Cálculo diferencial em IR n

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1 Cálculo diferencial em IR n (Elementos de Topologia) DMAT 17 Abril 001

2 Conteúdo 1 Introdução Noções Topológicas em IR n.1 NoçãodeVizinhança.... NoçõesTopológicasElementares /Abril/001

3 1 Introdução A noção de proximidade ou vizinhança foi uma noção fundamental na aplicação da noção de limite quer ao estudarmos sucessões reais quer ao estudarmos funções reais de variável real. Com efeito, sem uma medida da proximidade relativa, como mostrar que uma sucessão de objectos matemáticos (números ou vectores, por exemplo) se aproxima cada vez mais de um outro objectomatemáticodomesmotipo? A convicção da importância destas noções é reforçada ao repararmos que muita da matemática que se aplica na engenharia é delas tributária: a noção de soma de uma série (limite da sucessão das suas somas parciais), a noção de série de potência, a noção de velocidade instantânea (limite de uma certa razão incremental), a noção de integral de Riemman (limite das somas de Riemman), a noção de continuidade, etc, etc. A construção matemática dos conceitos que permitem a exploração do conceito de limite apoia-se no campo da matemática conhecido por Topologia, no qual se estudam as propriedades dos conjuntos matemáticos estruturados recorrendo à noção de vizinhança abstracta. Neste capítulo iremos estudar noções de topologia elementar no quadro mais restritivo (e intuitivo) dos espaços métricos, isto é, em conjuntos munidos do conceito matemático de distância (Euclideana) tendo em vista a aplicação dos conceitos desenvolvidos ao estudo da noção de limite, continuidade e diferenciabilidade de campos escalares e vectoriais. O conceito de vizinhança, essencial na construção de um espaço topológico, será então definido com base na noção de distância Euclideana entre elementos dos conjuntos estudados (vectores de IR n ). De notar, no entanto, que em estudos mais profundos e com maior alcance a Topologia pode ser estudada sem recorrer ao conceito de distância (ou métrica). Noções Topológicas em IR n.1 Noção de Vizinhança É a noção de bola aberta, conceito que generaliza a noção de intervalo aberto de IR que tão bem conhecemos que permitirá, como veremos de seguida, definir o conceito de vizinhança de um ponto necessário à estruturação topológica de IR n. Comecemos por recordar a noção de norma Euclideana e de distância associada a esta última norma, definidas naturalmente no espaço vectorial 17/Abril/001

4 Euclideano IR n, a partir do conceito de produto interno canónico. Seja x =(x 1,x,...,x n ) IR n, a aplicação : IR n IR x x = x x = x x n diz-se norma Euclideana. De notar que esta aplicação (como todas as normas) goza das seguintes propriedades: x 0, x IR n ; ax = a x, x IR n e a IR; x + y x + y, x, y IR n ; Se x =0então x = 0. Chama-se distância (ou métrica) associada à norma anterior a função d : IR n IR n IR (x, y) d (x, y) = x y. A função distância goza das seguintes propriedades naturais (que resultam das propriedades da norma): d (x, y) 0, x, y IR n d (x, y) =0sse x = y; d (x, y) =d (y, x), x, y IR n ; d (x, z) d (x, y)+d (y, z), x, y, z IR n. Notemos que a função distância satisfaz as propriedades que a distância usual satisfaz e define qualitativa e quantitivamente a noção de proximidade entre os objectos matemáticos em estudo (neste caso vectores de IR n ). Chama-se bola aberta de centro a eraior > 0, erepresenta-sepor B (a,r) ou B r (a) ao conjunto dos pontos x de IR n tal que isto é d (x, a) <r B r (a) =x IR n : d (x, a) <r. Umabolaabertadecentroa eraior é o conjunto de todos os vectores cuja distância ao vector a é estritamente menor do que r. Não é difícil verificar que em IR as bolas abertas representam intervalos abertos (porquê?). Em IR n o conceito de bola aberta pode ser geometricamente interpretado, como veremos nos exemplos seguintes. 3 17/Abril/001

