Elementos de Cálculo I- Notas de Aulas I Conjuntos e Introdução à Geometria Analítica. Prof Carlos Alberto Santana Soares

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1 Elementos de Cálculo I- Notas de Aulas I Conjuntos e Introdução à Geometria Analítica 1 Prof Carlos Alberto Santana Soares 019

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3 3 Sumário Sumário 3 1 Conjuntos Preliminares Conjuntos Numéricos e Relação de Pertinência Subconjuntos, Igualdade e a Relação de Inclusão Operações com conjuntos União e Intersecão Diferença e Complementar Produto Cartesiano Conjunto Universo e Diagrama de Venn Conjunto Universo Diagrama de Venn Eercícios Resposta dos Eercícios Retas e Circunferências 17.1 Preliminares O Plano Cartesiano e o Ponto Distância entre dois pontos Condição para três pontos estarem alinhados Eercícios Equações da Reta Determinação de uma reta - Coeficiente Angular A Equação Geral da Reta A equação reduzida da reta

4 4 SUMÁRIO..4 A equação segmentária da reta Retas paralelas e retas perpendiculares Distância de Ponto a Reta Eercícios Circunferência Conceitos Iniciais Posição de um ponto em relação à uma circunferência Posição de uma reta em relação a uma circunferência Eercícios Resposta dos Eercícios Breve Estudo das Cônicas Parábolas Conceito e Elementos Caracterização das Parábolas de diretriz horizontal ou vertical Eercícios Elipses Conceito e Elementos Elipse de eio maior horizontal ou vertical Eercícios Hipérbóles Conceito e Elementos Hipérbole de eio real horizontal ou vertical Eercícios Resposta dos Eercícios Referências Bibliográficas 81

5 5 Capítulo 1 Conjuntos 1.1 Preliminares Neste curso, não temos a pretensão de apresentar a teoria de conjuntos e seus aiomas, tão somente pretendemos apresentar um pequeno esboço de forma a dispormos de uma linguagem razoável para o restante do curso. Desta forma, quando nos referirmos a um conjunto estaremos pensando em uma coleção de objetos, ditos elementos do conjunto. Seguindo a tradição, conjuntos serão indicados por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas. Assumiremos, ainda, suficientemente conhecidas, as noções de conjuntos finitos e infinitos Conjuntos Numéricos e Relação de Pertinência Iniciamos destacando os chamados conjuntos numéricos, conjuntos estes que serão constantemente utilizados ao longo deste curso, quais sejam: 1. Conjunto dos números naturais. Conjunto dos números inteiros 3. Conjunto dos números racionais N = {1,, 3,...} Z = {...,, 1, 0, 1,, 3,...} Q = { } p ; p, q Z com q 0 q com a relação m n = p q mq = np. 4. Conjunto dos números reais, representado por R

6 6 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Lembramos que todo número real possui uma representação decimal e que os números racionais são eatamente aqueles números reais que possuem representação decimal finita ou periódica, as chamadas dizímas peíódicas. Já os números irracionais são aqueles números reais que não possuem representação decimal periódica, tais como π = 3, , = 1, , 3 = 1, e e =, Note que apresentamos os conjuntos N e Z listando seus elementos entre chaves, separados por vírgula. Esta é uma forma muito simples e conveniente de representarmos um conjunto, principlamente se este for finito. Já ao apresentarmos o conjunto dos números racionais, o fizemos através de uma propriedade que caracteriza seus elementos. Geralmente, estas duas formas são as mais utilizadas para representarmos ou introduzirmos um conjunto. Vale recordar que, fiado um conjunto A, se é um elemento deste conjunto, indicaremos, Note que A ( pertence à A). A é elemento de A. Ressaltamos que, se não é elemento de um conjunto A, anotaremos, / A. Eemplo Seja A o conjunto de todos os números naturais ímpares. Poderíamos, ainda, escrever A = { N; é ímpar } ou representar A = {1, 3, 5, 7,...}. Note que, sendo A um conjunto infinito, a representação listando seus elementos pode ser utilizada desde que não haja risco de ambiguidade, já que utilizamos as reticências. Salientamos que o sinal ;(ponto e vírgula) quando usado para definir um conjunto, entre chaves, tal como no eemplo anterior, é equivalente ao uso do sinal (tal que). Desta forma, podemos representar o conjunto do eemplo anterior por A = { N é ímpar }. Eemplo 1.1. (a) Sendo um número natural, podemos escrever N. Temos, ainda, 0 / N, mas 0 Z. (b) Sabemos que o conjunto R possui números racionais e números irracionais e, portanto, temos, por eemplo, / Q, π / Q, mas R e π R. Eemplo (O Conjunto Vazio) Seja o conjunto B = { R, = 1}. Sabemos que não eiste número real que elevado ao quadrado seja igual a 1 e, portanto, B é um conjunto que não possui elemento. Nos referiremos a tal conjunto como conjunto vazio, isto é, vazio é o conjunto que não possui elemento. Utilizaremos o símbolo para representar o conjunto vazio. IMPORTANTE: Salientamos que, neste curso, utilizaremos os símbolos,, φ ou análogos, unicamente para indicar o conjunto vazio e nunca o algarismo ou número 0(zero)

7 1.1. PRELIMINARES Subconjuntos, Igualdade e a Relação de Inclusão Eemplo Consideremos os conjuntos A = {1,, 3, 4, 5}, B = {1, }, C = { Q; = 5} e D = { R; = 5}. Observe que: 1) A possui eatamente 5 elementos, B possui eatamente dois elementos, C não possui elementos e D possui eatamente dois elementos. Claramente, podemos escerever: 1 A, 5 D, C =. ) Os dois elementos de B são também elementos de A, que será indicado por B A. Formalmente, temos a definição. Definição Diremos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se todo elemento de A é também elemento de B. Neste caso, escreveremos A B(A está contido em B). Eemplo É claro que N Z Q R. Vale destacar os seguintes subconjuntos de R, chamados intervalos. Sendo a < b números reais, temos: 1)[a, b] = { R; a b} )[a, b[ = { R; a < b} 3)]a, b] = { R; a < b} 4)]a, b[ = { R; a < < b} 5)], b] = { R; b} 6)], b[ = { R; < b} 7)[a, [= { R; a } 8)]a, [ = { R; a < } 9)], [ = R ATENÇÃO: Quando se referir a um conjunto esteja certo de que tal conjunto está bem definido. Por eemplo, considere o conjunto: A = {; 1 3}. Note que o conjunto não está bem definido, isto é, não sabemos eatamente a qual conjunto nos referimos, isto é, A = [ 1, 3]? A = 1, 0, 1,, 3? A? A definição que temos do conjunto A não nos permite responder tais perguntas, ou seja, não conhecemos realmente o conjunto A nem mesmo quanto elementos temos em A. Observe que temos quatro conjutos diferentes abaio: B = {; N sendo 1 3} C = {; Z sendo 1 3} D = {; Q sendo 1 3} E = {; R sendo 1 3} Note que B = {, 3}(conjunto finito); C = { 1, 0, 1,, 3}(conjunto finito) D é um conjunto infinito, mas somente com números racionais, por eemplo, D E é um conjunto infinito, mas com números racionais e irracionais, por eemplo, E, π E. Temos, ainda, E = [ 1, 3]. 4

