UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE ESCOLA DE ENGENHARIA ENGENHARIA ELÉTRICA HENRIQUE MOREIRA DE OLIVEIRA

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1 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE ESCOLA DE ENGENHARIA ENGENHARIA ELÉTRICA HENRIQUE MOREIRA DE OLIVEIRA DESCONTAMINAÇÃO DE SINAIS DE ELETROCARDIOGRAMA UTILIZANDO WAVELETS São Paulo 28

2 2 HENRIQUE MOREIRA DE OLIVEIRA DESCONTAMINAÇÃO DE SINAIS DE ELETROCARDIOGRAMA UTILIZANDO WAVELETS Trabalho de Graduação Interdisciplinar apresentado ao Curso de Engenharia Elétrica da Escola de Engenharia da Universidade Presbiteriana Mackenzie, coo requisito parcial à obtenção do grau de Bacharel e Engenharia. ORIENTADOR: PROFESSOR DOUTOR MARCIO EISENCRAFT São Paulo 28

3 3 AGRADECIMENTOS Ao eu orientador, Professor Marcio Eisencraft, os conselhos, sugestões e idéias que fora de grande valia e uito acrescentou ao eu conheciento. Aos eus pais todo apoio, dedicação, coproetiento e otivação que sepre e inspirara durante todos esses anos. A todos os aigos, e especial à Milena Cicco de Godau, pela diária convivência e os oentos passados juntos que arcara esse período de vida. À Escola de Engenharia Mackenzie e à FAPESP pelo apoio parcial na participação no XXVI Sipósio Brasileiro de Telecounicações.

4 4 RESUMO O objetivo deste trabalho é analisar o uso das transforadas wavelets para eliinar interferências e ruídos e sinais de eletrocardiograa (ECG). Esta técnica é conhecida coo descontainação. É feita ua revisão sobre o assunto, descrevendo-se suas bases ateáticas, aplicações e as wavelets utilizadas. Ua revisão da literatura sobre ECG tabé é feita tendo seu enfoque nas características desse sinal. Para testar as técnicas de descontainação é inserido ruído branco gaussiano e sinais de ECG sintéticos que são tratados por eio de algoritos utilizando o prograa de siulação nuérica Matlab. A verificação do resultado é feita por eio de coparações entre sinais originais, sinais containados e sinais recuperados por diferentes transforadas wavelets. Os resultados destas análises busca ostrar a iportância da descontainação dos sinais para os diagnósticos édicos que depende de u sinal de qualidade para resultados precisos. Palavras-chave: Descontainação, Wavelets, Eletrocardiograa.

5 5 ABSTRACT The objective of this work is to analyze the use of wavelet transfors to reove interference and noise in electrocardiogra signals (ECG). This technique is called denoising. We review this subject, describing their atheatical bases, applications and soe of the wavelets used. A suary description of ECG signals is presented, focusing on their characteristics. To test the denoising techniques, white gaussian noise is added to synthetic ECG signals, that are processed later by algoriths using the nueric siulation software Matlab. To check the results the original signal, the containated signal and the recovered signal by different wavelet transfors are copared. The analysis results show the denoising relevance for edical diagnostics that need a quality signal to be precise. Keywords: Denoising, Wavelets, Electrocardiogra.

6 6 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Desenho - Coponentes do coração... Diagraa - Derivações bipolares...3 Diagraa 2 - WCT...4 Diagraa 3 - Derivações auentadas...4 Esquea - Triângulo de Einthoven... 5 Diagraa 4 - Derivações precordiais...6 Gráfico - Eleentos do sinal de eletrocardiograa...7 Gráfico 2 - Batiento cardíaco sintético...,.9 Gráfico 3 - Sinal de ECG sintético containado co ruído branco gaussiano...9 Gráfico 4 - Wavelet de Daubechies...25 Gráfico 5 - Wavelet de Haar...26 Gráfico 6 - Wavelet Sylets...27 Gráfico 7 - Wavelet Coiflets...27 Gráfico 8 Trecho de ECG sintético usado nas siulações...32 Gráfico 9 - Variação do ganho de cada wavelet variando-se o núero de níveis de decoposição...34 Gráfico - Variação do ganho de cada wavelet co a relação sinal ruído de entrada Gráfico - a) sinal original, b) sinal containado, c) sinal recuperado co db9, d) sinal recuperado co haar, e) sinal recuperado co sy2 e f) sinal recuperado co coif Gráfico 2 - Variação do ganho de cada wavelet co o núero de níveis de decoposição 37 Gráfico 3 -Variação do ganho de cada wavelet co a relação sinal ruído de entrada...37 Gráfico 4 - a) sinal original, b) sinal containado, c) sinal recuperado co db9, d) sinal recuperado co haar, e) sinal recuperado co sy2 e f) sinal recuperado co coif Gráfico 5 - Sinais de eletrocardiograa: a) sinal original; b) Sinal containado; c) sinal recuperado; d) erro entre o sinal original e o containado; e) erro entre o sinal original e o recuperado...39

7 7 SUMÁRIO INTRODUÇÃO...8. ESTRUTURA DO TRABALHO SISTEMA CARDIOVASCULAR E ELETROCARDIOGRAMA FISIOLOGIA DO CORAÇÃO E DISTÚRBIOS CARDÍACOS ELETROCARDIOGRAMA Aquisição do sinal de eletrocardiograa Morfologia do sinal de ECG SINAL DE ELETROCARDIOGRAMA SINTÉTICO WAVELETS TRANSFORMADA WAVELET TIPOS DE WAVELETS Wavelets de Daubechies Wavelets de Haar Wavelets Sylets e Coiflets DESCONTAMINAÇÃO DE SINAIS VIA WAVELET SHRINKAGE SIMULAÇÕES SINAL DE ENTRADA SINAL CONTAMINADO COM RUÍDO BRANCO GAUSSIANO SINAL CONTAMINADO COM SENOIDE CONCLUSÕES...4 REFERÊNCIAS APÊNDICE A APÊNDICE B ARTIGO PUBLICADO NOS ANAIS DO XXVI SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUNICAÇÕES (SBrT 28)...47

