Topografia: planimetria para engenheiros Agrimensores e Cartógrafos III MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS

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1 III MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS A medição de distâncias e ângulos possibilita o posicionamento de um ponto em um determinado sistema de referência. As distâncias podem ser determinadas percorrendo o alinhamento do início ao fim, medindo diretamente a grandeza procurada - processo direto [] - ou a partir de observações que estejam implícita ou explicitamente ligadas à distância procurada - processo indireto [3]. No processo indireto serão estudados, neste capítulo, os métodos: Taqueométrico [3.] e brevemente, mira horizontal [3.] e medida eletrônica de distâncias [3.3]. Após estudar os processos diretos e indiretos é apresentado um processo de medição de distâncias relativas a pontos inacessíveis [4]. A seguir serão estudados os efeitos da curvatura da Terra [5] e da altitude [6] nas distâncias. Dependendo da finalidade do trabalho, da precisão requerida e do tamanho da área a ser levantada, a distância observada deve ser reduzida ao nível do mar e daí, ao plano topográfico. Ainda neste capítulo serão estudadas as reduções de distâncias em levantamentos topográficos [7.] e em trabalhos de locação de projetos [7.]. - INTODUÇÃO Antes de entrar no assunto de medição de distâncias, é necessário verificarmos a definição de erro relativo (er): é a razão adimensional entre o erro cometido na medição e o valor mais provável para a grandeza observada. Se, por exemplo, ao medir uma distância de 000 m comete-se um erro de 50 cm, o erro relativo será de 0,0005; que pode ser expresso em porcentagem (%), multiplicando este valor por 00 ou em partes por milhão (ppm), multiplicando-o por 0 6, ou ainda expresso no formato de escala, ou seja, o algarismo no numerador e no denominador a razão adimensional entre o valor mais provável para a grandeza e o erro cometido; para o exemplo, er = 000. O erro relativo é uma medida da qualidade da observação; quanto menor for o erro relativo, melhor foi efetuada a observação. O Capítulo 4 trata com mais detalhe dos erros cometidos, ou das propriedades estatísticas, em ciências experimentais como a topografia. Como mostra a Figura 3., a distância espacial ou inclinada, DI, entre dois pontos pode ser decomposta em: Distância Horizontal (DH): também conhecida como distância EDUZIDA. É a distância entre dois pontos medida em um plano horizontal. Esta distância é a que, por força de lei, consta em escrituras imobiliárias. Por isso é também denominada distância legal. Distância Vertical ou Diferença de Nível (DV ou DN): é a distância entre dois pontos medida ao longo da vertical. Pode ser ao longo da vertical de A ou de B Figura

2 odrigues, D. D. 008 Medição de Distâncias A DH DI DV AB B Figura 3.- Distâncias inclinada, horizontal e vertical entre dois pontos. Para pesquisar: As verticais que passam pelos pontos A e B são paralelas? Ou seja, o plano horizontal que passa por A é também perpendicular à vertical de B? Como visto no capítulo I, a Topografia pode ser dividida em planimetria, altimetria e planialtimetria. A Planimetria trata das distâncias e ângulos horizontais, assuntos deste texto, e a altimetria, que busca descrever o relevo do lugar, trata de ângulos e distâncias verticais. Altimetria e planialtimetria não fazem parte do escopo deste trabalho. Para observar distâncias horizontais há dois processos, a saber: o direto e o indireto. - POCESSO DIETO Nesse processo o seguimento a ser medido deve ser percorrido do início ao fim. Portanto, obstáculos como lagos, rios, construções, etc., entre os extremos do seguimento a ser medido, impedem o emprego do processo direto. Caso não haja obstáculos, podem ser empregados os seguintes instrumentos: Trena de invar (liga de aço e níquel 36% de níquel). Trena de Aço Constitui-se de uma lâmina de aço inoxidável devidamente graduada. Comprimentos disponíveis no mercado:,, 3, 5, 0, 0 e 50 metros. Trena de Fibra de Vidro - É feita de material bastante resistente (produto inorgânico obtido do próprio vidro por processos especiais). Comprimentos disponíveis no mercado: 0 e 50 metros. Trena de Lona - É feita de pano oleado ao qual estão ligados fios de arame muito finos que lhe dão alguma consistência e invariabilidade de comprimento. Comprimentos disponíveis no mercado: 0 e 50 metros. oda Contadora Instrumento utilizado para medir distâncias curvas. Se o seguimento a ser medido é maior que a trena utilizada ou o terreno é muito íngreme, dividese o seguimento em seções, alinhadas com os extremos do seguimento, conforme esboça a Figura 40

