Depart am ent o de Mat em át ic a. Lic enc iat uras em : Ec onom ia Gest ão de Em presas Gest ão / Inform át ic a

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3 UNIVERSIDADE DOS AÇORES Depart am ent o de Mat em át ic a (9L=EiLA;9$$ (9L=EiLA;9$$ (9L=EiLA;9$$ 7H[WRGHDSRLR Lic enc iat uras em : Ec onom ia Gest ão de Em presas Gest ão / Inform át ic a J osé Eduardo Carreiro 5 6

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5 Ì',&( &$Ì78/, )XQo}HVYHFWRULDLVGHYDULiYHOYHFWRULDO..... Funções vectoriais de variável vectorial..... Inversão e composição de funções Função inversa Função composta..... Continuidade Limites Limites relativos Limites direccionais (caso geral) Exercícios propostos... &$Ì78/,, 'LIHUHQFLDELOLGDGHHP Funções reais de variável real Crescimento parcial e crescimento total de uma função Derivada da função composta Função implícita. Derivada da função implícita Derivada segundo uma direcção Derivadas de funções vectoriais de variável vectorial Gradiente Interpretação geométrica: aplicações Funções de em Funções de em Funções de em Funções de em, P, S Problemas de optimização Extremos livres...56

6 ! #"$% &('" #*),+-"$.$/"("$.% &#.+54%..8.. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange Exercícios propostos...6 &$Ì78/,,,,QWHJUDELOLGDGHj5LHPDQQHP Q Generalidades Integrais duplos Domínios de integração rectangulares Domínios de integração quaisquer regulares Propriedades dos integrais duplos Algumas aplicações dos integrais duplos Cálculo de áreas planas Cálculo de volumes Mudança de variáveis de integração Coordenadas polares Integrais triplos Regiões de tipo Regiões de tipo Regiões de tipo Aplicações dos integrais triplos Cálculo do volume de um corpo Exercícios propostos...6 &$Ì78/,9 (TXDo}HVGLIHUHQFLDLV Generalidades Equações diferenciais separáveis Equações diferenciais exactas Exercícios propostos...8 $(;6²)RUPXOiULRV 7DEHOD)RUPXOiULRGHWULJRQRPHWULD DEHOD)RUPXOiULRGHIXQo}HVKLSHUEyOLFDV DEHOD/LPLWHVQRWiYHLV

7 ( 78 #"$% &9' " #)+:"$;7$<"9 *"$% &#.=>+54%. 7DEHOD)RUPXOiULRGHGHULYDGDV DEHOD)RUPXOiULRGHSULPLWLYDVLPHGLDWDV...5 7DEHOD$OIDEHWRJUHJR...5 5()(5È&,$6%,%/,*5É),&$

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9 &$Ì78/, )8d )XQo}HVUHDLVGHYDULiYHOYHFWRULDO A Ao estudarmos funções de uma variável apenas e tentando aplicá-las a diversas situações, notamos que a análise de numerosos fenómenos implica a utilização de funções de duas ou mais variáveis independentes. Tomemos um exemplo simples: a área de um rectângulo com as seguintes dimensões \ [ é dada pela fórmula $ = [\, ou seja, a cada par de valores ([, \) corresponde um valor bem determinado de $. $ é, portanto, uma função de duas variáveis: $: ' ([, \) $([, \) = [\ Ao conjunto ', conjunto dos pares ([, \) para os quais esta função está definida '= {([, \) ± : [ > ¼ \ > } dá-se o nome de GRPtQLRGHH[LVWrQFLDGDIXQomR. Consideremos a função I: ' ([, \) ] = I([, \) O lugar geométrico de todos os pontos de coordenadas ([, \, ]), com ([, \) ± ' e ] = I([, \), chama-se JUiILFRGDIXQomRe representa-se por JUDII, ou seja, JUDII = {([, \, I([, \)), ([, \) ± '}

10 B8C DEFG5H*IJ.K "$/L"% +: $/'"#L.+: 4L."ML"% +: M Assim, como facilmente se percebe, o gráfico de uma função de duas variáveis é uma superfície no espaço (em ) e cuja projecção no plano [R\ (plano que contém os valores das duas variáveis independentes de I) é o domínio de definição desta função. ([HPSOR>@ I [, \ = 9 [ \. Determinemos o domínio de I e o seu gráfico. Seja ( ) Desenhemos, em seguida o JUDII. Em primeiro lugar comecemos por escrever a condição que temos de impor para que a função tenha significado: {(, ) : 9 } ([, \) : [ \ 9. ' = [ \ [ \ { } = + Concluímos, portanto, que o domínio da função I é um círculo de centro na origem e raio unidades, cuja representação geométrica é Para representarmos o gráfico de I comecemos por entender a sua expressão analítica: ( ) I [, \ = 9 [ \ ] = 9 [ \ ] = 9 [ \ [ + \ + ] = 9 trata-se portanto de uma esfera centrada na origem e raio unidades. Como ] = 9 [ \ então ] e, portanto, temos uma semi-esfera, cuja representação geométrica é a seguinte: P 6>NO6

11 B,C DEFG5H*IJ.K"$/L"% +: $<'"/L.+: 4L."MQL"% +: M 'HILQLomR>@)XQomRUHDOGHQYDULiYHLVUHDLV Chama-se IXQomRUHDOGHQYDULiYHLVUHDLV a toda a função do tipo I: ' T. *HQHUDOL]DomR Define-se domínio de uma função real I de Q variáveis reais como sendo o conjunto dos Q-uplos ordenados ([, [,, [ ) para os quais a função está definida T 'U = {([, [,, [ ) ± T : ]± : ] = I([ T, [,, [ )} T define-se, ainda, gráfico de I como sendo o conjunto JUDII = {([,, [, I([ T,, [ )), ([ T,, [ ) ± 'U }. T Uma função I: ' T (função real de Q variáveis reais) é denominada, por vezes, de campo escalar em '. OLQHDU, A uma transformação linear cujo conjunto de chegada é dá-se o nome de IXQFLRQDO I: V. Em particular, podemos estudar as SURMHFo}HV SW : SW : V [ = ([,, [ ) SW ([) = [W V que são funcionais lineares, onde L P. Provemos que SX é efectivamente uma transformação linear: Sejam [, \ ± V quaisquer. Assim, [ = ([, [,, [ V ) e \ = (\, \,, \ V ). Então: SW ([ + \) = SW ([ + \, [ + \,, [ + \ ) = [W + \W = SW ([) + SW (\) V V SW (D[) = SW (D[, D[,, D[ ) = D[W = DSW ([) V Assim, SW é uma transformação linear e como o conjunto de chegada é, a função SW é um funcional linear. Y ([HPSOR>@ Tomemos [ = (, 5,,,, 4) um ponto de 6. Assim, S ([) = 5. Y R>SOR

12 B8C DEFG5H*IJ.K "$/L"% +: $/'"#L.+: 4L."ML"% +: M 'HILQLomR>@)XQomRYHFWRULDOGHPYDULiYHLVUHDLV Chama-se IXQomRYHFWRULDOGHPYDULiYHLVUHDLV a toda a função do tipo I: ; V T. Aproveitemos esta ocasião para fazer duas breves observações: Diz-se de P variáveis, porque o domínio é um subconjunto de V. Diz-se vectorial, porque o conjunto de chegada é T que é um espaço vectorial. Aqui, o termo vectorial nada tem a ver com aplicação linear, é apenas no sentido de significar que as imagens são vectores do espaço euclidiano. Destaquemos alguns casos particulares de funções vectoriais de variável vectorial e aproveitemos para, em cada caso, dar um exemplo de cada tipo de função. P Q Ð )XQomRUHDOGHYDULiYHOUHDO ([HPSOR>@ I: ; [ I([) I: ; [ I([) = sen [ Y P!Q Ð )XQomRUHDOGHPYDULiYHLVUHDLV I: ; V ([,, [ ) I([ V,, [ ) V ([HPSOR>@ I: ; ([, \, ]) I([, \, ]) = [ \ + ] Y RZR

13 B,C DEFG5H*IJ.K"$/L"% +: $<'"/L.+: 4L."MQL"% +: M P Q! Ð )XQomRYHFWRULDOGHYDULiYHOUHDO I: ; T [ I([) = (\, \,, \ ) T ([HPSOR>@ I: ; [ I([) = ([, cos [) Y Observemos que cada uma das componentes \W é uma função de [, com valores em, isto é, define uma função de ;. Temos, portanto ( ) \ = I [, I : ; \ = I ([), I : ; Funções de [ com valores em # \ ] = I ] ([), I ] : ; Portanto I é inteiramente determinada por Q funções reais de variável real. Escreve-se então: I([) = (I ([), I ([),, I ([)) ou apenas I = (IW ), L =,, Q. T ([HPSOR>@ I ([) = sen [ I : I: ; [ I([) = (sen [, e^ ) I ([) = e^ I : Y P!Q! Ð )XQomRYHFWRULDOGHYDULiYHOYHFWRULDORXIXQomRYHFWRULDOGHPYDULiYHLVUHDLV I: ; V T [= ([, [,, [ ) I([) = I([ V, [,, [ ) = (\ V, \,, \ ) T I([) será um Q-uplo ordenado de T, onde cada uma das suas coordenadas \W é uma função de P variáveis, ([, [,, [ ), e tem valores em, isto é, V R\[(R

