USO DO SCILAB PARA REALIZAÇÃO EM COMPUTADOR DE UM PROJETO DE UM COMPENSADOR DE AVANÇO

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1 João Baptista Bayão Ribeiro USO DO SCILAB PARA REALIZAÇÃO EM COMPUTADOR DE UM PROJETO DE UM COMPENSADOR DE AVANÇO Rio de Janeiro 2014

2 2 ÍNDICE USO DO SCILAB PARA REALIZAÇÃO...1 EM COMPUTADOR DE UM PROJETO...1 DE UM COMPENSADOR DE AVANÇO...1 SUMÁRIO...3 REQUISITOS DO PROJETO...4 LISTAGEM RESULTADOS...9 Resposta ao Degrau...9 Outras Saidas da Listagem

3 3 USO DO SCILAB PARA REALIZAÇÃO EM COMPUTADOR DE UM PROJETO DE UM COMPENSADOR DE AVANÇO SUMÁRIO Este documento apresenta um programa escrito para o Scilab que executa em computador um projeto de um compensador de avanço a ser empregado no caminho direto de um sistema de realimentação unitária com G(s)=a/s(s+b). O raciocínio do procedimento é justificado através da noção do Lugar das Raízes (LR), que fornece uma noção muito intuitiva sobre os procedimentos utilizados. A listagem Exemplo7_1 resolve computacionalmente o problema, utilizando o software Scilab. A idéia é que todos os passos do projeto sejam realizados pelo computador, não apenas o traçado das curvas de resposta ao degrau.

4 4 REQUISITOS DO PROJETO A Figura 1 apresenta um sistema com realimentação não compensado, onde um compensador analógico no caminho direto será empregado para satisfazer certos requisitos de projeto, conforme a metodologia empregada pelo Ogata no Cap.7 do livro Engenharia de Controle Moderno 3 ª Edição, baseada no Lugar das Raizes (LR). O sistema compensado está representado na Figura 2. O caminho de realimentação, que está representado pelo sensor H(s), será suposto com realimentação unitária. Portanto neste documento, H(s)=1. Deseja-se modificar os polos a malha fechada do sistema de realimentação unitária da Figura 1, tal que a frequência natural do sistema compensado seja ω nd.>ω n do sistema original. O coeficiente de amortecimento não deve ser modificado pelo compensador. Isto significa que o sistema compensado deve ser mais rápido do que o sistema não compensado, mantendo porém a mesma porcentagem de sobretensão. Para uma função de transferência da planta do sistema original G(s)=a/s(s+b), o Quadro 1 abaixo apresenta como exemplo 10 conjuntos de valores que podem ser usados como exemplos de entradas na Listagem 7.1. Outros valores, podem ser empregados, desde que se adequem às condições para as quais o programa foi idealizado. Quadro 1 Conjun to a b wnd C C R wnd: frequência natural desejada C1 e C2 em Farads R3 em ohms

5 5 Figura 1 Figura 2

6 6 LISTAGEM 7.1 //Projeto compensador avanço utillizando LR. Exemplo 7.1 //Sistema de realimentação unitária i=sqrt(-1); pi=4*atan(1); 'funçao de transferencia no caminho direto sistema nao compensado' s=poly(0,'s') G=4/(s*(s+2)) 'funçao de transferencia de enlace fechado do sistema nao compensado' TT=G/(1+G) ' polos do sistema nao compensado' den=denom(tt); [p_nc]=roots(den)' ' frequencia natural e fator de amortecimento do sistema não compensado' wn=sqrt(real(p_nc(1))^2+imag(p_nc(1))^2) zeta=(-real(p_nc(1))/wn) ' angulo do lugar geometrico dos pontos no plano s com fator de amortecimento zeta (reta radial)' teta=acos(zeta)*180/pi ' frequencia natural desejada (valor de projeto)' wnd=4 ' polos dominantes desejados' realp_d=-zeta*wnd; imagp_d=wnd*sqrt(1-zeta^2); p_d=realp_d+i*imagp_d; p_d_c=realp_d-i*imagp_d; [polos_dom]=[p_d p_d_c] ' angulo de avanço necessario (em graus)' G_p_d=horner(G,p_d); fi=-atan(imag(g_p_d)/real(g_p_d))*180/pi ' polo do compensador' gama=(180-teta)/2-fi/2;