8 8 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Ressaltamos que se um conjunto A não é subconjunto de um conjunto B, isto é, se eiste pelo menos um elemento em A que não está em B, escreveremos A B(A não está contido em B). Observação Qualquer que seja o conjunto A temos A.. Qualquer que seja o conjunto A temos A A. 3. Diremos que um conjunto A é subconjunto próprio de um conjunto B se A é subconjunto de B, mas não é todo o conjunto B. Neste caso, escreveremos A B. 4. Dois conjuntos A e B serão ditos iguais (A = B), se todo elemento de A é elemento de B e todo elemento de B é elemento de A. De outra forma, temos, A = B A B e B A ( A B). 5. Se um conjunto A possui k elementos, escreveremos, card(a) = k ou n A = k. 6. É possivel mostrar que se um conjunto A possui k elementos, então o total de subconjuntos de A, incluindo o conjunto vazio e o próprio A, é dado por k. Temos, ainda, que o total de subconjuntos de A com eatamente j elementos é dado por k! j!(k j)!.1 Eemplo Seja A = {1,, 3, 4, 5}. Como A possui 5 elementos, A possui um total de 5 5! subconjuntos. Temos que A possui = 10 subconjuntos com 3 elementos. 3!(5 3)! Eemplo Eiste um conjunto finito A com eatamente 71? subconjuntos? Se tal conjunto A eiste, devemos ter card(a) = 71. Mas, temos, e, daí, tal conjunto não eiste. 9 = 51 < 71 < 10 = Operações com conjuntos 1..1 União e Intersecão Definição 1..1 Dados dois conjuntos A e B, definimos a interseção entre A e B como o conjunto cujos elementos são os elementos comuns aos conjuntos A e B. Indicaremos tal conjunto por A B. Em outras palavras, temos, A B = {; A e B}. 1 Lembramos que 0! = 1! = 1 e n! = n.(n 1).(n )... 3., n N.

9 1.. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 9 Definição 1.. Dados dois conjuntos A e B, definimos a união entre A e B como o conjunto cujos elementos são todos os elementos que estão em pelos menos um dos conjuntos A ou B. Indicaremos tal conjunto por A B. Em outras palavras, temos, A B = {; A ou B}. Eemplo 1..3 Consideremos os conjuntos A = {1,, 3} e B = { 1,, 3}. Então, temos: A B = {, 3} e A B = {1, 1,, 3}. Ressaltamos que dois conjuntos A e B serão ditos disjuntos se A B =. Não é difícil perceber que, sendo A e B conjuntos finitos, temos n A B = n A + n B n A B. 1.. Diferença e Complementar Definição 1..4 Dados dois conjuntos A e B, definimos a diferença entre A e B como o conjunto cujos elementos são os elementos que estão em A mas não estão em B. Indicaremos tal conjunto por A B ou A\B. Em outras palavras, temos, A B = A\B = {; A e / B}. Eemplo 1..5 Consideremos os conjuntos A = {1,, 3}, B = { 1,, 3} e C = {, 1, 0}. Então, temos: 1)A\B = {1} )B\A = {1} 3)B\C = B 4)C\B = C. Note que B e C são disjuntos! Observação 1..6 Se A B, então a diferença B A será dita o complementar de A em (relação a) B e, neste caso, tal conjunto será indicado por A B, isto é, A B = B\A A B. Eemplo 1..7 Consideremos os conjuntos A = {1,, 3}, B = {1, 1,, 0, 3, } e C = {0,, 3}. Então, temos: C B Como A B, teremos, A B = B\C = {1, 1, }. = B\A = { 1, 0, }. Temos, ainda, C B e, portanto, Note que C\A = {0}, mas não podemos escrever A C = C\A posto que A C só teria sentido se A C. Observação 1..8 Note que, sendo A, B conjuntos tais que A B, então B \ (A B) = B \ A, isto é, A B B = A B.

10 10 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS 1..3 Produto Cartesiano Você, certamente, já está familiarizado com a noção de par ordenado e, daí, temos a definição. Definição 1..9 Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B como o conjunto cujos elementos são todos os pares ordenados onde a primeira coordenada é um elemento de A e a segunda é um elemento de B. Indicaremos tal conjunto por A B. Em outras palavras, temos, A B = {(, y); A e y B}. Ressaltamos que, muitas vezes, indicaremos o conjunto A A por A. Eemplo Sendo A = {1, 1}}, teremos A A = {(1, 1), (1, 1), ( 1, 1), ( 1, 1)}. Eemplo Temos R = R R. Ressaltamos que, se A e B são conjuntos finitos, então car(a B) = car(a).car(b). 1.3 Conjunto Universo e Diagrama de Venn Conjunto Universo Muitas vezes, quando trabalhamos com conjuntos, é conveniente considerarmos todos os conjuntos como subconjuntos de um conjunto maior U denominado conjunto universo. Por eemplo, em geometria plana, podemos considerar como conjunto universo o plano, já que todos os objetos de estudo estão contidos no plano. Quando desenvolvemos uma teoria e desejamos admitir certo conjunto como conjunto universo isto deve ser especificado. Quando o conjunto universo U está fiado e A U indicamos a diferença U A ou o complementar de A em U por A c ou A. Bem entendido, A c ou A é o conjunto dos elementos do conjunto universo que não estão em A. Eemplo Sendo U = N, A = {; N e 1 5} e B = {1,, 3, 4}, teremos: A c = {6, 7,...}, B c = {; N e 5} Eemplo 1.3. Sendo U = R, A = {; R e 1 5} e B = {1,, 3, 4}, teremos: A c =], 1[ ]5, [, B c = {; R e 1 e e 3 e 4}