14 { { { { { _ `a8b cdefggh5i*jkl.m no/pnqr st:u vu o/wn#p.vt:u xp.nypnqr st:u vy Escreve-se, então: ou apenas, (! ) (! ) \ = I [, [,, [, I : ; \ = I [, [,, [, I : ; (! ) \ = I [, [,, [{, I : ; # ( ) (,!, } ) = (,!, } ), (,!, } ),!, ~ (,!, } ) I [ [ I [ [ I [ [ I [ [ I = ( I ), L =,!, Q. ([HPSOR>@ I: [ + 4\ ([, \) I([, \) = [, [ \, I = (I, I, I ) I ([, \) = [ I ([, \) = [ \ I ([, \) = [ + 4\ I : I : I : 'HILQLomR>@)XQo}HVFRRUGHQDGDV A toda a função I: ; denomina-se vectorial (porque as imagens são elementos de ) de P variáveis reais em que I([) = (I ([), I ([),, I ([)), [ ± ;, e define, portanto, Q funções reais onde Iƒ : ;, L =,, Q As funções I, I,, I : ; são chamadas IXQo}HV FRPSRQHQWHV RX FRRUGHQDGDVGHI. URSRVLomR>@ Seja I: ; definida por I([) = I([, [,, [ ) = (I ([), I ([),, I ([)) onde Iƒ : ;, L =,, Q. Então as aplicações coordenadas de I são dadas pela composição: Iƒ = Sƒ I, L =,, Q, sendo Sƒ a projecção de ordem L. R8zR

15 , ˆ Š GŒ 5Ž*. / :š š <œ /. :š. žq :š ž ([HPSOR>@ Caracterizemos as funções coordenadas (ou componentes) da função I: definida por I ([, \, ]) ([ \ ], [ \ ]) = Em primeiro lugar verificamos que a função I é do tipo I = (I, I ), onde I ([, \, ]) = (S I)([, \, ]) = S (I ([, \, ])) = S ([ + \ ], [ + \ + ]) = [ + \ ] e, analogamente, I ([, \, ]) = (S I)([, \, ]) = S (I ([, \, ])) = S ([ + \ ], [ + \ + ]) = [ + \] e, portanto, I ([, \, ]) = [ + \ ] I ([, \, ]) = [ + \ + ] I : I : ([HPSOR>@ Identifiquemos e esbocemos o domínio da função I, definida por (, ) 5 I [ \ = [ \. Em primeiro lugar vejamos que o domínio da função é o conjunto seguinte {(, ) : 5 } ([, \) : [ \ 5, ' = [ \ [ \ { } = + ou seja, é o círculo centrado na origem e que tem raio 5 unidades. A sua representação geométrica é, portanto: ([HPSOR>@ Identifiquemos e esbocemos o domínio da função J, definida por \ [ + \ 4. (, ) = J [ \ Facilmente se vê que as condições a impor aos pontos ([, \) ± são que o radicando é não negativo e que o denominador não pode ser nulo. Assim, podemos escrever o domínio como o conjunto Ÿ* *Ÿ

16 8 Gª«5 *. ±²/³± µ : ¹ ²/º±#³.¹ :»³.±¼³± µ : ¹¼ {(, ) : 4 4 } ([, \) : [ \ 4 [ \ 4 ' = [ \ [ + \ [ + \ { } {( [, \) : [ \ 4 [ \ 4} {( [, \) : [ \ 4 }. = + + = + + = + > Portanto, a representação geométrica de 'À é a seguinte:,qyhuvmrhfrpsrvlomrghixqo}hv )XQomRLQYHUVD 'HILQLomR>@,QMHFWLYLGDGH Sejam $ e % dois conjuntos quaisquer e seja I uma função de $ em %. A função I diz-se LQMHFWLYD se dados [, [ ± $, [ œ [ Á I ([ ) œ I ([ ), ou seja, a valores diferentes da variável independente [ correspondem valores diferentes da variável dependente \. Na prática, a injectividade de uma função é verificada pela contra-recíproca, ou seja, I[Á I[ Á[Á [Â. Se uma função I é injectiva podemos definir a respectiva IXQomRLQYHUVD que, a cada \ = I($) faz corresponder um [ ± $ tal que \ = I([); Para representar a função inversa usa-se a simbologia I - : I($) $ \ I - (\) = [. O domínio da função inversa, I -, é o contradomínio da função I e o contradomínio de I - é o domínio de I. ½\¾(½

17 Ä, Gª«5 *. ±²/³± µ : ¹ ²<º±/³.¹ :»³.±¼Q³± µ : ¹¼ É fundamental que a função seja injectiva para se poder definir a sua inversa, pois caso contrário (se I não for injectiva) existem dois objectos distintos ([ œ [ ) com \ = I([ ) = \ = I([ ), e portanto, ao tomarmos \ ± I($) não existe apenas uma imagem de [ ± $ tal que \ = I([). Assim, I - não é função. ([HPSOR>@ Indiquemos quais das funções seguintes admitem inversa e, sempre que possível, caracterizemos essa função inversa: I: $, com $ = [, +ˆ[ [ I ([) = [ Sejam [, [ ± $ quaisquer. Será que I é uma função injectiva em $? Vejamos se I([ ) = I([ ) Á [ = [ : I([ ) = I([ ) ¾ ([ ) = ([ ) Á [ = [, em $. Assim, I é injectiva e portanto admite inversa. Caracterizemos a função inversa de I: \ = I([) ¾ \ = [ ¾ [ = \ Á [ = \, pois $ = [, +ˆ[. Assim, I - : I($) $, com I($) = I([, +ˆ[) = [, +ˆ[ \ I (\) = \ = [ Ä J: [ J ([) = [ Sejam [, [ ± quaisquer. J([ ) = J([ ) ¾ ([ ) = ([ ) ¾ [ = [. Assim, J é não injectiva e portanto não admite inversa. K: ([, \) K ([, \) = ([ + \, [ \) Sejam ([, \ ), ([, \ ) ± quaisquer. ½!Ã9½

18 8 Gª«5 *. ±²/³± µ : ¹ ²/º±#³.¹ :»³.±¼³± µ : ¹¼ K([, \ ) = K([, \ ) ¾ ([ + \, [ \ ) = ([ + \, [ \ ) Á [ + \ = [ + \ [ \ = [ \ [ = [ + \ \ [ = [ = [ + \ \ \ = [ \ \ = \ \ \ = Assim, K é injectiva e portanto admite inversa. ([, \ ) ([, \ ) Caracterizemos a função inversa de K: [ + \ = X [ = X \ [ = X \ K([, \) = (X, Y) ¾ ([ + \, [ \) = (X, Y) Á [ \ = Y X \ \ = Y \ = Y X X Y X X + Y X + Y [ = X [ = [ = X + Y X Y ([, \) =, X Y X Y X Y \ = \ = \ = Assim, K - :, pois K( ) = X + Y X Y (X, Y) ([, \) = K (X, Y) =, Ä )XQomRFRPSRVWD Consideremos $, %, & e ' conjuntos quaisquer. Dadas as funções I: $ % e J: & ' com I($) «& œ define-se função composta de J por I e representa-se por JÍI do modo seguinte: dado um elemento [ ± $ tal que \ = I([) ± I($) «& faz-se-lhe corresponder um elemento ] = J(\) = J(I([)). Assim, I J JÍI: $ I($) «'Ç ' [ I([) J(I([)) o seu domínio é o conjunto 'ÇÈ É = {[ ± $: \ = I([) ± I($) «'Ç }. Podemos ilustrar a forma de obter a função composta da seguinte forma: ½\ÅÆ<½

19 , Gª«5 *. ±²/³± µ : ¹ ²<º±/³.¹ :»³.±¼Q³± µ : ¹¼ & = ([HPSOR>@ Sendo I([) = sen [ com domínio $ =,, definamos JÍI. π, Comecemos por determinar o domínio da função composta: e J(\) = + \ com domínio π = Ora, I, [,] e portanto, 'ÇÈ É = {[ ± $: \ = I([) ± I($) «'Ç } π = [, : sen [ [, ], π = [, : sen [, π tendo em conta que a função VHQR é crescente em, e sabendo que sen() = e π π sen = então 'Ê Ë Ì =, 6 6. Determinemos a expressão analítica da função composta: logo, (JÍI) ([) = J(I([)) = J(sen [) = + sen [, π JÍI:, 6 [ JÍI ([) = + sen [ Í ½\Å Å9½

20 Î ÏÐ8Ñ ÒÓÔÕGÖ 5Ø*ÙÚÛ.Ü ÝÞ/ßÝàá âã:ä åä Þ/æÝ#ß.åã:ä çß.ýèßýàá âã:ä åè Sendo I(W) = ([, \) = ( W, W ) função de + uma função de $ + em e ] = J([, \) = [ + \ uma & = {([, \) ± : [ + \ 4} em. Definamos JÍI. Determinemos I($): { W $ W W I $ & } 'ìí î = {W ± $: I(W) ± I($) «&} :(, ) ( ) = + Se W ± $ Á W > Á [ = W + > e portanto I($) = ], +ˆ[ ], +ˆ [, e pela definição de & \ = W > obtemos I($) «&, geometricamente: ( ) ( ) I(W) = ( W, W ) + ± I($) «& Á W + + W 4, pois W+ > W + W + + W 4 W + W. Calculemos os zeros da função quadrática do primeiro membro da inequação: ± 9 + ± + W + W = W = W = W = W = geometricamente temos assim, tendo em conta que W >, podemos escrever que + W, e, portanto + JÍI:, W JÍI (W) = ( ) ( ) W + + W = W + W + ï é\êëé

