W ECIQ Mini-Curso 3. Computação Quântica Avançada. Renato Portugal

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1 W ECIQ 007 Mini-Curso 3. Computação Quântica Avançada Renato Portugal Coordenação de Ciências da Computação Laboratório Nacional de Computação Científica - LNCC Av. Getúlio Vargas 333, Petrópolis, RJ, , Brazil portugal@lncc.br o Workshop Escola de Computação e Informação Quântica Campina Grande - PB, Brasil, 007.

2 Conteúdo 1 Algoritmo de Shor e o Problema do Subgrupo Oculto 1.1 Redução da fatoração ao cálculo da ordem Algoritmo quântico para o cálculo de ordem O Problema do Subgrupo Oculto O Problema do Subgrupo Oculto Abeliano Notas Bibliográficas Bibliografia 14

3 Capítulo 1 Algoritmo de Shor e o Problema do Subgrupo Oculto O algoritmo de Shor foi um marco no desenvolvimento da computação quântica, pois foi o primeiro exemplo de um algoritmo quântico com ganho exponencial em relação aos algoritmos clássicos conhecidos tendo um aplicação prática relevante. A principal aplicação é a quebra dos métodos de criptografia mais usados na prática. O algoritmo de Shor é um algoritmo quântico que encontra eficientemente a decomposição em fatores primos de um número inteiro N. Usando as mesmas idéias, é possível também calcular o logaritmo discreto, que pode ser descrito da seguinte forma. Dados os números inteiros n 1 e n tal que n 1 = n s, ache o valor do número inteiro s. O algoritmo de Shor também é importante por ser um paradigma para a solução do Problema do Subgrupo Oculto. Faremos uma introdução a este problema neste trabalho. Vamos começar descrevendo como o problema de fatorar números inteiros na verdade é equivalente ao cálculo de ordem. 1.1 Redução da fatoração ao cálculo da ordem A fatoração pode ser reduzida ao cálculo da ordem de um número x menor que N, onde x é escolhido aleatoriamente. O número de bits necessário para armazenar o número N é n = log N, onde log N significa o menor número inteiro maior ou igual a N. Um computador quântico com n qbits pode armazenar N ou qualquer outro inteiro positivo menor que N. O número de fatores primos de N é no máximo n. Se o número de qbits e o número de fatores primos são menores ou iguais que n, então é natural perguntar se existe um algoritmo que fatora N em um número de passos da ordem de n ou de

4 1.. ALGORITMO QUÂNTICO PARA O CÁLCULO DE ORDEM 3 uma potência de n, por exemplo, n. Tal algoritmo será considerado eficiente em contraposição de um algoritmo que precise de N passos ou mais. A redução da fatoração de N ao problema de achar a ordem de um inteiro positivo x menor que N pode ser descrita da seguinte forma. Se x e N possuem fatores comuns, então o MDC(x,N) fornece um fator de N, portanto é suficiente investigar o caso quando x é coprimo com N. A ordem de x módulo N é o menor inteiro positivo r tal que x r 1 mod N. Se r for par, podemos definir y como sendo x r/ y mod N. Na notação acima, vamos tomar y como sendo o resto da divisão de x r/ por N, portanto 0 y < N. Note que y satisfaz y 1 módulo N, ou equivalentemente (y 1)(y +1) 0 módulo N, o que significa que (y 1)(y +1) é divisível por N. Se 1 < y < N 1, os fatores y 1 e y+1 satisfazem 0 < y 1 < y+1 < N, y 1 e y+1 não são divisíveis por N separadamente. A única alternativa é que ambos y 1 e y+1 tenham fatores de N, que resulta N por multiplicação. Então, MDC(y 1,N) e MDC(y + 1,N) produzem fatores não triviais de N. Se N tiver mais fatores, eles podem ser calculados aplicando o algoritmo recursivamente. Considere N = 1 como exemplo. A sequência de equivalências 4 16 mod mod mod 1 mostra que a ordem de módulo 1 é r = 6. Portanto, y 3 8 módulo 1. De y 1 resulta o fator 7 e de y + 1 resulta o fator 3 de 1. Resumindo, escolhemos aleatoriamente um inteiro positivo x menor que N e calculamos sua ordem modulo N. Se a ordem for par, calculamos MDC(y ± 1,N). Temos fatores de N. Dividimos N pelos fatores e reiniciamos o processo até achar todos os fatores de N. Se escolhermos um x e verificarmos que sua ordem é ímpar, temos que reiniciar o processo com um outro valor para x. Este é um exemplo de um algoritmo probabilístico. Para garantia de sucesso, temos que mostrar que a probabilidade de sucesso é maior que 1/, isto é, temos que exibir um algoritmo eficiente com probabilidade de sucesso acima de 1/. Basta isso, pois, é simples mostrar que com poucas repetições podemos aumentar muito a eficiência. No caso do algoritmo acima, é trabalhoso mostrar que existe mais números x adequados do que inadequados. Esta análise pode ser vista na Ref. [8]. Até o presente momento não é conhecido um algoritmo clássico eficiente para fatoração ou cálculo de ordem. Vamos descrever agora um algoritmo quântico eficiente. 1. Algoritmo quântico para o cálculo de ordem Considere o circuito da Fig. 1.1 que calcula a ordem r de um inteiro positivo x menor que N, coprimo com N. V x é um operador linear unitário dado por

