ESTUDO DA LÓGICA PROPOSICIONAL

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1 ESTUDO DA LÓGICA PROPOSICIONAL 1) PROPOSIÇÃO EXEMPLO A) 2+3 = 5 B) Aracaju é capital de Sergipe C) (-3)² = -9 D) O sol é uma estrela CONTRA - EXEMPLO A) x+2=1 (sentença aberta, depende de x) B) Que lindo dia! (Frase exclamativa) C) Que dia é hoje? (Frase interrogativa) D) Vá para casa (Frase imperativa) EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 1 ) (STJ - CESPE) Tendo como referência as informações acima, julgue os itens que se seguem. 1) Nas sentenças abaixo, apenas A e D são proposições. A: 12 é menor que 6 B: Para qual time você torce? C: x+3>10 D: existe vida após a morte. 2 ) (BB - CESPE) A partir desses conceitos, julgue os próximos itens: 3) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: (I) O BB foi criado em 1980 (II) Faça seu trabalho corretamente (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade 3 ) (BB - CESPE) A partir desses conceitos, julgue os próximos itens: 1) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. (I) A frase dentro destas aspas é uma mentira (II) A expressão x + y é positiva (III) O valor de = 7 (IV) Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira (V) O que é isto? 4 ) (TRT - CESPE) A partir desses conceitos, julgue os próximos itens: 2) Na sequência de frases abaixo, há três proposições: (I) Quantos tribunais regionais do trabalho há na região Sudeste do Brasil? (II) O TRT/ES lançou edital para preenchimento de 200 vagas. (III) Se o candidato estudar muito, então ele será aprovado no concurso de TRT/ES (IV) Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no concurso de TRT/ES 1

2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Julgue as afirmações que se seguem. 1 ) (TCE/AC) Na lista de frases a seguir, há exatamente 2 proposições. (I) Esta frase é falsa. (II) O TCE/AC tem como função fiscalizar o orçamento do estado do Acre. (III) Quantos são os conselheiros do TCE/AC? 2 ) (MRE) Considere a seguinte lista de sentenças: (I) Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores? (II) O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX. (III) As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respectivamente, x e y. (IV) O barão do Rio Branco foi um diplomata notável. Nessa situação, é correto afirmar que entre as sentenças acima, apenas uma delas não é uma proposição. 3 ) (PRODEST) Considere a seguinte lista de frases: (1) Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. (2) Qual é o horário do filme? (3) O Brasil é pentacampeão de futebol. (4) Que belas flores! (5) Mariene não é atriz é Djanira é pintora. Nessa lista, há exatamente 4 proposições. 4 ) (FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte há expressões e sentenças: 1. A terça parte de um número. 2. Jasão é elegante. 3. Mente sã em corpo são. 4. Dois mais dois são Evite o fumo. 6. Trinta e dois centésimos. É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças APENAS os itens de números (A) 1, 4 e 6 (B) 2, 4 e 5 (C) 2, 3 e 5 (D) 3 e 5 (E) 2 e 4 GABARITO 1 ) ERRADO 2 ) ERRADO 3 ) ERRADO 4 ) E 2

3 1.1) VALORES LÓGICOS DE UMA PROPOSIÇÃO Considere uma proposição p para representarmos o valor lógico dessa proposição usaremos a simbologia V(p), que significa, o valor lógico da proposição p. Se p é verdadeira, então V(p) = V ou V(p) = 1 Se p é falsa, então V(p) = F ou V(p) = 0 1.2) PRINCÍPIOS Para que a lógica matemática seja desenvolvida corretamente é necessário obedecer aos princípios básicos. Os mais importantes são os 3 seguintes: I) Principio da identidade: Se qualquer proposição é verdadeira, então, ela é verdadeira. II) Principio da não-contradição: Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa III) Principio do terceiro excluído: Uma proposição ou é verdadeiro ou é falsa 1.3) TIPOS DE PROPOSIÇÕES 1.3.1) PROPOSIÇÃO SIMPLES (ATÔMICA): EXEMPLOS a) p: 3+7<10 b) q: Bahia é um estado do Nordeste c) r: Joana é dentista 1.3.2) PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLECULAR): Os conectivos são: CONECTIVO OPERAÇÃO LÓGICA LEITURA EXEMPLOS EXEMPLOS A) 4 é par e 5 < 6 (conectivo e ) B) 2<3 ou 9 é um numero primo (conectivo ou ) C) Ou 2 é par ou 10 é primo (conectivo ou...ou... ) D) Se 2 N então 2 R (conectivo se... então... ) E) É brasileiro se, e somente se nasceu no Brasil (conectivo se, e somente se ) 3

4 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 1º) (SEBRAE 2008)(adaptada). Com relação a lógica formal, julgue os itens subseqüentes: 1) A frase Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE é uma proposição simples 2) Toda proposição lógica pode assumir no mínimo 2 valores lógicos. 5) A proposição João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção. 2º) (SEBRAE/BA )(adaptada)Uma proposição é uma sentença afirmativa ou negativa que pode ser julgada como verdadeira(v) ou falsa (F), mas não como ambas. A partir dessas definições, julgue os itens abaixo: 4) A proposição O SEBRAE facilita e orienta o acesso a serviços financeiros é uma proposição simples. 3 ) (CESPE) Com relação à lógica formal, julgue os itens subseqüentes: Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o coração irado. O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade. Tendo como referência as quatro frases acima, julgue os itens seguintes. 1) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. 2) A segunda frase é uma proposição lógica simples. 3) A terceira frase é uma proposição lógica composta. 4) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos. 4 ) Transforme da linguagem escrita para a linguagem escrita para a linguagem simbólica as seguintes proposições: a) O gato mia e o cachorro não late b) João não é médico ou Maria é dentista c) Ou Paulo é carioca ou Paulo é baiano d) João não vai para a praia e Cláudio não vai para a festa. e) Ou Fernando é dentista ou Fernando não é médico. f) Se Paula não vai ao médico então Fernanda não vai aproveitar a sua carona 4

5 g) Paulo só viajará se, e somente se, seus filhos forem aprovados. h) Se José não vai para Bahia então Carlos vai para o Ceará. i) Fernanda não passará no concurso se, e somente se, Fernanda não estudar j) Se 3 < 4 então 3 4 k) Se Pedro é dentista e João não é médico então Paulo é economista l) Se Maria não é alta e José é baixo então Claudio não é baixo e Carlos não é alto m) Se Pedro não é baiano então Fernando não é baiano ou José é carioca n) Se 2 divide 4 e 4 é divisível por 4 então 4 não é um número primo o) Maria trabalha na diretoria ou trabalha na presidência 1.4) APROFUNDANDO NOS CONECTIVOS 5

6 Em concursos públicos, são cobradas duas partes do operador lógico: a linguagem escrita e a tabela verdade. Por isso, vamos agora nos familiarizar com a parte da linguagem escrita para em seguida trabalhar com as tabelas verdades. I) DISJUNÇÃO (INCLUSIVA): Além da forma explicitada nos exercícios trabalhados acima, existe outras formas dos concursos cobrarem o operador lógico da disjunção (inclusiva), conforme exemplos abaixo. EXEMPLO 1) p: Carlos está alocado na região B3 q: Carlos está alocado na região B4 FORMA JÁ CONHECIDA: p q: Carlos está alocado na região B3 ou Carlos está alocado na região B4 FORMA NOVA: p q: Carlos está alocado na região B3 ou B4 II) DISJUNÇÃO EXCLUSIVA: A disjunção exclusiva não possui outra forma de leitura, porém é importante saber que a CESPE considera que NÃO EXISTE DISJUNÇÃO EXCLUSIVA, ou seja, quando ele colocar numa sentença o conectivo ou...ou.. considere uma DISJUNÇÃO (INCLUSIVA). CONCLUSÃO: Para CESPE ou...ou... é DISJUNÇÃO (INCLUSIVA). III) CONJUNÇÃO: Além da forma explicitada nos exercícios trabalhados anteriormente, existe outras formas dos concursos cobrarem o operador lógico da conjunção, conforme exemplos abaixo. EXEMPLO 1) p: O sol é uma estrela q: A lua é um satélite FORMA JÁ CONHECIDA: p q: O sol é uma estrela e a lua é um satélite. FORMA NOVA: p q: O sol é uma estrela, mas a lua é um satélite. FORMA NOVA: p q: Tanto o sol é uma estrela, como a lua é um satélite. FORMA NOVA: p q: O sol é uma estrela a lua é um satélite, embora a lua seja um satélite. FORMA NOVA: p q: O sol é uma estrela a lua é um satélite, apesar de a lua ser um satélite. OBSERVAÇÃO!!! A expressão e, do ponto de vista lógico, representa uma simultaneidade de acontecimento. Por isso, quando se diz: Hoje vou à praia e ao cinema, significa que irá à praia e também ao cinema, ou seja, as duas coisas irão acontecer. IMPORTANTÍSSIMO SABER!!! O CESPE considera proposição simples: A proposição com sujeitos diferentes, porém o mesmo predicado. EXEMPLO IMPORTANTE 1) p: Pedro é analista do SEBRAE. q: Paulo é analista do SEBRAE. FORMA JÁ CONHECIDA: p q: Pedro é analista do SEBRAE e Paulo é analista do SEBRAE. FORMA NOVA: p q: Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE. (Em termos de lógica a proposição é composta, mas para a CESPE é uma proposição simples.) IV) CONDICIONAL 6

7 Além da forma explicitada nos exercícios trabalhados anteriormente, existe outras formas dos concursos cobrarem o operador lógico da condicional, conforme exemplos abaixo. EXEMPLO 1) p: Mário é inocente q: João é culpado FORMA JÁ CONHECIDA: p q: Se Mário é inocente então João é culpado. FORMA NOVA: p q: Mário ser inocente implica João ser culpado. FORMA NOVA: p q: Mário é inocente consequentemente João é culpado. FORMA NOVA: p q: Quando Mário for inocente, João será culpado. FORMA NOVA: p q: No caso de Mário ser inocente, João será culpado. FORMA NOVA: p q: João é culpado, se Mário é inocente. FORMA NOVA: p q: João é culpado, contanto que Mário seja inocente. FORMA NOVA: p q: João é culpado, no caso de Mário ser inocente. FORMA NOVA: p q: João é culpado, portanto Mário é inocente. OBSERVAÇÃO!!! A operação lógica de condicional é uma relação de causa e efeito, daí basta lembrar que p q significa, causa efeito. V) BICONDICIONAL A bicondicional não possui outra forma de leitura, porém mais adiante veremos umas formas de leituras equivalentes. EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 1 ) (CESPE) Considere as proposições seguintes. Q: Se o Estrela Futebol Clube vencer ou perder, cairá para a segunda divisão. A: O Estrela Futebol Clube vence ; B: O Estrela Futebol Clube perde. C: O Estrela Futebol Clube cairá para a segunda divisão. Nesse caso, a proposição Q pode ser expressa, simbolicamente, por A B C. 2 ) (CESPE) Na análise de um argumento, podem-se evitar considerações subjetivas, por meio da rescrita das proposições envolvidas na linguagem da lógica formal. Considere que P, Q, R e S sejam proposições e que,, ~ e sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente, e, ou, negação e o conector condicional. Considere também a proposição a seguir. Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô, ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado. Assinale a opção que expressa corretamente a proposição acima em linguagem da lógica formal, assumido que P = Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus, Q = Quando Paulo vai ao trabalho de metrô, R = Ele sempre leva um guarda-chuva e S = Ele sempre leva dinheiro trocado. (A) P (Q R) (B) (P Q) R) (C) (P Q) (R S) (D) P (Q (R S) 3 ) (ICMS FCC) Considere a proposição Paula estuda, mas não passa em concurso. 7

8 Nessa proposição o conectivo lógico é: RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM (A) disjunção inclusiva (B) disjunção exclusiva (C) condicional (D) bicondicional (E) conjunção 4 ) (CESPE) Considerando a proposição P: Mário pratica natação e judô, julgue o item seguinte. 1) Simbolizando a proposição P por A B, então a proposição Q: Mário pratica natação, mas não pratica judô é corretamente simbolizada por A ( B). 5 ) (CESPE) A sentença O Departamento Cultural do Itamaray realiza eventos culturais e o Departamento de Promoção Comercial não estimula o fluxo de turistas para o Brasil é uma proposição que pode ser simbolizada na forma A ( B). EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 ) (CESPE) Considere as proposições a seguir. R: Ou o Saturno Futebol Clube vence ou, se perder, cairá para a segunda divisão ; A: O Saturno Futebol Clube vence ; B: O Saturno Futebol Clube perde ; C: O Saturno Futebol Clube cairá para a segunda divisão. Nesse caso, a proposição R pode ser expressa, simbolicamente, Por A (B C). 2 ) (CESPE) Ao empregar os símbolos P, Q e R para as proposições primitivas Paulo lê revistas cientificas, Paulo lê jornais e Paulo lê gibis respectivamente, é correto simbolizar a proposição composta Paulo lê gibis ou não lê jornais e não lê revistas científicas por ((R Q) P). 3 ) Texto para os itens 3 e 4. (CESPE) considere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras P, Q, R e S: P: Nesse país o direito é respeitado Q: O país é próspero. R: O cidadão se sente seguro. S: Todos os trabalhadores têm emprego. Considere também que os símbolos,, e representem os conectivos lógicos ou, e e, se... então e não, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 3. A proposição Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro pode ser representada simbolicamente por P ( R). 4. A proposição Se o país é próspero, então todos os trabalhadores têm emprego pode ser representada simbolicamente por Q S. GABARITO 1 ) CERTO 2 ) ERRADO 3 ) CERTO; CERTO 1.5) TABELA VERDADE DOS OPERADORES LÓGICOS ) NEGAÇÃO 8

9 Colocando-se não (~) antes da proposição, obtemos uma proposição que é negação da primiera. Se a proposição é verdadeira (falsa), a negação é falsa (verdadeira). TABELA VERDADE P ~p CONCLUSÃO: EXEMPLOS I) p: Argeu é baiano A proposição ~p será: ) CONJUNÇÃO: A proposição composta resultante da operação de conjunção de duas ou mais proposições só será verdadeira, se todas as proposições envolvidas na operação forem verdadeiras. TABELA VERDADE P q p q CONCLUSÃO: EXEMPLOS I) p: A Bahia é um estado do Nordeste q: Toda cobra é venenosa A proposição p q será: EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 1) Sendo VL (p) = V e VL(q) = F, determine o valor lógico de: a) p q b) ~p q c) p ~q d) ~p ~q 9

