Projetos de Modulações sobre Superfícies via Sistema Integrado de Transmissão de Dados 1

Transcrição

1 TEMA Tend Mat Apl Comput, 9, No 3 (), - c Uma Publicação da Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional Projetos de Modulações sobre Superfícies via Sistema Integrado de Transmissão de Dados JD LIMA, Departamento de Matemática e Estatística, DME, UERN, CxP, 933-, - Mossoró, RN, Brasil R PALAZZO Jr 3, Departamento de Telemática, DT, UNICAMP, CxP, 3-9 Campinas, SP, Brasil Resumo Em um sistema integrado de transmissão de sinais [3], os componentes canal-modulação-codificação são projetados de forma dependentes, isto é, o projeto de modulação é o modelo topológico do mergulho de -células, sobre uma superfície Ω, do grafo associado ao canal e, o sistema de codificação é extraído de uma estrutura algébrica, o grupo de homologia de Ω Neste trabalho, identificaremos modelos de modulações com padrões do sistema integrado, destacando aqueles com características de espaços de sinais geometricamente uniformes [] Palavras-chave Modulação, canal discreto sem memória, mergulho de grafo Introdução Um sistema de transmissão de sinais se diz integrado [3], quando o projeto de modulação é sobre um mergulho de -células do grafo associado ao canal sobre uma superfície Ω e a codificação é extraída diretamente de uma estrutura algébrica associada ao modelo deste mergulho (o grupo de homologia de Ω [3]) O propósito é eliminar distorções causadas pela escolha inadequada desses componentes Em uma escolha aleatória, a modulação pode apresentar ambigüidades nas transições correspondentes ao canal, problema transferido ao projeto de codificação, exigindo do sistema, dispositivos adicionais para as correções de tais distorções Dado um grafo C associado a um canal DMC (Discrete Memoryless Channel), existe um conjunto de superfícies sobre as quais é possível mergulhar C como um mergulho de -células [] Obtido um modelo de mergulho de um grafo, tem-se, necessariamente, um projeto topológico de modulação Algumas famílias de grafos, como os completos, biparticionados e triparticionados, possuem mergulhos mínimo e máximo conhecidos, ou seja, sabe-se quem são seus sistemas de rotações e gêneros da superfícies sobre as quais C pode ser mergulhado, informações necessárias, mas não suficientes para se construir o mergulho de fato Trabalho financiado pelo Programa Primeiros Projetos, MCT/CNPq/SINTEC /3 jddeus@uolcombr 3 palazzo@dtfeeunicampbr

2 Lima e Palazzo Se o problema é construir o modelo planar ou espacial de um mergulho em que nada se sabe, em princípio, do gênero da superfície e do sistema de rotações, neste caso, o processo de construção é totalmente aleatório Contudo, se é conhecido os tipos de modulações existentes sobre uma determinada superfície, podemos usar o método de construção em [] para obter um modelo de modulação Uma vez que os grafos completos biparticionados K m,n são os modelos de grafos mais freqüêntes associados a canais DMC, os nossos objetivos são: relacionar os projetos de modulações para espaços de n sinais, destacando às regulares, ou seja, àquelas que possuem características de espaços de sinais geometricamente uniformes (esgu) [], e identificar o número de modulações nos casos em que n = e n = Mergulhos em Superfícies com Bordos Mergulhos de grafos sempre se referem aos mergulhos em superfícies sem bordos No entanto, será introduzido aqui o conceito de mergulho em superfícies com bordos e, como veremos em seguida, este conjunto contêm a maioria das modulações esgu No ambiente das variedades riemannianas, uma superfície de gênero m com r componentes de bordo é qualquer superfície homeomorfa a uma superfície de gênero m menos r pontos, onde cada ponto retirado representa, na superfície, a formação de uma componente de bordo, isto é, o bordo é uma curva homeomorfa a um círculo Como toda região de um mergulho de -células é homotópica a um ponto, topologicamente, a retirada de um ponto do interior de uma região, corresponde a remoção do seu interior Assim mergulho com bordo será defindo como segue Definição Seja F Ω(α) = α i= Ri o modelo formado por α regiões geradas pelo mergulho do grafo K m,n sobre uma superfície compacta Ω Chamaremos de mergulho com r componentes de bordo do grafo K m,n, r α, sobre Ω r, um mergulho obtido pela eliminação de r regiões de F, denotado por F r = Ω r (α r) = α r i= Ri Denominaremos o modelo F Ω(α) de mergulho de origem e, o modelo F Ω k (α k), de mergulho derivado Como no mergulho em superfície sem bordo F Ω(α), podemos remover k regiões, k =,,,α, então o número de mergulhos com bordos derivados é α ( α ) F = = α! () k k= Em um mergulho onde Ω(α) contém k-regiões do mesmo tipo, pode-se remover α k regiões para obter uma modulação esgu sobre uma superfície com k regiões idênticas e α k componentes de bordos, isto é, uma modulação da forma Ω α k (k) Assim, o número de modulações esgu é bem maior no universo das superfícies com bordos, o que as torna uma importante fonte geradora de modulações esgu Dado uma modulação (o modelo planar do mergulho) sobre uma superfície O esquema do mergulho C Ω de um grafo C sobre uma superfície Ω, tanto pode ser construído sobre o polígono n-gon Ω, quanto sobre o modelo espacial de Ω O modelo sobre n-gon é geralmente denominado de modelo planar

