Newton Maruyama. Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 1/4
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- Thomaz Moreira Fartaria
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1 Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência Newton Maruyama Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 1/4
2 Compensação por avanço de fase Função de Transferência: H(s)=K c α Ts+ 1 αts+ 1 =K c s+ 1 T s+ 1 αt (0<α<1) (1) zero:s= 1 T pólo:s= 1 αt 0<α<1 logo o zero sempre se encontra à direita do pólo Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 2/4
3 Gráfico polar A figura ilustra o gráfico polar de: H(jω)=K c α jωt+ 1 jωαt+ 1 (0<α<1) (2) comk c = 1 Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 3/4
4 Maior ângulo de avançoφ m Para um dado valor deαexiste o maior valor da fase deh(jω) que ocorre na freqüênciaω m : sinφ m = 1 α 2 1+α 2 = 1 α 1+α (3) Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 4/4
5 Diagrama de Bode A figura ilustra o diagrama de Bode parak c = 1 e α=0.1 Freqüências de cantoω= 1 T eω= 1 αt Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 5/4
6 Freqüênciaω m ω m é a média geométrica das frqüências de canto: logω m = 1 2 ( log 1 T + log 1 αt ) (4) Logo: ω m = 1 αt (5) Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 6/4
7 Um exemplo Suponha um sistema com a seguinte função de transferência em malha aberta: G(s)= 4 s(s+ 2) (6) Deseja-se projetar um controladorg c (s) tal que: A constante de erro de velocidade estático K v = 20seg 1 Margem de fase seja pelo menosγ= 50 o Margem de ganhok g > 10dB Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 7/4
8 Passo 1 - Ajuste de constante estático Considere: G c (s)=k c α Ts+ 1 αts+ 1 =K c s+ 1 T s+ 1 αt (0<α<1) (7) DefinaK=K c α Logo: G c (s)=k Ts+ 1 αts+ 1 (8) Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 8/4
9 Passo 1 - continuação... A função de transferência do sistema compensado pode ser expresso como: ondeg 1 (s)=kg(s) G c (s)g(s)=k Ts+ 1 G(s) αts+ 1 (9) = Ts+ 1 KG(s) αts+ 1 (10) = Ts+ 1 αts+ 1 G 1(s) (11) Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 9/4
10 Passo 1: continuação... No sistema em questão: G 1 (s)=kg(s)= 4K s(s+ 2) (12) ondek=k c α ProjeteK parak v = 20seg 1 K v = lim s 0 sg c (s)g(s)=lims Ts+ 1 αts+ 1 G 1(s) (13) = lim s 0 s4k s(s+ 2) = 2K= 20 K= 10 (14) (15) Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 10/49
11 Passo 2 - Margem de Fase do sistemag 1 (s) Diagrama de Bode G 1 (jω)= 40 jω+2 = 20 jω(0.5jω + 1) (16) Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 11/49
12 Passo 2: continuação... Da figura obtemosγ= 17 o ek g = Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 12/49
13 Passo 3 - Ânguloφ m A especificação pede que o sistema final tenha pelo menosγ= 50 o Ou seja, é necessário acrescentar 33 o Este ângulo adicional vai ser provido pelo máximo ângulo de avanço do controladorg c,φ m Ou seja, faremos com queω m coincida com a freqüência de crossoverω g Entretanto a freqüência de crossover final não permanece no mesmo local devido ao módulo de G c (s). Dessa forma, introduz-se aqui um fator de correção de 5 o (Porque este valor?) φ m = 33 o + 5 o Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 13/49
14 Passo 4: Cálculo deα Considerandoφ m = 38 o : sinφ m = 1 α 1+α α=0.24 (17) Devemos determinar a freqüênciaω m onde o módulo de G1 (jω) = 20 log α 1 db Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 14/49
15 Passo 4: continuação... Porque este valor? G c(jω) = 1+jωT 1+jωαT ωm = 1 αt (18) = 1 α 20 log 1 α db (19) A frqüênciaω m deve ser tal que G c(jω)g 1 (jω) =0dB (20) ou seja,ω m =ω g Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 15/49
