Correia Diogo ELASTÓMEROS. log爔 妀㔰. Comportamento elástico para pequenas e grandes deformações. Instituto Superior Técnico 2008

Transcrição

1 ງ Correia Diogo ҡѡa. log爔 妀㔰 ELASTÓMEROS Comportamento elástico para pequenas e grandes deformações Instituto Superior Técnico 8

2 A. Correia Diogo Elastómeros

3 A. Correia Diogo Elastómeros. Introdução. Introdução. Elastómeros são materiais que apresentam um comportamento mecânico semelhante ao da borracha vulcanizada. Esse comportamento é observado num dado intervalo de temperatura ou, mais rigorosamente, num dado intervalo de temperatura e frequência. As principais características pretendidas são as seguintes. Flexibilidade: o módulo de Young (E) e o módulo de distorção (G) são geralmente da ordem de grandeza de. a MPa. Deformabilidade: um provete deve suportar deformações muito elevadas sem ruptura. O alongamento à ruptura apresenta valores substancialmente elevados (-4%) podendo atingir valores como 8% ou ainda mais. Resiliência: um provete deve ser capaz de recuperar quase totalmente a sua forma inicial, depois de submetido a uma deformação relativamente elevada, durante um dado intervalo de tempo. Strictu sensu, resiliência é o quociente entre a energia restituída pelo provete ao recuperar a forma inicial e a energia utilizada para o deformar (energia de deformação). A realização de um elastómero efectua-se através da formação de uma rede tridimensional (reticulação) de cadeias poliméricas, com um grau de reticulação superior a um dado valor crítico, o grau de reticulação no ponto gel. Um elastómero é um sólido polimérico suficientemente reticulado. A reticulação tem que ser suficiente para que o material se comporte como um sólido viscoelástico, isto é, que o módulo de equilíbrio não seja nulo; caso contrário tratar-se-á de um líquido viscoelástico e não de um elastómero. Por outro lado, a reticulação não pode ser excessiva, para que persista uma relaxação vítrea bem definida ( transição vítrea), abaixo da região de temperatura em que as características de elastómero são observadas: as cadeias conservam assim uma acentuada mobilidade à escala local, isto é, para distâncias inferiores à distância característica entre pontos de reticulação consecutivos. Nos casos em que a reticulação seja tão intensa que a mobilidade local dos monómeros seja substancialmente inibida, então tratar-se-á de um termoendurecível. O intervalo de temperatura em que se verifica o comportamento de elastómero varia assim entre um valor mínimo de referência, um pouco acima da relaxação vítrea, e uma outra temperatura de referência em que cessa a eficácia da reticulação, seja por ruptura das cadeias poliméricas devida a um qualquer mecanismo de degradação, seja por destruição dos próprios pontos de reticulação, resultante de processos diversos de natureza química ou física. 3

4 A. Correia Diogo Elastómeros. Introdução Os processos de reticulação compreendem dois tipos distintos. A reticulação química (irreversível) em que a união entre as diferentes cadeias se efectua através de reacções químicas entre grupos presentes nessas cadeias, com formação de novas ligações químicas que vão impedir a mobilidade das cadeias a longa distância. A reticulação física (reversível), em que as restrições à mobilidade das cadeias são causadas por interacções de natureza física (cristalização, ligações hidrogénio, adesão (física) a cargas minerais, etc.), sem formação de ligações químicas. Exemplos de processos de reticulação química (irreversível) são os que são utilizados na produção dos elastómeros (borrachas) comuns: a vulcanização lato sensu, que inclui: a vulcanização propriamente dita (com enxofre), em que este ataca ligações duplas (insaturadas) presentes, com formação de pontes de enxofre entre cadeias diferentes; a vulcanização radicalar, que consiste no ataque, por via radicalar, a ligações saturadas (poli-siloxanos, poli-alcanos,...), a vulcanização com óxidos metálicos, mais utilizada em elastómeros polares (policloroprenos, poli-epicloridrinas, polietileno clorossulfonado, ) a ; a utilização de agentes reticulantes (monómeros reactivos) com funcionalidade superior a utilização de cargas activas. Exemplos de reticulação física são os elastómeros termoplásticos, em que a reticulação física (reversível) pode ser causada por: efeito da segregação entre os componentes de um copolímero em blocos; o material apresenta comportamento de elastómero num dado intervalo de temperatura entre as temperaturas de transição vítrea dos seus componentes, T g e T g ; acima de T g apresenta o comportamento de um termoplástico (p. ex., a processabilidade de um termoplástico); efeito da cristalização parcial em materiais poliméricos, com sequências estereorregulares diferentes na mesma cadeia; efeito da adesão (predominantemente física) a cargas de enchimento ou de reforço, conjugada com o entrelaçamentos das próprias cadeias macromoleculares. 4

5 A. Correia Diogo Elastómeros. Introdução Comercialmente, a designação elastómeros termoplásticos refere-se predominantemente àqueles obtidos por segregação (copolímeros em blocos). Em geral, consideram-se as seguintes classes de elastómeros termoplásticos (por ordem crescente de preço e aptidão em serviço): elastómeros termoplásticos estirénicos (TPS) - constituídos por copolímeros em blocos de estireno, lineares ou ramificados: estireno-butadieno-estireno (SBS), estireno-isoprenoestireno (SIS), estireno-etileno-butileno-estireno, estireno-(etileno-propileno)-estireno, etc.; elastómeros termoplásticos olefínicos (TPO) - misturas de polipropileno (PP), elastómero de etileno-propileno (EPDM), polietileno (PE) com cargas e aditivos; ligas de elastómeros termoplásticos, constituídas por: termoplásticos vulcanizados (TPV) - mistura bicomponente de elastómero e de um termoplástico, em que o elastómero está fortemente vulcanizada (elastómero de etilenopropileno EPDM finamente disperso em PP, ou borracha de nitrilo NBR dispersa em PP); termoplásticos reticulados (X-TPL) - ligas de copolímeros de etileno com PP ou PE, reticulados in situ; borracha processável em fundido (MPR melt processable rubber) - liga monofásica de copolímeros de etileno e poliolefinas clorados, reticulada in situ; poliuretanos termoplásticos (TPU) - copolímeros em blocos constituídos por segmentos alternadamente rígidos (di-isocianatos aromáticos) e flexíveis (polióis). Os polióis podem dividir-se nas seguintes categorias: poliéster-dióis, constituídos por poliésteres com hidroxilos terminais, que dão origem a TPU com maior tenacidade mas que se hidrolisam e degradam em presença de água; poliéter-dióis, constituídos por poliéteres com hidroxilos terminais, cujos TPU não são susceptíveis a hidrólise ou biodegradação; uma terceira categoria, constituída pelos ésteres TPU derivados da policaprolactona, os quais apresentam uma resistência à hidrólise superior à dos ésteres TPU. elastómeros termoplásticos de engenharia (ETE) - copolímeros em blocos de poliésteres com segmentos rígidos (cristalizáveis) e cadeias flexíveis (amorfas). poliamidas termoplásticas - copolímeros de poliamidas constituídas por segmentos rígidos (cristalizáveis) e cadeias flexíveis (amorfas). 5

