Emerson Marcos Furtado

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1 Emerson Marcos Furtado Mestre em Métodos Numéricos pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catarina desde Professor do Curso Positivo de Curitiba desde Professor da Universidade Positivo de 2000 a Autor de livros didáticos destinados a concursos públicos nas áreas de matemática, matemática financeira, raciocínio lógico e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pesquisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a Professor sócio do Colégio Positivo de Joinville desde Sócio-diretor da Empresa Teorema Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde Autor de material didático para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 2005 a Professor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocínio lógico, estatística, matemática e matemática financeira. Consultor da Empresa Result Consultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a Consultor em Estatística Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômica, qualidade, educacional, industrial e eleições desde Membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde Autor de questões para concursos públicos no estado do Paraná desde 2003.

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3 Introdução O homem tem a necessidade de medir desde a Antiguidade. Durante muitos séculos, cada povo teve um modo de medir, além de utilizar unidades distintas de medida. Em geral, eram empregadas unidades que se baseavam em partes do corpo humano, tais como a palma da mão, o pé, o polegar, o braço e outros. Essa forma difusa de se medir, própria de cada povo em particular, criava dificuldades para se quantificar alguma grandeza, sobretudo no comércio, uma vez que a medida da palma da mão, por exemplo, varia de pessoa para pessoa. Com isso, pode-se imaginar o problema existente na comercialização de produtos cujas quantidades eram expressas em unidades de medida diferentes. Com o passar do tempo houve, então, a necessidade de se unificar as unidades de medida. Isso ocorreu a partir da Revolução Francesa, no final do século XVIII. Foi em 1795 que a Academia de Ciências da França apresentou o Sistema Métrico Decimal, sistema esse utilizado posteriormente por muitos países, incluindo o Brasil, que o adotou em Sistema Métrico Decimal O Sistema Métrico Decimal constitui-se de um conjunto de unidades de diversas espécies, todas derivando de uma unidade de comprimento denominada metro (símbolo m). Unidades de comprimento As unidades de comprimento são baseadas no metro (unidade principal) seus múltiplos e submúltiplos. 43

4 Os múltiplos formam-se da unidade principal precedida dos prefixos gregos deca (dez), hecto (cem) e quilo (mil). Os submúltiplos formam-se da unidade principal precedida dos prefixos gregos deci (décimo), centi (centésimo) e mil (milésimo). A unidade principal de comprimento é o metro. km hm dam m dm cm mm Múltiplos Unidade fundamental Submúltiplos Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro km hm dam m dm cm mm 1 000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m Exemplo: A medida 2,147m significa: 2 metros 1 decímetro 4 centímetros 7 milímetros Ou seja, 2,147m = 21,47dm = 214,7cm = 2 147mm Unidades de área (superfície) A unidade principal de área ou superfície é o metro quadrado, ou seja, a área de um quadrado cujo lado (aresta) mede um metro de comprimento. 1m 1m 1m S = 1m. 1m S = 1m 2 1m² = (1m). (1m) 1m 44

5 As unidades de área são baseadas no metro quadrado, seus múltiplos e submúltiplos. km² hm² dam² m² dm² cm² mm² Múltiplos Unidade fundamental Submúltiplos Quilômetro quadrado Hectômetro quadrado Decâmetro quadrado Metro quadrado Decímetro quadrado Centímetro quadrado Milímetro quadrado km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm m m 2 100m 2 1m 2 0,01m 2 0,000 1m 2 0, m 2 Exemplo: Transforme 23,1dm² em dam²: Quatro casas decimais para a esquerda. Logo: 23,1dm² = 0,00231dam². Unidades de volume A unidade principal de volume é o metro cúbico, ou seja, o volume de um cubo cujo lado (aresta) mede um metro de comprimento. 1m 1m 1m V = 1m. 1m. 1m V = 1m 3 1m³ = (1m). (1m). (1m) 45

6 As unidades de volume são baseadas no metro cúbico, seus múltiplos e submúltiplos. km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³ Múltiplos Unidade fundamental Submúltiplos Quilômetro cúbico Hectômetro cúbico Decâmetro cúbico Metro cúbico Decímetro cúbico Centímetro cúbico Milímetro cúbico km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm m m m 3 1m m m m 3 Exemplo: Transforme 4,254km³ em m³: Nove casas decimais para a direita. Logo: 4,254km³ = m³. Unidades de capacidade As unidades de capacidade são baseadas no litro (unidade principal) seus múltiplos e submúltiplos. kl hl dal L dl cl ml Múltiplos Unidade fundamental Submúltiplos Quilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro kl hl dal L dl cl ml 1 000L 100L 10L 1L 0,1L 0,01L 0,001L Observação: Para transformação de unidades, o procedimento é análogo ao de mudança de medidas de comprimento. Exemplo: Transforme 0,002kL em dl: Quatro casas decimais para a direita. Logo: 0,002kL = 20dL. 46

