Orientações didáticas sobre a mobilização de conhecimentos matemáticos esperados dos alunos em relação a itens e questões

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1 Orientações didáticas sobre a mobilização de conhecimentos matemáticos esperados dos alunos em relação a itens e questões ALESSANDRA CARVALHO TEIXEIRA

2 ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS SOBRE A MOBILIZAÇÃO DE CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS ESPERADOS DOS ALUNOS EM RELAÇÃO A ITENS E QUESTÕES Alessandra Carvalho Teixeira Profa Dra Cintia Ap. Bento dos Santos

3 ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS SOBRE A MOBILIZAÇÃO DE CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS ESPERADOS DOS ALUNOS EM RELAÇÃO A ITENS E QUESTÕES Universidade Cruzeiro Do Sul 2013

4 2013 Universidade Cruzeiro do Sul Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa Mestrado Profissional Reitor da Universidade Cruzeiro do Sul Profa. Dra. Sueli Cristina Marquesi PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA Pró-Reitor Prof. Dr. Danilo Antonio Duarte MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA Coordenação Profa. Dra. Edda Curi Banca examinadora Profa. Dra. Edda Curi Profa. Dra. Celi Aparecida Espasandin Lopes Profa. Dra. Maria Tereza Carneiro Soares FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL T264o Teixeira, Alessandra Carvalho. Orientações didáticas sobre a mobilização de conhecimentos matemáticos esperados dos alunos em relação a itens e questões / Alessandra Carvalho Teixeira. -- São Paulo: Universidade Cruzeiro do Sul, p. : il. Produto educacional (Mestrado em ensino de Ciências e Matemática). 1. Ensino de matemática. 2. Saresp 3. Didática Matemática 4. Ensino fundamental. I. Título II. Série. CDU: 51

5 Sumário 1 APRESENTAÇÃO OS NÍVEIS DE FUNCIONAMENTO DO CONHECIMENTO O PRODUTO EXEMPLOS DE COMO ANALISAR ITENS E QUESTÕES DE ACORDO COM OS NÍVEIS DE FUNCIONAMENTO DO CONHECIMENTO Nível Técnico Nível Mobilizável Nível Disponível ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS... 24

6 1 APRESENTAÇÃO Este produto educacional foi construído a partir da dissertação intitulada Uma análise sobre a mobilização de conhecimentos matemáticos em relação aos itens e questões do Saresp 2010 do 9º ano do Ensino Fundamental 1, defendida em 2013 por Alessandra Carvalho Teixeira sob a orientação da Profª. Drª. Cintia Ap. Bento dos Santos. O objetivo da pesquisa foi categorizar os itens e questões referentes à 8ª série/9ºano divulgados no Relatório Pedagógico do Saresp 2010 acerca de quais são os indicativos em relação a mobilização de conhecimentos solicitada dos alunos. A referida autora é mestre pela Universidade Cruzeiro do Sul (Unicsul SP); Licenciada em Matemática com ênfase em Ciências da Computação pelo Centro Universitário São Camilo; Licenciada em Pedagogia pela Universidade São Bernardo; Especialista em Modelagem Matemática pela UFABC (Universidade Federal do ABC - Santo André/SP); Professora de Matemática dos anos finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, da rede Pública do Estado de São Paulo desde 1995; Orientadora de Trabalho de Conclusão de Curso da Especialização Docência no Ensino Superior da Universidade Cruzeiro do Sul Virtual; Professora Coordenadora de Estágio do curso de Matemática EAD pela Universidade Paulista (UNIP); Orientadora de Trabalho de Conclusão de Curso das turmas de Pedagogia e Matemática da Unip Interativa. Este material é destinado a professores de Matemática, alunos das licenciaturas de Matemática e Pedagogia e pesquisadores da área, com objetivo de apresentar um forte instrumento no momento de professores e futuros professores compreenderem as dificuldades de seus alunos, ou seja, como ocorre a aquisição de conhecimento e o trabalho com as noções matemáticas aprendidas anteriormente no momento em que os alunos precisam resolver tarefas que nem sempre apresentada, de forma explícita, a noção matemática ali presente. 1 do_ensino_de_ciencias_e_matematica/mestrado_ensino_de_ciencias_e_matemati CA-Alessandra%20Carvalho%20Teixeira_532.PDF Alessandra Carvalho Teixeira 5

