Cálculo Diferencial em IR n

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1 Cálculo Diferencial em IR n (Cálculo diferencial em campos escalares) José António Caldeira Duarte DMAT 16 Maio 001

2 Conteúdo 1 Cálculo Diferencial em Campos Escalares 1.1 Derivadas Parciais de 1 a Ordem DerivadasParciasdeOrdemSuperioràPrimeira DiferenciabilidadedeCamposEscalares DerivadaDirigida OvectorGradiente /Maio/001

3 1 Cálculo Diferencial em Campos Escalares O conceito fundamental desta secção é o de derivada de um campo escalar. 1.1 Derivadas Parciais de 1 a Ordem Considere-se uma função z = f(x, y) definida num subconjunto D de IR e seja (a, b) um ponto interior de D. Fixando y em b, está-se a restringir o domíniodafunçãoaospontosquepertencemad eseencontramsobrea recta y = b do plano XOY ; a correspondência x f(x, b) define então uma função de uma única variável x. z c O gráfico da função z=f(x,y) z c O gráfico da função f(x,b) O b y O b y a a x x Seestafunçãoforderivávelnopontox = a, tem-se que a sua derivada nesse ponto é dada por h 0 f(a + h, b) f(a, b). h É a este ite (caso exista) que se dá o nome de derivada parcial da função f (x, y) em ordem a x, no ponto (a, b). Simbolicamente é representada por f x (a, b), f x (a, b) ou (D xf)(a, b) Podemos interpretar geometricamente este conceito da seguinte forma: Afunçãof(x, b) foiobtidafixandoovalordavariávely em b na função f(x, y); então o seu gráfico será obtido pela intersecção do gráfico da função z = f(x, y) com o plano vertical y = b. 16/Maio/001

4 A derivada parcial de f em ordem a x no ponto (a, b), sendo a derivada da função real de variável real z = f(x, b), representará o declive da recta tangente ao seu gráfico no ponto (a, b, c). z c A recta tangente ao gráfico da função f(x,b) no ponto (a,b,c). O b O gráfico da função f(x,b) y a x De forma análoga define-se a derivada parcial de f (x, y) em ordem a y no ponto (a, b). Fixando x em a, a transformação y f(a, y) define uma função de uma só variável y; z c O O gráfico da função f(a,y) b y a x se esta função for derivável no ponto y = b, a sua derivada nesse ponto é dada por f(a, b + k) f(a, b) k 0 k que representa a derivada parcial de f (x, y) em ordem a y no ponto (a, b). 3 16/Maio/001

5 Simbolicamente esta derivada parcial é representada por f y (a, b), f y (a, b) ou (D yf)(a, b). Geometricamente, f y (a, b) representa o declive da recta tangente ao gráfico de z = f(a, y) no ponto (a, b, c). z c A recta tangente ao gráfico da função f(a,y) no ponto (a,b,c). O O gráfico da função f(a,y) b y a x As definições apresentadas mostram que as derivadas parciais, caso existam, obedecem às já conhecidas regras de derivação para as funções reais de variável real; isto significa que para derivar em ordem a x uma função das variáveis x e y, avariávely deve ser encarada como uma constante e, reciprocamente, para obter a derivada em ordem a y, avariávelx deve ser tratada como constante. Exemplo 1 No caso de função f (x, y) =y + xy +4x 3, ter-se-á [ df ( f x (0, 1) = 1 + x1+4x 3)] [ df ( = )] 1+1x =1 dx x=0 dx x=0 f y (0, 1) = [ df ( y +0+0 )] [ ] df = dy y=1 dy (y) =. y=1 Exemplo Calcular as derivadas parciais da função f (x, y) definida por { x + y x =0 y =0 f (x, y) = 1 x 0 y 0 no ponto (0, 0). Como em qualquer vizinhança de (0, 0) existem pontos onde a função é definida por um dos ramos, e pontos onde é definida pelo outro ramo, 4 16/Maio/001

