Sistemas Unitários: Análise Dimensional e Similaridades

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1 Física Industrial-FBT415 1 s Unitários: Análise Dimensional e Similaridades 1. Magnitude e sistemas unitários O valor de qualquer magnitude física é expressa como o produto de dois fatores: o valor da unidade e o número de unidades. As propriedades físicas de um sistema estão relacionadas com uma série de leis mecânicas e físicas. Algumas magnitudes podem ser consideradas fundamentais e outras derivadas. Magnitudes fundamentais variam de um sistema para outro. Geralmente, tempo e comprimento são tidos como fundamentais. O sistema de unidades necessita uma terceira magnitude fundamental, que pode ser a massa ou força. Aqueles sistemas que apresentam a massa como a terceira magnitude fundamental são conhecidos como sistemas de unidade absoluta, enquanto aqueles que tem a força como unidade fundamental são chamados sistemas de unidade técnicos. Existem também sistemas unitários usados na engenharia que consideram comprimento, tempo, massa, e força como magnitudes fundamentais s de Unidade Absoluto Existem três sistemas de unidade absoluto: o C.G.S. (CGS), o Giorgi (MKS), e o inglês (FPS). De todos estes, as magnitudes fundamentais são comprimento, massa, e tempo. As diferentes unidades destes três sistemas são apresentados na Tabela 1. Nestes sistemas, força é uma unidade derivada das três unidades fundamentais. As unidades de força e energia são detalhadas na Tabela 2. Quando as magnitudes de calor são usadas, é conveniente definir a unidade de temperatura. Para os sistemas CGS e MKS, a unidade de temperatura é definida em graus centígrados ( o C), enquanto que para o sistema Inglês é definido em graus Fahrenheit ( o F). Unidades de calor são definidos independentemente do sistema de unidades. Tabela 1. de Unidade Absoluto c.g.s. Giorgi English Magnitude CGS MKS FPS Comprimento (L) 1 centímetro (cm) 1 metro (m) 1 pé (ft) Massa (M) 1grama (g) 1 kilograma (kg) 1 libra (lb) Tempo (T) 1 segundo (s) 1 segundo (s) 1 segundo (s) Tabela 2. Unidades Derivadas do Absoluto c.g.s. Giorgi English Magnitude (CGS) (MKS) (FPS)

2 Física Industrial-FBT415 2 Força 1 dina 1 Newton (N) 1 poundal Energia 1 erg 1 Joule (J) 1 libras por pé Tabela 3. Unidades Derivadas do Absoluto Magnitude Métrico Inglês Comprimento (L) 1 metro (m) 1 pé (ft) Força (F) 1 quilograma força (kg ou kgf) 1 libra força (lbf) Tempo (T) 1 segundo (s) 1 segundo (s) Temperatura (θ) 1 grau centígrado ( o C) 1 grau Fahrenheit ( o C) 1.2 s de Unidades Técnicos Entre os mais usados sistemas técnicos estão o métrico e o Inglês. Em ambos, as magnitudes fundamentais são comprimento, força, e tempo. Com relação à temperatura, o unidade do sistema métrico é o grau centígrado, e no sistema Inglês é o Fahrenheit. A Tabela 3 mostra as unidades fundamentais dos sistemas métrico e Inglês. 1.3 s de Unidades de Engenharia Até agora, somente sistemas que consideram apenas três magnitudes como fundamentais foram descritos. Entretanto, em sistemas de engenharia, quatro magnitudes são consideradas básicas: comprimento, tempo, massa, e força. A Tabela 4 apresenta as diferentes unidades para os sistemas de engenharia métrico e Inglês. Tabela 4. Unidades do usado em Engenharia Magnitude Métrico Inglês Comprimento (L) 1 metro (m) 1 pé (ft) Massa (M) 1 quilograma (kg) 1 libra (lb) Força (F) 1 quilograma força (kp ou kgf) 1 libra força (lbf) Tempo (T) 1 segundo (s) 1 segundo (s) Temperatura (θ) 1 grau centígrado ( o C) 1 grau Fahrenheit ( o C) Quando se define massa e força como fundamentais, uma incongruência pode aparecer, visto que estas magnitudes estão relacionadas com princípios de dinâmica básica. Para se evitar esta incompatibilidade, uma correção ou fator de proporcionalidade (g c ) deve ser inserido. A equação deste princípio poderia ser: g c x Força = Massa x Aceleração