10 e) ~(p q) ) DISJUNÇÃO (INCLUSIVA): A proposição composta resultante da operação da disjunção de duas ou mais proposições só será falsa, se todas as proposições envolvidas na operação forem falsas. TABELA VERDADE P q p q CONCLUSÃO: EXEMPLOS a) p: A Bahia é um estado do Nordeste q: Toda cobra é venenosa A proposição p q será: EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 1) Sendo VL (p)=1 e VL(q)=0, determine o valor lógico de: a) p q b) ~p q c) p ~q d) ~p ~q e) ~(p q) ) DISJUNCAO EXCLUSIVA: 10

11 A proposição composta resultante da operação da disjunção exclusiva de duas ou mais proposições só será verdadeira se as proposições envolvidas tiverem valores lógicos contrários, isto é, se uma for verdadeira e a outra, falsa. Se tiverem o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou ambas falsas), a proposição resultante da disjunção exclusiva será falsa. IMPORTANTE!!! A disjunção exclusiva pode apresentar 3 representações simbólicas que são: ; ; TABELA VERDADE P q p q CONCLUSÃO: EXEMPLOS a) p: A Bahia é um estado do Nordeste q: A Bahia é um estado do Norte A proposição p q será: EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 1) Sendo VL (p)=v e VL(q)=F, determine o valor lógico de: a) p q b) ~p q c) p ~q d) ~p ~q e) ~(p q) ) CONDICIONAL: 11

12 A proposição composta resultante da operação de implicação de uma proposição em outra só será falsa, se a antecedente (hipótese) for verdadeira e a conseqüente for falsa. Em todos os outros casos, proposição resultante da implicação será verdadeira. TABELA VERDADE P q p q CONCLUSÃO: EXEMPLOS a) p: Hoje é feriado q: Amanhã irei a praia A proposição p q será: EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 1) Sendo VL (p)=v e VL(q)=F, determine o valor lógico de: a) p q b) p ~q c) ~p q d) ~p ~q e) ~(p q) f) [(~p ~q) (p ~q)] ~p ) BICONDICIONAL: 12

13 A proposição composta resultante da operação da dupla implicação de uma proposição em outra só será verdadeira se ambas as proposições envolvidas na operação tiverem o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou ambas falsas). Se uma for verdadeira e a outra falsa a dupla implicação será falsa. TABELA VERDADE P Q p q CONCLUSÃO: EXEMPLOS a) p: Argeu é baiano q: Argeu nasceu na Bahia A proposição p q será: EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 1) Sendo VL (p)=v e VL(q)=F, determine o valor lógico de: a) p q b) ~p q c) ~p ~q d) p ~q e) ~(p q) f) [(~p q) q] [(q ~p) ~q] EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 13

14 1 ) Considere que as proposições p; q e r tem valorações respectivamente iguais a verdadeiro; verdadeiro e falso então determine os valores lógico de: a) ~p q j) ~r ~q b) ~r p k) (q ~p) (~p r) c) ~r ~q d) ~p r l) (q ~r) (~p r) e) ~p ~r f) ~p ~q m) (~r ~q) (p ~q) g) ~q ~r n) (~r ~p) (~q ~r) h) p ~q o) [(p ~q) (~q ~r)] (~q ~r) i) ~q ~r p) r {[(~p ~q) (r q)] [ (~r ~q ) (~p ~r)]} 14

15 q) { [ (r ~p) (~q r)] [(q ~r) (~q ~p)]} ~p 2 ) Assinale a alternativa que representa uma proposição composta cujo valor é verdadeiro. a) 4 2 = 2 4 ( 3) 2 = 9 b) = 6 21 é primo c) < 2 d) 3 2 = 8 1 < 2 e) 3 2 = ) Sabendo-se que a proposição p ~q tem valor lógico verdadeiro então determine o valor lógico das proposições simples p e q. 4 ) Sabendo-se que a proposição ~p q tem valor lógico falso então determine o valor lógico das proposições simples p e q. 5 ) Sabendo-se que a proposição ~p ~q tem valor lógico falso então determine o valor lógico das proposições simples p e q. 6 ) Sabendo-se que a proposição (~p q) ~r tem valor lógico falso então determine o valor lógico da proposição (~r ~p) (~q ~r) 7 ) Julgue os itens seguintes. Considere as proposições abaixo: P: 4 é um número par; Q: A PETROBRAS é a maior exportadora de café do Brasil. Nesse caso, é possível concluir que a proposição P V Q é verdadeira. 8 ) (CESPE) Considere que a proposição Silvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu seja verdadeira. Então, pode-se garantir que a proposição Silvia ama Tadeu é verdadeira. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 15

16 1 ) (CESPE-PM) Considere as seguintes proposições: (A) = 7 ou 7 4 = 3 (B) = 7 e > 8 (C) Se 3 2 = 1 então 3 2 = 9 (D) Ou 1 2 = 1 ou 3 2 = 9 Nesse caso, entre 4 proposições, apenas duas são V. 2 ) Seja dado que as proposições P: José foi se divertir, Q: João foi à universidade e R: José está de férias são, respectivamente, verdadeira, verdadeira e falsa. Sejam também as proposições compostas: I. Se José está de férias, então ele foi se divertir e João não foi a universidade. II. Se José foi se divertir, então ele não está de férias e João não foi à universidade. III. Se João não foi à universidade,então José não está de férias, mas foi se divertir. Quanto ao valor verdade, as proposições I; II e III são respectivamente, a) V; F e V b) V; V e F c) V; F e F d) F; F e V e) F; V e V 3 ) Se sob o ponto de vista dos valores lógicos, as proposições compostas P (Q R),Q (P R) e R (P Q) são, respectivamente, verdadeira (V), falsa (F) e verdadeira (V), então as proposições P, Q e R são, respectivamente, a) V, F e F b) V, F e V c) V, V e F d) V, V e V e) F, F e F 4 ) (CESPE) Considere que P, Q e R sejam proposições lógicas e que os símbolos,, e representem, os conectivos ou, e, implica e negação. As proposições são julgadas como verdadeiras V ou como falsas F. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes relacionados à lógica proporcional. 2. Considere que as proposições B e A ( B) sejam V. Nessa caso, o único valor lógico possível para A é V. 5 ) (CESPE) Considere que as letras P, Q, R e S representam proposições e que os símbolos, e são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e ou respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade) que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Considerando que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens seguintes. 1. P Q é verdadeira. 2. [( P Q) ( R S) é verdadeira. 3. [P (Q S)] ( [(R Q) (P S)]) é verdadeira. 4. (P ( S)) (Q ( R )) é verdadeira. GABARITO 1 ) ERRADO 2 ) A 3 ) A 4 ) ERRADO 5 ) CERTO; ERRADO; ERRADO; CERTO DESAFIO DO DIA!!! (É PARA MOSTRAR AO PAI QUE ESTÁ SABENDO MUITO) 16

17 (AGENTE -PF/2004) Texto para os itens de 1 a 8. RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos,, e sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. 1. Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição ( P) ( Q) também é verdadeira. 2. Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R ( T) é falsa. 3. Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a propósito (P R) ( Q) é verdadeira. Considere as sentenças abaixo. I. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. II. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. III. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. IV. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido. V. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; consequentemente, muitos europeus fumam. Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir P Q R T Fumar deve ser proibido Fumar deve ser encorajado. Fumar não faz bem à saúde. Muitos europeus fumam. Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes. 4. A sentença l pode ser corretamente representada por P ( T). 5. A sentença II pode ser corretamente representada por ( P) ( R). 6. A sentença III pode ser corretamente representada por R P 7. A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ( T)) P. 8. A sentença V pode ser corretamente representada por T (( R) ( P)). GABARITO 1. E 2. E 3. C 4. E 5.C 6.C 7.C 8.E 1.6) NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO 17

18 1.6.1) PROPOSIÇÃO SIMPLES: RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM A negação de uma proposição p, indicada por ~p ou p, assumirá valor lógico verdadeiro ou falso conforme o valor lógico que a proposição p assumir, ou seja, se p é verdadeira, então ~p é falsa, ou, se p é falsa, então ~p é verdadeira. CONCLUSÃO: A proposição ~p ( p) terá valor lógico contrário ao valor lógico de p. Essas colocações acima são referentes as valorações, contudo é importante sabermos negar uma proposição, seja ela representada na forma simbólica, seja ela representada por forma escrita. Abaixo veremos alguns casos de negação comuns em concursos. È fundamental lembrarmos que a negação de uma proposição que já está negada se faz necessário a supressão do conectivo de negação. Ou seja: ~(~p) = p EXEMPLOS p: João é dentista ~p: I) ~p: ~p: II) q: Argeu não é baiano ~q: ~q: ~q: ~q: OBSERVAÇÃO 1: Negar uma proposição não é torná-la falsa, e sim, trocar seu valor lógico. OBSERVAÇÃO 2: Quando uma proposição apresenta alguns símbolos matemáticos, na sua negação haverá mudanças nesses símbolos e não nas operações matemáticas. Veja quadro de negação dos símbolos abaixo: SÍMBOLOS = > < NEGAÇÃO EXEMPLOS I) II) III) p: ~p: q: 3-1 < 4 ~q: r: (-2)² = 4 ~r: 18

19 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM 1 ) (SEBRAE 2008) (Adaptada) Com relação à lógica formal, julgue os itens subseqüentes: 2. A negação da proposição 2+ 5 = 9 é a proposição = 7. 2 ) Em um trecho da letra da música Sampa, Caetano Veloso se refere á cidade de São Paulo dizendo que ela é o avesso, do avesso, do avesso, do avesso. Admitindo que uma cidade represente algo bom e que o seu avesso represente algo ruim, do ponto de vista lógico, o trecho da música de Caetano Veloso afirma que São Paulo é uma cidade: a) Equivalente a seu avesso. b) Similar a seu avesso. c) Ruim e boa. d) Ruim. e) Boa. 3 ) (FCC) Em uma declaração ao tribunal, o acusado de um crime diz: No dia do crime, não fui a lugar nenhum. Quando ouvi a campainha e percebi que era o vendedor, eu disse a ele: hoje não compro nada. Isso posto, não compro nada. Isso posto, não tenho nada a declarar sobre o crime. a) não foi a lugar algum, não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. b) não foi a lugar algum, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime. c) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime. d) foi a algum lugar, não comprou coisa alguma do vendedor e tem coisa a declarar sobre o crime. e) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime ) PROPOSIÇÃO COMPOSTA A negação da proposição simples, o processo é apenas colocar o advérbio não antes do verbo de ligação ou retirar o citado advérbio, se a proposição o possuir. Já no caso das proposições compostas, devemos utilizar as fórmulas de negação, isto é, expressões equivalentes a negação das proposições. Veja a tabela abaixo: PROPOSIÇÃO NEGAÇÃO p q p q p q p q OBSERVAÇÃO: Provaremos mais adiante essas negações quando chegarmos ao assunto equivalência lógica. EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 19

20 1º) Determine a negação de: a) p ~q h) ~p ~q RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM b) ~p q i) (p q) r c) ~p q j) (p ~q) ~r d) p ~q k) p (~r q) e) ~p ~q l) ~p (r ~q) f) p ~q m) (~p q) (r ~s) g) ~p q n) ~p q 2º) Determine a negação de: a) Ana é paulista e Argeu não é baiano b) João não é dentista ou Mario é médico c) O gato mia e o cachorro não late d) Se João é carioca então José não é paulista e) Se Paulo não é artista então Carla é atriz 20

21 f) Se Pedro é dentista e João não é médico então Paulo é economista g) Se Maria não é alta e José é baixo então Claudio não é baixo e Carlos não é alto h) Se então i) Maria trabalha na diretoria ou trabalha na presidência 3º) (PRODEST/ES ANALISTA/2006) (Adaptada) Julgue os itens seguintes: 3. Proposições da forma (P Q) E P Q são equivalentes. 4º) Se uma função é ímpar, então é injetora. A negação da proposição é: a) Uma função não é ímpar e é injetora b) Uma função não é impar e não é injetora c) Se uma função não é ímpar, então não é injetora d) Uma função é ímpar e não é injetora e) Se uma função não é injetora, então não é ímpar 5º) A negação de x > 4 ou x < 2 é: a) x < 4 e x > 2 b) x < 4 ou x > 2 c) x 4 e x 2 d) x 4 ou x 2 e) se x 4, então x < 2 6º) Sejam as proposições simples: p: Salvador é a capital da Bahia q: Porto Seguro não tem praias A negação da proposição ~p ~q pode ser lida como: a) Se Salvador é a capital da Bahia, então Porto Seguro não tem praias b) Salvador não é a capital da Bahia e Porto Seguro tem praias c) Salvador é a capital da Bahia e Porto Seguro não tem praias d) Salvador não é a capital da Bahia ou Porto Seguro tem praias e) Salvador é a capital da Bahia ou Porto Seguro não tem praias EXERCÍCIOS PROPOSTOS 21

22 1 ) (TRT 17ª regisão 2009/CESPE) A negação da proposição O juiz determinou a liberatação de um estelionatário e de um ladrão é expressa na forma O juiz não determinou a libertação de um estelionatário nem de um ladrão. 2 ) (ESAF) A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é: a) Milão não é a capital da Itália. b) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra. d) Paris não é a capital da Inglaterra. e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. 3 ) (CESPE-adaptada) Com base nas informações do texto I, é correto afirmar que, para todos os possíveis valores lógicos, V ou F, que podem ser atribuídos a P e a Q, uma proposição simbolizada por [P ( Q)] possui os mesmos valores lógicos que a proposição simbolizada por a) ( P) Q. b) ( Q) P. c) [( ) ( Q)] d) [ (P Q)] e) P Q 4 ) (CESPE) Considere as seguintes proposições. A: Jorge briga com sua namorada Sílvia B: Sílvia vai ao teatro Nesse caso, independentemente das valorações V ou F para A e B, a expressão (A B) correspondente à proposição C: Jorge não briga com sua namorada Sílvia e Sílvia não vai ao teatro. 5 )(CESPE) Considere as proposições: A: O cachorro mordeu a bola; B: O prédio do MCT fica na Esplanada. Nessa caso, um enunciado correto da proposição (A B) é: O cachorro não mordeu a bola nem o prédio do MCT fica na Esplanada. 6 ) (CESPE) Sabe-se que as proposições (A B) e ( A) ( B) têm os mesmos valores lógicos para todas as possíveis valorações de A e de B. Então a negação da proposição O Brasil possui embaixada em Abu Dhabi e não em Marrocos pode ser simbolizada da forma ( A) B. 7 ) (CESPE) Se A é a proposição O soldado Brito é jovem e casado, então a proposição O soldado Brito não é jovem mas é solteiro é um enunciado correto para a proposição A. GABARITO 1 ) ERRADO 2 ) B 3 ) E 4 ) ERRADO 5 ) CERTO 6 ) CERTO 7 ) ERRADO REVISÃO DA PARTE INICIAL 22