3 Modulações sobre Superfícies via Sistema Itegrado de Transmissão de Dados sem bordo F Ω(α), o mergulho derivado com r componentes de bordos F r = Ω r (α r) é obtido aplicando-se sucessivamente r-vezes os seguintes procedimentos Construção Escolha uma região R i = (p,p,,p i ) de Ω(α) Então, se R i possui um lado adjacente a R i em p que intercepta o bordo ρ do n-gon Ω em p ρ, então, i) translade, no sentido horário, os vértices p,p,,p i,p de R i para o bordo ρ, fazendo coincidir o primeiro p da seqüência com o ponto p ρ, criando uma componente de bordo (p,p,,p i,p) no interior de ρ; ii) reproduza as demais conexões de F para obter o mergulho derivado com uma componente de bordo F Ω (α ) Ω(α ) R i se R i não possui um lado adjacente interceptando o bordo de n-gon, translade vértices de C até que um lado adjacente de R i intercepte o bordo de n-gon e aplique os procedimentos i) e ii) acima O translado de vértices consiste em mover um vértice e seus lados adjacentes, conservando o sistema de rotações A Figura, contêm mergulhos mínimos nãoorientados do grafo K, associado ao canal -ário, C, com sistema de rotações Rot = {(3), (3), (), 3(), (3), (), (3), ()} () Entenda por aplicações sucessivas da Construção, o ato de usar o mergulho sem bordo sobre Ω para construir um mergulho com uma componente de bordo Ω ; em seguida, usar Ω para obter um mergulho com duas componentes de bordos Ω, e assim por diante, até obter o mergulho com k compoentes de bordos, Ω k, a partir de Ω k Os modelos na Figura, correspondem a mergulhos do grafo completo biparticionado K, sobre a superfície de Klein K (garrafa de Klein), uma superfície não-orientada Contêm os modelos planos e espaciais dos mergulhos K, K(), K, K () e K, K (), todos com sistemas de rotações iguais a (), obtidos através dos procedimentos da Construção São mergulhos mínimos compostos por, e regiões, todas quadrangulares, e portanto, projetos topológicos sobre superfícies não-orientadas de modulações esgu 3 Modulações vindas de Grafos Biparticionado No processo de identificação de modulações usaremos os seguintes resultados: Seja G um grafo com v vértices, e lados e f faces e G Ω, um mergulho de -células, então vale a fórmula da característica de Eüler de Ω é dada por χ(ω) = v e + f (3) Para as superfícies compactas com r componentes de bordos, temos χ(ω) = { m r, se Ω mtr m r, se Ω mp r (3) Um lado a de C é adjacente a uma região R i em p de F Ω(α) se, e somente se, a está conectado ao vértice p e não é um lado de R i