21 ð ñò,ó ôõö Gøù5ú*ûüý.þÿ ÿ ÿ.ÿ ÿ Sendo I(U, V) uma função de $ = {(U, V) ± : V } em definida por [ = U + V \ = U V ] = U V e X = J([, \, ]) = [ + \ + ] uma função de & = {([, \, ]) ± : [, \, ] } em. Definamos JÍI. ' = {(U, V) ± : I(U, V) ± I($) «&} (, ) ( ) :,, ( ) { U V U V U V U V I $ &} = + Determinemos I($): [ = U + V, = = Se U ± Á \ U V, I ( U, V ) ([, \, ]), (, ) ] = U V, e portanto I($) =. Pela definição de & obtemos I($) «& = «& = &, que representa o primeiro octante do espaço ( ). Assim, {(, ) : } {( U, V) : U V U V} {( U, V) : U V}. '"! # = U V U + V U V U V = = Determinemos a expressão analítica da função composta: ( D )( ) ( ) ( ) ( ) J I U, V = J I U, V = J U + V, U V, U V = U + V + U V + U V então, & = U + V + U V, JÍI: '$ % (U, V) (JÍI )(U, V) = U + V + U V '

22 B C A D E F GH IH B JAKCI GH LCA M>C A D E F GH IM &RQWLQXLGDGH Comecemos por analisar a noção de continuidade para funções reais de variável real. Observemos as duas figuras seguintes: - Função contínua - - Função não contínua - Intuitivamente podemos assumir que: L I é contínua em cada ponto do seu domínio. Por exemplo, I é contínua no ponto [, porque para todo o ponto [ muito próximo de [, I([) está muito próxima de I([ ). LL J não é contínua. Pois, por exemplo, J não é contínua no ponto [, porque existem pontos [ muito próximo de [ cujas imagens J([) não se encontram muito próximas de J([ ). É do conhecimento geral que dada I : ;, função real de variável real, dado [ ± ; (ponto do domínio de I) se exprimia pontualmente a noção de continuidade de I em [ do modo seguinte: IpFRQWtQXDHP[R ¾ : S6T, [ [ I ([) I ([ ) < < ε > δ > δ ε ] [ ( ) ( ) ( ) ε > δ > : U6V, [ [ δ, [ + δ I [ I [ ε, I [ + ε Vamos generalizar este conceito de continuidade de uma função num ponto, para funções vectoriais de P variáveis reais. 'HILQLomR>@)XQomRFRQWtQXDQXPSRQWR Sejam I: ; W X e [ ± ;. Diz-se que a função IpFRQWtQXDHP[R se e só se: ( ) ( ) < < ε > δ > : Y6Z, [ [ δ I [ I [ ε Vejamos alguns casos particulares, para P = e para Q = : NOPQN

23 [*\,]^*_`a,b6c8d:e<f>ghij k l j m n o pq rq ks j lr pq tlj ul j m n o pq ru P I: ; X ([ ± ;) I é contínua em [ ¾ : z6{, [ [ I ([) I ([ ) < < ε > δ > δ ε Q I: ; W ([ ± ;) I é contínua em [ ¾ : z6{, [ [ I ([) I ([ ) < < ε > δ > δ ε 'HILQLomR>@)XQomRFRQWtQXDQRVHXGRPtQLR Sejam I: ; W X e [ ± ;. Diz-se que a função I p FRQWtQXD HP ; RX DSHQDV FRQWtQXD, se I é contínua em todos os pontos de ; (em todos os pontos do seu domínio). Simbolicamente, podemos escrever: I é contínua em ; ¾ ~} : I é contínua em [ ( ) ( ), ε δ : 6, [ [ < δ I [ I [ < ε > > 7HRUHPD>@&RQWLQXLGDGHGDUHVWULomR Sejam I: ; W X uma função, $ ; e D ± $. Se I é contínua em D então: I : $ X é ainda contínua em D. ([HPSOR>@ Verifiquemos, aplicando a definição, que a função I: ; é contínua em (, ). ([, \) I ([,\) = [ \,,, [ + \,, =, ([ \) ( ) ([ \) ( ) Ora, I é contínua em (, ) se e só se: ε δ :,,, < δ,, < ε. > >, Podemos então, ter dois casos distintos: ( ƒ8 ) ([ \) ( ) I ([ \) I ( ) vw*xyv

24 *,ˆ. *Š Œ, 6Ž8 : < > * š œ œ ž K œ Ÿ > š œ ([, \) = (, ) ([, \) œ (, ) Estudemos os dois casos separadamente: ([, \) = (, ) Seja G >, qualquer. ( ) ( ) I ( ) I ( ) < < ε > δ > :,, δ,, ε ( ) ( ),, < δ + < δ < δ e ainda, ( ) ( ) I, I, < ε = < δ Seja G = G, temos que: (,) (,) I I < δ = ε, como pretendíamos. ([, \) œ (, ) ε δ : 8 : [, \, < δ I [, \ I, < ε ( ) ( ) > >, \, { } ( ) ( ) ( ) ( ) Seja G >, qualquer. Queremos verificar δ : 8 : [, \ < δ I [, \ < ε. Ora, ( ) ( ) >, \, ([, \) < δ [ + \ < δ [ + \ < δ e também I ([, \) Vejamos que, ([ + \ )([ + \ ) { } ( ) ( ) [ \, pois [ [ + \ \ [ + \ [ + \ [ + \ = [ + \ < δ Então, seja δ ε,( δ ) = >. Vejamos que ª8«: [, \ < δ I [, \ < ε, \, ( ) ( ) { } ( ) ( ) [ \ [ \ = = [ + \ [ + \ Seja ([, \) ± \ {(, )}: [ \ [ + \ < δ [ + \ < δ I ([, \) = [ + \ < δ = ε, como queríamos [ + \ demonstrar. Assim, I é contínua em (, ).. >

25 *, ±*²³,µ6 8 : <¹>º»¼½ ¾ ½ À Á  ÃÄ ÅÄ ¾Æ ½ Å ÃÄ Ç ½ È ½ À Á  ÃÄ ÅÈ URSRVLomR>@&RQWLQXLGDGHGDFRPSRVLomRGHIXQo}HV Sejam I: $ Í Î e J: % Î Ï, tais que I($) %. Se I é contínua em D ± $ e J é contínua em I(D) então JÍI: $ Í Ï é contínua em D. URSRVLomR>@ Uma função I: ; Í Î definida no conjunto ; Í, é contínua num ponto D ± ; se e só se cada uma das suas funções coordenadas IÐ : ; Í, L =,, Q, é contínua em D. 7HRUHPD>@ Sejam ; Í e I, J: ; Í Î, D: ; Í funções contínuas num ponto D ± ;. Então são também contínuas, em D, as funções: L I J: ; Î, (I J)([) = I([) J([) LL D.I: ; Î, (D.I)([) = D([).I([) LLL <I, J>: ;, <I, J>([) = <I([), J([)> (produto interno) LY I ¼ J: ;, (I ¼ J)([) = I([) ¼ J([), (Q = ), (produto externo) Y I α : ;, I α ([) = I ([) α ([), definida se ² D (;) URSRVLomR>@ Toda a função linear é contínua. funções: onde: ([HPSOR>@ Seja I:, definida por ( ) + I [, \ = sen [ eñóò. Mostremos que I é contínua. Pela definição de I podemos verificar facilmente que se trata do produto de duas J: ([, \) J([,\) = sen [ I = JK K: ([, \) K([,\) = + eôöõ Se provarmos que J e K são duas funções contínuas, sabemos que I = JK é também ÉÊÌË8É

26 *,.±*²³,µ6 8 : <¹>º»¼*½ ¾ ½ À Á  ÃÄ ÅÄ ¾ ƽK Å ÃÄ Ç ½ È> ½ À Á  ÃÄ ÅÈ uma função contínua. Provemos então que J e K são funções contínuas: J: ([, \) J([,\) = sen [ Ora, J pode ser escrita como a composição de duas funções: ([, \) [ sen [ S logo J = sen Í S, é fácil verificar que têm o mesmo domínio, conjunto de chegada e igual lei de transformação, onde S : VHQ: ([, \) S ([,\) = [ [ sen [ Ora, S é continua por ser linear e VHQ é contínua por ser uma função real e variável real. Assim, J = senís é contínua, por ser a composição de duas funções contínuas. sen Provemos, agora, que K é uma função contínua: K: ([, \) K([,\) = + eôöõ A função K também pode ser escrita como a composição de duas funções: então K = expí\, onde \: ([, \) [ + \ + eôöõ \ exp H[S: ([, \) [ + \ W eø Mostremos que \ e H[S são duas funções contínuas. Ora, \ pode ser escrita como a soma de duas funções: \ = \ + \ onde, \ : \ : ([, \) [ ([, \) \ Como se poderá verificar ambas as funções \ e \ são contínuas. Comecemos por verificar que \ pode ser escrita como a composição seguinte: ÉÊ* yé

