CRESCIMENTO DO NÚMERO DE SEMIGRUPOS NUMÉRICOS EM FUNÇÃO DO GÊNERO

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA (Mestrado) ANDERSON MACEDO SETTI CRESCIMENTO DO NÚMERO DE SEMIGRUPOS NUMÉRICOS EM FUNÇÃO DO GÊNERO Maringá-PR 015

2 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA CRESCIMENTO DO NÚMERO DE SEMIGRUPOS NUMÉRICOS EM FUNÇÃO DO GÊNERO ANDERSON MACEDO SETTI Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Matemática do Departamento de Matemática, Centro de Ciências Exatas da Universidade Estadua de Maringá, como requisito para obtenção do títuo de Mestre em Matemática. Área de concentração: Ágebra. Orientador: Prof. Dr. Ednei Aparecido Santuo Junior. Maringá-PR 015

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4 Dedico este trabaho aos meus pais, ao meu irmão, a minha namorada e a todos que admiram a matemática e querem se aventurar nessa inda ciência.

5 Agradecimentos Agradeço primeiramente a Deus, por ter me dado saúde e força para seguir por esse caminho que me faz tão feiz e por ter me dado uma famíia batahadora. Aos meus pais Neson Setti e Maria Eizabete Macedo Macie que sempre me apoiaram e incentivaram a estudar e que mesmo nos momentos difíceis nunca deixaram de me ajudar no que era preciso para que eu estudasse. Agradeço também a ees e ao meu irmão Jefferson Macedo Setti, por sempre terem proporcionado um ambiente famiiar agradáve para que meus estudos se reaizassem da mehor forma possíve. A minha querida, inda e amáve Juiana Raupp dos Reis, que tanto me ajudou e por me fazer sorrir todos os dias. Ao meu amigo Marcos Castei que tanto me ajudou no Programa de Verão da Universidade Estadua de Maringá. A todos os meus amigos do mestrado, em especia aos amigos Ademir Benteus Pampu, Bruno Aexandre Rodrigues, Giovana Higino de Souza e Richard Wagner Macie Aves. A todos os Professores de minha vida acadêmica em especia aos professores do mestrado. Ao meu orientador Professor Doutor Ednei Aparecido Santuo Junior pea paciência e confiança depositada durante todo este trabaho. A Fundação Araucária e a CAPES peo apoio financeiro.

6 "A essência da Matemática reside na sua iberdade". Moritz M. Cantor

7 Resumo Neste trabaho são estudados os semigrupos numéricos a fim de verificar as conjecturas n g+1 im g n g = ϕ, im g n g 1 + n g n g = 1 e n g+1 n g, para g suficientemente grande, onde n g é o número de semigrupos numéricos de gênero g e ϕ é a Proporção Áurea. Paavras-chave: Semigrupo numérico, número de Frobenius, mutipicidade.

8 Abstract In this work numerica semigroups are studied in order to verify that the foowing conjectures hod. n g+1 im g n g = ϕ, im g n g 1 + n g n g = 1 e n g+1 n g, for g sufficienty arge; where n g denotes the number of numerica semigroup of genus g and ϕ denotes the goden ratio. Keywords: Numerica semigroup, Frobenius number, mutipicity.

9 SUMÁRIO Introdução 10 1 Conceitos Preiminares Tipos de Descendentes Estimativa para o número de semigrupos numéricos 18.1 Estimando n g, Estimando n g, Estimando n g Prova do Lema Prova do Lema Bibiografia 97

10 INTRODUÇÃO O conceito de semigrupo numérico é bastante eementar e diversos conceitos reacionados são puramente aritméticos e seu estudo remonta ao fina do sécuo XIX quando foram avo de estudos reaizados por matemáticos como Frobenius e Syvester. Um probema bastante famoso trata-se de determinar uma fórmua para o maior número natura que não pertence a um semigrupo numérico em função do conjunto mínimo de geradores do mesmo. Embora esse probema tenha uma soução razoavemente simpes para semigrupos com dois geradores, uma fórmua gera não pode ser encontrada (v. [4]). Nos casos com três e quatro geradores já aumenta muito a dificudade do probema (v. [5], [6] por exempo). Durante a segunda metade do sécuo passado, o estudo dos semigrupos numéricos e de famíias especiais de semigrupos numéricos ganhou nova força motivada pea apicação dos mesmos à geometria agébrica (v. [8]) e agumas nomencaturas, tais como mutipicidade, dimensão de merguho e condutor derivam daí. O probema estudado nessa dissertação também possui enunciado de fáci compreensão, mas sua soução está onge de ser trivia. O gênero de um semigrupo numérico é a quantidade (sempre finita) de números naturais que não pertencem a esse semigrupo. Em [], foi conjecturado, baseado em evidências computacionais, que a sequência n 1, n,..., n g,... na qua n g denota o número de semigrupos numéricos de gênero g comporta-se, conforme g cresce, como uma sequência do tipo Fibonacci. Mais precisamente, n g n g 1 + n g se g 3 e im = ϕ, onde ϕ denota a proporção g n g 1 áurea. No presente trabaho, estudamos a soução positiva para a segunda parte da conjectura apresentada por Zhai em [9]. Com reação à primeira parte da conjectura, n g

11 SUMÁRIO 11 é mostrado que, para um g suficientemente grande, n g+1 n g. A soução apresentada é baseada na anáise do número de descendentes de um semigrupo, ideia introduzida por Bras-Amorós em [1] e refinada por Zhai para a soução do probema. A dissertação está organizada da seguinte maneira. No Capítuo 1 são introduzidos os conceitos e resutados básicos que serão ampamente utiizados ao ongo do restante da dissertação. Nesse capítuo ainda é introduzido o conceito de descendente forte de um semigrupo numérico e de semigrupos fortemente e fracamente descendidos, que são conceitos-chave na resoução. No Capítuo são demonstrados os resutados principais da dissertação (Teorema., Teorema.) assumindo como verdadeiro o Lema.1. No Capítuo 3 é demonstrado o Lema.1 que foi assumido no capítuo anterior bem como um resutado auxiiar para a demonstração do mesmo.

12 CAPÍTULO 1 CONCEITOS PRELIMINARES Este capítuo será dedicado aos conceitos essências para o início de nosso estudo sobre os semigrupos numéricos, desta forma iniciaremos com a definição de semigrupos numéricos, e destacaremos aguns eementos sobre os quais provaremos agumas propriedades, para iustrar nosso estudo buscaremos expor aguns exempos. Definição 1.1. Um semigrupo numérico é um subconjunto Λ de N = {0, 1,,...} contendo o eemento 0, fechado para a operação adição e com o compementar em reação a N finito. Dado um semigrupo numérico Λ, definimos o gênero de Λ por g(λ) = N \ Λ, a mutipicidade de Λ por m(λ) = min(λ \ {0}) e o número de Frobenius de Λ por f(λ) = max(n \ Λ). Os eementos de N \ Λ são chamados de acunas de Λ. Em nosso trabaho estudaremos os semigrupos numéricos que possuem gênero maior que zero. Se Λ é um semigrupo numérico e 1 Λ, caramente Λ = N, e portanto, g(λ) = 0. Assim, estamos interessados nos semigrupos numéricos que não contém o 1. Exempo 1.. Dado Λ = {0,, 3,...}, temos que 0 Λ, Λ N, N\Λ = {1} N\Λ = 1 e se a, b Λ, então a, b 1, se a = b = 0 a + b = 0 Λ, e se a 0 ou b 0 a ou b a + b, ogo a + b Λ. Portanto, Λ é um semigrupo numérico, em que m(λ) =, g(λ) = 1 e f(λ) = 1. Ainda, pea observação acima Λ é o único semigrupo numérico de gênero 1.

