imrão d ma rfíci rlar orinada M m. Amamo q ja ma cara oiia d M q { ja m } } rfrncial oiio d ond é o camo normal na orinação d. Sja imrão d M m ndo φ o a rojção roráfica d M m S. Conidrmo a } ia ond { é m rfrncial oiio d dφ a normal niária inrior a S. Em ora alara d φ amo admiindo q. Vamo calclar o coficin da rimira nda forma fndamnai d ara oriormn fazrmo m do comaraio da da imrõ. omo q m a in cria φ cordmo q o coficin da rimira forma fndamnal d ão. 6.. E F G. Driando 6.. com rlação a com rlação a obmo 56

58 D modo odmo calclar o coficin da rimira forma fndamnal d obndo E 6.. F 6..5 G Obrmo q w. Loo odmo crr como E w E 6..7 F w F 6..8 G w G

59 D o do coficin da rimira forma fndamnal odmo calclar a norma do or normal dφ rcordando q o mmo é ilizado ara obrmo o or araé d dφ. dφ Aim EG F φ EG F d w w Para o cálclo do coficin da nda forma fndamnal d farmo a in connção w dφ d[ ] 6.. dφ d modo análoo w [ f d ] 6.. w [ d ]. 6.. Pamo ao cálclo do drminan acima. Dfinamo A 6.. B

60 C D D D Driando a xrõ com rlação a obmo D B A 6..0 D B C A 6.. D C A. 6.. Uilizando a xrõ d 6.. a 6.. roridad do drminan nconramo [ ] [ ] { [ ] [ ] [ ] } d d d d 8 d A

61 [ ] [ ] { [ ] [ ] [ ] } A d d d d 8 d 6.. [ ] [ ] { [ ] [ ] [ ] }. d d d d 8 d A 6..5 Conidrmo a in fnçõ [ ] [ ] d d F EG h 6..6 [ ] [ ] d d F EG h 6..7 [ ] [ ] d d F EG h 6..8 bm como a fnção or d dada or D 6.. d 6.. ilizando odmo crr [ ] w h E w

62 D 6.. d 6.. ilizando odmo crr [ ] wf h F w f. 6.. D 6.. d 6..5 ilizando odmo crr [ ] w h G w. 6.. Aora cálclo diro rmi-no crr w h f w f h w h o qai biído na xrõ rciamn forncm-no [ ] E w w 6.. [ ] F f w w f 6.. [ ] G w w Fala-no calclar o ndo conjno d coficin da nda forma fndamnal. Aim mo 6..6 f

63 Uilizando a xrõ odmo calclar w E E Uilizando a xrõ odmo calclar w F F f Uilizando a xrõ odmo calclar w G G. 6.. D o do coficin da rimira nda forma fndamnai d odmo calclar o or crara média H o qal d.. m a comonn dada or H G f F E EG F G ff E w EG F EG F EG F 6.. w H G f H F EG F EG F EG F EG F E EG FF GE. 6.. D o da xrão 6.. odmo afirmar: 6

64 A li d crara ε á dnrada m m mno d ra obr a ra or ara odo M. E ainda como H 0 M a oíi H -inlaridad ó odrão ocorrr m ono d inflxão ond a li d crara orna m mno d ra radial o ja a li d crara orna m ono n cao. Vja fira 6... Com a finalidad d imlificar aln cálclo olmo a omar ma cara na qal a rimira forma fndamnal d á diaonalizada com E G F 0. Fira 6... A li d crara d ε. a cara o coficin da rimira nda forma fndamnai d ão E G w F 0 6

65 [ w ] w f w f [ w ] w ond o ímbolo m a barra rfrm- à imrão imdiao a rificação d q a crara normal d. Uilizando.. é é nla m odo ono como qríamo ma z q la á aociada à ára da li d crara q n cao é nla m odo o ono. Aora d.. a rlan é dada or 6 w f. 6.. D modo a rlan anla- no ono ond f 0 0 io é no ono mbílico d. Tmo dmonrado o in orma. Torma 6... Com a conrçõ acima m ono é ma H - inlaridad d omn for m ono mbílico d. 6.. Edo do Camo d Dirçõ a ção. do caílo fizmo rfrência a rio d doi oro camo d dirçõ obr rfíci m o camo d dirçõ ainóica o camo d dirçõ d crara axial ja fira..... D [GaS] odmo crr a qação difrncial do camo d dirçõ d crara axial como H I 0 Jac η 6.. 6