6 A. Correia Diogo Elastómeros. Introdução Uma das principais características das borrachas (elastómeros), a flexibilidade, deve-se ao facto de o valor dos módulos de Young E e de distorção G ser muito menor (em cerca de três ordens de grandeza) que o valor do módulo de compressão K (que é o inverso da compressibilidade). Para um material isótropo tem-se, por definição: (. ν) ( + ν) E G. K = = 3. 3.(. ν) (.) onde ν é o coeficiente de Poisson. Quando K/E ou K/G tendem para infinito, então necessariamente (.ν) tende para zero, isto é, o coeficiente de Poisson ν tende para /, o qual é o valor do coeficiente de Poisson para materiais incompressíveis. Os valores típicos da razão K/E para as borrachas são da ordem de 3 (K ~ 9 Pa, E ~ 6 Pa) o que implica, atendendo à equação anterior, ν ~ /. Como consequência, uma borracha pode ser considerada como incompressível em praticamente todas as situações, com excepção daquelas que envolvam compressão triaxial. De outras características importantes das borrachas citam-se a deformabilidade, isto é, a capacidade de suportarem deformações muito elevadas sem ruptura (os valores correntes podem atingir, com facilidade, várias vezes as dimensões iniciais do provete) e, para além disso, com um elevado grau de recuperação do estado inicial (resiliência). Como exemplo, na Figura.. apresentam-se os resultados de um ensaio de tracção numa borracha vulcanizada, em que o comprimento final do provete atingiu mais de sete vezes o seu comprimento inicial. Para tais valores da deformação já não faz sentido falar em deformações infinitesimais. Assim, ao formular uma teoria da elasticidade da borracha só tem sentido considerar deformações finitas, devendo exprimir-se em função dessas deformações finitas, as diferentes grandezas utilizadas para caracterizar os elastómeros (tensões, etc.). Finalmente, qualquer modelo ou teorização da elasticidade dos elastómeros deverá poder prever os elevados valores da recuperação elástica e da resiliência observados nestes materiais. 6

7 A. Correia Diogo Elastómeros. Introdução força /N 5 Elastómero:ensaio de tracção razão de extensão Figura.. - Força exercida nas amarras versus razão de extensão, para um ensaio de tracção numa borracha vulcanizada. 7

8 A. Correia Diogo Elastómeros. Deformações finitas.. Deformações finitas. Consideremos um meio deformável constituído por um conjunto de pontos materiais. Dada uma base ortonormada de vectores δ i fixos no espaço (i =,, 3), consideremos o ponto material X situado no ponto P do espaço cujas coordenadas são x i ; um ponto material vizinho, X+dX, situado em P+dP, tem coordenadas (x i + dx i ) nessa mesma base. Por agora, as designações X, X+dX, etc., devem entender-se apenas como rótulos que permitem identificar cada um dos pontos materiais que constituem esse meio. Cada ponto material X percorre sucessivamente um conjunto de posições do espaço, designado por trajectória de X. O conjunto das trajectórias de cada um dos pontos materiais do meio é parametrizado por um único parâmetro de controlo t. O conjunto das posições dos pontos materiais do meio para um dado valor fixo de t designa-se por configuração. Numa dada configuração desse meio deformável, o quadrado da distância entre os pontos materiais X e X+dX vale: (dp.dp) = ( ds) ( dx) + ( dx ) + ( dx3) = δrs.dxr.dxs = (.) onde se utilizou a convenção de Einstein da soma implícita sobre índices repetidos, omitindo o sinal de somatório. δ 3 ( ) ( ) ( ). dx. dx δ. dx. dx = dx + dx + dx rs r s rs r s r= s= 3 Daqui para diante será sempre usada essa convenção, salvo indicação expressa em contrário. Consideremos uma outra configuração desse meio deformável, que possa ser relacionada com a primeira através de uma deformação (transformação contínua, diferenciável,...). Nesta outra configuração, o ponto material X ocupa o ponto P' do espaço cujas coordenadas são x' i ; do mesmo modo, o ponto material vizinho, X+dX, ocupa o ponto do espaço P' + dp' cujas coordenadas são (x' i + dx' i ). Para esta segunda configuração, o quadrado da distância entre os pontos materiais X e X+dX vale ( ds' ) = ( dx' ) + ( dx' ) + ( dx' 3 ) = ij.dx' i.dx' j ( dp'.dp' ) = δ (.) Por convenção, associaremos o valor t do parâmetro de controle à configuração descrita pelas coordenadas x i e o valor t à configuração descrita pelas coordenadas x i. Em geral, toma-se o tempo como parâmetro de controlo. 3 8

9 A. Correia Diogo Elastómeros. Deformações finitas. Há diversas maneiras de caracterizar uma deformação. A mais simples consiste em explicitar a relação entre pontos correspondentes de cada uma das configurações, através das funções de deslocamento x(x') ou x (x). As funções de deslocamento têm o inconveniente de também descrever situações em que não há deformação, como são os casos da translação de corpo rígido ou da rotação de corpo rígido, situações nas quais as distâncias mútuas entre pontos materiais não são alteradas (não há deformação). Alternativamente, sendo x e x' os vectores que descrevem respectivamente as posições dos pontos do espaço P e P', a deformação pode descrever-se através da transformação x x' = F. x ou da transformação inversa x ' i F ij = (.3a) x j x x x = F j. x ' ( F ) = (.3b) ji x ' As quantidades F ij e (F ) ji representam tensores de ª ordem que descrevem a variação de forma e de orientação de um elemento de volume sujeito às transformação (.3a) ou (.3b). i y+ dy P+ dp u(p + dp ) dp y y + dy y P + dp dp P u(p ) P x x + dx x x +dx Figura..- Deformação de um meio material. 9

