UMA APLICAÇÃO DE SISTEMAS DE INFERÊNCIA NEBULOSOS PARA A IDENTIFICAÇÃO AUTOMÁTICA DE MODELOS ARMA SAZONAIS E/OU NÃO SAZONAIS

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1 UMA APLICAÇÃO DE SISTEMAS DE INFERÊNCIA NEBULOSOS PARA A IDENTIFICAÇÃO AUTOMÁTICA DE MODELOS ARMA SAZONAIS E/OU NÃO SAZONAIS Luiza Maria Oliveira da Silva, MC Faculdade Ibmec Avenida Rio Branco, 108/ 5º andar Rio de Janeiro Brail cep luiza.maria@ibmecrj.br Maria Auguta Soare Machado, DSc Faculdade Ibmec Avenida Rio Branco, 108/ 5º andar Rio de Janeiro Brail cep mmachado@ibmecrj.br Reinaldo Catro Souza, PhD Pontifícia Univeridade Católica do Rio de Janeiro Rua Marquê de São Vicente, 225 Rio de Janeiro Brail cep reinaldo@ele.puc-rio.br Reumo Ete trabalho apreenta uma metodologia uando itema de inferência nebuloo para a identificação automática de etrutura Box & Jenkin azonai e/ou não-azonai. Palavra-chave: Identificação de Etrutura Box & Jenkin, Sitema de Inferência Nebuloo, Inteligência Computacional Aplicada. Abtract Thi paper preent a methodology uing a fuzzy inference ytem to identify automatically Box & Jenkin eaonal and/or not eaonal tructure. Key word : Box and Jenkin model identification, Fuzzy Inference Sytem, Soft Computing. 1 - INTRODUÇÃO A metodologia Box & Jenkin (Box & Jenkin,1976) tem ido utilizada para fazer previõe com reultado melhore que outro método de previão utilizado até então. Entretanto, algun analita têm relutado em uar eta metodologia, em parte, porque a identificação da etrutura adequada é uma tarefa batante difícil. Por ete motivo, a tecnologia de itema epecialita tem ido utilizada neta identificação, por exemplo, em problema de claificação de érie temporai (Reynold, Steven, Mellichamp & Smith,1995 e Machado,M.A,2000). O preente trabalho tem como objetivo apreentar uma metodologia que utiliza técnica de Inteligência Artificial, combinando conceito de regra e conjunto nebuloo, para a identificação automática de Etrutura Box & Jenkin azonai. Exite um itema epecialita utilizando neuro-fuzzy para identificação de érie temporai nãoazonai modelo AR(1), AR(2), MA(1), MA(2), e ARMA(1,1) (Machado, M. A., 2000) onde e

2 identifica apena o filtro não-azonal. O que erá feito nete trabalho erá a identificação do modelo ARMA imple e/ou azonai, identificando o filtro azonal e linear da érie. 2. METODOLOGIA BOX & JENKINS A análie de érie temporai, egundo Box & Jenkin (1976), tem como objetivo principal a realização de previão (Makridaki et al, 1998). Ea metodologia permite que valore futuro de uma érie ejam previto tomando por bae apena eu valore preente e paado. Io é feito atravé da correlação temporal exitente entre o valore exitente. A realização do proceo temporal pelo método de Box & Jenkin é repreentada por um conjunto de proceo etocático denominado modelo ARIMA (autoregreive integrated moving average) onde em cada intante de tempo t, exite um conjunto de valore que a érie pode aumir, ao quai etão aociada poibilidade de ocorrência (Tápia, M., 2000). Para cada intante de tempo t, é poível que exita uma função de denidade de probabilidade logo, cada variável aleatória Zt, t = t1, t2,... pode ter média e variância epecífica. O trabalho conite em decobrir qual é o proceo que gera a érie em etudo, ito é, qual o modelo que repeenta melhor a érie. O modelo ARIMA imple de ordem (p, d, q) ão definido como d φ ( B) Z t = θ(b) a t e reultam da combinação de trê componente tambèm denominado filtro que ão: O componente auto-regreivo de ordem p AR(p) (autoregreive); O filtro de integração de ordem d I (integrated); O componente de média móvei de ordem q MA(q) (moving average). O modelo ARIMA azonai de ordem (P, D, Q) ão definido como D Φ ( B ) Z t = Θ(B ) a t e reultam da combinação de trê componente tambèm denominado filtro que ão: O componente auto-regreivo de ordem P AR(P) (autoregreive); O filtro de integração de ordem D I (integrated); O componente de média móvei de ordem Q MA(Q) (moving average). O modelo ARIMA multiplicativo de ordem (p, d, q) x (P, D, Q) ão aplicado a érie que apreentam correlação erial dentro e entre período azonai e ão definido como D d Φ ( B ) φ(b) Z t = Θ(B ) θ(b) a t A figura abaixo é uma repreentação em diagrama do modelo ARIMA (p, d, q) x (P, D, Q) que ilutra a eqüência de filtragen aplicada ao ruído branco (a t ). Ruído branco a t Filtro linear etável θ(b) φ 1 (B) b t Filtro linear intável d b t Filtro azonal etável Θ(B 1 ) Φ (B ) Z t Filtro azonal intá el D Z t ( ) d b t ( D Z ) t Figura 1 Repreentação do modelo ARIMA (p, d, q) x (P, D, Q) Fonte: Souza e Camargo (2004:151) 2086

