Complemento para. Cód.: ª Edição. Apostila do Metrô/SP

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1 Complemento - 1 Complemento para Apostila do Metrô/SP Cód.: ª Edição Matemática 1. Equações e Sistemas de Duas Equações com Duas Incógnitas do Primeiro Grau Unidades de Medidas Perímetros e Áreas de Figuras Planas Volumes e Áreas de Sólidos Geométricos Relações no Triângulo Retângulo...27 Atualidades...35

2 2 - Complemento

3 Complemento Equações e Sistemas de Duas Equações com Duas Incógnitas do Primeiro Grau 1. Introdução 2. Forma Geral de uma Equação do Primeiro Grau 3. Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação 4. Resoluções de Equações do Primeiro Grau 5. Problemas do Primeiro Grau 6. Sistemas de Duas Equações do Primeiro Grau 7. Problemas Envolvendo Sistemas de Duas Equações 1. Introdução Equação é toda sentença matemática aberta que exprima uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer igual. Exemplos: 2x + 8 = 0 5x 4 = 6x + 8 3a b c = 0 Não são equações: = (Não é uma sentença aberta) x 5 < 3 (Não é igualdade) 5 2 (não é sentença aberta, nem igualdade) 2. Forma Geral de uma Equação do Primeiro Grau A equação geral do primeiro grau é da forma: ax + b = 0 (a 0) Considere a equação: 2x - 8 = 3x -10 A letra x é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa desconhecida. Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro. Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação. 2x 8 = 3x Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que a variável pode assumir. Indica-se por U. Conjunto Verdade é o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira a equação. Indica-se por V. O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo. V U Determine o número inteiro que satisfaz a equação x + 2 = 5. O conjunto dos números inteiros é o conjunto universo da equação. O número 3, que satisfaz a equação, forma o conjunto verdade, podendo ser indicado por: V = {3} 4. Resoluções de Equações do Primeiro Grau Resolver uma equação, significa determinar o conjunto verdade dessa equação. Para resolvermos equações do primeiro grau, devemos lembrar que: a) podemos transformar uma equação em outra equação equivalente mais simples. 5x 8 = 2x 10 3x = 2 b) podemos adicionar ou subtrair um mesmo número a ambos os membros da igualdade. x 5 = 0 x = x = 5 c) podemos multiplicar ou dividir ambos os membros de uma equação por um número diferente de zero. 4x = 8 4x : 4 = 8 : 4 x = 2

4 4 - Complemento Exercício Resolvido Resolva as seguintes equações, em U = Z a) 2x 8 = 10 b) 3 7(1-2x) = 5 (x+9) c) a) 2x 8 = 10 Agruparemos inicialmente os termos semelhantes e depois isolaremos a variável x. 2x = x = 9 5. Problemas do Primeiro Grau São problemas, cujas resoluções envolvem uma equação do primeiro grau. Para se resolver um problema do primeiro grau, devemos: a) Chamar de x o que o problema está pedindo. b) Transformar em linguagem matemática o enunciado do problema. c) Montar a equação do primeiro grau correspondente. d) Resolver a equação e interpretar a resolução de acordo com o enunciado do problema. Exemplos de transformação de linguagem comum em linguagem matemática Resposta: V = {9} b) 3 7.(1-2x) = 5 (x+9) Inicialmente eliminaremos os parênteses aplicando a propriedade distributiva: x = 5 x 9 Agora agruparemos os termos semelhantes e depois isolaremos a variável x. 14x + x = x = 0 Resposta: V= {0} x = 0 Exercícios Resolvidos c) Inicialmente reduziremos as frações ao mesmo denominador, tirando o mmc dos dois membros, e eliminando esse denominador. Agora agruparemos os termos semelhantes e depois isolaremos a variável x. 2x + 3x = 60 5x = 60 x = 12. Resposta: V= {12} 01. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos. Primeiro passaremos o problema da linguagem natural, para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo: a = c - 4. Assim: c + a = 22 c + (c - 4) = 22 2c - 4 = 22 2c = c = 26 c = 13 a = 13 4 = 9 Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 9 anos.

5 Complemento A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de habitantes, quantos habitantes têm a cidade B? Identificaremos a população da cidade A com a letra a e a população da cidade B com a letra b. Pelo enunciado, temos que: a = 3b. Dessa forma, poderemos escrever: a + b = b + b = b = b = Resposta: A cidade B tem habitantes. 03. Uma casa com 260m 2 de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m 2? Tomaremos a área de cada dormitório com letra x. 3x = 260 3x = x = 120 x = 40 Resposta: Cada quarto tem 40m 2. Exercícios de Fixação Resolver as seguintes equações do 1º grau, sendo U = Q: 01. O valor de x que satisfaz a equação 3x - 5 = 4 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Se 1-2x = 4, quanto vale 8x + 3? a) - 13 b) - 9 c) 16 d) 19 e) O valor de x na equação é: a) b) c) d) e) 05. O valor de x na equação é: a) 18 b) 19 c) 16 d) 15 e) 14 Situação Problema 06. A soma de três números inteiros e consecutivos é 18. Então podemos afirmar que: a) o menor é 6 b) o maior é par c) 10 é o dobro do menor d) 3 é o dobro do termo médio e) nenhum dos termos é par 07. O número cujo triplo é igual a ele mesmo aumentado de 50 unidades é: a) 25 b) 30 c) 33 d) 20 e) O número 192 foi dividido em três partes, tais que a segunda é o dobro da primeira, e a terceira parte excede a segunda de 12 unidades. As partes valem: a) 36,72, 84 b) 24, 48, 72 c) 100, 82, 30 d) 48, 42, 84 e) 64, 64, Na equação 4(x + 1) - 5(x - 3) = x + 9, o valor de x é: a) 10 b) 9 c) 6 d) 5 e) 4

6 6 - Complemento 09. A soma da idade que eu tenho hoje, com o triplo da idade que eu tinha há 4 anos, é igual ao dobro da idade que eu terei daqui a dois anos. Qual é minha idade atual? a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) Se da metade da sua idade tirarmos a terça parte da mesma, obteremos 6. Qual a sua idade? a) 36 anos b) 28 anos c) 18 anos d) 48 anos e) 56 anos 11. A diferença entre o quádruplo do antecessor e o dobro do sucessor de certo número encontramos 68. O triplo desse número vale: a) 37 b) 38 c) 39 d) 111 e) Qual é o número que somado a dois quartos dele próprio, mais três quartos dele próprio dá 45? a) 20 b) 40 c) 16 d) 45 e) Sistemas de Duas Equações do Primeiro Grau Definição Dizemos que duas equações do 1º grau, formam um sistema quando possuem uma solução comum (mesma solução). Nesse caso as duas equações têm o mesmo conjunto universo. Propriedades Vamos ver dois métodos práticos para resolver um sistema, usando as seguintes propriedades: a) podemos multiplicar (ou dividir) os coeficientes de uma equação por qualquer número diferente de zero. b) A soma de dois números simétricos ou opostos é sempre zero. c) podemos somar (ou subtrair) membro a membro duas equações. No conjunto solução de um sistema, devemos colocar o par de números dentro de parênteses, por ser um par ordenado, primeiro x depois y. 1º) Método da adição: Esse método consiste em adicionarmos as duas equações membro a membro, observando que nesta operação deveremos eliminar uma variável. Exercícios Resolvidos 01. Resolver pelo método da adição o seguinte sistema: 1º) somamos as duas equações membro a membro: Logo: 2x = 14 x = 7 Gabarito dos Exercícios de Fixação 01. C 02. B 03. D 04. D 05. C 06. C 07. A 08. A 09. B 10. A 11. D 12. A 2º) Escolhemos a 1ª equação para fazer a substituição de x por 7. x + y = y = 9 y = 9 7 y = 2 S = {(7;2)}