13 13 Um semigrupo numérico Λ, possui um subconjunto G de geradores mínimos, no sentido de que se quaquer outro conjunto gera Λ, então contém G, os eementos de G são chamados de geradores mínimos de Λ. Pea definição de G temos que todo gerador mínimo não pode ser escrito como soma de eementos não nuos de Λ. Temos que G é sempre finito e se G = {λ 1,..., λ k } então mdc{λ 1,..., λ k } = 1 e G = {λ 1 n λ k n k n 1,..., n k N} (para mais detahes ver [7]). Definição 1.3. Seja Λ um semigrupo numérico, um gerador mínimo de Λ maior que f(λ) é chamado de gerador efetivo de Λ. O número de geradores efetivos de Λ é denotado por h(λ). Exempo 1.4. Tomemos Λ como no exempo 1., vamos mostrar que Λ =, 3. De fato, seja A =, 3 = { x + 3 y x, y N}, notemos que 1 A, pois um eemento genérico de A é da forma x + 3 y, com x, y N, assim, se x = y = 0 então x+3 y = = 0, e se x 0 ou y 0 x 1 ou y 1 x+3 y, portanto, 1 A. Como x + 3 y = x + ( + 1) y = x + y + y = (x + y) + y, fixando y = 0 e variando x em N, obtemos todos os números pares, por outro ado, fixando y = 1 e variando x em N, obtemos todos os ímpares menos o 1, assim {0,, 3,...} A Λ A, como A N e 1 A, então A = Λ. Temos que, G = {, 3}, pois se G {, 3} deveria existir um conjunto contido em {, 3} que gera Λ, mas as possibiidades para subconjuntos são {} e {3}, como = { x x N} = {0,, 4,...} e 3 = {3 x x N} = {0, 3, 6,...}, segue que Λ e 3 Λ. Portanto, G = {, 3}, e como f(λ) = 1, segue que os geradores efetivos de Λ são e 3, ogo h(λ) =. Seja Λ um semigrupo numérico e λ um gerador mínimo de Λ, provaremos que Λ = Λ \ {λ} é um semigrupo numérico. De fato, i) Como 0 Λ e λ 0, então 0 Λ. ii) Se a, b Λ, então a, b Λ a+b Λ, e a, b λ, como λ é um gerador mínimo de Λ, então λ não é escrito como soma de eementos não-nuos de Λ, assim a+b λ, ogo a + b Λ \ {λ} = Λ. iii) Como N \ Λ = N \ Λ + 1 e N \ Λ é finito segue que N \ Λ é finito.

14 1.1 Tipos de Descendentes 14 Portanto, Λ é um semigrupo numérico. Definição 1.5. Seja Λ um semigrupo numérico. Dizemos que um semigrupo numérico Λ é descendente de Λ, se Λ = Λ \ {λ}, com λ sendo um gerador efetivo de Λ. Repare que Λ é um semigrupo numérico, pois λ é um gerador mínimo, já que é um gerador efetivo. Na definição acima é importante λ ser um gerador efetivo, pois isso garante que um semigrupo numérico descende de um único semigrupo numérico. Por exempo, se Λ = {6, 7, 9, 10, 1, 13,...} então Λ = Λ 1 \ {8} = Λ \ {11}, onde Λ 1 = 6, 7, 8, 9, 10 = {6, 7, 8, 9, 10, 1, 13,...} e Λ = 6, 7, 9, 10, 11 = {6, 7, 9, 10, 11, 1, 13,...}. Exempo 1.6. Tomemos Λ como no exempo 1.. Peo exempo 1.4, os geradores efetivos de Λ são e 3, assim Λ = Λ \ {} e Λ = Λ \ {3} são descendentes de Λ. 1.1 Tipos de Descendentes Definição 1.7. Seja Λ um semigrupo numérico e Λ = Λ \ {λ} um descendente de Λ. Dizemos que este descendente é não forte se cada gerador efetivo de Λ também é um gerador efetivo de Λ. Caso contrário, Λ é dito ser um descendente forte, e neste caso o chamaremos de semigrupo numérico fortemente descendido ou simpesmente fortemente descendido. No decorrer da seção exibiremos uma condição para que um semigrupo numérico seja fortemente descendido. Definição 1.8. Seja Λ um semigrupo numérico. Se Λ é um semigrupo numérico obtido a partir de Λ por uma série de descendentes não fortes, sem descendentes fortes, dizemos que Λ é um descendente fraco de Λ. Usaremos a convenção de que todo semigrupo numérico é um descendente fraco de si mesmo. Definição 1.9. O número de semigrupos numéricos de gênero g será denotado por n g. Definição O número de semigrupos numéricos Λ de gênero g que satisfazem f(λ) < 3m(Λ) será denotado por t g.

15 1.1 Tipos de Descendentes 15 Peo exempo 1. n 1 = 1, como f(λ) = 1 e m(λ) = então t 1 = 1. Lema Um semigrupo numérico Λ é fortemente descendido se, e somente se, f(λ )+m(λ ) é um gerador efetivo de Λ. Demonstração. Consideraremos dois casos 1 o caso) f(λ ) < m(λ ) : Neste caso temos que Λ = {0, m(λ ), m(λ ) + 1,...} = m(λ ),..., m(λ ) 1, onde G = {m(λ ),..., m(λ ) 1} é o conjunto dos geradores efetivos de Λ, (para mais detahes ver [1]) e f(λ ) = m(λ ) 1. Desta forma, Λ é fortemente descendido de Λ = m(λ ) 1,..., m(λ ) 3 e m(λ ) + f(λ ) = m(λ ) 1 é um gerador efetivo de Λ, como queríamos. o caso) f(λ ) > m(λ ) :( ) Seja Λ um descendente forte de Λ e {λ 1,..., λ k } o conjunto dos geradores efetivos de Λ. Por definição Λ = Λ \ {λ j }, j {1,..., k}, assim f(λ ) = λ j. Sendo Λ um descendente forte de Λ, Λ possui um "novo" gerador efetivo, digamos λ. Como λ > f(λ ) = λ j, existe λ r Λ ta que λ = λ j +λ r, pois se não existisse λ r Λ ta que λ = λ j + λ r então λ seria um gerador efetivo de Λ, o que é um absurdo. Se λ r > m(λ ) então λ r + λ j > m(λ ) + λ j λ r + λ j m(λ ) > λ j λ r + λ j = m(λ ) + λ s, λ s Λ, já que λ s = λ r + λ j m(λ ) > λ j = f(λ ), ogo λ r + λ j não é um gerador efetivo de Λ, pois é soma de dois eementos não nuos de Λ. Assim, o único gerador efetivo possíve para Λ é λ j + m(λ ) = f(λ ) + m(λ ). Portanto, λ = f(λ ) + m(λ ). ( ) Seja Λ um descendente de Λ e {λ 1,..., λ k } o conjunto dos geradores efetivos de Λ. Vamos supor por absurdo que Λ = Λ \ {λ }, {1,..., k} não é um descendente forte de Λ. Como Λ não é um descendente forte, f(λ )+m(λ ) = λ j, j {1,..., k}\{}, então λ j = m(λ ) + f(λ ) = m(λ) + λ }{{} Λ, }{{} Λ Λ assim, λ j não é um gerador efetivo de Λ, o que é um absurdo. Portanto, Λ é um descendente forte de Λ. Isto termina a prova do resutado. Este Lema nos ajudará a imitar o número de semigrupos numéricos fortemente descendidos.

16 1.1 Tipos de Descendentes 16 Definição 1.1. Seja Λ um semigrupo numérico, denotamos por N g (Λ) o número de descendentes fracos de Λ que possuem gênero g. Seja S o conjunto de todos os semigrupos fortemente descendidos, então: n g = Λ S N g (Λ). De fato, devemos verificar que se Λ é um semigrupo numérico quaquer de gênero g, então Λ é descendente fraco de um semigrupo numérico fortemente descendido, isto é, descende de um semigrupo numérico Λ S. Se Λ é fortemente descendido, então Λ S e como todo semigrupo numérico é descendente fraco de si mesmo, tomando Λ = Λ temos o desejado. Se Λ não é fortemente descendido então ee é obtido a partir de um semigrupo numérico Λ por uma série de descendentes não fortes e no pior dos casos teremos Λ =, 3, que é fortemente descendido, já que f(λ) + m(λ) = 1 + = 3 é um gerador efetivo de Λ, ogo Λ S. Portanto, segue a iguadade. Definição Definimos o n-ésimo termo da sequência de Fibonacci por F n = F n 1 + F n, n, sendo que, F 0 = 0 e F 1 = 1. Denotaremos por ϕ = 1+ 5 a Proporção Áurea. Agora, exibiremos dois Lemas que ajudarão na prova do Lema Lema ϕ n = ϕ n 1 + ϕ n, n. Lema Dados a, b N temos que ( ) a b ϕ a+b. (Usaremos a convenção de que ( a b) = 0, se b > a.) Demonstração. Para atingirmos o objetivo, faremos indução sobre a + b. Se a + b = 0 a = b = 0 ( a b) = 1 = ϕ a+b. Se a+b = 1 a = 1 e b = 0 ou a = 0 e b = 1. Se a = 1 e b = 0 ( a b) = 1 < ϕ a+b = ϕ, e se a = 0 e b = 1 ( a b) = 0 < ϕ a+b = ϕ. Suponha que o resutado seja verdadeiro para toda soma a + b n, vamos provar que ee é verdadeiro para a + b = n + 1.

