MATEMÁTICA 2º BÁSICO

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1 MATEMÁTICA 2º BÁSICO PROFESSOR: Patric Machado de Menezes. Escola Érico Veríssimo Erechim-RS NOME: SÉRIE: TURMA: Nº ENDEREÇO: N : COMPLEMENTO: FONE: HORÁRIO 1º 2º 3º 4º 5º segunda terça quarta quinta sexta AVALIAÇÕES E TRABALHOS

2 SEQUÊNCIAS E PADRÕES Nesta atividade, você via trabalhar com sequências que tem regularidade, que lhe permitem perceber padrões e fazer generalizações. Os Padrões e a Matemática O mundo ao seu redor está repleto de padrões. Os padrões são encontrados nos papéis de parede, nas rendas que enfeitam as prateleiras, nos azulejos e mosaicos que ornamentam as fachadas das casas, os templos e os monumentos. Percebemos regularidades numa espiga de milho, nas escamas de um peixe ou nos batimentos cardíacos. Os padrões são utilizados por pintores e poetas em suas criações, onde formas, cores ou palavras combinam-se harmoniosamente. Padrões são encontrados em sequência regulares, irregulares ou até caóticas e são objeto de estudo da Matemática. A Matemática, a ciência dos padrões, é uma forma de contemplar o mundo em que vivemos (DEVLIN, 2002, p.12). TRABALHANDO COM SEQUÊNCIAS FIGURAIS 1. Observe a sequência de quadrados das figuras abaixo e responda: a) Qual o próximo quadrado da sequência? E o seguinte? Desenhe-os. b) Quantos quadrados tem o contorno do 3º quadrado? c) Como você calculou a quantidade de quadrinhos do contorno do 3º quadrado? Escreva uma sentença matemática que expresse esse cálculo? d) Como você pode calcular a quantidade de quadradinhos do contorno do 4º quadrado? e) E do 5º quadrado? f) Sem desenhar os quadradinhos, como você calcularia o total de quadradinhos do contorno do 6º quadrado? Escreva uma sentença matemática que expresse esse cálculo? g) E do 9º quadrado? E do 20º?

3 h) Quantos quadradinhos existem no contorno de um quadrado numa posição qualquer? Represente a posição qualquer pela letra n, complete o quadrado abaixo e escreva a expressão matemática que expressa essa relação. Posição do quarado na sequência n Número de quadradinhos do contorno 2. Agora, observe a sequência de figuras abaixo que são formadas por pontos e responda: a) Qual a próxima figura dessa sequência? Desenhe-a. b) E a seguinte? Desenhe-a. c) Como cada figura se transforma na figura seguinte? d) Quantos pontos tem a 6º figura?... e) E a 10º figura? Quantos pontos ela tem? (desenhe-a, se você achar necessário)... f) Como é a 28º figura? Quantos pontos ela tem?... g) Quantos pontos tem uma figura numa posição qualquer? Para responder a essa pergunta, complete a tabela abaixo com os dados que você já tem, represente a posição qualquer pela letra n, e escreva a expressão matemática a ela correspondente. Posição do quarado na sequência n Número de quadradinhos do contorno 3. Observe a sequência de quadrados das figuras abaixo e responda: a) Qual a próxima figura dessa sequência? Desenhe-a. b) Escreva a expressão matemática que represente o número de quadradinhos em uma posição qualquer.

4 SEQUÊNCIA Exemplo: Ao ordenarmos os elementos de um conjunto formamos uma sequência ou sucessão. Vamos considerar algumas medidas de temperatura do ar atmosférico, no período do dia: 1º medida de 11 C 2º medida de 15 C 3º medida de 18 C 4º medida de 21 C 5º medida de 17 C 6º medida de 16 C Dizemos que os valores de temperaturas formam, nesta ordem, uma sequência e cada um desses valores chamamos de termos da sequência, podendo indicá-los da seguinte forma: primeiro termo: a 1 =11ºC segundo termo: a 2 =15ºC terceiro termo: a 3 =18ºC Indicamos os elementos por a 1, a 2, a 3, e assim por diante, até um termo qualquer que indicaremos por a n, também chamado de termo geral. Finita: (a 1, a 2, a 3,..., a n ) Infinita: (a 1, a 2, a 3,...) PROGRESSÕES ARITMÉTRICA (PA) Temos uma sequência de números reais: (2, 5, 8, 11,...) Cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado ao número 3: a 1 a 2 a 3 a 4 (2, 5, 8, 11,...) De um modo geral, chamamos de progressão aritmética (PA) a toda sequência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante, denominada razão (r). Representação: (a 1,a 2, a 3,...,a n ) a 1 : primeiro termo n : número de termos r : razão