8 8 INTRODUÇÃO U sinal é a representação de ua inforação e função de ua deterinada variável, geralente o tepo (BRUCE, 2). A variação da teperatura nu abiente, a corrente elétrica nu circuito e o so de u instruento pode ser representados por eio de sinais. Os ipulsos elétricos do corpo huano tabé pode ser representados dessa fora. Dentre os diversos sinais contidos nessa área, destaca-se o de eletrocardiograa (ECG), que consiste no registro da variação dos potenciais elétricos gerados pela atividade elétrica do coração (NORTHROP, 23). Todos os sinais estão sujeitos a ruídos introduzidos e sua captação que prejudica seu processaento. Os sinais biológicos, e especial o sinal de ECG, por tere pequenas aplitudes, deve ser tratados para que tenha-se a aior redução do nível de ruído no sinal. Esse processo é denoinado descontainação (RAO, 998; NORTHROP, 23). Para sinais de ECG a descontainação se faz necessária pela nitidez e clareza que os diagnósticos exige já que distúrbios cardíacos pode ser deterinados e pequenas variações de sua fora de onda (BRUCE, 2). Co o intuito de supriir ruídos dos sinais, a aplicação de transforadas wavelets ve se ostrando ua iportante alternativa (RAO, 998; OLIVEIRA, 27; BRUCE, 2; ERÇELEBI, 23; KAISER, 2). As wavelets tivera sua prieira enção na tese de Alfred Haar e 99 e tivera sua introdução no eio acadêico e científico no inicio da década de 8 por Alex Grossan e Jean Morlet (OLIVEIRA, 27). Essa técnica consiste e dividir os sinais, a partir de u padrão inicial chaado wavelet ãe, e diferentes sinais que quando soados fornece o original (BURRUS; GOPINATH, 998). Nessa decoposição pode-se detectar, para cada diferente nível, se o ruído esta prevalecendo ou não e relação ao sinal original, podendo-se descartar os níveis co aiores quantidades de ruído (STRANG; NGUYEN, 996). O objetivo deste trabalho é analisar a descontainação de sinais de ECG por eio de transforadas wavelets, visando-se obter ua elhor relação sinal-ruído de saída e coparação co a de entrada. Os resultados deste trabalho fora publicados nos anais do XXVI Sipósio Brasileiro de Telecounicações (SBrT 8) realizado de 2 a 5 de Setebro no Rio de Janeiro tabé na fora de pôster. Para a realização deste estudo utiliza-se sinais de eletrocardiograa sintéticos, containados co ruído branco gaussiano ou co senóide. Esses sinais são descontai-

9 nados e a eficiência do étodo é edida por eio de coparações entre a entrada e saída do sistea sendo essa representada pelo ganho do processo. 9. ESTRUTURA DO TRABALHO O trabalho está estruturado e cinco capítulos e dois apêndices. No Capítulo 2 são abordados o sistea cardiovascular e o ECG, descrevendose a fisiologia do coração, alguas de suas possíveis patologias, a aquisição do ECG e suas características. O Capítulo 3 conté a definição da transforada wavelet e suas características, e especial as das faílias que faze parte das siulações deste trabalho. Mostra-se ainda o processo de wavelet shrinkage, que é o étodo utilizado para a descontainação dos sinais de ECG nas siulações. O Capítulo 4 apresenta as siulações de descontainação dos sinais de eletrocardiograa. O processo é realizado co o auxilio do prograa de siulações nuéricas Matlab, utilizando sua toolbox wavelets e por eio de algoritos desenvolvidos. Os resultados são ostrados e gráficos e que sua eficiência é edida por eio do ganho do sistea. O Capítulo 5 trata das conclusões do trabalho, ostrando os resultados coparativos entre as wavelets utilizadas be coo entre os níveis de decoposição e a relação sinal-ruído de entrada. O Apêndice A traz os prograas desenvolvidos para geração do sinal de Eletrocardiograa, sua containação e descontainação utilizados nas siulações do trabalho. O Apêndice B conté o artigo apresentado no XXVI Sipósio Brasileiro de Telecounicações be coo seu pôster.

10 2 SISTEMA CARDIOVASCULAR E ELETROCARDIOGRAMA As pesquisas realizadas ao longo dos séculos sobre o coração são uitas. Assunto de grande interesse foi alvo de iportantes pesquisadores coo Leonardo da Vinci, que afirou que este era u corpo uscular oco e Willian Harvey, édico inglês, que e 628 concluiu que o coração é o centro de u circuito sanguíneo fechado (SILIPO; MARCHESI, 998). Basicaente o coração é ua boba distribuidora de nutrientes para o corpo huano. Dado sua iportância e a de seu estado, vários exaes são realizados para se obter diagnósticos referentes ao coração, dentre eles o eletrocardiograa (ECG) que é considerado de grande iportância para sua análise (GESELOWITZ, 989). Na seção 2. são discutidos os estudos dos principais aspectos fisiológicos do coração, os distúrbios e possíveis probleas patológicos que pode ocorrer co este órgão. Na seção 2.2 são estudadas as características do sinal de ECG e sua aquisição, e na seção 2.3 a obtenção de u sinal de eletrocardiograa sintético. 2. FISIOLOGIA DO CORAÇÃO E DISTÚRBIOS CARDÍACOS O coração é o órgão responsável pelo bobeaento do sangue para o corpo todo. Sua estrutura externa é constituída pelo úsculo atrial, o úsculo ventricular e as fibras excitatórias e condutoras. Seu interior é dividido e 4 cavidades: átrios esquerdo e direito e ventrículos esquerdo e direito. Os átrios recebe o sangue e o distribui pelas veias e os ventrículos são responsáveis por bobear o sangue pelas artérias. Para controlar o sangue que circula pelo órgão existe 4 válvulas: tricúspide, itral, pulonar e a aórtica (RANGAY- YAN, 22). No Desenho são ostrados os coponentes do coração por eio de ua representação esqueática. Durante o intervalo de u batiento cardíaco são identificadas duas fases distintas de atuação cardíaca: sístole e diástole (RANGAYYAN, 22). A sístole é a fase de contração e que o sangue é bobeado da seguinte fora: o sangue venoso, co baixa concentração de oxigênio, do ventrículo direito passa pela válvula pulonar para que seja oxigenado nos pulões e o sangue arterial do ventrículo esquerdo

11 vai para a artéria através da válvula aórtica, para ser distribuída para todo o corpo (RAN- GAYYAN, 22). Desenho - Coponentes do coração Fonte: Rangayyan (22, p.8) A diástole é a fase de relaxaento do coração, o sangue preenche as cavidades de entrada. No processo o átrio direito coleta o sangue venoso das veias cavas superiores e inferiores e passa para o ventrículo direito através da válvula tricúspide durante a contração atrial. Siultaneaente o átrio esquerdo recebe o sangue arterial vindo dos pulões e o passa para o ventrículo esquerdo através da válvula itral (RANGAYYAN, 22; GESELOWITZ, 989). Os úsculos cardíacos contrae-se de odo diferente dos úsculos couns. Enquanto os úsculos couns são coandados por neurônios otores, os úsculos do coração são controlados por células arca-passo que se despolariza e repolariza espontaneaente gerando aos úsculos do coração u oviento rítico (RANGAYYAN, 22). O principal arca-passo se encontra no nó sinoatrial que se localiza na junção do átrio direito co a veia cava superior. O controle da taxa de batientos é deterinada pela presença de adrenalina ou aceticolina, sendo a prieira responsável pelo auento da taxa de batientos e a segunda responsável pela sua diinuição (RANGAYYAN, 22).. Existe ua variedade de probleas cardíacos, que pode-se detectar, observando distúrbios nos sisteas de condução elétrico e e regiões do coração, coo úsculos e