10 A. Correia Diogo Elastómeros. Deformações finitas. Define-se o tensor gradiente da deformação F do seguinte modo: dx ' = F.dx i ij j F ij x ' i = (.4) x j De todas as maneiras que se possam imaginar para descrever uma deformação (modificação das distâncias mútuas entre pontos materiais), são particularmente convenientes aquelas que apenas dependam do estado de deformação do material, e sejam independentes do referencial particular escolhido para escrever as coordenadas dos pontos materiais, bem como de rotações e translações de corpo rígido. Por exemplo, é fácil verificar que o gradiente da deformação F, ou o seu inverso, F, variam por aplicação de uma rotação de corpo rígido, caso esse em que a deformação é nula. A transformação F envolve simultaneamente extensões/contracções (U,V) e rotações (R), e pode ser decomposta do seguinte modo: F = V.R (decomposição polar esquerda) ou F = R.U (decomposição polar direita). Como é sabido, uma rotação de corpo rígido é descrita por uma matriz ortogonal R tal que (R.R T = R T.R = δ), onde δ representa a matriz-identidade. Visto que as rotações não contribuem para a deformação, para eliminá-las consideram-se produtos tais como F Τ.F = U T.U, F.F T = V.V T, ou os seus inversos. Combinações deste tipo descrevem extensões/contracções do meio deformável (deformações finitas), que podem caracterizar-se completamente através de qualquer dos seguintes tensores: tensor das deformações de Cauchy-Green direito (tensor de Cauchy) C = F Τ.F = U T.U = x ' x k i x '. x k j (.5) tensor das deformações de Cauchy-Green esquerdo (tensor de Green) Β = F.F Τ = V.V T = x ' x ' i j. x x k k (.6) tensor das deformações de Finger C = (F ).(.(F ) T = (F T.F ) = U = tensor das deformações de Piola B = (F ( ) Τ.(F ) = (F.F Τ ) = V = x i. x ' i k x j x ' xk xk. x ' x ' j k (.7) (.8) Na ausência de deformação, qualquer destes tensores é igual à matriz identidade.

11 A. Correia Diogo Elastómeros. Deformações finitas. Pode demonstrar-se que os valores próprios dos tensores U e V são as extensões principais, e que os vectores próprios de U e V se encontram relacionados através da transformação R (note-se que, se R.U = V.R então U = R -.V.R). Por essa razão, os tensores U e V são denominados tensores das extensões direito e esquerdo, respectivamente. Um outro exemplo de uma grandeza obedecendo ao critério de independência do referencial escolhido, é o quadrado da distância entre dois pontos materiais, X e X+dX, infinitesimalmente próximos: ds em t, ds em t. Um valor não nulo de (ds ) (ds) implica que tenha havido alteração das distâncias mútuas entre pontos materiais, isto é, que tenha havido uma deformação. Assim, um modo possível de caracterizar a deformação consiste em exprimir (ds ) (ds) em função das quantidades dx j, por exemplo. Como tem-se dx ' r x ' r =.dx x i i (.9) x ' x ' ds' = dx '.dx '. δ =.dx..dx. δ ( ) r s e, por conseguinte: ( ) ( ) r s rs i j rs xi x j =dx T.F T.F.dx (.) x ' r x ' r ds' ds =. ij.dx i.dx j =. ij.dx i.dx j xi x δ E (.) j As quantidades E ij são as componentes de um tensor simétrico de ª ordem, o tensor das deformações finitas, também designado tensor de Green, tensor de Green-St.Vénant, tensor de Green-Lagrange, tensor lagrangeano das deformações finitas (apesar de Lagrange nunca o ter utilizado ). O tensor E ij é nulo se não houver deformação. Note-se que:.e ij = F ri. F rj δ ij = F Τ.F δ = C ij δ ij (.) Se definirmos o vector deslocamento u tal que u = PP ' u = x ' x (u = x ' x,...) (.3) i i i x então o tensor das deformações finitas pode igualmente ser calculado a partir dos vectores deslocamento u, ou a partir das funções de deslocamento x (x).

12 A. Correia Diogo Elastómeros. Deformações finitas. Na figura. estão representados os vectores deslocamento u (P') = PP ' u(p' + dp ') = (P + dp)(p ' + dp ') Substituindo (.3) na equação (.) vem ( x u ) ( x u ) E ( δ )( ) ir + iur. δ jr + jur δ ij r r r r ij = δij xi x j = (.4) A equação anterior permite exprimir o tensor das deformações finitas E ij em função das derivadas espaciais do deslocamento u. u j ui u k u k E ij = (.5) x i x j xi x j No caso de as deformações serem infinitesimais, o termo ( u )(. u ) é muito menor que qualquer dos restantes pelo que, nessas condições, ter-se-á u j u i Eij ( u ) + = γ ij (.6) xi x j Logo, quando o deslocamento tender para zero, o tensor das deformações finitas E ij tende para o tensor das deformações infinitesimais γ ij. No caso geral em que se considerem coordenadas curvilíneas gerais x e x', cujos tensores métricos são respectivamente, g ij e g' rs, tem-se: quadrado da distância entre dois pontos materiais vizinhos na configuração em t [ ] ds i j = g. dx. dx (.7) ij quadrado da distância entre dois pontos materiais vizinhos na configuração em t [ ] r s ds' = g'. dx'. dx' (.8) rs A diferença entre ambos os valores é k s x ' x ' i j i j ds' ds = g ' ks.. g i j ij.dx.dx =. E ij.dx.dx (.9) x x i k j k onde E ij representa as componentes covariantes do tensor das deformações finitas.

13 A. Correia Diogo Elastómeros. Deformações finitas. O tensor das deformações finitas permite exprimir a quantidade (ds ds ) em termos das coordenadas {x i,t} da configuração de referência. Pode também exprimir-se a mesma quantidade (ds ds ) em termos das coordenadas x i referidas ao instante t : k l x x i j i j ds' ds = g ' ij g kl...dx '.dx '. ' i j = E ij.dx '.dx ' (.) x ' x ' onde E é o tensor euleriano das deformações finitas. Em coordenadas cartesianas tem-se: k k x x ' ij =. δij. i j E ( ) x ' x ' u j ui uk uk.. = δ B = +. (.) x ' i x ' j x ' i x ' j É fácil verificar que, no limite das pequenas deformações, E tende para o tensor das deformações infinitesimais. Como exemplo, consideremos a deformação descrita pelas seguintes funções de deslocamento: x ' = 4 x + y y ' = ( 3 ).y z ' = ( 3 4 ).z x ' 4 x y ' = 3. y z ' 3 4 z (.) O gradiente da deformação F e o seu inverso F são dados por 4 F = F = 3 (.3) 4 3 Como foi atrás referido, a transformação F, em geral, envolve simultaneamente extensões/ contracções (U, V) e rotações (R): F = V.R = R.U. As rotações devem eliminar-se uma vez que não contribuem para a deformação. Para o fazer, consideram-se produtos tais como: C = F T. F = U T.U, B =F. F T = V.V T, C - = (F Τ. F) = U.(U T ), B = (F. F Τ ) = (V T ).V, 3

14 A. Correia Diogo Elastómeros. Deformações finitas. Tem-se então: C = B = 6 T. F = F C T =( ). F 7 = T F B T =( ) De notar que, em geral F T.F F.F T F. F = (.4) F. F = (.5) 6 9 Os diferentes tensores das deformações finitas definidos em (.-4-5) e (.-) são: 5 4. E = C δ = 4 9 (.6) E' δ B (.7) 7 9. = = Seja dado um referencial cartesiano e consideremos um elemento material que, no instante t, ocupa o cubo de aresta unitária, com um dos vértices na origem do referencial em causa e situado no º octante desse referencial. A localização dos vértices desse cubo no instante t é dada pelos vectores (coluna) b {b} = {b, b, b 3, b 4, b 5, b 6, b 7, b } b = [,, ] T b = [,, ] T b 3 = [,, ] T b 4 = [,, ] T b 5 = [,, ] T b 6 = [,, ] T b 7 = [,, ] T b = [,, ] T (.8) As arestas do cubo são dadas, no instante t, por b = b b b = b b b 3 = b 3 b b 4 = b 4 b b 4 = b 4 b b 74 = b 7 b 4 b 5 = b 5 b b 53 = b 5 b 3 b 75 = b 7 b 5 b 6 = b 6 b b 63 = b 6 b 3 b 67 = b 6 b 7 (.9) 4