7 Complemento Resolver pelo método da adição o seguinte sistema: 04. Resolver pelo método da adição o seguinte sistema: 1º) somamos as duas equações membro a membro: Logo: x = x = 8 2º) Voltamos na 1ª ou 2ª equação e substituiremos x por 8. Note que as equações não possuem coeficientes opostos, logo, se somarmos membro a membro, não eliminaremos nenhuma variável. 1º) Para a resolução deste sistema, devemos escolher uma variável para ser eliminada Para isso, multiplicamos a equação I por 2: Escolhemos a 1ª equação, logo: 8 + y = 10 y = 10 8 y = 2 A solução do sistema é o par ordenado (8, 2) S = {(8, 2)} 03. Resolver pelo método da adição o seguinte sistema: Observe que, na forma em que se encontram as equações, se adicionarmos, não eliminaremos nenhuma das variáveis. Observe que a equação 0x + 0y = 6 não possui solução, logo a solução do sistema seria vazio. S = { } 2º) Método da substituição: Esse método consiste em isolar uma variável e substituí-la na outra equação. Exercício Resolvido Resolver pelo método da substituição o seguinte sistema: 1º) Vamos multiplicar a 1ª ou 2ª equação por (-1), para que os coeficientes de y fiquem opostos 3 e +3. 2º) somamos as duas equações membro a membro: Logo: 3x = 6 x = x = 2 3º) Voltando na 1ª equação, vamos substituir x por 2. 4(2) 3y = 5 8 3y = 5-3y = 5 8 3y = 3 y = 1 1º) Isolaremos a variável x, a partir da equação x 6y = 0, portanto teremos que: x = 6y. 2º) Substituiremos x por 6y, na equação x + y = 35, então teremos: 6y + y = 35. Agora determinaremos o valor de y. 6y + y = 35 7y = 35 y = 5 Substituindo o resultado obtido na equação x = 6y, teremos: x = 6.5 x = 30. S = {(30; 5)} S = {(2;1)}

8 8 - Complemento 7. Problemas Envolvendo Sistemas de Duas Equações Para resolver problemas algebricamente, basta aplicar conhecimentos adquiridos em equações: 1º) situação real 2º) problema 3º) interpretação 4º) equacionamento 5º) resolução 6º) verificação 7º) resposta Exercícios Resolvidos 01. A soma de dois números é 51 e a diferença entre eles é 9. Quais são estes números? Seja x o número maior e y o número menor, logo teremos o seguinte sistema: 1º) Substituiremos x por 6y, na equação x + y = 35, então teremos: 6y + y = 35. Agora determinaremos o valor de y. 6y + y = 35 7y = 35 y = 5 2º) Substituindo o resultado obtido na equação x = 6y, teremos: x = 6.5 x = 30. No método da substituição, substituimos a equação I em II. Resposta: A idade do pai é de 30 anos e a do filho de 5 anos. 3) Uma fração redutível é equivalente a. Somando-se 2 ao numerador, obtém-se uma nova fração redutível equivalente a. Qual é essa fração? Sendo x o numerador e y o denominador, da fração redutível, teremos o seguinte sistema: Pelo método da adição, somamos ambas as equações, eliminando a variável y. 1º) Eliminar os denominadores das frações. Logo: 2x = 60 x = 30 Substituindo na equação x y = 9, teremos: O sistema ficará: 30 y = 9 y = 21 Resposta: os números são 30 e A idade de um pai é 6 vezes a idade do filho. A soma das idades é igual a 35 anos. Qual a idade de cada um? Multipliquemos a equação (I) por 1 para podermos eliminar uma variável. Resolvendo pelo método da adição, temos: Sendo a idade do pai igual a x e a idade do filho igual a y, montaremos o seguinte sistema: Substituindo o valor de y encontrado: 5x = 3y 5x = x = 30 x = 6 Vamos resolver este problema usando o método da substituição. Resposta: A fração é.

9 Complemento - 9 Exercícios de Fixação 01. A solução do sistema é o par: a) (5; 3) b) (5;4) c) (5; 6) d) (5; 7) e) (0; 0) 02. A soma x + y, sendo (x; y) solução do sistema é igual a: a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) Uma pessoa tem 65 notas, umas de R$ 50,00 e outras de R$ 20,00, ao todo R$ 2.320,00. Quantas notas há de cada espécie? a) 31 e 34 b) 30 e 31 c) 35 e 30 d) 40 e 25 e) 28 e Num quarto existem bicicletas e triciclos, num total de 38 rodas e 14 assentos. O número de bicicletas e de triciclos é respectivamente: a) 4 e 10 b) 5 e 9 c) 3 e 11 d) 10 e 6 e) 9 e 7 Exercícios Propostos 01. Sendo o par (x, y) a solução do sistema A relação correta é a) x + y = 30 b) x. y = 96 c) x y = 16 d) e) x y = (Empasial) Ache os números cuja diferença é sabendo-se que a soma do dobro do primeiro com o triplo do segundo é igual a a) b) c) d) e) 05. Um senhor prometeu a seu filho R$ 0,50 por problema que acertasse, com a condição de este pagar-lhe R$ 0,30 por problema que errasse. Depois de resolver 10 exercícios o menino tinha R$ 2,60 a receber. Ele acertou: a) 3 b) 4 c) 6 d) 7 e) Pagou-se a quantia de R$ 190,00 com 12 notas de duas espécies: umas de R$ 10,00 e outras de R$ 20,00. Quantas eram as notas de cada espécie? a) 7 de R$ 10,00 e 5 de R$ 20,00 b) 6 de R$ 10,00 e 6 de R$ 20,00 c) 5 de R$ 10,00 e 7 de R$ 20,00 d) 10 de R$ 10,00 e 2 de R$ 20,00 e) 9 de R$ 10,00 e 3 de R$ 20, O perímetro de um retângulo é 88m. Sabendo-se que a medida de um dos lados é igual ao triplo da do outro, suas medidas, em metros, serão de: a) 33 e 11 b) 10 e 30 c) 25 e 35 d) 15 e 65 e) 20 e 40 Gabarito dos Exercícios de Fixação 01. A 02. C 03. A 04. A 05. D 06. C 07. A 03. (VUNESP) Um orfanato recebeu uma certa quantidade x de brinquedos para ser distribuída entre as crianças. Se cada criança receber três brinquedos, sobrarão 70 brinquedos para serem distribuídos; mas, para que cada criança possa receber cinco brinquedos, serão necessários mais 40 brinquedos. O número de crianças do orfanato e a quantidade x de brinquedos que o orfanato recebeu são, respectivamente, a) 50 e 290. b) 55 e 235. c) 55 e 220. d) 60 e 250. e) 65 e (VUNESP) O grupo financeiro de uma empresa é composto de 42 funcionários classificados em 2 grupos salariais: A e B. Cada elemento do grupo A recebe mensalmente R$ 3.250,00 e, do grupo B, R$ 1.800,00. Se a última folha de pagamento desse grupo totalizou R$ ,00, então, o número de funcionários do grupo A é: a) 30 b) 24 c) 15 d) 12 e) 10 Gabarito dos Exercícios Propostos 01. B 02. E 03. B 04. D