23 1 ) Encontre o valor lógico das proposições abaixo: a) = 5 ou = 8 b) 8 < 5 e 6 > 7 c) 6 < 0 ou 3 < 4 d) Se 2 é par, então 3 é ímpar e) Se 8 é impar, então 5 é menor que 7 f) Se 5 é primo, então < 7 g) 8 é quadrado perfeito se e somente se 2 é primo h) Se 4 é par então 2 não divide 4 i) 2 > 3 6 < 7 j) (-5)² = 25 k) (7 < 8) (5 < 4) l) ( 3)² = 9 10² 100 m) 2 < 3 ~(3 > 4) 2 ) Considere as proposições: p: Existe um número natural que não é par nem impar q: Todo número racional apresenta inverso Assinale verdadeiro (V) ou falso (F): a) p q ( ) b) p q ( ) c) p q ( ) d) p q ( ) e) ~p q ( ) f) ~p q ( ) g) p ~q ( ) 23

24 h) (p q) ~q ( ) i) (~p q) (~p ~q) ( ) j) (~p q) (~q q) ( ) 3 ) Seja p, q e r três sentenças então a proposição (p q) (p r) é: a) Falsa se q é falsa e p e r são verdadeiras b) Verdadeira se p é falsa e q e r são verdadeiras c) Verdadeira se r é verdadeira e p e q são falsas d) Falsa se p, q e r são verdadeiras e) Verdadeira se p e q são verdadeiras e r é falsa 4 ) (Gestor Fazendário-MG) Considere a afirmação: P: A ou B, onde A e B, por sua vez são as seguintes afirmações. A: Carlos é dentista B: Se Enio é economista, então Juca é arquiteto Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo: a) Carlos não é dentista, Enio não é economista, Juca não é arquiteto. b) Carlos não é dentista, Enio é economista, Juca não é arquiteto. c) Carlos não é dentista, Enio é economista, Juca é arquiteto. d) Carlos é dentista, Enio não é economista, Juca não é arquiteto. e) Carlos é dentista, Enio é economista, Juca não é arquiteto. 5 ) (MPE-AM/2008)(Adaptada) Com referência ao texto I, julgue os itens a seguir: 4. No fluxograma ilustrado abaixo, as instruções devem ser executadas seguindo-se os fluxos das setas de acordo com a avaliação da proposição que ocorre em cada caixa oval. Nesse caso, quando A e B tem valorações contrarias, a execução do fluxograma termina em NEGA. A B V A B F AFIRMA F V NEGA 24

25 6 ) (IPAJM/2006) Julgue os itens seguintes a respeito de raciocínio lógico. 1. Suponha que A e B sejam enunciados falsos. Nesse caso, o enunciado [( A B) ( B A)] é verdadeiro. 2. Considere as seguintes proposições: p: Pedro é Rico q: Pedro é forte r: é falso que Pedro é pobre ou forte Nesse caso, a proposição r pode ser escrita na forma simbólica como r: ( p q). 3. A proposição Se = 5 então = 4 é falsa. 7 ) (CENSIPAM-TÉCNICO/2006) Uma proposição pode ter valoração verdadeira(v) ou falsa (F). Os caracteres, e, que simbolizam não, ou e e, respectivamente, são usados para formar novas proposições. Por exemplo, se P e Q são proposições simples, então P Q; P Q e P são proposições compostas. Considere as proposições a seguir. A: as despesas foram previstas no orçamento B: os gastos públicos aumentaram C: os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único D: a lei é igual para todos A partir dessas informações, julgue os itens subseqüentes. 1. A proposição ou os gastos públicos aumentaram ou as despesas não foram previstas no orçamento está corretamente simbolizada por ( B) ( A) 2. A (C ( B)) simboliza corretamente a proposição As despesas foram previstas no orçamento e, ou os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único ou os gastos públicos não aumentaram. 3. A proposição Não é verdade que os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único nem que os gastos públicos aumentaram está corretamente simbolizada pela forma ( C) ( B) 8 ) (ANCINE ANALISTA /2006) Julgue os seguintes itens. 3. Suponha que as proposições I, II e III a seguir sejam verdadeiras. I. Se o filme Dois filhos de Francisco não teve a maior bilheteria de 2005, então esse filme não teve o maior número de cópias vendidas. II. Se o filme Dois filhos de Francisco teve a maior bilheteria de 2005, então esse filme foi exibido em mais de 300 salas de projeção. III. O filme Dois filhos de Francisco teve o maior número de cópias vendidas. Nessa situação, é correto concluir que a proposição O filme Dois filhos de Francisco foi visto em mais de 300 salas de projeção é uma proposição verdadeira. GABARITO 1 ) V;F;V;V;V; F;F;F;F;V;F;V;V 2 ) p: F e q: F daí: F;F;V;V;F; F;F;V;V;V 3 ) E 6 ) 1. ERRADO 4 ) B 2. CERTO 5 ) CERTO 3. ERRADO 7 )1. ERRADO 2. CERTO 3. CERTO 8 ) CERTO 25

26 2) TABELA VERDADE É a tabela na qual figuram todas as possíveis valorações lógicas de uma proposição composta quando não são conhecidos os valores lógicos das proposições simples componentes. O ponto fundamental de compor uma tabela verdade é descobrir a quantidade de linhas que ela apresentará, daí devemos saber que o numero de linhas de uma tabela-verdade é igual a 2 n ; em que n representa o número de proposições simples. (com n 1) EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 1 ) Determine a quantidade de linhas da tabela verdade de: a) p ~q b) (~p ~q) ~r c) p ~p ESTRUTURAÇÃO DOS VALORES LÓGICOS NA TABELA VERDADE: 1) UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES: Número de linhas: P 2) DUAS PROPOSIÇÕES SIMPLES: Número de linhas: P q 3) TRÊS PROPOSIÇÕES SIMPLES: Número de linhas: P q R 26

27 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM 1 ) Construa as tabelas verdades das proposições abaixo: a) p ~q b) ~( p ~q) c) ~p (q p) d) (~p q) r 27

28 2 ) (M.SAUDE/2008)(Adaptada) Tendo como referência as informações apresentadas no texto, julgue os seguintes itens: 2. Se A e B são proposições simples, então, completando a coluna em branco na tabela abaixo, se necessário, conclui-se que a última coluna da direita corresponde à tabela-verdade da proposição composta A (B A). A B B A A ( B A) V V V V F V F V V F F F 3 ) (STJ-TÉCNICO/2008)(Adaptada) Tendo como referência as informações acima, julgue os itens que se seguem. 5. Considerando-se as possíveis valorações V ou F das proposições A e B e completando-se as colunas da tabela abaixo, se necessário, é correto afirmar que a ultima coluna dessa tabela corresponde à tabela-verdade da proposição [ A ( B ) ] [ (A B ) ] A B B A ( B) A B (A B) [ A ( B ) ] [ (A B ) ] V V V V F V F V F F F F 4 ) (SEGER/ES/2008)(Adaptada) Considerando as definições apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir: 5. Existem no máximo, duas combinações de valoração das proposições P e Q para as quais a proposição P Q assume valoração verdadeira. 28

29 EXERCÍCIOS PROPOSTOS RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM 1 ) (CESPE) Se A, B, C e D forem proposições simples e distintas, então o número de linhas da tabela verdade da proposições (A B) (C D) será superior a ) (CESPE) Existem exatamente 8 combinações de valorações das proposições simples A, B e C para as quais a proposição composta(a B) (~C) pode ser avaliada, assumindo valoração V ou F. 3 ) (CESPE) Considere que P, Q e R sejam proposições lógicas e que os símbolos,, e representem, os conectivos ou, e, implica e negação. As proposições são julgadas como verdadeiras V ou como falsas F. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes relacionados à lógica proporcional. 03. Considerando todos os possíveis valores lógicos, V ou F, atribuídos às proposições simples A e B, é correto afirmar que a proposição composta [( A) ( B)] possui exatamente dois valores lógicos V. 4 ) (CESPE) Considere que P, q e R sejam proposições lógicas e que os símbolos,, e representem, respectivamente, os conectivos ou, e, implica e negação. As proposições são julgadas como verdadeiras V ou como falsas F. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes relacionados a lógica proposicional. A última coluna da tabela verdade abaixo corresponde à proposição ( P) (Q R). P Q R P Q R ( P) (Q R). V V V V V V F F V F V V V F F V F V F V F V F V F F V V F F F V 5 ) (CESPE) Caso as colunas em branco na tabela abaixo sejam corretamente preenchidas, a última coluna dessa tabela corresponderá à expressão [P ( Q)] [Q P]. P Q Q P ( Q) Q P [P ( Q)] [Q P]. V V V V F V F V F F F V 6 ) (CESPE) A tabela abaixo corresponde à tabela verdade da proposição A B A B. A B A B A B V V V V F F F V F F F F GABARITO 1 ) CERTO 2 ) CERTO 3 ) ERRADO 4 ) CERTO 5 ) CERTO 6 ) ERRADO 29

30 2.1) TAUTOLOGIA; CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA (INDETERMINAÇÃO) RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM 5.1) DEFINIÇÃO DE TAUTOLOGIA: Uma proposição composta P (p; q; r;...) é uma tautologia se P (p; q; r;...) tem valor lógico verdadeiro (V) quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes p; q; r;...; ou seja, uma tautologia conterá apenas verdadeiro (V) na última coluna de sua tabela-verdade. EXEMPLOS Um exemplo de tautologia é a proposição p ou não p, isto é, p (~p) é uma tautologia. Basta observarmos a tabela verdade dessa proposição: p ~p p (~p) 5.2) DEFINIÇÃO DE CONTRADIÇÃO: Uma proposição composta P (p; q; r;...) é uma contradição se P (p; q; r;...) tem valor lógico falso (F) quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes p; q; r;..., ou seja, uma contradição conterá apenas falso (F) na última coluna de sua tabela-verdade. EXEMPLOS Um exemplo de contradição é a proposição p e não p, isto é, p (~p) é uma contradição. Basta observarmos a tabela verdade dessa proposição: p ~p p (~p) 5.3) DEFINIÇÃO DE CONTINGÊNCIA (INDETERMINAÇÃO): Uma proposição composta P (p; q; r;...) é uma contingência se P (p; q; r;...) não for classificada em tautologia ou contradição, ou seja, assume os valores lógicos de verdadeiro (V) como falso (F) na última coluna quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes p; q; r;... possam assumir. EXEMPLOS Um exemplo de contingência é a proposição p e não q, isto é, p (~q) é uma contingência. Basta observarmos a tabela verdade dessa proposição: p q ~q p (~q) 30

31 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM 1 ) Mostre que a sua proposição (p ~p) (q p) é uma tautologia P Q ~p (p ~p) (q p) (p ~p) (q p) 2 ) Mostre que a proposição (p ~q) (~p q) é uma contradição. P Q ~p ~q (p ~q) (~p q) (p ~q) (~p q) 3 ) (ESAF) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é: a) Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo. b) Se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo. c) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo. d) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo. e) Se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo. 4 ) (M.SAUDE/2008) (Adaptada) Tendo como referência as informações apresentadas no texto, julgue os seguintes itens. 1. Se A e B são proposições, completando a tabela abaixo, se necessário, conclui-se que a proposição (A B) ( A B) é uma tautologia. A B (A B) A B (A B) ( A B) (A B) ( A B) V V V F F V F F 5 ) (CESPE) A sentença No Palácio Itamaraty há quadros de Portinari ou no Palácio Itamaraty não há quadros de Portinari é uma proposição sempre verdadeira. 31

32 2.1.1) TAUTOLOGIAS E CONTRADIÇÕES FAMOSAS RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM Conforme já sabemos, o tempo num concurso público é importante, daí, se lembrarmos de alguns casos famosos de tautologia e contradição, nos fará poupar tempo. Abaixo segue os mais interessantes. TAUTOLOGIAS FAMOSAS: 1) p p 2) p p 3) (p ((p q) 4) p q p 5) p q q 6) p p 7) p p q 8) q p q 9) ((p q) q) p CONTRADIÇÕES FAMOSAS: 1) p p 2) (p p) 3) p (p q) q EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 1 ) (FCC) Considere a seguinte proposição: Na eleição para a prefeitura, o candidato A será eleito ou não será eleito. Do ponto de vista lógica, a afirmação da proposição caracteriza: a) Um silogismo b) Uma tautologia c) Uma equivalência d) Uma contingência e) Uma contradição 2 ) (CESPE) Se A e B são proposições, completando a tabela abaixo, se necessário, conclui-se que a proposição (A B) A B é uma tautologia. A B A B A B (A B) A B (A B) A B V V V F F F F V 3 ) A sentença Paula vai à praia e Paula não vai à praia tem sempre valoração falsa. 4 ) (CESPE) Se A e B são proposições que podem assumir valores lógicos verdadeiro (V) ou falso (F), porém independentemente das combinações de valorações de A e B, a proposição (A ~B) (~A B) é uma contradição. 32

33 EXERCÍCIOS PROPOSTOS RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM 1 ) (CESPE) Na tabela abaixo, a proposição [A B] [ B A] é uma tautologia. A B A B A B ( B) ( A) [A B] [( B) ( A)] V V V F F V F F 2 ) (CESPE) A proposição (A B) A B é uma tautologia. 3 ) (AFR-SP) Considere as afirmações abaixo: I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par. II. A proposição ( 10 < 10 ) (8 3 = 6) é falsa. III. Se p e q são proposições, então a proposição (p q) (~q) é uma tautologia. É verdade o que se afirma apenas em: a) I b) II c) III d) I e II e) I e III 4 ) (CESPE) A proposição (A B) A B é uma tautologia. A B A B (A B) (A B) A B (A B) A B V V F F V F F V F V V F F F V V GABARITO 1 ) CERTO 2 ) ERRADO 3 ) E 4 ) CERTO 33

34 2.2) EQUIVALÊNCIA LÓGICA RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM Duas proposições P e Q são logicamente equivalentes quando apresentarem tabelas verdadeiras idênticas. Indicamos que P é equivalente a Q do seguinte modo: P Q OBSERVAÇÃO: O símbolo, quando usado entre duas proposições, representa uma operação que resulta em uma proposição. O símbolo, quando usado entre duas proposições, representa que existe uma equivalência entre as proposições. EXEMPLOS Vamos verificar se existe equivalência lógica entre as proposições P (p;q) = p q e Q (p;q) = ~q ~p. P (p;q) = p q Q (p;q) = ~q ~p. P Q p q p q ~q ~p ~q ~p Logo, temos que as proposições P e Q são equivalentes, pois suas tabelas verdades são iguais. Daí: P Q p q ~q ~p OBSERVAÇÃO: Essa equivalência acima é chamada de CONTRAPOSITIVA. Vamos verificar, agora, se existe equivalência lógica entre (p q) e ~p q. Para isso construiremos as tabelas verdades. p q ~p q P Q p q p q ~p ~p q Logo, temos que as proposições (p q ) e ~p q são equivalentes, pois suas tabelas verdades são iguais. Daí: (p q ) ~p q OBSERVAÇÃO: Essa equivalência é também considerada uma equivalência notável, e vários concursos fazem alusão a ela, com isso o concurseiro deverá ir para uma prova com ela bem fixa na memória. Vamos demonstrar, agora, um caso daquelas negações que fiz anteriormente, e que prometi que iria mostrar de onde surgiram aquelas regras. Tomemos a regra da negação da condicional em que ~(p q) e p ~q. Para isso construiremos as tabelas verdades. ~ ( p q ) p ~q p q p q ~ ( p q ) p q ~q p ~q Logo, temos que as proposições ~ (p q ) e p ~q são equivalentes, pois suas tabelas verdades são iguais. Daí: ~ (p q ) p ~q. (Daí como sabemos que é sempre equivalente utilizamos como regra da negação) 34