6 (qualquer vizinhança de (0, 0) contém pontos que se encontram sobre os eixos onde a função é definida pela expressão x + y, e pontos que não pertencem aos eixos, onde a função assume o valor 1), as derivadas parciais terão que ser calculadas utilizando a definição. Tem-se então, f x f(h, 0) f(0, 0) h 0 (0, 0) = = =1 h 0 h h 0 h f y f(0,k) f(0, 0) k 0 (0, 0) = = =1. k 0 k k 0 k Repare-se que no exemplo anterior ambas as derivadas parciais de f existem na origem, mas a função não é continua neste ponto; de facto f(x, y) não existe. (x,y) (0,0) Contrariamente ao que se verifica para as função reais de variável real, em que a existência de derivada finita num ponto implica que a função seja continua. nesse ponto, em campos escalares a existência de derivadas parciais finitas não implica continuidade. A definição de derivada parcial generaliza-se com facilidade a campos escalares de IR n em IR. Definição 1 Seja f : D IR n IR e (a 1,a,...,a n ) intd. Chamase derivada parcial de f em ordem à variável x i, 1 i n, no ponto (a 1,a,...,a n ), e representa-se por f x i (a 1,a,...,a n ), ao ite h 0 f(a 1,a,...,a i + h,...,a n ) f(a 1,a,...,a i,...,a n ). h 5 16/Maio/001

7 1. Derivadas Parcias de Ordem Superior à Primeira Considere-se agora uma função f : D IR IR queadmitederivadaparcial em ordem a x, num conjunto de pontos E D. AcadapontodeE podemos pois associar um número real - a derivada parcial de f em ordem a x nesse ponto. Obtém-se assim uma nova função de E em IR,quesechamaafunção derivada parcial de f em ordem a x, equeserepresentapor f ou f x x. De uma forma análoga se poderia definir a função derivada parcial em ordem a y, f ou f y y. Exemplo 3 Afunçãof (x, y) =x 3 y 3xy admite como funções derivadas parciais f x =3x y 3y f y =x 3 y 3x Como novas funções f x e f y podem admitir por sua vez, derivadas parciais. Assim, a derivada parcial de f x em ordem a x, numponto(a, b) D será f x(a + h, b) f x(a, b) h 0 h e representa-se por f x (a, b) ou f (a, b). x A derivada parcial de f x em ordem a y, noponto(a, b) será calculada por f x(a, b + k) f x(a, b) k 0 k que se representa por f xy (a, b) ou f (a, b). y x Asderivadasparciaisdafunçãof y,emordemax eemordemay, são respectivamente, f x y (a, b) =f yx (a, b) e f (a, b) =f y y (a, b) Note que f (a, b) e f y x x y f y x (a, b) = y Às derivadas f x, f ordem da função f. (a, b) são abreviaturas das notações ( ) f (a, b), x ( ) f (a, b). y f (a, b) = x y x xy, f y e f yx chamam-se as derivadas parciais de a 6 16/Maio/001

8 Exemplo 4 No exemplo anterior, f x =6xy f xy =6x y 3 f yx =6x y 3 f y =x3 A partir das derivadas de a ordem podem ser definidas as derivadas de 3 a ordem e assim sucessivamente. As derivadas f xy e f yx costumam ser designadas por derivadas mistas e em certas condições dá-se a igualdade entre elas, como acontece no exemplo anterior. O teorema que apresentamos a seguir, sem demonstração, estabelece algumas condições em que se dá essa igualdade. Teorema 1 (Schwarz) Se existirem f x, f y e f xy numa vizinhança de (a, b) esef xy for contínua nesse ponto, então também existe f yx (a, b) e Dem. Omitida. f xy (a, b) =f yx (a, b). 1.3 Diferenciabilidade de Campos Escalares Da mesma forma que a diferenciabilidade de uma função real de variável real, num certo ponto a do seu domínio, está associada à existência de uma recta tangente ao gráfico da função no ponto (a, f (a)), a diferenciabilidade de um campo escalar de IR em IR,numponto(a, b) do seu domínio, está associada à existência do plano tangente ao gráfico desse campo escalar no 7 16/Maio/001

