ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

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1 ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE R E S O L U Ç Ã O D E E X E R C ÍC IO S R A C IO C ÍN IO L Ó G IC O M A T E M Á T IC A F ÍS IC A /Q U ÍM IC A E m a il g a b a r ito c e h o tm a il.c o m Envie suas dúvidas e questões para gabaritocerto@hotmail.com e saiba como receber o GABARITO comentado. PEDIDOS DE APOSTILAS E GABARITOS COMENTADOS E mail: gabaritocerto@hotmail.com manpat@terra.com.br gabaritocerto2@yahoo.com.br ORKUT BLOG CODIGO DA APOSTILA AMATPROB

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6 PROF. ANTONIO RECORTE E DIVULGUE. Desde já agradecemos. Equipe gabaritocerto & Prof. Antonio

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8 Binômio de Newton Chamamos binômio de newton a expressão (x + a) n. O desenvolvimento desse binômio é dado por: 1.1] Triângulo de Pascal O Triângulo de Pascal é um método prático de determinar os valores dos números binomiais da forma : O triângulo segue uma lógica de formação dos números binomiais n n n Calculando cada número binomial na formação acima teremos: Observe que existe uma lógica de preenchimento. A soma de dois números vizinhos é igual ao número abaixo do segundo número somado. ( ) x a n x a n x a n x a n n x a n n n n n + = ( ) n p n p n p =!!.!

9 ] Desenvolvimento do Binômio de Newton ] Desenvolva (x+2) Solução: x + = x x x x x x = ( ) = x + x x x. 8+. x = = x + 10x + 40x x + 80x ] Desenvolvimento de (2x + 3) ] Desenvolvimento de (3x - 1) 1.2.4] Desenvolvimento de (1 + i) 4 onde i é complexo. 1.2.] Desenvolvimento de (1-2x) ] Desenvolvimento de (-2x - 3) ] Desenvolvimento de x ] Desenvolvimento de 4 x + 2xy ] Desenvolvimento de 2x x ] Desenvolvimento de x 1 4 x

10 ] Termo geral do desenvolvimento do Binômio de Newton. Percebemos que em qualquer desenvolvimento do binômio tipo (x + a) n, teremos sempre n+1 parcelas formadas por três fatores, compondo, um número binomial, uma potência de x e uma potência de a. Assim podemos prever uma determinada parcela ou termo do desenvolvimento do binômio, poupando o trabalho de calcular todos os termos do mesmo. Aplicando a fórmula abaixo encontraremos o k-ésimo termo do desenvolvimento, onde p = k - 1 e n o expoente do binômio. T k n = p xn p a p, onde p = k ] Determine o 8 termo do binômio ( x +2) 10 Solução: queremos o 8 termo logo k =8 então p = k - 1 p = 7 n = 10 Substituindo esses valores na fórmula do Termo geral teremos: 10 T8 x ! x ! = x !. 10 7! 7!. 3! ( ) 120 x T8 = 130 x ] Determine o termo em x 10 no desenvolvimento de (2x 2 - ) 8 : 1.3.3] Determine o termo independente em x x 1.3.4] (MED. ABC) Calcule o termo de (x - 3). 1.3.] (UF-MG) Determine o termo de x x ] (UF-PA) Qual o valor do termo médio de (2x + 3y) ] (U Estadual - CE) Determine o coeficiente de x 4 de (2x + 1) ] (PUC-RS) O Coeficiente de x 2 no desenvolvimento de 1 2x x 1.3.9] (PUC-RS) No desenvolvimento de (x + a) 10, ordenado segundo as potências decrescentes de x, o termo é igual a 10 x, se a>0 8 então o valor de a será igual a:

