MÓDULO 2 MATEMÁTICA RECADO AO ALUNO

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1 MÓDULO 2 MATEMÁTICA RECADO AO ALUNO As matérias desta apostila foram reunidas e consolidadas para estudo dos alunos Instituto Marconi. A leitura e estudo deste conteúdo não exclui a consulta a outras fontes que possam enriquecer e oferecer maior abrangência aos tópicos solicitados em editais de concursos públicos e outras formas de seleção. 1

2 V - SISTEMAS DE MEDIDAS Para mensurar comprimentos, superfícies, massas, tempos, etc., utilizam unidades de medida. Por exemplo: 4m (metros), 35s (segundos), 350g (gramas), 7,5m 2 (metros quadrados). Neste módulo, a nossa tarefa é realizar conversões de unidade e operações com essas conversões. Lembrete Importante Para que possamos realizar operações com um sistema de medida, as unidades de medida devem ser as mesmas. Vejamos este exemplo: Como somar 2,5 horas com 17 minutos? Geralmente, raciocinamos assim: 2,5 horas são duas horas e meia, ou seja, 2 horas e 30 minutos; se somarmos 17 minutos, teremos 2 horas e 47 minutos. Operando dessa forma, encontramos resultados muito úteis em nosso cotidiano, como: saber quanto tempo falta para o almoço; há quanto tempo estamos esperando em uma fila, etc. Porém, existem problemas em matemática onde as unidades aparecem mais misturadas, tornando o cálculo mental muito mais difícil. Por isso é preciso estudar e conhecer bem os sistemas de medidas para conseguir resolver as questões sobre esse assunto. Analise atentamente os sete sistemas básicos de mensuração, incluindo o sistema métrico decimal, que apresentamos em seguida: MEDIDA Unidade Básica 1. comprimento m (metro) 2. superfície (ou área) m 2 (metro quadrado) 3. volume m 3 (metro cúbico) 4. capacidade l (litro) 5. massa g (grama) 6. tempo s (segundo) 7. ângulo grau Os cinco primeiros sistemas apresentados acima podem ser expressos por prefixos gregos e latinos, que designam seus múltiplos e submúltiplos. Chamamos de múltiplos às unidades superiores à unidade principal. Os múltiplos são 10, 100 e 1000 vezes maiores e são indicados pelos radicais gregos: Radical Significado Abreviatura DECA 10 da HECTO 100 h QUILO 100 k Nota: Os radicais são sempre seguidos da unidade principal. Exemplos: km = quilômetro (1.000 metros) dal = decalitro (10 litros) 2

3 hg = hectograma (100 gramas) É óbvio que, em nosso cotidiano, simplificamos as coisas. Ninguém vai à padaria e pede 1 hectograma de queijo; ou sugere que se coloque meio decalitro de água na banheira, não é mesmo? Mas é necessário sabermos estas designações, pois em muitas áreas, trabalhos e problemas estas unidades são corriqueiras. Atenção - Há um múltiplo de massa usado corriqueiramente e que não se encontra na tabela acima: é a tonelada, que equivale a 1000 kilogramas (um milhão de gramas). Submúltiplos Chamamos de submúltiplos às unidades menores do que a principal. Os submúltiplos são 10, 100 e 1000 vezes menores do que a unidade principal e são indicados pelos radicais latinos: Radical Significado Abreviatura DECI Décima parte (0,1) d CENTI Centésima parte (0,01) c MILI Milésima parte (0,001) m Exemplos: dm = decímetro = 0,1 m cm = centímetro = 0,01 m mm = milímetro = 0,001 m Também podemos compor os submúltiplos, da seguinte forma: Décimo de milímetro = 0,1. 0,001 m = 0,0001 m Centésimo de milímetro = 0,01. 0,001 m = 0,00001 m Vamos examinar, em seguida, cada um dos sete Sistemas Básicos de Mensuração. 1 Unidades de Comprimento Nome Símbolo Valor quilômetro hectômetro decâmetro km hm dam 1000 m 100 m 10m Unidade metro m 1m Submúltiplos decímetro centímetro milímetro dm cm mm 0,1 m 0,01 m 0,001 m Operações: Para realizar operações que envolvem múltiplos e submúltiplos de unidades de medidas, é necessário converter todos os elementos da operação na mesma unidade (em geral na unidade padrão). Veja um exemplo: Efetuar e apresentar o resultado em metros: 2 hm + 456,3 dm + 0,3481 km =? 3

