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1 Governo do Estado do Rio Grande do Norte Secretariado de Estado da Educação e Cultura - SEEC UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE - UERN Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação PROPEG Departamento de Pesquisa Campus Universitário BR-110, KM-46 - Costa e Silva Fone: (084) Ramal CEP: pibic@uern.br TÍTULO DO PROJETO COORDENADOR Co-ORIENTADOR (Opcional) ORIENTANDO FORMULÁRIO PARA APRESENTAÇÃO DE PROJETO DE PESQUISA - PIBIC Códigos Corretores de Erros sobre Variedades Riemannianas Associados a Canais Discretos sem Memória Dr. João de Deus Lima Wilken Charles Dantas de Melo RENOVAÇÃO DE PROJETO * SIM NÃO 1. RESUMO DO PROJETO (até 2000 caracteres com espaço) De Lima e Palazzo [10], sabe-se que um projeto de um sistema de transmissão de dados é menos complexo e apresenta melhor performance, quando o sistema de codificação é compatível com o projeto de modulação, como conseqüência propõem um projeto no qual a modulação vem de um mergulho do grafo associado ao canal e o sistema de codificação é extraído diretamente de uma estrutura algébrica proveniente da modulação, ou seja, do grupo de homologia da superfície sobre a qual o grafo encontra-se mergulhado. Observa-se que códigos que apresentam excelentes performances num sistema de transmissão de dados, são sempre compatíveis com as modulações; porém, seus projetos não visavam à compatibilidade, estas ocorrem meio que acidentalmente. As questões que surgem são, portanto: Dado um canal discreto sem memória, é possível projetar uma modulação sobre uma variedade riemanniana bidimensional? E a partir deste modelo de modulação, é possível projetar um sistema de codificação compatível com a modulação e o canal? E quais seriam tais estruturas? Obter elementos que viabilizem o processo de construção de projetos de modulações sobre variedades riemannianas bidimensionais provenientes de mergulhos de grafos associados a canais discretos sem memória, e identificar estruturas algébricas associadas aos modelos de mergulhos que possibilitem a construção de códigos corretores de erros compatíveis com as modulações, são os objetivos visados neste projeto. Em resumo, a proposta é fornecer os seguintes componentes de um sistema de transmissão de dados: o código corretor de erro, o projeto de modulação (constelação de sinais), e o modelo de canal, visando uma ação conjunta desses elementos, no sentido de tornar mais eficiente o processo de transmissão de dados. 2. INTRODUÇÃO/JUSTIFICATIVA (até 7000 caracteres com espaço) Um dos principais objetivos do projeto é desenvolver um sistema de códigos corretores de erros sobre variedades riemannians vindas de mergulhos de grafos associados a canais discretos sem memória. A primeira etapa deste processo consiste em identificar as sequências que irão compor a estrutura dos códigos. Tais sequências, denominadas de sequências orbitais, serão obtidas através de rotulamento dos vértices de lados dos grafos pelos elementos de um grupo aditivo dos inteiros módulo m, percorrendo-se os caminhos fechados das fronteiras das regiões de um mergulho de um grafo sobre uma superfície orientada. No projeto que estamos solicitando a renovação foi desenvolvido um algoritmo identificador das sequências orbitais, da superfície sobre a qual o grafo encontra-se mergulhado e o tipo de partição do mergulho. Foi testada a eficiência do algoritmo para os mergulhos dos grafos completos de 3 a 6 vértices, sendo identificadas todas as estruturas de códigos para os três primeiros casos e, devido ao grande número de classes existentes nos mergulhos do grafo completo com 6 vértices, os equipamentos utilizados não foram suficientes para processar o número de informações desejadas. Com isso, o