9 ponto (a, b, f (a, b)). z c O plano tangente ao gráfico da função z=f(x,y) no ponto (a,b,c). O b y a x De acordo com a figura, é natural esperar que o plano tangente contenha as rectas cujos declives são as derivadas parciais da função em ordem a x eem ordem a y, no ponto (a, b). Sendo as equações cartesianas dessas rectas { y = b z f(a, b) =f x(a, b)(x a) e a equação do plano que as contém é { x = a z f(a, b) =f y(a, b)(y b), f x(a, b)(x a)+f y(a, b)(y b) (z f(a, b)) = 0. (1) No entanto, a existência do plano tangente não depende apenas da existência das derivadas parciais como facilmente se pode concluir pelo exemplo seguinte. Exemplo 5 Afunçãof (x, y) = xy, cujo gráfico pode ser visto na figura seguinte, admite derivadas parciais finitas na origem, f x(0, 0) = f y(0, 0) = 0. Apesar disso, intuitivamente percebe-se que não tem sentido falar da existênciadeplanotangenteaográficodafunçãonoponto(0, 0, 0), donde esta 8 16/Maio/001

10 f(a+h,b+k)- f(a,b)-hf x (a,b)-kf y (a,b) função não é diferenciável na origem. O plano tangente ao gráfico de uma função no ponto (a, b, f(a, b)) só será definido se a diferença entre o valor da função num ponto (a + h, b + k) de uma vizinhança de (a, b), e a cota nesse ponto, do plano definido pela equação f x(a, b)(x a)+f y(a, b)(y b) (z f(a, b)) = 0, for um infinitésimo com a distância entre os pontos (a, b) e (a + h, b + k), isto é, se f(a + h, b + k) [ f(a, b)+hf x(a, b)+kf y(a, b) ] =0. (h,k) (0,0) h + k z f(a,b)+hf x (a,b)+kf y (a,b) c f(a+h,b+k) O b b+k y x a+h a (h,k) Concluindo, diremos que f é uma função diferenciável em (a, b), ponto interior do domínio de f, se e só se existirem as derivadas parciais f x(a, b) e f y(a, b), e além disso f(a + h, b + k) f(a, b) hf x(a, b) kf y(a, b) =0. () (h,k) (0,0) h + k 9 16/Maio/001

11 Exemplo 6 Para provar que a função f (x, y) =x y é diferenciável em (0, 0) comecemos por calcular f x (0, 0) e f y (0, 0): f x (x, y) =xy e f y (x, y) =yx f x (0, 0) = 0 e f y (0, 0) = 0. Vamos agora demonstrar que f (0 + h, 0+k) f (0, 0) hf x (0, 0) kf y (0, 0) =0. (h,k) (0,0) h + k Para isso vamos utilizar a definição de ite; neste caso, f (0 + h, 0+k) f (0, 0) hf x (0, 0) kf y (0, 0) =0 (h,k) (0,0) h + k h k (h,k) (0,0) h + k =0 δ >0, ε >0: h + k <ε h k <δ. h + k Ora, h k = h k h + k h + k (h + k ) h + k = ( h + k ) 3 ; Então, fazendo ε = δ 3 fica provado que, quando h + k <ε, h k ( h + k ) ) 3 <ε h + k 3 = (δ 3 3 = δ. Repare-se agora que da relação podemos concluir que (h,k) (0,0) f(a + h, b + k) f(a, b) hf x(a, b) kf y(a, b) =0, ou, equivalentemente, f(a + h, b + k) =f(a, b)+hf x(a, b)+kf y(a, b)+r (h, k), com (3) R (h, k) =0. (h,k) (0,0) A igualdade 3 pode ainda ser expressa na forma f(a + h, b + k) =f(a, b)+ [ f x(a, b) f y(a, b) ] [ h k ] + R (h, k); 10 16/Maio/001

12 fazendo α =(a, b), v = he 1 + ke e designando por Df α a aplicação linear de IR em IR representada matricialmente por [ f x(a, b) f y(a, b) ] tem-se o que sugere a definição seguinte. f (α + v) =f (α)+df α (v)+r (v), Definição Seja f : D IR IR e α =(a, b) intd. f é diferenciável em α seesóseexistirumabolaabertacentradaemα ederaior, B r (α) D, e uma aplicação linear Df α de IR IR,taisque: f (α + v) =f (α)+df α (v)+r (v), (4) R (v) com v 0 v =0, para qualquer vector v IR que satisfaça a condição v <r. A aplicação linear Df α referida na definição anterior diz-se o diferencial, derivada ou derivada total de f em α e representa-se habitualmente por f (α). O teorema que enunciamos a seguir mostra que esta definição é equivalente à apresentada inicialmente. Proposição Seja f : D IR IR e α =(a, b) intd. Se f é diferenciável em α, então a aplicação linear Df α é representada matricialmente por [ f x(a, b) f y(a, b) ]. Dem. Seja Df α = [ s 1 s ], α =(a, b), v = he1 + ke. A relação 4 pode então ser escrita na forma f(a + h, b + k) =f(a, b)+s 1 h + s k + R (h, k). (5) Fazendo h =0na relação anterior, tem-se f(a, b + k) =f(a, b)+s k + R (0,k) f(a, b + k) f(a, b) k = s + R(0,k). k 11 16/Maio/001