3 3.. A materialização de alinhamentos, seja na construção de pontes que se inicia dos dois lados de um rio, seja na construção de túneis, de dutos em geral e de linhas de transmissão de energia elétrica constitui uma interessante aplicação da topografia. Para pesquisar: como alinhar seções de um seguimento cujos extremos não são intervisíveis? l 4 l 3 l 5 l B l A A DH = l + l + L + l AB 5 B HZ Figura 3. Divisão de um seguimento em seções para medição de distâncias pelo processo direto.- Fontes de erros na medição direta de distâncias horizontais Erros de Leitura: embora seja muito simples fazer leituras em uma trena; é bom tomar cuidado, principalmente para não inverter a origem da trena e não misturar leitura no sistema métrico com leitura em polegadas. Dilatação térmica: depende do material de composição do instrumento, do comprimento da trena e da diferença entre a temperatura ambiente e a de aferição. Se houve dilatação o valor lido (VL) será menor que o valor procurado (VP). Elasticidade: depende do material de composição do instrumento, do comprimento, espessura e largura da trena e da diferença entre a tensão aplicada na medição e na aferição. Com a distensão da trena o valor lido torna-se menor que procurado (VL < VP). Catenária: curvatura ou barriga que se forma ao tencionar a trena. É função do seu peso, do seu comprimento e da tensão aplicada, a Figura 3.3 ilustra este erro. Devido à catenária o valor lido é sempre maior que o procurado (VL > VP). 4

4 odrigues, D. D. 008 Medição de Distâncias Falta de horizontalidade da trena: Com a trena inclinada o valor lido será sempre maior que o procurado (VL > VP). O menor valor para a distância é a distância horizontal. Uma forma de eliminar esse erro é oscilar a trena em torno da linha de referência uma baliza por exemplo - e anotar o menor valor. l f T T Figura 3.3 Catenária ao medir um comprimento l aplicando uma tensão T em uma trena de peso p. Erro de alinhamento das seções: Ocorre quando as seções não estão alinhadas com os pontos extremos. Neste caso VL > VP sempre. Inclinação da baliza: Qualquer inclinação na baliza na direção do alinhamento provocará um aumento ou diminuição na distância que está sendo medida, caso esteja incorretamente posicionada para trás ou para frente, respectivamente. Este tipo de erro só poderá ser evitado se for feito uso do nível de cantoneira ou substituindo a baliza por um fio de prumo. Medir distâncias horizontais pelo processo direto pode ser muito moroso, caro e impreciso se a equipe de trabalho não estiver bem treinada e o relevo for muito acidentado. Caso haja algum obstáculo no alinhamento deve-se empregar o processo indireto. 3- POCESSO INDIETO Não há necessidade de percorrer o alinhamento e podem ser empregados os seguintes instrumentos e métodos: Taqueômetro (ou simplesmente teodolito) + mira vertical = Taqueometria; Teodolito + mira horizontal; Distanciômetro (ou estação total) + refletor. Dependendo do tipo de estação total e da distância a ser medida, o refletor pode ser dispensado; Satélite de navegação + receptor + antena: não há necessidade da intervisibilidade entre as estações; 4

5 Quasares + Antenas parabólicas (VLBI Very Long Baseline Interferometry ). Para distâncias longas, como a distância entre a América e a África, por exemplo. È, atualmente, a técnica que propicia maior precisão na medição de tais distâncias. 3.- TAQUEOMETIA O goniômetro que além de medir ângulos horizontais e verticais é dotado de fios estadimétricos pode ser chamado de taqueômetro ou simplesmente teodolito. A Figura 3.4 mostra os fios do retículo, ou fios estadimétricos, de um teodolito com o qual se pode também determinar as distâncias horizontal e vertical. Fio estadimétrico superior. Fio Vertical. Empregado para medir ângulos horizontais. h Fio estadimétrico inferior. Fio Médio ou nivelador. Empregado para medir ângulos verticais. Figura 3.4 Fios do retículo e distância entre o fio superior e o inferior (h). A Figura 3.5 mostra em destaque o centro do teodolito e a posição dos fios do retículo. A razão entre a distância da localização dos fios ao centro do aparelho distância Ob na Figura e a distância do fio superior ao inferior ac da Figura 3.5 ou h da Figura é conhecida como constante estadimétrica. O w a. b c Figura 3.5 Posição dos fios do retículo em relação ao centro de um teodolito. A constante estadimétrica de um teodolito dada por: 43