5 Exemplo 1 Em IR, uma bola aberta de centro num ponto (a 1,a ) eraior seráoconjuntodospontos(x 1,x ),taisque d ((x 1,x ), (a 1,a )) = (x 1,x ) (a 1,a ) <r (x 1 a 1 ) +(x a ) <r isto é, representa o interior do círculo de centro (a 1,a ) eraior. Exemplo Em IR n, uma bola aberta de centro em a =(a 1,..., a n ) eraior será constituída pelos vectores x, tais que d (x, a) = (x 1,..., x n ) (a 1,...,a n ) <r (x 1 a 1 ) + +(x n a n ) <r isto é, representará os pontos do interior de uma hiper-esfera centrada em a ederaior. Em IR 3 quais são os sólidos geométricos cujo interior representa uma bola aberta? Vizinhança de um ponto a é qualquer subconjunto de IR n que contenha umabolaabertadecentroema, istoé,v é uma vizinhança de a se B r (a) V para algum r>0. Note-se que qualquer bola aberta é vizinhançadoseuprópriocentroe facilmente se mostra que é vizinhaça de qualquer um dos seus pontos. Exemplo 3 Seja a =(1, 1). Osconjuntos V 1 = (x 1,x ) IR : x 1 0 e x 1 V = (x 1,x ) IR : V 3 = (x 1,x ) IR :, e x ) 1 (x 1 1) +(x 1) ( x1 1 ) ( /Abril/001

6 são todos vizinhanças de a, já que todos contêm uma bola aberta centrada em a (a bola aberta B 1 (a) por exemplo). No entanto os conjuntos 4 já não são vizinhanças de a. W 1 = (x 1,x ) IR : x 1 1 e x 1, W = (x 1,x ) IR : x 1 + x. Noções Topológicas Elementares Vamos estudar agora algumas noções topológicas elementares. Seja S um subconjunto de IR n,umpontoa diz-se ponto interior de S, se S for uma vizinhança de a, isto é, se existir uma bola aberta centrada em a econtidaems. Um ponto diz-se exterior ao conjunto S se for interior ao seu complementar. No caso de um ponto não ser interior nem exterior ao conjunto S, esse ponto designa-se por ponto fronteiro de S. O conjunto dos pontos interiores de um conjunto S, designa-se por interior de S e representa-se por ints. O conjunto dos pontos exteriores de S, designa-se por exterior de S e representa-se por exts. De forma análoga frs, representa o conjunto dos pontos fronteiros de S que se designa fronteira de S. A fronteira de um conjunto S pode ser representada por S. Exemplo 4 Opontoa é ponto interior do conjunto S = B r (a). Com efeito B r (a) S = B r (a) o que mostra que existe uma bola aberta centrada em a e contida em S = B r (a). O conjunto dos pontos interiores de S é ints = B r (a) uma vez que B r (a) évizinhançadetodososseuspontos. O conjunto dos pontos exteriores de S é exts = x IR n : d (x, a) >r uma vez que estes pontos são interiores ao complementar de B r (a). Oconjunto frs = x IR n : d (x, a) =r constitui o conjunto dos pontos fronteiros de S pois estes pontos não são pontos interiores de S, nem do seu complementar. 5 17/Abril/001

7 Exemplo 5 Seja a = ( 1, 1, 1 ). Este vector é ponto interior de S = (x 1,x,x 3 ) IR 3 : x 1 0 x 0 x 3 0, já que B 1 (a) S, por exemplo. 4 Os pontos de S tais que (0,x,x 3 ), com x e x 3 maiores do que zero, são pontos fronteiros de S, já que não são pontos interiores nem de S, nemdo seu complementar Exemplo 6 Seja S = (x 1,x ) IR : x =x 1. Este conjunto não tem pontos interiores. Suponha-se (com vista a um absurdo) que (s, s) S é ponto interior de S. Então para certo r = r 0, B r0 (s, s) S. Mas ( s + r 0, s r 0 ) Br0 (s, s) e ( s + r 0, s r 0 ) / S, o que é absurdo. Este facto mostra que S não pode ter pontos interiores. Por outro lado, o conjunto dos pontos exteriores de S é exts = (x 1,x ) IR : x x 1, já que todos estes pontos são interiores ao complementar de S. Pode facilmente mostrar-se que ints S, exts IR n \S e IR n = ints exts frs. Relembremos que representa a chamada união disjunta de conjuntos. Certos conjuntos só têm pontos interiores. Se todos os pontos de um conjunto, forem pontos interiores, o conjunto diz-se aberto. Assimumconjunto S éumconjunto aberto se e somente se S coincide com o seu interior. Exemplo 7 Todasasbolasabertassãoconjuntosabertospois Exemplo 8 Seja V = B r (a) =intb r (a). (x 1,x ) IR : x 1 > 0 e x > 1. Este conjunto é aberto, pois só tem pontos interiores. 6 17/Abril/001

