A Função Consumo em Portugal: Uma Abordagem Macroeconométrica

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1 Universidade Nova de Lisboa Faculdade de Economia A Função Consumo em Porugal: Uma Abordagem Macroeconomérica Anónio Rua David Almas Resumo: Ese arigo propõe uma função consumo agregado para o conexo poruguês. Perane a exisência de coinegração enre as variáveis em esudo, foi esimado um modelo uni-equacional para enar modelar o comporameno da função consumo agregado. Foi possível concluir pela exisência de uma relação posiiva enre o consumo e o rendimeno disponível (elasicidade uniária) e uma relação negaiva enre o consumo e a axa de uro real e a axa de inflação. Ese rabalho foi elaborado no âmbio da cadeira de Economeria Aplicada da Licenciaura em Economia da Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa. Agradecemos a orienação do Dr. Robalo Marques na realização dese rabalho. Quaisquer erros ou omissões são da exclusiva responsabilidade dos auores.

2 . Inrodução A função consumo em sido obeco de um esudo empírico considerável, provavelmene com uma exensão superior a qualquer oura relação em economia. Iso verifica-se alvez devido ao faco do consumo represenar a mais imporane componene da procura agregada. Daí que, a compreensão do comporameno do mesmo se orne imprescindível para a correca modelização macroeconómica. O conceio de função consumo foi inroduzido por John Maynard Keynes (936), baseando-se na hipóese de que exise uma relação empírica esável enre o consumo e o rendimeno disponível. Nessa relação, a propensão marginal a consumir e a elasicidade consumo rendimeno são posiivas, mas inferiores à unidade, iso é, dc dc Y C=f(Y) com < <, < <, () dy dy C sendo C e Y o consumo e o rendimeno disponível respecivamene. Duesenberry (949), aravés da eoria do rendimeno relaivo, procurou mosrar que os consumidores são influenciados não só pelo seu rendimeno correne, mas ambém pelo rendimeno mais elevado obido no passado, ou sea, C = α + βy + γy max + u () sendo Y = Max{ Y Y Y } max,,..., resulane de C Y i i, Yi = α + β + u Y i i para o consumidor i e onde Y i é a média dos seus rendimenos. O desenvolvimeno da proposa de Duesenberry realizado por Brown (95), levou-o a sugerir que os consumidores apenas aleram o seu comporameno lenamene, pelo que, para além do rendimeno disponível, o consumo ocorrido no período anerior ambém afeca o consumo correne. Assim, a dependência dos hábios de consumo foi represenada pela inclusão enre os regressores do lag da variável dependene, em vez do valor mais alo assumido pelo rendimeno, ficando C = α + βy + γc + u. (3) A eoria do rendimeno permanene, da auoria de Milon Friedman (957), posula que o consumo é proporcional ao que o consumidor considera como rendimeno normal, dio permanene, e não ao que possa er sido o seu rendimeno durane os períodos passados. Iso é, o consumidor não considera variações foruias no seu rendimeno ao esabelecer o seu padrão de consumo. O rendimeno

3 correne é definido como sendo a soma do rendimeno permanene (Yp) e do rendimeno ransiório (Y), o mesmo aconecendo para o consumo (C=Cp+C). Assim, Cp = kyp com Yp = γ γ Y (4) ( ) = implicando, ao conrário do que aconecia com Keynes, uma elasicidade consumo rendimeno uniária. Segundo o modelo do ciclo de vida de Modigliani (957), os indivíduos planeiam as suas decisões de consumo e poupança ao longo do empo com a inenção de afecar da melhor maneira possível o seu consumo ao longo das suas vidas. Desa forma, o consumo correne esá relacionado não apenas com o rendimeno, mas ambém com a riqueza deida pelos indivíduos (A) e com o rendimeno esperado no fuuro (Y e ), ou sea, e C = αa + βy + γy + u. (5) Devido a problemas de agregação, Ando e Modigliani (963) exprimem Y e em ermos de Y C α + β Y + u, (6) = A o que pode ser simplificado, como foi sugerido por Davidson e al. (978), de modo a eviar medir os acivos (A), fazendo A = A + Y C, obendo-se desa forma ( α β ) Y + α ) C u C β + (7) = Y + ( com u u u. = Do exposo, decorre a naural uilização do consumo privado como variável dependene e como regressor o rendimeno disponível. Além dese úlimo, deve incluir-se a axa de inflação, viso que corrói o valor real da riqueza, bem como a axa de uro real, pois influencia a resrição orçamenal ineremporal do consumidor.. Análise das séries cronológicas Nesa secção, levar-se-á a cabo a análise prévia do ipo de comporameno específico de cada série. O período amosral uilizado inicia no ano de 959 erminando em 997. Para mais dealhes ver Sachs e Larrain (993). Nas resanes secções foi uilizada a amosra apenas aé ao ano de 995, com o obecivo de serem realizadas previsões para os dois anos seguines.