15 A. Correia Diogo Elastómeros. Deformações finitas. No instante t, as posições dos mesmos pontos materiais são dadas pelos vectores b = F.b, isto é, por efeito da transformação F, o conjunto {b} transforma-se em {b = F.b} b = [4,, ] T b = [, /3, ] T b 3 = [,, 3/4] T b 4 = [5, /3, ] T b 5 = [4,, 3/4] T b 6 = [, /3, 3/4] T b 7 = [5, /3, 3/4] T b = [,, ] T (.3) Analogamente b ik = b i b k b = [4,, ] T b = [, /3, ] T b 3 = [,, 3/4] T b 4 = [, /3, ] T b 4 = [4,, ] T b 74 = [,, 3/4] T b 5 = [,, 3/4] T b 53 = [4,, ] T b 75 = [, /3, ] T b 6 = [,, 3/4] T b 63 = [, /3, ] T b 67 = [ 4,, ] T (.3) O quadrado de cada um dos vectores b é dado por b = b T.b = b T.F Τ.F.b = b T.C.b (.3) A expressão (.3) permite calcular o quadrado do comprimento de um vector material em t, sabendo as componentes do mesmo vector material no instante t; o cálculo é efectuado usando o tensor de Cauchy-Green direito. Inversamente, tem-se b = b T.b = b T.F Τ.F.b = b T.(F.F T ).b = b T.B.b (.33) Consideremos agora a superfície material (face do cubo) orientada segundo o eixo dos xx positivo e definida, no instante t, pelos vértices [,,] T, [,,] T, [,,] T, [,,] T. Tal superfície material pode ser representada pelo vector (linha) a = [,,], normal a essa superfície material no instante t. A mesma superfície material é representada no instante t pelo vector a = a.f = [/4, 3/4, ]. Por efeito da transformação F, o conjunto das faces do cubo (em t), definido pelos vectores {a} = {[,, ], [,, ], [,, ], [,, ], [,, ], [,, ]} (.34) transforma-se em {a = a.f } = {[4,, ], [, /, ], [,,/], [ 4,, ], [, /, ], [,, /]}(.35) Os quadrados das áreas de cada uma das faces do elemento material cúbico, após a transformação F, passam a ser dados por a = a.a T = a.f.(f ) Τ.a T = a.c.a T (.36) 5

16 A. Correia Diogo Elastómeros. Deformações finitas. Os resultados anteriores mostram que: Sendo b i e b j as componentes (contravariantes) de um mesmo vector material em t e em t, respectivamente, tem-se b = F.b b = F.b (.37) Sendo a i e a j as componentes (covariantes) de uma mesma área material em t e em t, respectivamente, tem-se a = a.f a = a. F (.38) o tensor de Cauchy-Green direito C = F T.F opera sobre as componentes (contravariantes) de um vector b definido em t, e permite obter o módulo desse vector no instante t : b = b T.b = b T.F Τ.F.b = b T.C.b (.39) o tensor de Finger C opera sobre as componentes (covariantes) de um vector a definido em t e permite calcular o módulo desse vector no instante t : a = a.a T = a.f.(f ) Τ.a T = a.(f Τ.F).a T = a.c.a T (.4) o tensor de Cauchy-Green esquerdo Η = F.F T opera sobre as componentes (covariantes) de um vector a definido em t, e permite obter o módulo desse vector no instante t: a = a.a T = a.f.f Τ.a T = a.h.a T (.4) o tensor de Piola Β opera sobre as componentes (contravariantes) de um vector b definido na configuração em t e permite calcular o módulo desse vector no instante t: b = b T.b = b T.(F ) Τ.F.b = b T. Β.b (.4) A razão entre os comprimentos em t e em t de um mesmo segmento material (razão de extensão λ) é dada por T T T T b '.b ' b.f. F. b b.c. b λ = = = T T T b.b b.b b.b (.43) A razão entre as áreas em t e em t de uma mesma superfície material é dada por: ( ) T a.f. F. a T T a ' a.c.a λ = = = T T a a.a a.a (.44) 6

17 A. Correia Diogo Elastómeros. Deformações finitas. Os valores próprios do tensor de Cauchy-Green direito são λ, λ, λ 3, onde λ, λ e λ 3 são as extensões principais. Dado um elemento de volume material cujo valor no instante t é dado por dx. dx. dx 3 e que no instante t vale dx. dx. dx 3, tem-se dx '.dx '.dx ' 3 dx.dx.dx 3 ( ) = det F = λ.λ.λ 3 (.45) Num sólido deformável, as configurações {x i, t} e {x i, t } são bem definidas, e é indiferente tomar uma ou outra como configuração de referência; apenas se inverte a matriz que define o gradiente da deformação. Num líquido, não é possível definir uma configuração permanente de referência, a não ser aquela existente no instante presente t; só a partir da configuração no presente, no instante t, tem significado o cálculo das configurações no passado (isto é, nos instantes t < t). Se a figura (.) representar pontos materiais de um líquido, sendo {x i, t} a configuração de referência no tempo presente t, e sendo {x i, t } a configuração num tempo passado t < t, terse-á: Gradiente da deformação F ij x ' i = x j Tensor das deformações de Cauchy-Green direito: C = F Τ.F = U T.U = x' x k i x'. x k j Tensor das deformações de Cauchy-Green esquerdo: Β = F.F Τ = V.V T = x' x i k x'. x j k Tensor das deformações de Finger: C = (F ).(.(F ) T = U = Tensor das deformações de Piola: B = (F ( ) Τ.(F ) = V = x x' i i k x. x' xk xk. x' x' j j k As designações e notações usadas para estes tensores não são universais. O tensor C também é simplesmente designado por tensor de Cauchy, o tensor de Finger é por vezes representado por B. 7