10 10 - Complemento 2. Unidades de Medidas 1. Introdução 2. Sistema Métrico Decimal 3. Unidades de Comprimento 4. Unidades de Superfície 5. Unidades de Volume 6. Unidades de Capacidade 7. Unidades de Massa 8. Sistema Métrico Não Decimal 9. Unidades de Tempo 10. Unidades de Ângulo 1. Introdução Grandeza Primitiva É qualquer coisa passível de ser medida. São exemplos de grandezas: comprimento, tempo, massa, área, volume, ângulo etc. Medir uma grandeza é compará-la com outra de mesma espécie chamada de unidade padrão. Adotamos o Sistema Internacional de Unidades (SI) que considera como grandeza, a massa e o tem po, com o objetivo de padronizar os nomes e sím bo los das unidades. Três de suas unidades fundamentais são: o metro (m), o quilograma (kg) e o segundo (s). Vamos estudar as medidas em dois Sistemas Métricos: Decimal e Não Decimal. 2. Sistema Métrico Decimal Grafia - Os prefixos citados não são escritos com letras maiúsculas. - As abreviações das unidades não levam o s, de plural. 3. Unidades de Comprimento A unidade fundamental da medida de comprimento é o metro linear, abreviado por m, e também o padrão de medida. Curiosidade: 1m = ,73 comprimentos de onda no vácuo da radiação laranja-avermelhada, correspondente à transição entre os níveis 2p 10 e 5d 5 do átomo de criptônio 86. Múltiplos e Submúltiplos do Metro Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existe ainda os seus múltiplos e submúltiplos: O sistema métrico decimal surgiu da necessidade de se adotar medidas padrão para as várias grandezas conhecidas. Chama-se métrico decimal porque a palavra metro deriva da palavra medida. As transformações para unidades inferiores ou superiores são feitas multiplicando-se ou dividindo-se por 10, 100, 1.000, etc. No Sistema Métrico Decimal, estudaremos as medidas de Comprimento, Superfície, Volume, Capacidade e Massa e as respectivas unidades de medida. Os submúltiplos são as medidas menores que o padrão, os seus nomes serão formados pela composição de um prefixo e uma terminação, que é o nome do padrão usado. Os prefixos mais habituais são o deci (d), o centi (c) e o mili (m). Os múltiplos são as medidas maiores que o padrão, os seus nomes serão formados pela composição de um prefixo e uma terminação, que é o nome do padrão usado. Os prefixos mais habituais são: o quilo (k), o hecto (h) e o deca (da). Transformações das Unidades de Comprimento 1) Devemos multiplicar por 10, 100, etc.. quando queremos transformar unidades maiores para menores, bastando para isso deslocar a vírgula para a direita uma, duas, três etc. casas. 2) Devemos dividir por 10, 100, etc. quando queremos transformar unidades menores para maiores, bastando para isso deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três etc. casas.

11 Complemento - 11 Veja a tabela abaixo: Exemplos: a) 12,3659 km = 12365,9m. A vírgula deslocou-se para a direita 3 casas. Transformações das Unidades de Superfície Nas transformações das unidades de superfície, devemos observar que cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Veja o esquema abaixo: b) 5,3cm = 0,053m. A vírgula deslocou-se para a esquerda 2 casas. c) 1565,34dm = 1,56534hm. A vírgula deslocou-se para a esquerda 3 casas. d) 12,4dam = mm. A vírgula deslocou-se para a direita 4 casas. Neste caso foram acrescentados 3 zeros, porque a vírgula teve que se deslocar 4 casas para a direita. 4. Unidades de Superfície A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado. O metro quadrado (m 2 ) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado. Exemplos: a) 2,87654km 2 = m 2. A vírgula deslocou-se 6 casas para a direita. b) 4987,54cm 2 = 0,498754m 2. A vírgula deslocou-se 4 casas para a esquerda. c) 2,98345hm 2 = 298,345dam 2. A vírgula deslocou-se 2 casas para a direita. d) 0,00047dam 2 = 470cm 2. A vírgula deslocou-se 6 casas para a direita. Medidas Agrárias As medidas agrárias são utilizadas para medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca). Múltiplos e Submúltiplos do metro quadrado Além da unidade fundamental de comprimento, o metro quadrado, existe ainda os seus múltiplos e submúltiplos: Relações entre as Medidas de Superfície e as Medidas Agrárias 1 are = 100m 2 1 hectare = 100are = m 2 1 centiare = 0,01are = 1m 2 Exemplos: a) 3,5are = 350m 2 b) 78,62m 2 = 0,7862are c) 9,85ha = 985ares = 98500m 2 d) 15,378ca = 0,15378are

12 12 - Complemento 5. Unidades de Volume Volume é a medida do espaço ocupado por um sólido, em certa unidade. A unidade padrão de volume é o metro cúbico (m 3 ). O metro cúbico é o espaço ocupado por um cubo de 1 m de aresta 6. Unidades de Capacidade Capacidade é o volume interno de um recipiente. A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente. Afinal, quando enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. A unidade fundamental de capacidade chama-se litro(l). Múltiplos e Submúltiplos do metro cúbico Além da unidade fundamental de comprimento, o metro cúbico, existe ainda os seus múltiplos e submúltiplos: Múltiplos e Submúltiplos do litro Além da unidade fundamental de comprimento, o litro, existe ainda os seus múltiplos e submúltiplos: Transformações das Unidades de Volume Nas transformações das unidades de volume, devemos lembrar que cada unidade de volume é maior que a unidade imediatamente inferior. Veja o esquema abaixo: Transformações das Unidades Nas transformações das unidades de capacidade, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Veja o esquema abaixo: Exemplos: a) 0, km 3 = m 3. A vírgula deslocou-se 9 casas para a direita. b) 8649,32dm 3 = 8,64932m 3. A vírgula deslocou-se 3 casas para a esquerda. c) 0,004682dam 3 = 4682dm 3. A vírgula deslocou-se 6 casas para a direita. d) ,3mm 3 = 0, dm 3. A vírgula deslocou-se 6 casas para a esquerda. Exemplos: a) 3,496kL = 3496L A vírgula deslocou-se 3 casas para a direita. b) 6,45dL = 0,00645hL A vírgula deslocou-se 3 casas para a esquerda. Relação entre volume e capacidade Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta.

