Equipe de Matemática. Matemática

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1 Aluno (a): Série: 3ª Turma: TUTORIAL 2R Ensino Médio Equipe de Matemática Data: Matemática Unidades de Medidas Medidas de Comprimento A unidade fundamental de comprimento é o metro. Designa-se abreviadamente por m. Aritmética. Marcondes, Oswaldo. Múltiplos e submúltiplos em suas formações, empregam-se os prefixos gregos deca (dez), hecto (cem) e quilo (mil) e os prefixos latinos deci (décimo); centi )centésimo) e mili (milésimo). Usando esses prefixos, montamos o quadro abaixo. Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro Km hm dam m dm cm mm Na tabela acima, cada vez que andamos uma casa para a direita, multiplicamos por 10. Cada vez que voltamos uma casa para a esquerda, dividimos por 10. Isto ocorre porque a relação entre os múltiplos e submúltiplos do metro é decimal. Assim, por exemplo, 9 m são iguais a 900 cm (andamos duas casas para a direita) e 5 cm são iguais a 0,00005 km (voltamos cinco casas para a esquerda). Unidades de Áreas Neste caso, como a área de uma superfície plana é a medida da extensão de sua superfície e sua unidade fundamental é o metro quadrado, cada vez que andamos uma casa para a direita, multiplicamos por Cada vez que voltamos uma casa para a esquerda, dividimos por Assim, por exemplo, 1 km 2 = m 2 e 6 m 2 = cm 2. Unidades de Volumes Neste caso, como o volume de um corpo é a quantidade de espaço que esse corpo ocupa e sua unidade fundamental é o metro cúbico, cada vez que andamos uma casa para a direita, multiplicamos por Cada vez que voltamos uma casa para a esquerda, dividimos por Exemplo: 73,42 dm 3 equivalem a mm 3. Obs.: Formalmente, o sistema metrológico brasileiro adota somente um múltiplo da unidade legal de volume o quilômetro cúbico, e três submúltiplos o decímetro cúbico, o centímetro cúbico e o milímetro cúbico. Unidades de Capacidade A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente pois, ao enchermos esse recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Assim, capacidade é o volume interno de um recipiente. A unidade fundamental de capacidade é o litro. O litro é o volume de um quilograma de água destilada e isenta de Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem NANDA/MARÇO/

2 ar, à temperatura de 4 C e sob pressão atmosférica normal. A capacidade de um cubo que tem 1 dm de aresta é 1 litro. Relação entre unidades de capacidade e unidades de medida Não devemos confundir uma coisa e outra. Uma garrafa tem a capacidade de armazenar certo volume de líquido em seu interior. Se um corpo é oco, ele tem capacidade. Se um corpo é maciço, ele tem volume. Conversões mais usuais: 1 dm 3 = 1 litro; 1 cm 3 = 1 ml; 1 m 3 = 1000 litros. Obs.: As mudanças de unidades entre os múltiplos e submúltiplos do litro são feitas de forma análoga às das unidades de comprimento. A prova do ENEM de 2010 abordou o tema. Vejamos a questão: A siderúrgica Metal Nobre produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue: O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza a) massa. b) volume. c) superfície. d) capacidade. e) comprimento. O produto das três dimensões indica o volume do objeto maciço. Opção (B). Peso e Massa Não devemos confundir peso e massa. Massa é a quantidade de matéria de um corpo. É uma propriedade constante dos corpos e não depende do local onde eles se encontram. Peso é a força de atração exercida pela terra sobre a massa de um corpo. Depende da gravidade no local onde se faz a medida. A unidade fundamental da massa é o quilograma e só tem um múltiplo, a tonelada, que vale 1000 quilogramas, e vários submúltiplos. Referidos ao grama, as mudanças de unidades entre seus múltiplos e submúltiplos são feitas de forma análoga às das unidades de comprimento. Assim, por exemplo, 1 kg = 1000 g. Escalas Pode-se definir escala como sendo a relação ou proporção direta existente entre as distâncias lineares representadas em um desenho (um mapa, por exemplo) e aquelas existentes na vida real (em um terreno, ou seja, na superfície real). É graças às escalas que os objetos ou lugares são reduzidos ou aumentados para caber numa folha de papel. Toda escala é diretamente proporcional. Quando se diz que um modelo está em escala 1:50, isso significa que ele é 50 vezes menor que o original. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem NANDA/MARÇO/

