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1 CPV seu Pé Direito no INSPER INSPER Resolvida 6/junho/03 Prova A (Marrom) ANÁLISE QUANTITATIVA E LÓGICA 0. Na figura está representado o preço de um console de video game, em função do tempo decorrido desde o seu lançamento. Utilize as informções a seguir para as questões 0 e 03. A parte externa do palco de um teatro será construída tendo como contorno um trecho de parábola. Para projetá-la, um arquiteto usou um plano cartesiano e desenhou a parábola de equação y x, restrita aos quadrantes correspondentes a y 0, conforme a figura a seguir. O preço do aparelho será menor do que 50% do valor de lançamento a partir do: a) 6 o mês b) 8 o mês c) 0 o mês d) o mês e) 4 o mês Pelo gráfico, para y,5 obtemos t 4, ou seja, a partir do 4 o mês. Alternativa E Cada unidade nos eixos corresponde a 0 metros. 0. O chão do palco precisa ser recoberto com um revestimento acústico especial, que é muito caro. Como o arquiteto não dispõe de uma fórmula para calcular a área delimitada por uma reta e uma parábola, ele decidiu estimá-la, obtendo um valor mínimo e um valor máximo, usando: um triângulo de vértices sobre os pontos (0;), (; 0) e ( ; 0). um trapázio de vértices sobre os pontos (; 0), ( ; 0), ( 0,5; ) e (0,5; ). Considerando as dimensões reais do palco, a diferença entre os valores que ele obteve corresponde a: a) 0,5 m b),0 m c) 5,0 m d) 0,0 m e) 50,0 m CPV INSPERJUN03

2 INSPER 6/06/03 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades C D Como cada unidade do gráfico corresponde a 0 m, temos: Área do ΔABC: 0. 0 S 00 m Área do trapézio BCDE: (0 + 0). 0 S 50 m Portanto, a diferença é: S S 50 m Alternativa E A 0 E B 03. Dada a dificuldade de se construir uma superfície que tem um trecho de parábola como contorno, o arquiteto decidiu trocar a forma do palco por um semicírculo de raio (quando representado no mesmo plano cartesiano). Entretanto, dois trilhos de iluminação já estavam sendo construídos no teto nas direções das retas y x e y x, ligando o ponto representado por (0; 0) aos respectivos pontos de encontro das retas com a parábola. Com essa alteração no projeto, o total de trilho adicional necessário para os dois lados será igual a, aproximadamente, a), metros b) 3, metros c) 4, metros d) 5, metros e) 6, metros y x (Use, 4 e, ) y x G H I F A 0 B Para obtermos o segmento IF HG, devemos obter o ponto I resolvendo o sistema: y x x + 5 +, 0,6 Þ x + x 0 y x x 5,,6 (não convém) O ponto I tem coordenadas I (0,6; 0,6). Como OI é diagonal de um quadrado de lado 0,6, então: OF 0,6 0,6.,4 Þ OF 0,84 isto é, 8,4 m Como OF é o raio da circunferência do raio, então OF 0 m. Logo, IF HG 0 8,4,6 Portanto, a medida do trilho adicional é:.,6 3, m Alternativa B CPV INSPERJUN03

3 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades INSPER 6/06/ Considere que a seguinte declaração é verdadeira. Se todos os homens de bem preferem qualquer outra atividade à política, então são governados por pessoas de outra natureza, nunca por homens de bem. Se um homem de bem governa, pode-se deduzir que necessariamente a) todos os homens de bem preferem a política às outras atividades. b) pelo menos um homem de bem prefere a política a alguma outra atividade. c) todas as pessoas de outra natureza preferem a política às outras atividades. d) pelo menos uma pessoa de outra natureza prefere a política às outras atividades. e) nenhuma pessoa de outra natureza prefere a política às outras atividades. Um condicional do tipo Se A, então B é verdadeiro somente em 3 situações: V V, F V, F F. 05. Jane retirou R$40,00 num caixa eletrônico que dispunha de notas de R$50,00 e R$0,00, tendo recebido c cédulas de R$50,00 e v cédulas de R$0,00. A diferença entre c e v, em módulo, pode ser: a) no mínimo e no máximo 5. b) no mínimo e no máximo 7. c) no mínimo e no máximo. d) no mínimo 3 e no máximo 7. e) no mínimo 3 e no máximo. Temos as seguintes distribuições possíveis: c v Então, a diferença em módulo entre c e v, pode ser no mínimo e no máximo. Alternativa C Temos então a declaração: [se] NENHUM homem de bem prefere a política, [então] NENHUM homem de bem governa. Como o enunciado afirma que um homem de bem governa, a segunda parte da proposição (o consequente) é seguramente FALSA. Desse modo, é necessário que a primeira parte da proposição (o antecedente) seja FALSA (afinal, se for verdadeira, teremos V F). Logo, é falso que nenhum homem de bem prefere a política ; ou seja, é verdadeiro que pelo menos um homem de bem prefere a política. Alternativa B INSPERJUN03 CPV