11 1.3. CONJUNTO UNIVERSO E DIAGRAMA DE VENN Diagrama de Venn Para resolvermos certos eercícios pode ser conveniente utilizarmos os chamados Diagramas de Venn. Neste tipo de diagrama os conjuntos são representados por regiões planas interiores a uma curva fechada, geralmente círculos. Ao utilizar estes diagramas, é usual representar o conjunto universo, quando especificado, por um retângulo e, daí, todos os outros conjuntos estarão no interior deste retângulo. Na figura a seguir, temos representados os conjuntos A, B e C subconjuntos do conjunto universo U. A. B.. C U Figura 1.1 Abaio, temos representados três conjuntos A, B e C e regiões 1,, 3, 4, 5, 6 e 7 assinalando, respectivamente, os conjuntos A B C, (A B)\C, (B C)\A, (A C)\B, C\(A B), A\(B C) e B\(A C). Observe! Note que (A B)\C = 6, e 7 (A C)\B = 6, 4 e 5 (B C)\A = 5, 3 e Eercícios 1. Sendo A = {1,, 4, 6, 9}, determine quais alternativas abaio são verdadeiras ou falsas. (a)4 A (b)4 A (c){, 9} A (d){, 9} A (e){4} A (f){4} A (g) A (h) A (i){, 5} A (j){1,, 7} A (k)n Z (l){, 1} A (m){, 1} A (n){1,, 4, 9, 6}é subconjunto dea (o){1,, 4, 9, 6}é subconjunto próprio dea. (a) Eibir um eemplo, se possível, de um conjunto finito A tal que card(p(a)) = 104. Se acredita que tal eemplo não eiste, justifique! (b) Eibir um eemplo, se possível, de um conjunto finito A tal que card(p(a)) = 100. Se acredita que tal eemplo não eiste, justifique!

12 1 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS A B C Figura Sendo A = {{4, 6}, {1, 3, 5}, {9}} e B = {{8}, {3, 6}, }, determine quais alternativas abaio são verdadeiras ou falsas. (a){4, 6} A (b){4, 6} A (c)4 A (d)9 A (e){9} A (f){9} A (g) A (h) B (i) A (j) B (k){{4, 6}, {1, 5, 3}} A (l){{4, 6}} A (m){ } A (n){ } B 4. Considere o conjunto X = { 1, 0, 1,, 5, 6, 7, 8, }. (a) Quantos subconjuntos o conjunto X possui? (b) Quantos subconjunto com 4 elementos o conjunto X possui? 5. Sendo A, B conjuntos tais que n A B = 38, n A B = 1 e n B = 15, determine n A. 6. Os conjuntos A = { N; < 4} e B = { R; = 0} são iguais? Justifique! 7. Sendo B = { R; 0 < < 5} e A = { R; 1 < 7}, determine: (a) A B (b) B A ( Se possível, use intervalos para escrever sua resposta! ) 8. Sendo A = [, 5[ e B =]3, 7[, determine: (a) A B (b) A B (c) A B (d) C A R

13 1.3. CONJUNTO UNIVERSO E DIAGRAMA DE VENN Os conjuntos A = { R; < 4} e B = { N; = 0} são iguais? Justifique! 10. Os conjuntos A = { R; < } e B = { R; < } são iguais? Justifique! 11. Determine: (a)[4, 7] [6, 9] (b)[4, 7] [6, 9] (c)[ 3, [ [ 8, ] 1. Sejam A = { R; 3 < 1}, B = [ 1, [ e C =], 5 [. Determine: 4 (a)a B C (b)(a B) C (c)(a B) C (d)b C 13. Sendo A = [ 1, ], B = [, 3 ], C =] 1, 3 ], determine: 4 (a)a B C (b)(a B)\C 14. Sendo A = {1, {1}} e B = {, { }}, determine: (a) A (b) B (c) A B (d) B A 15. Analisando-se as carteiras de vacinação das 84 crianças de uma creche, verificou-se que 68 receberam vacina Sabin, 50 receberam vacina contra sarampo e 1 não foram vacinadas. Quantas dessas crianças receberam as duas vacinas? 16. Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto U tais que: card(u) = 5, card(a) = 0, card(a C) = 8, card(a B C) = 3, card(b C) = 9, card(a B C) = 45, card(a B) = 7 e card(b A) = 15. Determine: a)card(b) (b)card(a B) (c)card(c) (d)card(u (A B C)) 17. É verdade que para quaisquer dois conjuntos finitos A e B temos card(a B) = card(a) card(b)? Justifique! 18. Dê eemplo, se possível, de dois conjuntos finitos não vazios A e B tais que card(a B) = card(a) + card(b). Caso acredite não ser possível eibir tal eemplo, justifique! 19. Dê eemplo, se possível, de dois conjuntos finitos não vazios A e B tais que card(a B) = card(a) + card(b) e A B φ. Caso acredite não ser possível eibir tal eemplo, justifique! 0. Em uma esscola, cujo total de alunos é 600, foi feita uma pesquisa sobre os refrigerantes que os alunos costumam beber. Os resultados foram: 300 alunos bebem o refrigerante A, 0 alunos bebem os refrigerantes A e B e 100 alunos não bebem A nem B. Pergunta-se: (a) Quantos alunos bebem apenas o refrigerante A? (b) Quantos bebem apenas o refrigerante B? (c) Quantos bebem B? (d) Quantos bebem A ou B? 1. Sejam A,B,C conjuntos tais que: n A B C = 8, n A B = 15, n A C = 0, n B C = 4, n C = 50, n B = 60 e n A B C = 19. Determine: (a) n A (b) n B A (c) n C A (d) n A B (e) n (A B) C (f) n A C

14 14 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS. Para cada item abaio, repita o diagrama a seguir e sombreie as regiões pedidas. A. B.. C U (a) A C (b) A B C (c) A B (d) A (e) B c (f) (A B) (A C) (B C) (g) (B C) A (h) ((A B) C)