7 Além disso, outro ponto que nos motivou a elaborar esse material é o fato de percebermos a importância de analisar os exercícios propostos em sala de aula e as habilidades que eles desenvolvem, se a relação entre eles está correta, pois percebemos em alguns exemplos que apresentaremos, falha entre o que é proposto e a habilidade indicada. Também devemos olhar a resolução que o aluno apresenta e o erro cometido, pois esse erro não significa ausência de conhecimento. Alessandra Carvalho Teixeira 6

8 2 OS NÍVEIS DE FUNCIONAMENTO DO CONHECIMENTO Nesta seção apresentaremos a abordagem teórica da pesquisadora francesa Aline Robert (1998) sobre o funcionamento dos conhecimentos esperados dos educandos, o qual é definido em níveis, denominados como técnico, mobilizável e disponível. Santos (2008, p. 23), diz que os estudos de Robert não representam uma teoria de aprendizagem e sim um caminho para possibilitar uma nova estratégia didática para o ensino, uma vez que além de proporcionar compreender as dificuldades dos alunos, também possibilita a seleção de tarefas a serem trabalhadas de acordo com o nível de funcionamento do conhecimento que se espera dos educandos. Segundo Robert (1998), o nível técnico requer do aluno a aplicação imediata de um conhecimento. Nesse nível, os elementos são muito claros, explicitam aplicações imediatas que podem ser de teoremas, propriedades, definições, fórmulas, etc. Nesse nível, as contextualizações se fazem de forma simples e não exigem etapas, trabalho preliminar de reconhecimento ou adaptações. A pesquisadora considera que o nível técnico deve ser trabalhado, mas não como uma forma de se tratar uma noção matemática, pois quando o professor privilegia o trabalho no nível técnico, corre o risco de, por exemplo, ao alterar um detalhe no enunciado de uma tarefa, fazer com que os alunos não mais reconheçam a noção em jogo ou os procedimentos necessários de resolução, ou seja, os níveis de conhecimento estão associados à forma como as tarefas são apresentadas aos alunos. Robert (1998) considera que o nível mobilizável permite ao aluno reconhecer o elemento matemático, ou seja, o que é solicitado ainda é claro. Porém, é preciso que modificações e/ou adaptações sejam realizadas para a resolução da tarefa. Nesse nível, apesar de o elemento matemático ainda estar explícito, os alunos devem mobilizar conhecimentos matemáticos de forma a Alessandra Carvalho Teixeira 7

9 adaptá-los para que seja possível a resolução da situação proposta. Esse nível testa um funcionamento de conhecimento em que existe a justaposição de saberes e mesmo de organização. Se um saber estiver bem identificado e for bem utilizado pelo aluno, mesmo que seja necessária adaptação ao contexto particular, ele é considerado mobilizável. Para o nível disponível, Robert (1998) considera que este requer do aluno procurar em seus próprios conhecimentos já construídos soluções para intervir na resolução da questão proposta, ou seja, resolver o que está proposto sem indicações, fornecer contra-exemplos e aplicar métodos não previstos. Segundo a pesquisadora, esse nível funciona ainda como um desafio para os alunos. É necessário que o aluno busque em seus conhecimentos construídos anteriormente a ferramenta mais útil para solução do item, ou seja, existe uma justaposição de saberes que precisam estar organizados para serem mobilizados. Alessandra Carvalho Teixeira 8