4 4 INSPER 6/06/03 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades Utilize as informações a seguir para as questões 06, 07 e 08. Um géografo deseja determinar a localização do pico de uma montanha. Na região, há duas estradas retas, ambas no nível do mar, sem subidas ou descidas ao longo de seus percursos, que se cruzam formando um ângulo reto. Ele conta com um instrumento que lhe permite observar o pico por meio de uma luneta e registrar: o ângulo de observação, formado pela reta que liga o ponto em que está o aparelho e o pico com o plano formado pelas duas estradas; a distância aproximada entre o ponto de observação e o pico. Está mais distante do pico o ponto a) A b) B c) C d) D e) E Projetando os pontos A, B, C, D e E sobre a mesma reta em relação ao pico da montanha, temos: pico Os eixos da figura a seguir representam as duas estradas e os pontos A, B, C, D e E correspondem a locais onde ele fez as suas primeiras observações. 45º 40º 37º 34º 3º E D B A C Portanto, o ponto mais distante é o C. Alternativa C Cada unidade nos eixos corresponde a quilômetro. 06. Os ângulos de inclinação entre o plano determinado pelas estradas e as retas ligando os pontos de observação com o pico foram registrados na tabela. CPV INSPERJUN03

5 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades INSPER 6/06/ Como estava com dificuldades para determinar a altura do pico em relação ao nível do mar, o géografo fez diversas outras medições em pontos da estrada representada pelo eixo x. Nesse processo, ele encontrou um ponto F em que o ângulo entre o plano das estradas e a reta que o ligava ao pico era exatamente 30 o. Seu aparelho mostrou que a distância entre o ponto F e o pico era igual a 6 km. A altura do pico em relação ao nível do mar é igual a a) 6 km b) 5 km c) 4 km d) 3 km e) km A figura relacionada à questão é: 08. Para determinar a projeção do pico da montanha no plano representado na figura, o géografo pensou em fazer diversas observações ao longo das duas estradas. Ele o faria até que encontrasse pontos equidistantes da projeção do pico. Para que seja determinada esta localização, a) é suficiente encontrar dois pontos equidistantes distintos na mesma estrada. b) é suficiente encontrar dois pontos equidistantes distintos, sendo um em cada estrada. c) é necessário encontrar três pontos equidistantes distintos dois a dois na mesma estrada. d) é suficiente encontrar três pontos equidistantes distintos dois a dois. e) é necessário encontrar quatro pontos equidistantes distintos dois a dois. 6 km h y 30º D Então, sen 30º h 6 Þ h 3 km Alternativa D P C A B x A projeção ortagonal do pico sobre o plano é o centro da circunferência cujo raio é a medida feita pelo geógrafo. Se este tomasse apenas pontos dentre A, B, C e D, o pico estaria em um ponto qualquer da mediatriz do segmento de reta determinado por estes pontos. Portanto, seria necessário um terceiro ponto para encontrarmos as coordenadas do ponto pedido. Obs: Se considerarmos que o geógrafo considera a medida da distância do ponto de observação até a projeção, bastariam apenas pontos na mesma reta, o que nos conduziria à alternativa A. Alternativa D INSPERJUN03 CPV