17 1.1 Tipos de Descendentes 17 De fato, temos que, ( ) a = b ( ) a 1 + b ( ) a 1 ϕ a 1+b + ϕ a 1+b 1 = ϕ a+b 1 + ϕ a+b = ϕ a+b. b 1 A segunda passagem segue da hipótese de indução e a quarta do Lema Portanto, ( a b) ϕ a+b, a, b N. Lema Para quaquer semigrupo numérico Λ, temos que N g (Λ) ( h(λ) g g(λ)) e Ng (Λ) ϕ g g(λ)+h(λ). Demonstração. Lembremos que um descendente fraco de Λ é obtido removendo-se geradores efetivos de Λ, e h(λ) é o número de geradores efetivos de Λ. Se o gênero de um descendente fraco Λ de Λ é g, então devemos remover g g(λ) geradores efetivos de Λ para obter Λ. Agora, vemos que há no máximo ( h(λ) g g(λ)) maneiras de escoher os g g(λ) geradores efetivos para a remoção, assim Λ possui no máximo ( h(λ) g g(λ)) descendentes fracos de gênero g. Portanto, N g (Λ) ( h(λ) g g(λ)). Isto prova a primeira desiguadade, já a segunda desiguadade segue da primeira desiguadade e do Lema 1.15, pois N g (Λ) ( ) h(λ) ϕ h(λ)+(g g(λ)) = ϕ g g(λ)+h(λ). g g(λ) Portanto, N g (Λ) ϕ g g(λ)+h(λ). Este Lema será fundamenta para imitarmos N g (Λ).

18 CAPÍTULO ESTIMATIVA PARA O NÚMERO DE SEMIGRUPOS NUMÉRICOS Iniciamos este capítuo sob a suposição de que o Lema.1, é verdadeiro, pois ee é fundamenta para estimarmos o número de semigrupos numéricos. Por sua demonstração ser onga e técnica dedicaremos o próximo capítuo a ea. Lema.1. Seja S(m, f) o conjunto de todos os semigrupos numéricos fortemente descendidos com mutipicidade m e número de Frobenius f. Então Λ S(m,f) ( ) f m ϕ g(λ)+h(λ) 5(f m + ). ϕ O Teorema enunciado a seguir é importante para a demonstração das conjecturas no entanto para demonstra-o é necessário expormos aguns resutados Teorema.. n g im g ϕ = S g onde S é uma constante. Amejamos neste capítuo estimar n g, para isso faz-se necessário construirmos ferramentas que auxiiem sua estimativa. Iniciamente particionaremos o conjunto S em três subconjuntos e somaremos sobre as três partes separadamente.

19 .1 Estimando n g, 19 Seja S 1 o subconjunto de S formado peos semigrupos fortemente descendidos Λ tais que, h(λ) + g(λ) < g. Seja S o subconjunto de S formado peos semigrupos fortemente descendidos Λ tais que, h(λ) + g(λ) g e g(λ) h(λ) < g 3. Finamente, seja S 3 o subconjunto de S formado peos semigrupos fortemente descendidos Λ tais que h(λ) + g(λ) g e g(λ) h(λ) g 3. Pea forma que definimos S 1, S, e S 3, temos que S = S 1 S S 3, portanto, S 1, S, e S 3, particionam S. Assim, podemos escrever n g = n g,1 + n g, + n g,3 onde, n g,i = N g (Λ), i = 1,, 3. Λ S i Assim, a fim de estimarmos n g, basta estimarmos n g,1, n g, e n g,3. Se Λ S 1, peo Lema 1.16, N g (Λ) = 0, pois h(λ) < g g(λ), ogo ( h(λ) g g(λ)) = 0. Portanto, n g,1 = 0..1 Estimando n g, t g. Nesta seção nossos esforços estarão direcionados a provar que n g, = O(ϕ g ) e n g, Definição.3. Seja σ : N R uma função. Definimos O(σ(n)) = {ψ(n) se existem uma constante rea positiva c e n 0 N tais que 0 ψ(n) cσ(n), n n 0 }.

20 .1 Estimando n g, 0 Quando escrevermos ψ(n) = O(σ(n)), estaremos indicando que ψ(n) O(σ(n)). Dado Λ S, verificaremos que as seguintes propriedades são verdadeiras. P1. Λ é fortemente descendido: Segue do fato que todo eemento de S é fortemente descendido e S S. P. h(λ) > g(λ) : Como Λ S, temos que, h(λ) + g(λ) g e g(λ) h(λ) < g 3. Assim, mutipicando ambos os ados da segunda desiguadade por 3 obtemos que g > 3g(Λ) 3h(Λ), então h(λ) + g(λ) g > 3g(Λ) 3h(Λ) h(λ) + g(λ) > 3g(Λ) 3h(Λ) 4h(Λ) > g(λ) h(λ) > g(λ). Definição.4. Dizemos que quaquer semigrupo numérico satisfazendo as propriedades (P 1) e (P ) é um semigrupo numérico ordenadamente ou simpesmente ordenadamente. Ao invés de trabaharmos com semigrupos em S diretamente, será mais conveniente fazer observações sobre semigrupos numéricos ordenadamentes em gera e apicáos a S. Para provarmos a próxima proposição necessitamos de aguns Lemas. Lema.5. Seja Λ um semigrupo numérico, afirmamos que os geradores efetivos de Λ pertencem ao intervao [f(λ) + 1, f(λ) + m(λ)]. Demonstração. Seja λ um gerador efetivo de Λ, por definição λ > f(λ), ogo λ f(λ) + 1.

21 .1 Estimando n g, 1 Agora, suponha que λ > f(λ) + m(λ), então λ = f(λ) + m(λ) + λ r, λ r > 0 = f(λ) + λ }{{} r + m(λ) Λ }{{} Λ Λ o que é um absurdo, já que λ é um gerador efetivo de Λ, então λ f(λ) + m(λ). Então, λ [f(λ) + 1, f(λ) + m(λ)], portanto, os geradores efetivos de Λ pertencem ao intervao [f(λ) + 1, f(λ) + m(λ)]. Deste resutado segue que h(λ) m(λ). (.1-1) Lema.6. Seja Λ um semigrupo numérico fortemente descendido com f(λ) > m(λ), então Λ contém no máximo a metade dos inteiros do intervao [m(λ), f(λ)]. Demonstração. Como Λ é um semigrupo numérico fortemente descendido, peo Lema 1.11, f(λ)+m(λ) é um gerador efetivo de Λ. Para obtermos o desejado, vamos anaisar dois casos: 1 o caso) f(λ) + m(λ) par: Temos que, m(λ) Λ ou f(λ) Λ m(λ) + 1 Λ ou f(λ) 1 Λ m(λ) + f(λ). Λ ou. m(λ) + f(λ) Λ pois se dois eementos de aguma inha pertencerem a Λ, teremos que f(λ)+m(λ) não é gerador efetivo de Λ, já que é soma de dois eementos não nuos de Λ. Então, Λ contém no máximo a metade dos números inteiros do intervao [m(λ), f(λ)]. o caso) f(λ) + m(λ) ímpar: Segue de forma anáoga ao primeiro caso. Então, em ambos os casos temos que Λ contém no máximo a metade dos inteiros de [m(λ), f(λ)], como queríamos.

22 .1 Estimando n g, Deste resutado segue que, se Λ é ordenadamente com f(λ) > m(λ) então ee possui peo menos f(λ) m(λ)+1 ( ) eementos ausentes em [m(λ), f(λ)]. Assim, ( ) f(λ) m(λ) + 1 (m(λ) 1) + g(λ) h(λ) 1 m(λ) 1 reorganizando obtemos que f(λ) 3m(Λ) 1. (.1-) A segunda desiguadade segue da propriedade (P), a terceira da desiguadade.1-1, já na primeira desiguadade usamos que, g(λ) = #{acunas de Λ em {1,..., f(λ)}} = #{acunas de Λ em {1,..., m(λ) 1}} + #{acunas de Λ em {m(λ),..., f(λ)}} ( ) f(λ) m(λ) + 1 (m(λ) 1) +. Lema.7. Se Λ é um semigrupo numérico fortemente descendido com f(λ) > m(λ), então [m(λ), m(λ) 1] e [f(λ) m(λ) + 1, f(λ)] cobrem [m(λ), f(λ)]. Demonstração. Devemos mostrar que, [m(λ), f(λ)] [m(λ), m(λ) 1] [f(λ) m(λ) + 1, f(λ)]. Usando a desiguadade.1-, temos que f(λ) m(λ) + 1 m(λ), o que prova o resutado. Proposição.8. Se Λ é um semigrupo numérico ordenadamente, então f(λ) < m(λ). Demonstração. Primeiramente observe que se f(λ) < m(λ) o resutado segue. Suponha que f(λ) > m(λ), então o número de eementos de Λ em [m(λ), f(λ)] é f(λ) g(λ). De fato, todas as acunas de Λ pertencem ao conjunto {1,..., f(λ)} e todos os eementos de Λ \ {0} são maiores ou igua a m(λ), ogo {λ Λ m(λ) λ f(λ)} = f(λ) g(λ).