18 A. Correia Diogo Elastómeros. Deformações finitas. Tem interesse considerar a dependência no tempo do tensor de Cauchy-Green direito. Sendo a velocidade dada por v' i x ' i = t ' (.46) usando a derivação da função composta, vem dc (t ') x ' v' v' x ' =. +. dt ' x x x x ij k k k k i j i j (.47) Tomando o limite quando t tende para t, dc ij(t ') v ' v' v v = δ. +. δ = + =.D dt ' x x x x t= t ' k k i j ik kj ij j i j i onde D é a velocidade de deformação (parte simétrica do gradiente de velocidade). A caracterização das deformações finitas através de tensores simétricos das deformações finitas (por exemplo, os tensores lagrangeano E ij ou euleriano E ij ) apresenta um certo atractivo, devido a esta propriedade de se transformarem directamente no tensor simétrico das deformações infinitesimais, quando a deformação passa de finita a infinitesimal. Tem o inconveniente de as deformações finitas não serem aditivas, ao contrário das deformações infinitesimais. Não é esta, contudo, a única maneira de o fazer e adiante, veremos que não é este o tensor mais utilizado hoje em dia para caracterizar as deformações finitas, bem como os principais motivos para isso. É interessante observar que, a propriedade anteriormente referida sugere uma estratégia possível para formular uma teoria da elasticidade para deformações finitas, usando a analogia com o caminho seguido ao construir a teoria da elasticidade para deformações infinitesimais. 8

19 A. Correia Diogo Elastómeros 3. Elasticidade para deformações finitas. 3. Teoria da elasticidade para deformações finitas. A teoria da elasticidade para deformações infinitesimais pode formular-se usando as seguintes hipóteses fundamentais:. Considera-se o tensor das deformações infinitesimais γ ij, como medida das deformações.. Considera-se a energia de deformação elástica por unidade de massa, u, como uma função quadrática do tensor das deformações infinitesimais, γ ij. Tem-se ρ. u =.Cijkl. γij. γkl (3.) 3. Define-se a tensão σ como a derivada da energia de deformação elástica relativamente às deformações infinitesimais γ ij ; sendo ρ a densidade mássica, tem-se ( ρu) σ ij = (3.) γ ij 4. Se os coeficientes que relacionam a energia elástica com a deformação forem independentes da deformação, o que é aceitável uma vez que as deformações são infinitesimais, então das duas condições anteriores deduz-se imediatamente a lei de Hooke (generalizada) ij ijkl. σ = C γ (3.3) kl onde C ijkl é o tensor dos coeficientes elásticos (a não confundir com o tensor de Cauchy!). O mesmo conjunto de procedimentos pode ser considerado ao analisarem-se situações em que as deformações já não podem ser consideradas como infinitesimais, mas sim finitas. Por definição, admite-se a existência de uma energia de deformação elástica relacionável com o estado de deformação. Estes materiais designam-se por hiperelásticos.. Toma-se como medida da deformação o tensor das deformações finitas E ij [cf. eq. (.5)].. A derivada da densidade de energia de deformação elástica em relação ao tensor E ij é: S ij ( ρ.u ) = (3.4) E ij O tensor S é conhecido por º tensor de Piola-Kirchhoff, e é diferente de σ. 9

20 A. Correia Diogo Elastómeros 3. Elasticidade para deformações finitas. 3. Define-se a tensão como a derivada da energia de deformação elástica relativamente ao tensor das deformações finitas σ ij = ρ. u E ij (3.5) 4. Se os coeficientes que relacionam a energia de deformação elástica com o tensor das deformações finitas forem independentes do valor dessas deformações, então poderemos enunciar uma "nova lei de Hooke" que difere da anterior apenas pela substituição do tensor das deformações infinitesimais γ ij pelo tensor das deformações finitas E ij. σ ij = ρ.q ijkl.e kl (3.6) Os materiais que verificam estas hipóteses dizem-se neo-hookeanos e estes tipo de modelos são conhecidos por modelos neo-hookeanos da elasticidade. Uma equação constitutiva para um material isótropo neo-hookeano é, por exemplo, σ = p. δ + G. B (3.7) Note-se que a tensão definida pela equação (3.3) é diferente da tensão definida pela equação (3.6)! A energia elástica é uma função de estado e o seu valor não depende, em particular, da medida de deformação escolhida. Como a tensão é calculada derivando a energia elástica em ordem à deformação, se alterarmos a deformação virá necessariamente alterada a tensão. Do ponto de vista prático, a questão importante a colocar é se, de facto, os coeficientes elásticos neo-hookeanos são realmente independentes da deformação, ou dentro de que limites poderão ser considerados como tal. A resposta é dada pela experimentação, e esta mostra que, em geral, os coeficientes elásticos neo-hookeanos são dependentes da deformação. Sendo os coeficientes elásticos neo-hookeanos geralmente dependentes da deformação, o seu interesse para a determinação das curvas tensão-deformação é menor. Com efeito, se os coeficientes elásticos forem constantes, a informação necessária para determinar as curvas tensão-deformação encontra-se armazenada nessas constantes; se os coeficientes elásticos não forem constantes, a informação necessária para determinar as funções tensão-deformação encontra-se armazenada noutras funções coeficientes elásticos versus deformação, pelo que se duplicam os procedimentos para uma economia de informação nula. Há que tentar outras estratégias para modelar este tipo de comportamento elástico, e até, eventualmente, para quantificar as deformações finitas de outras formas mais convenientes para o fim em vista. É o que faremos a seguir.

21 A. Correia Diogo Elastómeros 3. Elasticidade para deformações finitas. Uma segunda maneira possível de caracterizar as deformações finitas consiste em considerar apenas quantidades como o tensor das deformações de Cauchy-Green direito C, x ' x ' r r C ij =. (3.9) xi x j relacionado com o tensor das deformações finitas E ij [cf. Eq.(.)] E ij = C ij δ ij (.) Qualquer dos tensores das extensões anteriormente considerados [cf. (.5-8)] é simétrico e definido positivo, isto é, as formas quadráticas associadas são definidas positivas: Cij.dxi.dx j Cij.dx' i.dx' j (3.a) B ij.dx i.dx j B.dx '.dx ' (3.b) ij i j Sendo simétricos e definidos positivos, os valores próprios de C, B, C, B, são reais. Uma característica partilhada pelos tensores C ij, E ij, B ij, E ij, (e seus inversos) é a seguinte: se um qualquer deles for diagonal num dado referencial, os restantes são-no também. Esse referencial é o referencial dos eixos principais da deformação. Sejam os valores próprios dos tensores E ij e B ij dados por E = E E = E E3 = E33 (3.) B = B B = B B3 = B33 (3.) Tem-se então, por exemplo, ( dx ) ( +.E )(. dx ) = (3.3) ' ( dx ' ) (.B ).( dx ) = (3.4) As razões principais de extensão são as quantidades dx ' i λ i = = +.Ei = i dx.b i (3.5) A variação relativa de volume é dada por dx'.dx'.dx' 3 dx.dx.dx3 ε v = =λ. λ. λ3 = det(f) (3.6) dx.dx.dx 3

22 A. Correia Diogo Elastómeros 3. Elasticidade para deformações finitas. Se o material for incompressível, ε v =, logo ter-se-á λ. λ. λ = (3.7) 3 dy dy = λ y.y dx dx = λ x.x Figura 3..- Razões principais de extensão. As correspondentes extensões relativas são: dx' dx ε = = λ (3.8a) dx dx' dx ε = = λ (3.8b) dx dx' 3 dx3 ε 3 = = λ3 (3.8c) dx 3 No mesmo referencial dos eixos principais da deformação, os valores principais dos tensores de Cauchy-Green direito e do seu inverso são C C λ C = λ C33 3 = = λ (3.3) λ C = λ C33 3 = = λ (3.4) Tem interesse considerar os invariantes de cada um destes tensores, uma vez que, como é sabido, os invariantes de um tensor não dependem do sistema de coordenadas escolhido.