27 *, ±*²³,µ6 8 : <¹>º»¼½ ¾ ½ À Á  ÃÄ ÅÄ ¾Æ ½ Å ÃÄ Ç ½ È ½ À Á  ÃÄ ÅÈ ([, \) [ [ S T logo \ = T ÍS, com T : S : [ [ ([, \) [ Ora, T é continua por ser polinomial e S é contínua por ser linear. Assim, \ = T ÍS é contínua, por ser a composição de duas funções contínuas. Verifiquemos, agora, que \ pode ser escrita como a composição seguinte: logo \ = T ÍS, com ([, \) \ \ S T T : S : \ \ ([, \) \ Ora, T é continua por ser polinomial e S é contínua por ser linear. Assim, \ = T ÍS é contínua, por ser a composição de duas funções contínuas. Assim, sendo \ e \ duas funções contínuas, \ = \ + \ é contínua. Tendo em conta que a função exponencial é contínua, por ser uma função real e variável real, podemos concluir que K = expí\ é contínua. Então J e K são funções contínuas, portanto I = JK é contínua. 'HILQLomR>@)XQomRFRQWtQXDUHODWLYDPHQWHDXPDYDULiYHO Seja I: Í Î, com I([,, [ ) = (I Í ([,, [ ),, I ([ Í Î,, [ )). Í Seja L P, fixo. Diz-se que IpFRQWtQXDHPUHODomRjYDULiYHO[Ú, se para quaisquer constantes (fixas) D, D,, DÐ, DÐ +,, D a função J: Î, dada por Í J([) = I(D,, DÐ, [, DÐ +,, D ) for contínua. Í J denomina-se de IXQomRSDUFLDOGHI. ([HPSOR>@ Seja I:, definida por (,, ) sen( ) I [ \ ] = [ + [ + \ + ]. Mostremos que I é contínua relativamente a \. Tomemos, por exemplo, [ = e ]=. ÉÊÙ,É

28 ç *,.±*²³,µ6 8 : <¹>º»¼*½ ¾ ½ À Á  ÃÄ ÅÄ ¾ ƽK Å ÃÄ Ç ½ È> ½ À Á  ÃÄ ÅÈ Uma das funções parciais de I em relação à variável \ é: J: \ J(\) = I(, \, ) = 4 + sen ( + \) + = 5 + sen ( + \) Ora, I é contínua em relação a \ se para todas as constantes D, D, a função J: \ J(\) = I(D, \, D ) é contínua. Assim, J(\) = I(D, \, D ) = D + sen(d + \) + D que é contínua e portanto I é contínua relativamente a \. 7HRUHPD>@ Se I: Í Î é contínua, então qualquer função parcial de I também é contínua, isto é, I é contínua relativamente a cada uma das suas variáveis. /LPLWHV 'HILQLomR>@/LPLWHGHXPDIXQomRI Þ ß Seja I: ; Í Î uma função definida num conjunto ; Í. Seja D ± Í um ponto de acumulação de ;, isto é, D ± ;à. Diz-se que E ± Î é o limite de I([) quando [ D, e escreve-se ( ) á6â ( ) lim áäã I [ E > > :, [ D I [ E = ε δ < < δ < ε 7HRUHPD>@ O limite, quando existe, é único. ÉÜÛÝÉ ([HPSOR>@ [ \ Aplicando a definição de limite, mostremos que ( å8æ lim =., ) (, ) [ + \ [ \ [ \ ç8è lim = :,,, ε δ é < < δ < ε [ + \ [ + \ > > (, ) (,) \ (,) { } ([ \) ( )

29 ê*ë,ìí*îïð,ñ6ò8ó:ô<õ>ö øù ú û ù ü ý þ ÿ ú ù û ÿ ûù û ù ü ý þ ÿ Seja G >, qualquer. Tentemos encontrar G >, no domínio \ {(, )}, tal que: ([ \) ( ) [ \ <,, < δ < ε [ + \ ([ \) ( ) δ [ \ <,, < + < δ Ora, [ \ [ \ [ + \ [ \. Como \ = \ [ + \ < δ, podemos concluir que: [ \ [ + \ \ < δ Seja, então, G = G. Em primeiro lugar G >, pois G = G >. Em segundo lugar, para G = G> provamos que: e portanto, [ \ ε > δ = ε > :, < [ + \ < δ < ε \{(,) } [ + \ (, ) (,) [ \ lim = [ + \ URSRVLomR>@ Sejam I: ; e J: <, com I(;) <; Seja D ± ; : Se lim I ([) = E e J é contínua em E (E ± <), então lim( )( ) ( ) J I [ = J E Se lim ( ) = e lim ( ) =, onde E ± < e F ± I [ E! J \ F lim( )( ) "# J D I [ = F. D., e se I([) œ E quando [ œ D, então: 7HRUHPD>@ Sejam I: ;, I = (I$ ), L =,,, Q, e D ± ;, então: lim ( ) = = (,,..., % ) se e só se ( ( ) ( &' I [ E E E E lim )* I [ = E, L =,,..., Q.

30 h h h h +-,/.-465/798:<;>=?6@ A-BDCFE B G H IKJ L M L CFN BOE MKJ L P E B QE B G H IKJ L M Q Este teorema dá-nos uma forma de cálculo do limite de uma função vectorial, com Q funções coordenadas, ou seja, sendo I: ;,,..., U I [, [,..., [ V = I [, [,..., [ V, I [, [,..., [ V,..., I W [, [,..., [ V ([ [ [ ) ( ) ( ) ( ) ( ) com I = (I$ ), L =,,, Q, e D ± ;X, então: ( ) ( ) Z[ I ([) Z[ I ([) Z[ I ([) Z\[ I ([) lim = lim,lim,...,lim Y. ([HPSOR>@ ] I W Determinemos, caso exista, lim ( ), onde: I: \{} sen W W I(W) = W, W, W. sen W sen W W W Como vimos, lim ^ I ( W) = lim ^ W, W, = lim ^ W, lim ^ W, lim ^ = (,,). _ URSRVLomR>@ Seja ; ` e D ± ;X. Sejam I, J: ; ` a e D: ; ` tais que: lim bc I ([) = E ; lim de J ([) lim fg α ([) = α, onde ( ) ( ) Então: ij I ± J [ = E ± F ; lim( )( ) kl I [ = E ; lim( α )( ) α lim mn I, J [ = E, F ; ( ) lim op I J [ = E F, com Q = ; ( )( ) Se lim qr ( ) lim q\r ( ) E = E, E,..., E ; F = F, F,..., F e α. I [ = E I [ = E. = F e RS-STR ([HPSOR>@ st lim [ [ \ \. Determinemos, caso exista, ( ) ( ) ( + + ),,

31 lim [ [ \ \ Ora, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, u-v/wyx-z4{6 /}9~< > 6ƒ D F ˆ ŠK Œ Œ ŽK F K Œ ˆ ŠK Œ + + = + + = /LPLWHVUHODWLYRVVXFHVVLYRVHGLUHFFLRQDLV Consideremos o caso particular de uma função real de Q variáveis reais, isto é, I: ;. 'HILQLomR>@/LPLWHUHODWLYR Sejam % ;, I : % (restrição de I ao conjunto %) e D ± %š. Chama-se OLPLWHGHIQRSRQWRDUHODWLYRD%, ao limite, caso exista, da restrição de I a %, e representa-se por: lim I [ = lim I [. œ œ ( ) œ ( ) Tendo em conta o teorema da unicidade do limite, o limite da função, se existir, é igual ao limite relativo para qualquer conjunto % ;. Podemos afirmar que, se existir limite da função I, quando [ tende para D, o limite é o mesmo qualquer que seja o caminho que [ percorra a tender para D. No caso de, isto é, para funções reais de variável real, são conhecidos dois casos possíveis de caminhos para fazer [ aproximar-se de D, são os chamados OLPLWHVODWHUDLV, žÿ ( ) ž\ÿ ( ) lim I [ e lim I [, + OLPLWH ODWHUDO HVTXHUGR e OLPLWH ODWHUDO GLUHLWR, respectivamente. Geometricamente podemos representar estes dois caminhos possíveis através do seguinte esquema: No caso das funções de em, existe uma infinidade de caminhos para fazer um ponto genérico ([, \) aproximar-se (tender) para um ponto fixo (D, D ). Os mais usuais são os chamados OLPLWHV VXFHVVLYRV e os OLPLWHV GLUHFFLRQDLV, que geometricamente se podem representar pelo esquema: - T

32 - / / 9 <ª>«6 - D F± ² ³ Ḱµ F Ō± Kµ ¹ ± º± ² ³ Ḱµ º No entanto, como se pode verificar, existe uma infinidade de caminhos possíveis para tal aproximação. Tomemos, como exemplos, os que a seguir se indicam: 'HILQLomR>@/LPLWHVVXFHVVLYRV Seja I: ; e D = (D, D ) ± ;š. Os limites sucessivos consistem em fazer tender o [ para D, mantendo-se o \ inalterado (obtendo-se uma função de \ apenas) e em seguida faz-se o \ tender para D, ou vice-versa, ou seja: ÁÀÃÂ\À lim lim I ([, \) e, neste caso, segue-se o caminho seguinte: ou, caso contrário, ÂÀÄ ÁÀ lim lim I ([, \) que segue o caminho seguinte:»¼ ½¾»

