Resolução prova de matemática UDESC

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1 Resolução prova de matemática UDESC 00. Prof. Guilherme Sada Ramos Guiba ) Pelo enunciado, devemos pressupor que todos os itens que o jovem puder escolher para o carro, ele escolherá. Feito isso, percebemos que: Para o carro de duas portas, ele pode escolher entre os 5 itens opcionais, tendo C 5 maneiras diferentes de proceder na escolha, uma vez que a ordem dessa escolha é irrelevante. Para cada uma dessas C 5, ele opta ou por roda de liga leve, ou por equipamento de som. p n! 5! 5! 5..! 5. Como Cn, então C5 0. Para cada p! n p!! 5!!!!! uma dessas 0, duas possibilidades, logo o total é de 0 possibilidades, para o caso de carro duas portas. Para o carro de quatro portas, ele pode escolher entre os 5 itens opcionais, tendo maneiras diferentes de proceder na escolha, uma vez que a ordem dessa escolha é irrelevante. Para cada uma dessas C 5, ele opta ou por roda de liga leve, ou por equipamento de som. p n! 5! 5! 5..! 5. Como Cn, então C5 0. Para cada p! n p!! 5!!!!! uma dessas 0, duas possibilidades, logo o total é de 0 possibilidades, para o caso de carro quatro portas. C 5 Somando as possibilidades totais nos dois casos, concluímos que ele pode escolher o carro de (0 + 0), ou 0, maneiras distintas. ) A soma S é tal que logs log log7. Como n logba nlogba `, então afirmamos que: logb ac logb a logb c logs log log7 log log7 log log7 log8 GABARITO: D Como a função f(x) = log b (x) é injetora, então não podemos ter dois logaritmos de números diferentes, na mesma base, que sejam iguais. Logo, concluímos que logs log8 S 8. Então, temos uma PG de seis termos, em que: o A soma S n = 8 o O número de termos n = 6 o A razão q =. Lembrando que da progressão: S n n a q q, então podemos calcular o valor de a, primeiro termo

2 a S n n a q q 6 a 8 a a a ) A matriz A é da forma det A a.a a.a. Já a matriz A I é é a A a a a GABARITO: E, e seu determinante é dado por a a 0 a a AI, e seu determinante a a 0 a a det A I a. a a.a. I) Pela propriedade produto de determinante é determinante do produto, temos: det A I det A I 5 5 Considerando que o produto de matrizes é distributivo, que AI = I A (I é a matriz identidade de ordem ), e que (I )² = I, vamos ter também: det A I det A I A I det A AI IA I det A A A I det A A I Se det A I 5 e det A A I 5 ITEM VERDADEIRO! II) Pelo enunciado, produto entre parênteses, temos: det A I det A A I, então det A I a. a a.a 5. Desenvolvendo o

3 a. a a.a 5 a.a a a a.a 5 a.a a.a a a 5 a.a a.a a a 5 det A det(a) 5 a a det(a) a a Note que não precisamos de que a seja igual a a para que a igualdade acima seja válida! ITEM VERDADEIRO! III) a a 0 m Neste caso, vemos que A a a m 0 0 m 0 m AI m 0 0 m det A I 5, então m 5 m deta e det A, e m. Também, det A I m. Como. Assim, det A m. ITEM FALSO! GABARITO: B ) Tetraedros são nada mais que pirâmides de base triangular. Volume de pirâmide é Área base.altura dado sempre por Vpirâmide. Já volume de prisma é calculado pela fórmula V prisma Área base.altura. Como informação dada, ocorre altura tetraedro.altura prisma. Denominemos as alturas de pirâmide e prisma por h t e h p, respectivamente. Precisamos calcular a área da base dos dois sólidos. Sendo um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa cm, calculamos a medida dos catetos. Para achar a área, basta fazer um cateto vezes o outro e dividir por dois, já que este triângulo é retângulo. Façamo-nos: x x x 8 x 9 x A área da base será dada por A base. 9 cm². Agora, vamos lembrar que a diferença entre o volume do prisma, V p, e do tetraedro, V t, é 8 cm³. Equacionando, teremos a altura do prisma, que é questionada...