4 Lima e Palazzo C, 3 R a b R R 3 3 R a R R R b C, K = 3 c a 3 3 a C, K = b 3 c b 3 a a c b C, K = b 3 Figura : Mergulhos mínimos do canal -àrio: C, K, C, K e C, K A característica do grafo completo biparticionado K m,n é dada por γ(k m,n ) = [(m + n /)/], (33) onde [α] denota o maior inteiro menor ou igual ao número real α 3 O gênero mínimo [9] da superfície para o mergulho de K, é γ m (K m,n ) = {(m ) (n ) /}, (3) onde m,n e {a} denota o menor inteiro maior ou igual ao número real a; O gênero máximo [] da superfície para o mergulho de K, é γ M (K m,n ) = [(m ) (n ) /], (3) onde m,n e [a] é o maior inteiro menor ou igual ao número real a; Em toda superfície de gênero γ tal que γ m γ γ M, existe um mergulho de -células de K m,n []; Existe uma correspondência biunívoca entre cada sistema de rotações de um grafo G e um mergulho de -células de G [] O conjunto das modulações sobre Ω vindas de mergulhos do grafo K m,n será denotado por M m,n, se Ω é orientada e por M m,n, se Ω é não-orientada Das igualdades (3), (3) e ítem dos resultados acima, deduzimos imediatamente que M m,n = {γ m T,(γ m + )T,,γ M T } (3) Chama-se característica do grafo G, o inteiro γ(g) correspondente ao valor máximo de χ(ω) dentre todas as superfícies orientadas Ω nas quais G tem um mergulho de -células

5 Modulações sobre Superfícies via Sistema Itegrado de Transmissão de Dados 9 Para o caso não-orientado M m,n, basta trocar, na fórmula (3), T por P Temos que M = γ M (K m,n ) γ m (K m,n )+, onde A é o número de elementos do conjunto A Pondo m = t + a,n = s + b, a,b {,,,3}, resulta que se (m, n) (, ),, (, 3), (, ),, (3, ), (, )mod ; + /, se (m, n) (, ), (, ), (, 3), (3, ) mod ; M = /, / + /, se (m, n) (, 3), (3, )mod ; / /, se (m, n) (, ), (3, 3)mod, (3) onde m,n (a,b ),,(a s,b s ) (mod ) indica que m a (mod ) e n b (mod ),, m a s (mod ) e n b s (mod ) Em particular, para o grafo K n,n, temos que M n,n = { 3 Tipos de modulações n /, se, n mod n(n + )/, se n mod (3) Os fatores que diferenciam uma modulação da outra são: a quantidade de sinais (igual ao número de regiões do mergulho), tipos de regiões de Voronoy, sistema de rotações de K m,n e o tipo de superfície Ω onde se encontra K m,n mergulhado Quanto às regiões de Voronoy, as modulações vindas de grafos K m,n apresentam sempre regiões com um número par de lados, ou seja, para t Z, têm-se R i K m,n Ω i = t +, t (39) Por outro lado, da fórmula de Eüler (3) e da característica de K m,n em (33), segue que o número de regiões α de F é dado por α = [(m + n /) /] + m n (3) Escrevendo m = k + a e n = t + b, a,b {,,,3} e substituindo todos os casos possíveis para m e n na expressão de α em (3), obtemos, se (m,n) (,),(,),(,),(,),(,3),(3,) mod ; /, se (m,n) (,),(,3),(,),(3,) mod ; α = (3) / + /, se (m,n) (,3),(3,) mod; / 3/, se (m,n) (,),(3,3) mod, onde m,n (a,b ),,(a s,b s ) mod De uma análise em (3) deduzimos que: i) Se K n,n Ω(α) é um mergulho mínimo, então, α = { n /,se n mod n / 3/,se n mod (3) ii) O número de regiões de K m,n Ω(α) é par se, e somente se, m e n são pares iii) O número de regiões de K n,n Ω(α) é par se, e só se, n é um inteiro par