13 Complemento m 3 = litros 1cm 3 = 1 mililitro 1L = 1dm 3 Exemplos: a) 0,45683m 3 = 456,83 litros. A vírgula deslocou-se 3 casas para a direita. b) 54,6 litros = 0,0546m 3. A vírgula deslocou-se 3 casas para a esquerda. c) 94,6dm 3 = 94,6 litros. Relação de um para um. d) 7,2kL = litros = 7,2m 3 e) 0,34daL = 3,4 litros = 0,0034m 3 7. Unidades de Massa O quilograma é a unidade fundamental de massa e corresponde a massa de 1 dm 3 de água destilada, nas condições normais de temperatura e pressão atmosférica. Nota: A massa de 1kg é muito próxima da massa 1L de água destilada (pura) à temperatura de 4ºC e 1 atm de pressão. Múltiplos e Submúltiplos do grama Além da unidade fundamental de comprimento, o grama, existe ainda os seus múltiplos e submúltiplos: Exemplos: a) 3,8975kg = 3897,5 g. A vírgula deslocou-se 3 casas para a direita. b) 94564,23dg = 945,6423dag. A vírgula deslocou-se 2 casas para a esquerda. c) 0,34hg = 34000mg. A vírgula deslocou-se 5 casas para a direita. d) 764,2cg = 0,007642kg. A vírgula deslocou-se 5 casas para a esquerda. Outras relações importantes 1 tonelada = 1.000kg 1 arroba = 15kg Exemplos: a) 3,4 toneladas = 3.400kg. A vírgula deslocou-se 3 casas para a direita. b) 98754,32kg = 98,75432 toneladas c) 20 arrobas = 20 x 15 = 300kg d) 1.200kg = : 15 = 80 arrobas 8. Sistema Métrico Não Decimal No Sistema Métrico não Decimal, a relação entre as unidades não são potencias de 10. Nesse caso veremos as Medidas de Tempo e as de Ângulos. 9. Unidades de Tempo A unidade de tempo escolhida como padrão é o segundo(s), que corresponde ao intervalo de tempo igual a 1/ do dia solar, aproximadamente. São alguns múltiplos do segundo: Transformações das Unidades de Massa Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Veja o esquema abaixo: 1) 1 minuto (min) = 60 segundos 2) 1 hora(h) = 60 minutos ou 1 hora (h) = segundos 3) 1 dia(d) = 24 horas (aproximadamente) 1 dia = minutos 1 dia = segundos Representação das unidades de tempo Forma Complexa a) 15 horas e 30 minutos: 15h30min b) 12 dias 20 horas e 15 minutos = 12d20h15min c) h = 6min

14 14 - Complemento Forma Decimal a) 15 horas e 30 minutos: 15,5h b) 12 dias 20 horas e 15 minutos = 12,84375d c) h = 0,1h Transformação da forma decimal para complexa A representação 7,20h não representa 7h 20 min, pois o sistema de medidas de tempo não é decimal. Dessa 7,20h representam: Transformando, teremos: 1d 12h 17min 35s Divisão: Quando o resto da divisão é menor que o divisor, transformamos o resto para a unidade imediatamente abaixo. Exemplo: Calcule 21h 28min : 4 7,20h = 7h + 0,20h = 7h + 0,20 x 60min = 7h + 12min Portanto 7,2h = 7h12min Operações Adição: Colocar unidades iguais embaixo de unidades iguais e somar cada grupo separadamente, o excedente transformar para a unidade superior. Exemplo: Calcule 9h 25min + 5h 45min 10. Unidades de Ângulo A unidade de ângulo escolhida como padrão é o grau ( ), que corresponde a 1/90 de um ângulo reto. São alguns submúltiplos do grau: 1) 1 = 60 (minutos) 2) 1 = (segundos) Como 70min = 1h + 10min, então temos 15h 10min Subtração: Colocar unidades iguais embaixo de unidades iguais e subtrair cada grupo separadamente, se houver algum valor dos grupos da parte de cima, menor que os valores da parte de baixo do dispositivo, teremos que emprestar, para realizarmos a operação: Exemplo: Calcule 10h 20min 4h 45min Como não é possível subtrair 45min de 20min, pedimos emprestado uma unidade na ordem imediatamente superior. Dessa forma pegaremos 1 hora e transformaremos em 60 minutos 10h 20min = 9h 80min Representação das unidades de ângulo Forma Complexa a) 15 graus e 30 minutos: b) 12 graus 30 minutos e 36 segundos = Forma Decimal a) 15 graus e 30 minutos: 15,5 b) 12 graus 30 minutos e 36 segundos = 12,51 Transformação da forma decimal para complexa A representação 7,4 não representa 7 4, pois o sistema de medidas de ângulo não é decimal. Corretamente 7,4 representam: 7,4 = 7 + 0,4º = 7 + 0,4 x 60 = Portanto 7,4 = 7 24 Multiplicação: Multiplicar cada elemento pelo número real. Operações As operações com ângulos seguem os mesmos procedimentos já vistos para as operações com as unidades de tempo.