10 3 O PRODUTO O presente produto consiste em apresentar ao professor exemplos de itens e questões analisados de acordo com os níveis de funcionamento do conhecimento esperados dos alunos, de modo que seja possível a identificação das atividades que serão trabalhadas em sala de aula, uma vez que, assim como Robert (1998), evidenciamos a importância de um trabalho que leve em consideração a dimensão dos três níveis de conhecimento como forma de fazer alunos evoluírem em suas aprendizagens e poderem mobilizar conhecimentos matemáticos mesmo em situações distintas da sala de aula. 3.1 EXEMPLOS DE COMO ANALISAR ITENS E QUESTÕES DE ACORDO COM OS NÍVEIS DE FUNCIONAMENTO DO CONHECIMENTO As atividades, cujas análises serão apresentadas, estão separadas em subseções de acordo com o nível de funcionamento do conhecimento: técnico, mobilizável e disponível Nível Técnico O item apresentado na figura 1 requer do aluno a passagem da representação fracionária para a decimal em relação a um número racional. Figura 1 Item referente ao nível básico de proficiência Fonte: São Paulo, 2011, p De acordo com abordagem de Robert (1998), o item pode ser classificado como de nível técnico, uma vez que, apesar de apresentar um contexto do cotidiano, sua contextualização é simples e requer do aluno a aplicação imediata de um conhecimento, ou seja, a passagem de uma representação fracionária para decimal (o aluno precisa apenas dividir o Alessandra Carvalho Teixeira 9

11 numerador pelo denominador). A figura 2 apresenta um item que avalia a habilidade do aluno de reconhecer círculo/circunferência, seus elementos e algumas de suas relações (São Paulo, 2011, p. 147). Figura 2 Item referente ao nível avançado de proficiência Fonte: São Paulo, 2011, p Segundo a abordagem de Robert (1998), o item pode ser classificado como de nível técnico de funcionamento do conhecimento. Trata-se de uma contextualização simples, dentro do contexto da própria Matemática, em que é necessário apenas que o aluno disponha dos elementos da circunferência, ou seja, a noção a ser trabalhada está explícita. O aluno deve identificar que o raio é qualquer segmento que une o centro a um ponto da circunferência, sendo, assim, a metade do diâmetro. A representação figural presente no item deixa claro ao aluno, dentre as alternativas apresentadas, que o raio solicitado está representado pelo segmento PQ. Faz-se necessário que o aluno leia as alternativas para saber qual o raio solicitado, considerando o fato de que a figura apresenta os raios PR, PT e PQ. Isso indica falha na elaboração do enunciado, podendo atrapalhar a mobilização do conhecimento pelo aluno, causando confusão no processo de organização do conhecimento a ser disponibilizado para a resolução do item, ou seja, o conceito de raio. O item apresentado na figura 3 avalia a habilidade do aluno de identificar um sistema de equações do 1º grau que expressa um problema (São Paulo, 2011, p. 151). Alessandra Carvalho Teixeira 10

12 Figura 3 Item referente ao nível avançado de proficiência Fonte: São Paulo, 2011, p De acordo com a abordagem de Robert (1998), o item pode ser classificado no nível técnico de funcionamento do conhecimento, uma vez que o enunciado evidencia que a noção em jogo são os sistemas de equações, exigindo que o aluno reconheça imediatamente o papel de cada variável envolvida. Ressaltamos que se essa tarefa não fosse de múltipla escolha, não estaria relacionada ao nível técnico Nível Mobilizável A figura 4 apresenta um item que avalia a habilidade do aluno de efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais (São Paulo, 2011, p. 147). Figura 4 Item referente ao nível avançado de proficiência Fonte: São Paulo, 2011, p De acordo com a abordagem de Robert (1998), o item está no nível mobilizável de funcionamento do conhecimento, pois embora esteja explícito que a noção matemática é efetuar cálculo com valores aproximados de radicais, é necessário que o aluno faça pequenas adaptações, uma vez que o Alessandra Carvalho Teixeira 11