12 2 tecidos. As alterações patológicas pode ser divididas e 3 tipos principais: i) arritias, ii) isqueias e iii) alterações crônicas nas estruturas ecânicas do coração. A arritia é u problea na velocidade e no rito dos batientos cardíacos. Dois dos eventos indesejados são a geração ou extinção dos batientos quando encontra u tecido alterado, ou alteração na velocidade de condução desses batientos pelos tecidos do coração. Dependendo do caso, pode-se não ter u batiento hoogêneo, e que o batiento se direciona apenas para u lado do coração, coportando-se assi coo u bloco unidirecional. Os batientos tabé pode ficar circulando, forando circuitos fechados fazendo co que o coração se coporte de odo anoral. Alguns dos probleas relacionados a arritia que pode ser ocasionados por essas alterações são a taquicardia, que é o batiento acelerado do coração, a braquicardia, batiento lento do coração, e a fibrilação que é o batiento não rítico do coração (KILPATRICK, JOHNSTON, 994). A isqueia se caracteriza pela obstrução do sistea circulatório devido a presença de substâncias nos canais do sistea circulatório. Neste caso a entrega de nutrientes às células e tecidos corpóreos sofre diinuição devido ao fluxo insuficiente de sangue. Pode-se ter ua isqueia total, quando o fluxo arterial não é suficiente para anter a vida celular, e parcial quando se anté a vida celular, poré co enfraqueciento do tecido (KILPA- TRICK, JOHNSTON, 994). As alterações das estruturas ecânicas são caracterizadas por probleas nos úsculos e cavidades do coração. Seus taanhos e capacidades pode ser alterados gerando, por exeplo, u auento atrial e a hipertrofia do ventrículo esquerdo (KILPATRICK, JOHNSTON, 994). 2.2 ELETROCARDIOGRAMA Geralente as células são eletricaente polarizadas devido a seu interior apresentar potencial elétrico negativo e relação ao eio exterior. As células de úsculos e nervos são capazes, e u curto espaço de tepo de se despolarizare e voltar a seu estado noral de polarização. Devido a este fenôeno surge diferenças de potências por causa dos ovientos dos íons pela ebrana celular gerando correntes e capos elétricos pelo corpo (GESELOWITZ, 989). Para edir esses potenciais, eletrodos são colocados e pontos sobre o coração e ebros do corpo. Enquanto alguas células contribue co sua fase de despolarização,

13 3 outras estão e repouso e outras ainda e fase de repolarização. O sinal de ECG é representado pela soatória de todas essas anifestações geradas pela atividade do coração (GON- ÇALVES FILHO, 999) AQUISIÇÃO DO SINAL DE ELETROCARDIOGRAMA Para realizar a aquisição dos sinais de ECG são colocados eletrodos no braço esquerdo, direito, perna esquerda e no tórax. U eletrodo tabé é colocado na perna direita para servir de referência e retirar a interferência externa. Na prática os exaes de ECG são realizados co o paciente e atividades físicas, por esse otivo os eletrodos dos braços são colocados próxios ao tórax e os das pernas próxios ao abdôen para facilitar a ovientação do paciente. Esses pontos de colocação dos eletrodos não altera a qualidade do sinal obtido pois os potências nas extreidades dos ebros, tórax e abdôen são praticaente os esos dos pulsos e tornozelos (GOLÇALVES FILHO, 999). Os sinais de ECG são obtidos por eio de derivações. Cada ua das derivações é u arranjo de eletrodos ponderados alguas vezes co resistores. O sistea padrão é coposto por 2 derivações divididas e 3 grupos: as derivações bipolares, auentadas e precordiais (GESELOWITZ, 989). As derivações bipolares são copostas por sinais de diferença de potencial entre os ebros do corpo, enos o do sinal de referência da perna direita. A diferença de potencial entre os braços é denoinada coo derivação I, a diferença entre a perna esquerda e o braço direito é chaado de derivação II e a diferença entre a perna esquerda e o braço esquerdo é a derivação III. Essas derivações são ostradas no Diagraa. Diagraa - Derivações bipolares

14 4 As derivações auentadas e precordiais são obtidas e relação a ua referência chaada de terinal central de Wilson (WCT Wilson s Central Terinal). Ela é obtida por eio da junção das potências dos ebros por eio de resistores ligados a todos os eletrodos, enos o de referência da perna direita coo ostrado no Diagraa 2. Esse potencial é a édia da distribuição de potencial na superfície do tronco (GESELOWITZ, 989). Diagraa 2 WCT As derivações auentadas são obtidas entre a perna esquerda, braço direito, braço esquerdo e o WCT. O resistor ligado ao WCT referente ao ebro a ser edido é aberto e ligado diretaente ao aplificador operacional, o que causará u auento de 5% na aplitude do sinal. As derivações auentadas são conhecidas coo VR, que é a diferença entre o braço direito e o WCT, VL, diferença entre o braço esquerdo e o WCT e VF que representa a diferença entre a perna esquerda e o WCT. Essas derivações são ostradas no Diagraa 3. Diagraa 3 - Derivações auentadas As derivações bipolares e auentadas pode ser representadas confore o esquea deterinado coo triângulo de Einthoven. Esse se trata de u triângulo eqüilátero

15 5 forado pelas derivações I, II, e III. O baricentro do triângulo representa o WCT. O coração está localizado no centro do triângulo e cada ua das derivações ede ua projeção do vetor elétrico cardíaco. Sua aplitude é edida pela quantidade de assa uscular contraída e seu sentido é dado pelo espalhaento do ipulso de despolarização. Essas projeções perite que as atividades elétricas do coração seja analisadas a partir de diferentes perspectivas do plano frontal (RANGAYYAN, 22). Esquea - Triângulo de Einthoven As seis derivações precordiais são obtidas das diferenças de potencial entre as seis posições padronizadas do peito, representadas pelo diagraa 4, e do WCT. As derivações V e V2 são obtidas por eio da colocação do eletrodo no quarto espaço entre as costelas, à direita e à esquerda do esterno respectivaente. V4 é obtido a partir do quinto espaço entre as costelas do lado esquerdo, na linha édia da clavícula. V3 é obtida na posição édia entre V2 e V4. V5 e V6 são colocadas na esa altura que V4, as nas linhas anterior e do eio da axila respectivaente. Estas seis derivações perite a análise do vetor elétrico do coração a partir de diferentes orientações de u plano de secção cruzada. V5 e V6 são ais sensíveis à atividade do ventrículo esquerdo. V3 e V4 ostra a atividade do septo cardíaco (região entre cavidades) e V e V2 representa a atividade do lado direito do coração (RANGAYYAN, 22). Portanto o sinal de ECG é obtido na saída do aplificador operacional ostrado no Diagraa 4, sendo a soa de todas as derivações já citadas. Ua vez tendo este sinal, pode-se deterinar, por eio de suas características, patologias que pode ocorrer no coração (RANGAYYAN, 22). Deste odo se torna iportante o conheciento de sua orfologia para u correto diagnóstico.