7 Unidades de massa As unidades de massa são baseadas no grama (unidade principal) seus múltiplos e submúltiplos. t kg hg dag g dg cg mg Múltiplos Unidade fundamental Submúltiplos Tonelada Quilograma Hectograma Decagrama Grama Decigrama Centigrama Miligrama t kg hg dag g dg cg mg 1 000kg 1 000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g Observação: Para transformação de unidades, o procedimento é análogo ao de mudança de medidas de comprimento. Exemplo: Transforme 0,2hg em g: Duas casas decimais para a direita. Logo: 0,2hg = 20g. Observações importantes Unidades agrárias A unidade agrária principal é o are. O múltiplo de are é hectare (100 vezes o are) e o submúltiplo é o centiare (0,01 vezes o are). Are 1a = 100m 2 Hectare 1ha = 100a = m 2 Centiare 1ca = 0,01a = 1m 2 47

8 Relações métricas equivalentes 1dm³ 1 litro 1m³ litros 1kg 1 litro de água Sistema de medidas não decimais São as medidas em que não existe uma relação decimal entre a unidade principal e os respectivos múltiplos e submúltiplos. Unidades de tempo 1 dia = 24 horas 1 hora = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos Unidades de ângulo Os ângulos podem ser medidos em graus, grados ou radianos. 180 = 200gr = π rad 1 grau (1 ) = 60 minutos (60 ) 1 minuto (1 ) = 60 segundos (60 ) Dica de estudo O êxito no estudo das unidades de medida reside, inicialmente, na compreensão dos prefixos kilo, hecto, deca, deci, centi e mili. A partir daí, as conversões de um número de uma unidade para outra ficarão bem mais acessíveis. Fique atento também às questões em que é necessário transformar unidades de área ou de volume, pois o deslocamento da vírgula se dá de forma um pouco diferente. Uma das questões mais observadas quando se trata de unidades de medida é aquela em que se pretende transformar unidades de capacidade em unidades de volume, ou vice-versa. Lembre-se sempre da igualdade que afirma que 1 litro corresponde a 1dm 3. 48

9 Resolução de questões 1. (Esaf) Uma sala de 0,007km de comprimento, 80dm de largura e 400cm de altura tem uma porta de 2,4m² de área e uma janela de 2m² de área. Quantos litros de tinta serão necessários para pintar a sala toda, com o teto, sabendo-se que com 1L de tinta pinta-se 0,04dam²? a) 38,9 b) 39,3 c) 40,1 d) 41,4 e) 42,9 2. (FCC) Um dia sideral corresponde ao tempo necessário para que a Terra complete uma rotação em torno do seu eixo relativo a uma estrela fixa no espaço sideral, possibilitando-nos aferir um tempo de aproximadamente 23,93447h. O dia solar médio é o tempo correspondente a uma rotação da Terra, em que vemos o Sol voltar à sua posição no céu após um tempo de 24h. A diferença entre o dia sideral e o dia solar médio é de: a) 3min e 45s. b) 6min e 55s. c) 6min e 56s. d) 3min e 56s. e) 3min e 30s. 3. (FCC) Certo técnico de suporte em informática começou a resolver um problema em um computador às 14h40min. Se ele levou 75 minutos para solucionar o problema, a que horas ele terminou o serviço? a) 16h05min b) 15h55min c) 15h45min d) 15h35min e) 15h25min 49

10 4. (FCC) A tabela a seguir permite exprimir os valores de certas grandezas em relação a um valor determinado da mesma grandeza tomado como referência. Os múltiplos e submúltiplos decimais das unidades derivadas das unidades do Sistema Internacional de Unidades (SI) podem ser obtidos direta ou indiretamente dos valores apresentados e têm seus nomes formados pelo emprego dos prefixos indicados. Nome Símbolo Fator pelo qual a unidade é multiplicada tera T = giga G 10 9 = mega M 10 6 = quilo k 10 3 = hecto h 10 2 = 100 deca da 10 = 10 deci d 10 1 = 0,1 centi c 10 2 = 0,01 mili m 10 3 = 0,001 micro µ 10 6 = 0, nano n 10 9 = 0, pico p = 0, Assim, por exemplo, se a unidade de referência fosse o grama (g), teríamos 35mg = g = 0,035g. Considerando o byte (b) como unidade de referência, a expressão a) 2,4µb b) 2,4cb c) 0,24Mb d) 0,24nb e) 0,024dab (0,005Gb). (0,12µb) 0,25Mb é equivalente a: (INMETRO Quadro Geral de Unidades de Medida, 2. ed. Brasília, 2000) 5. (FCC) Uma torneira goteja 7 vezes a cada 20 segundos. Admitindo-se que as gotas tenham sempre volume igual a 0,2mL, determine o volume de água que vaza por hora. 50

11 a) 0,252dL b) 25,2L c) 2,52cL d) 2520mL e) 0,0252 dal 6. (FCC) Quantos décimos de hora correspondem a 48 minutos? a) 2,4 b) 4,8 c) 8,0 d) 9,6 e) (FCC) Uma empresa de exportação de gasolina comunicou à ANP o desaparecimento de 7,2 milhões de litros de gasolina dos seus depósitos. Se um caminhão-tanque tem capacidade de 32m 3, quantos caminhões seriam necessários para transportar a gasolina desaparecida? a) 205 b) 210 c) 215 d) 220 e) (Esaf) Se 300cm³ de uma substância têm massa de 500g, quanto custarão 75dL (decilitro) dessa substância, sabendo-se que é vendido a R$25,50 o quilograma? a) R$3.187,50 b) R$31,87 c) R$381,75 d) R$318,75 e) R$31.875,00 51