11 ] (UF-AM) O Termo independente de x no desenvolvimento do binômio x é igual a: x ] (FGV-SP) Desenvolvendo-se a expressão 1 x + x x 1. x obtémse como termo independente de x o valor igual a: ] (Proposto) Qual a condição que n deve suportar para que no n 1 desenvolvimento de x + tenha um termo independente de x. x 2 2. Princípios de Contagem O princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo, estabelece que: O número de maneiras distintas de ocorrer um evento composto de n etapas independentes é dado pelo produto das quantidades de cada evento considerado. Exemplo: Uma lanchonete serve 3 tipos diferentes de sanduíches e 4 tipos diferentes de refrigerantes. De quantos modos uma pessoa pode fazer um lanche, utilizando no pedido um sanduíche e um refrigerante? Pelo princípio multiplicativo temos: Evento sanduíche = 3 Evento refrigerante = 4 logo o total de pares (sanduíche, refrigerante) será dado por: Total de modos = 3 x 4 = 12 modos diferentes de fazer o lanche. PERMUTAÇÃO - fórmula Pn = n! Permutar significa trocar. Na permutação, a troca de posição dos elementos no grupamento, cria uma nova situação. Exemplos. Seja o número 37, se trocarmos de posição os algarismos das extremidades teremos o número 73. Como 37 é diferente de 73, estamos diante de uma permutação. A fórmula da permutação demonstra a quantidade de grupos distintos que se pode formar. Pn = n! onde n é a quantidade de elementos a serem permutados. No nosso exemplo, n = 4, logo P n = 4! = = 24 grupos distintos. Aplicando o princípio multiplicativo chegaríamos ao mesmo resultado.

12 O grupo é formado por 4 posições. P 1 P 2 P 3 P 4 Na posição P 1 pode ser colocado qualquer dos 4 algarismos (3,, ou 7), portanto o número de eventos dessa posição é 4 Na posição P 2, temos à disposição 3 algarismos (pois um já ocupa a posiçãp P 1 ), portanto o número de eventos dessa posição é 3. Na posição P 3, temos à disposição 2 algarismos (pois dois já ocupam a P 1 e a P 2 ), portanto o número de eventos dessa posição (P 3 ) é igual a 2. Resta apenas a posição P 1, com 1 algarismo à sua disposição. Assim, pelo princípio multiplicativo podemos demonstrar que o total de permutações possíveis com elementos distintos será: P 1 P 2 P 3 P 4 4 x 3 x 2 x 1 o que resulta em 24 modos. An, p = n! ARRANJO - fórmula : ( n p)! O Arranjo tem o mesmo significado da permutação, porém o número de elementos no grupo pode ser menor do que a quantidade de elementos a serem permutados. No exemplo da permutação, permutamos os 4 algarismos (,,3,7), em grupos de 4. Já no Arranjo a permutação pode ser feita, formando grupos com menor número de algarismos. Nesse caso n representa o número de algarismos à disposição e p, representa o número de elementos no grupo formado. A n, p = n! ( n p)! Quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar utilizando,,3,7? Aplicando a fórmula teremos: n! 4! ! An, p = = = = 4. 3 = 12 n p! 4 2! 2! ( ) ( ) Vejamos pelo princípio multiplicativo. O grupo é formado por 2 posições. P 1 P 2 Na posição P 1 pode ser colocado qualquer dos 4 algarismos (3,, ou 7), portanto o número de eventos dessa posição é 4 Na posição P 2, temos à disposição 3 algarismos (pois um já ocupa a posiçãp P 1 ), portanto o número de eventos dessa posição é 3.

13 Assim, pelo princípio multiplicativo podemos demonstrar que o total de Arranjos possíveis com elementos distintos será: P 1 P 2 4 x 3 o que resulta em 12 modos. C n, p = n!!.! COMBINAÇÃO - fórmula: p ( n p) Existem situações onde a ordem dos elementos não vai fazer diferença. Exemplos: A ordem das pessoas numa comissão, não difere a comissão. Joao, Maria e José fazem parte de um grupo ou comissão. Se invertermos as posições dessas pessoas, não vai alterar a composição da comissão!. O princípio multiplicativo não se aplica nos casos de combinação. Elementos repetidos nos eventos Quando houver elementos repetidos nas situações teremos que dividir os resultados pelo fatorial das quantidades repetidas ] PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS x P, y, z,... n n =! x!. y!. z!... onde a, b, c... são as quantidades repetidas. Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com a palavra BARBARIDADE? Solução: Na palavra BARBARIDADE temos: 11 letras, n = 11 2 letras (B) repetidas, a = 2 3 letras (A) repetidas, b = 3 2 letras (R) repetidas, c = 2 2 letras (D) repetidas, d = 2 Aplicando a fórmula acima teremos: P 2, 3, 2, 2 11! = = = !. 3!. 2!. 2!