13 valor a ser calculado da distância está representado na forma de um número irracional. Para resolver o item, é necessário que o aluno perceba que a distância percorrida não está indicada na figura, e sim, no seu enunciado, ou seja, a distância representada por 1800 m. Na verdade, a primeira habilidade desenvolvida pelo aluno é a identificação do valor da raiz quadrada aproximada de um número e só depois ele desenvolve a habilidade de calcular com valor aproximado de radicais. Sendo assim, temos aqui uma questão inadequada, considerando a habilidade avaliada e a contextualização do item proposto. Uma das ferramentas que pode ser utilizada para a resolução do item é a decomposição do radicando em fatores primos ( 1800 = 2³ ² = 2.2² ² = ,4 = 42), o que resulta numa distância de 42 m. A alternativa correta é a A, porque outro fator que deve ser observado pelo aluno para a indicação da alternativa é que o item solicita saber acima de quantos metros (indicados nas alternativas) Carlos deverá percorrer. Outra forma de resolver o item é a decomposição do radicando, obtendo 1800 = = = ,4 = 42 Usualmente ninguém se desloca considerando um número irracional, embora o mesmo seja utilizado em medida de comprimento. Com base nisso, temos aqui um item que apresenta uma falsa contextualização, fugindo do contexto real do aluno. Não existe aqui nada que, de certa forma, auxilie o aluno na mobilização dos seus conhecimentos para a resolução do item; pelo contrário, o mesmo apresenta uma representação figural desnecessária, que, a nosso ver, pode atrapalhar o aluno em sua resolução. Temos aqui uma crítica ao tipo de questões elaboradas que, muitas vezes, pouco auxiliam os alunos a mobilizar seus conhecimentos. Neste caso, temos um item cujo enunciado pode ter dificultado o entendimento do aluno. Em quais momentos percorremos distâncias Alessandra Carvalho Teixeira 12

14 representadas na forma de radical em nosso dia a dia? A figura 5 apresenta um item que avalia a habilidade do aluno de resolver problema utilizando propriedades dos polígonos (soma de ângulos internos, número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno dos polígonos regulares) (São Paulo, 2011, p. 150). Figura 5 Item referente ao nível avançado de proficiência Fonte: São Paulo, 2011, p Segundo a abordagem de Robert (1998), o item está no nível mobilizável de funcionamento do conhecimento, pois embora a noção em jogo propriedades dos polígonos esteja explícita, é necessário que o aluno faça uma adaptação que permita encontrar a medida do ângulo BAC, o que possibilita o cálculo do ângulo solicitado, uma vez que ângulo é a terça parte da medida do ângulo BAC. Uma das possíveis soluções é observar que a medida do ângulo é a terça parte da medida do ângulo BAC. Para determinar a medida do ângulo BAC, usa-se que a soma dos ângulos internos do polígono é (n 2). 180 sendo assim, (5 2). 180 = = 540. A medida do ângulo BAC é obtida através do cálculo do quociente entre 540 e 5. ( 540 = 108 ) e como é a terça parte da medida do ângulo BAC, é necessário calcular o quociente ente 108 e 3. (θ = = 36 ), chegando à medida solicitada, que é 36. A questão apresentada na figura 6, avalia a habilidade de resolver problemas envolvendo relações de proporcionalidade direta entre duas grandezas, por meio de funções do primeiro grau (São Paulo, 2011, p. 154). 5 Alessandra Carvalho Teixeira 13

15 Figura 6 Questão que avalia a habilidade de resolver problemas envolvendo relações de proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de funções do primeiro grau Fonte: São Paulo, 2011, p Para a resolução desta questão, necessário que o aluno disponha dos conhecimentos de proporcionalidade entre duas grandezas e de função polinomial de 1º grau. Porém, antes de mobilizar esses conhecimentos, é necessário que o aluno reconheça quais são as duas grandezas envolvidas na questão, no caso, o número de pregadores e o número de desenhos. Para responder ao item a, o aluno deve verificar, de acordo com a figura apresentada, que para prender 5 desenhos (no caso, a variável x) são necessários 6 pregadores (no caso, a variável y). Segundo o raciocínio de proporcionalidade direta, é possível concluir que o número de pregadores (y) será sempre o número de desenhos (x) adicionado a 1. A partir da verificação em várias situações o aluno chegaria à função y = x + 1 ou f(x) = x + 1 que expressa a quantidade de pregadores utilizados para prender os desenhos, o que não poderia ser concluído só com esse desenho, sendo necessário fazer várias verificações/simulações. Já para a resolução do item b, basta que o aluno utilize a função elaborada no item a e substitua a variável em x por 24, chegando ao resultado de 25 pregadores. Cabe salientar que para a resolução do item b, o aluno não precisaria dispor da função de 1º grau e poderia chegar à solução a partir apenas do raciocínio de proporcionalidade direta com base no observado na figura. Esta questão, em relação aos níveis de funcionamento dos Alessandra Carvalho Teixeira 14