16 6 Diagraa 4 - Derivações precordiais MORFOLOGIA DO SINAL DE ECG U sinal de ECG pode ser dividido e ondas segentos e intervalos. Cada u desses representa a evolução da atividade elétrica do coração que inicia ua contração uscular. No gráfico são ostrados os principais pontos do sinal de eletrocardiograa (MCSHARRY, 23). Os eleentos que copõe o sinal de eletrocardiograa pode ser descritos da seguinte aneira (MCSHARRY, 23; KILPATRICK, 994; GONÇALVES FILHO, 999): Onda P: O ciclo cardíaco inicia-se co a onde P, reflexo da ativação da usculatura atrial derivada de sua despolarização. Seu aspecto é arredondado, possui pequena aplitude e é siétrico. Sua duração noral é de aproxiadaente s e te aplitude áxia de,25 V. U auento da voltage ou tepo de duração desta onda indica ua anoalia atrial. Segento PR: Trecho da linha isoelétrica, conhecida tabé coo linha de base, que se inicia no final da onda P e acaba no início da deflexão do coplexo QRS. Ocorre devido ao tepo que o estíulo elétrico leva para atingir os ventrículos. Dependendo da freqüência cardíaca leva e torno de 2 a 2 s.

17 7 Coplexo QRS: está relacionado a despolarização ventricular. Sua fora de onda é variável co aior aplitude nas derivações precordiais. E pacientes adultos, sua duração varia entre 6 e s. Segento ST: é o trecho entre o final do coplexo QRS e o início da onda T. Representa o tepo e que os ventrículos estão e estado ativo e a repolarização ventricular pode ser iniciada. Pode possuir aspecto ligeiraente curvo voltado para cia, se que isto signifique ua anoalia. Onda T: representa a repolarização ventricular. Seu aspecto é arredondado e pode ser ligeiraente assiétrica co a borda de subida ais suave e relação à borda de descida. Coo segento ST te solução de continuidade co a onda T, é difícil distinguir co precisão o final do segento ST e o início da onda T. Assi coo o intervalo PR, o intervalo QT varia co a freqüência cardíaca. Intervalo QT: é o intervalo que corresponde ao início do coplexo QRS e ao final da onda T. Sua duração total é equivalente à duração total da sístole ventricular. Gráfico - Eleentos do sinal de eletrocardiograa

18 8 2.3 SINAL DE ELETROCARDIOGRAMA SINTÉTICO Pode-se extrair iportantes inforações clínicas analisando as coponentes do sinal de eletrocardiograa por eio da utilização de técnicas de processaento digital de sinais. Variações dessas coponentes revela iportantes características fisiológicas do paciente que está sendo subetido a esse exae (MCSHARRY, 23). Atualente novos algoritos de processaento de sinais bioédicos são desenvolvidos para sere aplicados e sinais de ECG de banco de dados eletrônicos que são obtidos por eio de aostras reais de pacientes, estando sujeito a variações e ruídos (MC- SHARRY, 23). É possível deterinar a eficiência de u certo étodo para u deterinado sinal, poré não se pode garantir seu funcionaento co diferentes níveis de ruído e freqüência de aostrage. Portanto tendo acesso a u sinal de ECG artificial realístico o desenvolviento desses algoritos pode ser facilitado (MCSHARRY, 23). Neste trabalho são utilizados sinais de ECG artificiais obtidos por eio de técnicas utilizadas por McSharry e Clifford co ua orfologia PQRST, ou seja, das coponentes do ECG, realista e já conhecidas dinâicas na taxa de batientos cardíacos (MC- SHARRY, 23). Para a obtenção do sinal ECG sintético é utilizado o algorito ecgsyn. desenvolvido para o prograa de siulações nuéricas Matlab. Esse algorito possui coo parâetros de saída o sinal de ECG e as posições dos eleentos do sinal definidos pela variável ipeaks (MCSHARRY, 23). Para se obter o sinal de ECG deve-se fornecer coo parâetros de entrada a freqüência de aostrage, o núero de batientos cardíacos, a quantidade de ruído aditivo, a taxa de batientos por inuto e o desvio padrão da taxa de batientos (MCSHARRY, 23). Para a aquisição do sinal de ECG neste trabalho, utilizando o algorito ecgsyn., fora usados os seguintes parâetros de entrada: i) freqüência de aostrage de 256 Hz, ii) 256 batientos cardíacos, iii) 6 batientos por inuto, iv) desvio padrão da taxa de batientos e ruído aditivos nulos. O propósito deste odelo é fornecer sinais de ECG padronizados que pode se gerados co estatísticas especificas coo as variações nos batientos cardíacos (MCSHAR- RY, 23).

19 9 Os gráficos 2 e 3 apresenta exeplos de u batiento cardíaco e u sinal de ECG containado co ruído branco gaussiano respectivaente, obtidos por eio do algorito citado..2 Sinal ECG.8 Aplitude (V) Tepo (s).4 Gráfico 2 Batiento cardíaco sintético Sinal de ECG co ruído.2.8 Aplitude (V) Tepo (s) Gráfico 3 Sinal de ECG sintético containado co ruído branco gaussiano

20 2 3 WAVELETS A análise de sinais constitui ua das ais iportantes ferraentas no processaento digital de sinais (OLIVEIRA, 27). Essa análise pode ser feita por eio das transforadas de Fourier, poré ela se torna ineficaz para deterinadas situações e que o sinal não é estacionário tendo variação de suas características estatísticas co o tepo, coo foi percebido por Alex Grossann e Jean Morlet enquanto analisava sinais geofísicos destinados a exploração do petróleo (OLIVEIRA, 27). Após essa constatação o conceito de wavelets foi introduzido no eio científico pela escola francesa tendo coo suas bases os pesquisadores Morlet, Grossann, Mallat, Meyer entre outros (OLIVEIRA, 27). Neste capítulo são apresentados as definições das transforadas wavelets, os tipos de wavelets utilizadas no trabalho por eio de gráficos e expressões e a descrição do processo de descontainação conhecido coo wavelet shrinkage. 3. TRANSFORMADA WAVELET Para introduzir a definição de transforada wavelet, é necessário relebrar alguas noções sobre decoposição de funções e séries. Considere inicialente ua função f contida no espaço L ( ) 2 R. Portanto, a energia da função f é liitada ao longo de todo o eixo dos reais, isto é (OLIVEIRA, 27): f ( t) 2 dt <. () Para o espaço L ( ) 2 R a nora e o produto escalar são definidos coo a seguir: f, g = f ( t) g( t) dt (2) f = f, f. (3) Se a função g possuir nora unitária, então o resultado do produto escalar entre f e g corresponderá à operação de projeção de f sobre g.