15 1.4. RESPOSTA DOS EXERCÍCIOS Resposta dos Eercícios Seção 1.3.3, página (a)v (b)f (c)f (d)v (e)f (f)v (g)f (h)v (i)f (j)v (k)f (l)v (m)f (n)v (o)f. (a) A = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (b) Não eiste, pois não temos um número natural n tal que n = (a)v (b)f (c)f (d)f (e)f (f)v (g)v (h)v (i)f (j)v (k)v (l)v (m)f (n)v 4. (a)56 (b) Sim, pois A = {, 3} e B = {, 3}. 7. (a) ]5, 7] (b) ]0, 1] 8. (a)[, 7[ (b)]3, 5[ (c)[, 3] (d)], [ [5, [ 9. Não pois, por eemplo, 5/ A mas 5/ / B 10. Não pois, por eemplo, A mas / B 11. (a)[4, 9] (b)[6, 7] (c)[ 3, ] 1. (a)[ 1, 1[ (b)[ 3, 5/4[ (c) (d)[ 1, 5/4[ 13. (a)[1/, 3/4] (b)]3/4, 3/] 14. (a) A = {(1, 1), (1, {1}), ({1}, 1), ({1}, {1})} (b) B = {(, ), (, { }), ({ }, ), ({ }, { })} (c) A B = {(1, ), (1, { }), ({1}, ), ({1}, { })} (d) B A = {(, 1), (, {1}), ({ }, 1), ({ }, {1})} 16. (a) (b)35 (c)4 (d)7 17. Não, por eemplo, tome A = {1, } e B = {3, 4}. Teremos card(a B) = e card(a) card(b) = A = {1} e B = {}

16 16 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS 19. Não eiste tal eemplo, pois card(a B) = card(a)+card(b) card(a B) e, portanto, só podemos ter card(a B) = card(a)+card(b) se card(a B) = 0, isto é, A B =. 0. (a)80 (b)00 (c)0 (d) (a)70 (b)45 (c)30 (d)55 (e)7 (f)115. Numerando as regiões como na figura abaio A B C 5 8 U teremos: (a)1 e 4 (b)1 (c)6 e 4 (d)5, 3, 7 e 8 (e)6, 4, 5 e 8 (f)1,, 4 e 3 (g)3 (h), 7 e 8.

17 17 Capítulo Retas e Circunferências.1 Preliminares.1.1 O Plano Cartesiano e o Ponto Você, certamente, está familiarizado com o plano cartesiano desde o ensino fundamental. Neste início do curso de Elementos de Cálculo I, estaremos interessados em estudar conjuntos de pontos no plano cartesiano e suas respectivas representações gráficas. Observe abaio a representação de um sistema de coordenadas onde estão assinalados alguns pontos de coordenadas inteiras. 4 y Figura.1 A seguir, na Figura., temos a representação de um sistema de coordenadas, onde no eio estão assinalados alguns pontos onde a abscissa é múltipla de π/. Este tipo de representação é muito conveniente quando estamos trabalhando com funções trigonométricas. Note que a escala é a mesma nos eios e y!

18 18 CAPÍTULO. RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS 4 y 3 1 3π π π 1 π π 3π 3 4 Figura. Observação.1.1 (O número π) Ainda que seja redundante, lembramos que o número π é um número irracional, isto é, sua representação decimal é infinita e não periódica. Na prática, quando desejamos trabalhar com este número, devemos aproimá-lo por um número real de representação decimal finita, por eemplo, uma aproimação seria π Como falado no início, nosso objetivo é estudar conjuntos de pontos no plano e suas representações. Com certeza, os conjuntos mais simples são aqueles formados por uma único ponto. Vejamos alguns. Eemplo.1. Seja Γ = {(1, )}. Ainda que você não tenha dúvidas de como representar tal conjunto no plano, na Figura.3 temos sua representação. 4 y Figura.3

19 .1. PRELIMINARES 19 Recordamos que, para um ponto P (, y), teremos (abscissa) indicando a distância do ponto ao eio y e y(ordenada) indicando a distância do ponto ao eio. Um ponto P (, y) pertence ou está no: 1. Primeiro quadrante se, e somente se, > 0 e y > 0. Segundo quadrante se, e somente se, < 0 e y > 0 3. Terceiro quadrante se, e somente se, < 0 e y < 0 4. Quarto quadrante se, e somente se, > 0 e y < 0 Abaio temos os pontos P, Q, M e N respectivamente no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrantes. y P Q N M Figura.4 Eemplo.1.3 (Bissetrizes dos quadrantes) Neste eemplo, destacamos dois conjuntos de pontos no plano, a bissetriz dos quadrantes pares(b P ) e a bissetriz dos quadrantes ímpares(b I ) definidos por B P = {(, ); R} B I = {(, ); R}, isto é, a bissetriz dos quadrantes pares é o conjunto de todos os pontos (, y) tais que = y ou y = e a bissetriz dos quadrantes ímpares é o conjunto de todos os pontos (, y) tais que = y. Eemplo.1.4 Seja β o conjunto. β = {(, + 1), N} É claro que β = {(1, ), (, 3),...}

20 0 CAPÍTULO. RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS e, daí, podemos fazer somente representações de β plotando uma quantidade finita de pontos. Quantos pontos plotar, dependerá do objetivo. Geralmente, marcamos pontos que, de alguma forma, evidenciem o conjunto estudado, neste caso, β. Observe a figura.5. 4 y Figura.5.1. Distância entre dois pontos Considere dois pontos P (a, b) e Q(c, d) no plano. Como determinar a distância entre estes dois pontos? È simples, utilizando o teorema de Pitágoras e observando a Figura.6, verificar que tal distância, indicada por D P Q, será dada por. D P Q = (a c) + (b d) Recordamos que um ponto P é dito equidistante de dois outros pontos A e B se D P A = D P B. Vejamos alguns eemplos. Eemplo.1.5 Determine a distância entre os pontos P (3, 1) e Q(1, 0). Solução.1.6 D P Q = (3 1) + (1 0) = 5. Eemplo.1.7 Calcule o perímetro do triângulo cujos vértices são A(, ), B(5, 4) e C(3, 6). Solução.1.8 Como o perímetro de um triângulo é a soma dos seus lados, inicialmente, calculemos os lados do triângulo. Teremos, então: D AB = ( 5) + ( 4) = 13 D AC = ( 3) + ( 6) = 17 D BC = (5 3) + (4 6) = 8.