23 A. Correia Diogo Elastómeros 3. Elasticidade para deformações finitas. Dado que qualquer combinação linear de invariantes é também um invariante, interessa considerar um conjunto completo de invariantes independentes: para um tensor de ª ordem, o número máximo de invariantes independentes é igual a 3. Geralmente toma-se como conjunto completo de invariantes independentes o conjunto dos coeficientes do polinómio característico da matriz que representa esse tensor. Os invariantes do tensor de Cauchy (ou de Cauchy-Green direito) são dados por 3 C I I I = λ + λ + λ = Tr( ) (3.5) {[ Tr( C) ] Tr( )} = λ. λ + λ. λ3 + λ3. λ =. (3.6) C 3 3 C = λ. λ. λ = det( ) (3.7) Se o material for incompressível, tem-se λ.λ.λ 3 =. Então, I 3 3 C I = λ. λ. λ = = det( ) (3.8) 3 = λ + λ + λ (3.9) É fácil verificar que os invariantes do tensor de Finger são dados por C I = λ + λ + λ 3 = Tr( C ) (3.3) I C = λ. λ + λ. λ3 + λ3. λ (3.3) I C 3 = λ. λ. λ 3 = det( C - ) (3.3) No caso de o material ser incompressível, basta considerar apenas dois dos invariantes de qualquer destes tensores, uma vez que o terceiro é independente da deformação: C C I 3 I = = λ + λ + λ (3.33) C C 3 I I = = λ + λ + λ (3.34) C C 3 3 I = I = (3.35) Vimos assim que os tensores de Cauchy-Green direito e o seu inverso estão directamente relacionados com as razões de extensão, as quais, por sua vez, constituem a informação experimental que mais directamente se pode obter sobre o estado de deformação. 3

24 A. Correia Diogo Elastómeros 4. Deformações de Hencky. 4. Deformação de Hencky. Há uma séria dificuldade a ter em conta quando se consideram deformações finitas. As funções que as descrevem completamente, tais como os tensores de Finger, de Cauchy ou das deformações finitas, contêm termos não-lineares, pelo que essas medidas de deformação não são aditivas. Pelo contrário, as deformações infinitesimais são aditivas. Uma das razões da validade limitada dos modelos neo-hookeanos é precisamente o facto de suporem a validade da lei de Hooke (linear, aditiva,...) em simultaneidade com uma medida não-aditiva da deformação. E se os módulos neo-hookeanos forem dependentes da deformação, há pouca utilidade em usar o formalismo neo-hookeano. Para vencer essas dificuldades, há que encontrar uma medida da deformação que seja aditiva, "sacrificando" eventualmente a possibilidade de os módulos elásticos correspondentes não serem independentes da deformação. A medida de deformação aditiva mais usada é a medida de deformação de Hencky, ε H, que iremos definir seguidamente. Consideremos uma extensão simples. Tem-se ε H l dl l = = ln l l l (4.) onde l é o comprimento inicial e l é o comprimento final do provete. No caso de uma deformação homogénea x ' = λ.x x ' = λ.x x ' = λ.x (4.) tem-se ε H = ln λ ε H = ln λ (4.3) ε H 3 = ln λ 3 e o tensor das deformações de Hencky é diagonal. Aos valores principais do tensor das deformações de Hencky também é costume chamar extensões verdadeiras. 4

25 A. Correia Diogo Elastómeros 4. Deformações de Hencky. Para a deformação de extensão anteriormente considerada, a variação da energia elástica pode escrever-se na forma H H H du = σ. dε + σ. dε + σ. dε (4.4) o que permite definir o tensor das tensões em função das deformações de Hencky como a derivada da energia elástica em relação a essas deformações σ U U λ U + p = H = =. (4.5) ε ln λ λ σ σ 33 U U U + p = H = = λ. (4.6) ε ln λ λ U U U + p = H = = λ 3. (4.7) ε ln λ λ A inclusão da pressão hidrostática p nas equações anteriores, deve-se ao facto de, para um material incompressível, a pressão não poder ser calculada através de uma equação de estado, dado que a densidade é sempre a mesma qualquer que seja a pressão aplicada. Nos materiais incompressíveis a pressão é posteriormente determinada como o multiplicador de Lagrange associado à condição de incompressibilidade. Na ausência de deformação tem-se ou σ + σ + σ 33 = 3.p (4.8) (σ + p) + (σ + p) + (σ 33 + p) = (4.9) Como atrás foi referido, para uma dada deformação, a energia elástica de deformação U não pode depender da escolha particular do tensor das deformações que foi feita para caracterizar essa deformação: a energia é uma função de estado. Por esse motivo e como há várias maneiras de exprimir as deformações finitas, a cada uma delas está associado um determinado tensor das tensões, o qual dependerá assim da forma como foram definidas essas deformações [cf. equações (3.3), (3.5) e ( )]. Este facto deve ser tomado em conta no cálculo das tensões: o valor destas depende do modo escolhido para descrever as deformações. Se caracterizarmos as deformações através do tensor das deformações infinitesimais γ ij [definido pela equação (.8)], o tensor das tensões correspondente será [cf. equação (3.)] U σ ij = (4.) γ ij 5

26 A. Correia Diogo Elastómeros 4. Deformações de Hencky. Do mesmo modo, ao tensor das deformações finitas E ij [definido pela equação (.7)], corresponde o seguinte tensor das tensões [cf. equação (3.5)] U σ ij = (4.) E' ij Finalmente, se considerarmos deformações de Hencky, o correspondente tensor das tensões será σ ij U = H (4.) ε ij Como as extensões de Hencky são por vezes apelidadas de extensões verdadeiras, as tensões correspondentes definidas pela equação (4.) são também designadas por tensões verdadeiras. Para a deformação homogénea definida pela equação (4.) tem-se: u = x x' = (λ ). x' (4.3) u γ = = λ (4.4) x podendo facilmente deduzir-se as expressões análogas para as restantes componentes: u γ = = λ (4.5) x u3 γ 33 = = λ3 (4.6) x 3 Por outro lado, atendendo a (3.5) vem ( λ ) λ = +.E E =. (4.7) ( λ ) λ = +.E E =. (4.8) ( λ ) λ 3 = +.E3 E3 =. 3 (4.9) o que permite relacionar as razões principais de extensão com as componentes principais do tensor das deformações finitas. 6