21 Considere, agora, u conjunto de funções ortonorais, ou seja, todos os vetores do conjunto possue nora igual a e ortogonais entre si, ψ ( t ), k N, forando u k 2 conjunto de vetores linearente independentes, tabé conhecido coo base, para o espaço L ( ) 2 R. Pela condição de ortogonalidade ψ, ψ =, para todo n. (4) n Define-se então a expansão da função f e ua série ortonoral coo sendo a cobinação linear das funções de base ψ ( t ) ponderadas pelas projeções de f sobre cada ua delas, isto é, (MALLAT, 999) k f ( t) = f, ψ. ψ ( t) = Fψ k =, (5) k k k k k = e que F = f, ψ, k N, define a transforada da função f. Dentro desta abordage, k k está o fato da base ψ ( t ) possuir suporte, que é o enor subconjunto fechado do doínio k onde a função não é nula, igual a toda extensão do eixo real, isto é, cada função de base ψ ( t ) decai a zero soente nos liites ±. No entanto, se a base possuir suporte liitado, decaindo para zero uito rapidaente, então ua eficiente aneira desta base cobrir o eixo dos reais é através de translações do tipo ψ, ( t) = ψ ( t l), l N (MALLAT, 999). k l k k Por fi, observando a base da transforada de Fourier, pode-se constatar que cada função de base as exponenciais coplexas é obtida a partir de siples dilatações na freqüência (OLIVEIRA, 27) jωt F( ω) = f ( t) e dt. (6) Reunindo estas duas propriedades dilatação e translação e u único protótipo de função de base, obte-se as funções wavelet contínuas ortonorais, e que as dilatações e as translações são dadas por duas variáveis noeadas a N e b R respectivaente, (KAISER, 994) ψ ( ) t b a, b t = a ψ a (7)

22 22 de fora que a transforada wavelet é definida coo (OLIVEIRA, 27) t b f, ψ a, b = f ( t). ψ dt a. (8) As versões discretas da transforada pode ser obtidas discretizando-se as dilatações e as translações. Assuindo dilatações binárias e translações unitárias, as funções de base wavelet torna-se (KAISER, 994) /2 ψ, n ( t) = 2 ψ (2 t n) (9) sendo que a = 2 e b n2 =. A transforada wavelet discreta será então definida coo f ( t) f, ψ. ψ ( t) =. () = n=, n, n Através do conceito de análise e ultiresolução, pode-se construir faílias de wavelets discretas e desenvolver algoritos rápidos para o cálculo da transforada. A análise e ultiresolução parte da existência de duas funções básicas, ua função wavelet ãe ψ ( t) e ua função de escala ãe ϕ ( t), ortogonais entre si e tais que, ao longo dos diversos níveis de resolução, as diversas funções de escala ϕ, ( t ) e wavelet ψ, ( t ) estão rela- n cionadas às respectivas funções ãe por eio da seguintes equações (MALLAT, 999): n /2 ϕ, n( t) = 2 ϕ(2 t n), () /2 ψ, n ( t) = 2 ψ (2 t n). (2) A relação entre os níveis de resolução pode ser descrita sob a fora de u a- ninhaento dos espaços de função, e que cada espaço de aior resolução conté os espaços de enor resolução, ou seja, (MALLAT, 999)... V V V V V... (3) 2 2 Cada espaço V é coberto pela faília de funções de base ϕ, n( t ) correspondente. As funções wavelet ψ, n( t ) estão contidas nos espaços W, sendo cada espaço W o

23 23 copleento ortogonal de V e relação ao espaço V +. Desta fora, escreve-se a relação entre dois níveis adjacentes de resolução coo (STRANG, 996) V = V + W. (4) e que o síbolo representa a operação de soa direta, que é a soa de dois subespaços vetoriais quando sua interjeição é nula. Ua vez que V e W estão contidos e V +, então abos os conjuntos de funções de base pode ser expressos coo cobinação linear das funções de base de V +, sendo cada ua delas ponderada pelos coeficientes h [ n ] e h [ n ], responsáveis pela relação de ortogonalidade entre as funções e definido coo:aa h n = ϕ ϕ (5) [ ],,, n Portanto (MALLAT, 999) ϕ ( t) = h [ k 2 n]. ϕ + ( t) (6), n, k k ψ ( t) = h [ k 2 n]. ϕ + ( t) (7), n, k k Estando a função f contida no espaço V +, então f pode ser expressa coo cobinação linear das funções de base ϕ, n( t + ). De fora siilar, projetando f e V e W e escrevendo estas projeções e função das bases de V e W, é possível relacionar as projeções de f e os diversos níveis de refinaento da seguinte fora: (DAUBECHIES, 99) a = f, ϕ a = f, ψ. (8) +, k +, k n, n Aplicando (6) e (7) na equação (8), obté-se: (9) a = f, ϕ = h [ k 2 n]. f, ϕ + = h [ k 2 n]. a +, n, n, k, k k k

24 e dado que V + é a soa direta dos espaços V e W. Pode-se expressar a base de 24 V + coo cobinação linear das bases de V e W e que cada ua delas está ponderada pelos coeficientes g [n] e g [n], responsáveis pela relação de ortogonalidade entre as funções e definido coo: g = ψ, ϕ (2) n,, n Então (MALLAT, 989) (2) ϕ + ( t) = g [ k 2 n]. ϕ ( t) + g [ k 2 n]. ψ ( t), k, n, n n n Os processos de síntese ou coposição e análise ou decoposição descritos anteriorente pode ser entendidos coo a aplicação de filtros passa-baixas e passa-altas seguidos de ua subaostrage na análise ou precedidos por ua superaostrage na síntese coo nos étodos de codificação de bandas (Subband Coding), e que os coeficientes { h [ n], h [ n] } e { g [ n], g [ n] } fora os bancos de filtros utilizados por estes étodos. Eles corresponde aos bancos de filtros de análise e de síntese respectivaente. Todas as expressões apresentadas até aqui sugere ua recursão, e que a projeção de f sobre V é decoposta e V e W, a projeção e V é decoposta sobre V 2 e W 2, e assi por diante. Cada projeção equivale a ua versão enos refinada da projeção anterior (STRANG, 996). Ua vez que as projeções nos espaços V e W são ortogonais entre si e copleentares e relação ao espaço V +, a reconstrução da função original através do processo de síntese é perfeita isto se não houver perdas entre a decoposição e a reconstrução (POOR- NACHANDRA, 27). 3.2 FAMÍLIAS DE WAVELET Baseado na análise de ultiresolução que estabelece os princípios básicos para a deterinação de ua wavelet, diversos pesquisadores desenvolvera estudos e criara sua própria faília de wavelets para resolução dos ais variados probleas (OLIVEIRA, 27). Neste trabalho são apresentadas 4 diferentes faílias de wavelets que serão utilizadas para as siulações sendo elas i) Daubechies, ii) Haar, iii) Coiflets e iv) Sylets (O- LIVEIRA, 27).