4 Seam as variáveis: 3 C=logarimo do Consumo Privado a preços de 988; Y=ln(RDP/DCP), sendo RDP o Rendimeno Disponível dos Pariculares a preços correnes e DCP o Deflaor do Consumo Privado (base 988); π=primeira diferença do logarimo do Deflaor do Consumo Privado (base 988); r=ln(+tjn)-π, onde TJN é a Taxa de Juro Nominal. Aravés da inspecção gráfica 4, pode er-se uma ideia relaivamene à ordem de inegrabilidade das séries. Enquano que o consumo e o rendimeno disponível aparenam ser não esacionários em orno de uma endência linear, a axa de inflação e a axa de uro exibem não reversão à média. Mediane essa consaação orna-se apenas relevane considerar, no âmbio do esudo da exisência ou não de raízes uniárias, um modelo com consane e endência para as séries do consumo e do rendimeno disponível e um modelo apenas com consane para a axa de uro real e para a axa de inflação. De seguida procede- -se à realização de alguns eses de raízes uniárias com o inuio de conhecer a ordem de inegrabilidade de cada uma das séries. O ese ADF (Augmened Dickey-Fuller) de Dickey e Fuller (979) assume que y segue um processo auo-regressivo de ordem p. Apesar do ese ADF assumir que y segue um processo auoregressivo puro, na práica ese ese é uilizado para odo o ipo de séries, denro do pressuposo de que se pode aproximar qualquer processo ARMA por um AR de ordem suficienemene elevada. 5 Obeve-se: y = µ + β + γy Valores críicos 6 : τ 5% τ =-3,5 τ % τ =-4,. γ γ µ µ β β Consumo -,74 -,5,599,66,,98 Rendimeno Disponível -,73 -,3,596,7,,64 y = µ + γy Valores : τ 5% µ =-,93 τ % µ =-3,6. γ γ µ µ Consumo -,6 -,65,53 3, Rendimeno Disponível -,3 -,4,37,46 Taxa de Inflação -, -,53,,5 Taxa de Juro Real -,54 -,7, -,8 y γy Valores críicos6 : τ 5% =-,94 τ % =-,6. = γ γ Taxa de Inflação -,4 -,87 Taxa de Juro Real -,53 -,3 O ese ADF não reeia a hipóese de cada variável coner uma raíz uniária. 3 Os dados referenes ao Consumo Privado e ao Rendimeno Disponível dos Pariculares foram exraídos das Séries Longas das Conas Nacionais do Banco de Porugal e de Relaórios do Banco de Porugal e provenienes do Insiuo Nacional de Esaísica; a Taxa de Juro Nominal foi obida das esaísicas anuais do Fundo Moneário Inernacional. 4 Consular os gráficos das séries e das primeiras diferenças em anexo. 5 Para mais dealhes ver Said e Dickey (984). 6 Diga-se a ese respeio que Mackinnon (99) permie que eses valores críicos seam calculados aravés da fórmula β β C ( p ) = β + + T T para qualquer número de observações. 3