8 Exemplo 9 Oconjunto V = (x 1,x ) IR : x 1 0 e x 1 nãoéaberto,jáqueporexemplo(0, 1) não é ponto interior de V. Exemplo 10 Seja S = (x 1,x ) IR : x =x 1. Este conjunto não é aberto pois tem pelo menos um ponto que não é ponto interior o ponto (1, ), por exemplo. A união finita ou infinita numerável 1 de conjuntos abertos é ainda um conjunto aberto. Assim, a união de bolas abertas é ainda um conjunto aberto. A intersecção finita de conjuntos abertos é ainda um conjunto aberto. Notemos que a intersecção infinita de conjuntos abertos pode não ser um conjunto aberto! Os conjuntos abertos são particularmente importantes em Topologia já que muitas das definições e resultados são expressos em termos deste tipo de conjuntos. Um conjunto diz-se fechado se o seu complementar for aberto. Exemplo 11 Oconjunto B r (a) =x IR n : d (x, a) r é um conjunto fechado que se designa por bola fechada centrada em a ede raio r. Com efeito o seu complementar é um conjunto aberto. Exemplo 1 Seja S = (x 1,x ) IR : x =x 1. Este conjunto é fechado pois o seu complementar é aberto. Exemplo 13 Oconjunto V = (x 1,x ) IR : x 1 0 e x > 1 não é fechado nem aberto já que nem V, nem o seu complementar são abertos. 1 n IN A n = x: existei IN tal que x A i diz-se uma união numerável de conjuntos. 7 17/Abril/001

9 Exemplo 14 O conjunto vazio é fechado em IR pois o seu complementar é aberto: o complementar de é IR que é aberto. Por outro lado, como é aberto, já que só tem pontos interiores (porquê?), o seu complementar IR é fechado. Assim, e IR são fechados e abertos simultâneamente. Notemos, como se pode verificar nos exemplos anteriores, que certos conjuntos podem ser abertos e fechados simultâneamente ou nem abertos nem fechados. Assim, um dado conjunto pode ser aberto, fechado, nem aberto nem fechado e simultâneamente aberto e fechado. Chama-se fecho ou aderência do conjunto S à união de S com a sua fronteira que se representa por S. Umpontoa diz-se aderente a S se pertencer à aderência de S. É possível mostrar que o fecho de um conjunto é sempre um conjunto fechado. Os conjuntos abertos podem ser caracterizados à custa do conceito de conjunto fechado. Com efeito um conjunto S éabertosseoseucomplementar é fechado. Opontoa IR n é ponto de acumulação de um conjunto S IR n se esóseemtodaavizinhançadea existemumainfinidadedepontosdes. Chama-se derivado de S ao conjunto de todos os pontos de acumulação de S. O derivado de S denota-se por S. Notemos que um conjunto finito não tem pontos de acumulação. Pode mostrar-se que A Ā. Um ponto a de S diz-se isolado se existir uma bola B r (a) tal que B r (a) S = a. Exemplo 15 Consideremos o subconjunto de IR B = x IR : x = 1n n IN. Não é difícil verificar que B tem por único ponto de acumulação x =0. O seu derivado será pois B = 0. Exemplo 16 Determinar o interior, o exterior, a fronteira, a aderência e o derivado do conjunto, A = (x 1,x ) IR :1<x 1 + x /Abril/001

10 Conclui-se imediatamente que inta = (x, y) IR :1<x + y < 4, exta = (x, y) IR : x + y > 4 x + y < 1, fra = (x, y) IR : x + y =1 x + y =4, Ā = (x, y) IR :1 x + y 4, A = (x, y) IR :1 x + y 4. Neste caso verifica-se A = Ā (o que nem sempre acontece. Porquê?). Além disso, nem o conjunto A é aberto, nem o seu complementar o é, pelo que A é um exemplo de um conjunto que não é aberto nem fechado. Um conjunto S diz-se limitado se existir alguma bola que o contenha. Os subconjuntos de IR n que são limitados e fechados dizem-se compactos. Seja C um subconjunto de IR n. Diz-se que dois subconjuntos abertos A e B de IR n separam C se C A B, A B =,C A e C B. O subconjunto C de IR n diz-se conexo se não puder ser separado por nenhum par A e B de subconjuntos abertos de IR n. Exemplo 17 Mostremos que C = (x, y) IR : x + y 1 y 0 não é conexo. Sejam os abertos A = (x, y) IR : x + y < y>0, B = (x, y) IR : x + y < y<0. Com efeito, C A B, A B =,C A e C B oquemostra que C é separado pelos abertos A e B. EntãoC não é conexo. Referências [1] Azenha, Acilina e Jerónimo, M. A., Cálculo Diferencial Integral em IR e IR n, McGraw-Hill, 1995; [] Lipschutz, S., Topologia Geral, Schaum, 1971; [3] Machado, Armando, Topologia, Universidade Aberta, 1995; [4] Wade, W. R., An Introduction to Analysis, Prentice Hall, 1995; 9 17/Abril/001