4 Vamos expressar as três parcelas em metros. Há duas formas básicas de converter as unidades: por regra de três ou por uma regra prática. Veja: Logo: 1.x = 0,1. 456,3 x = 45,63 m Aplicando a regra de três: dm m 1 0,1 456,3 x Falta aplicar a regra prática neste problema, mas antes, convém entender com clareza os tópicos a seguir, para procedermos corretamente: Converter um submúltiplo na Unidade Padrão: Deve-se deslocar a vírgula para a ESQUERDA, tantas casas decimais quanto for a distância deste submúltiplo na tabela, em relação à unidade padrão. Um exemplo: A medida 456,3 dm está a uma distância da unidade padrão na tabela. Então, andamos apenas uma casa para a esquerda. Logo: 456,3 dm = 45,63 m Converter um Múltiplo na Unidade Padrão: Deve-se deslocar a vírgula para a DIREITA, tantas casas decimais quanto for a distância deste múltiplo na tabela, em relação à unidade padrão. Atenção: Estas regras práticas só valem para unidades decimais. Portanto não valem para tempo e ângulo, ou para lineares (quando o expoente da unidade padrão é 1). No caso de área (m 2 ), a cada distância da unidade padrão deve-se transferir a vírgula DUAS casas decimais. No caso de volume (m 3 ), a cada distância da unidade padrão deve-se transferir a vírgula TRÊS casas decimais. Exemplo: A medida 0,3481 km está a três distâncias da unidade padrão na tabela. Então, andamos três casas para a direita. Logo: 0,3481 km = 348,1 m Entendendo melhor a regra prática, já podemos retornar à questão que estávamos resolvendo: 2 hm + 456,3 dm + 0,3481 km =? 2 hm = 200 m Como hm é múltiplo de m, e está a duas distâncias, então: duas casas para a direita. 456,3 dm = 45,63 m Como dm é submúltiplo de m, e está a uma distância, então: uma casa para a esquerda. 4

5 0,3481 km = 348,1 m Como km é múltiplo de m, e está a três distâncias, então: três casas para a direita. Agora que convertemos todas as medidas à mesma unidade, podemos efetuar a soma: 200 m + 45,63 m + 348,1 m = 593,73 m 2 Unidades de Área (ou Superfície) Nome Símbolo Valor Quilômetro quadrado Hectômetro quadrado Decâmetro quadrado km 2 hm 2 dam m m 2 100m 2 Unidade Metro quadrado m 2 1m 2 Submúltiplos Decímetro quadrado Centímetro quadrado Milímetro quadrado dm 2 cm 2 mm 2 0,01 m 2 0,0001 m 2 0, m 2 Nota: Também medem áreas ou superfícies: 1 ha (hectare) = m 2 1 a (are) = 100m 2 3 Unidades de Volume Nome Símbolo Valor Quilômetro Cúbico Hectômetro Cúbico Decâmetro Cúbico km hm 3 dam m m m 3 Unidade Metro Cúbico m 3 1m 3 Submúltiplos Decímetro Cúbico Centímetro Cúbico Milímetro Cúbico dm 3 cm 3 mm 3 0,001 m 3 0, m 3 0, m 3 4 Unidades de Capacidade Nome Símbolo Valor Quilolitro Hectolitro Decalitro kl hl dal 1000 l 100 l 10 l Unidade Litro l 1 l Submúltiplos Decilitro Centilitro Mililitro dl cl ml 0,1 l 0,01 l 0,001 l Atenção: As unidades de capacidade são utilizadas para medirmos o volume de líquidos. Portanto, há alguma relação entre volume e capacidade. A própria definição de litro vem de sua relação com o volume. Um litro é a capacidade de 1 dm 3, por definição. Ou seja, a quantidade de líquido que cabe em um cubo com 1dm (ou 10 cm) de aresta. Grave bem estas relações: 5