5 Phillips e Perron (988) propuseram uma forma alernaiva de abordar o problema de auocorrelação nos resíduos, a chamada abordagem não paramérica. A aplicação dese ese emana os seguines resulados: ( ) y = µ + β T y + u Z(ρ) Z(τ ρ) Valor críico a 5%=-9,8 Valor críico a 5%=-3,5 Consumo -,46 -, Rendimeno Disponível -,65 -,7 y = + y + u µ Z(ρ) Z(τ ρ) Valor críico a 5%=-3,3 Valor críico a 5%=-,93 Taxa de Inflação -3,64 -,35 Taxa de Juro Real -6,79 -,9 Também o ese de Phillips-Perron não reeia a hipóese de cada variável ser individualmene inegrada de ordem. Kwiakowski, Phillips, Schmid e Shin (99) sugeriram um ese cua principal caracerísica é a inversão das hipóeses em ese, iso é, a hipóese nula assume que a série é esacionária e sob a hipóese alernaiva a série é inegrada de ordem um. A vanagem dese ese resula da fala de poência dos eses convencionais, iso é, endem a não reeiar a hipóese nula com demasiada frequência. A realização dese ese forneceu as seguines informações 7 : Número de desfasamenos H : Esacionaridade em endência Valor críico a 5%=,46 Consumo,786,4,86,5,9,67,5 Rendimeno Disponível,889,47,33,59,7,9,7 H : Esacionaridade em níveis Valor críico a 5%=,463 Taxa de Inflação,,64,44,33,79,43,8 Taxa de Juro Real,84,463,33,6,,94,76 Uma vez que as conclusões sobre a esacionaridade das séries são muio sensíveis ao número de desfasamenos uilizado, ese ese pode revelar-se pouco robuso. Nese caso concreo, mesmo para um número de desfasamenos superior ao que se enconra abelado, o valor do ese para as diferenes séries não chega a esabilizar pelo que se orna suspeia qualquer conclusão que se procure reirar. É imporane que um ese de raízes uniárias enha um desempenho adequado quando se deeca a componene MA numa série. Agiakloglou e Newbold (99) e Schwer (987, 989) aravés de simulação mosraram usando um modelo ARIMA(,,) que os valores críicos dos eses de raízes uniárias habiuais, ais como o ese ADF e o ese de Phillips-Perron, não são apropriados excepo se o coeficiene MA for próximo de zero. Tal parece indicar que os eses mais usados não são apropriados para o ipo de séries sobre os quais são aplicados. 7 Para mais dealhes ver Marques (998). 4

6 Leybourne e McCabe (994) sugeriram um ese em que a hipóese nula é um processo ARIMA (p,,) esacionário e a hipóese alernaiva é consiuída por um processo ARIMA(p,,) não esacionário com um coeficiene MA() posiivo. À semelhança do ese KPSS, ese ese posula como hipóese nula a esacionaridade, conudo o raameno concedido à auocorrelação sob a hipóese nula é subsancialmene diferene. Enquano que ese ese aborda o problema da auocorrelação de uma forma paramérica incluíndo ermos desfasados em y na especificação inicial, o ese KPSS uiliza a especificação mais simples do modelo e modifica o ese de forma não paramérica. A realização dese ese forneceu os seguines resulados 8 : consumo S β (p=)=,55; rendimeno disponível S β (p=3)=,737; axa de inflação S α (p=)=,76; axa de uro real S α (p=3)=,. A ordem p da componene AR foi seleccionada aravés dos criérios de informação de Akaike e de Schwarz seguida de uma avaliação de diagnósico com o inuio de verificar se os resíduos da regressão se aproximavam de um ruído branco, aravés da esaísica Q de Lung-Box, por exemplo. A aplicação dese ese permie-nos concluir que as variáveis são I() Teses de coinegração Ao longo deses úlimos anos, em-se despoleado um grande ineresse sobre o problema de como esar a exisência de coinegração enre variáveis económicas inegradas. O esabelecimeno de uma relação de coinegração enre elas implica que exise um equilíbrio de longo prazo enre as mesmas, equilíbrio esse que desempenha um papel muio imporane na eoria económica. O ese mais simples é o CRDW (Coinegraion Regression Durbin-Wason) proposo por Sargan e Bhargava (983) e que se baseia na esaísica DW obida da regressão coinegrane C =,437+,949Y -,799π -,6r (,53) (4,75) (-3,9) (-,43) T=37 [ ] R =,99 Desvio-padrão=,36 DW=,55. A hipóese nula em ese é a de que as variáveis não esão coinegradas, pelo que a esaísica DW deve assumir valores próximos de zero. No caso paricular em esudo, obém-se uma DW igual a,55 que nos permie reeiar a ausência de coinegração. Conudo, o ese CRDW não engloba a possibilidade de exisência de auocorrelação de ordem superior à unidade nos resíduos, pelo que, em geral, não é uma esaísica muio aconselhável. Ouro ese que permie esar a esacionaridade dos resíduos da regressão coinegrane e porano esar a exisência de uma relação de coinegração enre as variáveis nela presenes, é o ese ADF. O resulado dese ese, ADF()=-4,75, permie-nos concluir que exise coinegração enre as variáveis. 8 Ver a descrição do ese em anexo. 9 Para um nível de significância de 5% o valor críico para S α é,463 e para S β é,46. Enre parenesis enconram-se os -rácios. O valor críico correspondene a um nível de significância de 5% e calculado segundo a fórmula de Mackinnon (99) é 4,4. 5