35 COMUNICADO IMPORTANTE: RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM Como forma de treino de tabela verdade e equivalência demonstrem todas as outras negações. EQUIVALÊNCIAS BÁSICAS 1) DA CONJUNÇÃO: p p p p q q p 2) DA DISJUNÇÃO: p p p p q q p 3) QUE ENVOLVEM CONJUNÇÃO E DISJUNÇÃO: p (p q) p p (p q) p EQUIVALÊNCIAS OPERATÓRIAS 1) LEIS ASSOCIATIVAS: Conjunção: p (q r) (p q ) r Disjunção: p (q r) (p q) r 2) LEIS DISTRIBUTIVAS: Conjunção: p (q r) (p q) (p r) Disjunção: p (q r) (p q) ( p r) EQUIVALÊNCIAS NOTÁVEIS: 1 ) TODAS AS NEGAÇÕES 2 ) p q ~q ~p (CONTRAPOSITIVA) 3 ) p q ~p q (NEGAÇÃO DA NEGAÇÃO DA CONDICIONAL) 4 ) p q q p (IDENTIDADE DA BICONDICIONAL) 5 ) p q (p q) (q p) (EQUIVALÊNCIA DA BICONDICIONAL) 6 ) p q ~q p (EQUIVALÊNCIA DA DISJUNÇÃO) COMUNICADO IMPORTANTE: Se o concurseiro lembrar essas equivalências notáveis, então não será necessária a construção da tabela verdade para verificação da equivalência. 35

36 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 1 ) Determine o equivalente de: a) Se 4 é um número par então 2 divide 4. b) Aprendo se e somente se estudo. c) Se Paulo não é dentista então Maria é médica. d) Se José é alto então Maria é baixa e) Se João é feio então Mario não é feio f) Se Claudio não viajar para Roma então Marcos não viajará para o Chile. g) Se Fernando não é alto e João é baixo então Claudio não é baixo h) Carlos não vai trabalhar ou Maria vai à praia i) Maria é feia ou José não é bonito j) Claudio é bonito ou João é bonito k) Fernando não é paulista ou Pedro não é baiano 36

37 2 ) (PAPILOCOPISTA PF/2004) Julgue os itens subseqüentes. 6. As tabelas de valorações das proposições P Q e Q ~P são iguais. 7. As proposições (P Q) S e (P S) (Q S) possuem tabelas de valorações iguais. 3 ) (PRODEST/ES-ANALISTA/2006) (Adaptada) Julgue os itens seguintes. 7. A proposição Se a promotoria condenar Gabriel, então Gabriel é culpado isso é equivalente à proposição A promotoria não condenará Gabriel ou Gabriel é culpado. 4 ) (FT/98/ESAF) Dizer que Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) Se Pedro é Pedreiro, então Paulo é paulista b) Se Paulo é Paulista, então Pedro é pedreiro c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista 5 ) (ICMS/SP 2006 FCC) Se p e q são proposições, então a proposição p (~q) é equivalente a: a) ~(p ~q) b) ~(p q) c) ~q ~p d) ~(q ~p) e) ~(p q) 6 ) Dizer que André é artista ou Bernardo não é engenheiro é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista e) André não é artista e Bernardo é engenheiro EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 ) Verifique se as proposições (p q) (q p) e (p q) são equivalentes. 2 ) As proposições compostas A ( B) e B ( A) têm exatamente os mesmos valores lógicos, independentemente das atribuições V ou F dadas às proposições simples A e B. 37

38 3 ) (AFRFB 2009/ESAF) Considere a seguinte proposição: Se chove ou neva, então o chão fica molhado. Sendo assim, pode-se afirmar que: a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou. b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou. c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou. d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou. e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou 4 ) (ATRFB 2009/ESAF) A afirmação: João não chegou ou Maria está atrasada equivale logicamente a: a) Se João não chegou, Maria está atrasada. b) João chegou e Maria não está atrasada. c) Se João chegou, Maria não está atrasada. d) Se João chegou, Maria está atrasada. e) João chegou ou Maria não está atrasada. 5 ) (FCC) São dadas as seguintes proposições: (1) Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente. (2) Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é eficiente. (3) Não é verdade que, Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é eficiente. (4) Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas. É correto afirmar que são logicamente equivalente apenas as proposições de números. a) 2 e 4. b) 2 e 3. c) 2, 3 e 4. d) 1, 2 e 3. e) 1, 3 e 4. 6 ) Proposições das formas A B, A B e B A são sempre equivalentes. A partir dessa informação e das definições incluídas no texto, julgue os itens a seguir. 1. As proposições Se Hélio é conselheiro do TCE/AC, então Hélio é formado em Contabilidade e Hélio não é conselheiro do TCE/AC ou Hélio é formado em Contabilidade são equivalentes. 2. Considere a seguinte proposição: Se Antônio resolver corretamente esta prova, então ele passará no concurso. Nessa situação, é correto concluir que Se Antônio não resolver corretamente esta prova, então ele não passará no concurso. 3. Considere a seguinte proposição: Alice não foi ao cinema ou Bernardo foi jogar futebol. Dessa proposição, é correto concluir que Se Bernardo não foi jogar futebol, então Alice não foi ao cinema. GABARITO 1 ) CERTO 2 ) ERRADO 3 ) E 4 ) D 5 ) A 6 ) CERTO; ERRADO; CERTO 38

39 2.2.1) EQUIVALÊNCIAS DE LEITURAS DA CONDICIONAL E BICONDICIONAL RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM A condicional e a bicondicional apresentam outras formas de leitura,que são bastante cobrados em concursos públicos e nesse capítulo iremos trabalhar essa parte. 1) CONDICIONAL: O esquema abaixo apresenta uma forma muito cobrada em concurso. p q Na expressão Se passo de ano, então passo em matemática notemos que passar de ano é a causa e passar em matemática é o efeito. Daí essa sentença pode ser reescrito das seguintes formas: 1 FORMA: OBSERVAÇÃO: A causa é condição suficiente para o efeito, note que a ordem é direta, ou seja, não muda a posição p q. 2 FORMA: OBSERVAÇÃO: O efeito é condição necessária para a causa, note que a ordem não é direta, ou seja, muda a posição p q. DICA: Nos tipos de questões que cobrem essas leituras, aconselho primeiramente descobrir qual é a causa e o efeito e depois observar a condição se é suficiente (causa para efeito) ou necessária (efeito para causa). 2) BICONDICIONAL: Na expressão Estou vivo se e somente se eu respiro o conectivo de bicondicional tem a função de condicional que pode inverter sem causar prejuízo para a relação. Daí essa sentença também pode ser reescrito das seguintes formas: 1 FORMA: 2 FORMA: OBSERVAÇÃO: Note que a bicondicional p q, nessa forma de leitura, pode trocar as proposições p e q de ordem que não altera o resultado. EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 1 ) Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo: a) Seu esforço é condição suficiente para vencer b) Seu esforço é condição necessária para vencer c) Se você não se esforçar, então não irá vencer d) Você vencera só se se esforçar e) Mesmo que se esforce, você não vencerá 39

40 2 ) (CESPE) A proposição Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, então o país fica protegido de ataques especulativos pode também ser corretamente expressa por O pais ficar protegido de ataques especulativos é condição necessária para que as reservas internacionais em moeda forte aumentem. 3 ) (CESPE) A proposição P: Ser honesto é condição necessária para um cidadão ser a admitido no serviço público é corretamente simbolizada na forma A B, em que A representa ser honesto e B representa para um cidadão ser admitido no serviço público. 4 ) A sentença 2 divide 4 se e somente se 4 for um número par pode ser reescrita como 4 ser um número par e condição suficiente e necessária para 2 dividir 4. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 ) (MPOG 2009 ESAF) Considere que: se o dia está bonito, então não chove. Desse modo: a) Não chover é condição necessária para o dia estar bonito. b) Não chover é condição suficiente para o dia estar bonito. c) Chover é condição necessária para o dia estar bonito. d) O dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover. e) Chover é condição necessária para o dia não estar bonito. 2 ) Considerando que A e B simbolizem, respectivamente, as proposições A publicação usa e cita documentos do Itamaraty e O autor envia duas cópias de sua publicação de pesquisa para a Biblioteca do Itamaraty, então a proposição B A é uma simbolização correta para a proposição Uma condição necessária para que o autor envie duas cópias de sua publicação de pesquisa para a Biblioteca do Itamaraty é que a publicação use e cite documentos do Itamaraty. 3 ) (FCC) O manual de garantia da qualidade de uma empresa diz que, se um cliente faz uma reclamação formal, então é aberto um processo interno e o departamento de qualidade é acionado. De acordo com essa afirmação é correto concluir que a) A existência de uma reclamação formal de um cliente é uma necessário para que o departamento de qualidade seja acionado. b) A existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição suficiente para que o departamento de qualidade seja acionado. c) A abertura de um processo Interno é uma condição necessária e suficiente para que o departamento de qualidade seja acionado. d) Se um processo interno foi aberto, então é aberto, então um cliente fez uma reclamação formal. e) Não existindo qualquer reclamação formal feita por um cliente, nenhum processo interno poderá ser aberto. 4 ) (AFC-STN/2005 ESAF) Se Marcos não estuda, então João não passeia. Logo: a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. e) Marcos estudar é condição necessária para João passear. GABARITO 1 ) A 2 ) CERTO 3 ) B 4 ) B 40

41 3) LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM DEFINIÇÃO DE ARGUMENTO: Dadas as proposições P1; P2;...; Pn (n 1) e Q, simples ou composta, chama-se argumento toda afirmação de que uma certa seqüência finita de proposições tem como conseqüência uma proposição final. As proposições iniciais P1; P2;...; Pn são as premissas do argumento e a proposição final Q é a conclusão do argumento. 3.1) TIPOS DE ARGUMENTOS: 3.1.1) ARGUMENTOS HIPOTÉTICOS: São argumentos compostos por sentenças conjuntivas, disjuntivas, condicionais ou bicondicionais. Em geral, apresentam conjecturas, possibilidades ou contingências para a realização da conclusão. EXEMPLOS Se Maria vai para França então Maria vai para a Europa; 1) Maria não foi para a França; Logo, Maria não foi para a França Carlos passará no concurso se e somente se Carlos estudar 2) Carlos não passou no concurso; Portanto, Carlos não estudou ) ARGUMENTOS CATEGÓRICOS: São aqueles compostos por premissas representadas por enunciados simples, em que observamos um quantificador, um sujeito, um predicado e um verbo de ligação (cópula). EXEMPLOS Todos os Homens são mortais; 1) Sócrates é Homem; Logo, Sócrates é mortal. Alguns cariocas são feios; 2) Todos os feios sabem nadar; Então, existe carioca que sabe nadar. 41

42 3.2) CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO MÉTODO: RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM 3.2.1) ARGUMENTO DEDUTIVO (INFERÊNCIA) Um argumento será dedutivo quando sua conclusão traz apenas informações obtidas das premissas, ainda que implícitas. È um argumento de conclusão não ampliativa. Para um argumento dedutivo válido, caso se tenha premissas verdadeiras, a conclusão será necessariamente verdadeira. Geralmente os argumentos dedutivos são estéreis, uma vez que eles não apresentam nenhum conhecimento novo. Como dissemos, a conclusão já está contida nas premissas. A conclusão nunca vai além das premissas. Mesmo que a ciência não faça tanto uso da dedução em suas descobertas, exceto a matemática, ela continua sendo o modelo de rigor dentro da lógica. Ou seja, num argumento dedutivo, a conclusão está explicita nas premissas e não acrescenta qualquer informação adicional além das que foram expostas nas premissas. EXEMPLOS Carlos passará no concurso se e somente se Carlos estudar 1) Carlos não passou no concurso; Portanto, Carlos não estudou. Todos os Homens são mortais; 2) Sócrates é Homem; Logo, Sócrates é mortal ) ARGUMENTO INDUTIVO Um argumento é dito indutivo quando sua conclusão traz mais informações que as premissas fornecem. È um argumento de conclusão ampliativa. É o mais usado pelas ciências. Por meio dos argumentos indutivos é que as ciências descobrem as leis gerais da natureza. O argumento indutivo geralmente parte de dados da experiência e desses dados chega a enunciados universais. Além disso, todas as conjecturas que a ciência faz têm por base a indução. Com base em dados particulares do presente as ciências fazem as conjecturas do futuro. O grande problema da indução é que ela é probabilística. Não há a necessidade como a dedução. Como vimos na dedução, a conclusão decorre necessariamente das premissas. Já na indução isso é impossível, uma vez que ela enumera casos particulares e por probabilidade ela infere uma verdade universal. A conclusão da indução tem apenas a probabilidade de ser verdadeira. Ou seja, a característica desse tipo de argumento é que a conclusão é provável, mas não é certa, já que as premissas são construídas por observações empíricas. EXEMPLOS 1)... Vi um cisne branco no lago Vi dois cisnes brancos no lago Vi três cisnes brancos no lago Vi n cisnes brancos no lago Logo, todos os cisnes do lago são brancos 42

43 Todos os corvos observados até hoje são pretos. 2) Asdrúbal tem um corvo Logo, o corvo do Asdrúbal é preto EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 1 ) (CESPE/2004) No Brasil, os pobres tem mais poder que os ricos.isso ocorre por que o sistema político adotado no Brasil é a democracia, no qual a vontade da maioria prevalece, e, no Brasil existe mais pobres que ricos. Com relação ao argumento anterior, julgue os itens seguintes. 2. A afirmativa No Brasil, os pobres tem mais poder que os ricos, é uma premissa. 3. A oração no Brasil, existem mais pobres que ricos é a conclusão do texto. 4. O trecho o sistema político adotado no Brasil é a democracia, no qual a vontade da maioria prevalece é uma hipótese. 5. O argumento apresentado no texto é um exemplo de argumento indutivo. 3.3) REPRESENTAÇÃO DE UM ARGUMENTO: Podemos representar um argumento de duas formas ) FORMA SIMBÓLICA: Podemos indicar um argumento de premissas P1; P2;...; Pn e conclusão Q da seguinte forma: P1; P2;...; Pn Q Premissas Traço de asserção Conclusão Que poderá ser lido das seguintes formas: I) Q decorre de P1; P2;...; Pn II) Q se deduz de P1; P2;...; Pn III) Q se infere de P1; P2;...; Pn IV) P1; P2;...; Pn acarretam Q O símbolo é chamado traço de asserção. Indica que a proposição Q só poderá ser deduzida a partir das premissas que se encontram à esquerda do traço ) FORMA PADRONIZADA: Podemos indicar um argumento de premissas P1; P2;...; Pn e de conclusão Q, também da seguinte forma: P1 P2 Pn Q Premissas Conclusão 43