66 ond η H I ão rciamn o or crara normal o or crara média a rimira forma fndamnal da imrão : M. Dnolndo 6.. odmo crr a in qação difrncial qárica a d a d d a d d a dd a d 0 0 ond a a a a a 0 ão fnçõ do coficin da rimira nda forma fndamnai é ma cara local d M. Qando a imrão á m ariclar conida m m hirlano d a qação qárica 6.. od r faorada nm rodo d da qaçõ qadráica a abr a qação qadráica da linha d crara rincial a qação qadráica da linha d crara média. Para o do da qação qadráica da linha d crara rincial rcomndamo o xo [GS] ara o do da qação qadráica da linha d crara média rcomndamo o ario [GaS]. Vjamo m oco da ar omérica iniia a rio da li d crara d ma imrão imrão : M li d crara : M ia rojção roráfica d ma como na ção anrior. Como imo fira 6.. a ε é m mno d ra obr a ra or ara odo ono. Aora or dfinição o camo d dirçõ ainóica é o camo indzido no aço ann d lo ono ond o or crara normal anncia a li d crara ja fira.. or dfinição o camo d dirçõ d crara dircional média é o camo indzido no aço ann d lo ono ond a ra rada lo or crara normal inrca a li d crara. Ocorr q n cao o ono dcrio acima coincidm com o éric da li d crara ε ara odo ono xco no cao ond a li d crara orna m ono o ja m mno d 65

67 ra radial o ja m ono d inflxão. Ma o éric da li d crara drminam o ono q indzm no aço ann d o camo d dirçõ d crara axial. Em ora alara ambém n cao a xmlo do cao m q a imrão d M á conida m m hirlano d o camo d dirçõ d crara axial od r faorado nm rodo d camo o d dirçõ ainóica o d dirçõ d crara dircional média. Vja fira 6... Fira 6... O éric da li d crara. Torma 6... Sonha q : M ja ma imrão d ma rfíci rlar orinada M m : M a imrão dada la comoição d com a rojção roráfica como na ção anrior. Enão a qação difrncial qárica 6.. é o rodo da qação difrncial qadráica da linha d crara dircional média..5 da qação difrncial qadráica da linha ainóica io é a qação 6.. od r cria como Jac { Jac II I I}. Jac II I 66

68 Proa. É imdiaa. Tom a xrão 6.. a cra com o coficin nconrado na ção anrior. Dnola o rodo comar o rlado com a qação qárica 6... Uilizando a conrçõ acima odmo obrar q: i A linha d crara rincial d ão alicada ia rojção roráfica na linha ainóica d a qai n cao ão oroonai fao q od r facilmn rificado ma z q a rojção roráfica é conform rrando ânlo nr a cra o ainda diramn da li d crara ma z q n cao o ono d anência do or crara normal com a li d crara ão imérico com rlação ao cnro da li ara odo ono não rncn ao conjno da H -inlaridad; ii A linha d crara média d ão alicada na linha d crara dircional média d ; iii A inlaridad da linha d crara rincial da linha d crara média d o ono mbílico ão alicada na inlaridad da linha ainóica da linha d crara dircional média d a H -inlaridad. Obração 6... Baado no orma 6.. odmo dar ma noa cria ara a qação difrncial da linha ainóica d ma imrão qal a cria q lá aarc é m cao ariclar a abr : M da II II 0 Jac

69 Ea cria ara a qação difrncial da linha ainóica é álida ara qalqr imrão : M. Uilizando o coficin da rimira nda forma fndamnai da imrão odmo crê-la da in manira T d T dd T d 0 ond a fnçõ T T T foram dfinida m.. é ma cara oiia d M. Como imo na obração.. a inlaridad d camo o ono d inflxão ão caracrizada lo ono ond da da fnçõ acima anlam. 6.. Qadro Comaraio da Imrõ imrõ Arnamo na áina in ma abla comarando lmno da. Para a a conrção lamo m conidração o rlado obido na çõ anrior. Para m mlhor nndimno do lmno q aarcm na abla bm como ma idéia d como l foram obido é inran lo mno a ialização da fira 6.. q raa do éric da li d crara ara o cao conidrado. 6.. Srfíci na Efra S Sja : M S ma imrão d cla C r r d ma rfíci rlar orinada M m S. Conidrmo ainda a inclão naral d S m. Amamo q ja ma cara oiia d M q { } ja m rfrncial oiio d ndo { m rfrncial d camo d or } 68

70 oronormai a ond T S é a normal inrior d S M. D modo mo. Imrão Primira Forma Fndamnal E F G E F G w w w E F G [ w E] w E Snda Forma Fndamnal f [ w f F] f w f F [ w G] w G Camo d Linha Sinlaridad Pono Umbílico Linha d Crara Princial Linha d Crara Média Umbílico Darboxiano Di Pono d Inflxão Linha Ainóica Linha d Crara Dircional Média Pono d Inflxão do io Si Tabla 6.. Em al cara alm E 69

71 f F G ond E F G ão o coficin da rimira forma fndamnal d. S q II I. Aora II II II II η. I I I I Em ora alara na iação a li d crara ε á dnrada m m mno d ra obr a ra or ara odo M. Tmo H G ff E EG F EG F M EG F. Dio q H 0 ara odo M. D modo é ma H- inlaridad d M não é ncariamn m ono d inflxão d M. Como abmo nm ono d inflxão a li d crara orna m mno d ra radial o ja n cao a li d crara orna m ono. A qação difrncial da linha d crara dircional média..5 m a forma [ Jac II II I ] Jac[ Jac II I I ] 0 Jac a qal é a qação difrncial da linha d crara média conidrando M como ma rfíci férica. Garcia Soomayor m [GaS] daram a linha obr rfíci m ainóica 6.. m a in forma. Aora a qação difrncial da linha 70