7 Ouros eses que ambém posulam como hipóese nula a ausência de coinegração são aqueles que foram proposos por Phillips e Ouliaris (99). Obeve-se Z$ ( ρ $) =-9,7 e Z$ ( τ $) =-4,84, iso é, o ese Z$ ( ρ $) permie reeiar a hipóese de ausência de coinegração a um nível de significância de %, enquano que o ese Z $ ( τ $) possibilia-nos concluir que exise coinegração a um nível de significância de 5%. Viso que os eses cua hipóese nula é a inexisência de coinegração endem frequenemene a não reeiar essa hipóese, e uma vez que a eoria económica posula principalmene relações de longo prazo, enão parece naural admiir a exisência de coinegração como hipóese nula. Denro desa classe de eses enconramos aquele que foi proposo por Shin (994). Os resulados obidos foram os seguines: Número de desfasamenos C µ Valor críico a 5%=,59,438,496,74,835,794,739,869 A realização dese ese permie-nos não reeiar a hipóese de exisência de coinegração para as séries em esudo. McCabe, Leybourne e Shin (997) propuseram um ese de coinegração onde é realizado um ausameno paramérico de forma a er em consideração uma possível esacionaridade do vecor dos resíduos. Além disso, ambém o exenderam para o caso em que os regressores esão coinegrados enre si. O valor obido 3 foi S(p=)=,6 (valor críico a 5% é,56) em que a ordem p da componene AR foi seleccionada aravés dos criérios de informação de Akaike e de Schwarz seguida de uma avaliação de diagnósico com o inuio de verificar se os resíduos da regressão se aproximavam de um ruído branco, aravés da esaísica Q de Lung-Box, por exemplo. Os resulados empíricos da aplicação dese ese vêm reforçar a conclusão de exisência de coinegração enre as variáveis em esudo. 4. Ensaio de hipóeses sobre o vecor coinegrane Nesa secção procede-se ao ese da hipóese de elasicidade uniária do rendimeno em ordem ao consumo. Sea y uma variável escalar e x um vecor de k variáveis explicaivas e considere-se a seguine regressão de coinegração y = β + β' x + z (8) x + u = x Se y e x forem I(), mas z e u forem I() enão para p=k+, o vecor p dimensional (y,x ) esá coinegrado, sendo o vecor coinegrane (, -β,-β ). No caso em que exise correlação não nula enre z Den Haan e Levin (996) mosraram que os procedimenos baseados em ausamenos paraméricos êm um melhor desempenho do que aqueles baseados em ausamenos não paraméricos. 3 Ver a descrição do ese em anexo. 6