6 6 INSPER 6/06/03 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades 09. Uma doceira vende bombons artesanais em embalagens individuais (por R$5,00 a unidade), caixas com (por R$5,00 cada uma) ou pacotes com 4 (por R$96,00 cada um). Há também uma promoção: comprando x embalagens individuais, o cliente ganha x% de desconto, para x 50. Comparando os preços, é correto concluir que comprar bombons pela promoção é a) mais vantajoso para um cliente que quiser ou 4 unidades do que adquiri-las na caixa ou no pacote, respectivamente. b) mais vantajoso para um cliente que quiser 4 unidades em relação ao preço do pacote, mas não para quem quiser. c) mais vantajoso para um cliente que quiser unidades em relação ao preço da caixa, mas não para quem quiser 4. d) menos vantajoso tanto para um cliente que quiser unidades quanto para quem quiser 4, em relação aos preços da caixa ou do pacote, respectivamente. e) indiferente tanto para um cliente que quiser unidades quanto para quem quiser 4. O preço da promoção é 5x ( x 00) ; os preços para e 4 unidades são respectivamente, 5,8 e 9,0. Portanto, é mais vantajoso para um cliente que quer 4 unidades mas não para aquele que quer unidades. Alternativa b CPV INSPERJUN03

7 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades INSPER 6/06/ Gilson está fazendo dez treinos para uma corrida de 5 quilômetros. A cada treino ele faz o pecurso da corrida e registra seu tempo. A recomendação de seu treinador é que consiga um tempo médio de h30min, considerando os dez treinos. Os tempos dos treinos já realizados constam na tabela a seguir. Para que Gilson consiga atingir o tempo médio recomendado pelo seu treinador, nos três últimos treinos ele deve manter um tempo médio de no máximo a) h5min b) h6min c) h7min d) h8min e) h9min Calculando a média para as 0 tomadas de tempo com todo os valores em minutos T 8 + T 9 + T 0 T 8 + T 9 + T 0 55 min A média dos 3 últimos tempos é h 5 min Alternativa A INSPERJUN03 CPV

8 8 INSPER 6/06/03 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades Utilize as informações a seguir para as questões e. c) Em um torneio de apostas, cada participante recebe 50 fichas. Ao longo do torneio, eles podem apostar qualquer quantidade de fichas com qualquer outro participante. Em toda aposta, um ganha e outro perde as fichas apostadas. 00 pessoas entraram nesse torneio e, ao final, foram identificados os 30 que tinham acabado com mais fichas (Grupo G) e os 30 que tinham acabado com menos fichas (Grupo P). A organização registrou o total de fichas de todos os participantes em 4 momentos do torneio. A tabela abaixo mostra as somas das fichas das pessoas dos Grupos G e P nas 4 contagens feitas. d). O gráfico que melhor expressa a soma das fichas daqueles que não estão no Grupo G e nem no Grupo P é: a) e) b) Somando o total de fichas em cada uma das quatro contagens e subtraindo esse resultado de 5000, teremos o total de fichas que não pertencem ao grupo G e ao grupo P. Contagem Soma de P e G Assim, o gráfico correto é o da Alternativa A CPV INSPERJUN03

9 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades INSPER 6/06/03 9. Ao final do torneio, não havia dois participantes que tivessem o mesmo número de fichas. Júlio, um dos participantes, terminou com o maior número de fichas entre todos os 00. Júlio chegou ao fim do torneio com, no máximo, a) 49 fichas. b) 50 fichas. c) 499 fichas. d) 500 fichas. e) 4900 fichas. 3. Na figura, P é o ponto médio de AC, P é o ponto médio de P C, P 3 é o ponto médio de P C, e assim sucessivamente, em uma sequência infinita de pontos. Além disso, o lado de cada triângulo que está contido no eixo x mede a metade do lado do triângulo anterior. Para a resolução desta questão é importante salíentar que não iremos considerar que o jogo acabou na quarta rodada. Assumindo que Júlio terminou com o maior número de fichas e todos os perdedores estão com números diferentes de fichas podemos distribuilos em P.A da seguinte forma: (0 + 98) 99 0,,, 3, 4,..., 98 assim 485 Então Júlio acabou o jogo com no máximo 49 fichas. Alternativa a A soma das áreas dos triângulos sombreados é igual a: a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4 Pela figura: S S S Assim, a soma das infinitas áreas dos triângulos é igual a: 5 4 S 5-4 Alternativa D INSPERJUN03 CPV