5 1.. ALGORITMO QUÂNTICO PARA O CÁLCULO DE ORDEM 4 { Vx 0 H 1 registrador (t qbits) 0 H F t { registrador (n qbits) 0 0 ψ 0 ψ 1 ψ ψ 3 ψ 4 Figura 1.1: Circuito quântico para achar a ordem de um inteiro positivo x módulo N. V x ( j k ) = j k + x j, (1.1) onde j e k são os estados do primeiro e segundo registrador respectivamente. As operações aritméticas são feitas módulo N, assim 0 k + x j < N. O operador F t é a transformada de Fourier discreta no espaço de Hilbert de dimensão t. O primeiro registrador possui t qbits, onde t deve ser escolhido de forma que N t N por razões que ficarão claras mais adiante [5]. Os estados do computador quântico estão indicados por ψ 0 até ψ 4 na Fig O estado inicial é ψ 0 = } {{ }} {{ } t n A aplicação do operador Hadamard em cada qbit do primeiro registrador resulta ψ 1 = 1 j 0, (1.) t que consiste numa superposição de todos os estados da base computacional com igual amplitude. Este passo é bastante usual nos algoritmos quânticos, pois prepara o computador para o uso do paralelismo quântico. Aplicando V x em ψ 1 obtemos j=0 ψ = 1 j x j. (1.3) t j=0 O estado ψ é interessante, pois, já que V x é linear, ele atua simultaneamente em todos os termos j 0 para t valores de j, logo isto gera todas as potências de

6 1.. ALGORITMO QUÂNTICO PARA O CÁLCULO DE ORDEM 5 x simultaneamente. Esta característica é chamada paralelismo quântico. Algumas destas potências são 1, as quais correspondem aos estados ( ) 0 1, r 1, r 1,, t r 1 r 1. (1.4) Isto explica a escolha de (1.1) para V x. Classicamente, poderíamos calcular sucessivamente x j, para j começando de até chegarmos a j = r. Quanticamente, pode-se calcular todas as potências de x com uma única aplicação de V x. No nível quântico, todos os valores de j que produzem x j 1 módulo N são conhecidos. Mas esta informação não está totalmente disponível no nível clássico. Uma informação clássica de um estado quântico é obtida através de uma medida e, neste ponto, não ajudaria se medíssimos o primeiro registrador, já que todos os estados da superposição (1.3) possuem amplitudes iguais. A primeira parte da estratégia para determinar r é observar que o primeiro registrador dos estados (1.4) é periódico. Então a informação que queremos é um período. O próximo passo de acordo com a Fig. 1.1 é aplicar a transformada de Fourier F t ao estado do primeiro registrador. Vamos denotar por ψ j a transformada de Fourier aplicada ao estado j da base computacional { 0,..., t 1 }, isto é, F t( j ) = ψ j. A fórmula da transformada de Fourier é ψ j = 1 ω jk k, (1.5) t onde ω = e πi/t. O conjunto { ψ j : j = 0,..., } forma uma base ortonormal, i.e, ψ j ψ j = δ j j. O próximo estado do computador quântico, ψ 3, pode ser calculado da seguinte maneira. Aplicando a transformada de Fourier inversa no primeiro registrador, usando a linearidade da transformada de Fourier e a Eq. (1.5), obtemos ψ 3 = k=0 1 ψ j x j t j=0 = 1 t j=0 k=0 ω jk k x j. (1.6) O passo final é medir o primeiro registrador. Para analisar os possíveis resultados da medida, temos que obter a probabilidade do resultado ser digamos k 0. Isso não é uma tarefa simples, pois o valor do segundo registrador do estado (1.6) se repete para diferentes valores de j, pois x j x j+ar para qualquer valor de a modulo N. O postulado da medida diz que a probabilidade de obter k 0 é p(k 0 ) = ψ 3 P I ψ 3, (1.7)