3 Física Industrial-FBT415 3 Observe que g c tem unidades de massa (aceleração/força). O valor deste fator de correção em sistemas de engenharia é: Métrico: g c = 9,81 (quilograma)(metros) = 9,81 kg. m (quilograma força)(segundos) 2 kg. s 2 Inglês: g c = 32,17 (lbmassa)(pés) = 32,17 lb. ft (lbforça) (segundos) 2 lbf. s internacional de unidades (SI) Foi muito conveniente se unificar o uso dos sistemas de unidades quando os países Anglo-Saxãos incorporaram o sistema métrico decimal. Com este propósito, o MKS foi adotado como o sistema internacional e denominado como SI. Embora a obrigatoriedade do sistema seja reconhecida, outros sistemas ainda são utilizados, entretanto, atualmente muitos jornais de engenharia e livros são editados somente em SI, tornando este sistema o mais recomendável. A Tabela 5 Apresenta as unidades fundamentais deste sistema com algumas unidades suplementares e derivadas. Tabela 5. Magnitude Unidade Abreviação Dimensão Comprimento metro m L Massa quilograma kg M Tempo segundo s T Força Newton N MLT 2 Energia Joule J ML 2 T -2 Potência Watt W ML 2 T -3 Pressão Pascal Pa ML -1 T -2 Freqüência Hertz Hz T -1 Às vezes a magnitude de uma determinada unidade é tão grande para se indicar os múltiplos e submúltiplos das unidades fundamentais. Geralmente é aconselhável usar estes múltiplos e submúltiplos na potência de A seguir (Tabela 6) está a lista dos múltiplos e submúltiplos mais freqüentemente utilizados, assim como seu respectivo nome e símbolo. Tabela 6. Prefixo Fator de multiplicação Símbolo SI tera T giga 10 9 G mega 10 6 M quilo 10 3 k hecto 10 2 h deca 10 1 da deci 10-1 d centi 10-2 c mili 10-3 m micro 10-6 µ

4 Física Industrial-FBT415 4 nano 10-9 n pico p femto f atto a É interessante que, em muitos problemas, a concentração é expressa por unidades molares. A unidade molar freqüentemente utilizada é o mole, definida como a quantidade de substância na qual a massa em gramas é numericamente igual ao seu peso molecular. 1.5 Unidades Térmicas Calor é uma forma de energia; deste modo, a dimensão de ambos é ML 2 T -2. Entretanto, em alguns sistemas a temperatura é tida como uma dimensão. Nestes casos, a energia do calor pode ser expressa como proporcional ao produto da massa com a temperatura. A constante de proporcionalidade é o calor específico, que depende do material e varia de um para outro. A quantidade de calor é definida como uma função do material, com água como uma referência e o calor específico é a unidade. Calor = Massa x Calor específico x Temperatura A unidade de calor específico depende do sistema de unidades a ser adotado. Assim: Métrico: Caloria: calor necessário para aumentar a temperatura de um grama de água de 14,5 a 15,5 o C Inglês: Btu (British thermal unit): quantidade de calor necessária para se elevar a temperatura de uma libra de água um grau Fahrenheit ( de 60 para 61 o F) Chu (Centigrade heat unit or pound calorie): quantidade de calor necessária para se elevar a temperatura de uma libra de água um grau centígrado Internacional Caloria: visto que calor é uma forma de energia, sua unidade é o Joule. A caloria pode ser definida como uma função do Joule: 1 caloria = 4,185 Joules Visto que calor e trabalho são duas formas de energia, é necessário definir um fator que as relaciona. Por esta razão, o equivalente mecânico de calor (Q) é definido como: Q x energia de calor = Energia Mecânica Assim: Q = Energia Mecânica = MLT -2 L = L 2 T -2 θ -1 Energia de calor Mθ 1.6 Conversão de Unidades