6 odrigues, D. D. 008 Medição de Distâncias Ob = g (3.) ac é normalmente igual a 00, ou seja, ac é cem vezes menor que Ob. Se, por exemplo, Ob for igual a 0 cm, ac será mm. Dessa forma o ângulo w mostrado na Figura 3.5 é muito pequeno e igual a w ac 80 = = rad = 34' (3.) Ob π o o 3..- Medição com a luneta na horizontal ( Z ˆ = 90 ou ˆi = 0 ) A Figura 3.6 esquematiza a medição de uma distância horizontal, DH, por taqueometria com a luneta na posição horizontal. O teodolito está num dos extremos do seguimento a ser medido e no outro está uma régua graduada, denominada mira, perfeitamente na vertical. FS, FM e FI são as leituras realizadas na mira, observando, pela ocular, as posições dos fios superior, médio e inferior, respectivamente. O c. b a C. B A FI FM FS DH = OB =? Figura 3.6 Taqueômetro, mira vertical e medição de distância por taqueometria com luneta na horizontal. Da Figura 3.6, verifica-se que o triângulo Oac é semelhante ao triângulo OAC e, portanto, OB Ob = (3.3) AC ac 44

7 Mas Ob ac é a constante estadimétrica, g, do teodolito e de acordo com a Figura 3.6: AC = FS FI (3.4) sendo (FS FI) conhecida com leitura estadimétrica e representada pela letra m. Assim, OB = AC g = (FS FI) g = m g (3.5) ou seja, se as observações forem realizadas com a luneta na horizontal, DH = m g (3.6) Fontes de erro: a medição de distâncias horizontais por taqueometria, com a luneta na horizontal, apresenta as seguintes fontes de erro: Leitura na mira: é função da refração atmosférica, da capacidade de aumento da luneta, de defeitos na graduação da mira, da paralaxe, etc; Imprecisão na constante estadimétrica; Não verticalidade da mira. Para minimizar os erros devido à refração atmosférica recomenda-se não realizar medidas, na mira, abaixo de meio metro, principalmente em dias e/ou lugares quentes. Erros devido à paralaxe são evitados se as leituras FS, FM e FI são feitas de uma única vez, sem que o observador altere seu ponto de vista de leitura. O problema com a capacidade de aumento da luneta é resolvido evitando medir distâncias grandes, acima de 70 metros. A verticalidade da mira pode ser garantida empregando um nível de cantoneira ou um fio de prumo. Para minimizar o erro recomenda-se não realizar leituras na parte mais alta da mira Medição com a luneta inclinada Neste caso, devido a diferença de nível entre os extremos do seguimento a ser medido, para visar a mira há necessidade de inclinar a luneta para cima ou para baixo, de um ângulo î em relação ao plano horizontal, como indicado na Figura 3.7. Da Figura 3.7 verifica-se que DH= OB cos î (3.7) Aqui o triângulo Oac é semelhante ao triângulo OA C e não ao OAC. Portanto, 45

8 odrigues, D. D. 008 Medição de Distâncias OB A'C' Ob = = g (3.8) ac ou seja C C B FS O c b w î A A FI FM a î DH =? Figura 3.7 Taqueômetro, mira vertical e medição de distância por taqueometria com luneta inclinada. OB = A'C' g (3.9) A distância A C não pode ser determinada diretamente das leituras estadimétricas, mas A 'C' = A'B + BC' (3.0) Como o ângulo w é muito pequeno pode-se adimitir a seguinte hipótese simplificativa: os ângulos AÂ' B e CĈ' B são retos e portanto A'B = AB cos î e BC' = BC cos î (3.) Consequentemente A' C' = AB cos î + BC cos î = (AB + BC) cos î = AC cos î (3.) 46