7 1.. ALGORITMO QUÂNTICO PARA O CÁLCULO DE ORDEM 6 onde P = k 0 k 0, isto é, P é o projetor na direção de k 0 e I é o operador identidade atuando no segundo registrador. Substituindo ψ 3 na Eq. (1.7) e simplificando obtemos p(k 0 ) = 1 ( t ) j,j =0 ω (j j)k 0 x j x j. (1.8) Vamos analisar o termo x j x j. Esse termo é 0 ou 1 dependendo dos valores de j e j. Vamos nos concentrar nos valores de j e j tais que x j x j = 1 1. Nesse caso temos que j,j = 0, r, r,, isto é, j = ar, j = br onde a,b =0, 1,, ( t 1)/r. Os termos da Eq. (1.8) com estes valores de j e j são r a,b=0 Agora, os valores de j e j tais que ω (a b)rk0 = a=0 r ω ark0. (1.9) x j x j = x x são dados por j,j = 1, r +1, r + 1,. Os termos da Eq. (1.8) com estes valores de j e j são iguais ao da Eq. (1.9), exceto pelo limite superior do somatório. Uma vez que j e j começam de 1, o limite superior é agora ( t )/r. Levando este raciocínio adiante concluímos que a Eq. (1.8) se reduz a p(k 0 ) = 1 r t r 1 j=0 t 1 j r a=0 ω ark0. (1.10) A equação acima simplifica muito quando r é uma potência de. Este caso foi analisado em detalhes na Ref. [3]. Quando r não é uma potência de, podemos fazer o gráfico de um caso particular para perceber quais são os valores de k 0 mais prováveis. A Fig. 1. mostra o gráfico de p(k 0 ) quando N = 1, r = 6 e t = 9. Os valores mais prováveis de k 0 estão em torno de j = 0, 85, 171, 56, 341, 47, que são obtidos da fórmula j t /r para j de 0 até r 1. Esta conclusão é sempre válida. A estratégia para achar o valor de r é a seguinte. Medimos o primeiro registrador no final do algoritmo e dividimos o valor do resultado (k 0 ) por t. Existe uma chance razoável do valor de k 0 ter sido j t /r para algum j no intervalo 0,,r 1. Também é possível que j seja coprimo com r. Neste caso escrevemos o resultado como uma fração reduzida e o denominador é o valor de r. Este certamente é um algoritmo probabilístico. Porém não podemos ficar a mercê da sorte para achar o resultado. Na prática os algoritmos probabilísticos são superiores aos determinísticos. Para que isto seja verdade temos que garantir que a probabilidade de sucesso é superior a 1/. O método acima não garante probabilidade acima de 1/, pelo menos para o valor de t no intervalo especificado no começo da seção, isto é, N t N. Se t for aumentado, a probabilidade de sucesso vai aumentar, porém o uso de recursos será maior. Em vez de aumentar