44 EXEMPLOS RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM EXEMPLO 1: Pedro é estudioso ou preguiçoso. Pedro não é estudioso. Logo, Pedro é preguiçoso. Inicialmente vamos transformar da linguagem escrita para a linguagem simbólica, daí chamando de P a proposição Pedro é estudioso como conseqüência natural ~P representa a proposição Pedro não é estudioso. Chamando agora de Q a proposição Pedro é preguiçoso, sendo assim a proposição Pedro é estudioso ou preguiçoso escreve-se P Q. Escrevendo o argumento na forma simbólica, usando as letras sentenciais, vem: Escrevendo na forma padronizada, temos: EXEMPLO 2: Se Pedro viajar então Maria vai à praia. Pedro não viajou. Portanto, Maria não vai à praia. Inicialmente vamos transformar da linguagem escrita para a linguagem simbólica, daí chamando de P a proposição Pedro viajar como conseqüência natural ~P representa a proposição Pedro não viajar. Chamando agora de Q a proposição Maria vai à praia, sendo assim a proposição Maria não vai à praia escreve-se ~ Q. Escrevendo o argumento na forma simbólica, usando as letras sentenciais, vem: Escrevendo na forma padronizada, temos: EXEMPLO 3: Se Bruno briga com Regina, então Regina vai à praia. Se Regina vai à praia, então Ana vai ao teatro. Se Ana vai ao tetro, então Samuel briga com Ana. Samuel não briga com Ana. Portanto, Ana não vai ao teatro e Bruno não briga com Regina Inicialmente vamos transformar da linguagem escrita para a linguagem simbólica, daí chamando de P a proposição Bruno briga com Regina como conseqüência natural ~P representa a proposição Bruno não briga com Regina. Chamando agora de Q a proposição Regina vai à praia e R a proposição Ana vai ao teatro, temos que a proposição Ana não vai ao teatro escreve-se como ~R. De modo análogo, adotemos que S representa a proposição Samuel briga com Ana então ~S será a proposição Samuel não briga com Ana. Notemos que: Escrevendo o argumento na forma simbólica, usando as letras sentenciais, vem: Escrevendo na forma padronizada, temos: 44

45 3.4) SILOGISMO CATEGÓRICO: Um argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão chamam-se silogismo. Poderemos usar os termos hipótese, no lugar de premissa, e tese, no lugar de conclusão. Vejamos os seguintes exemplos: EXEMPLO 1: Pedro é estudioso ou preguiçoso. Pedro não é estudioso. Logo, Pedro é preguiçoso. Inicialmente vamos transformar da linguagem escrita para a linguagem simbólica, daí chamando de P a proposição Pedro é estudioso como conseqüência natural ~P representa a proposição Pedro não é estudioso. Chamando agora de Q a proposição Pedro é preguiçoso, sendo assim a proposição Pedro é estudioso ou preguiçoso escreve-se P Q. Escrevendo o argumento na forma simbólica, usando as letras sentenciais, vem: P Q ; ~P Q. Escrevendo na forma padronizada, temos: P Q ~P Q EXEMPLO 2: Se Pedro viajar então Maria vai à praia. Pedro não viajou. Portanto, Maria não vai à praia. Inicialmente vamos transformar da linguagem escrita para a linguagem simbólica, daí chamando de P a proposição Pedro viajar como conseqüência natural ~P representa a proposição Pedro não viajar. Chamando agora de Q a proposição Maria vai à praia, sendo assim a proposição Maria não vai à praia escreve-se ~ Q. Escrevendo o argumento na forma simbólica, usando as letras sentenciais, vem: P Q ; ~ P ~ Q. Escrevendo na forma padronizada, temos: P Q ~ P ~ Q CONTRA EXEMPLO: Se Bruno briga com Regina, então Regina vai à praia. Se Regina vai à praia, então Ana vai ao teatro. Se Ana vai ao tetro, então Samuel briga com Ana. Samuel não briga com Ana. Portanto, Ana não vai ao teatro e Bruno não briga com Regina Inicialmente vamos transformar da linguagem escrita para a linguagem simbólica, daí chamando de P a proposição Bruno briga com Regina como conseqüência natural ~P representa a proposição Bruno não briga com Regina. Chamando agora de Q a proposição Regina vai à praia e R a proposição Ana vai ao teatro, temos que a proposição Ana não vai ao teatro escreve-se como ~R. De modo análogo, adotemos que S representa a proposição Samuel briga com Ana então ~S será a proposição Samuel não briga com Ana. Notemos que: Escrevendo o argumento na forma simbólica, usando as letras sentenciais, vem: P Q ; Q R ; R S; ~S ~R ~P. Escrevendo na forma padronizada, temos: P Q Q R R S ~S ~R ~P 45

46 OBSERVAÇÃO: Note nesse contra exemplo que nem todo argumento é um silogismo. 3.5) VALIDADE DE UM ARGUMENTO: RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM Determinar a verdade ou falsidade das premissas é tarefa que incube a ciência, em geral, pois as premissas podem referir-se a qualquer tema. Determinar a validade ou não-validade dos raciocínios está inteiramente dentro do domínio da lógica. O lógico está interessado na validade até daqueles argumentos cujas premissas possam ser falsas. Aliás, a lógica só se preocupa com a validade dos argumentos, e não com a verdade ou falsidade das premissas e das conclusões. A validade de um argumento depende tão somente da relação existente entre as premissas e a conclusão. Logo, afirmar que um dado argumento é valido significa afirmar que as premissas estão relacionadas com a conclusão, que não é possível ter a conclusão falsa se as premissas forem verdadeiras. Daí diz-se que um argumento é válido, se, e somente se, a conclusão for verdadeira, partindo do pressuposto todas as premissas são verdadeiras. Assim, o argumento: P1; P2; P3;...; Pn Q é válido, se, e somente se, a conclusão Q for verdadeira, todas as vezes que as premissas P1; P2; P3;...; Pn forem verdadeiras. Portanto, em todo argumento válido, a verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. OBSERVAÇÃO 1: Verdade e falsidade são predicados das proposições, nunca dos argumentos. OBSERVAÇÃO 2: Validade ou não-validade são os atributos dos argumentos, nunca das proposições. 3.6) ANÁLISE DA VALIDADE ATRAVÉS DA TABELA-VERDADE Para demonstrar ou verificar ou testar se um dado argumento é válido ou não-valido, mediante tabela-verdade, pode-se proceder do seguinte modo. Constrói-se destacando uma coluna para cada premissa e outra para conclusão. Após a construção da tabela- verdade verifica-se na coluna das premissas as linhas em que os valores lógicos são todos verdadeiros (V). Se em todas essas linhas o valor lógico relativo a coluna da conclusão for, também, verdadeira (V), o argumento é válido. Se ao menos em uma das linhas em que os valores lógicos das premissas são verdadeiras (V), o valor lógico relativo à coluna for falsa (F), então, o argumento é não válido. Contudo, esse processo é mais demorado, veremos um método mais prático em sala de aula. EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 1º) Verifique as validades dos argumentos abaixo: a) p q ~p q b) p q ; ~p ~q c) p ~q ; q ~p q 46

47 d) (p q) r ~r ~p ~q e) Se Ana estudar então ela aprendeu. Ana não aprendeu. Logo, Ana não estudou. 2 ) (CESGRANRIO) Quando se fala em proposição,fala-se de verdade e falsidade; quando se fala de argumento, falase em validade e invalidade. Sejam dados os argumentos a seguir: I. Se Pedro for ao cinema, tomará sorvete. Sabe-se que ele foi ao cinema. Portanto, ele tomará sorvete. II. Se Pedro for ao cinema, tomará sorvete. Sabe-se que ele não foi ao cinema. Portanto, ele não tomará sorvete. III. Se Pedro for ao cinema, tomará sorvete. Sabe-se que ele não tomou o sorvete. Portanto, ele não foi ao cinema. Os argumentos I;II e III são, respectivamente, a) válido, válido e válido b) válido, inválido e válido c) válido, válido e inválido d) inválido, inválido e válido e) inválido, válido e inválido 47

48 3º) (CESPE/2008) Julgue os seguintes itens. RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM Uma seqüência de três proposições I, II e III -, em que as duas primeiras I e II são hipóteses e verdadeiras, e a terceira III é verdadeira por conseqüência das duas hipóteses serem verdadeiras, constitui um raciocínio lógico correto. De acordo com essas informações e considerando o texto, julgue os itens que se seguem a cerca de raciocínio lógico. 6. Considere a seguinte seqüência de proposições: I. Ou Penha não é linda ou Penha vencerá o concurso II. Penha não vencerá o concurso III. Penha não é linda Nessa situação, a seqüência de proposições constitui um raciocínio lógico correto. 7. Considere a seguinte seqüência de proposições: I. Ou Josélia é ótima estagiária ou Josélia tem salário baixo. II. Josélia é ótima estagiária. III. Josélia tem salário baixo. Nessa situação, essa seqüência constitui um raciocínio lógico correto. 4º) (BB /2007)(Adaptada) Julgue os itens subseqüentes. 1. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso. Maria é alta. Portanto, José será aprovado no concurso. 2. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um emprego. Ela conseguiu um emprego. Portanto, Célia tem um bom currículo. 5º) (ANCINE TÉCNICO/2008)(Adaptada) Julgue a validade de cada argumentação descrita nos itens a seguir. 1. Premissa P1: Se esse número é maior do que 5, então o quadrado desse número é maior do que 25. Premissa P2: Esse número não é maior do que 5. Conclusão Q: O quadrado desse número não é maior do que Premissa P1: Se a casa for perto do lago, então, podemos nadar. Premissa P2: Não podemos nadar. Conclusão Q: A casa não é perto do lago. 48

49 IMPORTANTE!!! RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM Neste momento, vocês vão notar que nem todo argumento é um silogismo. Ou seja, todo silogismo é um argumento, mas nem todo argumento é um silogismo, justamente porque o silogismo é uma forma específica de argumentação. Os exemplos abaixo mostram casos de argumentos que não são silogismos e, assim, vamos aprender como determinar a validade, ou não, desses argumentos. EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 1 ) Se Mônica tem uma função gratificada no trabalho, então ela te uma boa casa. Se ela gasta tudo em salões de beleza, então ela não tem uma boa casa. Foi descoberto que Mônica não tem uma boa casa; logo, Mônica: a) Gasta tudo em salões de beleza b) Não gasta tudo em salões de beleza c) Tem uma função gratificada no trabalho d) Não tem uma função gratificada no trabalho e) Tem uma função gratificada no trabalho e gasta tudo em salões de beleza. 2 ) (CESPE) Julgue a validade de cada argumentação descrita nos itens a seguir. 1. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Se Bruno briga com Regina, então Regina vai à praia. Se Regina vai à praia, então Ana vai ao teatro. Se Ana vai ao tetro, então Samuel briga com Ana. Samuel não briga com Ana. Portanto, Ana não vai ao teatro e Bruno não briga com Regina 49

50 2. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Se Paulo vai para Roma então Fernando vai para Paris. Se Maria vai para Lisboa, Paula vai para Madri. Paulo vai para Roma ou Maria vai para Lisboa. Logo, Fernando vai para Paris ou Paula vai para Madri. 3. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Se eu for à Bahia, então irei ao Pelourinho Se eu for à São Paulo, então correrei a São Silvestre Não irei ao Pelourinho ou não correrei a São Silvestre Portanto, não irei à Bahia ou não irei à São Paulo. 50

51 EXERCÍCIOS PROPOSTOS RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM 1 ) (CESPE) Julgue a validade de cada argumentação descrita nos itens a seguir. 1. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Antônio jogar futebol é condição necessária para Carla ir às compras Antônio jogar futebol é condição suficiente para Bruna ficar feliz. Bruna ficar feliz é condição necessária e suficiente para a Diana tomar banho. Diana não toma banho. Logo, Antônio não jogar futebol e Carla não vai às compras e Diana não toma banho. 2. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Ou Antropologia é fácil ou Beto não gosta de Antropologia Se Citologia é fácil, então Antropologia é difícil. Beto gosta de Antropologia. Portanto, Se Antropologia é fácil, então Citologia é fácil. 3. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Pulo ou corro Levito ou não pulo Nado ou não corro Não nado Logo, pulo e levito. 4. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Se não esqueço, não acelero. Se contemplo, não esqueço. Se não pratico, acelero. Se mexo, não pratico. Portanto, se contemplo, não mexo. 5. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Se tens amor, então vale a pena viver Se vale a pena viver, então tens felicidades Logo, se tens amor, então tens felicidades. GABARITO 1. C 2. E 3. C 4. C 5. C 51

52 3.7) FALÁCIA OU SOFISMA RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM È o argumento que parte de premissas verdadeiras, ou tida como verdadeiras, e chega a uma conclusão inadmissível, que não pode enganar ninguém, mas que se apresenta como resultante das regras formais do raciocínio. Ou seja, argumento inválido, formulado de propósito para induzir outrem a erro. EXEMPLOS 1) O sódio e o cloro, componentes atômicos do sal. O sódio e o cloro são, cada um deles, mortalmente venenosos. Logo, o sal é venenoso. 2) Queijo suíço tem buracos. Quanto mais buracos há no queijo suíço, mais se perdeu dele. Se aumentarmos o tamanho do queijo, teremos mais buracos. Portanto, quanto maior o queijo suíço, menos se tem dele. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 ) (CESPE) Considere a seguinte sequência de proposições: (1) Se o crime foi perfeito, então o criminoso não foi preso. (2) O criminoso não foi preso. (3) Portanto, o crime foi perfeito. Se (1) e (2) são premissas verdadeiras, então a proposição (3), a conclusão, é verdadeira, e a sequência é uma dedução lógica correta. 2 ) (CESPE) Considere como premissas as seguintes proposições: - Ou o candidato é brasileiro nato ou o candidato não pode se inscrever no concurso para ingresso na carreira diplomática - O candidato não pode inscrever-se no concurso para ingresso na carreira diplomática Nesse caso, obtém-se uma argumentação lógica correta se for apresentada como conclusão a proposição: O candidato não é brasileiro nato. 3 ) (CESPE) Considere como verdadeira a seguinte proposição (hipótese): Joana mora em Guarapari ou Joana nasceu em Iconha. Então, concluir que a proposição Joana mora em Guarapari é verdadeira constitui um raciocínio lógico correto. 4 ) (CESPE) Se a proposição A cidade de Vitória não fica em uma ilha e no estado do Espírito Santo são produzidas orquídeas for considerada verdadeira por hipótese, então a proposição A cidade de Vitória não fica em uma ilha tem de ser considerada verdadeira, isto é, o raciocínio lógico formado por essas duas proposições é correto. GABARITO 1 ) E 2 ) E 3 ) E 4 ) C 52