6 Lima e Palazzo Modulações com α Sinais O mergulho F Ω(α) será denominado de modulação para um espaço de α sinais O conjunto das modulações para espaço de α sinais será indicado por M α = {F : F Ω(α) e K m,n Ω}} () onde F = α j= R i j, i i α e R ij é uma região com i j lados de K m,n Ω α Como K m,n tem lados e é par, então, a cardinalidade de M α é igual ao número de soluções inteiras positivas da equações = F + F + F + e i= F +i = α () Sendo F = α j= R i j, segue imediatamente de () que α i j =, ou seja, F = R i R i i + + i α = (3) Se F i = R i R i é uma modulação sobre Ω, então, por (3), i + i = Como i,i {,,,}, então existem / modelos de modulações para F Logo, por (3), as modulações com duas regiões são da forma seguinte Teorema M tem / modulações Mais precisamente, onde F = R,,F j= M = {F,F,,F k,,f / } () = R R +, F = R R Modulações com Sinais Exibiremos somente a forma algébrica e o número de modulações existentes Como forma algébrica de F depende apenas do número de lados de K m,n e da fórmula de Eüler (3), não se sabe se o mergulho K, Ω() é realizado em uma superfície orientada ou não-orientada No modo algébrico, a modulação F tem a forma F = +i +i +i3 +i () onde i j {,,3, }, para todo j =,,3, e i i i 3 i Por (), o máximo de + i j é no caso de j = na quádrupla (,,, + i ) Logo, por (), devemos ter + i = / Assim, o problema consiste em determinar todas as combinações de quádruplas (i,i,i 3,i ), incluindo as com repetições, tais que, i i i 3 i para todo j {,,3,} e i j {,,,,/ } Para modulações com a primeira região fixa, vale o seguinte

7 Modulações sobre Superfícies via Sistema Itegrado de Transmissão de Dados Proposição Seja M (α) o conjunto de modulações de M que fixam a primeira região i = α Se α =,, então, / ( + t), se (mod 3) / /3 M () = ( + t) + / 3,se (mod 3) () M () = / /3 / 3 / /3 / /3 (3 + t) + / 3,se (mod 3) (3 + t) + /,se (mod 3) ( + t), se (mod 3) ( + t) + /,se (mod 3) (3) Os procedimetos usados na obtenção das fórmulas () e (3) também aplicamse aos demais casos A variação do índice i 3 controla a quantidade de subconjuntos distintos de M cujos índices i e i são fixos Seqüência dos tipos de modulações com sinais No cálculo do número de modulações, as seqüências dos números de modulações que fixam a primeira região, representa um fator decisivo na questão da contagem Definição Seja I = {,,,/} o conjunto da variação do índice i Seja M (µ) = {F M : F = R µ R i R i3 R i, µ I } o conjunto de todos os modelos de M que fixam i = µ Chamaremos de seqüência dos números de modelos que fixam i a seqüência S t (µ) = (a,a,,a t ), a k = M ( + k) A ordem nos índices estabelecida em (), induz necessariamente uma interdependência entre os mesmos a qual será estabelecida a seguir Definição Se K m,n Ω e F Ω(α), indicaremos por I s, s {,,,α}, o conjunto dos índices da região R s de um modelo F M α Se s >, chamaremos de índice mínimo relativo i rel s min o menor índice do conjunto I s relativo aos índices anteriores Chamaremos de índice máximo relativo i rel s max o maior índice de I s relativo aos demais índices Denotamos por I µ o conjunto dos índices da segunda região de um modelo relativo à primeira região i = µ Neste caso, i µ min é o índice mínimo para a segunda região relativa à primeira Chamaremos de i µ,η 3 o índice da terceira região relativa às duas primeiras Observe que o conjunto dos índices da s-ésima região é I s = {,,,,i s max }