13 R(0,k) Como =0, conclui-se que k 0 k f(a, b + k) f(a, b) k 0 k s = f y(a, b). Fazendo agora k =0na relação 5, tem-se = s f(a + h, b) =f(a, b)+s 1 h + R (h, 0) f(a + h, b) f(a, b) h R(h,0) Como também =0, conclui-se que h 0 h = s 1 + f(a + h, b) f(a, b) k 0 h s 1 = f x(a, b). R(h, 0). h = s 1 A equação 4, válida para v <r,échamadaafórmula de Taylor de 1 a ordem para f (α + v) e fornece uma aproximação linear, Df α (v), para a diferença f (α + v) f (α). Desprezando R (v) podemos escrever f (α + v) f (α) Df α (v). O erro que se comete ao fazer esta aproximação é portanto igual a R (v), que é um termo de ordem inferior a v quando v 0. Era isto, aliás, o que já acontecia com as funções reais de variável real. Relembrando um pouco este assunto, dizer que uma função real de variável real, f, pode ser aproximada linearmente em x = a, será poder escrevê-la na fórmula de Taylor com resto de primeira ordem: f (a + h) =f (a)+f R 1 (h) (a) h + R 1 (x), com =0 h 0 h Repare-se que na vizinhança de a, a aproximação linear de f (x) éafunção f(x) = f (a)+f (a)(x a) =f (a) x +[f (a) f (a) a] que representa a equação de uma recta com declive f (a) eordenadana origem [f (a) f (a) a]. 1 16/Maio/001

14 Exemplo 7 Afunçãof (x) =e x, numa vizinhança do ponto 0, tem como aproximação linear a função y = x +1. Como df = f (x 0 ) dx então Assim, resultando f f (x 0 ) x. e x e 0 e 0 (x 0), e x x x Exemplo 8 Afunçãodoexemplo6,f(x, y) =x y, tem como aproximação linear numa vizinhança do ponto (0, 0), o plano tangente de equação z =0. Isto significa que numa vizinhança de (0, 0), x y 0. Vamos agora apresentar a generalização dos resultados anteriores, a campos escalares definidos em IR n /Maio/001

15 Definição 3 Seja f : D IR n IR e α =(α 1,...,α n ) intd. f é diferenciável em α seesóseexistirumabolaabertacentradaemα ede raio r, B r (α), e uma aplicação linear Df α de IR n IR,taisque: f (α + v) =f (α)+df α (v)+r (v), (6) R (v) com v 0 v =0, para qualquer vector v IR n que satisfaça a condição v <r. Proposição 3 Seja f : D IR n IR e α =(α 1,...,α n ) intd. Se f é diferenciável em α, então a aplicação linear Df α é representada matricialmente por [ f x 1 (α)... f x n (α) ]. Dem. Exercício. Vimos anteriormente que a existência das derivadas parciais não garante a diferenciabilidade de um campo escalar; mas o mesmo não se passa com a derivada total. Proposição 4 Seja: f : D IR n IR e α intd. Se f é diferenciável em α então f é contínua neste ponto. Dem. Pretende-se mostrar que f (x) =f (α), ou de outro modo, x α que f (α + v) =f (α)como f é diferenciável em α, tem-se v 0 f (α + v) =f (α)+df α (v)+r (v), R (v) com v 0 v =0. Fazendo v 0, na expressão anterior, resulta v 0 f (α + v) = f (α) + α (v) + R (v) = v 0 v 0 v 0 = f (α). pois por hipótese v 0 R (v) =0e qualquer aplicação linear é uma função contínua /Maio/001