3 Numa érie temporal pode-e encontrar o trê filtro ou um ubconjunto dele, reultando daí, vário modelo na metodologia Box & Jenkin. Uma condição que tem que er colocada no proceo etocático é que ete tem que er etacionário. Um proceo etocático é dito etacionário de egunda ordem quando a eguinte condiçõe forem atifeita para qualquer intante de tempo t: E[z ] = E[z + ] = µ Var[z t t k, 2 2 t ] = E[(zt µ ) ] = σ t, zt+ k] = E[(zt µ ) (zt+ k µ Cov[z A dua primeira condiçõe indicam que a média e a variância de Z t não variam com o tempo e a terceira, indica que a autocovariância não dependem do tempo e im em relação à ditância k que epara a obervaçõe. Quando a érie recebe a influência de fatore azonai, outro tipo de correlação paa a ter importância: a correlação entre o intante de tempo ditante entre i por ou múltiplo de, onde repreenta o período da azonalidade. A tabela a eguir apreenta a propriedade e caracterítica para a identificação teórica do parâmetro p, q, P e Q do modelo AR(p), MA(q), ARMA(p,q), SAR(P), SMA(Q) e SARMA(P,Q). Modelo expreo em termo do w t anteriore Modelo expreo em termo do a t anteriore Função de Autocorrelação ρ k Função de autocorrelação parcial φ kk )] AR(p) MA(q) ARMA(p,q) SAR(P) SMA(Q) SARMA(P,Q) φ ( B) w t = a 1 t θ 1 ( B) wt = at θ ( B) φ(b)w t = at w 1 Φ ( B ) wt = at Θ 1 ( B ) wt = at Θ ( B ) Φ(B )wt = at 1 t = φ (B) a w t t = θ(b) a 1 t wt = φ (B) θ(b) a t 1 1 wt = Φ (B ) at wt = Θ(B ) at wt = Φ (B ) Θ(B ) at (exponenciai e/ou enóide amortecido). Finita. Anulam-e brucamente no lag k. Finita. Anulam-e brucamente no lag k. (dominada por exponenciai e/ou enóide). (exponenciai e/ou enóide amortecido para k > q-p). (dominada por exponenciai e/ou enóide amortecido para k > q-p). (exponenciai e/ou enóide amortecido). Finita. Anulam-e brucamente no lag k. Finita. Anulam-e brucamente no lag k. (domonada por exponenciai e/ou enóide). Tabela 1 Comportamento teórico do modelo AR(p), MA(q), ARMA(p,q), SAR(P), SMA(Q) e SARMA(P,Q) Fonte: Souza e Camargo (2004:68) (exponenciai e/ou enóide amortecido para k > Q - P). (exponenciai e/ou enóide para k > Q - P). 3. MATEMÁTICA NEBULOSA (FUZZY SETS) 2087