6 1 litro = 1dm 3 = 0,001 m l = 1 m 3 5 Unidades de Massa Nome Símbolo Valor Quilograma Hectograma Decagrama kg hg dag 1000 l 100 l 10l Unidade Grama g 1l Submúltiplos Decigrama Centigrama Miligrama dg cg mg 0,1 l 0,01 l 0,001 l Uma curiosidade: Você sabe a que equivale o Quilograma? Resposta: Um kg é a massa equivalente a 1 litro de água (em determinada temperatura). 6 Unidades de Tempo Utilizamos como unidade de tempo o segundo (s). Nome Símbolo Valor Dia Hora Minuto d h min s s 60 s Unidade Segundo s 1 s Para realizarmos operações referentes a tempo é fundamental observar que esta NÃO é uma grandeza decimal, ou seja, não é a cada 10 unidades que atingimos o seu múltiplo. Note bem: Comprimento é uma grandeza decimal, pois 10 m = 1 dam. Mas 10 s não é igual a um minuto (o múltiplo seguinte). Então, para converter tempo em unidades diferentes, devemos proceder da seguinte forma: Podemos converter as diferentes parcelas de uma adição, por exemplo, na menor unidade entre as parcelas. Veja: 15 min + 47 s + 0,5 h + 23 s =? A menor unidade de tempo entre as parcelas, da adição acima, é o segundo (s). Então, podemos converter todas as parcelas em segundos, e teremos: 15 min = 15 x 60s = 900s 0,5 h = 30 min = 30 x 60s = 1800s Agora, basta somar: 900s + 47s s + 23s = 2770s É conveniente apresentar o resultado na forma composta, tal como apresentado inicialmente na adição. Isto é, identificando horas e minutos embutidos na resposta. 6

7 Sabendo que cada minuto tem 60 segundos, se dividirmos o resultado por 60, terá no quociente o número de minutos e no resto o número de segundos que não completam um minuto. Vejamos: A divisão (2770 : 60) tem como quociente 46 e como resto 10. Portanto, 2770s = 46min e 10s. Podemos também proceder de maneira mais simples (o que nem sempre é possível), somando as parcelas apresentadas em minutos, em separado das parcelas em segundos, e identificando se há necessidade de alterar as unidades de tempo. Vejamos: 15 min + 47 s + 0,5 h + 23 s =? 15 min + 30 min + 47 s + 23 s = 45 min + 70 s = Como, 70 s = 1 min + 10 s, temos: 45 min + 1 min + 10 s = 46 min e 10 s Por fim, vamos analisar um modo mais formal de proceder: Suponha que você tenha que somar o tempo (5d, 23h, 5min, 30s) ao tempo (2d, 18h, 18min, 45s). O que se pode fazer é somar as mesmas unidades de tempo em separado, acrescentando as unidades que ultrapassam seus múltiplos na unidade superior. Parece difícil nas palavras, mas é simples na operação, como veremos: 5d 23h 50min 30s +2d 18h 18min 45s 7d 41h 68m 75s Agora, sempre iniciando pela menor unidade de tempo, verificamos se ela pode enviar alguma parcela para a unidade imediatamente superior. Veja: 75s = 1min + 15s; então: 7d 41h 68min 75s + 1min -60s 7d 41h 69min 15s Usamos o mesmo processo com os minutos e temos: 69 min = 1h + 9min. 7d 41h 69min 15s + 1h 60min 7d 42h 9min 15s Por fim, usamos igual procedimento com as horas: 42h = 1d + 18h 7d 42h 9min 15s + 1d 24h. 8d 18h 9min 15s Pronto! Chegamos ao resultado: 8d, 18h, 9min, 15s Na subtração com unidades de tempo, operamos de maneira parecida à adição, verificando apenas se a primeira parcela tem unidades suficientes para subtrairmos a segunda parcela. Vejamos: 7