14 ] ARRANJO COM ELEMENTOS REPETIDOS A a, b, c.. n n =! a!. b!. c!... n p! ( ) Seguindo o mesmo raciocínio da permutação com elementos repetidos ] COMBINAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS C a, b, c.. n n =! a!. b!. c!... p! n p! ( ) EXERCÍCIOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA 2.1.4] Uma lanchonete serve 3 tipos diferentes de sanduíches e 4 tipos de refrigerantes. Quantos modos uma pessoa pode fazer o pedido, de um sanduíche e um refrigerante. 2.1.] Numa escola, haverá um campeonato de futebol de salão do qual tomarão parte classes. Apenas as duas primeiras colocadas participarão das olimpíadas escolares. Quantas possibilidades existem para os dois primeiros lugares, sabendo-se que: qualquer uma das classes pode ocupar o primeiro lugar tendo uma classe ocupado o primeiro lugar, restam 4 classes para ocupar o segundo. 2.1.] Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,, ] Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,, 2.1.8] Quantas chapas de carro com 3 letras e 4 algarismos (nessa ordem, considerando o alfabeto com 2 letras) podemos formar? 2.1.9] Chamamos ANAGRAMA de uma palavra a todo arranjo que podemos formar com as mesmas letras da palavra primitiva. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra LIVRO? ] Luís e Jaime vão disputar um torneio de tênis. O primeiro a vencer 2 jogos consecutivos ou o primeiro a vencer um total de 3 partidas vencerá o torneio. Construa a árvore com todas as possibilidades de desenvolvimento desse torneio ] No início de um jogo, Fernando tem R$80,00. A cada jogada, se Fernando vencer, ganha R$10,00, e se perder, paga R$10,00. Determine os possíveis valores que Fernando terá ao final de três jogadas ] De quantas maneiras podem ser escolhidas, no tabuleiro de xadrez, uma casa preta e uma casa branca: quaisquer que não estejam na mesma vertical nem na mesma horizontal?

15 ] Uma prova consta de 10 questões do tipo (v) ou (f). De quantos modos um aluno poderá responder todos os testes? ] Em um ônibus há lugares vagos. Duas pessoas tomam o ônibus. De quantos modos elas podem se sentar? 2.1.1] Quantos números compreendidos entre 2000 e 7000 podemos escrever com 4 algarismos ímpares distintos? 2.1.1] Existem duas estradas que ligam as cidades A e B e 3 estradas que ligam B a C. De quantos modos distintos é possível ir de A a C, passando por B? ] Com os algarismos 1,2,3,4,,,7,8,9 podem ser formados números de 4 algarismos? ] Com os algarismos 1,2,3,4,,,7,8,9 podem ser formados números de 4 algarismos distintos? ] Quantos números de telefone com 7 algarismos e prefixo 237 podem ser formados? ] Quantos anagramas da palavra SABUGO, começam com a sílaba SA? ] Calcule quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar no Sistema Decimal de numeração. Dentre eles, quantos são maiores que 000? ] Dispondo de seis cores, de quantas formas distintas podemos pintar uma bandeira com três listras verticais de cores diferentes? ] Uma comissão de uma câmara de vereadores é composta por um presidente, um secretário e um vereador convidado. Considerando que essa câmara possui 18 vereadores, de quantos modos podese escolher a comissão? ] Numa estante estão disposto 8 livros distintos, sendo 3 de matemática, 2 de física e 3 de química. Determine de quantas formas distintas podemos dispor os livros, de tal maneira que os de Matemática fiquem sempre juntos ] Numa estante estão disposto 8 livros distintos, sendo 3 de matemática, 2 de física e 3 de química. Determine de quantas formas distintas podemos dispor os livros, de tal maneira que os de uma mesma matéria fiquem sempre juntos ] Quantos números com 3 algarismos distintos são maiores que 00 e menores que 700? ] Forme números obtidos pela permutação dos algarismos 2,3,4,8,9 e disponha-os em ordem crescente. Que lugar ocupa o número 43892?