25 WAVELETS DE DAUBECHIES As wavelets de Daubechies são ua faília de wavelets ortogonais definindo ua transforada discreta wavelet e caracterizada pelo áxio núero de oentos nulos para u dado suporte, ou seja, oentos e que a função é nula. Co cada tipo de wavelet dessa classe há ua função base, chaada wavelet-ãe, que gera ua análise de ultiresolução ortogonal (OLIVEIRA, 27). Estas wavelets não possue ua expressão explícita para sua deterinação exceto para a wavelet Daubechies de nível, que tabé é conhecida coo wavelet de Haar. O Gráfico 4 ostra a fora da wavelet-ãe da faília de Daubechies de orde 9, que são as utilizadas neste trabalho, obtida por eio do coando wavefun...5 Wavelet Daubechies de orde Gráfico 4 - Wavelet de Daubechies k WAVELET DE HAAR A wavelet de haar é a prieira e ais siples das wavelets, se trata de ua wavelet descontinua lebra u degrau, e representa o eso que a de Daubechies nível. Ela pode ser considerada coo ua wavelet digital devido sua fora de onda parecer u pulso digital (OLIVEIRA, 27). Sua utilização é adequada para sinais que possue udanças abruptas de valores no decorrer do tepo e sua representação ateática é dada coo segue

26 26, se x [,.5[ ψ ( x) =, se x [.5,[, se x [,[ (22) O Gráfico 5 apresenta a wavelet de haar obtida por eio do coando wavefun..5 Wavelet de Haar k Gráfico 5 - Wavelet de Haar WAVELETS SYMLETS E COIFLETS Essas duas faílias de wavelets são provenientes das wavelets de Daubechies, e fora solicitadas por Ronald Coifa para a própria Ingrid Daubechies. Ela propôs odificações e suas wavelets que auentava a sietria se coproeter sua siplicidade. O conceito se resue basicaente e anter oentos nulos que é definido coo, = ψ ( x) dx = (23) E que ψ ( x) é a função wavelet, tanto para a função base, quanto para a wavelet-ãe (OLI- VEIRA, 27).

27 27 O Gráfico 6 apresenta a wavelet sylets de orde 2 e o Gráfico 7 apresenta a wavelet coiflets de orde 2. Abas as wavelets fora obtidas utilizando o coando wavefun..5 Wavelet Sylets k Gráfico 6 - Wavelet Sylets 2 Wavelet Coiflets k Gráfico 7 - Wavelet Coiflets

28 DESCONTAMINAÇÃO DE SINAIS VIA WAVELET SHRINKAGE É conhecido que no undo real não existe sinal se ruído. Esse ruído para propósitos práticos faz co que a interpretação dos sinais se torne ais difícil sendo necessário então a retirada do ruído. O sinal e que o ruído está contido é conhecido coo sinal containado e o processo para retirá-lo é chaado de descontainação (TASWELL, 2). Existe diferentes étodos para descontainação de sinais. U que ve causando grande ipacto na área de processaento de iage e sinais e a descontainação por eio de transforadas wavelets conhecido coo wavelet shrinkage (OLIVEIRA, 27). Não se deve confundir esse processo co ua suavização do sinal. Enquanto a suavização reove altas freqüências e antê as baixas, a descontainação visa reover qualquer ruído presente e anter o sinal se alteração, não retirando inforações por eliinação de ua deterinada faixa de freqüência (TASWELL, 2). A descontainação por wavelet shrinkage envolve a copressão do sinal no doínio das transforadas wavelets e é coposto por 3 etapas: i) decopor o sinal por eio de transforadas wavelets, ii) descontainar o sinal e iii) reconstruir o sinal por eio da transforada inversa wavelet (TASWELL, 2). Esse procediento distingue-se dos deais étodos de decontainação lineares por se tratar de u étodo não paraétrico, ou seja, não depende de parâetros estiados anteriorente para sua realização (TASWELL, 2). Assuindo u sinal qualquer s( t) adicionado a u ruído n( t ) te-se o sinal containado x( t ) representado coo x( t) = s( t) + n( t) (24) Ua vez tendo este sinal deve-se decopor o eso por eio de transforadas wavelets representada por W (.). O sinal decoposto e seus diversos níveis é subetido a aplicação de u liiar de corte, abrupto ou suave, λ (descrito posteriorente) que vai eliinar os coeficientes que esteja abaixo do eso, no caso de uso de u liiar abrupto, essa etapa é representada coo D(., λ ). Co os coeficientes indesejados retirados por eio da aplicação do liiar a transforada wavelet W (.) deve ser aplicada aos dados restantes para reconstrução do sinal se o ruído. Desta fora te-se os 3 passos descritos (TAS- WELL, 2): Y = W ( x) Z = D( Y, λ)

29 29 S = W ( Z) Dado u liiar λ para u dado Y o liiar suave não linear é definido coo D( Y, λ) sgn( Y) ax(, U λ) (25) Onde, sgn representa a função que retorna o sinal do núero real, ou seja,, se x < sgn =, se x =, se x > (26) O operador D anula todos os valores nos quais Y = λ e coprie para a o- rige do sinal por ua quantidade λ todos os valores deu para que U > λ. Por este últio aspecto é que o operador D passou a ser chaado não só de operador de liiar suave, as tabé de operador de copressão (TASWELL, 2). Para a deterinação do liiar de corte, supõe-se u sinal X que apresente taanho n e aostras e n pontos t tal que X X ( t ) ortogonal W e que haverá n coeficientes de transforada i i. Para ua transforada wavelet Y j, pode se usar u liiar que dependa apenas do taanho da aostra, coo u liiar universal ou iniax e pode-se usar os três passos para descontainação do sinal (DONOHO, 994). Entretanto se pretende usar u liiar adaptativo que dependa não apenas do copriento do sinal as tabé das características do sinal, deve-se incluir u novo passo no procediento, resultando assi e u processo de 4 passos coo segue (TASWELL, 2): Y = W ( X ) λ = d( Y ) Z = D( Y, λ) = S W Z ( ) A partir deste oento a etapa d(.) seleciona o liiar dependendo das características do nível da transforada que irá variar de nível para nível. Pode-se definir uitos diferentes tipos de procedientos de descontainação variando os tipos de transforadas wavelets e escolhas dos liiares de corte, e ainda definin-