8 2d 5h 4min - 1d 7h 42min=? Como os 4min da primeira parcela não são suficientes para subtrairmos os 42min da segunda parcela, devemos transformar uma das 5h da primeira parcela, em minutos: 2d 5h 4min -1h + 60min 2d 4h 64 min (primeira parcela alterada) - 1d 7h 42min (segunda parcela) 1d? 22min Observando o resultado, concluímos que é preciso fazer o mesmo com as horas: 2d 4h -1d + 24h (parte da primeira parcela alterada) 1d + 28h Não é preciso operar com os minutos, pois já temos esse resultado (22 m) 1d 28h - 1d 7h 0d 21h Portanto, chegamos ao resultado: 2d 5h 4min - 1d 7h 42min = 21h e 22min Para fixar a aprendizagem, vamos praticar mais um pouco, resolvendo a mesma subtração pelo método de redução à menor unidade: 2d 5h 4min =? min 2d = 2.24 h = 48 h = 48.60min = 2880 min 5h = 5.60 min = 300min Logo: 2d 5h 4min = 2880min + 300min + 4min = 3184min 1d 7h 42min =? min 1d = 1.24h = 24.60min = 1440min 7h = 7.60min = 420min Logo: 1d 7h 42min = 1440min + 420min + 42min = 1902min Então: 2d 5h 4min - 1d 7h 42min = 3184min 1902min = 1282min Resposta em minutos: 1.282min. Lembrete: Como já frisamos, sempre que possível, devemos converter a resposta em número misto, também chamado de número composto. Assim, vamos dividir 1282min por 60, para descobrir quantas horas ele contém: 1282 : 60 =? Sendo o quociente 21 e o resto 22, significa que temos 21h e 22min, tal como havíamos encontrado anteriormente. 8

9 7 Unidades de Ângulos A medida de ângulo utilizada com maior freqüência é o grau ( o ). Seus submúltiplos são: o minuto ( ) e o segundo ( ). Por se tratar de unidade sexagesimal, como a unidade de tempo, os procedimentos de seu cálculo são análogos aos da unidade de tempo. Para converter, devemos considerar que: 1 grau (1 o ) = 60 minutos (60 ) = 3600 segundos (3600 ) 1 minuto (1 ) = 60 segundos (60 ) Notação (o mesmo que representar por sinais): O ângulo de trinta graus, quarenta minutos e dez segundos será assim notado: Praticando a aprendizagem: Neste ponto, convém exercitar os novos conhecimentos adquiridos. Certamente que as questões de provas e concursos não vão pedir apenas conversões de unidade. Mas elas sempre serão necessárias. Em 90% dos casos, o problema requisitará mais do que isso: a construção de raciocínios complexos para encontrar as soluções. Problema 1 Considerando que uma pessoa precisa de 200 l de água por dia, pergunta-se: qual seria o volume expresso em m 3 da caixa d água de um edifício que possui 12 andares, com 4 apartamentos por andar, sendo que, em cada apartamento habitarão, em média, 5 pessoas, supondo que este volume deve ser acrescido de 1/5 para reserva contra incêndio e deve ser suficiente para um dia de reserva? Resolução: É preciso saber, primeiro, quantos litros de água precisam para atender às necessidades por um dia. Iniciemos pelo cálculo voltado às pessoas: Sabemos que são 5 pessoas por apartamento; 4 apartamentos por andar; e que o prédio tem 12 andares. Vamos representar o número de pessoas por p. Então, temos que: p = = 240 Se cada pessoa necessita de 200 l de água por dia, 240 pessoas necessitam de = l. Mas a caixa d água deve ter 1/5 de reserva para incêndio, ou seja, 1/5 de = 1/ = 9600 litros Assim, teremos uma caixa d água com = l Acontece que o enunciado nos pede a resposta em m 3. Portanto, precisamos fazer a conversão de medidas, lembrando que 1 l = 1dm 3. Então: l = dm 3 Para convertermos dm 3 em m 3, precisamos deslocar a vírgula três casas para a esquerda. Dessa forma, temos: dm 3 = 57,6 m 3 Resposta: O volume da caixa d água é 57,6 m 3 9