5 Para determinar a razão de uma PA, basta identificarmos a diferença entre um termo, a partir do segundo, a seu antecessor. Exemplos: 1) (1, 3, 5, 7, 9) PA finita, onde { a 1 =1 r=2 n=5 2) (3, 7, 11,...) PA infinita, onde { a 1 =3 r=4 3) ( 8, 5, 2, 1, 4, 7) PA finita, onde { a 1 = 8 r=3 n=6 4) ( 1 2, 7 6, 11 6,...) PA infinita, onde 1 {a 1 = 2 r= 2 3 5) (9, 9, 9, 9, 9, 9, 9) PA finita, onde { a 1 =9 r=0 n=7 CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA Crescente Uma PA é crescente quando a razão (r) é positiva. r > 0 Exemplo: ( 2, 7, 12,... ) PA crescente pois r >0 (r=5) Constante Uma PA é constante quando a razão (r) é zero. r = 0 Exemplo: ( 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3... ) PA crescente pois r >0 (r=0) Decrescente Uma PA é decrescente quando a razão (r) é negativa. r < 0 Exemplo: ( 9, 4, -1,... ) PA crescente pois r >0 (r=-5) TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA Descrevendo alguns termos de uma PA, obtemos a fórmula do termo geral: a 1 =a 1 a 2 =a 1 +r a 3 =a 1 +2r a 4 =a 1 +3r a n =a 1 +(n 1)r

6 Notando que o coeficiente de r em cada termo é uma unidade inferior ao índice do termo considerado, obtemos a fórmula do termo geral Exercícios resolvidos a n =a 1 +(n 1)r R1) Determine o décimo termo da PA (2, 5, 8,...). R2) Determine o primeiro termo de uma PA em que o vigésimo termo é igual a 99 e a razão é igual a 5. R3) Determine a razão de uma PA, em que o décimo termo quarto termo é igual a 136 e o primeiro termo é igual a 6. R4) Determinar o número de termos da PA (8, 13, 18,..., 93).

7 R5 ) Calcular a razão de uma PA, sabendo que o primeiro termo é o triplo da razão e que a 23 =50. R6) Sabendo que (x+1),(3x 2)e(2x+4) formam, nesta ordem, uma PA, calcular o valor de x e a razão desta PA. R7) (Mack-SP) Calcular a razão de uma PA de 12 termos, cujos extremos são 28 e 60. Exercícios

8 1) Determine o décimo segundo termo da PA (4, 6, 8,...). 2) Determine o vigésimo termo da PA (1, 8, 15,...). 3) Determine o décimo sétimo termo da PA ( 6, 1, 4,...). 4) Determine o oitavo termo da PA (1, 3 2,...).

9 5) Obtenha o primeiro termo de uma PA, sendo o décimo termo igual a 51 e a razão igual a 5. 6) Obtenha a razão de uma PA, sendo o vigésimo termo igual a 192 e o primeiro termo igual a 2. 7) Qual é o primeiro termo de uma PA em que a 16 =53 e r=4. 8) Qual é a razão e uma PA em que a 26 =140 e a 1 =10?

10 9) Determine o número de termos da PA ( 6, 9, 12,..., 66). 10) Numa PA o primeiro termo é igual a razão e a 14 =84. Calcule a 1 e a razão. 11) Escreva a PA em que o primeiro termo é o dobro da razão e o trigésimo termo é igual a ) Escreva a PA em que a razão é a terça parte do primeiro termo e o nono temor é igual a 11.

