MATEMÁTICA ENEM 2009

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1 MATEMÁTICA ENEM 2009 PROF. MARCELO CÓSER Essa apresentação pode ser baixada em

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3 QUESTÃO COM MAIOR INDÍCE DE ERRO! ATENÇÃO PARA A PERGUNTA... Área plantada (em hectare), Produção (em toneladas) e Produtividade (em kg/hectare) são conceitos diferentes, basta analisar suas respectivas unidades. Produtividade no período Produção no período

4 O conceito de ÁREA PLANTADA deve ser obtido a partir da Produtividade e da Produção: 95 Produção (em t) Produtividade (em t/hectare) 1,5 Área Plantada (em hectare) Em 1995, a Produtividade foi de kg/hectare. Ou seja, cada hectare em média produziu kg (1,5 toneladas). Como foram produzidas toneladas de algodão, a área plantada foi de /1,5 = hectares ,5 2,5 2, Dessa forma, a ÁREA PLANTADA é obtida da divisão da Produção (em kg) pela Produtividade (em kg/hectare).

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6 km Quito Cingapura Quito km Cingapura 2 R km d , km t 25h km / h

7 x 3 cm 3 cm

8 DICA: Lembrar da razão de semelhança para área e volume em polígonos/sólidos semelhantes. ( COMP ) 2 GRANDE ÁREAGRANDE = COMPGRANDE VOLUMEGRANDE = COMPPEQUENO ÁREA COMP VOLUME PEQUENO ( ) 3 PEQUENO PEQUENO ARESTA ARESTA A REAGRANDE A REAPEQUENO GRANDE PEQUENO 2 VOLUMEGRANDE VOLUME PEQUENO Exemplo de questão: Um fazendeiro deseja dobrar a capacidade de irrigação na sua plantação. Para isso, decide dobrar o raio de cada cano. A solução é eficaz? Não, pois dobrando uma medida de comprimento quadruplica-se a área correspondente. Ele deveria multiplicar o raio por, já que

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10 A COBERTURA A COBERTURA 2 R km 2 x PROB "INTERESSA" TOTAL P 157 0, P 25%

11 MÉDIA ARITMÉTICA SOMA NÚMERO DOS DE VALORES ELEMENTOS x x x x 1500

12 A MÉDIA de um conjunto de valores é o valor que, aplicado a todos os elementos, resulta no mesmo que o total do conjunto de valores distintos. No exercício anterior, se o último funcionário fosse contratado com um salário de R$ 1.500, a média salarial seria de R$ Ou seja, os 10 funcionários com salários distintos resultariam no mesmo gasto salarial que se teria com os 10 funcionários ganhando salários iguais a R$ cada um. ATENÇÃO: nem toda média é aritmética. As médias aritméticas não se aplicam a todas as situações. VARIAÇÃO PERCENTUAL FATOR DE VARIAÇÃO Exemplo: No primeiro bimestre de 2009, as ações de certa companhia valorizaram 21%. Qual foi a valorização percentual mensal média? Um aumento de 21% tem fator de variação 100% + 21% = 121% = 1,21. Assim, o valor da ação após um aumento de 21% é 1,21V, onde V é o valor anterior. Ou seja, para calcular a variação percentual média é preciso calcular o fator f que aplicado duas vezes ao valor inicial V resulta em 1,21V. O FATOR DE VARIAÇÃO é obtido somando ou subtraindo a variação desejada a 100%. A variação é obtida a partir da MULTIPLICAÇÃO pelo fator de variação. f f f 2 f V 1,21 1,21 1,21 V f 1,1 1,1 110% 10% ao mês

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14 x 60% de ferro na mistura F = 0,6M Metade da quantidade de ferro é retirada F = 0,3M, onde a nova quantidade de material na mistura é 0,7M, já que 30% do total foi retirado. Logo, a porcentagem de ferro na mistura obtida é dada por 0,3M é o total de ferro e 0,7M é a quantidade total na mistura. Logo, 0,3M 0,7M 0,3 0, , ,85% 0,3M 0,7M, onde

15 Nos 50 litros do tanque, 2,5 litros são de álcool anidro puro e 47,5 litros são de uma mistura entre gasolina e álcool anidro. Como 20% dessa mistura é álcool, temos 0,2 47,5 = 9,5 litros de álcool nela. Ou seja, no tanque de 50 litros terá 9,5 + 2,5 = 12 litros de álcool anidro. Ou 12 0, % seja, o teor de álcool anidro será.

16 x 5% de 40 bilhões é 0,05 40 = 2 bilhões. Ou seja, esses 2 bilhões de litros não precisariam mais ser importados, gerando uma economia de 2 bilhões 0,18 = 360 milhões de dólares.

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18 3 a Resolução algébrica 2001; 23 p n 2004; 47 p n 24 p x b a b a a a a 8 b p n n Resolução Conceitual Funções de 1º grau são utilizadas para dar conta de situações onde a variação é constante. No caso, em 3 anos o aumento do preço do barril foi de US$ 24. Ou seja, o aumento anual foi de US$ 8. Assim, em 2006 o preço será = US$ 63

19 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Problemas periódicos FUNÇÕES EXPONENCIAS/LOGARÍTIMICAS Taxa de Variação é constante Exemplo: A água de uma caixa d água cheia, com capacidade para litros, foi tratada com 1000g de cloro. Água pura (sem cloro) continua a ser colocada na piscina a uma vazão constante, sendo o excesso eliminado através de um ladrão. Depois de uma hora, um teste revela que ainda restam 900g de cloro na piscina. Que quantidade de cloro restará na piscina 10 horas após sua colocação? Água pura Água com cloro Repare que, em uma hora, a quantidade de cloro retirada foi de 100g. No entanto, é incorreto afirmar que a cada hora o comportamento será o mesmo, já que a quantidade de cloro que sai é proporcional à quantidade de cloro existente. Ou seja, uma abordagem mais adequada para o problema diz que, a cada hora, a quantidade de cloro existente na piscina reduz em 10%, já que foram perdidas 100g das 1000g iniciais. 10 reduções de 10% Q = ,9 0,9 0,9 0,9 = ,9 10 = 348,68 g. Q(x) = ,9 x

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21 x Branca ou Preta 0 ou 1 Branca ou Preta 0 ou 1 Branca ou Preta 0 ou 1 Igual à 2ª Barra Igual à 1ª Barra = (todas brancas ou todas pretas) = 6

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