10 Problema 2 Uma pessoa adquire um terreno que será pago em 4 parcelas iguais. Sabendose que a área do terreno é de 0,018 hm 2 e que o preço do m 2 da região é de R$ 820,00, qual será o valor de cada parcela? Resolução: Inicialmente é preciso converter a unidade. Sabemos que: hm 2 = m 2 Como o terreno tem 0,018 hm 2, o cálculo é simples: 0,018 hm² = 0, = 180 m 2. No cálculo acima, também poderíamos usar a regra prática, apenas deslocando 4 casas decimais para a direita, pois hm 2 está a duas distâncias de m 2. Resta agora, multiplicar o número de metros quadrados pelo preço do metro quadrado na região, para sabermos o preço do terreno. Esta informação é necessária para depois sabermos o preço de cada uma das 4 parcelas. Preço do terreno = = Preço de cada parcela = : 4 = Resposta: O valor de cada parcela será R$ ,00. Problema 3 Dois relógios estão marcando o mesmo horário. Um atrasa 0,5 min em cada 12h de funcionamento, enquanto o outro adianta 1 min a cada 8 h. Depois de 7 dias, se o primeiro marca 10 h e 40min, que horário estará marcando o segundo relógio? Resolução: Se soubermos a diferença de tempo que se produz a cada dia entre os dois relógios, encontraremos facilmente o horário do segundo relógio. Então, tratemos de descobrir essa diferença: Em um dia, quantos minutos o primeiro relógio atrasa? Sabemos que atrasa 0,5 min a cada 12 horas. Como o dia tem 24 h, isto é, o dobro de 12 horas, ele atrasa o dobro de minutos. Então, em um dia ele atrasa (2. 0,5 m) = 1 min. Poderíamos chegar à mesma conclusão, aplicando uma regra de três bastante simples. Agora, é preciso descobrir quantos minutos o segundo relógio fica adiantado em um dia. Sabemos que ele adianta 1 min a cada 8 horas. Como o dia tem 24 h (o triplo de 8 h) ele adianta o triplo de minutos, ou seja, 3 minutos. Vejamos: por dia, um atrasa 1 min e o outro adianta 3 min. Logo, a cada dia eles se distanciam em 4 minutos. Em sete dias, eles terão se distanciam 4.7 = 28 min. Resta descobrir o horário que o segundo relógio estará marcando, sabendo que ele estará adiantado 28 min em relação ao primeiro, que estará marcando 10 h e 40 min. É só somar 28 min a 10 h e 40 min: 10h 40min + 28min = 10h 68min. Como: 68 min são 1h 8min, então teremos 11h 8min. Resposta: O segundo relógio marcará 11 horas e 8 minutos. Problema 4 Resolve-se cercar um trecho de 1,5km de uma estrada, com estacas a cada 2,5m. Pergunta-se qual o número necessário de estacas, supondo que será colocada uma estaca no início e outra no fim do trecho construído. 10

11 Resolução: Observemos a informação que vem por último no enunciado. Ela informa que haverá uma estaca a mais que o número de espaçamentos. Analise um exemplo em que temos 5 espaçamentos e seis estacas, representadas pela letra x. X X X X X X Como o estacamento proposto pelo enunciado é similar a este, teremos uma estaca a mais que o número de espaçamentos. Observação: Muitas vezes, é em detalhes como esse que perdemos a questão! Sempre é preciso prestar muita atenção e, na medida do possível, tentar reproduzir a situação proposta. E isso vale para qualquer problema de matemática! Vamos prosseguir na resolução propriamente dita. Precisamos descobrir quantos espaçamentos teremos, já que a linha a ser cercada tem 1,5km e cada estaca ficará a 2,5m uma da outra. Tudo indica que precisamos descobrir quantas vezes 2,5m cabem em 1,5km, certo? Para prosseguir, é preciso converter uma das unidades. Optamos por converter km em m. Então: 1,5km = 1500m. Se cada estaca está distante da outra 2,5m, temos que dividir a linha a ser cercada por 2,5. Assim, 1500 : 2,5 = 600 Concluímos que temos 600 espaçamentos. Como teremos mais uma estaca ao final do estacamento, teremos: = 601 estacas. Resposta: Serão necessárias 601 estacas. Problema 5 - (Técnico Judiciário TRF 1ª Região 2001) Certo dia, um técnico judiciário trabalhou ininterruptamente por 2 horas e 50 minutos na digitação de um texto. Se ele concluiu essa tarefa quando eram decorridos 11/16 do dia, então ele iniciou a digitação do texto às: (A))13h40min (B) 13h20min (C) 13h (D) 12h20min (E) 12h10min Resolução: Vamos primeiramente descobrir a que horas ele concluiu a tarefa. Sabemos que ele concluiu aos 11/16 do dia, então: d =.24h =.3h = h Se dividirmos 33 por 2, teremos 16,5. Significa que ele terminou a tarefa às 16,5h (ou 16 horas e meia hora, o que equivale a 16h30min). Então temos que subtrair 2h50min (tempo trabalhado) de 16h30min (quando terminou a tarefa) para encontrarmos a hora em que iniciou a digitação. Vamos lá? 16h 30min - 2h 50min?? 11