16 ] Quantos segredos diferentes pode ter um cofre que possui dois discos sendo um com 2 letras e um outro numerado de 1 a 9. O segredo consiste em 4 letras distintas e 2 números distintos, nessa ordem ] Quantos anagramas onde as vogais permanecem juntas, tem a palavra VESTIBULAR? ] Quantos anagramas tem a palavra ARARA? ] Qual a quantidade de números de 3 algarismos que tenham, pelo menos, dois algarismos repetidos? ] Calcule o número de anagramas da palavar BORRACHA? ] Quantas comissões podemos formar com 3 alunos a partir de um grupo de? ] Qual o número de comissões que podemos formar com 2 professores de 3 alunos a partir de um grupo de professores e 8 alunos? 2.1.3] Qual o número de diagonais de um polígono convexo de 9 lados? 2.1.3] Dados 7 pontos distintos, 4 sobre uma reta e 3 sobre uma outra reta paralela à primeira. Quantos triângulos podem ser formados com vértices nesses pontos? ] Numa classe com 20 alunos, um professor deseja formar grupos de alunos. Quantos grupos poderá formar? ] Quantos subconjuntos de 4 elementos possui um conjunto de 8 elementos? ] Quantos triângulos podem ser formados unindo os pontos das retas abaixo? ] De quantas formas um jogador pode receber cartas distribuídas ao acaso num baralho comum de 2 cartas? ] Com frutas deseja-se fazer vitaminas com 3. Quantas vitaminas poderá ser colocada no cardápio? ] Quantos triângulos podem ser formados juntando-se os pontos de um icoságono? ] De quantos modos podemos atingir B partindo de A, passando por cada ponto do campo, utilizando somente movimento à direita e movimento para baixo?

17 10 A ] (UF-RS) A solucão da equação 2. Ax, 4 = 4! Cx, x é: B 2.1.4] (CESCEA-SP) Quantos números ímpares de 4 algarismos, sem repetição, podem ser formados com os digitos 1,2,3,4,, e? 2.1.4] (UF-CE)A quantidade de números pares de 4 algarismos distintos que podemos formar com os algarismos, 1,2,4,,7,8 e 9 é: ] (FGV-SP) Quantos números maiores que 400, pares, de três algarismos, que podem ser formados com os algarismos 1,2,3,4,,, ] (UF-CE) Considere os números inteiros maiores que 4000 que possuem algarismos, todos distintos, e que não contêm os dígitos 3 e 8. A quantidade desses números é: ] (SANTA CASA-SP) Existem 4 estradas de rodagem e 3 estradas de ferro entre as cidades A e B. Quantos são os diferentes percursos para fazer a viagem de ida e volta entre A e B, utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente, em qualquer ordem ] (MACK-SP) O total de números, formados com algarismos distintos, maiores que 0000 e menores que e que são divisíveis por é: 2.1.1] (USP) O total de números múltiplos de 4, com quatro algarismos distintos, que podem ser formados com os algarismos, 1,2,3,4, e é: 2.1.2] (FGV-SP) Um tabuleiro especial de xadrez possui 1 casas dispostas em 4 colunas e 4 linhas. Um jogador deseja colocar 4 peças no tabuleiro, de tal forma que, em cada linha e cada coluna, seja colocada apenas uma peça. De quantas maneiras as peças podem ser colocadas? 2.1.3] (UNESP-SP) Um examinador dispõe de questões de álgebra e 4 de geometria para montar uma prova de 4 questões. Quantas provas diferentes ele pode montar usando 2 questões de álgebra e 2 de geometria? 2.1.4] Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só sobremesa. O cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição? 2.1.] Uma moça possui blusas e saias. De quantas formas ela pode vestir uma blusa e uma saia?

18 ] Num banco de automóvel o assento pode ocupar posições diferentes e o encosto posições, independentemente da posição do assento. Combinando assento e encosto, quantas posições diferentes esse banco pose assumir? 2.1.7] Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados? 2.1.8] Um edifício tem 8 portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar no edifício e sair por uma porta diferente da que usou para entrar? 2.1.9] Num concurso com 12 participantes, se nenhum puder ganhar mais que um prêmio, de quantas maneiras poderão ser distribuídos um primeiro e um segundo prêmios? 2.1.0] Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e pares de sapatos. De quantas formas poderá ele vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos? 2.1.1] Um automóvel é oferecido pelo fabricante em 7 cores diferentes, podendo o comprador optar entre os motores 2000 cc e 4000 cc. Sabendo-se que os automóveis são fabricados nas versões "standard", "luxo" e "superluxo", quantas são as alternativas do comprador? 2.1.2] De quantas formas podemos responder 12 perguntas de um questionário, cujas respostas para cada pergunta são: "sim" ou "não"? 2.1.3] Uma prova consta de 20 questões do tipo verdadeiro ou falso. De quantas formas uma pessoa poderá responder a prova? 2.1.4] Uma loteria apresenta 10 jogos, cada um com 4 possíveis resultados. Usando a aproximação , qual é o número total de resultados possíveis? 2.1.] Em um computador digital, um bit é um dos algarismos 0 ou 1 e uma palavra é uma sucessão de bits. Qual é o número de palavras distintas de 32 bits? 2.1.] Uma sala tem 10 portas. De quantas maneiras diferentes essa sala pode ser aberta?