21 .1. PRELIMINARES 1 y b P D d Q c a Figura.6 Logo, perímetro= Eemplo.1.9 Determine o ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares que é equidistante dos pontos A( 1, 4) e B(4, 3). Solução.1.10 Sabemos que qualquer ponto pertencente à bissetriz dos quadrantes ímpares é do tipo (, ) logo, seja P (, ) o ponto procurado. Como P deve ser equidistante de A e B, devemos ter D P A = D P B, isto é, ( + 1) + ( + 4) = ( 4) + ( 3). Elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade vem Desenvolvendo, teremos o que nos leva a ( + 1) + ( + 4) = ( 4) + ( 3) = Logo, o ponto procurado é P (1/3, 1/3). 4 = 8 = 1/3. Observação.1.11 Dados dois pontos A e B, indicaremos por AB o segmento de reta que une os pontos A e B. É simples verificar que sendo A( 0, y 0 ) e B( 1, y 1 ), o ponto médio do segmento AB será o ponto M( 0+ 1, y 0+y 1 ). Eemplo.1.1 Determine o ponto médio do segmento AB, sendo A( 1, 3) e B(, 5). Solução.1.13 Pela observação acima, temos ( 1 + M, 3 + ( 5) ) = (1/, 1). 1 Note que não é verdade que =

22 CAPÍTULO. RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS.1.3 Condição para três pontos estarem alinhados Definição.1.14 Três pontos são ditos alinhados se eiste uma reta l que os contenha, isto é, se estão sobre uma mesma reta l. Dados três pontos Q(a, b), P (c, d) e R(e, f), queremos determinar condições para que estes três pontos estejam alinhados. Trataremos separadamente 3 casos. Caso 1: Eistem dois dos pontos dados com a mesma abscissa. Neste caso, a reta que passa por estes dois pontos é uma reta vertical e os três pontos estarão alinhados se, e somente se, o terceiro ponto pertence a esta reta vertical, isto é, se, e somente se, o terceiro ponto possuir a mesma abscissa dos outros dois. Caso : De maneira análoga, suponhamos eistirem dois dos pontos dados com a mesma ordenada. Neste caso a reta que passa por estes dois pontos é uma reta horizontal e os três pontos estarão alinhados se, e somente se, o terceiro ponto pertence a esta reta horizontal, isto é, se, e somente se, o terceiro ponto possuir a mesma ordenada dos outros dois. Caso 3: Dentre os três pontos dados não eistem dois com a mesma abscissa ou mesma ordenada. Neste caso, observando a figura a seguir, vemos que os três pontos estão alinhados se, e somente se, α = β ou ainda, tg α = tg β. y d P f R α b Q β a e c Figura.7 f b e a Então, observando os triângulos de hipotenusas QR e RP temos, respectivamente, tg β = d f e tg α =. Logo, devemos ter c e f b e a = d f c e. Reciprocamente, se f b = d f, então os ângulos assinalados serão iguais e os três pontos e a c e estarão alinhados. Logo, temos, neste caso, Q, P, R estarão alinhados f b e a = d f c e.

23 .1. PRELIMINARES 3 Eemplo.1.15 Os pontos A(1, 1), B(3, ), C(5, ) estão alinhados? Justifique! Solução.1.16 Observando que = 3 ( ) 5 3 =, pelo eposto anteriormente temos que os pontos não estão alinhados. Eemplo.1.17 Determine o valor de k de modo que os pontos (k, 4), (11, k), ( 1, 3) estejam alinhados. Solução.1.18 Temos 3 4 = 1 k 3 k = 3 k 1 = 3 k 1 k 1 k+1 1 (3 k)(k + 1) = 1 3k + 3 k k + 1 = 0 k k 15 = 0 k = 3 ou k = 5. Eemplo.1.19 Calcule a mediana AM de um retângulo cujos vértices são A( 3, 3 ), B(1, 5), C(6, 1). Solução.1.0 O ponto médio M do segmento BC é logo, teremos D AM = M( 1 + 6, 5 + ( 1) ) = ( 7, ). ( 3 7 ) + ( 3 ) = = Eercícios 1. Mostrar que o triângulo cujos vértices são (-,-1), (,) e (5,-) é isósceles e calcular sua área.. Mostrar que o triângulo cujos vértices são (-8,4), (,-) e (5,3) é retângulo e calcular sua área. 3. Sendo A( 5, k ), B(5, 5) e C(, ), determine k de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B. 4. Determine os valores de a para os quais os pontos (a 1, 1), (a 1, ) e (0, 3) estão alinhados. 5. Dados A(a, 4), B( 3, ) e C(5, ), determine o valor de a de modo que o ponto A seja equidistante de B e C. 6. Determine os pontos do eio, cujas distâncias ao ponto A(, 3) são iguais a 5. Segmento de reta unindo o vértice A ao ponto médio M do lado oposto, isto é, BC

24 4 CAPÍTULO. RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS 7. Determine o ponto da bissetriz dos quadrantes pares que é equidistante dos pontos A( 1, 4) e B(4, 3). 8. Determine o valor de a modo que o triângulo ABC, de vértices A(a, 4), B( 7, a 1), C(0, 0) seja retângulo em C. 9. Determine o valor de a sabendo que a distância entre os pontos (7, 1) e (3, a) é igual a Os pontos (, ), ( 1, 3), (1, 1) estão alinhados? Justifique! 11. Os pontos (1, 3), (4, 5), (, 1) estão alinhados? Justifique! 1. Para quais valores de a os pontos A(a 1, a), B( a, 1 a), C(a, a 1) estão alinhados? Justifique!. Equações da Reta..1 Determinação de uma reta - Coeficiente Angular Tal como lembrado na primeira seção, sabemos que uma reta fica determinada conhecidos dois de seus pontos. Temos, ainda, que uma reta também estará determinada se sabemos um ponto pelo qual ela passa e sua direção no plano, por eemplo, o ângulo que esta reta forma com um dos eios coordenados. Em geometria analítica iremos sempre cacterizar uma reta l de uma das seguintes formas: 1) Eplicitando dois pontos pelos quais l passa ) Eplicitando um ponto pelo qual l passa e o ângulo α(0 α < π) que l forma com o eio tomado sempre a partir deste eio, no sentido anti-horário. Observe as retas representadas na Figura.8 e os ângulos referidos. y α α Figura.8