4 A Teoria do Conjunto Nebuloo foi deenvolvida por Lotf Zadeh da Univeridade da Califórnia, em Berkeley, no ano 60 e vem ido utilizada na área de claificação, mineração de dado, previão de érie temporai e itema epecialita entre outra. O objetivo deta teoria é de modelar a informaçõe de caráter imprecio ou vago. Humano geralmente avaliam vário conceito de forma diferente. Por exemplo, a expreõe da linguagem natural como pequeno, médio e grande podem er tranformada em uma linguagem matemática atravé de conjunto nebuloo. A lógica nebuloa (fuzzy logic) é tida como uma generalização da lógica cláica (Booleana), expandida para manipular conceito de verdade parciai, entendido como valore que e ituam entre o completamente verdadeiro e o completamente falo (Zadeh,1979 ; Jang & Mizutani,1997). Da mema forma que exite uma etreita relação entre o conceito de conjunto e a lógica cláica, há uma etreita relação entre a lógica nebuloa e a teoria do conjunto nebuloo. Na teoria do conjunto nebuloo, o raciocínio exato correponde a um cao limite do raciocínio aproximado e é interpretado como um cao particular de uma quantidade nebuloa. O valor verdade de uma propoição pertence a um conjunto parcialmente ordenado, ao contrário do itema lógico binário (conjunto crip), onde o valor verdade ó pode aumir doi valore: verdadeiro (1) ou falo (0). O grau de pertinência do elemento de um conjunto é epecificado por um número: 1 para o etritamente membro, 0 para o não-membro e valore do intervalo (0, 1) para repreentar a tranição entre ee extremo. A O conhecimento do fenômeno é expreo atravé de afirmativa do tipo: e (um conjunto de condiçõe é atifeito) então (pode-e inferir um conjunto de coneqüência). A regra ão decidida a priori, baeada no conhecimento do itema em etudo (conhecimento do epecialita). O raciocínio nebuloo é formado pelo eguinte evento: tranformação de variávei numérica em variávei nebuloa uando o proceo de fuzzificação criação de uma bae de regra nebuloa exprea por declaraçõe do tipo e......então criação de um itema de inferência que mapeia conjunto nebuloo em conjunto nebuloo (ou não). Ete manipula o caminho no qual a regra ão combinada obtenção do reultado utilizando-e um defuzzificador que mapeia o conjunto nebuloo de aída em um número real no cao de aída nebuloa. O diagrama a eguir ilutra um itema de inferência nebuloo genérico com aída nebuloa. Entrada 1 Entrada 2 R egra 1 Regra 2 Regra 3 D efuzzific ação: uando variávei lingüítica para a aída Entrada n Regra 4 Regra n Saída Entrada precia Fuzzificação: uando variávei lingüítica para a entrada Inferência: utilizando uma Bae de Regra Compoição do reultado Saída precia Figura 2- Sitema de inferência nebuloo Fonte: Baptita,

5 A matemática nebuloa permite a criação de itema de inferência nebuloo e repreenta o conhecimento de forma explícita, atravé de regra nebuloa, poibilitando, facilmente, o entendimento do itema em etudo. 4. SISTEMA PROPOSTO Na tomada de decião obre a etrutura Box & Jenkin adequada à modelagem de um determinado proceo etocático, é grande a doe de julgamento ubjetivo a er realizado por um epecialita de análie de érie temporai. É propota dete trabalho, uar a flexibilidade para tratamento de ituaçõe deta natureza poibilitada pela modelagem de problema por meio da lógica nebuloa. O itema epecialita propoto é compoto de bae de regra nebuloa para a etrutura Box & Jenkin de modelo azonai cuja epecificação geral conite: de variávei de entrada caracterizando o valore da funçõe de autocorrelação e autocorrelação parcial. O procedimento para a realização dete trabalho é: Pao 1: Variávie de entrada: para o modelo azonai de período 12, a variávie de entrada ão vetore formado pelo etimadore da funçõe de autocorrelação (ACF) e autocorrelação parcial (PACF) no lag 12, 24, 36 e 48. Ete etimadore ão gerado atravé de imulaçõe de érie do modelo SAR(1), SAR(2), SMA(1), SMA(2) e SARMA(1,1) com 100, 200, 300, 400 e 500 obervaçõe para cada um dele. Pao 2: Funçõe de pertinência da variávei de entrada do modelo: ão ajutada funçõe de pertinência, Generalized bell, antecedente da regra nebuloa para repreentar a ignificância do pico para o valore poitivo e negativo da autocorrelaçõe e da autocorrelaçõe parciai etimado com a finalidade de criar uma bae de regra caracterítica para cada etrutura etudada. Pao 3: Regra do modelo que erão do tipo Se ACF no lag 12 é A 1 e ACF no lag 24 é A 2 e... e PACF no lag 48 é A 8 então o modelo é {SAR(1) ou SAR(2) ou SMA(1) ou SMA(2) ou SARMA(1,1)), uando antecedente do tipo AND. Para determinar a regra foram utilizado o eguinte pao: 1º) Etimadore neceário, ACF e PACF, para a identificação do modelo Box & Jenkin, gerado no pao 1. 2º) A partir dee dado, foram criada regra para o itema FUZZY. Pao 4: Agregação da regra: O itema deenvolvido conite de 114 regra para o modelo SAR(1) 12 e 174 regra para o modelo SMA(1) 12. O retante da regra para o demai modelo etão endo elaborada. Cada regra determina a variável de aída e eta, identificará o tipo de modelo Box & Jenkin. Pao 5: Defuzzificação da agregação da regra atravé do centróide. 5- RESULTADOS OBTIDOS E CONCLUSÕES Para realizar a validade do itema foram gerada nova érie repreentativa do modelo Box & Jenkin com 100, 200, 300, 400 e 500 obervaçõe para cada um dele e cada érie gerada poui. valor aleatório do parâmetro Φ e Θ (parâmetro utilizado na contrução do modelo Box & Jenkin SAR(1) e SMA(1), repectivamente). Eta érie foram tetada no itema FUZZY e no oftware FPW verão 3.5 para fazer a identificação e fazer uma comparação entre o número de acerto no itema FUZZY e no oftware FPW. 2089