33 - / y / 9 <ª>«6 D F± ² ³ Ḱµ Ķ F± Kµ ¹ ± º ± ² ³ Ḱµ º 'HILQLomR>@/LPLWHVGLUHFFLRQDLV Seja I: ; e D = (D, D ) ± ;š. Os limites direccionais consistem em fazer tender ([, \) para (D, D ) através da recta que passa por (D, D ) e tem um determinado declive P, ou seja, a recta \ ± DÆ P[ ± DÇ restringindo-se o domínio à recta. Assim, temos: ( ( ) ) lim ÈÉ I [, D + P [ D, ou seja, segue-se o caminho seguinte: Convém, portanto, realçar que: - No caso de obtermos limites relativos diferentes (sucessivos ou direccionais) podemos concluir que a função não possui limite quando ([, \) (D, D ). - No entanto, não podemos concluir que existe limite pelo facto dos limites relativos serem iguais, pois pode haver um caminho que dê um limite diferente. Para concluirmos acerca da existência de limite, e na impossibilidade de estudarmos todos os caminhos possíveis por serem infinitos, teremos que recorrer à definição de limite. ([HPSOR>@ [ \ Determinemos, caso exista, ( ÊË lim., ) (, ) [ + \ Ora, comecemos por aplicar os limites sucessivos: [ \ [ lim ÌÎÍ lim = lim Ì = lim Ì = [ + \ [ [ \ \ lim ÍÏÌ lim = lim lim Í = [ \ \ Í = + Como os limites sucessivos são diferentes podemos concluir que ÐÑ lim [ \. [ + \ (, ) (,) Ò»¼Å»

34 ù Ó-Ô/ÕÖ- 4Ø6Ù/Ú9ÛÜ<Ý>Þß6à á-âdãfä â å æ çkè é ê é ãfë âoä êkè é ì ä â íä â å æ çkè é ê í Verifiquemos que não existe lim [\ ( ñò., ) (, ) 6 [ + \ Pelos limites sucessivos, temos que: [\ lim óîô lim = lim 6 ó = lim ó = [ + \ [ [\ lim ôïó lim = lim lim 6 ô = 6 [ \ \ ô = + Como os limites sucessivos são iguais, nada podemos concluir quanto à existência de limite. Apliquemos, então, os limites direccionais. Consideremos a recta \ E = P([ D), com (D, E) = (, ). Assim, \ = P[ e portanto: 4 [P [ P [ P [ lim õ I ([, P[ ) = lim õ = lim lim lim lim 6 6 õ = 6 4 õ = 6 4 [ P [ P [ õ = õ = + [ P [ + ( + ) Como os limites direccionais são também iguais e iguais a zero, nada se pode concluir. No entanto, se o limite existir terá que ser obrigatoriamente zero (uma vez que o limite quando existe é único). Vejamos que não existe limite. Façamos, por exemplo, ([, \) (, ) através da linha \ = [, temos: ø ( ) + ( ) [ [ [[ [ lim ö I ([, [) = lim ö = lim lim lim 6 ö = ö = [ [ [ ö =. [ [ + Então, obtivemos um limite relativo diferente de zero, podemos concluir que lim [\. 6 [ + \ (, ) (,) îï6ð î ([HPSOR>@ [\ I [, \ =. [ + \ Estudemos, quanto ao limite no ponto (, ), a função ( ) Limites sucessivos: [\ lim úîû lim = lim ú = lim ú = [ + \ [ [\ lim ûïú lim = lim lim û = [ \ \ û = + Como os limites sucessivos são iguais, nada podemos concluir quanto à existência de limite.

35 ü-ý/þyÿ "! #! %$ # "! &'( "! #' Limites direccionais: Consideremos a recta \ = P[ e portanto: [P[ P[ P P. I ([ P[ )... lim, = lim = lim = [ P [ lim = + [ P + P + P ( + ) Então os limites direccionais dependem do declive da recta considerada. Logo, para rectas com diferentes declives obtemos valores diferentes para o limite e, portanto, podemos concluir imediatamente que / [\ lim. [ + \ (, ) (,) /LPLWHVGLUHFFLRQDLVFDVRJHUDO 7HRUHPD>@ Seja I: ;, D ± ;. Se lim ( ) = então para qualquer vector X ± 465 I [ E lim 7 I ( D WX) E + =, W ±, com X œ, temos que: (restrição do domínio à recta D + WX) Atentemos no facto do recíproco nem sempre ser verdadeiro. Se tivermos uma função vectorial de P variáveis reais, então o seu limite é o limite de cada uma das suas funções componentes, que são funções reais. E portanto, podemos aplicar o teorema anterior. ([HPSOR>@ I [, \, ] [\] = [ + \ + ] Verifiquemos que não existe limite de ( ) ([, \, ]) (,, ). quando Verifica-se de imediato que se obtém uma indeterminação do tipo. Neste caso, não aplicaremos os limites sucessivos vistos para o caso de, iremos aplicar directamente o teorema anterior, que consiste na generalização do conceito de limite direccional. )+*-,)

36 8 9 :<; = ABCDE FG HIJHKL M N"O PO IQHRJP N"O SJHTJHKL M N"O PT Limites direccionais: Sejam X = (X, X, X ) ± ; W ±, com X œ (,, ). Assim, D + WX = (,, ) + W(X, X, X ) = (WX, WX, WX ). Consequentemente, temos: WX WX WX W X X X X X X lim,, lim lim lim W X + W X + W X W X + X + X X + X + X Y I ( WX WX WX ) = Y = Y = Y Z I D + WX E, E constante e consequentemente Portanto, lim ( ) ( ) ( ) X X X = X X X + + [\X] lim I ([, \, ]), (,, ) (,,) pois para vectores diferentes, X ±, obtemos limites diferentes. Vejamos, apenas como exemplo: lim ^ I D + WX = = - Se X = (,, ), temos que ( ) _ I D + WX = ` - Se X = (,, ), temos que lim ( ). 7HRUHPD>@ Seja I: ; a b, D ± (; «;c ). d6e I [ = I D. Então I é contínua em D se e só se lim ( ) ( ) ([HPSOR>@ Averiguemos se a função I:, em que I ([, \) contínua no ponto (, ). [ \, ([, \) (,) = [ + \, é,([, \) = (,) (, ) (,) Como I(, ) =, para que a função seja contínua no ponto (, ) basta averiguar se ( ) fg lim I [, \ =. Como se trata de uma função de poderíamos utilizar os limites sucessivos, vamos, no entanto, recorrer directamente aos limites direccionais. Consideremos X = ( X, X ) ± e W ±, com X œ (, ). Então D + WX = (, ) + W(X, X ) = (WX, WX ). Calculemos, então o limite: U+VWXU

37 Š h i j-k l m n o pqrst uvwxywz{ }"~ ~x% wy }"~ yw (ywz{ }"~ ( ) ( + ) W X X lim + = lim, = lim = lim = lim = W X W X X X I D WX I WX WX W W X + W X W X X X + X ( ) ( ) Nada se pode concluir acerca da existência do limite, apenas sabemos que no caso de existir será igual a zero. Assim, vamos aplicar a definição de limite: ˆ [ \ [ \ lim = :, ε δ < { } ([, \) < δ < ε [ + \ [ + \ > > (, ) (,) \ (,) Seja G > qualquer e ([, \) ± \{(, )}. < [, \ < [ + \ < δ. Por hipótese, sabemos que ( ) δ Ora, [ + \ [ \ [ + \ [ + \, mas sabemos que: ( ) ( ) ( ) ( ) [ = [ = [ [ + \ e \ = \ = \ [ + \. Assim, podemos escrever: ( [ + \ ) + ( [ + \ ) ( [ + \ ) ( [ ) + \ [ + \ ([ + \ ) [ \ [ + \ = [ + \ [ + \ [ + \ [ + \ Seja então Ora: = = [ + \ ε δ =. ε - G >, pois G > e portanto > [ + \ [ + \ = [ + \ < δ = ε - Vejamos que [ \, < {( )} ([, \) < δ < ε : \, [ + \ Seja ([, \) ± \{(, )}. Como sabemos [ + \ < δ e portanto: [ \ [ + \ ε + < = = ε. [ \ δ Então [ \ [ + \ < ε. Assim, concluímos que: ƒ+ + ƒ

38 ³ ¹ Œ Ž< š œ žÿ " œ R " žÿ " [ \ ( ª«lim = = I,, ) (,) [ + \ e portanto I é contínua no ponto (, ). ( ) ([HPSOR>@ [ + \ Determinemos, caso exista, ( lim, ) (,) [ \. Apliquemos os limites sucessivos: [ + \ [ lim ± lim = lim lim = = [ \ [ [ + \ \ lim ² lim = lim lim [ \ = \ = Como os limites sucessivos são diferentes, podemos concluir que não existe o limite. ([HPSOR>@ \ Determinemos, caso exista, lim [ Apliquemos os limites sucessivos:. \ lim µ± lim = lim µ = lim µ = [ [ lim lim \ lim \ ²µ = = + [ Como os limites sucessivos são diferentes, podemos concluir que não existe o limite. ([HPSOR>@ Determinemos, caso exista, [ + \ + ] lim. [ ] Apliquemos os limites direccionais (caso geral): Consideremos X = ( X, X, X ) ± e W ±, com X œ (,, ). Então D + WX = (,, ) + W(X, X, X ) = (WX, WX, WX ). Calculemos, então o limite: lim º I ( D + WX) = lim º I ( WX, WX, WX) = lim º WX + WX + WX WX WX + %