72 Jac II II Jac II I 0 a qal nada mai é do q a qação difrncial da linha d crara rincial conidrando M como ma rfíci férica. D modo oalmn análoo à ção anrior al o in orma. Torma 6... Sonha q : M S ja ma imrão d ma rfíci rlar orinada M m S com a conidraçõ acima. Enão a qação difrncial qárica 6.. od r cria como o rodo { Jac II I I}. Jac II I 0 Jac. 7

73 Caílo 7. Eabilidad Erral Dircional Média rabalho a noção d abilidad rral rincial d imrõ d rfíci m arnada m [SG] rá adaada ara a linha d crara dircional média da imrõ d rfíci m. A confiração dircional média d ma imrão : M ma rfíci rlar orinada é dfinida la rna S F H f H ond M é ond S é o conjno da H-inlaridad F H é a folhação dircional média máxima f H é a folhação dircional média mínima d. A confiração dircional média iniza a roridad qaliaia da folhaçõ F H f da imrõ d rfíci m rrna a manira q a linha aroximam da H-inlaridad. Ela é m análoo naral da confiração rincial d ma imrão : M rlar orinada M m. Dnomo or H d ma rfíci I r r I r M o aço da imrõ d cla C d M r r m or I I M aço mnido da ooloia C ara r. Uma imrão r I é dia r rralmn ál com rlação à 7

74 confiração dircional média la ir ma izinhança V al q ara qalqr β V xi m homomorfimo h : M M alicando S obr Sβ alicando obr F H β alicando f H obr f H β. M F H Aora ma imrão I r é localmn rralmn ál m ara qalqr izinhança W d m M xiir ma izinhança V al q ara qalqr β V xim q q β W izinhança W W q W m homomorfimo h :W alicando m q alicando W q F H W m F H β bm como alicando f H W m W q f H β W q. D modo análoo odmo dfinir abilidad rral local m γ ond γ M é m ciclo d crara dircional média. r Torma 7.. Sja M ma H-inlaridad d ma imrão I. Enão é localmn rralmn ál m omn for ma H- inlaridad d io S ara odo r. Proa. Por ma lado é ma H-inlaridad d io S a confiração dircional média local é obida ia rojção no lano da confiração do camo X m.6 conform orma..... Como n cao o camo X m ana inlaridad hirbólica ao lono da ra rojia a abilidad rral local m dcorr da abilidad rral local da inlaridad hirbólica. Por oro lado não é ma H-inlaridad d io S qna rrbaçõ da imrão mdam qaliaiamn a confiração local. D m modo oalmn análoo mo o in orma. 7

75 Torma 7.. Sja γ M m ciclo d crara dircional média d ma r imrão I. Enão é localmn rralmn ál m γ omn γ for m ciclo d crara dircional média hirbólico ara odo r. Vjamo a ir m rlado q rá baan ilizado no róximo caílo. Dnomo or I r c I M I r c r o aço da imrõ d cla r C d M m ond M é ma rfíci rlar comaca orinada or r I c aço mnido da ooloia C com r. Torma 7.. O conjno da imrõ r I c ai q oda a H-inlaridad r ão do io S é abro dno m I ara odo r. c Proa. Obrmo rimiramn q a condiçõ imoa à imrão róxima d ma H-inlaridad d io S dndm d dialdad nolndo driada aé a rcira ordm. Io imlica a abrra. Obrmo q a condição d ranralidad for aifia m oda H- inlaridad a condiçõ S i odm r obida or m númro finio d qna mdança locai no coficin da imrão na cara d Mon m cada H-inlaridad. D modo é ficin conidrarmo imrõ ara a qai a condição d ranralidad rifica. O conjno da H-inlaridad d ma imrão é comaco. Porano l od r cobro or m númro finio d cara d Mon. A roa do orma á rminada baando ara io alicar o lma in a écnica da rrbação ao a ao. 7

76 Lma 7.. Tommo a rfíci M na cara d Mon o ja M é o ráfico da alicação com ndo ma izinhança da orim q é ma H-inlaridad conform caílo. Chammo d a imrão S β ab U ; ; b a b a S b a β com ond V é ma izinhança da orim. Enão xi m dico comaco ma izinhança V ai q oda a H-inlaridad da imrão com aifazm a condição d ranralidad. O ja xi m númro ral oiio al q a inrção d V com o dico d raio m mdida d Lb oal. V b a ab D U D V b V ab ρ U D V ab ab D a ab β ρ Proa. Conidrmo a qação difrncial da linha d crara dircional média da imrão dada or β ab 0 ; ; ; d b a A dd b a B d b a C ond [ ] ; ; b a G F f f b a C C [ ] ; ; b a G f f E f f b a B B. o q não dmnhará al rlan. ; b a A O conjno { } ; 0 ; / ; b a B b a C b a S S ab ab β 75