8 e u os esimadores dos mínimos quadrados dão origem a disribuições não sandard, conudo, mesmo nesse caso, exise a possibilidade de consruir eses de hipóeses, desde que se eliminem os efeios da correlação enre z e u. Saikkonen (99), Phillips e Lorean (99) e Sock e Wason (993) sugerem a inclusão de leads e lags de x em (8) como forma de corrigir a correlação enre z e u. Defina-se k z = γ ' u ~ z (9) s= k s s + e uma vez que u = x enão a equação (8) pode escrever-se y k + β ' x + γ s s= k = β ' u v. () s + Se se admiir que a correlação enre z e u -s é zero para s > k, enão ao esimar-se a equação () pelos mínimos quadrados ordinários pode usar-se o -rácio dos mínimos quadrados muliplicado por um esimador consisene do rácio disribuição de Suden). Um esimador consisene para Por sua vez, um esimador consisene para esimando o modelo AR(k) ( σ v ) σ para realizar um ese (uilizando as abelas sandard da σ v é obido por vˆ σ ˆ v =. T σ (variância de longo prazo de v ) pode ser obido v$ = φ v$ φ v$ + e k k $ obendo σ$ = σ e φ$... φ$ k σ e onde $ = T e$ = k + T k. Nese caso paricular, preende-se realizar um ensaio de hipóeses sobre a elasicidade de longo prazo do rendimeno em ordem ao consumo. Esimou-se a seguine regressão 4 C =-,3+,4Y -,7π +,5r +,6 π +3 +, π + +,9 π + +,79 π +,49 π - +,8 π - + (,6) (,4) (,7) (,88) (,39) (,43) (,55) (,53) (,49) (,49) +,5 π -3 -,7 Y +3 -,7 Y + +,3 Y + -,67 Y -,5 Y - -,39 Y - -,5 Y -3 +,89 r +3 + (,49) (,7) (,9) (,4) (,6) (,8) (,6) (,) (,47) +,95 r + +,67 r + +,75 r +,48 r - +,54 r - +,97 r -3 + $v, (,46) (,5) (,6) (,55) (,46) (,37) 4 Enre parenesis enconram-se os desvios-padrão. 7

9 sendo σ ˆ v =,45. Preende-se esar a hipóese nula que o coeficiene de Y é igual a um (iso é, elasicidade consumo-rendimeno uniária). =(,43-)/,4334=,93498 Ausando um AR() aos resíduos $v obém-se vˆ =,77ˆ v,473ˆ v + eˆ com σ ˆ =, 359. e Dese modo a esimaiva para σ vem dada porσ ) =, 36 e o ese da hipóese nula vem σˆ. v =,4 σˆ o que nos permie concluir que a um nível de significância de 5% não se reeia a hipóese nula da elasicidade ser uniária. 5. Esimação da função consumo agregado Aravés da realização dos eses de coinegração foi possível consaar que as variáveis consumo, rendimeno disponível, axa de uro real e axa de inflação podem consiuir uma relação de longo prazo esacionária. Assim, nesa secção proceder-se-á à esimação de uma função de consumo agregado. Consideremos o modelo ADL(p,s,m,n) C p s m n + α C + φ Y + β π + γ r + ε = = = = = α () obendo aravés da reparamerização proposa por Bårdsen (989) o seguine modelo p α C + φ Y + β π + = s m n γ r + µ C + Y + = = = C = α + µ + µ π + µ 4r + ε 3. () 8

10 erro Podendo ese por sua vez ser reparamerizado na forma do modelo do mecanismo correcor do C = α + p α C + φ Y + β π + = s m n γ r + = = = [ C θy θ π θ 3r ] ε + µ + (3) com os muliplicadores de longo prazo dados por θ µ =, µ θ µ µ 3 = e θ µ 4 3 =. µ O modelo () pode ser esimado pelo méodo dos mínimos quadrados. Esa abordagem que consise em esimar o vecor coinegrane direcamene a parir da própria especificação dinâmica é geralmene designado por méodo de um só passo e é uma via alernaiva ao méodo dos dois passos proposo por Engle e Granger (987). O principal argumeno a favor desa meodologia prende-se com o enviesameno do esimador dos mínimos quadrados na regressão esáica de coinegração uilizada no primeiro passo do méodo dos dois passos, pois a propriedade de super-consisência do referido esimador, sendo um resulado assimpóico, não impede a exisência de enviesamenos em amosras finias. 5 De faco, os enviesamenos em relação ao vecor coinegrane são, em geral, muio menores quando a dinâmica de curo prazo é modelada em conuno com a relação de longo prazo do que na regressão esáica. Assim para o modelo irresrio procurou-se ober um modelo mais parcimonioso. A função consumo agregado esimada vem dada por 6 C =,393 Y -,993C - +,38Y - -,5684π - -,39r - (,66) (-,85) (,9) (-4,68) (-,3) T=36 [96-995]; Desvio-padrão=,9; AR F(,3)=,5 [,9598]; ARCH F(,9)=3,763 [,63]; Normalidade χ ()=,74 [,9865]; Heeroescedasicidade F(,)=,659 [,76]; RESET F(,3)=,46599 [,5]; Forecas χ ()=5,68 [,584]; Chow F(,3)=,369 [,3]. 7 Para os muliplicadores de longo prazo, emos: θ =,, θ =-,89 e θ 3 =-,9. 5 Baneree, Dolado, Hendry e Smih (986) mosraram por simulação que os enviesamenos podem ser significaivos. 6 Enre parenesis enconram-se os -rácios. 7 F(Num, Denom)=Valor [Probabilidade], χ (Graus de liberdade)=valor [Probabilidade]. 9