8 1.. ALGORITMO PSfrag QUÂNTICO PARA O CÁLCULO DE ORDEM Figura 1.: Gráfico de p(k 0 ) quando r = 6 e t = 9. t para forçar que k 0 seja da forma j t /r, podemos tomar outro caminho. Quando o valor de k 0 for diferente de j t /r, o método de aproximação por frações contínuas permite-nos extrair a informação desejada com mais chance. Uma fração contínua de um número racional j 1 /j tem a forma j 1 1 = a 0 + j a 1 + 1, ap e é usualmente representada por [a 0,a 1,...,a p ], onde a 0 é um inteiro não-negativo e a 1,...,a p são positivos. O q-ésimo convergente (0 q p) é definido como um número racional [a 0,a 1,...,a q ]. Isto é uma aproximação para j 1 /j e tem o denominador menor que j. Este método é aplicado facilmente pela inversão da fração seguido pela divisão inteira com resto racional. Por exemplo, vamos supor que o resultado da medida tenha sido k 0 = 85 t /51, que é um valor razoavelmente provável de acordo com os parâmetros escolhidos na Fig. 1.. Invertendo 85/51 temos 51/85, que é igual a 6+/85. Repetimos o processo com /85 até obtermos o numerador 1. O resultado é = Assim, as convergências de 85/51 são 1/6, 4/53, e 85/51. Devemos selecionar os convergentes que tenham um denominador menor que N = 1 (já que r < N) 1. 1 A desigualdade r ϕ(n) segue do teorema de Euler: x ϕ(n) 1 mod N, onde x é um inteiro positivo coprimo com N e ϕ é a função totiente de Euler (ϕ(n) fornece o número de inteiros positivos menores que N, coprimos com N). A desigualdade ϕ(n) < N segue da definição de ϕ. (Veja [10] pág. 49.)

9 1.3. O PROBLEMA DO SUBGRUPO OCULTO 8 Este método fornece 1/6, então r = 6. Checamos que 6 1 módulo 1 e a parte quântica do algoritmo termina com a resposta correta. Caso contrário, isto é, se o valor de r encontrado não for a ordem de x, todo o algoritmo precisa ser reiniciado. A análise de probabilidade de sucesso é bastante trabalhosa e pode ser encontrada na Ref. [8]. 1.3 O Problema do Subgrupo Oculto O algoritmo de Shor pode ser visto como um caso particular de um problema muito mais geral conhecido como o Problema do Subgrupo Oculto (PSO) que formularemos adiante. Um grupo finito G de ordem N > 0 é um conjunto finito de N elementos distintos {g 1,g,,g N } junto com a definição de um produto associativo e fechado. Além disso existe um elemento especial chamado de identidade, denotado por e, tal que g i e = eg i, 1 i N. Todo elemento pode ser invertido, isso quer dizer que, dado g i existe um j tal que g i g j = g j g i = e. Denotamos g 1 i o elemento inverso. Na computação quântica associamos a G um espaço de Hilbert H N de dimensão N cuja base computacional é dada por { g 1,, g N }. Temos então que g i g j = δ i j. (1.11) O produto entre g i por outro elemento do grupo deve ser executado por um operador unitário U gi cuja atuação na base computacional é U gi g j = g i g j. (1.1) Note que dentro do ket do lado direito da equação acima temos o produto entre dois elementos do grupo G, que resulta num terceiro elemento também de G, portanto pertencente à base computacional. U gi é um operador unitário porque simplesmente executa uma permutação dos vetores da base computacional. O operador inverso é U g 1. A operação U gi tem que ser executada eficientemente, pois é a operação i mais básica do algoritmo. Se um grupo G é definido de forma que o produto de elementos não é executada eficientemente, não há a menor chance do PSO ser resolvido eficientemente. Um subconjunto de G é um subgrupo se o produto for fechado neste subconjunto, isto é, seja H um subconjunto de G e h 1,h H, então H é um subgrupo de G, denotado por H G, se h 1 h H para todo h 1,h em H. A partir de um subconjunto H podemos particionar G em classes laterais disjuntas da seguinte forma. Suponha que g 1 G, então o conjunto g 1 H = {g 1 h, h H} não tem nenhum elemento em comum com H e além disso tem a mesma cardinalidade de H. O próximo passo é achar um elemento de G que não esteja nem em H nem em g 1 H. Suponha que g seja um elemento deste tipo. A próxima classe lateral é g H que também não vai ter elementos em comum nem com H nem com g 1 H. Este processo continua até termos uma partição de G. O número de classes laterais é G / H, onde G e H são a ordem de G e H respectivamente. Se o produto de grupo são for comutativo, isto é, existem g i,g j G tal que g i g j g j g i, então o