16 conhecimentos esperados pelos alunos, está no nível mobilizável. Segundo Robert (1998), esse nível corresponde a um funcionamento mais amplo, porém com indicação ainda da noção em jogo. Podemos verificar que o próprio item a faz referência à necessidade de se utilizar função de 1º grau e que a noção de proporcionalidade pode ser trabalhada pelo aluno de forma intuitiva. A questão apresentada na figura 7, avalia a habilidade de resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos (São Paulo, 2011, p. 158). Figura 7 Questão que avalia a habilidade de resolver problemas envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos Fonte: São Paulo, 2011, p Podemos observar que esta questão, para sua resolução, depende da interpretação do aluno em relação à representação da pirâmide apresentada. É necessário que o aluno verifique que a base da pirâmide alimentar é constituída por cereais, pães, tubérculos, raízes e massas, sendo que estes têm uma indicação diária de consumo por um adulto de 5 a 9 porções. O enunciado explicita que cada porção dos alimentos corresponde a 150 kcal; desse modo, basta o aluno realizar a operação multiplicativa de 5x150 kcal = 750 kcal e 9 x 150 kcal = 1350 kcal, sendo estas as respectivas doses diárias Alessandra Carvalho Teixeira 15

17 mínimas e máximas a serem consumidas. Conforme descrito no parágrafo anterior sobre os procedimentos de resolução, fica evidente a exigência que faz a questão em relação ao trabalho cognitivo do aluno de um trabalho preliminar de reconhecimento, e que a operação de multiplicação não é utilizada imediatamente, ou seja, apesar de o que é solicitado estar indicado, é necessário que o aluno adapte seus conhecimentos para utilizar a operação de multiplicação. Pelos motivos expostos, esta questão, segundo a classificação de Robert (1998), encontra-se no nível de funcionamento mobilizável. Podemos verificar que essa questão não está de acordo com a habilidade avaliada, considerando o fato de que a figura apresentada para análise e resolução da questão não é gráfico e nem tabela Nível Disponível A figura 8 apresenta um item que avalia a habilidade de resolver problemas em diferentes contextos, envolvendo as relações métricas dos triângulos retângulos (Teorema de Pitágoras) (São Paulo, 2011, p. 149). Figura 8 Item referente ao nível de proficiência Fonte: São Paulo, 2011, p De acordo com a classificação de Robert (1998), o item está associado ao nível disponível de funcionamento do conhecimento, uma vez que a noção em jogo não está explícita, ou seja, o Teorema de Pitágoras. Para resolver este item, é necessário que o aluno disponibilize, em seus próprios conhecimentos, Alessandra Carvalho Teixeira 16

18 as propriedades do Teorema de Pitágoras (soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, a qual é localizada oposta ao ângulo reto) para conseguir reconhecer que a medida do comprimento da peça de madeira com extremidades em A e em B é a hipotenusa do triângulo retângulo BAD. Este item ainda exige do aluno uma leitura das figuras que são apresentadas em perspectiva e também por meio de uma visão frontal, o que pode gerar certa dificuldade. O Teorema de Pitágoras diz que o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Sendo assim, é necessário que o aluno mobilize seus conhecimentos para identificar os catetos indicados no telhado da casa representada na figura 25. Identificando que um dos catetos mede 2 m e o outro mede 4 m, a partir da representação fornecida que deveria auxiliar na resolução do item, o aluno consegue calcular o valor da peça de madeira com extremidades em A e em B, que representa a hipotenusa do triângulo retângulo (x 2 = = = 20 x = 20 = = ,24 = 4,48). A questão apresentada na figura 9, avalia a habilidade de resolver problema com números racionais envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação) (São Paulo, 2011, p. 157). Figura 9 Questão que avalia a habilidade de resolver problemas com números racionais envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação) Fonte: São Paulo, 2011, p Alessandra Carvalho Teixeira 17