27 A. Correia Diogo Elastómeros 4. Deformações de Hencky. Tal como o tensor das deformações finitas tende para o tensor das deformações infinitesimais quando as deformações são suficientemente pequenas, também, nesse caso, o tensor das deformações de Hencky tende para o tensor das deformações infinitesimais. Com efeito, verifica-se: ε [ + ( λ ) ] = ln( + γ) γ H H = ε = lnλ = ln [ + ( λ ) ] = ln( + γ ) γ H H = ε = lnλ = ln ε (4.) ε [ + ( λ3 ) ] = ln( + γ33 ) γ33 H H 3 = ε33 = lnλ3 = ln Na figura 4.. representam-se graficamente as diferentes medidas da deformação (deformação de Hencky ε H, deformação infinitesimal γ e deformação finita E' ) em função da razão de extensão, para um ensaio de tracção. def. Hencky def. infinitesimal def. finita razão de extensão Figura 4.. Representação gráfica das diferentes medidas da deformação (deformação de Hencky ε H, deformação infinitesimal γ e deformação finita E ) em função da razão de extensão, para um ensaio de tracção. 7

28 A. Correia Diogo Elastómeros 4. Deformações de Hencky. As equações (4.) a (4.9) permitem estabelecer uma relação entre os diferentes tensores das tensões anteriormente considerados, σ, σ e σ, no caso da deformação homogénea considerada. Tem-se, por exemplo, Como U U E' U γ σ = = = (4.) ε.. H H ε E' ε γ.. H H ε E' ε γ H U U E' U γ σ = = = (4.) ε H H ε3 E' 33 ε3 γ33 H U U E' U γ σ = = = (4.3) ε 33 H 3 e ε H = λ (4.4) γ ε = λ H (4.5) vem imediatamente = λ σ = λ. σ. σ (4.6) Expressões análogas podem facilmente ser deduzidas para as restantes componentes: = λ σ = λ. σ. σ (4.7) 33 = λ3 σ33 = λ3. σ. σ (4.8) 33 Nas figuras 4.., 4.3., e 4.4. estão representadas, para o mesmo ensaio de tracção, as diferentes H curvas tensão-deformação: σ versus ε, σ versus E, σ versus γ. Daqui em diante, considerar-se-á sempre o tensor das tensões associado à medida de deformação de Hencky [equação (4.)] como aquele que caracteriza o estado de tensão do material. 8

29 A. Correia Diogo Elastómeros 4. Deformações de Hencky. Em particular, no caso dos materiais neo-hookeanos, a equação constitutiva (3.7) σ = p. δ + G.B (3.7) será substituída pela seguinte equação: σ = p. δ + G.B (4.9) Para efeitos do cálculo das tensões, as equações (3.7) e (4.9) são equivalentes do ponto de vista puramente operacional. Contudo, o cálculo da energia livre de deformação elástica (tensão x deformação) será diferente num e noutro caso. Tomando a equação (4.9) como equação constitutiva, a deformação a considerar na expressão para o cálculo da energia livre de deformação elástica, será a deformação de Hencky. tensão/mpa 4 Elastómero: ensaio de tracção deformação de Hencky Figura 4.. Curva tensão-deformação de Hencky para um ensaio de tracção: σ vs. ε H 9

30 A. Correia Diogo Elastómeros 4. Deformações de Hencky. tensão/mpa σ Elastómero: ensaio de tracção deformação finita Figura 4.3. Curva tensão-deformação para um ensaio de tracção expressa em termos das deformações finitas: σ versus E tensão/mpa 6 σ Elastómero: ensaio de tracção deformação infinitesimal Figura 4.4. Curva tensão-deformação para um ensaio de tracção expressa em termos das deformações infinitesimais: σ versus γ. 3

31 A. Correia Diogo Elastómeros 4. Deformações de Hencky. tensão/mpa 4 Elastómero: ensaio de tracção razão de extensão Figura 4.6. Curva tensão versus razão de extensão para o ensaio de tracção considerado nas figuras anteriores. tensão nomin./mpa 6 Elastómero: ensaio de tracção razão de extensão Figura 4.7. Curva tensão nominal versus razão de extensão para o ensaio de tracção considerado nas figuras anteriores. 3

32 A. Correia Diogo Elastómeros 5. Modelos teóricos. 5. Modelos teóricos da elasticidade da borracha. Para calcular a energia de deformação elástica de um elastómero, podemos exprimi-la em função dos invariantes de um tensor que caracterize as deformações finitas, por exemplo, o tensor de Finger (Rivlin, 948). A vantagem em exprimir a energia elástica em função dos invariantes de um tensor é que estes, tal como a energia elástica, não dependem do sistema de coordenadas utilizado. Para um material incompressível, apenas dois invariantes desse tensor são dependentes da deformação, uma vez que I B 3 =. Por outro lado, para uma deformação nula, C = δ e tem-se I C = I C = 3, o que sugere que a energia elástica de deformação seja da forma: C C ( ) U = U I 3, I 3 (5.) ou, nos casos em que não se inclua a condição de incompressibilidade (I 3 C = ) C C C ( 3 ) U = U I 3, I 3, I (5.) A maneira mais simples de escrever a energia de deformação elástica em função dos invariantes do tensor de Cauchy consiste em considerar o desenvolvimento da energia elástica U em série de potências em torno dos pontos I C = 3, I C = 3, onde C p C ( ) ( ) q pq (5.3) p,q U = M. I 3. I 3 M = M pq = ( p+ q) I U p q. I (5.4) e esperar que apenas os termos de ordem mais baixa sejam suficientes para caracterizar razoavelmente o comportamento do material, quando confrontado com os resultados experimentais. Daqui em diante, para evitar sobrecarregar a notação, considerar-se-á sempre: C C 3 I I = λ + λ + λ = Tr(C) = I (5.5) C C 3 3 I I = λ. λ + λ. λ + λ. λ = I (5.6) A expressão (5.3) é suficientemente geral para incluir diversos modelos que têm sido propostos ao longo do tempo para descrever os resultados experimentais. 3

33 A. Correia Diogo Elastómeros 5. Modelos teóricos. 5.. Modelo de Kuhn-Mark. O modelo de Kuhn-Mark (936) é o mais simples de todos, e consiste em considerar apenas a energia elástica como dependendo do º invariante do tensor de Cauchy: U = M.(I 3) (5.7) 5.. Modelo de Mooney O modelo de Mooney (94) considera a seguinte expressão para a energia de deformação U = M.(I 3) + M.(I 3) = M.(I 3) + M.(I 3) (5.8) onde se alterou ligeiramente a notação (M = M ; M = M ). Como valores típicos das constantes elásticas referidas tem-se: M ~ 5-6 Pa e M ~ 4 Pa Modelo de Ogden. No modelo de Ogden (97) considera-se um desenvolvimento de U em série de potências da deformação, mas em que os expoentes não são necessariamente inteiros, αn αn αn ( λ λ λ ) n U = µ (5.9) α n n µ n.(α n ) > (5.) onde os α n são números reais e os µ n são constantes, devendo verificar-se a condição (5.) por razões de estabilidade Hipótese de Valanis-Landel. Valanis e Landel (967) admitiram a hipótese de que a energia de deformação U se pode escrever sob a forma U = w(λ ) + w(λ ) + w(λ 3 ) (5.) onde λ, λ, λ 3, são as razões principais de extensão e as três funções w(λ ), w(λ ), e w(λ 3 ) têm forma idêntica. É fácil verificar que a equação (5.) engloba a equação (5.9), isto é, que o modelo de Ogden verifica a hipótese de Valanis-Landel. 33