25 .. EQUAÇÕES DA RETA 5 Note que teremos sempre 0 α < π(0 α < 180 o ) 3 e que se a reta é horizontal, então α = 0. Por razões que se tornarão óbvias a seguir, no caso () acima, se a reta não é vertical, ao invés de nos referirmos ao ângulo α nos referiremos sempre à tangente de α ou tg α. Temos, então, a definição. Definição..1 Seja l uma reta não vertical. Chamamos coeficiente angular de l ou declividade de l, representado por m l, a tangente do ângulo α já referido acima, isto é, coeficiente angular de l = m l = tg α. Observamos que sendo α > π (= 90o ) temos tg α = tg (π α) = tg (180 o α) e, daí, vemos que se α > π, temos tg α < 0. Lembramos, ainda, que tg π 3 = tg 60o = 3, tg π 6 = tg 30 o = 3 3 e tg π 4 = tg 45o = 1. Observe na Figura.9 a representação de uma reta l passando pelos pontos Q(a, b) e P (c, d) y d P b Q O α a c Figura.9 Observando, na figura, o triângulo OP Q, vemos que m l = tg α = d b c a. Logo, se conhecemos quaisquer dois pontos (, y ) e ( 1, y 1 ) pelos quais passa uma reta não vertical l, podemos determinar seu coeficiente angular facilmente pois, teremos, m l = y 1 y = y y 1. (.1) 1 1 Insistimos que, para retas verticais, não temos o coeficiente angular! Eemplo.. Qual o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(, 1) e B( 1, )? Qual o valor de um dos ângulos que esta reta forma com o eio? 3 Observe a diferença nos casos quando a medida de α é dado em radianos ou graus.

26 6 CAPÍTULO. RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS Solução..3 Teremos, pela equação.1 logo um dos ângulos será π 4 = 45o. m = 1 1 ( ) = 1 1 = 1, Eemplo..4 Qual o coeficiente angular de cada reta, r e s, representadas abaio? r y s π/3 5π/6 Figura.10 Solução..5 Temos m r = tg 5π 6 = tg (π 5π 6 ) = tg π 6 = tg 30o = 3 3 m s = tg π 3 = tg 60o = 3.. A Equação Geral da Reta Determinar a equação de uma reta l significa encontrar uma equação nas variáveis e y que seja satisfeita por todos os pontos de l e só pelos pontos de l. Consideremos dois casos: 1) Determinando a equação de uma reta l conhecidos dois pontos ( 0, y 0 ) e ( 1, y 1 ) pertencentes a l. Neste caso, temos: 1.1) Se 0 = 1, é simples ver que a reta l é uma reta vertical e, portanto, uma equação para l será = 0 ou ainda 0 = 0. Note que a equação não é única, por eemplo, = 0 também seria uma equação para l. 1.) Se 0 1, um ponto (, y) estará na reta l se, e somente se, os pontos (, y), ( 0, y 0 ), ( 1, y 1 ) estiverem alinhados, isto é, se, e somente se, y 1 y = y 1 y 1

27 .. EQUAÇÕES DA RETA 7 ou ainda o que nos leva a ( 1 ) y 1 y = y 1 y y = y 1 y ( 1 ) + y 1. Observe que, no caso em que y 1 = y 0, a reta l será horizontal com equação y = y 1. ) Determinando a equação de uma reta l conhecidos um ponto ( 0, y 0 ) pertencentes a l e seu coeficiente angular m l. Neste caso, um ponto (, y) estará na reta l se, e somente se, os coeficientes angulares das retas l e da reta que passa pelos pontos ( 0, y 0 ) e (, y) são iguais, isto é, ou ainda nos levando a y y 0 0 = m l y y 0 = m l ( 0 ) y = m l ( 0 ) + y 0. Novamente observamos que se a reta é horizontal, teremos m l = 0 e sua equação será y = y 0. Resumindo, poderíamos, facilmente, demonstrar o seguinte teorema. Teorema..6 Um conjunto de pontos no plano será uma reta se, e somente se, seus pontos satisfazem uma equação do tipo A + By + C = 0, onde A, B e C são números reais que caracterizam tal reta, com A e B não simultâneamente nulos. A equação referida no teorema acima é dita equação geral da reta. Note que esta equação não é única, pois podemos multiplicar toda a equação por qualquer número diferente de zero e ainda teremos uma equação geral para a reta. Eemplo..7 Em cada item abaio, determine a equação geral da reta que passa pelos pontos: (a)( 3, 1) e (0, 9) (b)(1, 0) e (1, 1) (c)(3, 1) e (5/4, 1) Solução..8 (a) m = 9 1 = 8. Usando o ponto ( 3, 1) temos a equação y 1 = 8(+3), 0 ( 3) 3 3 ou, 3y 3 = 8 + 4, o que nos leva à equação geral 8 3y + 7 = 0. Note que poderíamos ter optado por usar o ponto (0, 9). (b) Como as abscissas dos pontos é a mesma, teremos uma reta vertical dada por = 1 ou equação geral 1 = 0. (c) Como as ordenadas dos pontos é a mesma, teremos uma reta horizontal dada por y = 1 ou equação geral y + 1 = 0.

28 8 CAPÍTULO. RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS..3 A equação reduzida da reta Consideremos uma reta l não vertical. Então sua equação geral será do tipo A + By + C = 0 com B 0 e, então, podemos isolar y, obtendo y = A C, que pode ser escrita na forma B B y = m + n e esta equação será dita equação reduzida da reta. É claro que, conhecida a equação reduzida de uma reta, o número n é obtido após substituírmos = 0 nesta equação e, daí, temos que n é eatamente a ordenada do ponto onde a reta toca o eio y e por isto n é dito coeficiente linear de l. É óbvio que m é o coeficiente angular da reta l. Novamente, insistimos que retas verticais não possuem equação reduzida! Eemplo..9 Determine, se eistir, a equação reduzida da reta representada na Figura y Figura.11 Solução..10 Note que a reta dada passa pelos pontos ( 1, ) e (1, 4). Devemos, então, encontrar uma equação do tipo y = m + n que seja satisfeita pelos pontos ( 1, ) e (1, 4). Uma primeira solução seria resolver o sistema abaio. { m.1 + n = 4 m.( 1) + n = ou ainda, devemos resolver o sistema { m + n = 4 m + n =

29 .. EQUAÇÕES DA RETA 9 É simples encontrar como solução m = 3 e n = 1. Logo, a equação procurada é dada por y = Uma segunda solução pode ser obtida usando que o coeficiente da reta que é dado por m = 4 ( ) = 3 e, agora, podemos usar o que desenvolvemos na primeira seção encontrando a 1 ( 1) equação y 4 = 3( 1) ou ainda y = Eemplo..11 Determine a equação reduzida da reta paralela ao eio representada na Figura.1. 4 y Figura.1 Solução..1 Neste caso, observamos que a reta é uma reta horizontal e, portanto, sua equação reduzida será y = 3. Note que nos dois últimos eemplos a equação geral de cada reta seria dada por 3 y+1 = 0 e y 3 = 0, respectivamente. Eemplo..13 Determine, se eistir, a equação reduzida da reta paralela ao eio y representada na Figra.13.