19 A resolução desta questão depende de que alunos mobilizem conhecimentos sobre operações com números racionais em sua representação fracionária. Podemos perceber que nessa questão, a noção em jogo não é explícita e o contexto não é simples em relação ao reconhecimento por parte dos alunos dos conhecimentos matemáticos que eles devem mobilizar para solucionar a questão. Esta questão, conforme a abordagem de Robert (1998), pode ser classificada como uma tarefa de nível disponível, uma vez que, conforme mencionamos anteriormente, o aluno deve primeiramente converter as informações do enunciado fornecidas na língua natural para uma representação fracionária, ou seja, trabalhar com operações com números racionais em sua representação fracionária. Uma solução possível seria o aluno construir seu esquema de resolução partindo do princípio de que o primeiro escoteiro pegou 1 3 da corda, e que o segundo escoteiro, por pensar que era o primeiro a pegar, pegou 1 3 da corda que estava no carretel; porém, deveria considerar que o segundo escoteiro pegou 1, não de um inteiro, e sim, 3 de 2, pois o primeiro escoteiro já havia pegado inicialmente sua parcela. Assim, 3 o segundo escoteiro pegou 1 3 de 2 3, que equivale a 1. 2 = 2. Para saber quantos metros de corda havia no carretel, o aluno poderia partir do princípio de que adicionando as partes que o primeiro e segundo escoteiros pegaram, teria = 5, considerando que esta fração subtraída de um inteiro corresponde a 40 m, que é o que sobrou para o terceiro escoteiro; ele teria = 4 9, ou seja, se 4 9 equivale a 40 m, então, 1 9 equivale a 10 m e, portanto, no carretel havia 90 m de corda. Outra solução possível para o item b, que solicita o cálculo da medida em metros de corda que havia no carretel, seria o aluno dispor do raciocínio algébrico. Considerando o valor em metros de corda do carretel como x, ele Alessandra Carvalho Teixeira 18

20 poderia elaborar a seguinte expressão: 1 x + 2 x + 40 = x, chegando, após 3 9 a resolução, à medida de x = 90m. A questão apresentada na figura 10, avalia a habilidade de resolver problemas em diferentes contextos, envolvendo triângulos semelhantes (São Paulo, 2011, p. 160). Figura 10 Questão que avalia a habilidade de resolver problemas em diferentes contextos, envolvendo triângulos semelhantes Fonte: São Paulo, 2011, p A questão para a sua resolução exige que o aluno possua e mobilize conhecimentos matemáticos relativos à semelhança de triângulos, ou seja, é necessário trabalhar com as propriedades de proporcionalidade das medidas dos triângulos no caso, os triângulos CED e CBA. Após a identificação do contexto e da propriedade matemática a ser utilizada, basta o aluno dispor da proporcionalidade das medidas de triângulos, considerando que o lado CE do triângulo CED é proporcional ao lado CB do triângulo CBA e que suas bases ED e AB também são proporcionais na mesma ordem. Dessa forma, uma possível solução a ser realizada pelo aluno seria CE = DE 120m em que CB AB AB. = 100m 300m AB, chegando à medida de 250 m para o segmento Podemos verificar que a noção em jogo proporcionalidade das medidas dos triângulos não está explícita, e que é necessário ao aluno recorrer a conhecimentos já construídos, no caso da identificação das medidas Alessandra Carvalho Teixeira 19

21 e da semelhança entre os triângulos CED e CBA. De acordo com estas considerações, podemos classificar esta tarefa em relação ao funcionamento dos conhecimentos esperados dos educandos, de acordo com a abordagem de Robert (1998), como sendo uma tarefa de nível disponível. Alessandra Carvalho Teixeira 20

22 4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR Ao propor os níveis de funcionamento do conhecimento, Robert (1998) evidencia uma ferramenta de análise em relação às dificuldades dos alunos e a possibilidade de selecionar as atividades a serem realizadas de acordo com o nível de funcionamento do conhecimento esperado do aluno a ser trabalhado. Alguns professores ainda aplicam questões de resolução imediata, nível técnico, ou questões padronizadas. Repetem o mesmo tipo de exercício inúmeras vezes. Dessa forma, e também por vários outros motivos, não se permitem verificar as reais dificuldades de seus alunos. Sendo assim, sugerimos que os exercícios sejam selecionados de modo a contemplar os três níveis de funcionamento do conhecimento, pois assim permitirão que os alunos desenvolvam a competência de organizar seus conhecimentos podendo identificar o momento de disponibilizá-los, ou seja, para que possam mobilizá-los ao resolver uma situação proposta. Considerando o exposto acima, é evidente a importância de possibilitar atividades nas quais os alunos possam, de diferentes maneiras, colocar em funcionamento as noções matemáticas já introduzidas a fim de articulá-las com os conhecimentos novos. Para Robert (1998), é importante que o professor trabalhe com os alunos os três níveis de forma a possibilitar que eles tenham conhecimentos disponíveis e organizados. A pesquisadora elucida a necessidade de a aprendizagem acontecer de maneira segura, de forma que os alunos possam mobilizar os conhecimentos matemáticos em diversas situações. Muitas vezes, o aluno não resolve uma questão, não porque não saiba fazê-lo, e sim, por não saber como articular as noções necessárias para que isso aconteça. Ao escolher uma atividade, além de olhar o nível de funcionamento do conhecimento ao qual ele pertence, espera-se que os professores possam enxergar a habilidade que está sendo desenvolvida e a resolução do que é proposto, podendo utilizar os erros como instrumento de construção do Alessandra Carvalho Teixeira 21