19 Noções de Probabilidade 3.1] Noções de Probabilidade Qual a probabilidade de ocorrer o número 4 no lançamento de um dado? Para responder a esta pergunta devemos antes considerar alguns pontos: Primeiro, devemos considerar a quantidade de eventos que pode ocorrer no lançamento do dado. A essa quantidade chamamos de Quantidade do Espaço Amostral representada aqui por n(e). No caso, o dado pode ocorrer: E = {1,2,3,4,,}, assim n(e) = A ocorrência é o número 4 e a essa quantidade denominamos n(a) = 1, pois a quantidade de elementos na ocorrência é igual a 1. Assim a probabilidade será dada por: P A n ( A ) ( ) = = 1 n( E) Vejamos alguns exemplos: 3.1.1] Qual a probabilidade de, jogando um dado de faces, obtermos um número maior que 4? Solução: n(e) =, pois temos faces no dado n(a) = 2, pois os números possíveis serão o ou. Assim: P A n ( A ) 2 ( ) = = = n( E) 1 3

20 ] Dispondo de um baralho completo, qual a probabilidade de retirar, ao acaso, uma carta de ouro? Solução: Para resolvermos problemas de probabilidade envolvendo cartas é preciso conhecer algumas particularidades desse jogo. Um baralho, completo possui 2 cartas, divididas em 4 naipes. Os naipes são: ouro, paus, espada, copas. Cada naipe possui 13 cartas, onde 9 são números e 3 figuras (Valete, Dama e Rei) e um Ás. NUMEROS FIGURAS ouro D J K A paus D J K A copas D J K A espada D J K A Assim, o n(e) = 2 e n(a) = 13, pois temos 13 cartas de ouro! P( A) = n ( A ) n( E) = 13 2 = 1 4 podemos expressar esse resultado em termos percentuais P( A) = 0, 2= 2 %

21 ] PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR Sabemos que a probabilidade de ocorrer um evento A é dado por: P A n ( A ) ( ) = n( E) A probabilidade de não ocorrer o evento A é dado por n( A) P( A) = n( E) De fato, sendo A, o complementar de A, podemos escrever que n( A) + n( A) = n( E), dividindo ambos os termos por n(e) teremos: n( A) n( A) n( E) + = P( A) + P( A) =1 n( E) n( E) n( E) Dessa forma podemos conhecer da probabilidade da não ocorrência de um evento A, pela sua ocorrência. Vejamos um exemplo ] Qual a probabilidade de não ocorrer o número 4 no lançamento de um dado? Solução: Sabemos que para ocorrer o número 4 temos: P A n ( A ) ( ) = = 1 n( E) logo para não ocorrer : P(A) + P(A) = 1 P( A) = 1 P( A) 1 P(A) = 1 P(A) P(A) = 1 P(A) =

22 ] REGRA DA SOMA. Considerando dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de ocorrer A ou B é dada por: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B), é obvio que se não houver elementos na intersecção A e B são mutuamente exclusivos e nesse caso teremos P(A B) = P(A) + P(B) Vejamos alguns exemplos que ilustram essa aplicação: 3.3.1] Numa urna, existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Uma bola é tirada ao acaso. Qual a probabilidade de se retirar um número par ou maior que 4. Solução: Espaço Amostral: E = {1,2,3,4,,,7,8,9,10} n(e) = 10 Evento A: (ser número Par) A = {2,4,,8,10} n(a) = Evento B: (ser maior que 4) B = {,,7,8,9,10} n(b) = Evento (A B): (ser número par maior que 4) (A B) = {,8,10} n(a B) = 3 A probabilidade P(A B) será dada por P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) 3 P( A B) = P( A B) = 8 10

23 ] REGRA DO PRODUTO Dados dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral E, a probabilidade de ocorrer B, tendo ocorrido A é dada por: P B A P ( A ( / ) B ) = P( A) B em relação a A. Se A e B são independentes, então P( B/ A) = P( B) Vejamos alguns exemplos, chamamos P( B/ A) a probabilidade condicional de 3.4.1] Numa urna temos 100 bolas numeradas de 1 a 100. Sabe-se que a bola sorteada é par. Vamos calcular a probabilidade de ser um múltiplo de 10. Solução: n(a) = 0 (pois de 1 a 100 temos 0 números pares) n(b) = 10 (pois de 1 a 100 temos 10 números múltiplos de 10) n(a B) = 10 (pois temos 10 números pares e múltiplos de 10) Assim a probabilidade de ser um múltiplo de 10, sabendo-se que a bola sorteada é par será : 10 P B A P ( A ( / ) B ) = = 100 = P( A)