10 1.3. O PROBLEMA DO SUBGRUPO OCULTO 9 conjunto g 1 H não é necessariamente igual a Hg 1. O conjunto g 1 H é chamado de classe lateral à esquerda enquanto que Hg 1 é chamado de classe lateral à direita. Um conjunto de elementos {g 1,g,,g k } gera o grupo G, denotado por g 1, g,, g k, se for possível obter todos os elemento de G através de produtos de elementos do conjunto gerador. O conjunto gerador pode ter uma cardinalidade bem inferior à ordem de G. É possível mostrar que é sempre possível escolher um conjunto gerador de cardinalidade menor ou igual a log G. Isso é importante em computação quântica, pois para descrever G podemos usar um conjunto cuja cardinalidade é bem inferior à ordem de G. Ou seja, o tamanho da entrada para um algoritmo que trabalha com G será O(log G ). Um algoritmo cujo número de passos seja da ordem de G é considerado ineficiente. Podemos agora descrever o PSO. O problema consiste em achar os geradores de um subgrupo H do grupo G. O grupo G é conhecido através de geradores e o subgrupo H pode ser obtido a partir de uma função f que é constante nas classes laterais de H, porém tem imagens diferentes para classes laterais distintas. Dizendo de outra maneira, f(g 1 ) = f(g ) se e somente se g 1 H = g H. O problema tem uma solução eficiente se conseguirmos achar os geradores de H de forma que o número de passos, uso de memória e número de vezes que f foi usada têm complexidade computacional O(poly(log G )). Uma solução não eficiente para o PSO pode ser descrita da seguinte maneira. Calcule f(g) para todos os elementos de G. Selecione os elementos h tais que f(h) = f(e). Como e H e somente os elementos de uma mesma classe lateral tem a mesma imagem segundo f, segue que todos elementos h tais que f(h) = f(e) estão em H. Neste caso conseguimos exibir todos os elemento de H. Esta solução é muito dispendiosa pois o número de consultas a f é da ordem de G. Além disso basta encontrarmos um conjunto gerador de H, cuja cardinalidade é bem inferior a H. Não há algoritmos clássicos eficientes para resolver o PSO. A razão principal é que classicamente temos que executar a avaliação da função f sequencialmente. Quanticamente existe a possibilidade de avaliação simultânea através do paralelismo quântico. Esta avaliação simultânea de f para todos os elemento do grupo G não é garantia de sucesso, pois a informação desejada deve ser extraída da superposição decorrente do uso do paralelismo quântico. Até o presente momento, foram encontradas soluções eficientes somente os grupos para os quais a informação desejada, isto é, o conjunto gerador do subgrupo H, era de alguma forma um período, de forma bem análoga ao que acontece no algoritmo de Shor. A informação desejada deve ser extraída via transformada de Fourier. Vamos ver agora porque o algoritmo de Shor é um PSO. Tome G = Z, isto é, o conjunto dos números inteiros com a operação usual de soma. O produto do grupo nesse caso é a soma. Note que a soma de números inteiros é associativa e fechada, tem um elemento identidade que é o 0 e todo número tem inverso que é o seu negativo. Portanto Z é um grupo com a operação soma. O grupo Z é gerado pelo conjunto {1}, isto é, Z = 1. Quando um grupo pode ser gerado por um conjunto gerador de um único elemento, o grupo é dito cíclico. No algoritmo