8 Lima e Palazzo Das definições e resultados anteriores, deduz-se facilmente as propriedades enunciadas da seguinte forma: Proposição Se F i = R i R i R i3 R i M, então, i) i max = /, i max = [( )/3], i 3 max =, i max = ; ii) i rel s min = i s s e i rel s max = ( i j )/(α s + ); j= iii) O número de modulações com regiões do conjunto M é M = / k= a k ; iv) O número de termos da seqüência S t (µ) é / v) a k = [( k )/3] ([( 3t)/] 3 k) As formas dos modelos de modulações que fixam as duas primeiras regiões podem ser deduzidas de (), () e Proposição (ii), conforme o enunciado da seguinte: Proposição 3 As modulações de M (µ,η) assumem uma das duas formas: R µ R η R η R µ η R µ R η R η+ R α η = µ I h R µ R η R µ η R µ η ou caso k seja par ou ímpar, respectivamente R µ R η R η R µ η R µ R η R η+ R µ η R µ R η R µ η R µ η+, Proposição Seja S h (µ,η)=(b,b,,b h ), b j = M (µ,µ + j), a seqüência de números de elementos do conjunto M (µ,η) que fixam i = µ e i = η, então µ I µ I ( µ) /3, se p(mod 3), µ q(mod 3) e p + q (mod 3), ( µ ) /3, se p(mod 3), µ q(mod 3) e p + q (mod 3), ( µ ) /3, se p(mod 3), µ q(mod 3)e p + q (mod 3) = Substituindo µ por j nas expressões de h da Proposição, e analisando os termos da seqüência S h (µ,η), deduzimos os seguintes resultados Corolário Se S h (µ,η) = (b,b,,b h ) é a seqüência de números de elementos do conjunto de modelos M (µ,η) que fixam i = µ e i = η, então, i) O índice de variação h e o k-ésimo termo de S h (µ,η), são: /- (--j) /3, se p(mod 3), + j q (mod 3), p + q (mod 3) j= /- h (-9-j) /3, se p(mod 3), + j q (mod 3), p + q (mod 3) j= /- (--j) /3, se p (mod 3), + j q (mod 3), p + q (mod 3) j=

9 Modulações sobre Superfícies via Sistema Itegrado de Transmissão de Dados 3 b k = { ( µ 3k)/ +,se k (mod ) ( µ 3k ) / +,se k (mod ) () ii) As seqüêcias S h (µ,η) = (b,b,,b p ) e S h (µ,η) = (b,b 3,,b p+ ), dos termos pares e ímpares de S h (µ,η), são progressões aritméticas decrescentes de razão 3 Escrevemos (m,n,p) (r,s,t)(mod 3) para significar que m r (mod 3), n s(mod 3) e p t(mod 3) Assim, a cardinalidade de M (µ,η) é a soma dos elementos da seqüência S h (µ,η) Teorema Se p(mod 3) e µ q (mod 3), então as seqüências de números de modulações do conjunto M (µ,η) que fixam µ I, η I é S h (µ, η) = (/-µ +, / µ, / µ,,,,,,,), se p + q (mod 3) (/ µ +, / µ, / µ,,9,,,, 3,), se p + q (mod 3) (/ µ +, / µ, / µ,,9,,,, 3,), se p + q (mod 3) Demonstração Pondo p(mod3) e µ q (mod3), analisando os 9 casos possíveis e aplicando Corolário (v) Aplicando, ao Teorema, a Proposição (v) e (), resulta o seguinte Corolário Se a k S t (µ), então a k = η I +k b h, b h S h ( + k,η) Os termos de S t (µ) são obtidos de S h (µ,η) segundo a relação a k = η I +k a h S h ( + k,η) Pelo Corolário, a k é a soma dos termos b k s da seqüência S h (µ,η), cuja soma será obtida do arranjo triangular da Tabela a h, Tabela : Triângulo a h a a a a a 3 a a a