23 .1 Estimando n g, 3 Portanto, o número de eementos de Λ em [m(λ), f(λ)] é f(λ) g(λ). Peo Lema.7, os intervaos [m(λ), m(λ) 1] e [f(λ) m(λ) + 1, f(λ)] cobrem [m(λ), f(λ)] e cada um dees é um sistema competo de restos móduo m(λ). Disto, peo menos um desses intervaos contém ao menos a metade dos eementos de Λ em ( ) [m(λ), f(λ)], isto é, um desses intervaos contém no mínimo f(λ) g(λ) eementos de Λ que pertencem ao intervao [m(λ), f(λ)]. Sendo X o conjunto de tais eementos, não existe par de eementos distintos em X congruentes móduo m(λ). Temos que os geradores efetivos de Λ estão no intervao [f(λ) + 1, f(λ) + m(λ)] que também é um sistema competo de restos móduo m(λ). Assim, para cada eemento de X existe um λ [f(λ) + 1, f(λ) + m(λ)] que é congruente a ee móduo m(λ), ogo ( ) [f(λ)+1, f(λ)+m(λ)] possui peo menos f(λ) g(λ) eementos que não são geradores efetivos de Λ. Assim, Λ possui no máximo ( ) f(λ) g(λ) m(λ) (.1-3) geradores efetivos. Então g(λ) < h(λ) m(λ) (f(λ) g(λ)) = m(λ) f(λ) + g(λ) g(λ) < m(λ) f(λ) + g(λ) (.1-4) a primeira passagem segue da propriedade (P ) e a segunda de.1-3. Reorganizando a desiguadade.1-4, obtemos que f(λ) < m(λ) como queríamos. Coroário.9. Seja Λ um semigrupo numérico ordenadamente, então m(λ) f(λ) + h(λ) g(λ). Demonstração. No caso em que m(λ) > f(λ), temos que f(λ) = g(λ) e Λ = m(λ),..., m(λ) 1 h(λ) = m(λ). Portanto, m(λ) f(λ) + h(λ) g(λ).

24 .1 Estimando n g, 4 Agora se m(λ) < f(λ), dado λ (Λ [m(λ), f(λ)]), então λ + m(λ) [f(λ) + 1, f(λ)+m(λ)], pois f(λ) < m(λ) pea Proposição.8, ogo λ+m(λ) m(λ)+m(λ) = m(λ) f(λ) + 1. Como λ + m(λ) é soma de dois eementos de Λ segue que ee não é um gerador efetivo de Λ. Sabemos que existem (f(λ) g(λ)) eementos de Λ em [m(λ), f(λ)], assim existem (f(λ) g(λ)) eementos de Λ em [f(λ)+1, f(λ)+m(λ)] que não são geradores efetivos de Λ. Como os geradores efetivos de Λ estão em [f(λ) + 1, f(λ) + m(λ)], então h(λ) {f(λ) + 1,..., f(λ) + m(λ)} (f(λ) g(λ)) = m(λ) f(λ) + g(λ). Portanto, m(λ) f(λ) + h(λ) g(λ). Coroário.10. Seja Λ um descendente fraco de um semigrupo numérico ordenadamente Λ, então f(λ ) < 3m(Λ ). Demonstração. Sabemos que os geradores efetivos de Λ estão no intervao [f(λ)+1, f(λ)+ m(λ)] peo Lema.5. Pea propriedade (P 1) Λ é fortemente descendido, assim f(λ) + m(λ) é gerador efetivo de Λ, peo Lema 1.11, assim f(λ) + m(λ) é o maior gerador efetivo de Λ. Conhecido que Λ é obtido a partir de Λ pea remoção de geradores efetivos, então f(λ ) f(λ) + m(λ). Pea Proposição.8, sabemos que f(λ) < m(λ), e como m(λ ) = m(λ), então f(λ ) f(λ) + m(λ) < m(λ) + m(λ) = 3m(Λ) = 3m(Λ ). Portanto, f(λ ) 3m(Λ ). Coroário.11. n g, t g. Demonstração. Por definição, n g, conta o número de descendentes fracos de gênero g dos eementos de S. Como todos os eementos de S são ordenadamentes, todos os

25 .1 Estimando n g, 5 descendentes fracos de eementos de S são contados em t g peo Coroário.10. Portanto, n g, t g. Definição.1. Sejam Λ um semigrupo numérico e Z. Definimos a apicação τ(λ, ) = {0} (Λ \ {0} + ). Em essência, τ(λ, ) é uma mudança dos eementos não nuos de Λ por. Vamos verificar agumas propriedades de τ através de Lemas. Lema.13. Seja Λ um semigrupo numérico, e suponha que Λ = τ(λ, ) é um semigrupo numérico. Então, f(λ ) = f(λ) +, m(λ ) = m(λ) + e g(λ ) = g(λ) +. Demonstração. Segue diretamenta da definição de τ. Lema.14. Sejam Λ um semigrupo numérico e um inteiro que satisfazem, f(λ) < m(λ)+, então τ(λ, ) é um semigrupo numérico. Demonstração. Seja Λ = τ(λ, ), por hipótese f(λ) < m(λ) + m(λ) > f(λ) m(λ) m(λ) f(λ) m(λ) + 1, então m(λ ) = m(λ) + (f(λ) m(λ) + 1) + = f(λ) m(λ) + 1 m(λ ) f(λ) m(λ) Assim, todo eemento de Λ é não negativo, ogo Λ N. Vamos mostrar agora que dados λ 1, λ Λ, λ 1, λ 0 então λ 1 + λ Λ. De fato, λ 1 + λ m(λ ) + m(λ ) = m(λ ) = (m(λ) + ) = m(λ) + + > f(λ) + = f(λ )

26 .1 Estimando n g, 6 então, λ 1 + λ Λ. Como 0 Λ, Λ é fechado para a operação e N \ Λ = N \ Λ + <, segue que Λ é um semigrupo numérico. Lema.15. Seja Λ um semigrupo numérico com m(λ) < f(λ) e seja L = L(Λ) = {x [0, f(λ) m(λ)] m(λ) + x Λ}. Se f(λ) < m(λ), então λ [f(λ) + 1, f(λ) + m(λ)] é um gerador efetivo se, e somente se, λ m(λ) L + L. Demonstração. Por definição λ é um gerador efetivo de Λ se, e somente se, não é escrito como soma de dois eementos não nuos de Λ, isto é, não existem λ 1, λ Λ \ {0} tais que λ 1 + λ = λ. Como λ f(λ) + m(λ) e λ 1, λ m(λ), precisamos considerar apenas a situação onde λ 1, λ f(λ), pois se λ 1 f(λ) ou λ f(λ) λ 1 + λ > f(λ) + m(λ) λ 1 + λ > λ. Como m(λ) λ 1, λ f(λ), então λ 1, λ L + m(λ) = {x [m(λ), f(λ)] m(λ) + x Λ}, ogo, λ 1 + λ (L + m(λ)) + (L + m(λ)), assim, λ é um gerador efetivo se, e somente se, λ (L + m(λ)) + (L + m(λ)) se, e somente se, λ m(λ) L + L. Portanto, λ é um gerador efetivo de Λ se, e somente se, λ m(λ) L + L. Coroário.16. Seja Λ um semigrupo numérico, e suponha que Λ = τ(λ, ) também é um semigrupo numérico. Suponha ainda que f(λ) < m(λ) e f(λ ) < m(λ ). Então, Λ é fortemente descendido se, e somente se, Λ é, e m(λ) h(λ) = m(λ ) h(λ ). Demonstração. No caso em que m(λ) > f(λ), temos que Λ = m(λ),..., m(λ) 1 m(λ) = h(λ) e Λ = m(λ ),..., m(λ ) 1 m(λ ) = h(λ ). Portanto, m(λ) h(λ) = m(λ ) h(λ ). Se m(λ) < f(λ), sejam L(Λ) = {x [0, f(λ) m(λ)] m(λ) + x Λ} e L(Λ ) = {x [0, f(λ ) m(λ )] m(λ ) + x Λ }, afirmamos que L(Λ) = L(Λ ). De fato, x L(Λ) x [0, f(λ) m(λ)] e m(λ) + x Λ x [0, f(λ) + m(λ) ] e m(λ) + + x Λ x [0, f(λ ) m(λ )] e m(λ ) + x Λ x L(Λ ).