53 EXERCÍCIOS PROPOSTOS (REVISÃO DA LÓGICA PROPOSICIONAL) 1.) (TRT 16ª REGIÃO/2005)(Adaptada) Julgue os itens subseqüentes: 1. A proposição Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, se a arma do crime não estava no carro, então meu cliente não é culpado, é uma tautologia. 2. A proposição Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, ou meu cliente não é culpado ou a arma do crime estaria no carro não é uma tautologia. 2.) (SEGER/ES/2008)(Adaptada) Julgue os itens a seguir: 1. Na lista de afirmações abaixo, há exatamente 3 proposições. Mariana mora em Piúma. Em Vila Velha, visita o convento da Penha. A Expressão algébrica x + y é positiva. Se Joana é economista, então ela não entende de políticas públicas. A SEGER oferece 220 vagas em concurso público. 2. Existem exatamente 8 combinações de valorações das proposições simples A; B e C para as quais a proposição composta (A B) ( C) pode ser avaliada, assumindo valoração V ou F. 3. Toda proposição da forma (P Q) ( Q P) é uma tautologia, isto é, tem somente a valoração V. 4. Se P Q é F, então P Q é V. 5. Existem, no máximo, duas combinações de valorações das proposições P e Q para as quais a proposição P Q assume valoração V. 3.)(MPE/TO TÉCNICO/2006)(Adaptada) Julgue os itens subseqüentes: 1. Considere as seguintes proposições. (7 + 3 =10) (5-12 = 7) A palavra crime e dissílaba Se lâmpada é uma palavra trissílaba, então lâmpada tem acentuação gráfica. (8-4 = 4) ( = 13) Se x = 4 então x + 3 < 6 Entre essas proposições, há exatamente duas com interpretação F. 2. Todas as interpretações possíveis para proposição P (P Q) são V. 3. Não é possível interpretar como V a proposição (P Q) (P Q). 4. Ao empregar os símbolos P, Q e R para as proposições primitivas Paulo lê revistas cientificas, Paulo lê jornais e Paulo lê gibis, respectivamente, é correto simbolizar a proposição composta Paulo lê gibis ou não lê jornais e não lê revistas científicas por [ ( R Q) P]. 5. É válido o seguinte argumento: Se Ana cometeu um crime perfeito, então Ana não é suspeita, mas (e) Ana não cometeu um crime perfeito, então Ana é suspeita. 4º) (SEBRAE/BA )(Adaptada) Uma proposição é uma sentença afirmativa ou negativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Nesse sentido, considere o seguinte diálogo: (1) Você sabe dividir? Perguntou Ana (2) Claro que sei! Respondeu Mauro (3) Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por três? Perguntou Ana (4) O resto é dois. Respondeu Mauro, após fazer a conta. 53

54 (5) Está errado! Você não sabe dividir Respondeu Ana. RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM A partir das informações e do diálogo acima julgue os itens que se seguem. 1. A frase indicada por (3) não é uma proposição. 2. A sentença (5) é F. 3. A frase (2) é uma proposição. 4. A proposição O SEBRAE facilita e orienta o acesso a serviços financeiros é uma proposição simples. 5. Considerando que as proposições Seu chefe lhe passa uma ordem e Você não aceita a ordem sem questioná-la sejam V, a proposição Se seu chefe lhe passa uma ordem, então você aceita ordem sem questioná-la é julgada como F. 6. A proposição simbólica (A B) ( (A ( B ))) é sempre julgada como V, independentemente de A e B serem V ou F. 7. Se A; B e C são proposições simples, então existem exatamente duas possibilidades para que a proposição (A B) C seja avaliada como V. 8. Se as proposições Se um artesão recebe o prêmio SEBRAE TOP 100 de artesanato, então ele fica feliz e Se um artesão recebe o prêmio SEBRAE TOP 100 de artesanato, então ele produz mais forem avaliadas como V, a proposição Se um artesão fica feliz, então ele produz mais também será avaliada como V. 5º) (ANCINE-ANALISTA/2006)(Adaptada) Julgue os itens seguintes. 4. Considere que duas proposições são equivalentes se e somente se possuem exatamente as mesmas valorações V e F. Nesse caso, se A e B são equivalentes, é correto afirmar que A B é sempre F. 6º) (AFR-SP) Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo: a) Seu esforço é condição suficiente para vencer. b) Seu esforço é condição necessária para vencer. c) Se você não se esforçar, então não irá vencer. d) Você vencerá só se se esforçar. e) Mesmo que se esforce, você não vencerá. 7º) (MPE-AM/2008)(Adaptada) Julgue os itens subseqüentes. 3. As proposições ( A) ( B) e ( A) B tem exatamente as mesmas valorações V ou F, independentemente das valorações V ou F atribuídas as proposições básicas A e B. 5. A proposição Se o coelho branco não olhou o relógio, então Alice não perseguiu o coelho branco pode ser simbolizada por ( B) ( A). 6. A proposição Se o coelho branco olhou o relógio, então Alice não perseguiu o coelho branco é equivalente a proposição O coelho branco não olhou o relógio ou Alice não perseguiu o coelho branco. 8º) (PRODEST/ES-ANALISTA/2006)(Adaptada)Julgue os itens seguintes. 1. Há exatamente duas possibilidades para que a proposição (p q) (p q) tenha valoração F. 2. A proposição P Q tem mais de uma possibilidade de ter valoração F. 3. Proposições da forma (P Q)e P Q são equivalentes. 4. De acordo com a simbologia apresentada, a proposição Se a promotoria não condenar Gabriel, então Gabriel não é culpado pode ser representada na forma P Q. 5. Em uma argumentação, suponha que as proposições: se Gabriel não é culpado, então a promotoria não condenara Gabriel e Gabriel é culpado sejam ambos V. Nessa situação, é correto inferir que A promotoria condenara Gabriel. 6. Em uma argumentação, suponha que as proposições Se Gabriel não é culpado, então a promotoria não condenara Gabriel e A promotoria condenará Gabriel sejam ambas V. Nessa situação, ao inferir que Gabriel é culpado, obtém-se uma argumentação correta. 7. A proposição Se a promotoria condenar Gabriel, então Gabriel é culpado é equivalente à proposição A promotoria não condenara Gabriel ou Gabriel é culpado. 54

55 10º) (SECAD/TO-2008)(Adaptada) Julgue os itens a seguir. RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM 1. Considere verdadeiras as duas premissas abaixo: O raciocínio de Pedro está correto, ou julgamento de Paulo foi injusto. O raciocínio de Pedro não está correto. Portanto, se a conclusão for a proposição, o julgamento foi injusto, tem-se uma dedução lógica correta. 2. Considere a seguinte seqüência de proposições: (1) Se o crime foi perfeito, então o criminoso não foi preso. (2) O criminoso não foi preso. (3) Portanto, o crime foi perfeito. Se (1) e (2)são premissas verdadeiras, então a proposição (3), a conclusão, é verdadeira, e a seqüência é uma dedução lógica correta. GABARITO 1 ) 1. C 2. E 2 ) 1. C 2. C 3. E 4. E 5. E 3 ) 1. C 2. C 3. C 4. E 5. E 4 ) 1. E 2. E 3. E 4. E 5. C 6. C 7. E 8. E 5 ) 4. C 6 ) A 7 ) 3. E 5. C 6. C 8 ) 1. E 2. E 3. C 4. E 5. E 6. C 7. C 9 ) 1. C 2. E 55

56 ESTUDO DA LOGICA COM SENTENCA ABERTA É uma expressão que depende da variável ou do quantificador para ter valor lógico verdadeiro ou falso. EXEMPLOS x N; x + 5 = 8 CONCLUSÃO: É fácil verificar que para x = 3 a sentença é verdadeira, e, para x 3, a sentença, é falsa. 1.) QUANTIFICADOR São elementos lógicos que acrescentamos as sentenças abertas para transformá-las em proposições. Eles são: 1.1) QUANTIFICADOR UNIVERSAL: Símbolo: FORMA DE LEITURA: 1.2) QUANTIFICADOR EXISTENCIAL: Símbolo: FORMA DE LEITURA: 1.3) QUANTIFICADOR EXISTENCIAL DE UNICIDADE: Símbolo: FORMA DE LEITURA: OBSERVAÇÃO: Os símbolos ; ~ e significam 56

57 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM 1º) Assinale verdadeiro (V) ou falso(f): a) ( ) x R; x² = 16; b) ( ) x R; x² = 16; c) ( ) x R; x 2 = 9; d) ( ) x N; x 2 = 9; e) ( ) x R; x x = 1; f) ( ) x R ; x x = 1. 2.) NEGAÇÃO DOS QUANTIFICADORES É muito comum encontrarmos em provas de concursos coisas como Dizer que não é verdade que todos os atores são charmosos é logicamente equivalente a (...). Bem, dizer que não é verdade é a mesma coisa que negar, não é mesmo? Assim, negar que todos os atores são charmosos implica alguma coisa que prove que isso não é verdade. I) NEGAÇÃO DE TODO Se alguém lhe dissesse que todos os homens são sinceros e você quisesse negar essa afirmação, bastaria você dizer: Eu conheço um homem que não sincero, assim você nega essa afirmação, concorda? Desta forma, quando alguma afirmação é feita sobre Todo A é B, sua negação implica simplesmente em encontrar Pelo menos um A que não seja B, em outras palavras, negar Todo A é B é a mesma coisa que falar Pelo menos um A não é B ou, ainda, Algum A não é B. Note que nossa tendência natural é negar Todos os homens são sinceros, dizendo Nenhum homem é sincero. Mas esta não é a negação correta, pois, para que a primeira proposição seja falsa, não é necessário que nenhum homem seja sincero, mas que somente que algum homem não seja sincero. II) NEGAÇÃO DE NENHUM Da mesma forma, se alguém afirma que Nenhum homem é sincero e queremos negar essa sentença, precisamos apenas mostrar que conhecemos pelo menos um homem sincero, ou seja, bastaria afirmarmos que Algum homem é sincero. Essa negação traz o mesmo tipo de provocação que a anterior, pois negaríamos Nenhum homem é sincero, dizendo Todo homem é sincero. Isso também não está logicamente correto, porque, para que não seja verdade que Nenhum homem é sincero, não é necessário que todos o sejam, mas apenas que Pelo menos um homem seja sincero. III) NEGAÇÃO DE ALGUM Nesta última situação, imagine que você escute a sentença Algum homem é sincero. O que seria necessário para negá-la? Você precisaria afirmar Nenhum homem é sincero, já que a primeira sentença simplesmente afirmou Algum é. De forma análoga, se a primeira proposição fosse Algum homem não é sincero, você negaria com Todo homem é sincero, ou, ainda, com Nenhum homem não é sincero. 57

58 TABELA DE NEGAÇÃO DOS QUANTIFICADORES PROPOSIÇÃO INICIAL EXEMPLO INICIAL NEGAÇÃO EXEMPLO DA NEGAÇÃO TODO A É B Todo homem é sincero Algum A não é B; Pelo menos um A não é B NENHUM A É B Nenhum homem é sincero Algum A é B; Pelo menos um A é B Algum homem não é sincero ou Pelo menos um homem não é sincero Algum homem é sincero ou Pelo menos um homem é sincero ALGUM A É B Algum homem é sincero Nenhum A é B Nenhum homem é sincero ALGUM A NÃO É B Algum homem não é sincero Todo A é B Todo homem é sincero ESQUEMA IMPORTANTE: EXEMPLOS I) P: Ninguém será condenado sem o devido processo legal ou sem defesa ~P: II) P: Todos são condenados sem o devido processo legal ou sem defesa ~P: P: Algum médico fala a verdade III) ~P: ~P: P: x ; (x ) e x ; (2x 1 = 3) IV) ~P: ~P: 58

59 EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM 1 ) Determine a negação das proposições: a) Todo baiano é bonito b) Alguém fala a verdade c) Ninguém ama os pobres d) Todo advogado não fala a verdade e) Alguém não gosta de música. f) Existe um número que divide 5. g) Não existe um número que não divida ) (FACCEBA)Existe um numero real x, tal que 2 x =3. A negação da proposição em destaque é: a) Existe um numero real x, tal que 2 x 3 b) Não existe um numero real x, tal que 2 x 3 c) Para todo numero real x; 2 x 3 d) Para alguns números reais x; 2 x =3 e) Para todo numero real x, 2 x =3 3 ) A negação da sentença todo baiano é bem humorado é : a) Não existe baiano mal humorado b) Existe baiano mal humorado c) Alguns baianos são bem humorados d) Existe baiano bem humorado e) Nenhum baiano é mal humorado 4 ) (SEBRAE-2008)(Adaptada) Julgue os itens subseqüentes 6. A negação da proposição Ninguém aqui é brasiliense é a proposição Todos aqui são brasilienses. 5 ) (BB/2008)(Adaptada)Julgue os itens subseqüentes. 4. A negação da proposição Existe banco brasileiro que fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos pode ser assim redigida: Nenhum banco brasileiro fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos. 59

60 6 ) (MPE/TO TECNICO/2006)(Adaptada)julgue os itens seguintes: 12. A negação da proposição Algum promotor de justiça do MPE/TO tem 30 anos ou mais é Nem todo promotor de justiça do MPE/TO tem 30 anos ou mais. 7 ) (SEBRAE-2008)(Adaptada) Considere a seguinte proposição: Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento. Julgue os itens que se segue a cerca dessa proposição. 12. A proposição Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem julgamento, é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima. 13. Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento não é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima. EXERCICIOS PROPOSTOS 1 ) Os jogadores do Estrela Futebol Clube são craques. Assinale a opção correspondente à negação da frase acima. a) Nenhum jogador do Estrela Futebol Clube é craque. b) Quase todos os jogadores do Estrela Futebol Clube não são craques. c) Existe algum jogador do Estrela Futebol Clube que não é craque. d) Apenas alguns jogadores do Estrela Futebol Clube são craques. 2 ) (CESPE) A negação da proposição Ninguém aqui é brasilense é a proposição Todos aqui são brasilienses. 3 ) (CESGRANRIO) A negação de Todos os caminhos levam a Roma é a) Todos os caminhos não levam a Roma b) Nenhum caminho leva a Roma c) Pelo menos um caminho leva a Roma d) Pelo menos um caminho não leva a Roma. e) Não há caminhos para Roma 4 ) (CESGRANRIO) Qual é a negação de Todos os candidatos desse concurso têm mais de 18 anos? a) Todos os candidatos desse concurso têm menos de 18 anos. b) Pelo menos um candidato desse concurso tem menos de 18 anos. c) Pelo menos um candidato desse concurso tem 18 anos ou menos. d) Nenhum candidato desse concurso tem menos de 18 anos. e) Nenhum candidato tem exatamente 18 anos. GABARITO 1 ) C 2 ) ERRADO 3 ) D 4 ) C 3.) SILOGISMO ENVOLVENDO QUANTIFICADORES 60