34 A. Correia Diogo Elastómeros 5. Modelos teóricos. A função w(λ) de Valanis-Landel tem a seguinte forma no caso do modelo de Ogden n ( λ α ) µ n w( λ) =. (5.) α n n A forma (5.) de Valanis-Landel para a energia de deformação U é ainda um caso particular da equação (5.3). Pode provar-se (Rivlin e Sawyers, 976) que é condição necessária e suficiente para que U(I, I ) se possa exprimir na forma de Valanis-Landel que seja válida a seguinte relação: I U U U U + I. + q I I I I +. I I. I = (5.3) 5.5. Cálculo do tensor das tensões. Para calcular o tensor das tensões de um elastómero "incompressível", consideremos o caso geral em que a energia elástica depende dos invariantes I e I, sem definirmos a priori qual é explicitamente essa dependência (Rivlin, 948). Partindo da relação σ + p = U I (, I ) ln λ e atendendo à regra da derivação de uma função composta tem-se U ln λ (5.4) U I U I =. +. (5.5) I ln λ I ln λ σ λ U U + p =... (5.6) I λ I De modo inteiramente análogo obtém-se σ λ U U + p =... (5.7) I λ I σ λ U U 33 + p =. 3.. (5.8) I λ I 3 34

35 A. Correia Diogo Elastómeros 5. Modelos teóricos. Convém observar que, se nas expressões anteriores quisermos exprimir as tensões em função das componentes relevantes dos tensores das deformações considerados, vem U U σ + p =. C. C. I I U U σ + p =. C. C. I I U U σ 33 + p =. C 33. C 33. I I (5.9a) (5.9b) (5.9c) e, em geral, U U σ ij + p =. C ij. C ij. I I (5.9d) Reconhece-se nas equações (5.9) uma forma reminiscente da equação KBK-Z, equação constitutiva muito utilizada em escoamentos de líquidos viscoelásticos não-lineares. Eliminando a pressão nas equações anteriores ( ) tem-se U σ σ ( λ λ ) λ U = I I U σ σ ( λ λ ) λ U 33 = I I U σ σ ( λ λ ) λ U 33 = I I (5.a) (5.b) (5.c) As equações anteriores são bastante gerais. Com efeito, a principal hipótese restritiva considerada na sua dedução foi a da "incompressibilidade". A expressão particular de cada uma das diferenças de tensões referidas está condicionada pelo modo como a energia de deformação elástica U depende dos invariantes I e I. Particularizando para um elastómero de Mooney-Rivlin, tem-se U U = M ; = M (5.) I I 35

36 A. Correia Diogo Elastómeros 5. Modelos teóricos. No caso de um elastómero de Kuhn-Mark tem-se U U = M ; = (5.) I I Se considerarmos o modelo de Ogden, é fácil verificar que as tensões principais são dadas por logo σ µ λ α + p = n. n n σ µ λ α n + p = n. (5.3) σ µ λ α 33 + p = n. 3 n n α α n n n n n σ σ = µ.( λ λ ) etc. (5.4) No caso da hipótese de Valanis-Landel dw dw σ σ = λ. λ. dλ dλ (5.5) podendo a função w(λ) ser determinada a partir dos dados experimentais. Em particular, no caso do modelo de Ogden, tem-se dw λ. µ. λ α n = d λ n (5.6) n As figuras seguintes mostram as curvas tensão-deformação previstas por cada um dos modelos atrás referidos, no caso de um ensaio de tracção. 36

37 A. Correia Diogo Elastómeros 5. Modelos teóricos. Extensão uniaxial tensão/mpa Ogden Kuhn-Mark Mooney Deformação de Hencky (extensão verdadeira) Figura 5..- Comparação das previsões dos modelos de Kuhn-Mark, Mooney e de Ogden para um ensaio de tracção de uma borracha vulcanizada. Extensão uniaxial: modelo de Ogden tensão/mpa 4 Ogden model experimental data deformação de Hencky (extensão verdadeira) Figura 5..- Aplicação do modelo de Ogden ao resultado de um ensaio de tracção de uma borracha vulcanizada. 37

38 A. Correia Diogo Elastómeros 6. Não-linearidade 6. ão linearidade do comportamento elástico. Consideremos ainda a equação [cf. (5.9)] U U σ ij =. C ij. C ij. I I (6.) Há um teorema importante do cálculo tensorial, o teorema de Cayley-Hamilton, que se pode enunciar da seguinte forma: todo o tensor de ª ordem verifica a sua própria equação característica. No caso do tensor de Cauchy, a equação característica é λ 3 I.λ + I.λ I 3 = (6.) logo, por aplicação do teorema de Cayley-Hamilton vem C 3 I.C + I.C I 3. δ = (6.3) ou, explicitamente C ik.c kl.c ls I.C ik.c ks + I.C ij I 3.δ is = (6.4) Das equações (6.3) ou (6.4) conclui-se que potências de ordem igual ou superior a 3 do tensor de Cauchy C são exprimíveis em termos de potências de C até à segunda ordem. Atendendo à condição de incompressibilidade (I 3 = ) e a que o tensor de Finger é o inverso do tensor de Cauchy [cf. equação (3.)] C - is.c sj = δ ij (6.5) por multiplicação da equação (6.4) à direita por C - tem-se C ik.c kl.c ls.c - sj I. C ik.c ks.c - sj + I.C is.c - sj δ is.c - sj = (6.6) ou, simplificando, C ik.c kj I.C ij + I.δ ij = C - ij (6.7) Substituindo o valor de C - ij dado pela equação (6.7) na equação (6.) tem-se U U U U σ ij =. C ij. I. δ ij. + I.C ij. C ik.c kj. I I I I (6.8) 38

39 A. Correia Diogo Elastómeros 6. Não-linearidade Num material incompressível, os termos diagonais do tensor das tensões são definidas a menos de uma constante (a pressão), pelo que o termo proporcional a δ ij pode ser omitido e considerado incluído na definição da pressão. A equação anterior poderá então escrever-se na forma U U U σ + p. δ =. +..I.C..C.C ij ij ij ik kj I I I (6.9) onde se torna evidente a dependência não-linear entre a tensão e a deformação pelo aparecimento de um termo (não-linear) em C. Atendendo ao teorema de Cayley-Hamilton, as equações (6.) ou (6.9) equivalem a considerar que, num elastómero incompressível, a tensão é exprimível através de uma série de potências (inteiras) do tensor da Cauchy C. 39