15 Complemento - 15 Exercícios de Fixação a) Unidades de comprimento 01. Assinale a alternativa que corresponde aos resultados das operações abaixo, transformados em metros. (I) 18dm + 55,7cm + 300mm (li) 2,5km + 86hm + 13,6dam a) (I) 2,657m e (II) 11236m b) (I) 26,57m e (II) 11,236m c) (I) 365,7m e (II) 222,36m d) (I) 3657m e (II) 2232,6m 02. Uma tartaruga percorreu, num dia, 6,05hm. No dia seguinte, percorreu mais 0,72km e, no terceiro dia, mais cm. Podemos dizer que essa tartaruga percorreu nos três dias uma distância de: a) 1.450m b) ,77m c) m d) m e) n.d.a. 03. Um presente é amarrado com uma fita como mostra a figura. Se são necessários 30cm de fita apenas para o laço ornamental, o comprimento total da fita, em cm, é: a) 148 b) 138 c) 128 d) 118 e) 108 b) Unidades de superfície 04. Quantos metros quadrados há em 17,35hm 2? a) 0,1735 b) 173,5 c) d) e) (TELERJ) 0,17hm 2 +1,3dam dm 2 = a) 140m 2 b) 410m 2 c) 579m 2 d) 1283m 2 e) 1841m O resultado da operação 3ha + 15a + 4ca, em metros quadrados é igual a: a) ,638m 2 b) m 2 c) m 2 d) m 2 e) 1.305dam 2 c) Unidades de volume 07. (Empasial) Expresse em hm 3, dm 3 : a) 0,08702 b) 0,8702 c) 8,702 d) 0, e) 87, (Esaf) 100dm x 0,1dam x 100mm é igual a: a) 0,010m 3 b) 10m 3 c) 100m 3 d) 1m 3 e) 0,100m 3 d) Unidades de capacidade 09. (Empasial). Quantas garrafas de 750mL posso encher com suco de laranja se tenho estocado litros de suco? a) b) c) d) e) Uma fábrica de vinho armazena o produto em tonéis com capacidade para 25 litros; e vende esse vinho, no varejo, em garrafas de 750ml. Um tonel cheio até 3/5 de sua capacidade tem vinho suficiente para encher um número de garrafas correspondente a: a) 8 b) 10 c) 15 d) 20 e) (Empasial) Um cubo de cm 3 é capaz de conter quantos litros d água? a) 0,138 b) 1,38 c) 13,8 d) 138 e) O consumo mensal de água em uma lavanderia é de 216,5m 3. A quantidade de litros de água que nela se gasta por ano é: a) b) c) d) e) e) Unidades de massa 13. (Empasial) Após transformar as parcelas para dg,efetue a operação: 0,08kg + 380cg + 4,31dag = a) 54,9 b) 51,49 c) d) 549 e) 514,9

16 16 - Complemento 14. (Empasial) Complete: 350kg de farinha enchem sacos iguais de: a) 0,25g b) 2,5g c) 25g d) 250g e) 2.500g f) Unidades de tempo 15. Quantas horas estão contidas em minutos? a) b) c) d) e) Se Ivo gastar, em média, 15 minutos em cada questionário que preencher para o IBGE, em quanto tempo ele preencherá 75 questionários? a) 17h e 15min b) 17h e 45min c) 18h e 15min d) 18h e 45min e) 19h e 15min 17. Um programa de TV teve início às 21h 13min 17s e terminou exatamente às 24h. A duração do programa foi de: a) 1h 43min 46s b) 2h 43min 46s c) 1h 46min 43s d) 2h 46min 43s e) 3h 18. Os 7/10 do dia correspondem a a) 10 horas e 15 minutos b) 16 horas e 48 minutos c) 16 horas, 15 minutos e 12 segundos d) 18 horas, 10 minutos e 05 segundos e) 19 horas, 15 minutos e 13 segundos g) Unidades de ângulo 19. Qual o resultado das operações abaixo? I x 4 II a) (I) (II) b) (I) (II) c) (I) (II) d) (I) (II) Exercícios Propostos 01. (Empasial) Marque a opção verdadeira: a) 1 litro = 1m 3 b) 1.000dm 3 = 100 litros c) 1 are = m 2 d) 0,5g = 500mg e) 1hm = 10dm 02. (ESAF) Se 300cm 3 de uma substância têm massa de 500g, quanto custarão 75dL (decilitro) dessa substância, sabendo-se que é vendido a $ 25,50 o quilograma? a) $ 3.187,50 b) $ 31,87 c) $ 381,75 d) $ 318,75 e) $ , (CEE-98) Observe a tabela a seguir, copiada de um estacionamento na região central de São Paulo: Pedro Américo chegou ao estacionamento às 7h40min. E voltou para pegar o carro às 13h10min. A quantia a ser paga será de: a) R$ 11,00 b) R$ 12,00 c) R$ 13,00 d) R$ 14,00 e) R$ 15, Um ângulo que mede corresponde a a) b) c) 7 50 d) 7 10 Gabarito dos Exercícios de Fixação 01. A 02. A 03. D 04. E 05. E 06. D 07. A 08. D 09. D 10. D 11. C 12. E 13. C 14. D 15. E 16. D 17. D 18. B 19. C 20. A Gabarito dos Exercícios Propostos 01. D 02. D 03. C

17 Complemento Perímetros e Áreas de Figuras Planas 1. Introdução 2. Paralelogramos 3. Trapézio 4. Triângulos 5. Circunferência 6. Círculo 1. Introdução Perímetro e Área de uma figura geométrica plana b) Área A área de um quadrado será obtida pelo produto lado x lado: Na resolução de problemas é muito comum aparecer os conceitos de perímetro e de área de uma figura geométrica. Perímetro Perímetro de uma figura, é o comprimento de seu contorno e no caso de um polígono, nada mais é do que a soma de todos os lados dessa figura. Podemos definir também semi-perímetro, que é a metade do perímetro. Indicaremos perímetro por 2P e semi-perímetro por P. Área Área de uma figura plana é um número que mede a superfície. 2. Paralelogramos Paralelogramos são os quadriláteros que possuem os lados opostos paralelos. São paralelogramos: o quadrado, retângulo, paralelogramo e o losango. A = L X L, Portanto: A = L 2 Exercício Resolvido Calcular a área de um terreno quadrado de 25m de lado. Como L = 25m, teremos que: A = 25m 25m A = 625m 2 Resposta: A área do quadrado é igual a 625m 2. II. Perímetro e Área do Retângulo a) Perímetro O retângulo é um quadrilátero que tem as medidas dos lados opostos iguais. I. Perímetro e Área do Quadrado a) Perímetro O quadrado é um quadrilátero que tem as medidas dos lados iguais. Supondo que os lados AB = BC = CD = DA tenham medida L, temos: Supondo que os lados AB = CD tenham medida b e os lados BC = AD tenham medida h, temos: 2P = b + h + b + h, portanto Fazendo a soma das medidas dos lados, teremos: 2P = L + L + L + L, Portanto: 2P = 4L 2P = 2b + 2h = 2(b + h)

18 18 - Complemento b) Área A área do retângulo é igual ao produto da base pela altura. IV. Perímetro e Área do Losango O losango apresenta duas diagonais, maior e menor e os quatro lados iguais. Portanto: A = b x h Exercício Resolvido Calcular a área de um campo de futebol, que tem a forma retangular, cujas dimensões são, 150m de comprimento por 75m de largura. A base do retângulo é o seu comprimento e a altura é a sua largura, logo: A = 150m x 75m A = m 2 a) Perímetro Supondo que os lados tenham medida L, e fazendo a soma das medidas dos lados, teremos: 2P = L + L + L + L, Portanto: 2P = 4L b) Área A sua área é igual ao semiproduto de suas diagonais. Resposta: A área do campo é de m 2. III. Área do Paralelogramo A área do paralelogramo é igual ao produto da base pela altura. Exercício Resolvido Um losango possui a diagonal maior medindo 8cm e a menor medindo 6cm. Calcule a área deste losango. As diagonais são iguais a 8cm e 6cm, portanto: Portanto: A = b x h Exercício Resolvido Resposta: A área do losango é igual a 24cm 2. Determine a área de um paralelogramo em que a altura mede 10cm e sua base mede 6cm. A base é igual a 6cm e a altura é igual a 10cm, portanto: A = 6cm x 10cm A = 60cm 2 Resposta: A área do paralelogramo é igual a 60cm 2.