27 .1 Estimando n g, 7 Portanto, L(Λ) = L(Λ ), por simpicidade denotaremos L(Λ) e L(Λ ) por L. Seja K o conjunto formado peos números inteiros do intervao [f(λ) + 1, f(λ) + m(λ)] que não são geradores efetivos de Λ e seja K o conjunto formado peos números inteiros do intervao [f(λ ) + 1, f(λ ) + m(λ )] que não são geradores efetivos de Λ. Vamos mostrar que existe uma bijeção entre esses conjuntos e como K = m(λ) h(λ) e K = m(λ ) h(λ ), então m(λ) h(λ) = m(λ ) h(λ ). Dado λ K, peo Lema.15, (λ m(λ)) L + L, assim λ m(λ), então, λ + m(λ) + = (m(λ) + ) = m(λ ) f(λ ) + 1 na terceira passagem utiizamos o Lema.13, e na quarta a hipótese. Como λ f(λ) + m(λ), usando o Lema.13 novamente, temos que λ + f(λ) + m(λ) + = (f(λ) + ) + (m(λ) + ) = f(λ ) + m(λ ). Assim, λ + [f(λ ) + 1, f(λ ) + m(λ )] e (λ + ) m(λ ) = λ m(λ ) + = λ (m(λ ) ) = λ m(λ) L + L peo Lema.15, segue que λ + não é um gerador efetivo de Λ, ogo λ + K. Assim, obtemos uma apicação injetora de K em K, λ λ+. Com um raciocínio anáogo obtemos uma apicação injetora de K em K, λ λ. Como estas funções são inversas uma da outra, segue que estas funções são bijetoras, e portanto, K = m(λ) h(λ) = m(λ ) h(λ ) = K. Peo Lema 1.11, Λ é fortemente descendido se, e somente se, f(λ) + m(λ) K se, e

28 .1 Estimando n g, 8 somente se, f(λ) + m(λ) + = (f(λ) + ) + (m(λ) + ) = f(λ ) + m(λ ) K se, e somente se, Λ é fortemente descendido. Portanto, Λ é fortemente descendido se, e somente se, Λ é fortemente descendido. Isto termina a prova do resutado. Definição.17. O conjunto dos semigrupos numéricos fortemente descendidos que possuem gênero g e h geradores efetivos será denotado por M(g, h). Lema.18. M(g, h) = M(g h + 1, g h + 1), sempre que g < h. Demonstração. Vamos mostrar que existe uma apicação bijetora entre M(g, h) e M(g h + 1, g h + 1). Seja = h g 1, como h > g h g > 0 h g 1 0, ogo 0. Os semigrupos numéricos de M(g, h) e M(g h + 1, g h + 1) são ordenadamentes, pois são fortemente descendidos, h > g e (g h + 1) = g h + > g h + 1. Dado Λ M(g h+1, g h+1), pea Proposição.8, temos que f(λ) < m(λ) f(λ) < m(λ) +, assim Λ = τ(λ, ) é um semigrupo numérico peo Lema.14. Peo Lema.13, f(λ ) = f(λ) + < (m(λ) + ) + = (m(λ) + ) = m(λ ), assim, peo Coorário.16, Λ é fortemente descendidio e m(λ) h(λ) = m(λ ) h(λ ), então, h(λ ) = m(λ ) m(λ) + h(λ) = + h(λ) = (h g 1) + (g h + 1) = h ogo, h(λ ) = h.

29 .1 Estimando n g, 9 Peo Lema.13, temos que g(λ ) = g(λ) + = (g h + 1) + (h g 1) = g então, g(λ ) = g. Assim, Λ é fortemente descendido, tem gênero g e h geradores efetivos, então Λ M(g, h). Obtemos, então uma apicação injetora de M(g h + 1, g h + 1) em M(g, h) Λ Λ = τ(λ, ). De forma anáoga obtemos uma apicação injetora de M(g, h) em M(g h+1, g h+1), Λ τ(λ, ). Como estas funções são inversas uma da outra segue que eas são bijetoras. Portanto, M(g, h) = M(g h + 1, g h + 1). Lema.19. M(i + 1, i + 1) ϕ i converge. i=0 Demonstração. Seja Λ um semigrupo numérico quaquer de M(i+1, i+1). Como cada eemento de Λ em [f(λ)+1, m(λ) 1] é um gerador efetivo de Λ, então h(λ) m(λ) f(λ) 1. Como f(λ) g(λ), temos que f(λ) g(λ) = i + 1 = h(λ) 1 (m(λ) f(λ) 1) 1 f(λ) 4m(Λ) f(λ) 3 f(λ) 4m(Λ) f(λ) 3 + f(λ) 3 + 4(f(Λ) m(λ)) f(λ). Tendo provado que 3 + 4(f(Λ) m(λ)) f(λ) e sendo váido que f(λ) m(λ) 1, pois f(λ) + 1 m(λ), temos que

30 .1 Estimando n g, 30 M(i + 1, i + 1) ϕ i = i=0 = = = 5 i=0 Λ M(i+1,i+1) i=0 Λ M(i+1,i+1) i=0 Λ M(i+1,i+1) ϕ i m,f Λ S(m,f) f m 1 f3+4(f m) m,f f m 1 f3+4(f m) m,f f m 1 f3+4(f m) ϕ ( i 1)+(i+1) ϕ g(λ)+h(λ) ϕ g(λ)+h(λ) ( ( ) ) f m (f m + ) ϕ ( (f m + ) ϕ ( (k + )(3 + 4k) ϕ k= 1 ( (k + )(3 + 4k) ϕ k=0 ) k 1 ) k 1 ) f m 1 na quarta passagem utiizamos as observações acima, na quinta o Lema.1 e na sétima substituímos (f m) por k e usamos que há no máximo (3 + 4k) possibiidades para f. Vamos utiizar o Teste da Razão para provar que a série 5 a k, é convergente, k N ( ) k 1 onde a k = (3 + 4k)(k + ). Temos que, ϕ a k+1 im k a k = im k a k+1 a k ( (3 + 4(k + 1))(k ) = im ( k (3 + 4k)(k + ) ϕ ( ) k (4k + 7)(k + 3) ϕ = im ( ) k k 1 (4k + 3)(k + ) ϕ ) k ϕ ) k 1

31 .1 Estimando n g, 31 ( ) = ϕ ( ) = ϕ ( ) = ϕ < 1. im k im k (4k + 19k + 1) (4k + 11k + 6) ( 4k k ( 4k k + 19k k + 1 ) k + 11k k + 6 ) k Logo, a série 5 k N a n é converge, digamos para a. Observemos que as reduzidas da série M(i + 1, i + 1) ϕ i formam uma sequên- cia imitada por a, portanto, a série M(i + 1, i + 1) ϕ i é convergente. Lema.0. F n ϕ n 1, n N. i=0 i=0 Demonstração. Vamos provar o resutado por indução. Para n = 0, F 0 = 0 e ϕ 0 1 = ϕ 1 > 0, ogo F 0 < ϕ 0 1. Se n = 1, F 1 = 1 e ϕ 1 1 = ϕ 0 = 1, então F 1 = ϕ 1 1. Tomando n =, F = 1 e ϕ 1 = ϕ 1 = ϕ, então F < ϕ 1. Suponha que o resutado seja verdadeiro para todo natura menor ou igua a n. Provaremos que o resutado é váido para n + 1, isto é, F n+1 ϕ n. Temos que, F n+1 = F n + F n 1 ϕ n 1 + ϕ (n 1) 1 = ϕ n 1 + ϕ n = ϕ n. Então, F n+1 ϕ n. A segunda passagem segue da hipótese de indução e a útima do Lema Portanto, F n ϕ n 1, n N. n g, O trabaho desenvovido nesta seção tem se direcionado a demonstrarmos que = O(ϕ g ). Os resutados obtidos até aqui nos põem em condições de conseguirmos sua demonstração.

32 .1 Estimando n g, 3 Dado Λ S temos que h(λ) + g(λ) g e g(λ) h(λ) < g 3, assim, n g, = Λ S N g (Λ) = N g (Λ) 0i< g Λ S 3 g(λ) h(λ)=i 0i< g 3 Λ S g(λ) h(λ)=i 0i< g i<hg i 3 g i 0i< g h=i+1 3 0i< g 3 ( ) h(λ) g g(λ) ( M(h + i, h) ( M(h + i, h) h g i h h g i h = [ ( ) i + 1 M(i + 1, i + 1) + g i 1 0i< g 3 ( ) i + M(i +, i + ) g i ( ) ] g i M(g, g i) 0 = g i ( ) h M(i + 1, i + 1) g i h h=i+1 M(i + 1, i + 1) F g i+1 ) ) 0i< g 3 M(i + 1, i + 1) ϕ g i 0i< g 3 = ϕ g M(i + 1, i + 1) ϕ i <. 0i< g 3 A terceira passagem segue do Lema A quarta passagem vae, pois se Λ S e g(λ) h(λ) = i, então Λ é fortemente descendido pea propriedade (P 1), com gênero g(λ) = h(λ) + i e com h(λ) geradores efetivos, ogo Λ M(h(Λ) + i, h(λ)). Ainda, i < h(λ) g i, pois g g(λ) e h(λ) > g(λ) pea propriedade (P ), ogo i = g(λ) h(λ) < h(λ) h(λ) = h(λ) i < h(λ) e como h(λ) = g(λ) i g i i < h(λ) g i, tomando h(λ) = h, segue a desiguadade. Para verificarmos a sétima passagem, devemos provar que M(h + i, h) = M(i +

33 . Estimando n g,3 33 1, i + 1), h = i +,..., i + (g i), podemos escrever h = i + j, j =,..., g i. Temos que, M(h + i, h) = M((i + j) + i, i + j) = M(i + j, i + j), como (i + j) > i + j, segue do Lema.18 que M(i + j, i + j) = M((i + j) (i + j) + 1, (i + j) (i + j) + 1) = M(i + 1, i + 1). Portanto, M(h + i, h) = M(i + 1, i + 1), h = i +,..., i + (g i). A oitava passagem segue do fato que, g i h=i+1 k N ( ) k = F n+1 n k ( ) h ( ) h = F g i+1 g i h g i h h N g i h=i+1 A nona passagem segue do Lema.0. Portanto, ( ) h F g i+1. g i h n g, ϕ g M(i + 1, i + 1) ϕ i. 0i< g 3 Como, M(i+1, i+1) ϕ i > 0 e finito, tomando c = M(i+1, i+1) ϕ i, temos que, 0i< g 3 0 n g, cϕ g, g N. 0i< g 3 Portanto, n g, = O(ϕ g ).. Estimando n g,3 Nesta seção mostraremos que n g,3 = o(ϕ g ).