11 13) Determine o valor de x, de modo que os termos (x+3),(4x 2)e(x 1) formem, nesta ordem, uma PA. PROPRIEDADES DE UM PROGRESSÃO ARITMÉTICA PROPRIEDADE 1 Em uma progressão aritmética, ao considerarmos três termos consecutivos, o termo do meio é igual à medida aritmética dos extremos. Sendo a PA (a, b, c,...), temos: Exemplo: b= a+c 2 Dados três termos em PA (4,9,14), temos: 9= PROPRIEDADE 2: A soma de dois números equidistantes dos extremos de uma PA finita é igual a soma dos extremos. Sendo a PA Extremos: =19 (2, 5, 8, 11, 14, 17) 5+14=19 SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA Sn= (a 1+a n ).n 2

12 R9) Determinar a soma dos 20 primeiros termos da PA (2, 5, 8,...). R10) Determinar a soma dos números naturais pares compreendidos entre 1 e 101. R11) Determinar a soma dos múltiplos de 5 compreendidos entre 7 e 121.

13 Exercícios 14) Determine a soma dos 18 primeiros termos da PA (1, 4, 7,...). 15) Determine a soma dos 25 primeiros termos da PA ( 7, 9, 11,...).

14 16) Determine a soma dos 30 primeiros termos da PA ( 15, 11, 7,...). 17) Qual é a soma dos 50 primeiros números naturais ímpares?

15 18) Qual é a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 11 e 100? 19) Qual é a soma dos múltiplos de 7 entre 20 e 1000? 20) Determine a soma dos números pares positivos, menores que 101.

16 21) Escreva a PA em que o primeiro termo é igual à razão e o vigésimo termo é igual a 100. Determine, também, a soma de seus vinte primeiros termos. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) Progressão geométrica é toda sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do seu termo precedente por uma constante, denominada razão q da progressão geométrica. Exemplos: 1) (2, 4, 8) PG finita razão q=2 2) (5, 15, 45,...) PG infinita razão q=3 3) ( 1, 4, 16,...) PG infinita razão q=4 4) ( 1 3, 2 15, 4 75,...) PG infinita razão q= 2 5 5) ( 7, 14, 28, 56) PG finita razão q= 2 Para achar a razão de uma PG dada através de uma sequência de número nãonulos, basta dividir qualquer termo a partir do segundo pelo seu antecessor.

17 como: Exemplo : Escrevendo uma sequência de termos (a 1, a 2, a 3, a 4 ) em uma PG, a razão q pode ser escrita a 4 a 3 = a 3 a 2 = a 2 a 1 =q Considerando a PG (7, 21, 63, 189), temos: q= =63 21 = 21 7 =3 ou q=3 CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Crescente: quanto cada termo a partir do segundo é maior que seu antecessor: (2, 6, 18,...) q=3 Decrescente: quando cada termo a partir do segundo é menor que seu antecessor: (40, 10, 20,...) q= 1 2 Constante: quando cada termo a partir do segundo é igual a seu antecessor: (5, 5, 5, 5,...) q=1 Oscilante: quando cada termo a partir do segundo tem sinal contrário ao seu antecessor: ( 7, 21, 63,...) q= 3 TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Escrevendo a PG (a 1,a 2,a 3,a 4,...,a n ), vimos que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto de seu antecessor pela razão q: a 2 =a 1.q a 3 =a 1.q² a 4 =a 1.q³ a n =a 1.q n 1 Exercícios resolvidos R12) Representar a progressão geométrica de cinco termos, sendo: { a 1 =5 q=2

18 { a =5 4 R13) Representar a progressão geométrica de infinitos termos, sendo: q= 1 2 R14) Determinar o sétimo termo da PG (1, 3, 9,...). R15) Determinar o décimo termo da PG ( 2, 4, 8,...). R16)Determinar o nono termo da PG (81, 27, 9,...).

19 R17) Determinar o primeiro termo de uma progressão geométrica, sendo a 6 =96 e q=2. R18) Qual é a razão de uma progressão geométrica, em que a 1 =5 e a 4 =135? R19) Determinar o número de termos da PG ( 1, 2, 4,..., 512).

20 R20) Obter o valor de x de modo que a sequência 8, x, 2 forme, nesta ordem, uma progressão geométrica. R21)(PUC-SP) Qual o valor de x, se a sequência 4x, 2x+a, x 1 é uma PG? Exercícios 22) Represente a progressão geométrica de seis termos, sendo a 1 =3 e q=2. 23) Represente a progressão geométrica de cinco termo, sendo a 1 = 1 81 e q=3. 24) Represente a progressão geométrica de infinitos termos, sendo a 1 = 1 4 e q= 4.