39 Ù Ý ß ß á ( ) ( ) W X + X + X X + X + X = = lim E (constante). W X X X X Assim, podemos concluir que não existe o limite.» ¼ ½-¾ À Á  ÃÄÅÆÇ ÈÉÊËÌÊÍÎ Ï Ð"Ñ ÒÑ Ë%Ó ÊÌÒ Ð"Ñ ÔÌÊÕ(ÌÊÍÎ Ï Ð"Ñ ÒÕ ([HPSOR>@ \ Determinemos, caso exista, ( ÚÛlim., ) (, ) [ Apliquemos os limites sucessivos: \ lim Ü²Ý lim = lim lim Ü = Ü = [ [ ÝÞÜ \ \ = = [ lim lim lim + É conveniente chamar a atenção para o valor do limite pelo segundo caminho. Note-se que: - Para \ > ¾ \ > ¾ \ < - ½ \ > Á ßÞà \ \ = = + [ limlim lim + - Para \ < ¾ \ < ¾ - < \ < Á limlim \ lim \ ßÞà = = [ + Assim, apenas pelos limites sucessivos, podemos afirmar que não existe limite. ([HPSOR>@ Determinemos, caso exista, ( âã lim, ) (, ) [ \ + ([ \) [\. Apliquemos os limites sucessivos: [\ lim lim = lim = lim = [ ä±å ä ä [ \ + ([ \) + ([ ) [\ lim lim = lim = lim = å²ä å ä [ \ + ([ \) + ( \) ( \ ) Assim, pelos limites sucessivos, nada se pode concluir acerca da existência do limite. Apliquemos, então, os limites direccionais: \ = P ([ ) ¾ \ = P[ Ö+ ØXÖ

40 æ ç è<é ê ë ì í îïðñò óô õö õøù ú û"ü ýüöþõr ý û"ü ÿ õ õøù ú û"ü ý ( ) [( P[ ) P [ ( ) + ( ) + ( ) lim I [, P[ = lim = lim [ P[ [ P[ P [ P [ 4 P [ P [ = lim = lim = =, com ( P) ( ( ) ) P [ + P [ P [ + ( P) ( P) Então, pelos limites direccionais e para ( P ) œ, nada se pode igualmente concluir acerca da existência do limite. Vejamos para ( P ) = o que acontece: ( P ) = ¾ P = ¾ P = Tomemos, então, o caminho \ = [. [[ [ lim I ([, [) = lim lim lim = = 4 = [ [ [ + [ [ [ E portanto, não existe o limite. ( )

41 B I D G H C > J E = F 9 < ; :?!"$# %'&)( % * +,.-/ / &.%)($.-/ 4 ($% 56( % * +,.-/ 5 ([HUFtFLRVSURSRVWRV ) Indique e represente graficamente o domínio de cada uma das seguintes funções reais:.) I([, \) = 5 \.) I([, \) = + ([ \) [ ( ) ( 5 ª: ' = { [, \ }) : [ + \ 5 ( 5 ª: ' = { [, \ }) : \ = [ ( ) ( 5 ª: ' = { [, \ }) : \ > [.) I([, \) = ln([ + \) ( ).4) I([, \) = [ + arcos \ ( ).5) I([, \) = ln(\ + [ ) + ([ ) + \.6) I([, \) = [ ln [ \.7) I([, \) = ln [([ + \ 4)(\ [ )].8) I([, \) = \ sen [ ( 5 ª: ' = { [, \ }) : \ ( ª: ' = {( [, \) ( ) }) : \ > [ [ + \ ( 5 ª: ' = {( [, \) }) : \ < [ ( ª: ' = {( [, \) ( ) ( )}) : [ + \ > 4 \ > [ + [ + \ < 4 \ < [ + ( 5 ª: ' = {( [, \) ( ) ( ) }) : \ N π [ π + N π \ π + N π [ π + Nπ, N À.9) I([, \) = sen [ + ln(\ ).) I([, \) = ( ª: ' = {( [, \) ( ) ( ) }) : N π [ π + N π \ < \ >, N À \ [ + ( ) ( 5 ª: ' = { [, \ }) : [ \ ( { }).) I([, \, ]) = [ + \ + ] 4 5 ª: ' = ([, \, ]) : [ + \ + ] 4 \.) I([, \) = arcsen [ ( 5 ª: ' = {( [, \) ( ) ( )}) : [ \ [ [ > [ \ [ [ < [.) I([, \) = ln + arcsen([ + \ ) \ ( ª: ' = {( [, \) [( ) ( )] }) : [ > \ > [ < \ < [ + \.4) I([, \) = ([ \ D )( D [ \ ) +, a ( 5 ª: ' = {( [, \) }) : D [ + \ D D >

42 { z y x n w m t v s u l o r q K LMON PQRSTUVW!XY$Z ['\)] [ ^ _ `.ab c b \)d [e]$c.ab f ]$[ g!] [ ^ _ `.ab c g.5) I([, \) =.6) I([, \) = \ [ ( ) [ ( 5 ª: ' = { [, \ }) : [ + \ ( ª: ' = { [, \ : [ [ \ }) \ ( ) ( ) ( 5 ª: ' = { [, \ }) : \ > [.7) I([, \) = log ([ + \) ( ) [ \.8) I([, \) = arctg + [ \.9) I([, \) = [ + \.) I([, \) = \ [ ( 5 ª: ' p = ) ( ª: ' = \ {(, )}) ( {( ) }) ª: ' = [, \ : \ > [ [.) I([, \) = + [ \.) I([, \) = sen ( \ ) [ + ( ) ( ª: ' = {( [, \) }) : [ \ ( ª: ' = { [, \ }) : N π [ + \ π + Nπ, N Û ) Indique e represente graficamente o domínio das seguintes funções, I e J de em, de componentes: [ \ I ([, \) = e I \ ([, \) = ln + 4[ [ J ([, \) = \ = {(, ) : ( > > ) ( < < )} ; 4 = {(, ) : + > } [ e J ([, \) = ln(\ [ ) ª: ' [ \ [ \ \ [ [ \ [ [ ' [ \ [ \ \ [ ) Dê um exemplo de duas funções I: e J: tais que I e J sejam descontínuas mas cuja soma I+ J seja contínua em. [, [ < [ +, [ < (5 : Por exemplo I : ; I ([) = ; J : ; J ([) = ) [ +, [ [, [ 4) Considere as funções I e J definidas por: sen, [ I([) = [ e J([) =, [ = Mostre que J é contínua no ponto e que I não é. [ sen, [ [, [ = 5) Mostre, aplicando a definição, que a seguinte função é contínua no ponto (, ): [ \ ( ) ( ) J:, J([, \) =, [, \ [ + \, J(, ) = h i6jkh

43 Ÿ }~ ƒ!ˆ $Š 'Œ) Ž. Œ. ) $. $ 6 Ž. 6) Justifique que a função I:, I([, \) = sen [ H + œ é contínua no seu domínio. 7) Determine, se existirem, os seguintes limites: [ \ 7.) lim ž [ + \ (, ) (,) \ 7.) lim \ + arctg (, ) (,) [ [ 7.) [ + lim (, ) (,) \ [ + 7.4) + lim [\ (, ) (,) 4 [ + \ 7.5) + lim ] (,, ) (,,) (5 : ) (5 : ) (5 : ) (5 : ) (5 : ) 8) Estude, quanto à continuidade, as seguintes funções: [\, ([, \) (,) 4 8.) I([, \) = [ + \ I (,) = [ \, ([, \) (,) 8.) J([, \) = [ + \ J(,) = [\ cos \ sen \, [, \ 8.) K([, \) = [ + \ K(,) = [\, ([, \) (,) 8.4) N([, \) = [ + \ N(,) = ( ) ( ) (, ) (5 : I é contínua em \ {(, )}) (5 : J é contínua em \ {(, )}) (5 : K é contínua em \ {(, )}) (5 : N é contínua em \ {(, )}) 9) Considere a função I:, definida por: 5 5 [\ [ \ I ([, \) = com I (, ) = e I ([, \) = com I 5 5 (, ) =. [ + \ [ + \ Verifique se I é contínua na origem. (5 : I não é contínua na origem, pois I não o é.) ) Sendo I([, \) = ([ + \ \ ) arctg [ contínua no ponto (, ). com [, defina I(, ) de modo a que I seja (5 : I(, ) = )! š

44

45 «&$Ì78/,, ',)(5(&,$%,/,'$'(( Comecemos por recordar alguns conceitos relativos às derivadas de funções reais de variável real. )XQo}HVUHDLVGHYDULiYHOUHDO Já é do nosso conhecimento o cálculo de derivadas de funções reais de variável real. Recordemos a definição de derivada, num ponto, para este tipo de funções. ou, A derivada num ponto, [, de uma função real de variável real, I, é dada por: ( ) I [ = ( ) I [ = ( ) ( ) I [ I [ ª lim, [ [ ( + ) ( ) I [ K I [ lim, com K = [ [ [ = K + [, e portanto K quando [ [. K Relativamente a este tipo de funções definiram-se igualmente as derivadas laterais: ( + ) ( ) + I D K I D I ( D ) = lim + K I D K I D I ( D ) = lim K ( + ) ( ), derivada lateral direita, derivada lateral esquerda. &UHVFLPHQWRSDUFLDOHFUHVFLPHQWRWRWDOGHXPDIXQomR Consideremos uma função ] = I([, \) qualquer. Para entendermos a influência do acréscimo dado a cada uma das variáveis no