34 . Estimando n g,3 34 Definição.1. Seja σ : N R uma função. Definimos o(σ(n)) = {ψ(n) se para toda constante rea positiva c existe n 0 N ta que 0 ψ(n) < cσ(n), n n 0 }. Quando escrevermos ψ(n) = o(σ(n)), estaremos indicando que ψ(n) o(σ(n)). Se σ(n) 0, n N, caramente ψ(n) = o(σ(n)) se, e somente se, im n ψ(n) σ(n) = 0. Seja Λ um semigrupo numérico quaquer de S 3. Como os números no intervao [f(λ) + 1, m(λ) 1] são geradores efetivos de Λ, então h(λ) m(λ) f(λ) 1. (.-5) Como Λ S 3, vae que g(λ) h(λ) g 3. (.-6) Combinando as desiguadades.-5 e.-6, temos que g(λ) g 3 + h(λ) g + (m(λ) f(λ) 1) 3 g(λ) g f(λ) + m(λ) 1 6 m(λ) g 6 f(λ) 1 g(λ) f(λ) m(λ) g ( f(λ) g(λ) ). Como f(λ) g(λ), então f(λ) m(λ) g 6 1 > g 6 1. Notemos que se N g (Λ) > 0, então m(λ) g(λ) + 1 g + 1.

35 . Estimando n g,3 35 Combinando esses fatos com os Lemas 1.16 e.1, encontramos que ( ) k n g,3 5ϕ g (6k + 7)(k + ). ϕ k> g 6 1 De fato, n g,3 = Λ S 3 N g (Λ) ϕ (g g(λ)+h(λ)) Λ S 3 m(λ)g+1 = ϕ g ϕ g(λ)+h(λ) Λ S 3 m(λ)g+1 ϕ g k> g 6 1 ϕ g k> g 6 1 ϕ g k> g 6 1 f m=k mg+1 f m=k mg+1 f m=k mg+1 Λ S(m,f) ϕ g(λ)+h(λ) ( (f m + ) ϕ ( (k + ) ϕ ) k 1 5ϕ g (g + 1) ( ) k (k + ) ϕ k> g 6 1 ( ) k = 5ϕ g (g + 1)(k + ) ϕ k> g 6 1 ( ) k ϕ g (6k + 7)(k + ). ϕ k> g 6 1 ) f m 1 Na sétima passagem usamos que temos no máximo (g + 1) possibiidades para m, e na nona que sendo k > g 1 6k + 6 > g 6k + 7 > g Vamos mostrar que a série ( ϕ g a k, onde a k = (6k + 7)(k + ) ϕ k> g 6 1 ) k 1 é convergente. Como g é sempre maior ou igua a zero, então g 1 1, ogo k > 0. Assim, 6

36 . Estimando n g,3 36 ( ) k (6k + 7)(k + ) ϕ 0 então, k> g 6 1 a k a k. k=0 Assim, mostrando a convergência da série a k, segue a convergência da série k=0 5ϕ g a k. k> g 6 1 Fazendo uso do Teste da Razão, mostraremos que a série a k é convergente. k=0 a k+1 im k a k a k+1 = im k a k ( (6(k + 1) + 7)((k + 1) + ) = im ( k (6k + 7)(k + ) ϕ ( ) k (6k + 13)(k + 3) ϕ = im ( ) k k (6k + 7)(k + ) ϕ ( ) (6k + 31k + 39) = im k (6k + 19k + 14) ϕ ( ) (6k + 31k + 39) = im ϕ k (6k + 19k + 14) ( ) k + 31k + 39 k = im k k ϕ k 6k + 19k + 14 k k k ( ) = im + 39 k k ϕ k k k ( ) = 1 ϕ ( ) = ϕ < 1. ) (k+1) ϕ ) k 1 Portanto, a série a k é convergente, então a série 5ϕ g a k é convergente. k=0 k> g 6 1 Seja c g = 5 a k, vamos mostrar que ϕ g c g = o(ϕ g ), para isto devemos provar que k> g 6 1 para toda constante rea positiva c existe g 0 N ta que 0 ϕ g c g < cϕ g, g g 0, isto é equivaente a provarmos que c g < c, g g 0.

37 . Estimando n g,3 37 Dado uma constante rea positiva c, peo Critério de Cauchy apicado a série existe n 0 N ta que a n+1 + a n a n+p < c 5, n n 0, p N, (a n+1 + a n a n+p ) < c 5, n n 0, p N. k> g g 1 a k então, Tomando g 0 = 6n g = n 0, temos que a ( g 06 1)+1 + a ( g 0 6 1) a ( g 0 6 1)+p < ( ) im a p ( g 06 1)+1 + a ( g 0 6 1) a ( g 0 6 1)+p c 5, p N c 5 < c 5. Sendo, ( ) im a p ( g 06 1)+1 + a ( g 0 6 1) a ( g 0 6 1)+p = c g 0 5 c g 0 5 < c 5 c g0 < c. Como c g c g0, g g 0, então c g < c, g g 0. Portanto, ϕ g c g = o(ϕ g ). Como n g,3 5ϕ g a k, então n g,3 = o(ϕ g ). k> g 6 1 De fato, dado uma constante rea positiva c, como ϕ g c g = o(ϕ g ), existe g 0 N ta que 0 ϕ g c g < cϕ g, g g 0 0 n g,3 < cϕ g, g g 0. Portanto, n g,3 = o(ϕ g ).

38 .3 Estimando n g 38.3 Estimando n g Nesta seção estimaremos o número de semigrupos numéricos, provaremos as Conjecturas sup t g ϕ g < (.3-7) g N im t gϕ g = S (.3-8) g S <, (.3-9) demonstraremos o Teorema. e por útimo provaremos o Teorema abaixo. Teorema.. im g im g t g = 1 n g (.3-10) n g+1 = ϕ n g (.3-11) n g 1 + n g im = 1 g n g (.3-1) n g+1 n g, para g suficientemente grande. (.3-13) Nas seções anteriores provamos que: n g,1 = 0. n g, t g. n g, = O(ϕ g ). n g,3 = o(ϕ g ). Iniciamente vamos estimar o número de semigrupos numéricos, mostrando que n g = O(ϕ g ). De fato, como n g, = O(ϕ g ), existem uma constante rea positiva c e g 1 N, tais que 0 n g, cϕ g, g g 1. Como n g,3 = o(ϕ g ), então para toda constante rea positiva d > 0, existe g N ta

39 .3 Estimando n g 39 que 0 n g,3 < dϕ g, g g. Tomando d = c, existe g ta que 0 n g,3 < cϕ g, g g. Assim, 0 n g, + n g,3 cϕ g + cϕ g = cϕ g, g max{g 1, g }. Portanto, n g = n g, + n g,3 = O(ϕ g ). Necessitamos fazer as seguintes verificações para prosseguirmos. (i) t g = O(ϕ g ). (ii) n g t g = o(ϕ g ). (i) Como t g n g = n g, + n g,3 = O(ϕ g ), existem uma constante rea positiva c e g 0 N, tais que 0 n g, + n g,3 cϕ g, g g 0 0 t g cϕ g, g g 0. Portanto, t g = O(ϕ g ). (ii) Devemos verificar que para toda constante rea positiva c, existe g 0 N ta que 0 n g t g < cϕ g, g g 0. De fato, temos que n g,3 = o(ϕ g ) e n g t g n g,3, pois n g t g = n g, + n g,3 t g = n g,3 + (n g, t g ) n g,3. Assim, dada uma constante rea positiva c, existe g 0 N ta que 0 n g,3 < cϕ g, g g 0, então 0 n g t g n g,3 < cϕ g, g g 0 0 n g t g < cϕ g, g g 0. Portanto, n g t g = o(ϕ g ).