21 25) Determine o décimo primeiro termo da PG (1, 2, 4,...). 26) Determine o oitavo termo da PG (1, 3, 9,...). 27) Determine o nono termo da PG ( 1 16, 1 8, 1 4,...). 28) Determine o primeiro termo de uma PG, sendo a 7 =320 e q=2.

22 29) Determine o primeiro termo de uma PG, sendo a 8 =1 e q= ) Qual a razão de uma PG em que a 1 = 3 e a 9 = 768? 31) (UGF-RJ) Calcule a razão de uma progressão geométrica, na qual o primeiro termo é termo é e o quarto 32) Qual é o número de termos de uma PG cujo primeiro termo é igual a último termo é igual a 128? 1 2, a razão é igual a 2 e o

23 33) Quantos termos tem uma PG cujo primeiro termo é 1 9, a razão é 3 e o último termo é igual a 127? 34) Qual e o termo igual a 192 na PG (3, 6, 12,...)? 35) Qual é o termo igual a 125 na PG ( 1 25, 1, 1,...)? 5 36) Sendo 1, x, 9, três primeiros termos consecutivos de uma PG, determine o valor de x.

24 37) Obtenha o valor de x de modo que a sequência 6, x, 24 forme, nessa ordem, uma progressão geométrica crescente. 38) Qual o valor de x, se a sequência 4x, 2x+3, x+5 é uma PG? 39) Qual o valor de n, se a sequência n 1, 2n+1, 4n é uma PG? SOMA DOS n TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Escrevendo a PG de n termos, PG (a 1, a 2, a 3,..., a n ) podemos demonstrar a fórmula para o cálculo da soma desses n termos, que é a seguinte: S n =a 1.( 1 qn 1 q ) para q 1 Sendo: S n :Soma dontermos a 1 : primeiro termo n:número de termos q : razãoda PG

25 Exercícios resolvidos R22) Calcular a soma dos nove primeiros termos da PG (3, 6, 12,...). R23) Calcular a soma dos cinco primeiros termos de uma PG, sabendo que o quinto termo é 162 e que a razão é igual a 3. Exercícios 40) Calcular a soma dos sete primeiros termos da PG (1, 3, 9,...).

26 41) Calcular a soma dos oito primeiros termos da PG (2, 4, 8,...). 42) Calcule a soma dos dez primeiros termos da PG ( 3, 6, 12,...). 43) Calcule a soma dos seis primeiros termos da PG ( 1 81, 1 27, 1 9,...).

27 44) Calcule a soma dos onze primeiros termos da PG ( 1 32, 1 16, 1 8,...). 45) Determine a soma dos seis primeiros termos de uma PG, sabendo que o sexto termo é 160 e que a razão é igual a 2. 46) Determine a soma dos cinco primeiros termos de uma PG, sabendo que o quinto termo é 81 e que a razão é igual a 3.

28 47) Determine a soma dos sete primeiros termos de uma PG, sabendo que o sétimo termo é igual a 320 e que a razão é igual a 2. 48) Determine a soam dos dez primeiros termos de uma PG, sabendo que o décimo termo é igual a 1 e que a razão é igual a 1. SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA INFINITA 1<q<1. Exemplo: Dada uma PG infinita (a 1, a 2, a 3,..., a n,...), sendo a razão q diferente de zero (q 0), e (1, 1 3, 1 9, 1 27,...) onde { a 1 =1 q= 1 3 zero. Observe que, quando o número de termos (n) aumenta indefinidamente, o termo (a n ) tende a Em símbolos: lim n a n =0 ou seja, o limite de a n, para n tendendo a infinito, é igual a zero, onde a soma (S) dos infinitos termos pode ser obtida aplicando a fórmula:

29 S= a 1 1 q onde { a 1 é o primeiro termo q é arazão Exercícios R24) Determine a soma dos termos da PG infinita (1, 1 3, 1 9, 1 27,...) R25) Calcular a soma ( ) R26) (FEI-SP) Determine x na igualdade x+ x 2 + x 4 + x +... =20. 8

30 49) Determine a soma dos termos da PG infinita (1, 1 2, 1 4,...). 50) Determine a soma dos termos da PG infinita ( 1 5, 1 20, 1 80,...). 51) Determine a soma dos termos da PG infinita (1, 1 3, 1 9,...).