30 30 CAPÍTULO. RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS 4 y Figura.13 Solução..14 Como a reta é vertical não temos equação reduzida. Uma equação geral seria 1 = 0. Eemplo..15 Em cada item abaio determine, se eistir, a equação reduzida da reta que passa pelos pontos: (a)( 3, 1) e (0, 9) (b)(1, 0) e (1, 1) (c)(3, 1) e (5/4, 1) Solução..16 (a) Já sabemos, pelo eemplo..7, página 7, que a equação geral desta reta é 8 3y + 7 = 0. Logo, isolando y, obtemos sua equação reduzida, qual seja y = (b) Sabemos que esta reta é uma reta vertical e, portanto, não temos equação reduzida neste caso. (c) y = A equação segmentária da reta Consideremos uma reta oblíqua 4 que não passa pela origem. Necessariamente, esta reta cortará os eios e y conforme, por eemplo, a figura a seguir. 4 Uma reta é dita oblíqua se não é vertical nem horizontal.

31 .. EQUAÇÕES DA RETA 31 l y b a Figura.14 A equação desta reta l pode ser determinada, facilmente, verificando que a reta passa pelos pontos (a, 0) e (0, b) e, daí, sua equação será b + ay ab = 0 ou ainda b + ay = ab. Dividindo todos os termos por ab, teremos a equação escrita na forma a + y b = 1. Nos referimos a esta equação como equação segmentária da reta l. Eemplo..17 Determine, se eistir, a equação segmentária da reta cuja equação geral é 5 + 6y 30 = 0. Solução..18 Temos 5 + 6y = y = y = 1 o que nos leva à equação segmentária 6 + y 5 = 1. Eemplo..19 Determine, se eistir, a equação segmentária da reta cuja equação geral é 6 0y 15 = 0.

32 3 CAPÍTULO. RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS Solução..0 Temos 6 0y = y = y = 1 o que nos leva à equação segmentária 5/ + y 3/4 = 1. Lembre-se que a = 1 b b. a Eemplo..1 Determine, se eistir, a equação segmentária da reta cuja equação geral é 6 + 0y + 15 = 0. Solução.. Temos 6 + 0y = y = y = 1 o que nos leva à equação segmentária 5/ + y 3/4 = 1. Eemplo..3 Determine, se eistir, a equação segmentária da reta que passa pelos pontos: (a)( 3, 1) e (0, 9) (b)(1, 0) e (1, 1) (c)(3, 1) e (5/4, 1) Solução..4 (a) Sabemos(..7, 7) que a equação geral desta reta é 8 3y + 7 = 0, o que nos leva a 8 3y = y = 1 obtendo, então, a equação segementária 7/8 + y 7/3 = 1. (b) Reta vertical, não temos equação segmentária. (c) Reta horizontal, não temos equação segmentária Eemplo..5 Determine as equações geral e reduzida da reta cuja equação segmentária é = y 3 Solução..6 Temos 1 + y 3 = 1 y = 1 y = + 1 y = y = 3 3 o que nos leva às equações 3 y 1 = 0 e y = 3 3, respectivamente, equações geral e reduzida. Eemplo..7 Para cada reta representada abaio determine, se eitir, sua equação segmentária. Solução..8 reta r : 7/ + y 7/ = 1 reta s : 3/ + y = 1.

33 .. EQUAÇÕES DA RETA 33 y 7/ s 3/ 7/ r - Figura Retas paralelas e retas perpendiculares A proposição abaio, que admitiremos sem demonstração, nos será muito útil. Proposição..9 Sejam l e m duas retas de equações y = a 1 + b 1 e y = a + b, respectivamente. Então, teremos: 1. l e m serão perpendiculares se, e somente e, a 1 a = 1. l e m serão paralelas se, e somente e, a 1 = a Observe que, para utilizar o teorema acima, devemos trabalhar com as equações reduzidas das retas! Eemplo..30 Determine os valores de a para os quais as retas r e s de equações a + 3y + 1 = 0 e 1 + ay + 3 = 0, respectivamente, sejam paralelas. Solução..31 A equação reduzida da reta r é dada por y = a 1. Para determinarmos 3 3 a equação reduzida da reta s devemos considerar separadamente dois casos a 0 e a = 0. Supondo a 0, sua equação reduzida será y = 1 3 e, neste caso, r e s serão paralelas, a a pela proposição..9, se, e somente se, a 3 = 1 a isto é a = 36 ou ainda a = ±6. Se a = 0 as equações de r e s serão, repectivamente, 3y + 1 = 0 e = 0 que não são paralelas pois uma é horizontal e outra vertical. Logo, as retas dadas só serão paralelas se a = ±6. Eemplo..3 Determine os valores de a para os quais as retas r e s de equações a + 3y + 1 = 0 e 1 + ay + 3 = 0, respectivamente, sejam perpendiculares.

34 34 CAPÍTULO. RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS Solução..33 A equação reduzida da reta r é dada por y = a 1. Novamente, para 3 3 determinarmos a equação reduzida da reta s, devemos considerar separadamente dois casos a 0 e a = 0. Supondo a 0, sua equação reduzida será y = 1 3 e, neste caso, r e s a a serão perpendiculares se, e somente se, a 3. 1 a = 1 isto é 4 = 1 o que não é verdadeiro para nenhum a. Se a = 0 as equações de r e s serão, repectivamente, 3y + 1 = 0 e = 0 que são perpendiculares pois uma é horizontal e outra vertical. Logo as retas dadas só serão perpendiculares se a = 0. Eemplo..34 Determine a equação de uma reta que passe pelo ponto ( 5, /3) e seja paralela à reta r de equação 4 + 9y + 1 = 0. Solução..35 Note que o coeficiente angular de reta r é igual a 4. Como a reta procurada 9 deve ser paralela a r, seu coeficiente angular deve ser 4 e como deve, ainda, passar pelo ponto 9 ( 5, /3), temos que sua equação será y 3 = 4 ( + 5). 9 Eemplo..36 Determine os valores de a para os quais as retas r e s de equações y = 3 4 e 1 + ay + 3 = 0, respectivamente, sejam perpendiculares. Solução..37 Se a = 0 as retas não serão perpendiculares pois uma é oblíqua e a outra vertical. Se a 0 a equação reduzida de s será y = 1 3 e, portanto, r e s serão a a perpendiculares se, e somente se, 1. 3 = 1, isto é, a = 36. Logo, as retas r e s só serão a perpendiculares se a = 36. Eemplo..38 Determine a equação de uma reta s que passe pelo ponto ( 1, 4) e seja perpendicular à reta r de equação 3 + 5y = 0 Solução..39 Temos que o coeficiente angular da reta r é 3 5 angular da reta s, m s, deve satisfazer e, portanto, o coeficiente m s. 3 5 = 1 e daí obtemos m s = 5. Uma equação para s será, então, 3 y 4 = 5 ( + 1). 3 Eemplo..40 Determine a equação da mediatriz 5 B(3, 9). do segmento AB, sendo A(1, 5) e 5 Mediatriz de um segmento de reta é a reta que é perpendicular a este segmento e passa pelo seu ponto médio.