9 Substituindo esta equação na (3.9) tem-se: OB = AC cos î g (3.3) Substituindo a equação (3.3) na (3.7) e lembrando que AC = FS FI = m, tem-se: DH = m g cos î (3.4) Se o ângulo vertical lido é o zenital, tem-se: DH = m g sen Ẑ (3.5) uma vez que o cos î = cos( 90 Ẑ) = sen Ẑ, no primeiro ou segundo quadrante e o cos î = sen(70 + î) = sen ẑ para ẑ no terceiro ou quarto quadrante. Fontes de erro: além daquelas que ocorrem quando a luneta está na horizontal têm-se como fontes de erro: Leitura do ângulo vertical e A hipótese simplificativa adotada para se chegar à equação (3.). Como pode ser visto nos exercícios abaixo o efeito de um erro na observação do ângulo de inclinação é bem menor que o efeito de um erro de leitura na mira. EXECÍCIOS i) De uma estação A foi visada, com a luneta na horizontal, uma mira vertical colocada em um ponto B. Foram feitas as seguintes leituras: fio inferior = 0,753 m e fio superior =,003 m. Calcule a distância horizontal entre os pontos (AB). E se a leitura no fio superior fosse,000 m em vez de,003, qual seria a nova distância? Calcule a diferença entre as distâncias encontradas, em centímetros. ii) De uma estação A foi visada uma mira vertical posicionada em um ponto B. Foram feitas as seguintes leituras: fio inferior = 0,998 m, fio médio =,500m, fio superior =,00m, com ângulo zenital de 89º Calcule a distância horizontal entre os pontos (AB). E se o ângulo zenital fosse 89º 00 00, qual seria a nova distância? Calcule a diferença entre as distâncias encontradas, em centímetros. 47

10 odrigues, D. D. 008 Medição de Distâncias 3.- UTILIZANDO MIA HOIZONTAL Mira horizontal, também conhecida como estádia, é uma haste de metal com baixo coeficiente de dilatação térmica, dotada de dois alvos em seus extremos sendo a distância entre eles conhecida com precisão. Para medir distâncias empregando a mira horizontal, instala-se o teodolito e a mira nos extremos do seguimento a ser medido Figura 3.8. Utilizando o visor ótico deixa-se a mira perpendicular ao alinhamento. Após medir o ângulo horizontal α mostrado na Figura. 3.8, calcula-se a distância horizontal DH. Da Figura 3.8, onde b é a distância entre os alvos da mira, verifica-se que: portanto α b tg = (3.6) DH b DH = α (3.7) tg Se b =,000 m então DH = (m) (3.8) α tg b B A α DH Fig. 3.8: Medida de distância com mira horizontal Fontes de erro: A obtenção de distâncias empregando mira horizontal tem as seguintes fontes de erro: erro no comprimento da estádia (mira); erro de centralização do goniômetro e da mira; erro na observação de α e falta de perpendicularidade da estádia com o alinhamento a ser medido. 48

11 O comprimento da estádia bem como a necessidade de visualizar dois alvos distando dois metros um do outro, torna pouco exeqüível o uso desse instrumento em espaços urbanos e rurais, principalmente em matas, limitando-o para trabalhos de triangulação, onde uma ou outra distância deve ser medida MEDIDA ELETÔNICA DE DISTÂNCIAS O primeiro instrumento eletrônico para medir distâncias foi inventado pelo físico sueco Dr. Erik Bergstrand, por volta de 950, e denominado Geodímetro - um acrônimo para geodetic distance meter. Este instrumento foi capaz de medir, à noite, distâncias de até 40 km, empregando a luz visível. Cerca de sete anos depois, na África do Sul, o Dr. T. L. Wadley inventou o Telurômetro, primeiro Medidor Eletrônico de Distâncias (MED) a empregar microondas e capaz de medir, à noite ou durante o dia, distâncias de até 80 km. Atualmente, os medidores eletrônicos de distâncias empregam o laser visível (L) ou infra vermelho próximo - laser invisível (I) -, com comprimentos de onda variando de 500 nm a 00 nm, para medir distâncias de até 5 km, com precisão de (0 mm + 5 ppm) a ( mm + ppm). Há as chamadas trenas eletrônicas que medem distâncias de até 300 m e as Estações totais, instrumentos que além de medir distâncias, medem ângulos horizontais e verticais eletronicamente. A Figura 3.9 representa o processo de medição eletrônica de distâncias. Num dos extremos do seguimento a ser medido é posicionado o medidor - instrumento que gera sinais eletromagnéticos, emite-os, recebe-os de volta e realiza medidas e cálculos e no outro extremo é posicionado o refletor, que tem a função de refletir para o medidor os sinais por ele emitidos. Há instrumentos que emitem o laser visível e dispensam o refletor para distâncias pequenas, menores que 300 metros. Emissor/eceptor D v efletor λ v d DH Fig Medida eletrônica de distância 49