31 52) (PUC-SP) Calcule a soma S= ) Calcule a soma S= ) (Mack-SP) Calcule S=

32 55) Determine o valor de x na igualdade : x + x 3 + x 9 + x += ) Numa PG de infinitos termos, o primeiro termo é igual a Determine o valor da razão (q) e a soma (S) dos termos é igual a 15. ANÁLISE COMBINATÓRIA A análise combinatória é uma ramo da Matemática que tem por objetivo resolver problemas que consiste basicamente, em escolher e agrupar os elementos de um conjunto. Possui aplicação direta no cálculo das probabilidades, sendo instrumento vital importância para a ciências, como na Genétrica e na Estatística.

33 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Sabendo que um acontecimento ocorre em duas situações e independentes, temos: 1º situação: ocorre de a maneiras. 2º situação: ocorre de b maneiras. O número total de possibilidades de ocorrência de acontecimento é dado pelo produto a.b Exemplo: Um rapaz possui quatro gravatas e três camisas. De quantos modos diferentes ele pode se vestir? Exercícios Resolvidos R1) Três estudantes, Renato, José e Cristina, disputam um torneio de xadrez onde são atribuídos prêmios ao campeão e a o vice-campeão. De quantas maneiras os prêmios poder ser distribuídos?

34 R2) Em quantas ordens diferentes 4 pessoas poem se sentar num sofá de 4 lugares? P2 P3 P4 P4 P3 P1 P3 P2 P4 P4 P2 P4 P2 P3 P3 P2 P1 P3 P4 P4 P3 P2 P3 P1 P4 P4 P1 P4 P1 P3 P3 P1 P1 P2 P4 P4 P2 P3 P2 P1 P4 P4 P1 P4 P1 P2 P2 P1 P1 P2 P3 P3 P2 P4 P2 P1 P3 P3 P1 P3 P1 P2 P2 P1 X X X = A árvore mostra todos os modos possíveis de as 4 pessoas se sentarem num sofá de 4 lugares, ou seja: = possibilidades

35 Exercícios 1) Uma moça possui cinco blusas e duas saias. De quantos modo diferentes ela pode se vestir? 2) Em um baile há 12 moças e 8 rapazes. Quantos casais podem ser formados? 3) Num clube existem 4 portas de entrada que dão acesso a 2 elevadores. Um sócio do clube pretende ir à sala de jogos, que está situada no 6º andar, utilizando um dos elevadores. De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo? 4) Quantos números pares de dois algarismos podem ser formados no sistema decimal? 5) Uma pessoa possui dez envelopes diferentes e oito selos diferentes. De quantos modos essa pessoa pode enviar uma carta, utilizando um envelope e um selo? 6) De quantos modos 3 pessoas podem se sentar num sofá de 5 lugares?

36 7) (Unicamp-SP) Sabendo que número de telefone não começam com 0 nem com 1, calcule quantos diferentes números de telefone podem ser formados com 7 algarismos. 8) (Fatec-SP) Dispomos de 4 cores diferentes entre si, todas elas devem ser usadas para pintar a 5 letras da palavra FATEC, cada letra de uma só cor, e de modo que as vogais sejam as únicas letras pintadas com a mesma cor. De quantos modos pode ser feito isso? a) 4 b) 36 c) 28 d) 120 e) 24 9) (UFBA) Existem 5 ruas ligando os supermercados S 1 e S 2 e 3 ruas ligando os supermercados S 2 e S 3. para ir de S 1 a S 3, passando por S 2, o número de trajetos diferentes que podem ser utilizados é: a) 15 b) 10 c) 8 d) 5 e) 3 10) (Mack-SP) Com números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 4 algarismos distintos. Entre eles, são divisíveis por 5: a) 20 números b) 30 números c) 60 números d) 120 números e) 180 números

37 FATORIAL Considerando um número n, sendo n N e n > 1, temos: n!=n.(n 1).(n 2) onde {a leitura do símbolo n!é n fatorial n!é o produto detodos os números denaté 1 por definição : 0!=1 1!=1 Exemplos: 1) 2! =... 3) 4!=... 2) 3! =... 4) 5!=... Exercícios resolvidos R2) Simplificar as expressões: a) 3! 2! b) 12! 10! c) 4!+5! 4! d) (n+1)! (n 1)! R3) Resolver a equação: (x+2)! =6 x!