11 1.4. O PROBLEMA DO SUBGRUPO OCULTO ABELIANO 10 de Shor, temos um numero x menor que N escolhido aleatoriamente e queremos achar a ordem de x modulo N, isto é, queremos achar o menor inteiro positivo r tal que x r 1 mod N. Note que se r é a ordem de x, então qualquer múltiplo de r também tem resto 1 quando dividido por N. Ou seja, o conjunto dos números inteiros k tal que x k 1 mod N forma um subgrupo de Z. Assim o subgrupo oculto é H = {0,r, r,r, r, }. Note que os únicos geradores de H são r e r. A informação que queremos é um dos geradores de H. Note que se tivermos em mãos o negativo da ordem, facilmente encontramos a ordem. Isso mostra porque o algoritmo de Shor é um PSO. Porém tem um problema nesta história toda. A ordem de Z não é finita. Não podemos tomar um espaço de Hilbert tendo como base os elementos de Z, pois iríamos precisar de um computador quântico com um número infinito de qbits. A solução é usar um computador com um número finito de qbits pagando o preço de obter uma solução aproximada para r, mas cujo valor exato pode ser extraído via o método de frações contínuas com probabilidade superior a 1/. O algoritmo de Shor tem sido o paradigma de todos os algoritmos que resolvem o PSO de algum grupo G. No caso do algoritmo de Shor o grupo G é o grupo Z. A receita desenvolvida por Shor foi generalizada para qualquer grupo finito G abeliano (comutativo). Quando o grupo G não é abeliano, o paradigma funciona em algumas poucas classes de grupos, que incluem produtos semidiretos de grupos cíclicos e grupos nilpotentes de classe. Um enorme esforço tem sido feito pelos pesquisadores nessa área, porém novas idéias tem sistematicamente dado em becos sem saída. 1.4 O Problema do Subgrupo Oculto Abeliano Vamos descrever resumidamente como o PSO pode ser resolvido eficientemente quando o grupo G é abeliano. Teremos que usar recursos da teoria de grupos para os quais infelizmente não será possível fazer uma descrição didática neste texto. O conjunto Z N = {0,1,,N 1} com a operação de soma modulo N é um grupo cíclico gerado pelo elemento 1. Existe um resultado fundamental em teoria de grupos que afirma que qualquer grupo abeliano finito é isomorfo ao produto direto de grupos cíclicos, isto é G Z N1 Z Nk. Isso quer dizer que qualquer elemento de G pode ser expresso como uma combinação linear de elementos da base α 1 = (1,0,,0), α = (0,1,,0),, α k = (0,0,,1), ou seja, um elemento genérico de G é da forma g = (g 1,,g k ) onde g 1 Z N1 e assim por diante. Assim podemos escrever g = k g i α i. i=1 Um grupo abeliano G de ordem N tem N caráteres associados. Os caráteres são homomorfismos do grupo G para o conjunto dos números complexos unitários

12 1.4. O PROBLEMA DO SUBGRUPO OCULTO ABELIANO 11 (C ). Seja g 1 Z N1. O caráter χ g1 () : G C é definido como χ g1 (h 1 ) = ω g1h1 N 1, onde ω N1 é a N 1 -ésima raiz principal da unidade, isto é, ω N1 = e πi/n1. A potência g 1 h 1 é um número inteiro no grupo Z N1. Para um elemento genérico g de G, o caráter é definido por χ g (h) = ω g1h1 N 1 ω g kh k N k. A partir desta definição é simples de mostrar que χ g (h) = χ h (g). O conjunto de todos os caráteres de um grupo abeliano G forma também um grupo, onde o elemento identidade é o caráter χ e, o produto é a composição dos caráteres que obedecem a seguinte relação χ gh = χ g χ h. É possível mostrar que o grupo dos caráteres, denotado por χ(g), é isomorfo ao próprio G. Suponha que os elementos de G sejam {γ 1,,γ N }. Vamos definir N vetores no espaço de Hilbert de dimensão N indexados pelos elementos de G ψ g = 1 N χ g (γ 1 ) χ g (γ ). χ g (γ N ) Isto é, para cada g G temos um vetor diferente. É possível mostrar que esse conjunto de vetores forma um base ortonormal. Uma matriz construída com estes N vetores como colunas é unitária por construção. Esta matriz é a tranformada de Fourier F G do grupo G. Temos então a seguinte expressão F G g = 1 N γ G χ g (γ) γ, ou seja, ψ g é a transformada de Fourier do vetor g. A transformada de Fourier no grupo G pode ser implementada a partir da transformada de Fourier em cada grupo cíclico Z Ni, de fato, vale a relação F G = F N1 F Nk. Dado um subgrupo H G, podemos definir o grupo ortogonal H como H = {g G χ g (h) = 1 para todo h H}. H é um grupo devido a propriedade χ gh = χ g χ h. É possível mostrar, embora trabalhoso, que o grupo H é isomorfo ao grupo fator G/H e portanto temos que a cardinalidade de H é G / H. Outra propriedade importante de H é (H ) = H, que segue da propriedade χ g (h) = χ h (g). Vemos por estas propriedades que H e