19 Complemento Trapézio Trapézio não é um paralelogramo. O trapézio possui apenas dois lados paralelos: a base maior e a base menor. Exercício Resolvido Sabendo-se que a altura de um triângulo mede 8cm e sua base mede 13cm, determine sua área. Conhecida a medida da base, que é 13cm e a altura que é 8cm, então a área será: Resposta: A área do triângulo é de 52cm 2. Área A área de qualquer trapézio é dada pela fórmula: Exercício Resolvido A base maior de um trapézio mede 40cm e sua base menor mede 25cm. Calcule sua área sabendo que sua altura é de 20cm. A base maior é igual a 40cm, a base menor é igual a 25cm e a altura é igual a 20cm, portanto a área é: Resposta: A área do trapézio é igual a 650cm Triângulos O triângulo não é paralelogramo e nem trapézio. Apresenta três lados, que poderão ser os três iguais, no caso do equilátero, dois iguais e um diferente, no caso do isósceles ou os três diferentes, no caso do escaleno. 5. Circunferência A circunferência é um conjunto de pontos de um plano que estão a uma mesma distância de um ponto fixo do plano chamado de centro. A distância de cada ponto ao centro, é chamada de raio. Perímetro O perímetro da circunferência é chamado de comprimento da circunferência e o seu cálculo é feito pela seguinte fórmula: C = 2..R Onde: C = perímetro ou o comprimento = 3, (letra grega Pi) Exercício Resolvido Calcule o comprimento de uma circunferência que tem raio igual a 5cm. Sabendo-se que o raio é igual a 5cm, poderemos calcular o comprimento da circunferência da seguinte forma: Área A área de um triângulo, quando conhecida a medida da base e da altura, é o semiproduto da base pela altura. C = 2..5 C = 10 cm Resposta: O comprimento da circunferência é igual a 10 cm.

20 20 - Complemento 6. Círculo O círculo é a reunião da circunferência de raio R e centro O com todos os seus pontos interiores. Área Dado um círculo de raio R e centro O, calculamos a sua área pela fórmula: A =.R 2 Exercício Resolvido Calcule a área de um círculo, que tem 10m de raio. Sabendo-se que o raio é igual a 10m, poderemos calcular a área da circunferência da seguinte forma: A =.(10) 2 A = 100 m 2 Resposta: A área do círculo é igual a 100 m 2. Exercícios de Fixação 01. A área de um losango com diagonais medindo 10cm e 16cm, é igual a: a) 80cm 2 b) 90cm 2 c) 100cm 2 d) 160cm 2 e) 180cm Dos quadriláteros indicados abaixo: a) Quadrado com lado medindo 5/3cm. b) Quadrado com perímetro 12cm. c) Retângulo com comprimento 3cm e perímetro 10cm A maior área é igual a a) cm 2 b) 9cm 2 c) 6cm 2 d) 8cm 2 e) 9cm Um dos lados de um retângulo mede 10cm. Qual deve ser a medida do outro lado para que a área deste retângulo seja equivalente à área do retângulo cujos lados medem 9cm e 12cm? a) 4cm b) 20cm c) 10,8cm d) 8cm e) 12cm 04. Calcular as medidas de um retângulo, sabendose que o comprimento é o quíntuplo da largura e o seu perímetro é 36m. a) 4m e 9m b) 2m e 8m c) 3m e 15m d) 8m e 10m e) 2m e 10m 05. Se um retângulo possui o comprimento igual ao quíntuplo da largura e a área é igual a 80cm 2, quais são as medidas de seus lados? a) 1cm e 5cm b) 3cm e 15cm c) 4cm e 20cm d) 8cm e 10cm e) 2cm e 10cm

21 Complemento Calcular as medidas da base e da altura de um triângulo, sabendo-se que essas medidas são números consecutivos e que a área é 10cm 2. a) 4 e 5cm b) 3 e 4cm c) 5 e 6cm d) 7 e 8cm e) 1 e 2cm 07. Calcular o comprimento de uma circunferência de 12m de raio. a) 24 m b) 72m c) 25 d) 11m e) 8 m 08. Calcular o raio de uma circunferência sabendo-se que o seu comprimento é 144 m. a) 24 m b) 72m c) 25 d) 11m e) 8 m 09. Sabendo-se que a área de um círculo é 121 m 2, qual é o seu raio? a) 24m b) 72m c) 11 m d) 11m e) 8 m Exercícios Propostos 01. (Vunesp) A comunidade escolar resolveu fazer um cercado para a horta escolar utilizando arames lisos e bambus. A horta é retangular, medindo 18m de largura por 45m de comprimento. Como o arame dará 3 voltas completas ao redor da horta, a quantidade mínima de arame a ser comprada será: a) 376m b) 377m c) 378m d) 379m e) 380m 02. (ESAF) Uma sala de 0,007km de comprimento, 80dm de largura e 400cm de altura, tem uma porta de 2,40m 2 de área e uma janela de 2m 2 de área. Sabendo-se que com 1 litro de tinta pinta-se 0,04dam 2, indique a alternativa que contém a quantidade de tinta necessária para pintar a sala toda, inclusive o teto: a) 59,4 litros b) 35,9 litros c) 14 litros d) 440 litros e) 42,9 litros 03. (Empasial) Quantos hectares têm um sítio de terreno retangular com 3.200m de largura por 1.800m de comprimento? a) 5,76 b) 56,7 c) 57,6 d) 576 e) (VUNESP) Em certas regiões rurais do Brasil, áreas são medidas em alqueires mineiros. Um alqueire mineiro é a área de um terreno quadrado de 220 metros de lado. Qual é a área, em quilômetros quadrados, de uma fazenda com 30 alqueires mineiros? a) 1,452 b) 14,5 c) 145,2 d) e) Gabarito dos Exercícios de Fixação 01. A 02. B 03. C 04. C 05. C 06. A 07. A 08. B 09. D Gabarito dos Exercícios Propostos 01. C 02. E 03. D 04. A

22 22 - Complemento 4. Volumes e Áreas de Sólidos Geométricos 1. Poliedros 2. Prisma Reto 3. Paralelepípedo Retângulo 4. Cubo 5. Pirâmide 6. Cilindro Reto 7. Cone Reto 8. Esfera 1. Poliedros Um poliedro convexo, apresenta faces que são polígonos convexos; arestas que são lados dos polígonos e vértices que são os vértices dos polígonos. Exercício Resolvido Calcule a área total da seguinte figura. 2. Prisma Reto É o prisma cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. Um prisma será triangular, quadrangular, pentagonal etc.., conforme a base for um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc. Casos de prismas retos 3. Paralelepípedo Retângulo É um prisma reto cujas bases são retângulos, as suas dimensões são: comprimento, largura e altura. Exemplos de blocos retangulares: tijolo, livro etc... Seja o bloco retangular abaixo de medidas: comprimento a, largura b e altura c. Da figura temos que: - Comprimento: 8cm - Largura: 4cm - Altura: 5cm Portanto a área total será: A t = 2.( ) = 2.(92) A t = 184cm 2 Resposta: A área total da figura é igual a 184cm 2. Volume: O volume de um paralelepípedo reto retângulo é o produto de suas três dimensões, isto é: V = a. b. c Área total (A t ): É a soma da área das seis faces, duas a duas iguais: A t = 2(a.b +a.c + b.c)