38 11) Calcule o valor dos seguintes números fatoriais: a) 0! g) 3! 2! b) 1! h) 0!+1! c) 4! i) (2!) (3!) d) 5! j) (0!) (5!) e) 1!+3! l) ( 0!) (5!) f) 1!+4! m) 0!+1! 12) Simplifique as seguintes expressões: a) 8! 9!... b) 15! 13!...

39 c) d) e) f) 4! 6! 6! 5!2! 8! 4!6! 2. 4! 4!4! ) Simplifique as seguintes expressões: a) n! (n 1)!... b) x! (x 2)!... c) (x+1)! n!... d) (2x+2)! (2x)!... e) x!(x+2)! (x 1)!(x+1)!... f) (n 1)!+(n 2)! n!...

40 14) Determine o valor de x, de modo que se tenha: a) x!=1 b) x!=24 c) x!=720 d) x!=x 15) Resolva as seguintes equações: a) (x+1)! (n 1)! =12 16) n! (n 2)! =20

41 17) (n 1)!(n+2)! =2 n!(n+1)!

42 PERMUTAÇÃO SIMPLES Permutação de um número n de elementos distintos é qualquer grupo ornado desses n elementos. Para cálculo das permutações simples, usamos: P n =n! Leitura: Permutação de n elementos distintos é igual a n fatorial. Exemplo: Calcular o número de anagramas da palavras LÁPIS. Observação: Anagramas são palavras com ou sem sentido. R4) Considere a palavra DILEMA e determine: a) O número total de anagramas; b) O número de anagramas que começam com a letra D; c) O número de anagramas que começam com a letra D e terminam com a letra A; d)o número de anagramas que começam por vogal. 18) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra LIVRO? 19) Quantos são os anagramas da palavra LIVRO que começam por vogal? 20) Quantas são os anagramas da palavra LIVRO que começam por consoantes?

43 21) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ADESIVO? 22) Quantos são os anagramas da palavra ADESIVO que começam a letra D? 23) Quantos são os anagramas da palavra ADESIVO que começam com a letra D e terminam com a letra V? 24) Quantos anagramas da palavra FUVEST possuem as vogais juntas? 25) De quantos modos 6 pessoas podem se sentar em cinco cadeiras, em fila? ARRANJO SIMPLES Chamamos de arranjo simples a todos os agrupamentos simples de p elementos que podemos formar com n elementos distintos, sendo outro pela ordem ou natureza de seus elementos. Para cálculo do número de arranjos simples, usamos: p n, onde cada um desses agrupamentos se diferencia do A n, p = n! (n p)! Leitura A n, p : Arranjo de n elementos tomados de p a p. Exemplo: A 5, 2 =... Exercício resolvidos: R5) Resolver a equação: A n, 2 =6

44 R6) Uma escola possui 18 professores. De quantas maneiras podem ser escolhidos: um diretor, um vicediretor e um coordenador pedagógico? Exercícios 26) Calcule: a) A 4, 3 b) A 5, 2 c) A 12, 3 d) A 4, 2 A 6, 5

45 27) Resolva as equações: a) A n, 2 =30 b) A n, 4 A n, 3 =8

46 28) Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os elementos do conjunto E={1, 2, 3, 4, 5}. 29) Uma empresa possui 16 funcionários administrativos, dos quais serão escolhidos três para os cargos de: diretor, vice-diretor e tesoureiro. De quantas maneiras pode ser feita a escolha? 30) Um pintor deseja pintar as letras da palavra LIVRE em um cartaz de publicidade usando cores diferentes. E quantos modos pode ser feito, se dispõe de 8 tintas de cores diferentes? 31) Em um ônibus, há sete lugares vagos. De quantas maneiras diferentes podem duas pessoas se sentar? 32) (UFBA) Quatro jogadores saíram de Manaus para um campeonato em Porto Alegre, num carro de 4 lugares. Dividiram o trajeto em 4 partes e aceitaram que cada um dirigia uma vez. Combinaram também que, toda vez que houvesse mudança de motorista, todos deveriam trocar de lugar. O número de arrumações possíveis dos 4 jogadores durante toda viagem é: a) 4 b) 8 c) 12 d) 24 e) ) De quantos modos podem-se arrumar 4 livros de Matemática, 3 de Geografia e 2 de Biologia, numa estante, de modo que: a) fiquem dispostos em qualquer ordem? b) os livros de mesmo assunto fiquem juntos?