13 1.4. O PROBLEMA DO SUBGRUPO OCULTO ABELIANO 1 H estão muito relacionados. De fato, é possível obter eficientemente os geradores de H a partir dos geradores de H. Agora podemos descrever o algoritmo que resolve o PSO abeliano. Temos então um grupo abeliano G, e uma função f : G {0,1} m que esconde um subgrupo H. Isto é, f é constante em H e em suas classes laterais, porém a imagem de f é diferente para classes laterais diferentes. A estrutura geral do algoritmo é similar ao algoritmo descrito na Fig Vamos usar dois registradores, o primeiro deve armazenar os elemento de G enquanto que o segundo deve armazenar as imagens dos elemento de G pela função f, isto é, deve ter m qbits. O computador quântico é iniciado no estado ψ 0 = 0 k 0 m, onde 0 k é o elemento neutro de G. O primeiro passo é aplicar a transformada de Fourier F G ao primeiro registrador. Esse passo é equivalente a aplicar a transformação de Hadamard H a cada qbit do primeiro registrador da Fig O resultado é ψ 1 = 1 g 0 m. G O próximo passo é aplicar o operador unitário U f definido da seguinte forma g G U f g x = g x f(g), onde a operação x f(g) é a soma binária calculada no contradomínio da função f. Aplicando U f ao estado ψ 1 obtemos ψ = 1 g f(g). G g G Vamos agora executar um passo intermediário que será medir o segundo registrador. Vamos supor que o resultado da medida foi f(g 0 ). Todos os estados g do primeiro registrador cuja imagem pela função f é igual a f(g 0 ) sobrevivem à medida. Uma vez que f(g 1 ) = f(g ) se e somente se g 1 H = g H, segue que somente os elemento da classe lateral g 0 H sobrevivem. Portanto após a medida temos que ψ = 1 H h g 0H h f(g 0 ). Temos em mãos uma superposição de todos os elementos de uma classe lateral de H. Qual é classe lateral? Sabemos da teoria da medida, que todos os resultados f(g) são equiprováveis, portanto a classe lateral resultante é aleatória. Vamos ver agora que isso não representa nenhum problema. Vamos eliminar o segundo registrador, pois ele não tem mais nenhuma função no algoritmo daqui para frente. O próximo passo é aplicar a transformada de Fourier ao primeiro registrador. Usando a expressão de F G obtida anteriormente temos que F G 1 H h g 0H h 1 = H G γ G h g 0H χ h (γ) γ.

14 1.5. NOTAS BIBLIOGRÁFICAS 13 Como h g 0 H, segue que h = g 0 τ para algum τ H. Sabemos que χ g0τ = χ g0 χ τ e χ g (h) = χ h (g), então temos h g 0H χ h (γ) = χ γ (g 0 ) τ H χ γ (τ). Se γ H então χ γ (τ) = 1. A soma acima resulta χ γ (g 0 ) H. Este valor é a amplitude do estado γ após a aplicação de F G. Segue que F G 1 h H = χ γ (g 0 ) γ. H h g 0H G γ H Os termos tais que γ H devem ter amplitude zero pois a ordem de H é G / H. Assim o estado final do computador quântico é H ψ 3 = χ γ (g 0 ) γ. G γ H O passo final é medir o primeiro registrador para obter um elemento γ H. Esse processo deve ser repetido um número da ordem log G, pois com uma probabilidade acima de 1/ encontramos um conjunto gerador para H. A partir desse conjunto gerador é possível obter um conjunto gerador para H eficientemente. 1.5 Notas Bibliográficas As referências mais básicas de computação quântica que recomendamos são [, 3, 1, 6, 4, 16]. Detalhes sobre a transformada de Fourier podem ser encontrado nas referências [, 3]. Outras referências relevantes são [, 11, 13, 6, 7, 0, 5]. A referência original do algoritmo de Shor é [5]. Uma descrição didática pode ser encontrada em [17]. Outras referências relevantes são [8, 3]. Um método alternativo para encontrar a ordem de um número inteiro é usando algoritmo de cálculo de fase descrito nas referências [, 15]. Algumas das principais referências sobre o problema do subgrupo oculto são [19, 14, 18, 9, 1]. O problema do subgrupo necessita do algoritmo para decompor grupos abelianos finitos que foi descrito pela primeira vez em [4]. Outra referência relevante é [1].