10 Lima e Palazzo Número das modulações para sinais oriundas de K m,n A cardinalidade de M (µ) é igual ao somatório dos elementos de Teorema Se p (mod3) e µ q (mod 3), então o número de elementos de M (µ) é igual a µ 3 µ 3 3 µ 3 3 ( + 3t) + ( + 3t) + ( + 3t) + µ 3 µ 3 3 µ 3 3 ( + 3t),se p + q (mod 3), (3 + 3t),se p + q (mod 3), (3 + 3t),se p + q (mod 3) Demonstração Conseqüências do Corolário e Teorema Do Teorema, segue a forma simplificada do próximo corolário () Corolário 3 Se p (mod 3) e µ q (mod 3), a classe de congruência módulo 3, então o número de elementos do conjunto M (µ), de modelos com regiões que fixam a primeira região µ, é igual a µ 3 µ 3 3 µ 3 3 (3 + t) + / µ +, se p + q (mod 3) ( + t), se p + q (mod 3) ( + t) + / µ +, se p + q (mod 3) Teorema 3 O número de elementos de M é / / i + (3i), se (mod 3) i= i= / / /3 M = i + ( + 3i),se (mod 3) i= / i= i + i= / /3 i= ( + 3i),se (mod 3) Demonstração Segue da soma dos elementos da Tabela A Tabela contém o número de modulações de M, m {,,,} e n {,,,} E usando as fórmulas (3) e (3), identificamos, na Tabela 3, as modulações regulares com quatro sinais, ou seja, do tipo esgu

11 Modulações sobre Superfícies via Sistema Itegrado de Transmissão de Dados Tabela : Cardinalidade de M Tabela 3: Modulações esgu de M m n v e l K m,n χ(ω) αt βp 3 K,3 3 K, S K, T P K, T P 9 K, T 3P K, P 9 K,9 3 P Conclusão As modulações visadas atendem aos requisitos de um sistema integrado de transmissão de dados [3], os quais são planejados a partir do modelo de grafo associado ao canal DMC Desse modo, o processo mais natural de identificação parte do canal e, por isso, o nosso objetivo foi relacionar os projetos de modulações para espaços de α sinais destacando às regulares, ou seja, àquelas com características esgu Se o objetivo é optar por uma particular modulação, a Proposição 3 irá dizer se ela existe e, a Tabela 3, identifica a superfície sobre a qual o projeto é realizado Quanto a construção, o processo em [] encarrega-se do mergulho em superfície sem bordos e a Construção, do mergulho em superfície com bordos O número de elementos de M na Tabela, já é expressivo, mas não é só isto, da condição (), segue que o número de modulações em superfícies com bordos é vezes maior do que o apresentado na Tabela Agradecimentos À Maria Zuleica Oriá Lima (esposa) e ao Prof Elder Lacerda Queiroz, Faculdade de Filosofia - UERN, pelas assessorias prestadas no texto e na tradução Abstract In a transmission system of digital signals [3], the components channelmodulation-codification are projected by the following way: the modulation is the topological model of -cells embedding on surface Ω of complete bipartite graphs

12 Lima e Palazzo K m,n, associated to the discrete memoryless channels The main focus is to identify the modulation models with integrated systems patterns, emphasizing the geometrically uniform signal spaces [] Keywords Modulations, discrete memoryless channel, surface, graph embedding Referências [] PA Firby, CF Gardiner, Surface Topology, Ellis Horwood Limited, England, 99 [] GD Forney Jr, Geometrically Uniform Codes, IEEE Trans Inform Theory, 3 (99) - [3] JD Lima, Identificação e Estrutura Algébrica das Superfícies Compactas com e sem Bordos, Provenientes de Mergulhos de Canais Discretos sem Memória, Tese de doutorado, FEEC, UNICAMP, [] JD Lima, R Palazzo Jr, Grupo de homologia, uma fonte natural de códigos corretores de erros, em submissão, Mossoró, [] JD Lima, R Palazzo Jr, Projetos topológicos de modulações sobre superfícies, em submissão, Mossoró, [] RD Ringeisen, Determining all compact orientable -manifolds upon which K m,n has -cell embeddings Journal Combinatorial Theory, (9) - [] RD Ringeisen, Survey of results on the maximum genus of a graph, Journal of Graph Theory, [] H Seifert, W Threlfall, Leciones de Topologia, Madrid, 9 [9] S Stahl, A survey of the embeddings of a graph, Journal of Graph Theory, (9) -9 [] JM Wozencraft, IM Jacobs, Principles of Comunication Engineering, New York, 9