4 V V 8 p p Área base.hp Área base.hp 8 9.h t 9. h p 8 9 hp hp 8 h 8 p p h GABARITO: E 5) Para um contribuinte que pague alíquota 7,5%, o mínimo a pagar de imposto mensal seria 7,5% de R$.7,5 menos R$ 58,8, que é o valor da dedução tributária mensal nessa faixa salarial. Tudo isto no exercício de 009. Verificamos que: 7,5.7,6 05,9 75,9 58,8 05,57 00 Como ele pagou menos que isso em imposto de renda, é impossível o contribuinte estar na faixa salarial que sofre esta tributação, logo seu salário tem alíquota de 5%. Assim, podemos afirmar que o seu salário é tal que 5% dele, menos a dedução correspondente de R$ 05,9 resulta em R$ 09,08, que é o valor da restituição para o seu salário. Vamos calcular este último: 5 x 05,9 09, x 5 00 x Seu salário é de R$ 00,00. No exercício de 00, a alíquota para seu salário é de 7,5% e a dedução equivale a R$ 07,59. Sua despesa mensal de imposto de renda será de: 7, ,59 7,5. 07,59 9,9 Lendo as alternativas, temos que perceber que R$ 9,9 é R$ 59,7 a menos que R$ 09,08. 6) A resolução da equação logx log8x pode ser dividida em duas etapas: No primeiro caso, logx log8x. Resolvendo, temos: GABARITO: D

5 log x x log 8x 8x x 8x 0 x x 8 0 x 0 ou x 8 Como x = 0 zera logaritmandos, e log 0 não existe, então neste caso, x = 8. No segundoo caso, logx log8x. Resolvendo, temos: log x log x x log 8x x.8x 8x x x log 8x 8x 8 8 O valor encontrado não infringe a condição de existência dos logaritmos (logaritmando maior que zero e base maior que zero e diferente de ), logo o valor ½ também é solução da equação. Somando as duas soluções, temos GABARITO: A 0 0 x x y y R, 7) Convertendo a equação da circunferência ao modo determinamos o ponto (x 0, y 0 ) o centro da circunferência e R o raio da mesma. Vamos fazê-lo: x y x y 0 x x y y 0 x x y x x y y y x y x y x y Nota: Os valores destacados foram somados aos dois lados da equação, para que a conversão à forma reduzida fosse possível (método de completar quadrados ). O centro da circunferência é o ponto (, ) e o raio é.

6 O ponto R de intersecção da circunferência com o eixo das abscissas (eixo x) é o ponto (, 0). Considerando este ponto, mais os pontos P(0, ) e Q(, ), podemos calcular tanto o perímetro, quanto a área do triângulo formado por estes três pontos. O perímetro é dado pela soma das distâncias entre os pontos P e R, P e Q e R e Q. Vamos calculá-las, lembrando: M,N M N M N d x x y y : P,R P R P R d x x y y P,R P,R d 0 0 d d x x y y P,Q P Q P Q P,Q P,Q d 0 d 5 6 d x x y y R,Q R Q R Q R,Q R,Q d 0 d Neste caso, o perímetro é 6 6. Para calcular a área, basta calcularmos D, em que D é o módulo do determinante xp yp da matriz D xr yr. Para calcular este determinante, aplicamos regra de xq yq Sarrus: 0 0 D ( )..( ).(0).( ) 0..( ).. 6 Logo, a área dada é D. GABARITO: D 8) O gráfico da função f é uma parábola, que corta o eixo das ordenadas no ponto (0, ) e tem vértice ; 8. Sendo a função f x ax bx c, vamos calcular a, b e c. Temos as seguintes informações: o c = (ordenada do ponto em que intercepta o eixo y) b o xv a o yv a a a a 8 b ac b a b

7 b a Resolvendo o sistema, obteremos os valores de a e b: b a 8 b a.a a b b a 8 Substituindo na segunda equação: Neste caso, a a 8 9a a 8 9a 6 8 9a a 6 9a 8 a b b b b. () Determinamos que f x x x. Assim, de fogx 0, no intervalo fog x g x g x cos x cos x. Falta calcular as raízes 0,. Vamos fazê-lo, com cos(x) = t: cos x cos x 0 t t 0 Resolvendo a equação do segundo grau, vamos obter t ou t. Ou seja, cosx ou cos x

8 No ciclo trigonométrico o eixo horizontal é o eixo dos cossenos. O arco da primeira volta (sem o zero) que tem cosseno igual a é. No caso de cosseno igual a, os 5 arcos são 60 ( ) e 00 ( ). Multiplicando os três possíveis arcos, obtemos ) Devemos lembrar das seguintes identidades trigonométricas: cosx cos x sen x cos a b cos a.cos b sen a.sen b sen a b sen a.cos b sen b.cos a cos sec x, sen x 0 senx cosx senx sen x cos x sen x cos x cos x sen x cotg x, sen x 0 7 cos cos 0 7 sen sen a b b a Agora, podemos desenvolver a expressão colocada: GABARITO: C