24 ] Uma urna contém 7 cartões numerados de 1 a 7. Qual a probabilidade de retirarmos o cartão 1 e, sem sua reposição, o cartão 3 em seguida. Solução: A probabilidade de retirar o cartão 1 na primeira retirada é: P A n ( A ) ( ) = = 1 n( E) 7 Como não houve reposição do cartão retirado o espaço amostral ficou reduzido a cartões, logo a probabilidade de ocorrência do número 3 na segunda retirada é: n( B) P( B/ A) = = n( E1) 1 Como devem ocorrer os dois eventos P(A B) temos P(A B) = P(A). P(B/A) = 1 1 = ] Um dado é lançado 3 vezes. Qual a probabilidade de ocorrer em todos os lançamentos. Solução: A probabilidade de ocorrer em qualquer um dos lançamentos é igual a P A n ( A ) ( ) = = 1, pois não houve alteração no dado nem na n( E) mecânica de lançamento. Logo a probabilidade será dada por: P( A B C) = = ] Uma pessoa recebe cartas, uma após a outra, de um baralho comum de 2 cartas. Qual a probabilidade de todas serem de Espadas. Solução: Lembrando que no baralho temos 13 cartas de espadas ( ) e que a distribuição das cartas foi feita sem a reposição, alterando desta forma o espaço amostral (E) das retiradas subsequentes temos: P( A B C D E) = =

25 ] Qual a probabilidade de ocorrer o número 2 somente na terceira jogada de um dado? Solução: A probabilidade da ocorrência do evento (número 2) é igual a: P A n ( A ) ( ) = = 1 n( E) A probabilidade da não ocorrência do número 2 pode ser encontrada utilizando o conceito de probabilidade complementar dada por: logo para não ocorrer : P(A) + P(A) = 1 P( A) = 1 P( A) 1 P(A) = 1 P(A) P(A) = 1 P(A) = Assim a probabilidade pedida será dada por: 1 2 P(~ 2 ~ 2 2) = = 21

26 ] LEI BINOMIAL DA PROBABILIDADE Existem eventos em que o número de situações de ocorrência estará associado a um número binomial. Vejamos um exemplo: 3..1] Jogando-se um dado vezes, qual a probabilidade de ocorrer o número 1 duas vezes? Solução explicada: Observe que não está sendo pedida uma "ordem" de ocorrência do número 1 nesses lançamentos. Desta forma o número 1 pode aparecer "duas vezes" em qualquer lançamento. Vejamos as possíveis configurações de ocorrência nesses lançamentos. O número de situações de ocorrência do número 1 é igual ao número de possibilidades de se escolherem duas dentre as cinco casas disponíveis para colocar o número 1, ou seja, estamos diante de uma Combinação onde n= e p=2, assim: n! n Cnp, = = p!. n p! p = = 10 2 ( ) Observando uma das situações que satisfazem o problema concluímos que a probabilidade procurada será: P = 2 pois, 2, é o fator que determina o número de ocorrências do evento. 2 1, é o fator que representa a probabilidade do evento. 3, é o fator que representa probabilidade complementar do evento.

27 ] Exercícios de probabilidade. 3..1] Lançando-se um dado ideal, qual a probabilidade de se obter um número menor que 4? 3..2] Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 2 cartas. Qual a probabilidade de ser uma dama? 3..3] Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 2 cartas. Qual a probabilidade de ser uma dama ou um rei? 3..4] Uma urna contém bolas brancas, 2 azuis e 4 amarelas. Qual a probabilidade de sortear-se uma bola que não seja branca? 3..] Numa urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20. Uma bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de ela ser um número ímpar? 3..] Numa urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20. Uma bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de ela ser um número múltiplo de 3? 3..7] Numa urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20. Uma bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de ela ser um número divisível por 2 e 3? 3..8] Numa urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20. Uma bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de ela ser um número primo? 3..9] Um grupo de amigos organiza uma loteria cujos bilhetes são formados por 4 algarismos distintos. Qual é a probabilidade de uma pessoa, possuidora dos bilhetes 1387 e 702, ser premiada, sendo que nenhum bilhete tem como algarismo inicial o zero? 3..10] Lançando-se dois dados simultaneamente, qual a probabilidade de ocorrerem números iguais? 3..11] Jogando-se dois dados simultaneamente, qual a probabilidade de se obter um resultado par na soma das faces? 3..12] Um número é escolhido ao acaso entre os 100 inteiros, de 1 a 100. Qual é a probabilidade do número ser múltiplo de 11? 3..13] Dentre pessoas, será escolhida, por sorteio, uma comissão de 3 membros. Qual a probabilidade de que uma determinada pessoa venha a figurar na comissão? 3..14] Se num grupo de 1 homens e mulheres sorteamos 3 pessoas para formarem uma comissão, qual a probabilidade de que ela seja formada por 2 homens e 1 mulher? 3..1] Numa urna são depositadas 9 etiquetas numeradas de 1 a 9. Três etiquetas são sorteadas (sem reposição). Qual a probabilidade de que os números sorteados sejam consecutivos?