47 COMBIANÇÃO SIMPLES Chamamos de combinação simples, todos agrupamentos simples de p elementos que podemos formar com n elementos distintos, sendo outro, apenas pela natureza de seus elementos. Para o cálculo do número de combinações simples usamos: p n, onde cada um desses agrupamentos se diferencia do C n, p = n! p!(n p)! Leitura C n, p : Combinação de n elementos tomados de p a p. Exemplo: C 5, 2 =... Exercício resolvidos: R7) Resolver a equação: C x, 2 =6

48 R8) Uma escola possui 9 professores de Matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um congresso. De quantos modos pode ser feita a escolha? 34) Calcule: a) C 5, 3 b) C 7, 5 c) C 6, 2 d) C 10, 3 C 5, 3 35) Resolva as equações: a) C n, 2 =6 b) C n, 4 =4 C n, 3

49 36) De quantos modos podemos iluminar um galpão que possui 10 lâmpadas, sabendo que ficam acesas sempre 4 lâmpadas? 37) Quantos subconjuntos de 4 elementos possuiu um conjunto de 6 elementos?

50 38) Quantas comissões de 5 membros podemos formar numa assembleia de 12 participantes? 39) Uma papelaria possui 8 cadernos diferentes. Querendo comprar apenas três, de quantas maneiras pode ser feita a escolha das cores? 40) O número de combinações de n objetos distintos tomados 2 a 2 é 15. Determine n. 41) (Fatec-SP) Há 12 inscritos em um campeonato de boxe. O número total de lugas que podem ser realizadas entre os inscritos é: a) 12 b) 24 c) 33 d) 66 e) 132

51 42) Qual a diferença entre arranjo simples e combinação? 43) Resolva os problema de arranjo simples, permutação e combinação simples. a) Quantos números de dois algarismos podem ser escritos com os algarismos 2, 3 e 4? b) O diretório acadêmico de uma faculdade possui 12 membros, dos quais serão escolhidos 4 para os cargos de presidente, vice-presidente, tesoureiro e secretário. De quantas maneiras pode ser feita a escolha? c) Um estudante possui 9 folhas de papel, de cores diferentes e que encapar 3 cadernos, um de cada cor. Quantas são as maneiras possíveis? d) Determine o número de diagonais do pentágono (polígono de 5 lados)

52 PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS (α, β,..., p γ) n! n = α!β!,..., γ! Um conjunto foi escrito com n elementos. Um dos elementos foi repedido α (alfa) vezes, outro elemento foi repetido β (beta) vezes e assim por diante, até um elemento γ (gama) vezes. O número de permutações que se pode obter com os elementos é: Exemplo: Qual é o número de anagramas que podemos forma com as letras da palavra INFINITO? 44) Qual é o número de anagramas podemos formar com as letras da palavra URUGUAY? 45) (Unicamp-SP) As avenidas de uma cidade estão dispostas na direção norte-sul e as ruas na direção leste-oeste. Um trabalhador, que reside numa das esquinas dessa cidade, trabalha numa firma localizada em outra esquina, 2 quadras ao sul e 3 quadras a leste. Quantos caminhos (possíveis) o trabalhador pode seguir de sua casa à fábrica, percorrendo sempre a menor distância?

53 NÚMERO BINOMIAIS Se n e p são dois números, tais que {n, p} N e n p, chama-se número binomial de classe p do número n ao número: ( n p) = n! p!(n p)! Notamos que : ( n 0) =C n, p Exemplos: 1) ( 6 2) =... 2) ( 4 3) =... CASOS NOTÁVEIS 1) ( n 0) = n! 0!(n 0)! = n! 1. n! =1 Exemplo: ( 3 0) = ) ( n 1) = n! 1!(n 1)! = n!(n 1)! = n (n 1)! Exemplo: ( 2 1) =......