61 Geralmente, os problemas sobre silogismo apresentam expressões como todos, algum, nenhum, pelo menos um. Muitos problemas encontrados são resolvidos mais facilmente com base na teoria de conjuntos e utilizando-se dos diagramas de Venn. 2.1) ANALISE DAS PROPOSIÇÕES CATEGORICAS I. TODO A É B: Subentende-se que o conjunto A está contido no conjunto B, ou seja, se um elemento pertence ao conjunto A, então pertence também a B. Considere a tabela abaixo: PROPOSIÇÃO CATEGÓRICA REPRESENTAÇÃO SIMBÓLICA LEITURA DIAGRAMA DE VENN Todo A é B x(a(x) B(x)) Qualquer que seja x, se ele pertence a A, pertence necessariamente a B. II. ALGUM A É B: (PELO MENOS UM A É B) Subentende-se que os conjuntos A e B tem algo em comum (interseção não vazia), ou seja existe pelo menos um elemento comum aos conjuntos A e B. PROPOSIÇÃO CATEGÓRICA REPRESENTAÇÃO SIMBÓLICA LEITURA DIAGRAMA DE VENN Algum A é B x (A(x) B(x)) Existe um elemento x tal que x pertence a A e também pertence a B. III. NENHUM A É B: Subentende-se que os conjuntos A e B não apresentam elementos em comum (interseção vazia), ou seja, se um elemento pertence ao conjunto A, então não pertence a B, e vice versa. PROPOSIÇÃO CATEGÓRICA REPRESENTAÇÃO SIMBÓLICA LEITURA DIAGRAMA DE VENN Nenhum A é B x (A(x) B(x)) Não existe um elemento x tal que x pertence a A e também pertence a B IV. ALGUM A NÃO É B: 61

62 Subentende-se que o conjunto A não está contido no conjunto B, ou seja, existe pelo menos um elemento que pertence a A, então esse elemento não pertence a B, e vice versa. PROPOSIÇÃO CATEGÓRICA REPRESENTAÇÃO SIMBÓLICA LEITURA DIAGRAMA DE VENN Algum A não é B x (A(x) ~B(x)) Existe um elemento x tal que x pertence a A e não pertence a B EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM 1 ) Represente através de diagrama de Venn as sentenças abaixo: a) Todo baiano é feio. c) Nenhum médico é feliz b) Algum aluno é esportista d) Algum homem não é educado 2 ) (AFR-SP)Todos os diplomatas são gordos. Nenhum gordo sabe nadar. Segue-se que: a) Algum diplomata não é gordo. b) Algum diplomata sabe nadar. c) Nenhum diplomata sabe nadar. d) Nenhum diplomata é gordo. e) Algum gordo sabe nadar. 3 ) (AFCE) Se é verdade que Alguns escritores são poetas e que nenhum músico é poeta então também é necessariamente verdade que: 62

63 a) Nenhum músico é escritor b) Algum escritor é músico c) Algum músico é escritor d) Algum escritor não é músico e) Nenhum escritor é músico 4 ) (MPE-AM/2008) (Adaptada) Julgue os itens a seguir. 1. Considerando-se como premissas as proposições Nenhum pirata é bondoso e Existem piratas que são velhos, se a conclusão for Existem velhos que não são bondosos, então essas três proposições constituem um raciocínio válido. 2. Considere como premissas as proposições Todos os hobbits são baixinhos e Todos os habitantes da colina são hobbits, e como conclusão, a proposição todos os baixinhos são habitantes da colina. Nesse caso, essas três proposições constituem um raciocínio válido. 5 ) (CESGRANRIO) Considere verdadeira a declaração: Toda criança gosta de brincar. Com relação a essa declaração, assinale a opção que corresponde a uma argumentação correta. a) Como Marcelo não é criança, não gosto de brincar. b) Como Marcelo não é criança, gosta de brincar. c) Como João não gosta de brincar, então não é criança. d) Como João gosta de brincar então é criança. e) Como João gosta de brincar, então não é criança. 6 ) (CESGRANRIO) Considerando toda prova de Lógica é difícil uma proposição verdadeira, é correto inferir que a) nenhuma prova de Lógica é difícil é uma proposição necessariamente verdadeira. b) alguma prova de Lógica é difícil é uma proposição necessariamente verdadeira. c) alguma prova de Lógica é difícil é uma proposição verdadeira ou falsa. d) alguma prova de Lógica não é difícil é uma proposição necessariamente verdadeira. e) alguma prova de Lógica não é difícil é uma proposição verdadeira ou falsa. 4.) OBSERVAÇÕES SOBRE A LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO (HIPOTÉTICA OU CATEGÓRICA) 63

64 Em lógica buscamos a correção nos argumentos. Em inglês esta propriedade é chamada de soundness. Os argumentos corretos são aqueles que possuem premissas e conclusão verdadeiras, e além disso, possuem uma forma válida. Portanto, não basta o argumento ter uma forma válida e enunciar proposições falsas; da mesma maneira, não basta um argumento ter proposições verdadeiras e uma forma inválida. Os argumentos devem ser corretos. Para ilustrar a importância da forma (estrutura) da inferência, invoco o (pseudo) silogismo mais utilizado em toda a história da filosofia: Todos os homens são mortais Sócrates é homem Logo, Sócrates é mortal. Posso seguramente dizer que a maior parte dos seres humanos, até os leigos em filosofia, concordarão que no silogismo acima é válido e se ocultarmos a conclusão, ela surgirá imediatamente na mente ao pensarmos nas duas premissas: Todos os homens são mortais Sócrates é homem Logo É neste instante que nos deparamos com a necessidade lógica. No argumento válido, a conclusão, de alguma forma já está contida nas premissas e parece ser inevitável que a aceitemos como consequência. Por este silogismo ser válido, pode-se dizer que a forma dele é válida, ou seja, não importa quais termos estejam no lugar de homens, mortais e Sócrates, a conclusão será sempre necessária. Se substituirmos os termos sujeito, predicado e termo médio por outras palavras, teremos o seguinte resultado: Todos os filósofos são jogadores de futebol Sócrates é filósofo Logo, Sócrates é jogador de futebol Neste caso, a verdade da primeira premissa pode ser discutida e mostrar-se como falsa, resultando em uma conclusão falsa, mas de qualquer maneira, o silogismo ainda continua válido. Vamos examinar outro caso: Todos os animais aquáticos têm duas asas A vaca é um animal aquático Logo, a vaca tem duas asas. Apesar de ter premissas e conclusão falsas, o argumento também é válido. E finalmente: Todas as aranhas tem 4 patas O tigre é uma aranha Logo, o tigre tem 4 patas. Também é um argumento válido, com duas premissas falsas e uma conclusão verdadeira. Isso é surpreendente e pode ser usado para confundir muitas mentes, pode ser usado por muitos sofistas. Este último exemplo mostra que o fato de uma conclusão ser verdadeira não quer dizer que o argumento é correto, ou seja, válido e com premissas e conclusão verdadeiras; é por isso que ao avaliar um argumento deve-se verificar como a conclusão foi alcançada, ou seja, deve-se verificar as premissas, em todo argumento. Notemos abaixo que o argumento tem premissas falsas e conclusão também. No entanto, o argumento é correto. Todos os homens são analfabetos Raquel de Queiroz é homem Logo, Raquel de Queiroz é analfabeta. EXERCÍCIOS PROPOSTOS (REVISÃO DA LÓGICA DE SENTENÇA ABERTA) 64

65 1 ) (PETROBRAS) Toda afirmativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F) é denominada proposição.considere que A e B representem proposições básicas e que as expressões A B e ~A sejam proposições compostas. A proposição A B é F quando A e B são F, caso contrário, é V, e ~A é F quando A é V, e é V quando A é F. De acordo com essas definições, julgue os itens a seguir: 12. Se a afirmativa Todos os beija-flores voam rapidamente for considerada falsa, então a afirmativa Algum beija-flores não voam rapidamente tem de ser considerada verdadeira. 2 ) (MPE-TO-ANALISTA/2006) Considere o texto para os itens de 6 a 12 Proposições também são definidas por predicados que dependem de variáveis e, nesse caso, avaliar uma proposição como verdadeira (V) ou falsa (F) vai depender do conjunto onde essas variáveis assumem valores. Por exemplo, a proposição "Todos os advogados são homens", que pode ser simbolizada por ( x) (A(x) H(x)), em que A(x) representa "x é advogado" e H(x) representa "x é homem", será verdadeira (V), se x pertencer a um conjunto de pessoas que torne a implicação V; caso contrário, será F. Para expressar simbolicamente a proposição "Algum advogado é homem"; escreve-se ( x) (A(x) H(x}). Nesse caso, considerando que x pertença ao conjunto de todas as pessoas do mundo, essa proposição é V. Na tabela abaixo, em que A e B simbolizam predicados, estão simbolizadas algumas formas de proposições. proposição Todo A é B Forma simbólica ( x) (A(x) B(x)) Nenhum A é B ( x) (A(x) B(x)) A partir das informações dos textos acima, julgue os itens subseqüentes. 6. A proposição "Nenhum pavão é misterioso" está corretamente simbolizada por ( x)(p(x) M(x)), se P(x) representa "x é um pavão" e M(x) representa "x é misterioso". 8. Considere que as proposições "Todo advogado sabe lógica e "Todo funcionário do fórum é advogado" são premissas de uma argumentação cuja conclusão é "Todo funcionário do fórum sabe lógica". Então essa argumentação é válida. 9. Considere uma argumentação em que duas premissas são da forma 1. Nenhuma A é B. 2. Todo C é A e a conclusão é da forma "Nenhum C é B". Essa argumentação não pode ser considerada válida. 3 ) Se todos os jaguadartes são momorrengos e todos os momorrengos são cronópios então pode-se concluir que: a) È possível existir um jaguadarte que não seja momorrengo. b) È possível existir um momorrengo que não seja jaguadarte. c) Todos os momorrengos são jaguadartes d) È possível existir um jaguadarte que não seja cronópio. e) Todos os cronópios são jaguadartes. 4 ) Algum A é B. Todos A é C. Logo: 65

66 a) Algum D é A. b) Todo B é C. c) Todo C é A d) Todo B é A e) Algum B é C. 5 ) Se Alguns poetas são nefelibatas e Todos os nefelibatas são melancólicos, então, necessariamente: a) Todo melancólico é nefelibata. b) Todo nefelibata é poeta. c) Algum poeta é melancólico d) Nenhum melancólico é poeta. e) Nenhum poeta não é melancólico. 6 ) (PRODEST/ES-TÉCNICO/2006) Considere que os diagramas abaixo representam conjuntos nomeados pelos seus tipos de elementos. Um elemento específico. O diagrama da esquerda representa a inclusão descrita pela sentença Todos os seres humanos são bípedes. O diagrama da direita representa a inclusão descrita pela sentença Miosótis é bípedes. Nessas condições, é correto concluir que Miosótis é um ser humano. GABARITO 1) 12. C 2) 6. C ;8. C ; 9. E 3) B 4) E 5) C 6) E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE REVISÃO GERAL 66

67 1 ) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte há expressões e sentenças: 1. Três mais nove é igual a doze. 2. Pelé é brasileiro 3. O jogador de futebol 4. A idade de Maria 5. A metade de um número 6. O triplo de 15 é maior que 10. É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças apenas os itens de números (a) 1, 2 e 6 (b) 2, 3 e 4 (c) 3, 4 e 5 (d) 1, 2, 5 e 6 (e) 2, 3, 4 e 5 2 ) (CESPE - PM) Considere as seguintes sentenças: (I) O Acre é um estado da Região Nordeste. (II) Você viu o cometa Halley? (III) Há vida no planeta Marte (IV) Se x < 2 então x + 3 > 1 Nesse caso, entre essas 4 sentenças, apenas duas são proposições. 3 ) (CESPE -SEBRAE) Com relação à lógica formal, julgue os itens subseqüentes. 1. A frase "Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE" é uma proposição simples. 2. Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos. 3. A negação da proposição "2 + 5 = 9" é a proposição " = 7". 4. A proposição "Ninguém ensina a ninguém" é um exemplo de sentença aberta. 5. A proposição "João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma" é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção. 6. A negação da proposição "Ninguém aqui é brasiliense" é a proposição "Todos aqui são brasiliense". Os conectivos e, ou, não e o condicional se... então são, simbolicamente, representados por,, e, respectivamente. As letras maiúsculas do alfabeto, como P, Q e R, representam proposições. As indicações V e F são usadas para valores lógicos verdadeiros e falsos, respectivamente, das proposições. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 7. A proposição "Tanto João não é norte-americano como Lucas não é brasileiro, se Alberto é francês" poderia ser representada por uma expressão do tipo P [( Q) ( R)]. 8. A proposição (P Q) é equivalente à proposição ( P) ( Q). 9. A proposição [(P Q) (Q R)] (P R) é uma tautologia. 10. Considere o quadro abaixo, que contém algumas colunas da tabela verdade da proposição P [QVR]. 67

68 P Q R P [QVR] V V V V V V F V V F V V V F F F F V V V F V F V F F V V F F F V Nesse caso, pode-se afirmar que a última coluna foi preenchida de forma totalmente correta. 11. Considere o quadro abaixo, que apresenta algumas colunas da tabela verdade referente à proposição P [Q R] P Q R P [Q R] V V V V V V F F V F V V V F F F F V V V F V F F F F V F F F F F Nesse caso, pode-se afirmar que a última coluna foi preenchida de forma totalmente correta. Considere a seguinte proposição: "Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento". Julgue os itens que se seguem, acerca dessa proposição. 12. A proposição "Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem julgamento" é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima. 13. "Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento" não é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima. 68