processo de identificação em grafos com um número elevado de vértices tornou uma das prioridades deste projeto. Além disso, as implicações deste processo resultam ainda em projetos de modulações e grafos associados a canais discretos sem memória. Consequentemente, estamos solicitando a renovação deste projeto para executar pesquisas em relação à identificação de classes de sequências orbitais de mergulhos de grafos com um número elevado de vértices, construir códigos corretores de erros a partir das seqüências orbitais, construir sistemas de modulações sobre as variedades riemannianas usando as partições provenientes dos mergulhos de grafos e construir os modelos de canais correspondentes aos projetos de modulações. 1

2 * Em caso de renovação de projeto, o coordenador deverá explicitar as razões para tal, justificando com os dados preliminares. 3. OBJETIVOS (até 2200 caracteres com espaço) O objetivo geral é identificar estruturas algébricas oriundas de mergulhos de grafos associados a canais discretos sem memória, sobre variedades riemannianas bidimensionais, visando a obtenção de códigos corretores de erros compatíveis com a modulação e canal. Os objetivos específicos consistem em: a) Construir códigos corretores de erros compatíveis com o sistema de modulação e canal a partir dos seguintes elementos: Grupo de simetrias de poliedros regulares (poliedros platônicos, arquimedianos e convexos); Grupo do grafo colorido de Cayley; Grupo de homologia de uma superfície; As órbitas que definem as fronteiras das regiões de um grafo mergulhado sobre uma superfície; b) Implementar algoritmos de processos de codificação/decodificação e; c) Calcular eficiência dos códigos. 4. METODOLOGIA (até 4000 caracteres com espaço) Cada objetivo será trabalhado conforme as seguintes metodologias: A) Dado um poliedro convexo P, realizam-se os seguintes procedimentos: 1. Identificam-se as constelações de sinais correspondentes aos vértices de P e P, o poliedro dual de P, definindo-se os dois modelos de canais C e C associados a P e P, respectivamente; 2. Determinam-se o grupo de simetrias S de P (é o mesmo de P ) nas formas de: permutações, composição de ciclos e transformações lineares (matrizes); 3. Verifica-se a viabilidade de cada uma das formas de S nas seguintes construções: codificação e decodificação de fonte e canal; 3. Analisam-se a capacidade de correção de erros e a complexidade de cada sistema de codificação obtido. B) Sobre um grafo colorido de Cayley G: 1. Identificam-se a constelação de sinais e o modelo de canal definidos pelos vértices e arestas de G; 2. Identifica-se o grupo colorido de Cayley e seus subgrupos, destacando-se os subgrupos normais e transitivos; 3. Constroem-se sistemas de codificação utilizando os subgrupos normais e transitivos; 4. Sobre G, projeta-se um codificador e um decodificador; 5. Analisam-se a capacidade de correção de erros e a complexidade de cada sistema de codificação obtido sobre G. C) A partir de um DMC D com probabilidades de erros de transição conhecidos: 1. Identifica-se o modelo de grafo D associado ao canal; 2. Identifica-se o conjunto das classes de superfícies sobre as quais D se encontra mergulhado como um mergulho de duas células; 3. Constrói-se um modelo planar Q de um mergulho D sobre uma superfície M; 4. Constrói-se uma triangulação sobre Q (minimizando o número de 1-cadeias), para obter um complexo simplicial K sobre M; 5. Determinam-se as relações triviais sobre K para compor apresentação B do primeiro grupo de homologia de M, H1(M); 6. Simplifica-se B até obter B, contendo apenas relações com elementos de D ; 7. Usa-se a forma matricial B para gerar códigos corretores de erros, isto é, os subgrupos normais de transitivos de H1(M); 8. Projetam-se codificadores e decodificadores; 