12 Percebemos que é preciso ter mais minutos na primeira parcela para dela extrair a segunda. Então vamos converter uma hora da primeira parcela em minutos (16h 30min = 15h 90min): 15h 90min - 2h 50min 13h 40min Logo, ele iniciou a tarefa às 13h40min. Resposta: A alternativa correta é (A) Nota: É possível utilizar outros caminhos para resolver a mesma questão. Tente identificá-los. De qualquer forma, o que realmente importa é acertar a resposta! Neste ponto, sugerimos que você resolva sozinhos os próximos exercícios. Mas, antes de iniciar, e para não ficar desanimado, preste atenção a algumas máximas pedagógicas: Quanto mais praticamos, mais aprendemos. Só aprendemos fazendo. O aluno é quem constrói o próprio conhecimento. É errando e tentando que se aprende. Problema 1 - (Escrevente Judiciário 2002) A distância entre duas cidades é de aproximadamente 8,6 quilômetros. Uma pessoa que estava fazendo esse percurso de uma cidade à outra teve um problema no seu veículo no meio do caminho e parou. Esta pessoa já havia percorrido quantos metros? a) 4,0 b) 4,3 c) 43 d) 4300 e) 4600 Anotações do aluno Problema 2 - (Técnico Previdenciário 2005) Seu José produziu 10 litros de licor de cupuaçu e vai encher 12 garrafas de 750 ml para vender na feira. Não havendo desperdício, quantos litros de licor sobrarão depois que ele encher todas as garrafas? a) 1,00 b) 1,25 c) 1,50 d) 1,75 e) 2,00 Anotações do aluno Problema 3 - (Técnico Previdenciário 2005) Um Terreno de 1 km 2 será dividido em 5 lotes, todos com a mesma área. A área de cada lote, em m 2 será de: a) b) c) d) e) Anotações do aluno 12

13 Problema 4 - (Técnico Judiciário TRF 1ª Região 2001) Para o transporte de valores de certa empresa são usados dois veículos, A e B. Se a capacidade de A é de 2,4 toneladas e a de B é de quilogramas, então a razão entre as capacidades de A e B, nessa ordem, equivale a: (A) 0,0075 % (B) 0,65 % (C) 0,75 % (D) 6,5 % (E)) 7,5 % Anotações do aluno Atenção: A razão entre A e B é o valor A/B. Logo, o valor encontrado será um número decimal que deverá ser convertido em porcentagem perdendo duas casas decimais. Trataremos desse assunto mais adiante. Problema 5 - (Técnico Bancário CEF 2000) João e Maria acertaram seus relógios às 14 horas do dia 7 de março. O relógio de João adianta 20 s por dia e o de Maria atrasa 16 s por dia. Dias depois, João e Maria se encontraram e notaram uma diferença de 4 minutos e 30 segundos entre os horários que seus relógios marcavam. Em que dia e hora eles se encontraram? a) Em 12/03 à meia noite b) Em 13/03 ao meio dia c) Em 14/03 às 14 h d) Em 14/03 às 22 h e) Em 15/03 às 2 h Anotações do aluno Verifique agora a sua performance, conferindo os seus resultados com as respostas corretas: 1D; 2A; 3E; 4E; 5E 13

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