5 Física Industrial-FBT415 5 A conversão de unidades de um sistema para outro é feita facilmente se as quantidades são expressas como uma função das unidades fundamentais de massa, comprimento, tempo e temperatura. A conversão de fatores são usados para converter diferentes unidades. O fator de conversão é o número de unidades de um certo sistema contido em uma unidade de magnitude correspondente em outro sistema. Os fatores de conversão mais comuns para as diferentes magnitudes são apresentados na Tabela 7. Ao se converter unidades, é necessário distinguir os casos nos quais somente os valores numéricos são convertidos daqueles em que a fórmula pode ser convertida. Quando é necessário converter valores numéricos de uma unidade para outra, as equivalências entre elas, o fator de conversão é usado diretamente. Tabela 7. Fatores de conversão Massa: 1 lb 0,1536 kg (1/32,2) slug Comprimento: 1 polegada 2,54 cm 1 pé 0,3048 m 1 milha 1609 m Superfície: 1 polegada quadrada 645,2 mm 2 1 pé quadrado 0,09290 m 2 Volume e Capacidade: 1 pé cúbico 0,02832 m 3 1 galão (imperial) 4,546 l 1 galão (EUA) 3,786 l 1 barril 159,241 l Tempo: 1 min 60 s 1 h 3600 s 1 dia s Diferença de temperatura: 1 o C = 1K 1,8 o F Força: 1 poundal (pdl) 0,138 N 1 lb f 4,44 N 4,44 x 10 5 dina 32,2 pdl 1 dina 10-5 N Pressão: 1 atmosfera técnica (at) 1kgf / cm 2 14,22 psi

6 Física Industrial-FBT bar 100 kpa 1 mmhg (tor) 133 Pa 13,59kgf / cm 2 1 psi (lb/in 2 ) 703 kgf / m 2 Energia, calor e potência: 1 kilocaloria (kcal) J 426,7 kgfm 1 erg 10-7 J 1 Btu 1055 J 1 Chu 0,454 kcal 1,8 Btu 1 cavalo vapor (CV) 0,736 kw 75 kgm / s 1 cavalo vapor (HP) 0,746 kw ft lb / min 76,04kgm / s 1 quilowatt (kw) 1000 J / s 1,359 CV 1 quilowatt hora (kw.h) 3,6 x 10 6 J 860kcal 1 atm. litro 0,0242 kcal 10,333 kgm Viscosidade: 1 poise (P) 0,1 Pa. s 1 libra/(ft.h) 0,414m Pa. s 1 stoke (St) 10-4 m 2 / s Vazão: 1 lb/h 0,126 g / s 1ton/h 0,282 kg / s 1 lb/ (ft 2.h) 1,356 g / s. m 2 Magnitudes térmicas: 1 Btu / (h.ft 2 ) 3,155 W / m 2 1 Btu / (h.ft 2 o F) 5,678 W / (m 2 K) 1 Btu / lb 2,326 kj / kg 1 Btu / (lb. o F) 4,187kJ / (kg. K)

7 Física Industrial-FBT Btu / (h.ft. o F) 1,731 W / (m.k) Nos casos de conversão de unidades de uma fórmula, a constante que aparece na fórmula geralmente tem dimensões. Para aplicar a fórmula nas diferentes unidades daquelas que foram dadas, somente a constante das fórmulas deverão ser convertidas. Nos casos em que a constante é adimensional, a fórmula pode ser diretamente aplicada usando qualquer sistema de unidades.

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