69 4 ) (CESPE) Se A e B são proposições, então ~( A B ) tem as mesmas valorações que [(~A) (~B)] [(~B) (~A)] 5 ) (FCC) Considerando toda livro é instrutivo uma proposição verdadeira, é correto inferir que a) Nenhum livro é instrutivo é uma proposição necessariamente verdadeira. b) Algum livro não é instrutivo é uma proposição verdadeira ou falsa. c) Algum livro é instrutivo é uma proposição verdadeira ou falsa. d) Algum livro é instrutivo é uma proposição necessariamente verdadeira. e) Algum livro não é instrutivo é uma proposição necessariamente verdadeira. 6 ) (MPE/TO) Na lista abaixo, há exatamente três proposições. Faça suas tarefas. Ele é um procurador de justiça muito competente. Celina não terminou seu trabalho. Esta proposição é falsa. O número é uma potência de 2. 7 ) (CESPE 2009) A sequência de frases a seguir contém exatamente duas proposições. (I) A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica. (II) Por que existem juízes substitutos? (III) Ele é um advogado talentoso. 8 ) (TRT 17ª região) A proposição Carlos é juiz e é muito competente tem como negação a proposição Carlos não é juiz nem é muito competente. 9 ) (ESAF MPOG 2009) A negação de Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com José é: a) Maria não comprou uma blusa nova ou não foi ao cinema com José. b) Maria não comprou uma blusa nova e foi ao cinema sozinha. c) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema com José. d) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema. e) Maria comprou uma blusa nova, mas não foi ao cinema com José. 10 ) A proposição Tanto João não é norte-americano como Lucas não é brasileiro, se Alberto é francês poderia ser representada por uma expressão do tipo P [( Q) ( R)]. 11 ) (CESPE 2008) Considere as proposição abaixo. T: João será aprovado no concurso do TRT ou do TSE, mas não em ambos ; A: João será aprovado no concurso do TRT. B: João será aprovado no concurso do TSE Nesse caso, a proposição T estará corretamente simbolizada por (A B) [ (A B)] 12 ) (AFC-STN 2005) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo, a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear. c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. e) Marcos estudar é condição necessária para João passear. 69

70 13 ) Dizer que Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista, é do ponto de vista lógico o mesmo que dizer que: a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. b) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro. c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista. d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista. e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista. 14 ) Toda proposição simbolizada na forma A B tem os mesmos valores lógicos que a proposição B A. 15 ) (CESPE) As proposição (P Q) é equivalente à proposição ( P) ( Q). 16 ) (CESPE) As proposições (A B) e ( A B) são equivalentes. 17 ) (CESPE) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos,, e sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. 1) Se as proposições P e Q são ambos verdadeiras, então a proposição ( P) ( Q) também é verdadeira. 2) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R ( T) 3) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P R) ( Q) é verdadeira 18 ) (CESPE) Considerando-se as possíveis valorações V ou F das proposições A e B e completando-se as colunas da tabela abaixo, se necessário, é correto afirmar que a última coluna dessa tabela corresponde à tabela verdade da proposição [A ( B)] [ (A B)]. A B B A ( B) A B (A B) [A ( B)] [ (A B)] V V F V F F F V V F F V 19 ) (CESPE) Na tabela a seguir, são representadas duas avaliações para as proposições básicas A e B, e para a proposição composta Q, na qual ocorrem apenas A e B como proposições básicas. Linha A B Q 1 V F V 2 F F V Considerando as definições do texto anterior e os dados da tabela acima, julgue os itens a seguir. 1) Para as valorações de A e B apresentadas na linha 1, a proposição (A B) é F. 2) De acordo com as valorações da linha 2, a proposição ( B A) Q é V. 20 ) (CESPE) Se A e B são proposições simples, então, completando a coluna em branco na tabela abaixo, se necessário, conclui-se que a última coluna da direita corresponde à tabela verdade da proposição composta A (B A). 70

71 A B B A A (B A) V V V V F V F F V F V F 21 ) (CESPE) Na tabela abaixo, a última coluna da direita corresponde à tabela verdade da proposição (A B) A ( B). A B B (A B) A ( B) (A B) A ( B) V V F V F V F F V F F V 22 ) Na tabela abaixo, a última coluna da direita corresponde à tabela verdade da proposição ( A) B (A B). A B A ( A) B) (A B) ( A) B (A B) V V V V F F F V V F F V 23 ) (CESPE) A proposição simbolizada por (A B) (B A) possui uma única valoração F. 24 ) (CESPE) A proposição simbólica (P Q) R possui, no máximo, 4 avaliações V. 25 ) (CESPE) Se as proposições A, B e C tiverem valores lógicos V, F e V, respectivamente, então a proposição composta (A B) C terá valor lógico F. 26 ) (CESPE) Existem exatamente 8 combinações de valorações das proposições simples A, B e C para as quais a proposição composta (A B) ( C) pode ser avaliada, assumido valoração V ou F. 27 ) (ICMS FCC 2006) Considere as afirmações abaixo: I. O número de linhas de uma tabela verdade é sempre um número par. II. A proposição 10 < = 6 é falsa. É verdade o que se afirma APENAS em: a) I. b) II. c) I e II. d) nenhum dos dois. 28 ) (FCC) Dadas as proposições compostas: I) = 7 5³ = 125 II) = = 9 III) 3 > 1 não é um número real IV) 2 > 1 2 = 2 V) 2 > 0 ² < 0 A que tem valor lógico FALSO é a a) I b) II c) III 71

72 d) V e) IV RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM 29 ) (MPOG ESAF/2009) Entre as opções abaixo, a única com valor lógico verdadeiro é: a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França. b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França. c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França. d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou paris é a capital da Inglaterra. e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra. 30 ) (FCC) Considere as proposições abaixo: I. Entre estas seis proposições, apenas três são falsas. II = 4 III. 3 x 6 = 17 IV. 8 : 4 = 2 V = 5 VI. Apenas as proposições 2 e 4 são verdadeiras. Do ponto de vista lógico, para que haja contradição entre as frases, são verdadeiras apenas: a) II, IV e VI. b) II, IV e V. c) II e IV. d) I, II e IV. e) I, II, IV e VI. 31 ) (AFC-STN 2005) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo, a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear. c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. e) Marcos estudar é condição necessária para João passear. 32 ) Se o valor lógico da proposição Se as operações de crédito no país aumentam então os bancos ganham muito dinheiro é V, então é correto concluir que o valor lógico da proposição Se os bancos não ganham muito dinheiro, então as operações de crédito no país não aumentam é também V. 33 ) Dizer que Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista, é do ponto de vista lógico o mesmo que dizer que: a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. b) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro. c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista. d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista. e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista. 34 ) Toda proposição simbolizada na forma A B tem os mesmos valores lógicos que a proposição B A. 35 ) (CESPE) As proposição (P Q) é equivalente à proposição ( P) ( Q). 36 ) (CESPE) As proposições (A B) e ( A B) são equivalentes. 37 ) (SERPRO/96) Uma sentença logicamente equivalente a Pedro é economista, então Luísa é solteira é: a) Pedro é economista ou Luisa é solteira. 72

73 b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. c) Se Luísa é solteira, Pedro é economista. d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira. e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista. RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM 38 ) (ENAP 2006/ESAF) Dizer que Ana não é alegre ou Beatriz é feliz é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer: a) Se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz. b) Se Beatriz é feliz, então Ana é alegre. c) Se Ana é alegre, então Beatriz é feliz. d) Se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz. e) Se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz. 39 ) (CESPE 2009) Caso a proposição Se a EMBASA promover ações de educação ambiental, então a população colaborará para a redução da poluição das águas seja V, a proposição Se a EMBASA não promover ações de educação ambiental, então a população não colaborará para a redução da poluição das águas também será V. 40 ) (PF 2009/CESPE) As proposições Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não será bem-sucedida e Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra será bem-sucedida são equivalentes. 41 ) (ESAF 2009) Entre as opções abaixo, qual exemplifica uma contradição formal? a) Sócrates não existiu ou Sócrates existiu. b) Sócrates era ateniense ou Sócrates era espartano. c) Todo filósofo era ateniense e todo ateniense era filósofo. d) Todo filósofo era ateniense ou todo ateniense era filósofo. e) Todo filósofo era ateniense e algum filósofo era espartano. 42 ) (SEGER) É correto concluir que as três frases seguintes são proposições. (I) No ano de 2002, os brasileiros usuários da Internet gostavam, mensalmente, em média, 10 horas e 11 minutos navegando na rede. (II) Em quantos anos a média mensal de tempo de uso da Internet no Brasil saltou de 8 horas para 21 horas 40 minutos? (III) Se, em 2006, o tempo médio mensal on-line dos brasileiros era de 21 horas e 20 minutos, então essa médio aumentou em mais de 20 minutos em ) (CESPE) Considere como V as seguintes proposições. A: Jorge briga com sua namorada Silva. B: Sílvia vai ao teatro Nesse caso, (A B) é a proposição C: Se Jorge não briga com sua namorada Sílvia não vai ao teatro. 44 ) (CESPE) Uma proposição pode ter valoração verdadeira (V) ou falsa (F). Os caracteres, e, que simbolizam não, ou e e, respectivamente, são usados para formar novas proposições. Por exemplo, se P e Q são proposições, então P Q, Q P e P também são proposições. Considere as proposições seguir: A: as despesas foram previstas no orçamento B: os gastos públicos aumentaram C: os funcionários públicos são sujeitos ao regime Jurídico único D: a lei é igual para todos. A partir dessas informações, julgue os itens subseqüentes. 1) A (C ( B) simboliza corretamente a proposição As despesas foram previstas no orçamento e ou os funcionários públicos são sujeitos ao regime Jurídico Único ou os gastos públicos não aumentaram. 2) A proposição Não é verdade que os funcionários públicos são sujeitos ao regime Jurídico Único nem que os gastos públicos aumentaram está corretamente simbolizada pela forma ( C) ( B). 73

74 3) A proposição Ou os gastos públicos aumentaram ou as despesas não foram previstas no orçamento está corretamente simbolizada por ( B) ( A). 45 ) (CESPE) Suponha que P represente a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens seguintes. 1) A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P ( R Q). 2) A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P Q. 3) Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for valorada como V, então a sentença representada por P Q é falsa. 4) o número de valorações possíveis para (Q R) P é inferior a ) (CESPE) Com relação à lógica formal, julgue os itens subseqüentes. 1) A frase Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE é uma proposição simples. 2) Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos. 3) A negação da proposição = 9 é a proposição = 7. 4) A proposição Ninguém ensina a ninguém é um exemplo de sentença aberta. 5) A proposição João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção. 47 ) (ESAF) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo, a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar. b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar. d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar. e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar. 48 ) Se o valor lógico da proposição Se as operações de crédito no país aumentam então os bancos ganham muito dinheiro é V, então é correto concluir que o valor lógico da proposição Se os bancos não ganham muito dinheiro, então as operações de crédito no país não aumentam é também V. 49 ) (SERPRO/96) Uma sentença logicamente EQUIVALENTE a Pedro é economista, então Luísa é solteira é: a) Pedro é economista ou Luisa é solteira. b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. c) Se Luísa é solteira, Pedro é economista. d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira. e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista. 50 ) (ENAP 2006/ESAF) Dizer que Ana não é alegre ou Beatriz é feliz é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer: a) Se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz. b) Se Beatriz é feliz, então Ana é alegre. c) Se Ana é alegre, então Beatriz é feliz. d) Se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz. e) Se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz. 51 ) (CESPE 2009) Caso a proposição Se a EMBASA promover ações de educação ambiental, então a população colaborará para a redução da poluição das águas seja V, a proposição Se a EMBASA não promover ações de educação ambiental, então a população não colaborará para a redução da poluição das águas também será V. 52 ) (PF 2009/CESPE) As proposições Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não será bem-sucedida e Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra será bem-sucedida são equivalentes. 74

75 GABARITO RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM 1 ) A 2 ) E 3 ) 1. C 2. E 3. E 4. E 5. C 6. E 7. C 8. C 9. C 10. C 11. E 12. E 13. C 4 ) E 5 ) D 6 ) E 7 ) E 8 ) E 9 ) A 10 ) C 11 ) C 12 ) E 13 ) A 14 ) E 15 ) C 16 ) E 17 ) 1. E 2. E 3. C 18 ) C 19 ) 1. E 2. C 20 ) E 21 ) E 22 ) E 23 ) C 24 ) E 25 ) C 26 ) C 27 ) A 28 ) E 29 ) C 30 ) D 31 ) E 32 ) C 33 ) A 34 ) E 35 ) C 36 ) E 37 ) E 38 ) C 39 ) E 40 ) E 41 ) E 42 ) E 43 ) E 44 ) 1. C 2. C 3. E 45 ) 1. C 2. C 3. E 4. C 46 ) 1. C 2. E 3. E 4. E 5. C 47 ) E 48 ) C 49 ) E 50 ) C 51 ) E 52 ) E RACIOCÍNIO LÓGICO ANALÍTICO 75

76 QUESTÃO 1 RACIOCÍNIO LÓGICO ARGEU CARDIM UTILIZE AS INFORMAÇÕES ABAIXO PARA RESPONDER AS QUESTÕES 2; 3; 4 e 5 QUESTÃO 2 QUESTÃO 3 QUESTÃO 4 QUESTÃO 5 76

77 QUESTÃO 6 QUESTÃO 7 QUESTÃO 8 QUESTÃO 9 77

78 QUESTÃO 10 QUESTÃO 11 QUESTÃO 12 78

79 QUESTÃO 13 QUESTÃO 14 QUESTÃO 15 79

80 Marcos está se arrumando para ir ao teatro com sua nova namorada quando todas as luzes de seu apartamento apagam. Apressado, ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores diferentes, a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que Marcos não saia com sua namorada vestindo meias de cores diferentes, o número mínimo de meias que Marcos deverá tirar da gaveta para ter a certeza de obter um par de mesma cor é igual a: a) 30 b) 40 c) 246 d) 124 e) 5 QUESTÃO 16 Em uma caixa há caixas há 2 bolas azuis, 3 bolas amarelas e 4 bolas pretas. Serão retiradas N bolas dessa caixa, simultaneamente e de forma totalmente aleatória. O menor valor positivo de N, para que se possa garantir que haverá bolas de todas as cores, é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 QUESTÃO 17 Em um baú há 15 lenços brancos, 25 vermelhos e 12 pretos. O número mínimo de lenços que devem ser retirados do baú para que se possa garantir que, entre os lenços retirados, haja pelo menos quatro de mesma cor é: a) 44 b) 10 c) 12 d) 4 e) 45 QUESTÃO 18 QUESTÃO 19 80

81 QUESTÃO 20 QUESTÃO 21 81

82 QUESTÃO 22 QUESTÃO 23 82

83 QUESTÃO 24 QUESTÃO 25 83

84 QUESTÃO 26 QUESTÃO 27 QUESTÃO 28 84

85 PARA RESPONDER AS QUESTÕES 29 E 30 UTILIZE AS INFORMAÇÕES DO TEXTO ABAIXO QUESTÃO 29 QUESTÃO 30 85

86 QUESTÃO 31 GABARITO E D E D E B E D C 1 C E E E D E E B B A 2 C A D A D B B B D C 3 B D 86