16 A afirmação recíproca não é verdadeira! Existem funções contínuas que não são diferenciáveis como o exemplo 5 mostra! Nem sempre é fácil verificar se uma função é diferenciável recorrendo à definição. Tem interesse, por isso, conhecer condições suficientes que garantam a diferenciabilidade de uma função. Proposição 5 Seja f um campo escalar definido num subconjunto D de IR n e α intd; se todas as derivadas parciais de f são continuas numa vizinhança de α então f é diferenciável nesse ponto. Dem. Omite-se a demonstração deste resultado. Exemplo 9 Afunçãof (x, y) =x +xy + y é diferenciável em qualquer ponto de IR,pois f x =x +y e f y =x +y são funções contínuas em qualquer ponto de IR. Interessa agora apresentar a definição de um conceito que será frequentemente utilizado daqui em diante. Definição 4 Quando uma função admite derivadas parciais continuas até àordemp emtodosospontosdeumconjuntos, diz-sedeclassec p em S e representa-se por f C p (S). Se uma função tiver derivadas parciais contínuas, de qualquer ordem em todos os pontos de um conjunto S, diz-se de classe C, nesse conjunto. Uma função diz-se de classe C 0 no conjunto S se for contínua em S. Em face desta definição podemos pois afirmar que uma função de classe C 1 numa vizinhança de um ponto (a, b) é diferenciável nesse ponto. Exemplo 10 Nas figuras seguintes representam-se campos escalares com diferentes comportamentos na vizinhança da origem: f (x, y) = xy (descontínuo), g (x, y) = xy (prolongável por contínuidade mas com prolonga- x +y x +y mento não diferenciável), h (x, y) = xy3 (com prolongamento por continuidade diferenciável). O campo escalar, w (x, y) =x 3 +3xy 15x 1y, x +y constitui um exemplo de uma aplicação C ( suave ) /Maio/001

17 x0 - f (x, y) = -4 xy x +y 4 0y x0 g (x, y) = - xy x +y y x0 h (x, y) = - -4 xy3 x +y y y x w (x, y) =x 3 +3xy 15x 1y 1.4 Derivada Dirigida Neste parágrafo iremos apresentar o conceito de derivada segundo a direcção de um vector. Tendo em atenção, que a derivada de uma função pode ser encaradacomoataxadevariaçãoinstantâneadafunção,oquesepretende estudar é qual a variação do campo escalar quando passa de um ponto a para um ponto x, de uma vizinhança de a. Por exemplo, se f (a, b) representar a temperatura de um ponto (a, b) numa sala com um aquecedor e uma janela aberta, é evidente que se nos movermos do ponto (a, b) em direcção à janela a temperatura irá diminuir, mas se nos movermos em direcção ao aquecedor, aumentará. Duma forma geral, um campo escalar varia de acordo com a direcção segundo a qual se passa de um ponto para outro. Exemplo 11 Seja f(x, y) =x +y um campo escalar de duas variáveis cuja representação gráfica é a superfície parabólica representada na figura 16 16/Maio/001

18 seguinte. 1 Afunçãonaorigemassumeovalor0. Quando se passa do ponto (0, 0) para oponto(1, 1), (segundo a direcção da recta y = x), a função nesse ponto tomaovalor3. Mas, quando de (0, 0) passamos ao ponto (, 0), segundo a direcção do eixo OX, f(, 0) =. Repare-se que os pontos considerados, (1, 1) e (, 0), estãoàmesmadistânciadaorigem;afunção,noentanto, cresce mais rapidamente na direcção da recta y = x, do que segundo o eixo dos xx. Sendo f : D IR IR, (a, b) um ponto interior de D, ev =(v 1,v ) um vector unitário 1 qualquer de IR,define-sederivada da função f no ponto (a, b), segundo a direcção do vector v, como f ((a, b)+t (v 1,v )) f (a, b) t 0 t e representa-se por f v (a, b). Em termos geométricos, esta derivada pode ser interpretada da seguinte forma: (x, y) =(a, b)+t (v 1,v ),t IR, é a equação vectorial de uma recta s que passa no ponto (a, b) e tem a direcção do vector v =(v 1,v ); f ((a, b)+t (v 1,v )) é a restrição da função f a esses pontos. 1 Diz-se que v é um vector unitário se e só se a sua norma é igual a 1( v =1) /Maio/001