15 Bibliografia [1] D. Aharonov. Quantum computation. In Dietrich Stauffer, editor, Annual Reviews of Computational Physics, volume 6. World Scientific, [] A. Barenco, A. Ekert, K.-A. Suominen, and P. Törmä. Approximate quantum Fourier transform and decoherence. Phys. Rev. A, 54: , [3] D. Beckman, A. N. Chari, S. Devabhaktuni, and J. Preskill. Efficient networks for quantum factoring. Phys. Rev. A, 54:1034, [4] K.K.H. Cheung and M. Mosca. Decomposing finite abelian groups. J. Quantum Inf. Comp., 1(3):6 3, 001. [5] R. Cleve. A note on computing Fourier transforms by quantum programs [6] R. Cleve and J. Watrous. Fast parallel circuit for the quantum Fourier transform. In 41th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, page 56, 000. [7] D. Coppersmith. An approximate Fourier transform useful in quantum factoring. Technical Report IBM Research Report 1964, IBM, [8] A. Ekert and R. Jozsa. Notes on quantum factoring. 68: , [9] M. Ettinger and P. Hoyer. On quantum algorithms for noncommutative hidden subgroups. In Proc. 16th STACS, pages , Final version in Adv. in Appl. Math.. [10] J. von zur Gathen and J. Gerhard, Modern Computer Algebra, Cambridge University Press, Cambridge (1999). [11] R. B. Griffiths and C.-S. Niu. Semiclassical Fourier transform for quantum computation. Phys. Rev. Lett., 76:38, [1] M. Grigni, L. Schulman, M. Vazirani, and U. Vazirani. Quantum mechanical algorithms for the nonabelian hidden subgroup problem. In Proc. 33th STOC, pages 68 74, 001.

16 Bibliografia 15 [13] L. Hales and S. Hallgren. An improved quantum Fourier transform algorithm and applications. In Proc. 41st Ann. Symp. on Foundations of Computer Science, pages , Redonda Beach, California, November 000. [14] R. Jozsa. Quantum factoring, discrete logarithms and the hidden subgroup problem, 000. Prepared for IEEE Computing in Science and Engineering. [15] A. Kitaev. Quantum measurements and the abelian stabilizer problem, [16] A. Yu. Kitaev, A. H. Shen, and M. N. Vyalyi. Classical and quantum computation. Graduate studies in mathematics. American Mathematical Society, Providence, Rhodes Island, 00. [17] C. Lavor, L.R.U. Manssur, and R. Portugal. Shor s algorithm for factoring large integers. quant-ph/ , 003. [18] S.J. Lomonaco Jr. and L.H. Kauffmann. Quantum hidden subgroup problems: a mathematical perspective. quant-ph/001095, 00. [19] C. Lomont. The hidden subgroup problem: review and open problems. quantph/ , 004. [0] C. Lomont. A quantum Fourier transform algorithm. Los Alamos arxiv, quant-ph/ , 004. [1] M. Mosca. Quantum Computer Algorithms. PhD thesis, University of Oxford, [] M. A. Nielsen and I. L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, Cambridge, UK, 000. [3] R. Portugal, C.C. Lavor, L.M. Carvalho, and N. Maculan. Uma Introdução à Computação Quântica, volume 8 of Notas em Matemática Aplicada. SBMAC, 004. [4] E.G. Rieffel and W. Polak. An introduction to quantum computing for nonphysicists. ACM Comput. Surv., 3(3): , 000. [5] P. W. Shor. Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer. SIAM J. Comput., 6: , [6] A. M. Steane. Quantum computing. 61:117, 1998.