12 9. (Esaf) 100dm x 0,1dam x 100mm = a) 0.010m³ b) 10m³ c) 100m³ d) 1m³ e) 0,100m³ 10. (Esaf) Uma tartaruga percorreu num dia 6,05km. No dia seguinte, percorreu mais 0,72hm e, no terceiro dia, mais cm. Nos três dias, a tartaruga percorreu: a) 1 450m b) m c) 6 247m d) m e) 1 250m Referências BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., GARBI, G. Gilberto. A Rainha das Ciências um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. São Paulo: Livraria de Física, LIMA, Elon L. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática.) LIMA, Elon Lages et al. Temas e Problemas Elementares. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, v. 1. TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record,

13 Gabarito 1. Inicialmente, podemos converter todas as dimensões em m: comprimento = 0,007km = 7m largura = 80dm = 8m altura = 400cm = 4m porta = 2,4m² janela = 2m² Em seguida, podemos calcular as medidas das áreas das faces que deverão ser pintadas: área do teto = 7. 8 = 56m² área da parede 1 = 8. 4 = 32m² área da parede 2 = 7. 4 = 28m² Adicionando a área do teto com a de duas paredes do tipo 1, com a de duas paredes do tipo 2, temos: = = 176m² É necessário, também, descontar as medidas das áreas da janela e da porta, já que essas não serão pintadas. Assim, a área a ser pintada é igual a: 176 2,4 2 = 171,6m² Com cada litro de tinta se pode pintar 0,04dam 2 ou 4m 2. A quantidade de litros de tinta necessária é obtida dividindo a área a ser pintada por 4: 171,6/4 = 42,9 litros Logo, 42,9 litros de tinta serão necessários para a pintura. Resposta: E 2. O dia sideral é igual a 23,93447h, ou seja, 23h mais 0, minutos. Para transformar 0,934447h em minutos, basta multiplicar esse valor por 60: 0, = 56,06682 minutos Além disso, 56,06682 é igual a 56 minutos mais 0,06682 minuto. 53

14 Para transformar 0,06682 minuto em segundos, basta multiplicar esse valor por 60: 0, = 4,0092 segundos Assim, o dia sideral tem duração aproximada de 23 horas, 56 minutos e 4 segundos. A diferença entre o dia sideral e o dia solar médio é dada por: D = 23 horas, 59 minutos e 60 segundos 23 horas, 56 minutos e 4 segundos D = 3 minutos e 56 segundos Resposta: D 3. Em 75 minutos temos 1 hora e mais 15 minutos. Logo, o técnico terminou o serviço às (14 + 1) h ( ) min, ou seja, 15h55min. Resposta: B 4. (0,005Gb). (0,12µb) 0,25Mb (0,005Gb). (0,12µb) 0,25Mb (0,005Gb). (0,12µb) 0,25Mb (0,005Gb). (0,12µb) 0,25Mb (0,005Gb). (0,12µb) 0,25Mb (0,005Gb). (0,12µb) 0,25Mb (0,005Gb). (0,12µb) 0,25Mb Resposta: A = ( b). ( b) b = = 2,4. = 2, = 2, b = 2, b = 2,4µb b b b 54

15 5. Se a torneira goteja sete vezes a cada 20 segundos, em 60 segundos (triplo do tempo), gotejará 21 vezes (triplo da quantidade de gotas). Como 60 segundos correspondem a 1 minuto, pode-se dizer que a torneira goteja 21 gotas a cada minuto. Em uma hora, ou seja, em 60 minutos, a quantidade de gotas será dada por: = Se cada gota tem o volume de 0,2mL, então gotas terão o volume de: ,2mL = 252mL = 25,2cL = 2,52dL = 0,252L = 0,0252daL Resposta: E 6. Uma hora possui 60 minutos. Logo, um décimo de hora possui 6 minutos. Divisão de 48 minutos por 6 minutos resulta 8. Logo, 48 minutos correspondem a 8 décimos de hora. Resposta: C 7. Observando que 1 litro corresponde a 1dm 3, temos: litros = dm 3 = 7 200m 3 Se cada caminhão tem a capacidade de 32m 3, então a quantidade de caminhões necessária para transportar 7 200m 3 de gasolina seria dada por: = Resposta: E 8. Observe que 300cm 3 = 0,3dm 3 e 0,3dm 3 correspondem a 0,3L = 3dL. Logo, 3dL tem massa de 500g e, portanto, 6dL (o dobro) tem massa de 1 000g. Assim, 75dL da substância devem custar: 75 6 Resposta: D. 25,50 = 318,75 55

16 9. 100dm. 0,1dam. 100mm = 10m. 1m. 0,1m = 1m 3 Resposta: D 10. Nos três dias a tartaruga percorreu: 6,05km + 0,72hm cm = 6 050m + 72m + 125m = 6 247m Resposta: C 56

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