12 odrigues, D. D. 008 Medição de Distâncias Princípio da medida eletrônica de distâncias Afinal o que mede um distanciômetro? a) o tempo de propagação (t) do sinal (?) A precisão desta observação depende da estabilidade do oscilador, normalmente de cristal, do medidor eletrônico de distâncias. Seja na Figura 3.9: D, a distância a ser medida e V, a velocidade de propagação do sinal, cerca de 3 x 0 8 m/s no vácuo. Se o tempo de propagação t, de ida e volta do sinal, é observado tem-se: v t D = ; (3.9) Se o instrumento medisse o tempo com uma precisão máxima de 0-6 segundos, o que já pode ser considerado como uma boa precisão para medida de tempo, a precisão na distância seria de: σ 8 6 D = = m (3.0) que é uma precisão muito ruim para as distâncias empregadas em topografia. Devido à dificuldade de se medir o tempo de propagação da luz com tamanha precisão, os MED atualmente disponíveis não fazem essa observação. Atualmente, com o desenvolvimento de osciladores atômicos de átomos frios com uma margem de erro da ordem de segundo a cada 3 bilhões de ano, ou 0-7 S/S, vislumbra-se a possibilidade de se ter instrumentos que meçam com precisão o tempo de propagação da radiação eletromagnética. b) A diferença de fase entre o sinal recebido e o emitido (ϕ) Na Figura 3.9 verifica-se que há, no caminho de ida e volta do sinal entre os extremos do seguimento a ser medido, um número inteiro de comprimentos de ondas que será representado por m, e uma parte fracionária da onda representada pela letra d. Portanto, da referida Figura, conclui-se que: D = m λ + d (3.) À parte fracionária d corresponde uma diferença de fase f de forma que: Portanto, ϕrad d= π λ (3.) ϕ D = m λ + λ. (3.3) π 50

13 ϕ Fazendo = µ = π defasagem do sinal recebido em ciclos, tem-se: D λ = m + µ λ (3.4) onde m é o valor observado e D e m são incógnitas. Para solucionar a indeterminação da equação (3.4) os distanciômetros emitem dois diferentes sinais L e L (SILVA, 993). Se λ λ tal que m = m = m então: e D λ = m + µ λ (3.5) D λ λ = m + µ (3.6) e assim tem-se um sistema de duas equações e duas incógnitas, D e m, uma vez que m e m são medidos e λ e λ conhecidos. Se, por outro lado, λ > D, tal que m = 0, então: D λ = µ, (3.7) m = int eiro λ D µ de λ (3.8) e λ λ D = m + µ. (3.9) Para compreender melhor este caso veja o seguinte exercício: se λ = 0m; λ = 000m e os valores observados µ = 0,45 ciclos e µ = 0,470 ciclos tem-se, empregando as equações (3.7), (3.8) e (3.9) que: 0, D = = 470m e portanto, 470 0,45 0 m = int eiro de = 46 0 D = ,45 0 = 464,5 m 5

14 odrigues, D. D. 008 Medição de Distâncias EXECÍCIOS: i) Se uma estação total mede distâncias com uma incerteza de ( mm + ppm) qual será o erro relativo, em ppm, para as distâncias de 0, 00, 000 e 000 metros? ii) E se a incerteza fosse (5 mm + 5 ppm)? 4 DETEMINAÇÃO DE DISTÂNCIAS HOIZONTAIS ENVOLVENDO PONTOS INACESSÍVEIS É comum na engenharia necessitar-se de distâncias relativas a pontos inacessíveis. Se se dispõe de uma estação total capaz de medir sem refletor e o alvo reflete o espectro da radiação emitida pelo aparelho, o problema está então resolvido; senão, podem ser empregadas as leis do seno e coseno como mostrado a seguir. Seja a Figura 3.0 a representação de uma situação onde a distancia PQ, envolvendo um ponto inacessível, deve ser determinada. Devem ser observadas, no mínimo, as seguintes grandezas: A distância horizontal AB e Os ângulos horizontais α, α, β e β. Há dois caminhos para se determinar a distância horizontal PQ. Um é, determinar pela lei dos senos as distâncias AP e AQ e pela lei dos co-senos, PQ; outro é determinar PQ a partir de BP e BQ. A seguir será desenvolvido o procedimento seguindo o primeiro caminho. Fica a cargo do estudante desenvolver o segundo. Do triângulo ABP, tem-se que: AP sen β AB sen β = AP = AB (3.30) sen ω sen ω mas ω = 80 ( α + β), portanto, o sen ω = sen ( α + β), e P ω A α β α β B ω Q Figura 3.0 Determinando distâncias relativas a pontos inacessíveis 5