19 O gráfico desta restrição pode ser obtido intersectando o gráfico de f(x, y) comumplanoquecontenhaoponto(a, b), o vector v e seja paralelo ao eixo OZ. O gráfico da função z=f(a,b)+t(v 1,v ) z c A recta tangente ao gráfico da função z=f(a,b)+t(v 1,v ) z c O b y O b y x a v x a v f v (a, b) representará o declive da recta tangente ao gráfico de z = f ((a, b)+t (v 1,v )) no ponto (a, b, f (a, b)). Por outras palavras, a derivada dirigida de uma função f, numpontoα e segundo um vector v, representa a taxa de variação instantânea da função f nesse ponto e segundo a direcção do vector v. Exemplo 1 Calculemosaderivadadafunçãof (x, y) =3x +y, segundo a direcção do vector v =(3, 5), noponto(1, 1); ovectorv não é um vector unitário, pelo que vamos começar por definir um vector que tenha a mesma direcção e o mesmo sentido de v mas com norma igual a 1; esse vector pode ser o versor de v (representado por e v ): ( ) 3 5 e v =, [ ( )] f (1, 1) + t 3 f e 34, 5 34 f (1, 1) v (1, 1) = t 0 ( t ) t, t f (1, 1) = t 0 f 3 = t 0 1 = t ( t t ) ( t ( t 34 t ) = = ) (3 + ) = = 18 16/Maio/001

20 A definição apresentada generaliza-se facilmente para uma função definida num subconjunto de IR n. Definição 5 Seja f : D IR n IR, α intd e v um vector qualquer de IR n ; Chama-se derivada de f no ponto α, segundo o vector v, e representa-se por f v (α), ao seguinte ite quando este existe: f (α + tv) f (α) t 0 t Chama-se derivada de f no ponto α segundo a direcção do vector v aderivada segundo o versor e v de v. As derivadas parciais de um campo escalar constituem casos particulares de derivadas direccionais; de facto, fazendo v = e i,i=1,...,n,na definição 5 obtemos f e i (α) = f (α). x i 1.5 O vector Gradiente Neste parágrafo iremos admitir que a função f : D IR n IR é diferenciável em α intd. Nestas condições define-se vector gradiente da função f no ponto α e representa-se por f (α) ou gradf (α). ao vector cujas componentes são as derivadas parciais de f no ponto α, ( f (α),..., f ) (α). x 1 x n Repare-se que, sendo (e 1,...,e n ) a base canónica de IR n, f (α) = f (α) e f (α) e n. x 1 x n Exemplo 13 Calculemos o gradiente da função f (x, y) =3x +y,noponto (1, 1); Assim f x (x, y) =6x f x (1, 1) = 6 e f y (x, y) = f y (1, 1) =. gradf (1, 1) = f (1, 1) = (6, ) = 6e 1 +e /Maio/001

21 Vejamos agora algumas propriedades do vector gradiente. Proposição 6 Se f : D IR n IR, for diferenciável em α, então: com f v (α) = f (α) v. Dem. Sendo f : D IR n IR diferenciável em α, tem-se f (α + tv) =f (α)+df α (tv)+r (tv) R (tv) t 0 tv =0. Ora f v f (α + tv) f (α) (α) = = t 0 [ t = Df α (v)+ R (tv) ] = t 0 t = Df α (v) = = f (α) v. Em resumo, a derivada segundo um vector de uma função diferenciável pode ser obtida pelo produto interno entre o vector gradiente e o vector em questão. Proposição 7 Nas condições da proposição anterior, f v (α) = f (α) v = f (α) v cos θ, (7) em que θ é o ângulo entre os vectores f (α) e v. Dem. Resulta imediatamente da caracterização de produto interno através da noção de norma e ângulo entre dois vectores. Proposição 8 A taxa de variação máxima de um campo escalar verifica-se na direcção e do vector gradiente (se f (α) 0) e o valor absoluto desta taxa de variação é igual à norma do vector gradiente, isto é, f e (α) = f (α). 0 16/Maio/001