30 do D s coo o liiar suave e 3 D h coo liiar abrupto cobinado-os co os tipos adaptativo ou fixo obte-se ainda ais possibilidades de procedientos (TASWELL, 2). Esse processo de descontainação foi desenvolvido por Donoho e Johnstone e eles introduzira pesquisas para deterinação do liiar coo o riskshrink, co o liiar iniax, e o visushrink co o liiar universal e discutira seu uso e foras fixas e adaptativas (DONOHO, 994).. Para se verificar qual a elhor escolha de liiar para o sinal que se está estudando deve conhecer a priori as características do sinal que se está trabalhando, que teoricaente pode ser deterinado para coparações e siulações. Deve-se analisar tabé qual procediento deseja-se usar, u liiar fixo para cada nível de decoposição ou u liiar variável (TASWELL, 2). Ua escolha possível de liiar fixo é o liiar universal representado pela e- quação 26 definido para níveis de l = a l = L (DONOHO, 994). λ = 2log n (27) U exeplo de liiar adaptativo é o liiar iniax, que busca a axiização do ganho ínio, e que te seu valor variado co o nível de decoposição (OLIVEI- RA, 27). 2log( K) σ T = (28) K T é o liiar de corte, K é o copriento do sinal no nível de decoposição que se está analisando, σ é o desvio padrão do ruído. Utilizando as inforações obtidas os sinais de eletrocardiograa artificiais são descontainados co o uso das técnicas de wavelet shrinkage utilizando liiares adaptativos para cada diferente nível de decoposição das transforadas wavelets. Essas siulações fora desenvolvidas co diferentes níveis de relação sinal-ruído de entrada.

31 3 4 SIMULAÇÕES Para avaliar o desepenho da descontainação de sinais de eletrocardiograa via wavelets fora realizadas siulações variando-se as faílias de wavelets utilizadas, as relações sinal-ruído de entrada e os níveis de decoposição. Para a análise de todos os fatores fora utilizados sinais de ECG sintéticos (MCSHARRY, 23), discutidos na seção 2.3, gerados no Matlab. São considerados dois casos:(i) interferência por ua senóide co freqüência de 6Hz siulando interferência da rede elétrica e (ii) ruído branco gaussiano siulando ruído experiental na aquisição do sinal 4. SINAL DE ENTRADA O sinal de entrada estudado é u sinal de ECG gerado artificialente pelo prograa ecgsyn. desenvolvido por Patrick McSharry e Gari Clifford (MCSHARRY, 23). O sinal de ECG obtido possui ua aplitude da orde de ilivolts e alguas características padrões, quando não alteradas pelo usuário são de ua freqüência de aostrage de 256 Hz, 256 batientos cardíacos, 6 batientos por inuto e se ruído aditivo. O Gráfico 8 apresenta o sinal de ECG utilizado para todas as siulações feitas. Esse sinal apresenta ua freqüência de aostrage de 256 Hz e 6 batientos cardíacos, poré serão ostrados apenas 4 para elhor visualização, os outros valores fora antidos os quais são discutidos na seção 2.3. A potência desse sinal é deterinada por = [ ] (29) N 2 Ps s k N k = e que N é o núero de aostras do sinal e s[ k ] é o valor do sinal e cada aostra k. 4.2 SINAL CONTAMINADO COM RUÍDO BRANCO GAUSSIANO Para se realizar as siulações de descontainação de sinais, u ruído deve ser adicionado ao sinal de ECG. Prieiraente utiliza-se u ruído branco gaussiano de édia nula.

32 32.2 Sinal ECG.8 Aplitude (V) tepo (s) Gráfico 8 Trecho de ECG sintético usado nas siulações Esse ruído é soado ao sinal de ECG gerado fazendo co que esse se torne u sinal containado. A potência do ruído é obtida por P P s r =, (3) SNRin e que P r representa a potência do ruído, P s é a potência do sinal e ruído de entrada desejada. SNR in é a relação sinal Co as potências dos sinais conhecidas deve-se realizar a noralização do sinal containado, coo descrito na seção 3.3 por eio de (OLIVEIRA, 27) s[ k] sn[ k] = (3) N 2 e que sn[ k ] é o sinal noralizado, s[ k] é o sinal original, N é o copriento do sinal original e é o núero de níveis de decoposição escolhido. Tendo o sinal noralizado deve-se aplicar o conceito de transforadas wavelets para a decoposição do sinal, confore seção 3.3. Essa decoposição é feita por eio de algoritos desenvolvidos para o prograa de siulação nuérica Matlab. Para efeito de siulações nesse trabalho, diversas variáveis são alteradas, coo por exeplo, o nível de decoposição, a relação sinal ruído de entrada e o tipo de wavelet utilizada, para que se tenha o aior núero de inforações possíveis para a verificação de qual a elhor alternativa para o étodo utilizado.

33 Ua vez o sinal decoposto, deve-se aplicar, para os coeficientes de detalhe de cada nível de decoposição, o liiar definido coo T 33 2log( K) σ = (32) K e que T é o liiar de corte, K é o copriento do sinal no nível de decoposição que se está analisando, σ é a potência édia do ruído, expressão essa que visa axiizar o ganho ínio. Os valores que estão abaixo do liiar são cortados e descartados da recoposição do sinal, restando apenas os coeficientes que encontre acia desse valor para se recuperar o sinal original. O uso desse liiar nessa aplicação é conhecido coo liiar abrupto (hard threshold) (TASWELL, 2). Após a aplicação do liiar os coeficientes de detalhe restantes de todos os níveis deve ser soados aos coeficientes de aproxiação do aior nível de decoposição. Isso proporciona a recuperação do sinal previaente containado, poré ainda noralizado. Deve-se ainda ultiplicar o sinal recuperado pelo eso fator de noralização utilizado anteriorente o que encerra o processo. Após o processo finalizado deve-se definir o parâetro para que se verifique a eficiência do étodo. O parâetro analisado nesse trabalho, o ganho G do sistea, é definido por G = SNR ( db) SNR ( db). (33) in out O valor de entrada é conhecido, pois é fornecido coo dado de entrada, enquanto a relação sinal ruído de saída é calcula a partir da relação da potência do sinal de saída calculada confore expressão (32) e a potência de ruído do sinal recuperado que é a diferença do sinal original e do sinal recuperado desnoralizado coo ostrado e (35). E que, Psrec P s k N 2 srec = srec[ ] (34) N k = é a potência do sinal recuperado após a desnoralização, N é o copriento do sinal recuperado e ssrec[ k ] é o valor do sinal no ponto k. P = S S (35) ' r rec Prieiraente o valor da relação sinal ruído de entrada é fixado e db, variando-se o núero de níveis de decoposição. Verifica-se que todas as faílias wave-