7 7 realp_c=-(imagp_d/tan(gama*pi/180)-realp_d) ' zero do compensador' gama1=(180-teta)/2+fi/2; realz_c=-(imagp_d/tan(gama1*pi/180)-realp_d) ' parametros do compensador' T=1/(-realz_c) alfat=1/(-realp_c) ' ganho do compensador' s=[-realz_c 1]; numgc=poly(s,'s','coeff'); s=[-realp_c 1;]; dengc=poly(s,'s','coeff'); Kc=abs(1/horner(((numgc/dengc)*G),p_d)) 'funçao de transferencia do compensador' Gc=Kc*numgc/dengc 'projeto eletronico' C1=10*1e-6 C2=C1 R3=10*1e3 R1=T/C1 R2=alfaT/C2 R4=Kc*R3*C2/C1 'funçao de transferencia do sistema compensado' TGcG=Gc*G/(1+Gc*G) 'polos da funçao de transferencia compensada' roots(denom(tgcg)) 'polo adicional' s=poly(0,'s'); pp3=real((s-p_d)*(s-p_d_c)); polo_adic=roots(numer(denom(tgcg)/pp3)) ' funçao de transferencia no caminho direto' GcG=Gc*G ' constante de erro' // kp=horner(gcg,0)

8 8 kv=horner(s*gcg,0) // ka=horner(s^2*gcg,0) ' resposta ao degrau' s1=tf2ss(tt); s2=tf2ss(tgcg); t=0:0.05:5; xset("window",0); y=csim('step',t,s1); y1=csim('step',t,s2); plot(t',[y1' y']) xgrid

9 9 RESULTADOS Resposta ao Degrau Figura 3 A Figura 3 apresenta o resultado da simulação, gerado pelo programa. Corresponde à saida de 'resposta ao degrau', última parte da listagem acima apresentada. A curva em verde corresponde à saida do sistema não compensado, e a curva em azul à saida do sistema compensado. Observe que o sistema compensado é mais rápido, porém mantém praticamente a mesma sobretensão que o sistema não compensado. Esta Figura 3 foi obtida pela Listagem 7.1, usando-se os valores constantes do Ogata no Cap.7 do livro Engenharia de Controle Moderno 3 ª Edição Exemplo7.1, pág.344.

10 10 Outras Saidas da Listagem 7.1 Para efeito de validação do valores encontrados, comparamos com os valores constante do Exemplo 7.1 do Ogata (Engenharia de Controle Moderno 3ª Edição). Nota-se que o Ogata usou um método gráfico para cálculo dos valores, o que fatalmente leva a aproximações piores do que as obtidas no cálculo numérico via computador. 1-funçao de transferência de enlace fechado do sistema não compensado G= 4 2s+s 2 G= 4 2s+s 2 2-polos do sistema não compensado não calculado pelo Ogata p_nc = i i 3-frequência natural e fator de amortecimento do sistema não compensado wn = 2. zeta = 0.5 wn = 2 ζ = polos dominantes desejados polos_dom = i i s= 2± j2 (3) = i i 5-ângulo de avanço necessário (em graus) fi = º

11 11 6-polo do compensador realp_c = zero do compensador realz_c = parametros do compensador T = alfat = T=0.345 αt= ganho do compensador Kc = K c = funçao de transferência do compensador Gc= s =4,73 s+2, s s+5,4 Gc=4,68 s+2.9 s projeto eletrônico do compensador Ogata C1 = μF C2 = μF

12 12 R3 = K R1 = ,5K R2 = ,5K R4 = ,8K 12-função de transferência do sistema compensado não calculado pelo Ogata s TGcG= s s 2 +s 3 13-polos da função de transferência compensada i i j = 2+ j2 (3) -2-j = 2 j2 (3) polo adicional polo_adic = constante de erro do sistema compensado kv = K v =5,04 Vê-se que os valores obtidos no cálculo numérico via computador são bem razoáveis. Conclui-se que a rotina está funcionando corretamente. A Figura 4 apresenta um esquema eletrônico para o compensador, que corresponde aos valores da saida 11 da listagem.

13 13 Figura 4