23 Complemento - 23 Exercício Resolvido Calcule o volume da seguinte figura: Exercício Resolvido Determine a área total da seguinte figura. Da figura temos que: - Comprimento: 5cm - Largura: 3cm - Altura: 10cm Portanto o volume será igual a: V = 5cm x 3cm x 10cm V = 150cm 3 Resposta: O volume da figura é 150cm Cubo O cubo é um paralelepípedo especial cujas medidas do comprimento, da largura e da altura são iguais e chamadas de arestas (a). As arestas do cubo são iguais a 4m, logo a área total será igual a: A t = 6(4) 2 = 6.16 A t = 96m 2 Resposta: A área total do cubo é igual a 96m 2. Volume O cubo é caso particular de paralelepípedo reto retângulo, que tem todas as medidas iguais. Dessa forma o volume do cubo será: Exercício Resolvido V = a. a. a ou V = a 3 Calcular o volume de uma caixa cúbica, cuja aresta mede 9m. Como a aresta mede 9m, o seu volume será: V = (9 m) 3 = 729m 3 Resposta: O volume do cubo é igual a 729m 3. Área total (A t ): É igual à soma das seis faces quadradas: A t = 6a 2

24 24 - Complemento 5. Pirâmide Pirâmide é a reunião dos segmentos com extremidade em V e a outra nos pontos do polígono da base. Pirâmide Regular É a pirâmide cuja base é um polígono regular. b) Área total É a soma da área lateral com as áreas das bases. A tot = 2 r h + 2 r 2 ou A tot = 2 r(h+r) c) Volume Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura. V = A base. h Se a base é um círculo de raio r, então: Exercício Resolvido V = r 2 h Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume. a) Elementos da pirâmide - Base: A base é um polígono. - Vértice: O vértice é o ponto V. - Aresta da base - Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base. 6. Cilindro Reto É o sólido que tem como bases, paralelas formadas por círculos como o representado na figura abaixo: Cálculo da Área lateral: A lat = 2 rh A lat = = 12 cm 2 Cálculo da Área total: A tot = A lat + 2 A base A tot = = = 20 cm 2 Cálculo do Volume: V = r 2 h V = = = 12 cm 3 Caso especial de cilindro Cilindro Equilátero É o cilindro que tem a altura igual a dobro do raio da base. a) Área lateral Quando temos um cilindro circular reto, a área lateral é dada por: A lat = 2 rh onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. No cilindro equilátero, a área lateral, a área total e o volume é dado por: A lat = 2 r. 2r = 4 r 2 A tot = A lat + 2A base A tot = 4 r r 2 = 6 r 2 V = A base h = r 2. 2r = 2 r 3

25 Complemento Cone Reto É um sólido como representado na figura abaixo. 8. Esfera a) Área da superfície esférica: S = 4 R 2 a) Elementos do Cone - Base: A base do cone é um círculo. - Vértice: O vértice do cone é o ponto P. - Geratriz: Qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na circunferência da base. - Altura: Distância do vértice do cone ao plano da base. b) Relação Fundamental Se g é a medida de cada geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos: g 2 = h 2 + R 2 c) Cones Equiláteros Dizemos que um cone circular reto é equilátero se a medida da geratriz é igual ao diâmetro da base: g = 2R d) Área Lateral do Cone Circular Reto Área lateral (A l ) de um cone circular reto é a reunião de suas geratrizes. A área lateral de um cone é calculada pela fórmula: A l = Rg e) Área Total do Cone Circular Reto A área total (A t ) de um cone circular reto é a reunião da área lateral com o círculo da base, isto é: A t = A l + A b =.r (R + g) f) Volume do Cone Circular Reto O volume de um cone circular reto é dado pela fórmula: b) Volume da esfera: Exercícios de Fixação V = R Qual a capacidade de um tanque que mede 3,2 metros de comprimento, 2,5 metros de largura e 50 centímetros de altura? a) 580 litros b) 2400 litros c) 4000 litros d) 3200 litros e) 400 litros 02. Uma sala retangular, com altura 3m, tem dimensões 4m e 5m. Se um pintor cobra R$ 5,00 por m 2 para pintar as paredes e o teto dessa sala, o custo total do serviço, é igual a: a) R$ 370,00 b) R$ 350,00 c) R$ 360,00 d) R$ 340,00 e) R$ 320, Se a soma das arestas de um cubo é igual a 72cm, então, o volume do cubo é igual a: a) 216cm 3 b) 100cm 3 c) 40cm 3 d) 144cm 3 e) 16cm 3 Como a área da base é um círculo, temos: V = R 2 h

26 26 - Complemento 04. Um reservatório de decantação possui a forma de um cilindro, medindo, internamente, 4m de diâmetro e 1m de profundidade, ao nível da água. Considerando-se é: a) 6.280L b) 8.140L c) L d) L e) L = 3,14, o seu volume 05. Um copo tem a forma de um cone circular reto de 10cm de altura e 8cm de diâmetro interno da base. O volume, em cm 3, desse copo é aproximadamente igual a: a) 163 b) 165 c) 167 d) 169 e) O raio da Terra mede aproximadamente 6.300km. Supondo a Terra como uma esfera perfeita pode-se dizer que sua área superficial é, aproximadamente, igual a: a) km 2 b) km 2 c) km 2 d) km 2 e) km 2 Exercícios Propostos 01. O volume de um quarto em forma de um cubo é 27m 3. A área lateral desse quarto, em m 2, é: a) 24 b) 30 c) 36 d) 40 e) Um cubo A tem 6cm de aresta e um cubo B tem 2cm de aresta. O volume do cubo A contém o volume do cubo B um número de vezes igual a: a) 2 b) 3 c) 8 d) 24 e) Uma lata de óleo de forma cilíndrica possui uma base de raio 4cm e uma altura de 18cm. Então, seu volume, em cm 3, é igual a: a) 1296 b) 576 c) 288 d) 144 e) A área de uma esfera de 288 m 3 de volume, é igual a: a) 150 m 2 b) 204 m 2 c) 120 m 2 d) 144 m 2 e) 320 m 2 Gabarito dos Exercícios de Fixação 01. C 02. A 03. A 04. C 05. C 06. D Gabarito dos Exercícios Propostos 01. C 02. E 03. C 04. D