16 Passo 4: continuação... 1 = 1 = 1 α (21) = 20 log 1 α = 6.2dB (22) No gráfico G 1 (jω) = 6.2dB ω g = 9rad/seg Ou seja, G 1 (jω g )G c (jω g) = 6dB+6.2dB=0dB (23) Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 16/49
17 Passo 5: Determinar o pólo e zero A nova freqüência de crossover ω g =ω m = 1/ αt = 9rad/seg Ou seja: Pólo: Zero: 1 T = αω g = 4.41rad/seg (24) 1 αt = 18.4rad/seg (25) Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 17/49
18 Passo 6: CalcularK c H(s)=K c s+ 1 T s+ 1 αt K c = K α = s =K c s =K cα 0.227s s+ 1 (26) = 41.7 (27) O controlador pode ser escrito como: G c (s)=41.7 s s = s s+ 1 (28) Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 18/49
19 Passo 7: Verificação Para efeitos do gráfico: G c (s) K G 1(s)= G c(s) 10 10G(s)=G c(s)g(s) (29) G c (s)g(s)=41.7 s s s(s+ 2) (30) Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 19/49
20 Passo 7: continuação... ω g mudou de 6.3rad/seg para 9rad/seg ω g ω c Sistema mais rápido Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 20/49
21 Passo 7: continuação... Resposta a degrau Resposta mais rápida porém mais oscilatória Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 21/49
22 Passo 7: continuação... Resposta a rampa Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 22/49
23 Compensação por atraso de fase Função de transferência: G c (s)=k c β Ts+ 1 βts= 1 =K c s+ 1 T s+ 1 βt β>1 (31) comoβ>1 o pólo esté sempre a direita do zero Gráfico polar Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 23/49
24 Diagrama de Bode No controlador por avanço de fase utilizamos como ponto de crosssoverω g o ponto de máximo avanço fase No controlador por atraso de fase utilizamos como ponto de crossoverω g um ponto onde o módulo do controladorg c (s) seja mínimo e a fase seja praticamente zero Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 24/49
25 Diagrama de Bode Diagrama de Bode parak c = 1.0 eβ=10 Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 25/49
26 Um exemplo Seja o seguinte sistema: G(s)= 1 s(s+ 1)(0.5s+ 1) (32) Projetar um controlador por atraso de fase tal que: K v = 5seg 1 Margem de faseγ 40 o margem de granhok g 10dB Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 26/49
27 Passo 1: Ajustar o ganhok K c β=k (33) G 1 (s)=kg(s)= K s(s+ 1)(0.5s+ 1) (34) K v = 5 (35) K v = lim s 0 sg c (s)g(s)=lim s 0 Ts+ 1 βts+ 1 G 1(s) (36) = lim s 0 sk s(s+ 1)(0.5s+ 1) K= 5 (37) Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 27/49
28 Passo 2: Verificação da margem de fase e de ganho G 1 (jω)= γ= 20 o ek g = 11dB 5 jω(jω+1)(0.5jωw+ 1) (38) Sistema instável Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 28/49
29 Passo 2: continuação... Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 29/49
30 Passo 3: Escolherω g Desejamosγ 40 o Vamos tentar definir qual seria a fase do sistemaφ num ponto ondeγ= 40 o Lembre-se que aqui desejamos utilizar a região do controladorg c (s) que tem ganho mínimo. Deve-se atentar ao fato que a fase do controlador no ponto escolhido nunca será zero o que pode provocar um deslocamento do ponto de crossoverω g Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 30/49
31 Passo 2: continuação... Receita de bolo: acrescentar de 5 o a 12 o como fator de compensação φ= 180 o +γ+fator de compensação=12 o = 128 o No gráfico temos,ω g = 0.5rad/seg para φ= 128 o (39) Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 31/49