28 ] Considere as 24 permutações, sem repetição, que podemos formar com os algarismos 3,4, e7. Se uma delas é escolhida ao acaso, determine a probabilidade de ser um número maior que ] Considere as 24 permutações, sem repetição, que podemos formar com os algarismos 3,4, e7. Se uma delas é escolhida ao acaso, determine a probabilidade de ser um número ímpar ] Considere as 24 permutações, sem repetição, que podemos formar com os algarismos 3,4, e7. Se uma delas é escolhida ao acaso, determine a probabilidade de ser um número par ] Numa escola de 1200 alunos, 0 gostam de rock, 230 apenas de samba, e 120 de samba e rock. Escolhendo-se um aluno ao acaso, qual a probabilidade de ele gostar de samba ou rock? 3..20] Numa urna, existem 10 bolas coloridas. As brancas estão numeradas de 1 a e as vermelhas de 7 a 10. Retirando-se uma bola, qual a probabilidade de ela ser branca ou de seu número ser maior que 7? 3..21] Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 2 cartas. Qual a probabilidade de ela ser de ouros ou ser rei ] Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 2 cartas. Qual a probabilidade de ela ser preta ou ser figura? 3..23] Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 2 cartas. Qual a probabilidade de ela não ser figura ou ser um ás? 3..24] Uma caixa contém 1000 bolas numeradas de 1 a Qual a probabilidade de se tirar, ao acaso, uma bola contendo um número par ou um número de 2 algarismos? 3..2] Num grupo, 0 pessoas pertencem a um clube A, 70 a um clube B, 30 a um clube C, 20 pertencem aos clubes A e B, 22 aos clubes A e C, 18 aos clubes B e C e 10 pertencem aos três clubes. Escolhida, ao acaso, uma das pessoas presentes, qual a probabilidade de ela pertencem somente ao clube C? 3..2] Numa urna temos bolas brancas, amarelas, vermelhas e pretas. O número de bolas amarelas é o dobro do número de bolas brancas e o de bolas vermelhas, o triplo. Qual a probabilidade de ocorrer uma bola preta, sabendo-se que o número de pretas é o dobro de amarelas? 3..27] Uma estação metereológica informa: "Hoje a probabilidade de não chover é %, a probabilidade de fazer frio é 3% e a probabilidade de chover ou fazer frio é 80%. Qual a probabilidade de não chover e não fazer frio? 3..28] No problema anterior, qual a probabilidade de chover?