34 34 lets utilizadas apresenta u elhor rendiento co 3 níveis de decoposição sendo que wavelet de Daubechies de orde 9 se destaca e relação as deais independente do nível analisado. Verifica-se essa situação no Gráfico 9. Gráfico 9 - Variação do ganho de cada wavelet variando-se o núero de níveis de decoposição Utilizando as inforações obtidas no Gráfico 9, é fixado o nível que obteve elhores resultados, ou seja, 3 níveis de decoposição.os valores da relação sinal ruído de entrada irão variar de -db a db. Verifica-se novaente que a faília de wavelets Daubechies de orde 9 apresenta resultados superiores as deais para qualquer relação sinal ruído de entrada. U fato interessante de se observar é o rápido decaiento da wavelet de haar a partir da relação sinalruído de entrada de -6dB já que tinha valores siilares a wavelet db9 e co aiores valores de SNR in foi a única a ter valores negativos. Esse fato se deve ao processo eliinar inforações do sinal, e quando a SNR in é aior, o sinal se sobrepõe ao ruído resultando na perca de inforações do sinal e não do ruído. Essas inforações são ostradas no Gráfico. Para visualização dos resultados do sistea é representado no gráfico ua coparação entre o sinal original de ECG, o sinal containado e o sinal recuperado co o uso dos tipos de wavelets estudados, nas condições onde se te ua elhor visualização do sinal de ECG containado e recuperado. Os valores são fixados nua relação sinal ruído de entrada de db e serão utilizados 3 níveis de decoposição.

35 Ganho 4 2 coif2 db9 haar sy SNR in db Gráfico - Variação do ganho de cada wavelet variando-se a relação sinal ruído de entrada 4.3 SINAL CONTAMINADO COM SENÓIDE Nesta seção do trabalho os sinais de eletrocardiograa são containados co ua senóide de 6 Hz siulando ua possível interferência da rede elétrica e que o aparelho de aquisição do ECG possa estar ligado. As etapas do processo de descontainação peranecerão as esas que fora utilizadas para o sinal co ruído branco aditivo, ou seja, poderá utilizar-se todos os parâetros e o prograa já citados alterando apenas a fora de ruído. confore expressão: A senóide que containa o sinal terá ua freqüência de 6 Hz e é definido E que Rsen e n é o ponto de aostra do sinal original de ECG. sen ( ) R [ n] = σ 2 cos(2π n) (36) é a senóide que containa o sinal, σ é o desvio padrão do ruído O prieiro teste será feito fixando a relação sinal-ruído de entrada e db e variando o nível de decoposição de até 5. As faílias wavelets utilizadas peranece as esas. O gráfico 2 ostra que se obté ganhos de até 4 db utilizando a wavelet db9 o que é u valor considerável quando se copara co a wavelet de haar e que seu ganho não ultrapassa 5dB. Pode-se perceber tabé que todas as wavelets apresenta os seus aiores

36 ganhos utilizando 2 níveis de decoposição e que a wavelet db9 é superior as deais para qualquer quantidade de níveis utilizados a).4 b) Aplitude (V) Aplitude (V) tepo (s) tepo (s).4 c).4 d) Aplitude (V) Aplitude (V) tepo (s) tepo (s).4 e).4 f) Aplitude (V) Aplitude (V) tepo (s) tepo (s) Gráfico - a) sinal original, b) sinal containado co SNR = db, c) sinal recuperado co db9, d) Gráfico 5 Coparação entre o sinal original a), sinal containado b) e sinal recuperado c). sinal recuperado co haar, e) sinal recuperado co sy2 e f) sinal recuperado co coif2

37 37 Gráfico 2 - Variação do ganho de cada wavelet variando-se o núero de níveis de decoposição Seguindo o eso raciocínio da seção 4.2, o núero de níveis de decoposição será fixado no que apresentou os elhores resultados e a relação sinal ruído de entrada irá variar de -db a db. Pode-se perceber que novaente a wavelet db9 apresenta os elhores resultados para qualquer situação e que a wavelet haar apresenta resultado inferior para todas as aplicações aqui ostradas. É interessante perceber que todas as wavelets decae de fora siilar co o auento da relação sinal ruído de entrada. Essas inforações são ostradas no Gráfico Ganho haar db9 coif2 sy SNR in db Gráfico 3 - Variação do ganho de cada wavelet variando-se a relação sinal ruído de entrada

38 38 Para a visualização dos resultados apresentados, o gráfico 4 apresenta ua coparação entre o sinal original, o sinal containado e o sinal recuperado. Para a obtenção desses gráficos, fixa-se a relação sinal ruído e db, o núero de níveis de decoposição e 2 e utiliza-se todas as faílias de wavelets estudadas..5 a).5 b) Aplitude (V).5 Aplitude (V) tepo (s) tepo (s).5 c).5 d) Aplitude (V).5 Aplitude (V) tepo (s) tepo (s).5 e).5 f) Aplitude (V).5 Aplitude (V) tepo (s) tepo (s) Gráfico 4 - a) sinal original, b) sinal containado SNR = db, c) sinal recuperado co db9, d) sinal recuperado co haar, e) sinal recuperado co sy2 e f) sinal recuperado co coif2 in O gráfico 5 apresenta ua coparação entre o erro do sinal containado co ruído branco gaussiano e do sinal recuperado e relação ao original, fixando a decoposição e 2 níveis, utilizando a wavelet db9 e ua SNR in de db.

39 39 a).5 s(t).5 b) tepo (s).5 s'(t) tepo (s) c).5 s r (t) tepo (s) d).5 s'(t)-s(t).5 e) tepo (s).5 s r (t)-s(t) tepo (s) Gráfico 5 - Sinais de eletrocardiograa: a) sinal original; b) Sinal containado; c) sinal recuperado; d) erro entre o sinal original e o containado; e) erro entre o sinal original e o recuperado. Co os dados obtidos e todas as siulações, pode-se verificar que a descontainação por eio de transforadas wavelets é eficiente e boa parte dos casos, ou seja, sepre parte do ruído que containava o sinal é retirado elhorando na qualidade do sinal recuperado. Essa característica não é verificada apenas para sinais containados co ruído branco gaussiano e descontainado co wavelet da faília haar para relações sinal ruído de entrada aiores que 8 db.