9 7 cosx sen x.cos x x x cotg cos x sen x cos sec 7 cos x cos x sen x sen x. cos.cos x sen sen x x 7 sen.senx cosx senx.cos cosx.sen cos x cos x cos x sen x sen x cos x cos x sen x sen x. sen x cos x sen x sen x cos x sen x cos x sen x.cos x sen x sen x x cotg x x cos x sen x cos x.cos x cos sen 0) A figura ao lado representa o triângulo cuja revolução gera o cone circular reto da questão. Girando o trapézio BACD em torno de AC, obtemos o tronco de cone, cujo volume é 8π m³. O ângulo α é tal que tg α = 6. Esse volume é a diferença entre o volume do cone gerado pela revolução do triângulo ABE (cone maior) em torno de AE, e o volume do cone gerado pela revolução do triângulo CDE (cone menor), em torno de CE. Temos que AB = R, CD = AH = r, AC = DH = R. Como ocorre tg α = 6 (a razão entre o cateto oposto ao ângulo α e o cateto adjacente ao mesmo α é 6), então DH = 6.HB. Concluímos que HB = R. O ângulo CDE é também igual a α, logo CE = 6.CD = 6r. O cone menor tem raio da base r e altura 6r. O cone maior tem raio da base R e altura R + 6r. GABARITO: A

10 O volume de qualquer cone é dado por sólido. V cone Raio base.h, em que h é altura do Para podermos efetuar os cálculos, ainda falta estabelecer uma relação entre R e r. Se pensarmos que AH = r, HB = R R r. Assim: R, e AB = R, então podemos dizer ainda que R R r R r R 6. 6r R 6r R r Nota: Vamos nos fazer valer das duas igualdades anteriores nos cálculos a seguir. Com isso, deduzimos que a altura AE do cone maior é R + 6r = R + R = 6R. Agora sim, vamos igualar a diferença entre os volume dos cones (volume do tronco) a 8π. Nessa igualdade, calcularemos R. Feito isso, aplicaremos teorema de Pitágoras no triângulo HBD. V V 8 cone maior cone menor R.6R r.6r 8 6 R 6 r 8 9 R r 8 R r 9 R R R 9 7 R 7 R R 9 R 7 Feito isso, basta calcularmos a hipotenusa BD, sendo que os catetos DH e HB medem, respectivamente, 6 (R) m e (um terço de R) m. Teorema de Pitágoras: BD 6 BD 7 BD 7 GABARITO: B

11 ) Pelo enunciado, se o ângulo A vale x, então o ângulo B vale x. Assim, o ângulo C vale x x 5x x. Sendo a soma dos três ângulos internos de qualquer triângulo , podemos também afirmar que: Assim, dizemos que: A x 0 B x. 0 0 C x 0 x x x 80 6x 80 x 0 Devemos lembrar também que sen sen 80 cos cos 80, para I) O triângulo é isósceles, pois tem dois ângulos congruentes, o que implica em dois lados congruentes. ITEM VERDADEIRO! II) O triângulo está representado na figura abaixo. Uma das várias maneiras de se calcular a área de um triângulo é multiplicar a metade do produto de dois lados pelo seno do ângulo que eles formam, ou seja, a área neste BC.AB.sen0 caso pode ser obtida por Atriângulo. Efetuando os cálculos, temos: A triângulo sen sen ITEM VERDADEIRO! III) Pela lei dos cossenos, podemos determinar a medida do segmento AC, lembrando que, se a e α são ângulos opostos num triângulo, e os outros dois lados são b e c, temos a relação a b c bc.cos. Após isto, substituímos o valor na equação dada.