10 0 INSPER 6/06/03 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades 4. Se, α e β são as raízes da função f (x) x 3 + 4x 55x + 50, então + α + β é igual a: a) 4 b) 50 c) 55 d) 0 e) 6 Utilize as informações a seguir para as questões 5 e 6. O gráfico a seguir mostra as temperaturas registradas em uma cidade localizada numa região serrana ao longo de um dia inteiro. Se x é raiz de f (x) x 3 + 4x 55x + 50, então: f (x) (x ). (x + 5x 50) (x ). (x 5). x + 0 Assim, as raízes de f (x) são, 5 e 0. Logo, + α + β 6 Alternativa E 5. Os horários do dia em que a temperatura estava mais alta e mais baixa foram, respectivamente, a) 0h e 4h. b) 7h e 7h. c) 0h e 7h. d) 7h e 4h. e) 7h e 4h. Observando o gráfico, temos que a temperatura mais alta ocorreu às 0 h (5ºC), e a mais baixa às 4 h (8,5ºC) Alternativa A CPV INSPERJUN03

11 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades INSPER 6/06/03 6. O aquecedor de uma residência nessa cidade está programado para funcionar sempre que a temperatura fica abaixo de 6 o C. Durante esse dia, este aquecedor ficou ligado por, aproximadamente, a) 3h b) 7h c) 0h d) 4h e) 7h Observando o gráfico, temos que a temperatura fica abaixo de 6ºC, nos seguintes intervalos de horas: das 4 h às h Þ 7 horas e das h às 4 h Þ 3 horas Assim, o total de horas que o aquecedor fica ligado neste dia é de 0 horas. Alternativa C 7. O número de soluções reais da equação é igual a: a) b) c) 3 d) 4 e) 5 x 4 log 7 x 6 log 7 x 0 Para x Î R * +, temos: (x 4 6). log 7 x 0 Þ x ou x. Portanto, são soluções reais. Alternativa B INSPERJUN03 CPV

12 INSPER 6/06/03 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades Utilize as informações a seguir para as questões 8 e 0. Um modelo probabilístico foi criado para ajudar a polícia rodoviária a identificar motoristas potencialmente problemáticos. O modelo aponta, de acordo com as características do veículo, comportamento do motorista e velocidades registradas nos radares, as probabilidades de o indíviduo: Perfil A: causar um acidente grave; Perfil B: cometer uma infração de trânsito; Perfil C: dirigir de forma segura e responsável. Para cada pessoa, o modelo calcula três valores a, b e c, dos quais resultam as probabilidades dos três perfis, dadas, respectivamente, por: pa pb pc a a + b + c b a + b + c c a + b + c A maior dessas 3 probabilidades indica o perfil do motorista correspondente. 8. Quando a soma das probabilidades pa e pb, para um determinado motorista, superar 35%, a polícia rodoviária deve submetê-lo ao teste do bafômetro. A tabela abaixo mostra os valores de a, b e c determinados pelo sistema para 4 motoristas. Considerando os valores da tabela dada temos para: Motorista pa pb pa + pb Motorista 5 < 35% pa pb pa + pb Motorista > 35% pa pb e pa + pb 3 5 > 35% Portanto, devem ser submetidos ao teste do bafômetro apenas os motoristas e 3 Alternativa C Devem ser submetidos ao teste do bafômetro apenas os motoristas: a) e b) e 3 c) e 3 d) e 4 e) 3 e 4 CPV INSPERJUN03

13 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades INSPER 6/06/ Durante o processamento, o computador que executa o modelo somente consegue efetuar operações com números inteiros menores ou iguais a Das possibilidades de combinações de valores a seguir, a única que permitirá ao computador efetuar as operações é: a) a 30, b 0 e c b) a, b 3 e c 5 c) a 8, b 7 e c 3 d) a 35, b 3 e c e) a 7, b 0 e c Quando calculamos 0 obtemos 04 que vale aproximadamente 0 3. Então, 30 ( 0 ) (0 3 ) > A única alternativa que possui todos os expoentes menores do que 30 é a E. Portanto Alternativa E 0. Para simplificar os cálculos, um analista percebeu que, para a grande maioria dos motoristas, ele poderia fixar c e fazer a b. Para esses casos, ele pode programar o sistema para calcular pa pela fórmula: a) b) c) d) e) + a a + a a + a a a + a a + a pa a a + a + a ( a + ). a a ( + a ) + a Alternativa A INSPERJUN03 CPV

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