9. Analisam-se a capacidade de correção de erros e a complexidade de cada sistema de codificação obtido sobre H1(M). D) Os sistemas de codificação sobre as órbitas que definem as fronteiras das regiões de um mergulho de grafo serão projetados através das seguintes etapas: 1. Toma-se um DMC D (probabilidades de erros de transições são conhecidas); 2. Constrói-se o grafo D associado a D; 3. Define-se uma orientação sobre D e identifica-se o mergulho de D sobre uma superfície M (identificações do gênero de M e as órbitas do mergulho); 4. Às órbitas, será dado um tratamento de código corretor de erros; 5. A codificação de fonte será realizada através da matriz de transição. 6. Codificadores e decodificadores serão projetados usando a matriz de transição e os codificadores e decodificadores dos códigos cíclicos; 7. Analisam-se a capacidade de correção de erros e a complexidade de cada sistema de codificação obtido sobre curvas orbitais. 5. RESULTADOS E APLICAÇÕES ESPERADAS (até 4000 caracteres com espaço) As metas e indicadores visados neste projeto são os seguintes: A) Construir códigos corretores de erros sobre a esfera utilizando representações de grupos de simetrias de poliedros convexos regulares; B) Construir códigos corretores de erros sobre a estrutura do grupo do grafo colorido de Cayley; C) O grupo de homologia H1(M) de uma superfície M é determinado a partir de um complexo sobre M, o qual pode ser obtido a partir do mergulho do grafo associado a um canal discreto sem memória. Além disso, H1(M) é a soma direta de um grupo G (pode ter a componente Z2, no em que M é superfície não-orientada), o qual pode ser finito ou infinito. Sendo assim, a meta é explorar tais particularidades do grupo de homologia para construir estruturas de códigos corretores de erros sobre superfícies orientadas e não-orientadas; D) Sobre o conjunto das órbitas que definem fronteiras de regiões de mergulhos de grafos, é possível associar seqüências algébricas, matrizes (matriz de transição) e uma distância, a distância de Lee. Em vista disto, a meta é construir códigos corretores de erros sobre superfícies através das seqüências orbitais e, com isso, identificar o conjunto das classes de códigos corretores de erros sobre superfícies, associados a um canal discreto sem memória. 2

3 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (até 3000 caracteres com espaço) [1] CAVALCANTE, R.G.; Análise de Desempenho de Constelações de Sinais em Variedades Riemannianas, Tese de Mestrado, DT-FEEC-UNICAMP, Campinas, SP, [2] CAVALCANTE, R. G.; LAZARI, H.; LIMA, J. D.; PALAZZO JUNIOR, R.. A new approach to the design of digital communication systems. AMS-DIMACS Series, USA, v. 68, n. 1, p , [3] CAVALCANTE, R. G.; LAZARI, H.; LIMA, J. D.; PALAZZO JUNIOR, R.. Coset space approach for the design of geometrically uniform codes in homogeneous spaces. In: XVIII Escola de Álgebra, 2004, Campinas. Anais da XVIII Escola de Álgebra. Campinas: UNICAMP, v. CD-ROM. p [4] CARVALHO, E. D.; Construção e Rotulamento de Constelações de Sinais Geometricamente Uniformes em Espaços Euclidianos e Hiperbólicos, Tese de Doutorado, DT FEEC-UNICAMP, Campinas, SP, [5] FARIA, L. C. B.; Caracterização Topológica, Geométrica e Algébrica dos produtos de recombinações do DNA através de modelos Tangle e frações contínuas, Tese de Mestrado, DT-FEEC-UNICAMP, [6] FIRBY, P. A., GARDINER, C. F.; Surface Topology, 2 nd ed., Ellis Hewood Limited, England,1991. [7] FORNEY Jr.; G. D. Geometrically Uniform Codes, IEEE Trans. Inform. Theory, v. 37, pp , Sept [8] GAZZONI, W. C., Propriedades Algébricas e Geométricas dos Códigos de Bloco Quânticos, Tese de Mestrado, DT-FEEC- UNICAMP, [9] GIBLIN, P. J.; Graphs, Surfaces and Homology, John Wiley & Sons, Inc., New York, [10] GOPPA, V. D.; Algebraic-geometric