32 Passo 3: Escolher as freq. de canto Para evitar os efeitos do atraso de fase o pólo e o zero devem estar localizados bem abaixo deω g A freqüência de cantoω=1/t é escolhida uma oitava ou uma década menor (Obs: quanto menor ω mais lento o sistema) Escolhamos:ω=1/T = 0.1rad/seg Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 32/49
33 Passo 4: Determinar o ganhoβ Determinar a atenuação necessária para que ω g = 0.5rad/seg No gráfico, obtemos atenuação de -20dB Da equação da assíntota de alta freqüência, obtemos: 20 log 1 β = 20 β=10 (40) Obtido o valor do ganhoβ, podemos obter a outra freqüência de canto: ω= 1 βt = 0.01rad/seg (41) Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 33/49
34 passo 5: Determinação do ganhok c K c = K β = 5 10 = 0.5 (42) Desta forma o sistema se torna, G c (s)g(s)= 5(10s+ 1) s(100s+ 1)(s+ 1)(0.5s+ 1) (43) Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 34/49
35 Passo 6: Verificação No gráfico, obtemosγ= 40 o ek g = 11dB além de K v = 5seg 1 Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 35/49
36 Passo 6: continuação Resposta a degrau: Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 36/49
37 Passo 6: continuação Resposta a rampa Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 37/49
38 Controlador por atraso-avanço Função de transferência G c (s)=k c s+ 1 T 1 s+ γ T 1 s+ 1 T 2 s+ 1 βt 2 γ,β>1 (44) Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 38/49
39 continuação... Avanço de fase: s+ 1 T 1 s+ γ T 1 = 1 γ T 1s+ 1 T 1 γ s+ 1 γ> 1 (45) Atraso de fase: s+ 1 T 2 s+ 1 βt 2 =β ( ) T2 s+ 1 βt 2 s+ 1 γ> 1 (46) Frequentemente utiliza-se γ = β Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 39/49
40 Gráfico Polar Gráfico polar parak c = 1 eγ=β Atraso 0<ω<ω 1, Avançoω 1 <ω< A freqüênciaω 1 é a freqüência onde a fase é nula ω 1 = 1 T1 T 2 Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 40/49
41 Diagrama de Bode Diagrama de Bode parak c = 1,γ=β=10 e T 2 = 10T 1 Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 41/49
42 Um exemplo Seja o seguinte sistema em malha aberta G(s)= K s(s+ 1)(s+ 2) (47) Projete um compensador tal que K v = 10seg 1 γ= 50 o K g 10dB Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 42/49
43 Solução ConstanteK c = 1 Avanço de fase: s+ 1 T 1 s+ γ T 1 = Atraso de fase: s+ 0.7 s+ 7 = s s+ 1 (48) s+ 1 T 2 s+ 1 βt 2 = s s = s s+ 1 (49) Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 43/49
44 Verificação Diagrama de Bode:γ= 50 o ek g = 16dB Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 44/49
45 Verificação Resposta a degrau Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 45/49
46 Verificação Resposta a rampa Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 46/49
47 Resumo: avanço de fase Utiliza o avanço de fase para aumentar a margem de estabilidade Permite maior freqüência de crossoverω g ou seja maior freqüência de corteω c ou seja maior largura de bandab w SeB w aumenta então o tempo de subidat r e o tempo de assentamentot s são menores A maior largura de banda permite passar ruídos de alta freqüência É necessário em geral aumentar o ganho devido as características atenuantes do controlador por avanço de fase Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 47/49
48 Resumo: atraso de fase Reduz o ganho em altas freqüências sem reduzir o ganho em baixas freqüências, o que permite reduzir o erro estático Menor freqüência de crossoverω g o que resulta numa largura de bandab w menor Largura de bandab w é menor o que resulta num sistema mais lento Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 48/49
49 Características no tempo Projeto de Controladores No Domínio Da Freqüência p. 49/49
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