11 Da observação dos resulados dos eses de diagnósico concluímos que nenhum deles é significaivo a 5%, pelo que aparena esarmos na presença de resíduos aproximadamene normais, ipo ruído branco e homoescedásicos. A figura 5 mosra-nos os valores efecivos e esimados unamene com os resíduos da equação esimada que indicam um ausameno razoável. Os indicadores de esabilidade dos parâmeros do modelo podem ser obidos aravés da análise da figura 6. No primeiro gráfico, observam-se os resíduos recursivos limiados pelas bandas de dois desvios-padrão; no segundo enconra- -se a sequência da esaísica Chow para a previsão de um período à frene; no erceiro, emos a sequência para a esaísica Chow com horizone decrescene (N ) e por úlimo, emos a sequência para a esaísica Chow com horizone crescene (N ). A figura 7 coném os gráficos das séries das esimaivas para cada coeficiene ao longo do empo, unamene com um inervalo de confiança permiindo analisar a esabilidade dos mesmos. Na figura 8 emos a previsão do consumo agregado para 996 e 997, previsões essas que podem ser consideradas boas. 6. Conclusão Ese rabalho, eve como fim a aplicação da meodologia de coinegração de séries macroeconómicas ao esudo da função consumo em Porugal. Inicialmene, foi abordada a quesão da exisência ou não de raízes uniárias nas séries relevanes para o referido esudo. De faco, foi nossa inenção confronar os eses convencionais com eses poseriormene desenvolvidos, de modo a chamar a aenção para os evenuais problemas que podem advir da sua uilização, ainda que os resulados convergissem para a mesma conclusão. Relaivamene à exisência de coinegração enre as variáveis, foram uilizados diversos procedimenos para o seu ese, que nos permiiram ober confirmação empírica. A esimação de um modelo uni-equacional apresena resulados esaísicos saisfaórios. Além disso, odos os parâmeros obidos êm os valores com sinal consisene com a Teoria Económica para as respecivas variáveis. É de realçar os efeios negaivos e significaivos da axa de uro real e da axa de variação do índice de preços no consumidor.

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14 Saikonnen, P. (99): Asympoically Efficien Esimaion of Coinegraion Regression, Economeric Theory 7, -. Sargan, J. D. e Bhargava, A. (983): Tesing Residuals from Leas Squares Regression for Being Generaed by Gaussian Random Walk, Economerica 5, Schmid e Phillips (99): LM ess for a Uni Roo in he Presence of Deerminisic Trends, Oxford Bullein of Economics and Saisics, 54, Schwer (989): Tess for Uni Roos: a Mone Carlo Invesigaion, Journal of Business & Economic Saisics, vol. 7, nº, Schwer, G.W. (987): Effecs of Model Specificaion on Tess for Uni Roos in Macroeconomic Daa, Journal of Moneary Economics,, Shin, Y. (994): A Residual-Based Tes of he Null of Coinegraion Agains he Alernaive of No Coinegraion, Economeric Theory, 9-5. Sock, J. H. e Wason, M. W. (993): A Simple Esimaor of Coinegraion Vecors in Higher Order Inegraed Sysems, Economerica 6, Tanaka, Kasuo (996): Time Series Analysis, John Wiley & Sons Inc. Turnovsky, Sephen J. (996): Mehods of Macroeconomic Dynamics, MIT Press. 3