40 .3 Estimando n g 40 Vamos à prova da Conjectura.3-7. Como t g = O(ϕ g ), existem uma constante rea positiva c e g 0 N tais que 0 t g cϕ g, g g 0 0 t g ϕ g c, g g 0. Portanto, sup t g ϕ g <. g N Segue imediatamente que, im t gϕ g = S <, g ficando provadas as Conjecturas.3-8 e.3-9. Fazendo uso da Conjectura.3-8, verificaremos o Teorema.. Como n g t g = o(ϕ g ), temos que então, n g t g im = 0 g ϕ g n g t g im = im g ϕ g g ϕ. g Portanto, n g im = S. g ϕ g Finamente podemos demonstrar o Teorema.. Utiizando o Teorema. e a iguadade.3-8, temos que im g t g n g = im g = t g ϕ g n g ϕ g t im g g ϕ g n im g g ϕ g = S S = 1.

41 .3 Estimando n g 41 Portanto, im g t g n g = 1. Para provaremos a iguadade.3-11, faremos uso do Teorema.. Temos que, S = im g n g ϕ g = im g n g+1 ϕ (g+1) Então ϕs = ϕ im g n g+1 ϕ (g+1) = im g n g+1 ϕ g. n g+1 n g+1 ϕ g im = im g n g g n g ϕ g = = ϕs S = ϕ. im g n g+1ϕ g im g n gϕ g Portanto, n g+1 im = ϕ. g n g que, Vamos verificar a veracidade da iguadade.3-1, usando o Teorema.. Temos S = im g n g ϕ g = im g n g 1 ϕ (g 1) = im g n g ϕ (g ). Então, ϕ S = ϕ im g n g ϕ g = im g n g ϕ g+ e ϕs = ϕ im g n g 1 ϕ (g 1) = im g n g 1 ϕ (g ).

42 .3 Estimando n g 4 Assim, [( ) ( )] n g 1 + n g ng 1 + n g ϕ g+ im = im g n g g ϕ g+ n g = im g n g 1 ϕ g+ + n g ϕ g+ n g ϕ g+ = = im (n g 1ϕ g+ + n g ϕ g+ ) g im n gϕ g+ g im n g 1ϕ g+ + im n g ϕ g+ g g im g n gϕ g+ = ϕs + S ϕ S S(ϕ + 1) = ϕ S = ϕ + 1 ϕ = ϕ + ϕ0 ϕ = ϕ ϕ = 1 na nona iguadade usamos o Lema Portanto, n g 1 + n g im = 1. g n g Finamente mostraremos a desiguadade Suponha por absurdo que n g+1 < n g, então n g+1 n g absurdo, pois im g n g+1 n g = ϕ. Portanto, n g+1 n g, para g suficientemente grande. n < 1 im g+1 g n g 1, o que é um

43 CAPÍTULO 3 PROVA DO LEMA.1 Seja S um conjunto finito de inteiros positivos e sejam m, f e d inteiros positivos satisfazendo d < f. Podemos considerar esses números sem reações com semigrupos numéricos, mas vamos apicar nossos resutados onde m é a mutipicidade e f é o número de Frobenius de um semigrupo numérico. Definição 3.1. Dizemos que um subconjunto U S é (m, f, d) admissíve se as condições seguintes são satisfeitas: (i) Não existem dois eementos em U cuja soma seja f + m. (ii) Se x U e x + m S, então x + m U. Quando estiver caro no contexto que um conjunto é (m, f, d) admissíve por conveniência de notação o chamaremos simpesmente de admissíve. Exempo 3.. O subconjunto é um subconjunto admissíve de S, pois não existem dois eementos em cuja soma seja f + m, ogo vae (i), e não contradiz (ii). A (m,f,d) (S) denotará o conjunto de todos os subconjuntos (m, f, d) admissíveis de S. Quando não houver risco de confusão, denotaremos A (m,f,d) (S) simpesmente por A(S). Exempo 3.3. Seja S = {x}, x N ta que x + x f + m. Os subconjuntos admissíveis de S são e S.

44 44 De fato, peo exempo anterior sabemos que é admissíve. S é admissíve, pois não existem dois eementos em S cuja soma seja f +m, então (i) é satisfeito, e não contradiz (ii), pois S possui um único eemento. Portanto, A (m,f,d) (S) = {, S}. Seja U S um subconjunto admissíve, definimos: E(U, S) = {x S x, x + m U e x d U} E (U, S) = {x U x + m U} s(u, S) = E(U, S) E (U, S). Observe que o conjunto E (U, S) independe de S, mas é conveniente escrevermos dessa forma para ficarmos com uma notação padronizada e também para embrarmos que U é um subconjunto admissíve de S. Exempo 3.4. Seja S como no exempo 3., sabemos que é admissíve, ogo E(, S) = {x S x, x + m e x d } = E (, S) = {x x + m } = s(, S) = E(, S) E (, S) = 0. Exempo 3.5. Seja S como no exempo 3.3, sabemos que os subconjuntos admissíveis de S são e S. Assim, E(S, S) = {x S x, x + m S e x d S} = E (S, S) = {x S x + m S} = s(s, S) = E(S, S) E (S, S) = 0. E(, S), E (, S) e s(, S) já foram determinados no exempo anterior. Definimos o (m, f, d) peso do conjunto S por U A (m,f,d) (S) ϕ s(u,s) e o denotaremos por w (m,f,d) (S), ou simpesmente w(s) quando estiver caro no con-

45 45 texto os vaores de m, f e d. Se S =, definimos que w(s) = 1. Exempo 3.6. Seja S como no exempo 3.3, sabemos que A(S) = {, S}, s(, S) = 0 e s(s, S) = 0, ogo w(s) = U A (m,f,d) (S) = U {,S} ϕ s(u,s) ϕ s(u,s) = ϕ s(,s) + ϕ s(s,s) = ϕ 0 + ϕ 0 =. Portanto, w(s) =. O seguinte Lema, que é fundamenta para a prova do Lema.1, é enunciado aqui, mas sua prova requer uma construção de resutados, por isso será adiada por enquanto. Lema 3.7. Sejam m, f, e d inteiros positivos ta que d < f e seja S = {m + d + 1, m + d +,..., f 1}. Então, w (m,f,d) (S) S +d+. Definição 3.8. S(m, f, d) denotará o subconjunto de S(m, f) consistindo dos semigrupos numéricos cujo segundo menor eemento não nuo é m + d. Para quaquer Λ S(m, f), sabemos que f + 1 Λ, ogo m + d f + 1, exceto no caso em que m = f + 1, neste caso d = 1, assim m + d = f +. Então, d f m +, ogo S(m, f) = f m+ d=1 S(m, f, d). (3.0-1)

46 46 Finamente exibiremos a demonstração do Lema.1: Demonstração. Fixe m, f e d e defina S = {m + d + 1, m + d +,..., f 1}. Para cada Λ S(m, f, d), como Λ é fortemente descendido, então f + m é um gerador efetivo de Λ peo Lema 1.11, assim, não há dois eementos em Λ cuja soma seja f + m, ogo não existem dois eementos em Λ S cuja soma seja f + m. Aém disso, se x Λ S e x + m S então x + m Λ S, pois x + m Λ, já que Λ é um semigrupo numérico e x, m Λ. Portanto, Λ S é um subconjunto admissíve de S. Agora utiizaremos os conjuntos E(Λ S, S) = {x S x, x + m Λ S e x d Λ S} E (Λ S, S) = {x Λ S x + m Λ S} para dar uma cota superior para o número de geradores efetivos de Λ. Se x S e x + m S, então x + m [f, f + m 1], ainda se x + m Λ, então x + m > f, ogo x + m [f + 1, f + m 1]. Resumindo, se x S, x + m S e x + m Λ, então x + m [f + 1, f + m 1]. Suponha que x E(Λ S, S), por definição x d Λ S x d Λ. Como m+d Λ, então (x d)+(m+d) = x+m Λ e não é um gerador efetivo de Λ. Portanto, se x E(Λ S, S) então x S, x + m S e x + m Λ, ogo x + m [f + 1, f + m 1]. Suponha agora que x Λ S e x E (Λ S, S), como x Λ, então x+m Λ, assim pea definição de E (Λ S, S) segue que x + m S, ogo x + m f e como x + m Λ segue que x + m f + 1, então x + m [f + 1, f + m 1]. Ainda, x + m não é um gerador efetivo de Λ, pois x, m Λ. Como E(Λ S, S) ((Λ S) \ E (Λ S, S)) =, então existem peo menos E(Λ S) + (Λ S) \ E (Λ S) = E(Λ S) + Λ S E (Λ S) = Λ S + s(λ S) eementos de Λ no intervao [f + 1, f + m 1] que não são geradores efetivos de Λ.