6 Na tabela a eguir, tem-e o número de acerto para a érie com 100, 200, 300, 400 e 500 obervaçõe utilizando o itema de inferência nebuloo (FUZZY) e o FPW para determinado intervalo de Φ, para o modelo SAR(1) e Θ para o modelo SMA(1) e o número de acerto no global para cada tamanho de érie. Pode-e obervar que no geral a identificação atravé do itema de inferência nebuloo (FUZZY) é tão bom quanto a identificação atravé do FPW. Para valore de Φ entre: (-1; -0,9) a relação de acerto foi equivalente; (-0,9; -0,1), (-0,1; 0,1) e (0,1; 0,9) para a érie com 100 obervaçõe o itema FUZZY identificou melhor e para a demai érie, o reultado foi equivalente e, (0,9; 1) o itema FUZZY identificou melhor. Número de obervaçõe da érie Sitema Valore de Φ (-1; -0,9) (-0,9; -0,1) (-0,1; 0,1) (0,1; 0,9) (0,9; 1) Porcentagem total de acerto FUZZY FPW FUZZY FPW FUZZY FPW FUZZY FPW FUZZY FPW Número de érie com determinado valor de Φ 2 érie 8 érie 4 érie 5 érie 11 érie 100% 100% 100% 75% 100% 100% 100% 100% 100% 91% 32 érie 37 érie 40 érie 38 érie 38 érie 75% 47% 78% 65% 73% 80% 84% 71% 74% 82% 12 érie 10 érie 12 érie 10 érie 8 érie 25% 0% 0% 0% 17% 8% 50% 30% 38% 38% 50 érie 42 érie 40 érie 43 érie 39 érie 62% 36% 95% 71% 80% 83% 70% 63% 85% 79% 4 érie 3 érie 4 érie 4 érie 4 érie 100% 0% 100% 0% 100% 25% 75% 25% 75% 25% Tabela 2 Reultado obtido para a érie SAR(1)

7 Número de obervaçõe da érie Sitema FUZZY FPW FUZZY FPW FUZZY FPW FUZZY FPW FUZZY FPW Valore de Φ (-1; -0,9) (-0,9; -0,1) (-0,1; 0,1) (0,1; 0,9) (0,9; 1) Porcentagem total de acerto Número de érie com determinado valor de Φ 8 érie 5 érie 4 érie 4 érie 6 érie 100% 88% 100% 100% 100% 100% 100% 75% 100% 100% 39 érie 36 érie 40 érie 37 érie 36 érie 85% 51% 83% 64% 90% 85% 97% 84% 92% 81% 9 érie 11 érie 12 érie 13 érie 9 érie 0% 0% 1% 1% 33% 17% 38% 23% 55% 11% 39 érie 47 érie 41 érie 41 érie 48 érie 92% 44% 96% 79% 93% 80% 95% 90% 100% 96% 5 érie 1 érie 3 érie 5 érie 1 érie 100% 80% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% Tabela 3 Reultado obtido para a érie SAR(1) 12 6.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BAPTISTA, JOSÉ MAURÍCIO, Utilizando Lógica Fuzzy em um Modelo Macroeconômico, Diertação de metrado profiionalizante, Faculdade Ibmec. Rio de Janeiro, BARRETO, M. J., Inteligência Artificial no Limiar do Século XXI, Duplic-Pretação de Serviço, BRAGA, M.J.,BARRETO, J.M., MACHADO, M.A., Conceito da Matemática Nebuloa na Análie de Rico, Arte & Rabicu, BOX, P.E. G., JENKINS, M.G., Time Serie Analyi Forecating and Control, Holden - Day Inc., COSTA, ALEX et al, Lógica Fuzzy: Conceito e Aplicaçõe - aceo em 26/04/2004. HAMILTON, JAMES D., Time Serie Analyi, Princeton Univerity Pre, New Jerey, HARVEY, ANDREW C., Time Serie Model,, MIT Pre, Great Britain 2d ed., pp. 22/28,

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