3 Em questões envolvendo escalas, é necessário que as medidas em questão estejam em uma mesma unidade. Por exemplo, uma escala 1 : 100 significa que cada 1 parte em um desenho corresponde a 100 partes da realidade. Ou seja, 1 cm corresponde a 100 cm; 1 m corresponde a 100 m; 1 km corresponde a 100 km, etc. Repare que a unidade de medida é a mesma quando se faz a comparação. Exemplo: Um mapa foi construído na escala 1 : Neste mapa, um trecho retilíneo da Avenida Brasil com 2 km de extensão terá quantos centímetros de comprimento? Como o mapa foi feito na escala de 1 : , significa que cada 1 km no desenho correspondem a de km reais. Assim, o trecho da Av. Brasil de 2 km teria, no desenho, 2/ km, ou seja, 0, km, que equivalem a 0,5 cm. Exemplo: A planta de um apartamento está confeccionada na escala 1:50. Então, a área real, em m 2, de uma sala retangular cujas medidas na planta são 12 cm e 14 cm é a) 24 b) 26 c) 28 d) 42 e) 54 Como a planta foi confeccionada na escala 1:50, cada 1 cm da planta corresponde a 50 cm reais. Assim, 12 cm na planta corresponderão a 12 x 50 = 600 cm = 6 m reais e 14 cm na planta corresponderão a 14 x 50 = 700 cm = 7 m reais. Logo, a área real em metros quadrados será igual a 6 x 7 = 42 (D). Exemplo: A planta baixa do prédio de uma empresa foi feita na escala de 1:250. Determine a área real que está representada na planta por 4 cm 2. a) 20 m 2 b) 25 m 2 c) 10 m 2 d) 100 m 2 e) 16 m 2 Como a planta foi confeccionada na escala 1:250, cada 1 cm da planta corresponde a 250 cm reais. Porém, como queremos conhecer a área, teremos que elevar ao quadrado nossa escala. Assim, 1 cm 2 na planta corresponderão a (250) 2 cm 2 reais. Assim, a área real pedida será igual a 4 x (250) 2 cm 2 = cm 2 = 25 m 2. (B). Quanto menor a escala, maior a figura. Uma mesma figura representada em uma escala de 1:25 terá o triplo do tamanho do que se for feita na escala de 1:75. Se as figuras forem diferentes, devemos redobrar a atenção. Vejamos a questão da última prova do ENEM: Um biólogo mediu a altura de cinco árvores distintas e representou-as em uma mesma malha quadriculada, utilizando escalas diferentes, conforme indicações na figura a seguir. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem NANDA/MARÇO/

4 Qual é a árvore que apresenta a maior altura real? a) I b) II c) III d) IV e) V As escalas são, respectivamente, (I)1:100; (II)1:50; (III) 1:150; (IV) 1:300 e (V) 1:150. A árvore (I) terá 9 quadrículas de altura; a árvore (II) terá a metade da altura da (I); a árvore (III) terá também 9 quadrículas de altura; a (IV) terá mais de 12 quadrículas de altura e a (V) terá a metade da (IV). Assim, a mais alta será a (IV) opção (D). Exercícios 1. (ENEM 2013) Uma torneira não foi fechada corretamente e ficou pingando, da meia-noite às seis horas da manhã, com a frequência de uma gota a cada três segundos. Sabe-se que cada gota d água tem volume de 0,2 ml. Qual foi o valor mais aproximado do total de água desperdiçada nesse período, em litros? a) 0,2 b) 1,2 c) 1,4 d) 2,9 e) 64,8 2. (ENEM 2013) Nos Estados Unidos a unidade de medida de volume mais utilizada em latas de refrigerante é a onça fluida (fl oz), que equivale a aproximadamente 2,95 centilitros (cl). Sabe-se que o centilitro é a centésima parte do litro e que a lata de refrigerante usualmente comercializada no Brasil tem capacidade de 355 ml. Assim, a medida do volume da lata de refrigerante de 355 ml, em onça fluida (fl oz), é mais próxima de a) 0,83. b) 1,20. c) 12,03. d) 104,73. e) 120,34. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem NANDA/MARÇO/