47 47 que, Como todos os geradores efetivos de Λ pertencem ao intervao [f + 1, f + m], segue h(λ) m ( Λ S + s(λ S)) h(λ) m Λ S s(λ S). (3.0-) Temos também que, g(λ) = f Λ [1, f] = f {m, m + d} (Λ S) g(λ) = f Λ S Λ S = f g(λ), (3.0-3) e S = f m d 1 f m = S + d + 1. (3.0-4) Substituindo a iguadade em 3.0-, temos que h(λ) m (f g(λ) ) s(λ S) g(λ) h(λ) f m + s(λ S). Substituindo a iguadade 3.0-4, na desiguadade acima obtemos que, g(λ) h(λ) S + d 1 + s(λ S) g(λ) + h(λ) S d + 1 s(λ S). Abaixo usaremos esta desiguadade, o Lema 3.7 e ainda o fato de que para cada Λ S(m, f, d), Λ S A(S). Λ S(m,f,d) ϕ g(λ)+h(λ) Λ S(m,f,d) = ϕ S d+1 ϕ S d+1 s(λ S) Λ S(m,f,d) ϕ S d+1 U A(S) = ϕ S d+1 w(s) ϕ s(λ S) ϕ s(u)

48 3.1 Prova do Lema ϕ S d S +d+ ( = ϕ ϕ ( ) S +d ϕ ( = 5 ϕ ( ) f m = 5. ϕ ) S +d ) f m d 1+d Usando 3.0-1, temos que ϕ g(λ)+h(λ) = ϕ g(λ)+h(λ) Λ S(m,f) Λ S(m,f,1) ( ) f m 1 ( ϕ ϕ ( ( ) ) f m = (f m + ) 5 ϕ ( ) f m = 5(f m + ). ϕ Λ S(m,f,f m+) ) f m 1 ϕ g(λ)+h(λ) Portanto, Λ S(m,f) ( ) f m ϕ g(λ)+h(λ) 5(f m + ). ϕ 3.1 Prova do Lema 3.7 Esta seção será dedicada a prova do Lema 3.7. Vamos continuar considerando S, m, f e d como no início do capítuo. Seja k um inteiro positivo, definimos V k (S) = {s S s > k}. Iniciamente vamos provar que o peso do conjunto V k (S) é menor ou igua ao peso do conjunto S, em especia temos o seguinte Lema.

49 3.1 Prova do Lema Lema 3.9. Nas condições acima temos que w(v k (S)) w(s). Demonstração. Primeiramente verificaremos que se U é um subconjunto admissíve de V k (S), então U é um subconjunto admissíve de S, para isso devemos verificar os dois itens da definição 3.1. (i) Não existem dois eementos em U cuja soma seja f + m : Segue do fato que U é um subconjunto admissíve de V k (S). (ii) Se x U e x + m S, então x + m U : Como x U então x V k (S), ogo x > k x + m > k, como x + m S, então x + m V k (S) e como U é um subconjunto admissíve de V k (S) segue que x + m U como queríamos. Portanto, U é um subconjunto admissíve de S. Disto segue que A(V k (S)) A(S). Provaremos agora que E(U, V k (S)) = E(U, S) e E (U, V k (S)) = E (U, S). E(U, V k (S)) = E(U, S) : ( ) Dado x E(U, V k (S)) x V k (S), x, x + m U e x d U x S, x, x+m U e x d U x E(U, S), ogo E(U, V k (S)) E(U, S). ( ) Dado x E(U, S) x S, x, x + m U e x d U. Como U V k (S) então x d > k x > k, ogo x V k (S). Então, x V k (S), x, x + m U e x d U x E(U, V k (S)), assim, E(U, S) E(U, V k (S)). Portanto, E(U, V k (S)) = E(U, S). E (U, V k (S)) = E (U, S) : Segue diretamente das definições de E (U, V k (S)) e E (U, S). Utiizando estes fatos temos que w(v k (S)) = = = = U A(V k (S)) U A(V k (S)) U A(V k (S)) U A(V k (S)) ϕ s(u,v k(s)) ϕ ( E(U,V k(s)) E (U,V k (S)) ) ϕ ( E(U,S) E (U,S) ) ϕ s(u,s)

50 3.1 Prova do Lema ϕ s(u,s) U A(S) = w(s). Portanto, w(v k (S)) w(s). Outra observação importante é que o peso é sub-mutipicativo em certo sentido. Em particuar, temos o seguinte Lema. Lema Se S 1 e S são conjuntos ta que f + m S 1 + S, e aém disso para quaisquer s 1 S 1 e s S, temos que s 1 s mod m, então w(s 1 S ) w(s 1 )w(s ). Demonstração. Seja S = S 1 S. Por hipótese, segue que S 1 S =, pois se existisse x S 1 S x = s 1 S 1 e x = s S s 1 s mod m, o que contraria nossa hipótese, então S 1 S =. Vamos provar que se U é um subconjunto admissíve de S, então U S 1 é um subconjunto admissíve de S 1, para isso devemos verificar a definição 3.1. (i) Não existem dois eementos em U S 1 cuja soma seja f + m : Segue diretamente do fato de U ser admissíve. (ii) Se x U S 1 e x + m S 1, então x + m U S 1 : Como x U S 1 então x U, e como x + m S 1 então x + m S, ogo x + m U, pois U é um subconjunto admissíve de S, ogo x + m U S 1. Portanto, U S 1 é um subconjunto admissíve de S 1. De forma anáoga, verifica-se que U S é um subconjunto admissíve de S. Assim, existe uma bijeção entre os subconjuntos admissíveis U de S com os pares de subconjuntos admissíveis (U S 1, U S ) de S 1 e S. Agora verificaremos que E(U, S) E(U S 1, S 1 ) + E(U S, S ). Dado x E(U S 1, S 1 ) = {x S 1 x, x + m U S 1 e x d U S 1 } temos que, x S 1 S e x U S 1, então x U, e x d U S 1 x d U. Como x + m U S 1 então x + m U, pois se x + m U, então x + m S 1, ogo x + m S,

51 3.1 Prova do Lema o que é um absurdo, já que x S 1 e assim x x + m mod m, o que contraria a hipótese. Resumindo, x S, x, x + m U e x d U, assim, x E(U, S). Portanto, E(U S 1, S 1 ) E(U, S). De forma anáoga, se verifica que E(U S, S ) E(U, S) e como S 1 S = então E(U S 1, S 1 ) E(U S, S ) =, ogo E(U, S) E(U S 1, S 1 ) + E(U S, S ). Com um raciocínio anáogo, podemos verificar que, E (U, S) = E (U S 1, S 1 ) + E (U S, S ). Assim, s(u, S) = E(U, S) E (U, S) ( E(U S 1, S 1 ) + E(U S, S ) ) ( E (U S 1, S 1 ) + E (U S, S ) ) = ( E(U S 1, S 1 ) E (U S 1, S 1 ) ) + ( E(U S, S ) E (U S, S ) ) = s(u S 1, S 1 ) + s(u S, S ). Usando estes fatos, temos que w(s) = = = U A(S) U S 1 A(S 1 ) U S A(S ) U S 1 A(S 1 ) U S A(S ) ϕ s(u,s) ϕ s((u S 1) (U S ),S) ϕ s(u S 1,S 1 ) s(u S,S ) ϕ s(u S 1,S 1 ) U S 1 A(S 1 ) U S A(S ) = w(s 1 )w(s ). ϕ s(u S,S ) Portanto, w(s) w(s 1 )w(s ). Utiizaremos este Lema para imitar o peso de um conjunto particionando-o e imitando o peso de cada parte separadamente.

52 3.1 Prova do Lema Seja r um número inteiro entre 0 e m 1. Defina S(r) como sendo o conjunto de todos os números no intervao [m, f] que são congruentes a r ou f r móduo m. Seja I(r) o número de inteiros no intervao [m, f] congruentes a r móduo m. Assim, S(r) = {x [m, f] x r mod m ou x f r mod m} = {x [m, f] x r mod m} {x [m, f] x f r mod m} = {x = r + qm x [m, f]} {x = f r km x [m, f]} = {r + m, r + m,..., r + I(r)m} {f r, f r m,..., f r (I(r) 1)m}. Da definição de I(r) segue que {x = r + qm x [m, f]} = {r + m, r + m,..., r + I(r)m}. Resta verificar que {x = f r km x [m, f]} = {f r, f r m,..., f r (I(r) 1)m}. Com efeito, como f r é o maior eemento de [m, f] congruente a f r móduo m, basta provarmos que f r (I(r) 1)m é o menor eemento de [m, f] congruente a f r móduo m, para isso basta verificar que, f r (I(r) 1)m m > f r I(r)m. De fato, como f r + I(r)m f r (I(r) 1)m m e como r + (I(r) + 1)m > f m > f r I(r)m. Portanto, S(r) = {r + m, r + m,..., r + I(r)m} {f r, f r m,..., f r (I(r) 1)m}. Agora, assumiremos que r f r mod m, e provaremos que um subconjunto admissíve U de S(r) é da forma, U = {r + (i + 1)m, r + (i + )m,..., r + I(r)m} {f r, f r m,..., f r (j 1)m} com i, j [0, I(r)] e i j. Por conveniência denotaremos {r + (i + 1)m, r + (i + )m,..., r + I(r)m} por A e {f r, f r m,..., f r (j 1)m} por B. Observe que se i = I(r) então A = e se j = 0 então B =.