12 Na equação, teremos: AC cos0 AC cos 80 0 AC cos AC AC AC x! x 0 0 x! x! x x x x! x x x x x 00 x x x x x x Resolvendo a equação do segundo grau, vamos ter x ou x, valor que não serve como resposta pois não existe fatorial de número negativo, nem de número nãointeiro. ITEM VERDADEIRO! GABARITO: E ) Numa matriz x qualquer, todos os termos da diagonal principal são tais que i = j. Acima dessa diagonal, i < j, e abaixo, i > j. Com isso, determinamos a matriz descrita no enunciado da questão: a a a A a a a x a a a x x O determinante dessa matriz é calculado pela regra de Sarrus, em função de x. det A x x x det A x x x x x x det A 8 x x x x x x 5x 8 Ao final das contas, resta-nos resolver situações, que devem ocorrer simultaneamente. 5x 8 x 5x 8, considerando duas

13 5x 8 x 5x 8 x 5x 8 5x 8 0 x 0x 6 A parábola y = x² + 0x + 6 está acima (ou em cima) do eixo x para valores de x no conjunto solução S =, 8,. 5x 8 x 5x 8 0 x Nesse caso, x pode assumir qualquer valor real. A solução desta inequação é o próprio conjunto. Fazendo a intersecção de com S, calculamos a solução da inequação modular, que, no caso, é o próprio conjunto S. GABARITO: B ) Consideremos os seis ângulos desse polígono convexo, a, a, a, a, a 5 e a 6, em ordem crescente. Pelo enunciado, são seis termos de uma progressão aritmética. Assim, sendo, podemos exprimir, utilizando a fórmula do termo geral de uma PA, todos os termos da PA em função do primeiro termo e da razão r. a a n r n a a r ; a a r ; a a r ; a5 a 5r ; a6 a 5r Lembrando que a soma dos ângulos internos de um polígono é dada, em função do S 80 n, podemos dizer que a soma dos seis termos da número n de lado, por PA é igual a: n 6 S Também temos a informação que a razão entre o menor ângulo (designado por a ) e r é igual a 5. Logo temos o seguinte sistema de equações: a 5 r a a a a a5 a6 70 a 5 r a a r a r a r a r a 5r 70 a 5 r 6a 5r 70 Resolvendo...

14 a 5 r a 6a 5r 70 6a a 70 8a 70 5r 70 a 90 8 Calculamos a, o menor ângulo do polígono, que vale 90. GABARITO: B ) Para sabermos a razão da PG infinita, devemos calcular a medida do lado do segundo quadrado e dividi-la pelo lado do primeiro quadrado. Como a soma limite de uma PG a infinita é dada por S. O primeiro termo foi dado, é o lado do quadrado maior, q que vale. A partir deste lado, podemos calcular o lado do quadrado seguinte, visualizando um triângulo retângulo cujos catetos valem ½ (metade do lado do quadrado) e a hipotenusa é a medida do lado do quadrado seguinte. º quadrado º quadrado. Com isso, º quadrado º quadrado q, razão da PG infinita. Esta razão tem módulo menor que, logo podemos aplicar a fórmula da soma infinita. Calculando-a, temos: S a q S. Agora, temos o coeficiente angular da reta r. O ponto de encontro dessa reta com o eixo das ordenadas tem ordenada igual ao coeficiente linear (n) dessa reta. A abscissa é zero. Para determinarmos a reta em questão, temos o coeficiente angular (m) da mesma e um ponto(x 0, y 0 ) pelo qual ela passa. A forma da equação da reta que permite calculála, neste caso, é y y mx x 0 0. O ponto em questão é,0.

15 y y mx x 0 0 y 0 x y x y x x y x y x A reta em questão está exibida ao lado, sendo,. Nesse caso, o ponto procurado tem abscissa 0 e ordenada. GABARITO: A 5) Qualquer gráfico de função fornece o domínio e a imagem da mesma, uma vez projetado no eixo x e eixo y, respectivamente. Assim, podemos determinar os quatro conjuntos envolvidos. Vamos lembrar a definição de intervalos reais: Df Imf, Img, Imh 0, [a,b] x / a x b [a,b[ x / a x b ]a,b] x / a x b ]a,b[ x / a x b [a, [ x / x a ]a, [ x / x a ],a] x / x a ],a[ x / x a Devemos lembrar que a intersecção entre os conjuntos X e Y são os elementos comuns aos conjuntos X e Y. Além disso, a diferença do conjunto X para o conjunto Y é constituída por todos os elementos que pertencem a X, e não pertencem a Y. Comentários sobre a prova: Imf Img Df Imh,, 0,, 0,,0 GABARITO: C Grau de dificuldade absurdo. Muitos conteúdos requisitados na mesma questão foram o estilo da prova, que, assim, oferece tempo reduzidíssimo, induzindo o candidato até mesmo ao chute, o que entendo ser negativo no processo de avaliação de conhecimento. Muitas fórmulas precisavam ser ou consultadas no formulário ou mesmo lembradas. Quem fez pelo menos 5 acertos, dependendo do seu curso, fez uma boa prova. Grande abraço, Prof. Guiba