46 Ð Ñ Ō 6±²³ µ'µ k ¹ º»º ¼ ½ ¾ À Á ¾ Á º)ºÃÂÅÄkÆ comportamento global da função comecemos por definir o que entendemos por crescimento parcial em relação a cada uma das suas variáveis. Comecemos por afectar a variável [ de um acréscimo, [, sem que se altere a variável \. Obtemos assim I ([ [, \) +. Portanto, podemos afirmar que o FUHVFLPHQWRSDUFLDOGH]HP UHODomRD[ é dado por: (, ) (, ) Ê ] = I [ + [ \ I [ \. Se, pelo contrário, afectarmos a variável \ de um acréscimo, \, sem que se altere a variável [, obtemos I ([, \ \) +. Portanto, podemos afirmar que o FUHVFLPHQWRSDUFLDOGH] HPUHODomRD\ é dado por: (, ) (, ) Ë ] = I [ \ + \ I [ \. Assim, o FUHVFLPHQWRWRWDOGH] I[\ é dado por: (, ) (, ) ] = I [ + [ \ + \ I [ \. Generalizando, podemos escrever: Consideremos X = I([, \, ], W). Então (,,, ) (,,, ) Ì X = I [ + [ \ ] W I [ \ ] W (,,, ) (,,, ) Í X = I [ \ + \ ] W I [ \ ] W (,,, ) (,,, ) Î X = I [ \ ] + ] W I [ \ ] W (,,, ) (,,, ) Ï X = I [ \ ] W + W I [ \ ] W temos então: ( ) ( ) X = I [ + [, \ + \, ] + ], W + W I [, \, ], W. parciais. Convém, neste momento, referir que o crescimento total não é a soma dos crescimentos ([HPSOR>@ Seja (, ) ] = I [ \ = [\. Calculemos ], ] e ], verificando que ] Ò ] + Ó ]. Então: (, ) (, ) ( ) Ô ] = I [ + [ \ I [ \ = [ + [ \ [\ = [\ + \ [ [\ = \ [ (, ) (, ) ( ) Õ ] = I [ \ + \ I [ \ = [ \ + \ [\ = [\ + [ \ [\ = [ \ ÇÈ6ÉšÇ

47 ò ñ ò ñ ò ñ ô ó õ ö ñ ö õ ó ô ò ö õ ó ô ó ô õ ö ñ ò ñ ò Ö ØÙ ÚÛÜÝÞ'Þßkà áâ ã äã å æ á ç è á é á ê ç ê ã)ããëåìkí e portanto: (, ) (, ) ( )( ) ] = I [ + [ \ + \ I [ \ = [ + [ \ + \ [\ = [\ + [ \ + \ [ + [ \ [\ = [ \ + \ [ + [ \ [ \ + \ [ 'HILQLomR>@'HULYDGDVSDUFLDLVGHXPDIXQomRGHYiULDVYDULiYHLV Chama-se GHULYDGD SDUFLDO GH ] I[ \ HP UHODomR D [ ao limite do quociente do crescimento parcial em relação a [ pelo crescimento da variável [, quando '[ tende para zero, isto é: ( +, ) (, ) ] I [ \ I [ \ ] I lim = lim representa-se por: ; ; I ([, \); ]. [ [ [ [ De modo análogo, chama-se GHULYDGDSDUFLDOGH] I[\HPUHODomRD\ ao limite do quociente do crescimento parcial em relação a \ pelo crescimento da variável \, quando '\ tende para zero, isto é: (, + ) (, ) ] I [ \ I [ \ ] I lim = lim representa-se por: ; ; I ([, \); ]. \ \ \ \ *HQHUDOL]DomRDSHQDVSDUDQ Para I= ([, \, ], W), as suas derivadas parciais relativamente a cada uma das suas varáveis são dadas por: ( +,,, ) (,,, ) I I I [ \ ] W I [ \ ] W = lim = lim [ [ [ (, +,, ) (,,, ) I I I [ \ ] W I [ \ ] W = lim = lim \ \ \ (,, +, ) (,,, ) I I I [ \ ] W I [ \ ] W = lim = lim ] ] ] I I I [ \ ] W I [ \ ] W = lim = lim W W W (,,, + ) (,,, ) Uma vez que as derivadas parciais são assim definidas (em tudo semelhante ao que já conhecemos para derivadas de funções com uma variável apenas), podemos aplicar as regras práticas do cálculo de derivadas em cada uma das derivadas parciais. Para tal, consideramos constantes todas as variáveis não envolvidas na derivada que pretendemos calcular, e aplicamos as regras de derivação que conhecemos para funções com uma variável apenas. î ï ðî

48 # " øùoú6ûüýþÿ'ÿ Usando as regras práticas da derivação, calculemos as derivadas parciais de ª ordem das funções: L X = [ + \ + [W] LL I ([, \) = [ LLL ] = [ sen \. Temos portanto: L Sendo X = [ + \ + [W] X X X X temos: = + = = = [ \ ] W I! I! LL Sendo I ([, \) = [ temos: = \[ ; = [ ln [. [ \ LLLSendo ] = [ ] ] sen \ temos: = [ sen \; = [ cos \. [ \ [ W] ; \; [W] ; []. Vejamos, esquematicamente, as derivadas parciais, de uma função de duas variáveis apenas, de várias ordens: *HQHUDOL]DomR I I I I = [ [ [ = [ [ [ I I [ \ [ I I [ \ [ [ \ I [ \ I ([, \) I I = I \ [ [ \ [ \ [ I I \ [ \ \ I I I \ [ = \ \ \ I \ ª RUGHP ª RUGHP ª RUGHP (") (") (") A derivada de ordem Q de uma função de duas variáveis pode ser escrita na forma: ] $%#&$ [ \

49 O O '(*),+-/.* :;:< =8 8 A>A::BC D ([HPSOR>@ Calculemos as quatro derivadas parciais de ª ordem de I([, \) = [\ + 5[\ + [ +. Assim, temos: I = + + \ 5\ [ I = [\ + [\ \ I I [ [ [ [ I I \ \ \ \ (\ \ ) = = = I I = = ( ) = + [ \ \ [ \ \ \ \ \ I I = = ( [\ + [\ ) = \ + \ \ [ [ \ [ = = ( [\ + [\ ) = 6[\ + [ ƒ ([HPSOR>@ Calculemos X [ \ ] e X sendo X = HJLK sen ]. \ ] [ X X = = ( H sen ]) = (\H sen ]) [ \ ] ] \ [ ] \ [ ] \ M N M N M N M N M N = ( H sen ] + \[H sen ]) = H cos ] + \[H cos ] = ( + [\) H cos ] ] X X M N M N = = ( H sen ]) = ([H sen ]) \ ] [ [ ] \ [ ] \ [ ] M N M N M N M N = ([H cos ]) = H cos ] + [\ e cos ] = ( + [\) e cos ] [ M N M N ƒ ([HPSOR>@ Calculemos todas as derivadas de ª ordem de ] = \ HJ + [ \ +. ] = \ H + [\ [ ] = \H + [ \ \ EFHGIE

50 V V V V V V V V V V V V V V V V V V '(*)P+H-/.* :;:< =8 8 A>A::BQ R ] = \ H + [\ [ ] = \H + [ \ \ ] ] = = (\ H + [\ ) = \ H + \ [ [ [ [ \ \ \ \ ] ] = = (\ H + [\ ) = \H + 6[\ [ \ \ [ \ ] ] = = ( \H + [ \ ) = \H + 6[\ \ [ [ \ [ ] ] = = ( \H + [ \ ) = H + 6[ \ ] ] ] = = = ( + ) = [ [ [ [ [ [ [ \ H \ \ H ] ] ] = = = (\ H + \ ) = \H + 6\ [ \ \ [ [ \ [ \ ] ] = = + = + \ [ [ [ \ [ [ [ ( \H [ \ ) ( \H 6[\ ) V V V = \H + 6\ ] ] = = (\ H + [\ ) = ( \H + 6[\ ) = \H + 6\ [ \ [ [ \ [ [ \ [ V V V ] ] = = ( \H + [ \ ) = ( \H + 6[\ ) = H + [\ \ [ \ \ [ \ \ [ \ ] ] = = (\ H + [\ ) = ( \H + 6[\ ) = H + [\ [ \ \ \ [ \ \ \ ] ] = = ( \H + [ \ ) = ( H + 6[ \) = H + [\ \ [ [ \ \ [ \ [ ] ] ] = = = ( H + 6[ \) = 6[ \ \ \ \ \ \ \ V V V V V V ƒ Do exemplo anterior, verificamos que: ] ] ] ] ] ] ] ] = ; = = ; = =. [ \ \ [ [ \ [ \ [ [ \ \ [ \ [ \ \ [ SFUT S