15 AP sen β = AB (3.3) sen( α + β ) Da mesma forma pode-se verificar que AQ sen β = AB. (3.3) sen( α + β ) Determinadas as distâncias AP e AQ, tem-se, do triângulo APQ da Figura 3.0: PQ = AP + AQ AP AQ cos( α + α ) (3.33) De onde se determina a distância horizontal PQ. Quando os ângulos ω e ω são muito pequenos a precisão da distância determinada é ruim. A melhor precisão é obtida quando esses ângulos se aproximam de 90º. È a influência da geometria na precisão! Esse assunto será estudado com mais profundidade em disciplina específica. Com este método pode-se, a partir de uma distância pequena determinar uma distância maior, a partir dessa outra maior ainda e assim por diante, de forma que a partir de uma distância pequena se possa determinar grandes distâncias. A esse procedimento dá-se o nome de desenvolvimento de bases. EXECÍCIO: Sabendo que na Figura 3. - que está fora de escala -, a distância horizontal entre as estações A e B, AB, é igual a 0 m, e os ângulos horizontais horários, Â = 56 30' 6,90" ; ÂB = 33',60" ; ABˆ = 0 9' 04,00" e ABˆ = 59 ' 53,0", calcular a distância horizontal entre os pontos e. o o o o A B Figura 3.: Distância envolvendo ponto inacessível 53

16 odrigues, D. D. 008 Medição de Distâncias 5 - EFEITO DA CUVATUA DA TEA NAS DISTÂNCIAS HOIZONTAIS Na Figura 3., onde A e B = dois pontos situados em uma esfera; = raio de curvatura da esfera; s = distância esférica AB; c = a corda correspondente à s; d = distância horizontal AB, e γ = o ângulo de convergência entre as verticais que passam por A e B, A c d s d = tg γ B s = γ rad γ c = sen γ Fig. 3.: Distâncias horizontal, esférica e corda. estão contidas as conhecidas equações que relacionam distância horizontal, distância esférica e corda, com o raio de curvatura e o ângulo de convergência. Desta Figura verifica-se que: d = tg γ γ + 3 γ 3 + γ L (3.34) mas s γ = (3.35) portanto, empregando apenas os dois primeiros termos da (3.34), tem-se: d 3 s s = + (3.36) 3 3 ou seja 3 s d s = (3.37) 3 que é o efeito da curvatura da terra nas distâncias horizontais. O erro relativo caso a curvatura seja desconsiderada pode ser calculado por: 54

17 Er = =. (3.38) s 3 d s s EXECÍCIO: Dados: s = 30 km, = 6.37 km Calcular: A distância horizontal d O efeito da curvatura da Terra nesta distância, ou seja, calcular d s. O erro relativo caso a curvatura seja desconsiderada: ealizar estes mesmos cálculos para s = 0 km, 5 km, 500 m e 00 m. As respostas para esse exercício estão na Tabela 3.. Tabela 3.: Efeito da curvatura em diferentes distâncias s (Km) d - s (mm) Er (ppm) 30,7 7,4 0 8, 0,8 5,0 0, 0,500 0,00 0,00 0,00 0, , Observe que a correção da curvatura da Terra se faz necessária quando a distância a ser representada em um plano é tal que o seu efeito seja considerável para os fins a que se destina a planta. 6 - EFEITO DA ALTITUDE NAS DISTÂNCIAS HOIZONTAIS Adotando a esfera como modelo físico e matemático para a Terra as superfícies de nível serão esferas concêntricas. Da Figura 3.3, onde = raio do modelo terrestre; h i = altitude da seção i; s i = distância esférica na superfície de nível da seção i, sg = distância esférica ao nível do geóide, correspondente à s i no Nível Médio dos Mares (NMM) e γ = o ângulo de convergência correspondente à s i, verifica-se que: 55