23 conhecimento. O importante não é o acerto ou o erro por eles mesmos durante a análise de uma atividade, e sim a forma com a qual o aluno se apropriou do conhecimento em questão, podendo evidenciar dificuldades no processo de aprendizagem. Esse tipo de análise contribui para a construção de novos degraus do conhecimento. Muitos professores não investigam qual raciocínio o aluno desenvolveu ao realizar determinada atividade, ou seja, a apropriação do processo de construção do mesmo. Trabalhando assim, o professor priva o aluno do seu direito à aquisição ou construção de conhecimentos, uma vez que o erro deve ser encarado como um momento do processo de construção da aprendizagem, visando à sua superação e ao alcance dos objetivos propostos. Os erros não são compreendidos como devem ser e não são utilizados como deveriam, visto que são considerados como uma das etapas principais do processo de aprendizagem. Os erros devem ser compreendidos e não combatidos, devem ser analisados, pois constituem amostras de diferentes modos de pensar, escrever, agir e construir. O erro deve tornar-se um instrumento de investigação que leve docente e discente a refletirem sobre os procedimentos utilizados para a obtenção da resposta alcançada, fazendo evoluir as concepções dos discentes. Alessandra Carvalho Teixeira 22

24 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS Robert (1998) com seus estudos nos permite analisar como a mobilização do conhecimento acontece, possibilitando que o professor compreenda as dificuldades de seus alunos e que o processo de ensino e aprendizagem ocorra, permitindo que o aluno entenda como utilizar as noções matemáticas em contextos diferentes dos habituais de sala de aula. Segundo Robert (1998), não cabe justificar o que o aluno não aprendeu, mas levar em consideração sua dificuldade em mobilizar conhecimentos, muitas vezes porque o aluno não os tem disponíveis naquele momento, não os reconhece ou não consegue representá-los numa forma de registro diferente. Consideramos ainda que a abordagem da pesquisadora introduz elementos auxiliares na reflexão sobre a abordagem das questões matemáticas a fim de melhorar a qualidade de ensino e aprendizagem e possibilitar formas de os alunos alcançarem níveis mais altos de proficiência. A análise de erros nos ajudou a verificar que não basta apenas observar o que os alunos erram, mas sim qual a causa do erro para que este se transforme em possíveis indicativos para a melhoria do processo de ensino e aprendizagem. Imaginamos que um olhar mais atento sobre o erro produzido pelo aluno no processo de aprendizagem em Matemática, pode fazer com que professores reconheçam de fato as dificuldades de seus alunos. Alessandra Carvalho Teixeira 23

25 REFERÊNCIAS ROBERT, A. Outils d analyse des contenus mathématiiques à enseigner au lycée à l université. Recherches en didactique des Mathématiques, vol. 18, nº 2, p , SANTOS, C. A. B. Formação de professores de matemática: contribuições de teorias didáticas no estudo das noções de área e perímetro f. Dissertação (Mestrado ) Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, SÃO PAULO. Saresp 2010: Relatório Pedagógico: Matemática/Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini. São Paulo: SEE, TEIXEIRA, A. C. Uma análise sobre a mobilização de conhecimentos matemáticos em relação aos itens e questões do Saresp 2010 do 9º ano do Ensino Fundamental f. Dissertação (Mestrado em Ciências e Matemática) Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, Alessandra Carvalho Teixeira 24