51 X Y 7HRUHPD>@7HRUHPDGH6KZDUW]XGDQoDGDRUGHPGDGHULYDomR Se I ([, \) e I ([, \) existem numa vizinhança de (D, E) e se I Z [ ([, \) nesse ponto, I [5Z ([, \) também existe nesse ponto e: '(*),+-/.* :;:< =8 8 A>A::BQ R existe e é contínua \ ] (, ) ]5\ (, ) I D E = I D E ou I I = [ \ \ [ 'HULYDGDGDIXQomRFRPSRVWD Seja ] = I(X, Y), em que X e Y são funções das variáveis [ e \, isto é, (, ) (, ) X = ϕ [ \. Y = ψ [ \ Assim, ] = I(M([, \), \([, \)). Esquematicamente temos: Então: [ X \ ] [ Y \ ] ] X ] Y =. +. [ X [ Y [ ] ] X ] Y =. +. \ X \ Y \ Façamos o mesmo raciocínio para ] = I (X, Y, Z), com Assim: 5(*5$'$ &$'(,$ (, ) (, ) (, ) X = ϕ [ \ Y = ψ [ \ Z = γ [ \. ] ] X ] Y ] Z = [ X [ Y [ Z [ ] ] X ] Y ] Z = \ X \ Y \ Z \ 5(*5$'$&$'(,$ SFW S

52 ^_*`PaHb/cd*e4f5f g h ij klkm ni opi q i rorkkst u ([HPSOR>@ Seja ] = ln(x + Y) com X = Hx + y e Y = [ + \. Calculemos Ora, como sabemos: ] ] X ] Y =. +. [ X [ Y [ ] ] e [ \. Calculemos as derivadas parciais envolvidas na expressão anterior: Assim, ] X X = = H X X + Y [ ] Y = = [ + Y X Y [ ( ) } ~ ( + ) H + [ = ( } ~ + ) H + [ + \ + ( ) ( ) z { H [ ] X XH + [ = + = [ X + Y X + Y X + Y } ~} ~ + + H H + [ H + [ = } ~ = + } ~ + H + [ + \ H + [ + \ } ~ Por outro lado, sabemos: ] ] X ] Y =. +. \ X \ Y \ Calculemos, então, as derivadas parciais envolvidas nesta expressão e que ainda não foram calculadas: E, portanto, } ~ X + Y = \H e = \ \ } ~ \H ƒ ( ) ƒ ƒ ] X X\H + = + = \ X + Y X + Y X + Y ƒ \( H ) ƒ ( ) ( + ) 4H \H + + 4\H + = ƒ = = ( ƒ ) H + [ + \ H + [ + \ H + [ + \ ƒ ƒ ƒ vww v

53 *,ˆ /Š *Œ4 5 Ž š œ )XQomRLPSOtFLWD'HULYDGDGDIXQomRLPSOtFLWD Consideremos uma função real de variável real definida por \ = I([). Nem sempre é possível expressar \ explicitamente em função da variável independente [. Nesses casos, sendo possível definir uma relação entre [ (variável independente) e \ (variável dependente, ou seja, função de [) obtemos uma equação do tipo )([, \) =. Usualmente existe uma função \ = I([) que resolve esta equação, no sentido de que reduz aquela equação a uma identidade verdadeira em [. Considerando que \ é função de [, começamos por derivar a equação )([,\) = em ordem a [ e resolvemos a equação em ordem a G\, chamando a esse processo GHULYDomR G[ LPSOtFLWD. Vejamos, para melhor compreensão do processo, um exemplo. ([HPSOR>@ Consideremos a equação [ \ 5 [\ + =. que define implicitamente \ como função de [. Calculemos a derivada de \ em ordem a [, tendo em conta que \ é uma função de [: G\ G\ G\ G\ = + = G[ G[ G[ G[ G\ [\ \ + ( [ \ [) = G[ 4 G\ 5 ( 5[ \ [ ) = [\ + \ G[ 5 G\ \ [\ = G[ [ \ [ [\ [ 5\ \ [ [\ 5[ \ \ [ ƒ Este processo da derivação implícita levanta-nos contudo algumas questões. Por um lado, neste caso particular, não sabemos se a equação inicial define efectivamente \ como função [ ou não; se não, todo o cálculo efectuado é desprovido de qualquer significado. Além disso, o próprio procedimento é um tanto confuso, pois requer que mantenhamos em mente os diferentes papéis desempenhados pelas variáveis [ e \. Para se evitar qualquer tipo de contra-sensos e inutilidade de quaisquer cálculos, utilizamos o teorema que se segue, que deve ser entendido como uma afirmação puramente žhÿi

54 * PĤ /Š *Œ4 5 Ž š œ teórica de que a função implícita realmente existe e que não tem qualquer relevância o aspecto de se poder ou não encontrar uma forma simplificada para essa função. 7HRUHPD>@7HRUHPDGDIXQomRLPSOtFLWD Seja \ uma função de [ contínua, definida pela equação implícita )([, \) = em que )([, \), (, ) e ) ([, \) ) [ \ são funções contínuas num certo domínio ' contendo o ponto ([, \) cujas coordenadas verificam a equação anterior.,. Suponhamos ainda que ) ([ \) A derivada da função \, função de [, é então igual a: ) ([, \ ) (, ) G\ = \ = G[ ) [ \ ([HPSOR>@ A equação [ + \ = define, implicitamente, \ como função de [. Calculemos G\ = \. G[ Seja I([, \) = [ + \. Deste modo, temos I I I ([, \) = = [; I ([, \) = = \ [ \ e portanto, ( ) ( ) G\ I [, \ [ [ = \ = ª = = G[ I [, \ \ \ ƒ ([HPSOR>@ A equação (sen [)«+ sen [«sen [ π π no ponto,. Seja I([, \) = (sen [)«+ sen [«sen [ π. Deste modo, temos = define \ como função de [. Calculemos G\ G[ ž

55 E, portanto, Ç Ç Ç ( ) Ç Ç Ç I [ \ sen [ cos [ + \[ cos [ cos G\ [ π π = = G[ I ( sen [) ln( sen [) + [ cos( [ ) ln [ \ + cos( G\ ) π, π = G[ π π ln sen + cos( ) ln cos ( ) = π π + cos( ) ln π = = ƒ π π ln π ln *, /±²*³4 5 µ ¹º¹» ¼ ½¾ À½À¹¹Á à Observemos que, para funções com mais de uma variável independente, o teorema da função implícita, assume algumas modificações, definindo as seguintes derivadas parciais: Consideremos, então, ] = I([, \), ou seja, )([, \, ]) =. Então: ) ] [ ) =, [ ) ] ] ) ] \ ) =, \ ) ] ] ([HPSOR>@ Consideremos a equação [ + \ + ] 4 =. Calculemos Deste modo, temos ] [ e ] \. ÄÅPÆ Ä

56 É * P H /±²*³4 5 µ ¹º¹» ¼ ½¾ À½À¹¹Á à ) ] [ [ = [ = = [ ) ] ] ] ) ] \ \ \ = = = \ ) ] ] ] ƒ ÄÅÈIÄ 'HULYDGDVHJXQGRXPDGLUHFomR Consideremos um sistema de eixos coordenados [\]. Sejam X([, \, ]) uma função definida, contínua e com derivada contínua no domínio ', e = ([, \, ]) um ponto. Consideremos ainda uma direcção V G à qual correspondem os cosenos directores cos D, cos E e cos J. Tomemos um ponto, sobre V G, à distância 'V de tal que: Assim, o crescimento total da função é: V [ \ ] = = + +. X X X X = [ + \ + ] + γ [ + γ \ + γ ] [ \ ] Dividindo a expressão anterior por Ora, e, portanto, obtemos: Calculemos o V, obtém-se:, em que,, X X [ X \ X ] γ [ γ \ = γ ] V [ V \ V ] V V V V. [ = cosα V \ = cos β V ] = cosγ V γ γ γ quando V. X X X X = cosα + cos β + cosγ + γ cosα + γ cos β + γ cosγ. V [ \ ] X lim V :

57 å å ÊË*Ì,ÍÎ/ÏÐ*Ñ4Ò5Ò Ó Ô ÕÖ Ø Ù ÚÕ ÛÜÕ Ý Õ ÞÛÞ ßà á X X X X lim = lim cosα + cos β + cosγ + γ cosα + γ cos β + γ cosγ V [ \ ] O limite do quociente X V quando V chama-se GHULYDGDGDIXQomRXQRSRQWR [\]VHJXQGRDGLUHFomRGRYHFWRU V G X e é denotado por, ou seja, V X X X X = cosα + cos β + cosγ. V [ \ ] X Podemos, então, dizer que é a derivada da função X no ponto ([, \, ]), segundo a V direcção do vector V G X, ou ainda, é a derivada direccional de X em ([, \, ]) com a V direcção. direcção. Notemos que as derivadas parciais são um caso particular da derivada segundo uma ([HPSOR>@ Dada a função X = [ + \ + ], achar a derivada G vector V = L G + G M + N G. Determinemos os cosenos directores de V G : X V no ponto (,, ), na direcção do Calculemos as derivadas parciais: Assim, obtemos a derivada direccional: [ cosα = = = V \ cos β = = V 4 ] cos γ = =. V 4 X X = [ (,, ) = [ [ X X = \ (,, ) = \ \ X X = ] (,, ) =. ] [ âãä*â