codes, Math. USSR Izvestiya, v. 21, pp , [11] GOPPA, V. D.; Codes associated with divisors, Prob. Peredachi Informatsii, v. 13, pp , [12] KÖNIG, D.; Theorie der Endlichen und Unendlichen Graphen, Leipzig, 1936, Reprinted to Chelsea, New York, [13] LIMA, J.D.; Identificação e Estrutura Algébrica das Superfícies Compactas com e sem Bordos, Provenientes de Mergulhos de Canais Discretos sem Memória, Tese de Doutorado, DT FEEC-UNICAMP, Campinas, SP, [14] LIMA, J. D.; PALAZZO JUNIOR, R.. Topological structures associated with discrete memoryless channels. In: IEEE/SBrT International Telecommunications Symposium, 2002, Natal, RN. IEEE/SBrT Proceedings of the International Telecommunications Symposium. Natal, RN : IEEE/SBrT, v. 1. p [15] LIMA, J. D.; PALAZZO JUNIOR, R.. Embedding discrete memoryless channels on compact and minimal surfaces. In: IEEE Information Theory Workshop, 2002, Bangalore. Proceedings of the IEEE Information Theory Workshop. New Jersey : IEEE Press, v. 1. p [16] MASSEY, W. S.; Algebraic Topology: un Introduction, Springer Verlag, New York, [17] MUNKRES, James R. Elements of Algebraic Topology, Addison-Wesley, Publishing Company, New York, [18] RINGEISEN, Richard D. Survey of results on the maximum genus of a graph, Journal of Graph Theory, v. 3, pp. 1-13, [19] RINGEL, G.; Das Geschlecht des vollständigen paaren Graphen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, v. 28, pp , [20] RINGEL, G.; Der vollstandige paare Graph auf Nichotorientierbaren Flächen, J. Reine Angew. Math., v. 220, pp , [21] RINGEL, G., YOUNGS, J. W. T.; Das Geschelcht des symmetrische vollständige drei-farbaren Graphen, Comment. Math. Helv., v. 45 (1970), pp [22] RINGEL, G., Map Color Theorem, Springer-Verlag, New York,

4 [23] ROCHA, A. S. L.; Modelos Matemáticos para a Previsão de Recombinações Sito-específico do DNA, Tese de Mestrado, DT-FEEC-UNICAMP, [24] SANTOS, G.O.; Caracterização Geométrica do Processo de Decodificação da Classe dos Códigos Alternantes Cíclicos Através de Polinômios Absolutamente Irredutíveis, Tese de Doutorado, DT FEEC-UNICAMP, Campinas, SP, [25] SILVA, M. F, Codificação de Geodésicas Fechadas Simples em Superfícies Hiperbólicas, Tese de Doutorado, DT-FEEC- UNICAMP, Campinas, SP, [26] STAHL, S. The Embeddings of a Graph - A Survey. Journal of Graph Theory, v. 2, pp , ORÇAMENTO RUBRICAS/DISCRIMINAÇÃO Material de Consumo Quantidade Valor Individual R$ Valor Total R$ Papel ofício A4 6 14,50 87,00 Canetas esferográficas 12 0,80 9,60 Lápis 10 0,20 2,00 Borrachas 10 0,40 4,00 Réguas 4 4,50 18,00 Esquadros 2 6,90 13,80 Compasso 3 16,00 48,00 pendrive 2 50,00 100,00 Cartucho de tinta preta, Four Tech 27C8727A, 19 ml 2 64,00 128,00 Cartucho de tinta colorido, Four Tech 27C8727A, 19 ml 1 96,00 96,00 TELECOMUNICAÇÕES: SISTEMAS ANALÓGICOS-DIGITAIS. Ribeiro M. P, Barradas O. C. M ,00 DIGITAL COMMUNICATION. Edward A. Lee and David G. Messerschmitt 1 275,00 275,00 210,00 Total de Material de Consumo 991,40 Serviço de Terceiros Pessoa Física Quantidade Valor Unitário R$ Valor Total R$ Total de Serviço de Terceiros Pessoa Física Serviço de Terceiros Pessoa Jurídica Quantidade Valor Unitário R$ Valor Total R$ Total de Serviço de Terceiros Pessoa Jurídica Passagens/Trecho Quantidade Valor Unitário R$ Valor Total R$ 4

5 Passagens Total Diárias Quantidade Valor Unitário R$ Valor Total R$ Diárias - Total Bolsa de iniciação científica Quantidade Valor Unitário R$ Valor Total R$ ,00 Bolsa de Iniciação Científica - Total VALOR TOTAL DO PROJETO 4.591,40 8. TERMO DE COMPROMISSO DO SOLICITANTE Declaro, para fins de direito, conhecer as normas gerais fixadas pelo presente edital, pelo CNPq e pela UERN para a concessão de Bolsas de Iniciação Científica. Mossoró, 17 de Abril de Assinatura do(a) Coordenador(a) 5