5 3. (ENEM 2011 Adaptada) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de lazer reivindicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido às características técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça: Terreno 1: 550 dm por 4500 cm Terreno 2: 5500 cm por mm Terreno 3: 6 dam por 300 dm Terreno 4: 7000 cm por 0,20 hm Terreno 5: 0,095 km por 85 m Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. (ENEM 2011) Café no Brasil O consumo atingiu o maior nível da história no ano passado: os brasileiros beberam o equivalente a 331 bilhões de xícaras. Veja. Ed. 2158, 31 mar Considere que a xícara citada na notícia seja equivalente aproximadamente, 120 ml de café. Suponha que em 2010 os brasileiros bebam ainda mais café, aumentando consumo em 1/5 do que foi consumido no ano anterior. De acordo com essas informações, qual a previsão mais aproximada para o consumo de café em 2010? a) 8 bilhões de litros. b) 16 bilhões de litros. c) 32 bilhões de litros. d) 40 bilhões de litros. e) 48 bilhões de litros. 5. (ENEM 2011) Para uma atividade realizada no laboratório de Matemática, um aluno precisa construir uma maquete da quadra de esportes da escola que tem 28 m de comprimento por 12 m de largura. A maquete deverá ser construída na escala de 1 : 250. Que medidas de comprimento e largura, em cm, o aluno utilizará na construção da maquete? a) 4,8 e 11,2 b) 7,0 e 3,0 c) 11,2 e 4,8 d) 28,0 e 12,0 e) 30,0 e 70,0 Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem NANDA/MARÇO/

6 6. (ENEM 2010) Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são: Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m 2, então ela possui RIP igual a a) 0,4 cm/kg 1/3 b) 2,5 cm/kg 1/3 c) 8 cm/kg 1/3 d) 20 cm/kg 1/3 e) 40 cm/kg 1/3 7. Nosso ritmo agitado de vida passou a ser prejudicial à saúde em alguns aspectos. Esquecemos de ingerir a quantidade de líquido diária suficiente. Segundo as nutricionistas, o ideal é que fossem consumidos cerca de 35 ml de água por quilo de peso por dia. Por exemplo, um indivíduo de 70Kg deveria ingerir 2450ml de água pura por dia. Quantos copos, no mínimo, de 0,35L de água uma pessoa de 80Kg deve consumir em um dia, de forma que sejam seguidas as orientações? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e)12 8. Ao medir com uma régua convencional milimetrada a escala gráfica de um desenho, constatou-se que 1 (um) metro equivale a aproximadamente 67 (sessenta e sete) milímetros. A escala aproximada do desenho é a) 1:66 b) 1:50 c) 1:33 d) 1:25 e) 1:15 9. Uma comunidade indígena do Alto Xingu reside em uma área de aproximadamente m 2. Calcule o valor dessa representação, em um mapa que foi construído na escala de 1 : a) 32 cm² b) 6,4 cm² c) 3,2 cm² d) 8 cm² e) 64 cm² Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem NANDA/MARÇO/

7 10. (ENEM 2013) O esporte de alta competição da atualidade produziu uma questão ainda sem resposta: Qual é o limite do corpo humano? O maratonista original, o grego da lenda, morreu de fadiga por ter corrido 42 quilômetros. O americano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planícies da Califórnia, conseguiu correr dez vezes mais em 75 horas. Um professor de Educação Física, ao discutir com a turma o texto sobre a capacidade do maratonista americano, desenhou na lousa uma pista reta de 60 centímetros, que representaria o percurso referido. Disponível em: Acesso em: 25 jun (adaptado). Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma pista reta, qual seria a escala entre a pista feita pelo professor e a percorrida pelo atleta? (A)1:700 (B)1:7 000 (C)1: (D)1: (E)1: Gabarito: 1) C 2) C 3) C 4) E 5) C 6) E 7) C 8) E 9) E 10) D Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem NANDA/MARÇO/

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