54 3) ( n n) = n! n!(n n)! = n! n! 0! = 1 Exemplo: ( 5 5) =... PROPRIEDADES DOS NÚMEROS BINOMIAIS PROPRIEDADE 1: Se ( n p) = ( n q) temos :{ p= q ou p+ q =n Exemplo: ( 5 3) = ( 5 2)... PROPRIEDADE 2: Relação de Stifel ( n p) + ( Exemplo: n p+1) = ( n+1 p+1) ( 6 4) + ( 6 5) = ( 7 5) Exercícios resolvidos R9) Determinar: a) ( 5 3) = b) ( 3 0) + ( 4 1) + ( 5 5)

55 R10) Resolver a equação: ( 5 x) = ( 5 2) R11) Determinar ( 8 6) = ( 8 7) Exercícios 45) Calcule: a) ( 6 2)... b) ( 5 4)... c) ( 7 6)... d) ( 10 8 )... 46) Simplifique as expressões: a) ( 2 0) + ( 7 7)...

56 b) ( 4 1) ( 8 0)... c) ( 5 0) + ( 5 1) + ( 5 5)... 47) Simplifique as expressões aplicando a relação de stifel: a) ( 5 2) ( 5 3) b) ( 10 7 ) ( 10 8 ) 48) Determine o conjunto verdade das equações: a) ( 7 x) = ( 7 3)... b) ( 2 6) = ( 8 x)... c) ( x 6) = ( x 4)...

57 (Sugestão: Comparar com a relação de Stifel.) d) ( x 2) + ( x 3) = ( 7 3)... e) ( x 4) + ( x 5) = ( 7 5)... BINÔMIO DE NEWTON Em matemática, binómio de Newton (português europeu) ou binômio de Newton (português brasileiro) permite escrever na forma canônica o polinômio correspondente à potência de um binômio. O nome é dado em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton. Entretanto deve-se salientar que o Binômio de Newton não foi o objeto de estudos de Isaac Newton. Na verdade o que Newton estudou foram regras que valem para (a + b)n quando o expoente n é fracionário ou inteiro negativo, o que leva ao estudo de séries infinitas. Supondo um número natural n, n N, podemos considerar a expressão: Isaac Newton ( ) (x+a) n = ( n 0) xn a 0 + ( n 1) xn 1 a 1 + ( n 2) xn 2 a ( n n) x0 a 0 Considere alguns valores para n, temos: a) n=0 (x+a) 0 = ( 0 0) b) n=1 (x+a) 1 = ( 1 0) x1 a 0 + ( 1 1) x0 a 1 c) n=2 (x+a) 2 = ( 2 0) x2 a 0 + ( 2 1) x1 a 1 + ( 2 2) x0 a 2

58 d) n=3 (x+a) 3 = ( 3 0) x3 a 0 + ( 3 1) x2 a 1 + ( 3 2) x1 a 2 + ( 3 3) x0 a 3 TERMO GERAL DO BINÔMIO DE NEWTON Todo termo do desenvolvimento do binômio de Newton pode ser representado pela expressão: T p+1 = ( n 0) xn p. a p Exemplo: Determinar o termo x 3 no desenvolvimento do binômio (x+4) 5. Exercícios 49) Desenvolva os seguintes binômios: a) (x+1)³... b) (x+3)⁴... c) (x+2)⁵...

59 d) (x 1)³... e) (x 3)²... f) (x 2)⁴... 50) Determine o termo em x³ no desenvolvimento dos binômios: a) (x+2) 6

60 b) (x+3) 8 51) Determine o termo em x 5 no desenvolvimento dos binômios: a) (x+2) 7 b) (x 1) 6

61 TRIÂNGULO DE PASCAL A determinação de números binomiais pode ser obtida por meio de um dispositivo prático chamado triângulo de Pascal, que é construído com base na teoria e propriedades dos números binomiais. p n ( 0 0) ( 1 0) ( 1 1) ( 2 0) ( 2 1) ( 2 2) ( 3 0) ( 3 1) ( 3 2) ( 3 3) ( 4 0) ( 4 1) ( 4 2) ( 3) 4 ( 4 4) ( 5 0) ( 5 1) ( 5 2) ( 5 3) ( 5 4) ( 5 5) ( 6 0) ( 6 1) ( 6 2) ( 6 3) ( 6 4) ( 6 5) ( 6 6)... ou Verifique no triângulo de Pascal as seguintes propriedades: 1º) Um cateto e a hipotenusa do triângulo de Pascal são formados por 1. 2º) Em cada linha os termos equidistantes dos extremos são iguais. 3º) A soma de dois elementos consecutivos de uma linha é igual ao elemento da linha seguinte, 4º) A soma dos elementos de cada linha do triângulo é um potência de 2, cujo expoente é o número da linha.