15 8. Anexos Tese de raízes uniárias de Leybourne e McCabe (994) Sea o modelo Φ( L) y = α + β + ε (i) com α = α + η, α = α, =,,T P onde Φ( L) = φ L φ L... φ L é um polinómio auo-regressivo de ordem p em L (operador p lag) com raízes fora do círculo uniário, ε ~ i. i. d.(, ), η ~ i. i. d.(, σ η ), ε e η são σ ε independenes um do ouro e ambos êm disribuição normal. A hipóese nula de esacionaridade conra a alernaiva de não esacionaridade pode ser formulada da seguine maneira H :σ η = H :σ η > A esaísica de ese pode ser obida da seguine forma y = y φ y i i i= p (ii) onde φ i são as esimaivas da máxima verosimilhança de φ i obidas a parir do modelo ARIMA(p,,) ausado y p = β + φ y + ζ θζ. (iii) i i i= Para o modelo com consane e endência a esaísica de ese vem dada por S$ = σ$ T ε$' Vε$ (iv) β ε em que V é uma mariz (T T) cuo elemeno (i,) é igual ao mínimo de i e e σ$ = T ε$' ε$ é um esimador consisene para σ ε, sendo $ ε o resíduo obido da esimação pelo méodo dos mínimos quadrados de y numa consane e numa endência. ε 4

16 Para o modelo com consane e sem endência, a esaísica de ese é a seguine S$ = σ$ T ε$' Vε$ (v) α ε em que $ ε é o resíduo da regressão de y sobre uma consane. Os valores críicos a uilizar na realização do ese são os mesmos do ese KPSS e à semelhança dese úlimo, ese ese deve ser calculado para vários valores de p. Além disso, o ese KPSS é basicamene uma versão simplicada dese ese em que o modelo subacene é o modelo (i), mas com a resrição p= imposa. Ese ese é consisene à axa ο p (T) em vez de ο p (T /3 ) como aconece no KPSS sob a hipóese alernaiva I() e é empiricamene mais poene, eviando a endência do ese KPSS para ser monoonamene decrescene no parâmero de runcagem. Tese de coinegração de McCabe, Leybourne e Shin (997) Sea: H H :σ = (coinegração) :σ > (ausência de coinegração). Assumir que H é verdadeira al que y = α + x' β + x' π + v (vi) = n φ ( L) v n = ε com ε ~ (, σ ) e onde x é uma mariz com k variáveis I() ( x processo ARMA com média nula e variância Σ ). ( k k ) A esaísica de ese é dada por = x + µ, em que µ é um S = T σ$ ε$' Vε $ (vii) assumindo que Σ é uma mariz definida posiiva e em que $ ε é um vecor T conendo ε$ = v$ φ$ v$ i i i= p, sendo $ φ i as esimaivas de máxima verosimilhança dos coeficienes AR quando um modelo ARIMA(p,,) é ausado aos resíduos de mínimos quadrados $v do modelo (vi) como uma 5

17 T T pseudo-verosimilhança. A forma ε$' V ε$ é equivalene a ε$ esimador consisene para a variância σ. i= = T = = e σ$ T ε$ é um O modelo sob a hipóese alernaiva é dado por y = α + x' β + x' π + v (viii) = n n φ( L) v = γ + ε γ = γ + η com η ~ (, σ ) e independene de ε e µ. Sob o modelo alernaivo o ese S é consisene à axa ο p (T). Além disso, ambém pode ser incluída uma endência linear na regressão (vi). Essa inclusão pode ser deseável de forma a que os resíduos da regressão se ornem invarianes a x, endo possivelmene uma média não nula. Assim v passa a represenar os resíduos da seguine regressão y = α + x' β + ϕ + x' π + v. (ix) = n n Relaivamene ao n, ese pode ser escolhido fazendo ο(t /3 ), mosrando-se consonane com Saikkonen (99), Shin (994) e Sock e Wason (993). O ausameno paramérico orna-se mais robuso e poderoso do que os eses baseados em esimadores da variância de longo prazo. Ese ese em caracerísicas superiores sob a hipóese alernaiva, pois é consisene à axa ο p (T) em vez da axa ο p (T /3 ) exisene nos resanes eses. 6

18 Figura : Logarimo do consumo e a primeira diferença Figura : Logarimo do rendimeno disponível e a primeira diferença Figura 3: Taxa de inflação e a primeira diferença Figura 4: Taxa de uro real e a primeira diferença 7

19 Figura 5 Figura 6 Figura 7 8

20 Figura 8 9