27 Complemento Relações no Triângulo Retângulo 1. Elementos de um Triângulo Retângulo 2. Relação Métrica 3. Razões Trigonométricas 4. Tabela das Razões Trigonométricas Especiais 1. Elementos de um Triângulo Retângulo Observe o triângulo retângulo abaixo, onde a é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º), b e c são os catetos do triângulo retângulo (catetos são os lados que formam o ângulo de 90º). Aplicação do Teorema de Pitágoras Poderemos encontrar aplicação do Teorema de Pitágoras, de uma forma direta, quando já temos um triângulo retângulo, ou quando por alguma ação aparecer um triângulo retângulo. Observar sempre se há um ângulo reto envolvido na figura. Exercícios Resolvidos Convenções: 2. Relação Métrica Teorema de Pitágoras Poderemos relacionar os três lados de um triângulo retângulo, pelo chamado Teorema de Pitágoras. O seu enunciado é o seguinte: A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. b 2 + c 2 = a 2 Recíproco do Teorema de Pitágoras Se num triângulo o quadrado do maior lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, então o triângulo é retângulo. 01. A hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles mede. A medida de cada cateto é: a) 18m b) 12m c) 9m d) 3m e) 2m Sendo o triângulo retângulo isósceles, então ele apresenta um ângulo reto e dois lados iguais. Os dois lados iguais são os catetos. Catetos: b = c = x Hipotenusa: a = Usando o Teorema de Pitágoras, teremos: = x 2 + x 2 2x 2 = 18 x 2 = 9 x = 3 Logo os catetos medirão 3m. 02. Uma embarcação parte da cidade X em direção à cidade Y. Para chegar à cidade Y o comandante determina que a embarcação deve navegar 2.400km em direção ao norte e depois mais 1.000km em direção ao leste. Qual a distância, em quilômetros entre as duas cidades? a) b) c) d) 1.000

28 28 - Complemento Montando a figura da situação acima, teremos: Sendo que distância d corresponde à hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são e Usaremos o Teorema de Pitágoras: d 2 = (2.400) 2 + (1.000) 2 d 2 = d 2 = d = = 2.600km Logo a distância é de 2.600km. 03. Dado um triângulo equilátero de lado, determine a sua altura em função do lado. Temos o triângulo equilátero de: lado = e altura h 04. Um terreno tem a forma de um quadrado. Uma cerca que une dois vértices opostos desse terreno mede m. Qual a medida, em metros, do lado desse terreno? a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 A cerca que une os dois vértices opostos, representa a diagonal do quadrado e que divide o quadrado em dois triângulos retângulos com hipo tenusa e catetos, igual ao lado do terreno. Pelo Teorema de Pitágoras, teremos: O lado do terreno medirá 30m. 3. Razões Trigonométricas A palavra trigonometria significa medida dos três ângulos de um triângulo e determina um ramo da matemática que estuda a relação entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo. Teremos um triângulo retângulo de hipotenusa, e catetos /2 e h Aplicando o Teorema de Pitágoras. Classificação dos catetos conforme o ângulo agudo observado Considere o triângulo ABC, retângulo em A, hipotenusa a e catetos b e c. Observe o ângulo agudo B: Logo a altura de um triângulo equilátero em função do lado é igual a I) b é o cateto oposto a II) c é o cateto adjacente a

29 Complemento - 29 Observe o ângulo agudo C: II) Cosseno de um ângulo agudo É a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa. Em relação ao ângulo agudo C, o cateto adjacente é b e a é a hipotenusa. A razão C ou cosseno de. é chamada cosseno da medida do ângulo I) c é o cateto oposto a II) b é o cateto adjacente a Portanto um cateto é oposto a certo ângulo agudo, quando esse lado estiver numa localização oposta ao ângulo observado. Um cateto é adjacente ao ângulo observado quando formar junto com a hipotenusa o ângulo observado. A hipotenusa será sempre oposta ao ângulo reto. Razões Trigonométricas Definições: Dado o triângulo ABC, retângulo em A Escreve-se cos e lê-se cosseno de. III) Tangente de um ângulo agudo É a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. Em relação ao ângulo agudo C, o cateto oposto é c e o cateto adjacente é b. A razão C ou tangente de. é chamada tangente da medida do ângulo Escreve-se tg e lê-se tangente de. Exercícios Resolvidos 01. Escreva as razões trigonométricas do triângulo abaixo: I) Seno de um ângulo agudo É a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. Em relação ao ângulo agudo C, o cateto oposto é c e a é a hipotenusa. A razão C ou seno de. é chamada seno da medida do ângulo Escreve-se sen e lê-se seno de. A hipotenusa (a) = 5 Em relação ao ângulo B: Cateto oposto (b) = 4 Cateto adjacente (c) = 3 Em relação ao ângulo C: Cateto oposto(c) = 3 Cateto adjacente(b) = 4

30 30 - Complemento Teremos: Ângulos Notáveis Usando as definições para o ângulo de 30º, teremos: Ângulos notáveis são os ângulos de 30º, 45º e 60º. Para esses valores temos que saber os valores para o seno, cosseno e para a tangente. a) Seno, cosseno e tangente de 45º Consideremos um quadrado de lado. Traçando a sua diagonal que mede, formaremos um triângulo retângulo de ângulos internos 45º e 90º, hipotenusa e catetos. Usando as definições para o ângulo de 60º, teremos: Usando as definições, teremos: 4.Tabela das Razões Trigonométricas Especiais b) Seno, cosseno e tangente de 30º e 60º Consideremos um triângulo equilátero de lado. Tracemos sua altura que mede, formaremos um triângulo retângulo de zzzzzzz internos 30º, 60º e 90º, hipotenusa e catetos e.

31 Complemento - 31 Exercícios Resolvidos 01. Calcular o valor de x na figura abaixo: Resposta: O cateto b, vale 10m. É conhecido o cateto oposto ao ângulo de 45º e deseja-se determinar a hipotenusa. 03. Determine o valor de c na figura abaixo. Temos que o cateto oposto ao ângulo de 45º é Logo usaremos a definição de seno Como temos: Sabendo-se que a medida do ângulo B =30º e a = 20m. É conhecida a hipotenusa e deseja-se determinar o cateto adjacente ao ângulo de 30º. Logo usaremos a definição de cosseno Resposta: A medida x vale. 02. Calcule o valor de b na figura abaixo. Dados: medida do ângulo B = 30º e a = 20m. Resposta: O cateto adjacente é igual a. Exercícios de Fixação O triângulo dado é retângulo de hipotenusa 20, e ângulo B igual a 30º. Como queremos determinar b, que é o cateto oposto ao ângulo B, usaremos a definição de seno 01. O pé de uma escada de 13m de comprimento está afastado 5 metros de um muro. A escada toca o muro, portanto, a uma altura, em metros, de: a) 18 b) 9 c) 12 d) 8 e) N.D.A.