22 Dem. Seja v um vector de norma 1; a igualdade 7 toma então a forma f v (α) = f (α) v = f (α) cos θ. Assim,aderivadasegundoadirecçãodev, f v (α), é maxima quando ovectorv tiver a direcção e do vector f (α), pois nestas circunstâncias cos θ =1. Masaderivadasegundoadirecçãodee, f e (α), traduz precisamente a taxa de variação do campo escalar nesta direcção. Por outro lado, nesta direcção, f e (α) = f (α). Exemplo 14 Qual a direcção de maior crescimento da função f (x, y) = x y,noponto(0, 1)? A direcção procurada é a direcção do vector gradiente de f em (0, 1), f (0, 1) = (0, ). z x -y =-4 x -y =-1 A curva de nível que passa no ponto (0,1). 1 x -y =0 x -y =1 x -y =4 O vector gradiente f(0,1). y x Esta resposta é perfeitamente consistente com os gráficos apresentados anteriormente; de facto, se as linhas de nível representam o lugar geométrico dos pontos onde a função assume um valor constante, e o gradiente aponta na direcção de maior crescimento, sendo f uma função razoavelmente bem comportada, é natural esperar que o gradiente da função num determinado ponto, e a curva de nível que passa nesse ponto sejam perpendiculares. O teorema que apresentamos a seguir para n =3, ecujademonstração será deixada como exercício, traduz esta importante propriedade do vector gradiente. Proposição 9 Seja f : D IR 3 IR uma função diferenciável em (a, b, c) intd; então f (a, b, c) é perpendicular à superfície de nível da função f que passa nesse ponto. Dem. Exercício. 1 16/Maio/001

23 Exemplo 15 Determinemos a equação do plano tangente à superfície esférica x + y + z =3no ponto (1, 1, 1). É de fácil verificação que o ponto referido pertence à superfície indicada. Por outro lado, designando por f a função definida por f(x, y, z) =x + y + z, sabemos que o vector gradiente de f no ponto (1, 1, 1), f(1, 1, 1) = (,, ) é normal à referida superfície no ponto em questão Assim a equação do plano tangente será: (x 1) + (y 1) + (z 1) = 0. As equações normais da recta normal à superfície no ponto (1, 1, 1) serão: x 1 = y 1 = z 1 Generalizando este exemplo, suponha-se, agora, que uma dada superfície é caracterizada pela equação F (x, y, z) =C equep =(a, b, c) éumponto da referida superfície. Nestas circunstâncias sabemos que v =gradf (a, b, c) será um vector normal à superfície em P. Assim a equação do plano tangente e as equações da recta normal à superfície serão, respectivamente: 1. Equação do Plano Tangente à superfície F (x, y, z) = C em P = (a, b, c) : (x a) F F (a, b, c)+(y b) x y (a, b, c)+(z c) F z (a, b, c) =0. Equações da Recta Normal à superfície F (x, y, z) =C em P =(a, b, c): x a = y F (a, b, c) x b = z F (a, b, c) y F z c (a, b, c). Exemplo 16 Consideremos agora o campo escalar z = f (x, y). Determinemos a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (a, b, f (a, b)) bem como as equação cartesianas da recta perpendicular ao seu gráfico nesse ponto. 16/Maio/001

24 Nesta situação, os pontos do gráfico da função f são caracterizados pela condição f (x, y) z =0.FazendoF (x, y, z) =f(x, y) z, tem-se F f (a, b, f (a, b)) = (a, b), x x F y f (a, b, f (a, b)) = (a, b), y e F (a, b, f (a, b)) = 1. z 1. Equaçãodoplanotangenteàsuperfíciez = f (x, y) em (a, b, f (a, b)) : z =(x a) f f (a, b)+(y b) (a, b)+f (a, b). x y. Equações da recta normal à superfície z = f (x, y) em (a, b, f (a, b)) : Referências x a = y f (a, b) x b z f (a, b) = (a, b) 1 f y [1] Apostol,T.M.,Calculus,Reverté,1977; [] Azenha, Acilina e Jerónimo, M. A., Cálculo Diferencial Integral em IR e IR n, McGraw-Hill, 1995; [3] Lima, Elon Lages, Curso de Análise (Vol 1 e ), IMPA, Projecto Euclides, 1995; [4] Piskounov, N., Calcul Différentiel et Intégral, MIR, 1976; [5] Taylor, A. E., Advanced Calculus, Xerox College Publishing, Massachusetts, 197; [6] Wade, W. R., An Introduction to Analysis, Prentice Hall, 1995; 3 16/Maio/001