29 ] Um homem tem em sua mão 4 cartas de espadas de um baralho comum de 2 cartas. Se ele receber mais 3 cartas, qual a probabilidade de ao menos uma das cartas recebidas ser também de espadas? 3..30] Um lote de peças para automóveis contém 0 peças novas e 10 usadas. Uma peça é escolhida ao acaso, em seguida, sem reposição da primeira, uma outra é retirada. Qual a probabilidade de as duas peças serem usadas? 3..31] Um lote de peças para automóveis contém 0 peças novas e 10 usadas. Uma peça é escolhida ao acaso, em seguida, sem reposição da primeira, uma outra é retirada. Qual a probabilidade de a primeira ser nova e a segunda usada? 3..32] Uma moeda é "viciada", de modo que a probabilidade de ocorrer cara é metade da probabilidade de ocorrer coroa. Em três lançamentos sucessivos desta moeda, calcule a probabilidade de ocorrerem 3 faces iguais ] A probabilidade de um certo homem viver mais de 2 anos é 3/7 e de sua mulher é 4/, calcule a probabilidade de, daqui a 2 anos, somente o homem estar vivo ] Numa urna há 1 bolas, sendo 8 brancas, 4 azuis e 4 vermelhas. Retiram-se 2 bolas, uma após a outra. Qual a probabilidade de serem ambas vermelhas? 3..3] Numa urna há 1 bolas, sendo 8 brancas, 4 azuis e 4 vermelhas. Retiram-se 2 bolas, uma após a outra. Qual a probabilidade de uma ser azul e uma ser branca, independentemente da ordem. 3..3] Lançando-se um dado e uma moeda, qual a probabilidade de se obter um número maior que dois no dado e cara na moeda? 3..37] Jogando 4 dados, qual a probabilidade de se obter 24 pontos na soma das 4 faces? 3..38] Sabendo-se que ao retirar uma carta de um baralho de 2 cartas ela era de copas, qual a probabilidade de ela seja menor que 3 (considere o ás com valor 1) ] Qual a probabilidade de que jogando-se um dado n vezes, saia pelo menos uma vez o número ] Uma prova é composta de 0 testes de múltipla escolha, cada um com alternativas, sendo apenas uma correta. Qual a probabilidade de que um aluno apenas chutando, acerte todas as questões ] A probabilidade de A e B acertarem o alvo é de 2/ e 1/3 respc. Qual a probabilidade de que o alvo seja atingido por apenas uma pessoa?

30 Gabaritocerto informa: Agora você pode participar de Grupos de Estudo e ter Aulas Particulares pelo MSN adicionando gabaritocerto@hotmail.com ou Eis aí uma grande oportunidade! Projeto Organizado. Você agenda o dia e a hora das aulas e das explicações. Você organiza o grupo e terá as aulas e as explicações on line em tempo real. Adicione nosso gabaritocerto@hotmail.com em seu MSN e tenha acesso direto às AULAS PARTICULARES ON LINE VIA MSN. Entre em contato. Gabaritocerto está on line. Nosso Objetivo: Desenvolver a atividade educacional em todo o mundo utilizando os recursos tecnológicos disponíveis e Proporcionar a todos os integrantes um pólo de assessoria educacional. Projetos desenvolvidos: Aulas Particulares On-Line através do MSN. Estamos on line todos os dias das 09 as 11h e das 21 às 23h. Resolução de Exercícios On Line no MSN. Blog: Blog no Orkut: (Link abaixo)

31 Divisão das Atividades Atividades Gratuitas e Atividades com custo. Como Funcionam as Aulas Particulares On-Line? As AULAS PARTICULARES ON LINE são ministradas em tempo real pelo MSN, utilizando-se dos recursos de voz e vídeo. A AULA PARTICULAR ON LINE é exclusiva, ou seja, a conexão não é compartilhada com outro computador. Através do MSN, o interessado adiciona o nosso (gabaritocerto@hotmail.com) e tenha acesso às aulas on line. A Aula Particular On-Line é ministrada em tempo real individualmente. O interessado poderá ver e ouvir o professor, bem como o quadro branco com os desenvolvimentos das questões e explicações, tudo em tempo real!!! Não é aula gravada!. O interessado agenda o horário da aula no MSN. Explicações, resoluções de problemas, fixação e demonstração dos conceitos cobrados em concursos. O interessado deve possuir recurso de vídeo (webcam) e voz (microfone). O interessado pode a seu critério convidar outras pessoas para assistir as aulas em seu computador (Grupo de Estudo, por exemplo).

32 IMPORTANTE: O interessado deve agendar antecipadamente a Aula Particular On Line em entrevista on line com o professor através do MSN. Horários de atendimento: Estamos on line para marcações de segunda a sexta das 09 as 11h e das 21 as 23 horas. Durante a entrevista on line pelo MSN, agenda-se o horário. Valor: Veja em nosso Blog ou envie para: gabaritocerto2@yahoo.com.br ou gabaritocerto@hotmail.com Acesso: Livre. Estudantes, Professores, etc. Modo de Acesso: Internet. No (Mensenger) MSN, no gabaritocerto@hotmail.com Área de atuação: Todas as disciplinas (Nível 1º e 2º graus) Prof. Antonio. Professor e Orientador do Grupo Gabaritocerto. Nossa central de atendimento no MSN gabaritocerto@hotmail.com (Segunda a sexta: das 09 as 11h e das 21 as 23 h)