18 odrigues, D. D. 008 Medição de Distâncias sg s i γ = = (3.39) + h i i s i h i sg γ Figura 3.3- Efeito da altitude nas distâncias. portanto sg = si (3.40) + h i onde ( ) + é o fator de escala que converte distâncias medidas na superfície física ao geóide. h i Conclusão: a distância entre dois pontos, para fins de mapeamento, depende da posição do seguimento medido em relação ao nível médio dos mares. EXECÍCIO: Dados: h i = 800 m, = 6.37 km e s i = 30 km Calcular: O fator de escala + h ; i A distância ao nível do geóide, sg; O efeito da altitude nesta distância, ou seja, calcular s i sg; O erro relativo caso este efeito seja desconsiderado; ealizar estes mesmos cálculos para h i = 00, 500, 000 e 500 m. As respostas para esse exercício estão na Tabela 3.. Tabela 3.: Efeito da altitude nas distâncias h (m) si - sg (m) Er (ppm) 500 7, , , , ,

19 Observe que o efeito da altitude é muito maior que o efeito da curvatura da Terra. Observe também que o erro relativo depende somente da altitude do seguimento medido e pode ser dado por: Er h h 6 = 0 (ppm) (3.4) + h O efeito da altitude deve ser corrigido quando há grandes variações de altitude na região a ser mapeada ou quando se pretende conectar a planta à carta do município, do estado ou do País. 7 EDUÇÕES DE DISTÂNCIAS MEDIDAS PELO POCESSO DIETO A Figura 3.4 representa a medição de várias seções de uma distância longa, pelo processo direto. Tal distância deve ser corrigida dos efeitos da altitude e da curvatura da Terra. À estas correções da-se o nome de eduções. Há duas situações em que as reduções devem ser aplicadas: uma, quando se vai confeccionar uma planta topográfica, ou seja, os dados serão coletados em campo e processados para serem representados em um plano, item 7.; e a outra, quando os dados serão extraídos de uma planta e materializados na superfície física, ou seja, quando se fará locações, item 7.. Z A Z B A d d d 3 D S h A d n B Superfície de nível de A Superfície física DH Sg Plano topográfico Geóide (Nível Médio dos Mares) γ CG CG Figura 3.4 Medição de várias seções de uma distância longa, pelo processo direto. 57

20 odrigues, D. D. 008 Medição de Distâncias 7.- TEENO PLANTA: reduções aplicadas na confecção de uma planta. a) Supeficie fisica Superfície do Geóide: corrige-se o efeito da altitude. Sg = s + s + s3 + + sn (3.4) + h + h + h + h 3 n e se as seções medidas são curtas, e s i = d i (3.43) Sg = d (3.44) i + h i uma vez que o efeito da curvatura em cada d i será nulo. Se a variação em altitude na área que está sendo mapeada é pequena, pode se adotar uma mesma altitude média (hm) para a região e = Sg d (3.45) + hm i b) Superfície do Geóide Plano Topográfico: corrige-se o efeito da curvatura em Sg. 3 Sg DH = Sg + (3.45) PLANTA TEENO: reduções aplicadas em locações de projetos. a) Plano Topográfico Superfície do Geóide: efeito da curvatura Aqui há necessidade de realizar iterações uma vez que Sg se encontra nos dois lados da equação. Deve-se inicialmente atribuir o valor da distância horizontal à Sg. Sg 0 = DH (3.46) Sg j = 3 Sg j Sg j (3.47) 3 com j =,, até que Sg j Sg j atinja um determinado critério de convergência. c) Superfície do Geóide Supeficie fisica: efeito da altitude. 58

21 Ssf + hm = Sg (3.44) EXECÍCIOS: i) Um seguimento de aproximadamente 500 m, localizado a uma altitude média de 800 m, foi dividido em dez seções para ser medido com trena de invar. Os valores das seções, em metros, são: 49,973, 49,853, 49,936, 49,875, 49,94, 49,83, 49,876, 49,946, 49,9, 49,954. Determinar o valor da distância reduzida ao plano topográfico tangente ao geóide. Considerar o raio da Terra igual a 637 Km. ii) Em um mapa na escala / 000, construído em um plano topográfico tangente ao nível médio dos mares, foi medida uma distância de 56 cm. Sabendo que a região em que se encontra o seguimento medido está a uma altitude de 800 m, determinar o valor da distância esférica correspondente, a ser locada com trena, na superfície física. Considerar o raio da Terra igual a 6 37 Km. 59