35 .. EQUAÇÕES DA RETA 35 Solução..41 O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e B é igual a 9 5 = 3 1 e, portanto, o coeficiente angular da mediatriz é igual a 1/. O ponto médio do segmento AB é o ponto ( 1+3, ) 5+9 = (, 7). Logo, uma equação para a mediatriz será y 7 = 1 ( )...6 Distância de Ponto a Reta Sejam l uma reta de equação A + By + C = 0 e um ponto P ( 0, y 0 ). a distância entre l e P, indicada por D P l, é dada por É possível mostrar que D P l = A 0 + By 0 + C A + B. (.) Poderíamos mostrar o resultado anterior, facilmente, determinando a equação da reta s que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta l. A seguir, determinamos o ponto Q de interseção das reta l e s e, por fim, calculamos a distância entre P e Q.(tente fazê-lo!) Observação..4 Nos antecipando ao estudo da função modular lembramos que, sendo R, teremos = = se 0 e se < 0. Note que = a = a ou = a. Cuidado com um erro comum ao fazer = sem se preocupar com o fato de ser positivo ou não! Eemplo..43 Determine a distância entre o ponto P (, 5) e a reta l de equação 8 15y + 11 = 0. Solução..44 Teremos D P l = 8.( ) + ( 15) ( 15) = = Eemplo..45 Determine o valor de k, de modo que a distância entre o ponto P ( 1, 3) e a reta s de equação 4 + 7y + k = 0 seja igual a 4. Solução..46 Temos D P s = 4.( 1) k = k 3. 5 Como, devemos ter, D P s = 4, vem k 3 5 = 4 k 3 = 100 k 3 = 100 ou k 3 = 100 k = 103 ou k = 97.

36 36 CAPÍTULO. RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS Eemplo..47 A distância entre o ponto A(3, 6) e uma reta r de coeficiente angular 4 é igual a 5. Determine a equação da reta r. Solução..48 Como o coeficiente angular da reta r é 4 sua equação reduzida será do tipo y = 4 + n, o que nos leva a equação geral, Devemos ter, então, D Ar = 4 + y n = n = 18 n 17 = 5 o que nos leva a 18 n = n = 5 17 ou 18 n = 5 17 n = ou n = Logo, temos duas soluções para a reta r, quais sejam 4 + y = 0 ou 4 + y = 0. Eemplo..49 Considere as retas r e s de equações 3 4y + 3 = 0 e y = +, respectivamente. Determine um ponto P na reta s cuja distância à reta r seja igual a 6. Solução..50 Seja P (a, b) o ponto procurado. Como P s, devemos ter, b = a + e, portanto, P (a, a + ). Como a distância de P a r deve ser igual a 6, teremos, D P r = 3a + ( 4)(a + ) ( 4) = 5a 5 5 = a 1 = 6 o que nos leva a a = 7 ou a = 5. Temos, então, duas soluções para o ponto P, quais sejam, P (5, 1) e P ( 7, 1). Eemplo..51 Considere o triângulo ABC cujos vértices são os pontos A(1, ), B(3, 7) e C(6, 3). Determine a altura deste triângulo relativa ao lado BC. Determine, ainda, a área deste triângulo. Solução..5 A altura relativa ao lado BC é simplesmente a distância entre o ponto A e a reta r que passa por B e C. A reta que passa por B e C tem equação 4 + 3y 33 = 0(certif ique se!) e, portanto, teremos, h = D Ar = = 3 5 = 3 5. A área S do triângulo será igual a D BC.h. Logo (3 6) + (7 3) S =.3/5 = 3.

37 .. EQUAÇÕES DA RETA Eercícios 1. Determine a equação da reta que passa pelos pontos (1, ) e (0, 1). Qual o ângulo que a reta encontrada faz com o semi eio positivo?. Determine a equação da reta de coeficiente angular e que paasa pelo ponto ( 3, 4). Determine outros dois pontos pelos quais a reta encontrada passa. 3. (a) Mostre que se ( 1, y 1 ) e (, y ) são dois pontos sobre a reta de equação y = a + b então a = y y 1 = y 1 y 1 1. (b) Qual o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (1/, 1) e (4, 0)? 4. (a) Determine a equação geral da reta paralela à reta de equação y = e que paasa pelo ponto ( 3, 4) (b) Determine a equação geral da reta perpendicular à reta de equação y = e que paasa pelo ponto ( 3, 4). (c) Faça um esboço das retas no plano. (d) Qual a intereseção da reta inicial com a reta encontrada no item (b)? 5. Uma reta passa pelos pontos (-,-3) e (4,1). Calcular a ordenada de um ponto situado sobre esta reta e cuja abscissa é Mostrar que os pontos (1,1), (5,3), (8,0) e (4,-) são os vértices de um paralelogramo. 7. A reta que passa pelos pontos (-,5) e (4,1) é perpendicular à reta que passa pelos pontos (-1,1) e (3,7)? Justifique! 8. A reta l 1 passa pelos pontos (3,) e (-4,-6) e a reta l passa pelo ponto (-7,1) e pelo ponto A de ordenada -6. Determine a abscissa do ponto A sendo l 1 perpendicular a l. 9. As interseções de uma reta sobre os eios X e Y são, respectivamente, e -3. Determine sua equação. 10. Determine a equação da reta cula declividade é -3 e cuja interseção sobre o eio Y é Os pontos (-5,), (1,4) e (4,5) são colineares? Justifique! 1. Determine a área do triângulo retângulo formado pelos eios coordenados e pela reta cuja equação é 5 + 4y + 0 = Determine k se a reta k + (k 1)y 18 = 0 deve ser paralela à reta 4 + 3y + 7 = Determine k se a reta k +(k+1)y+3 = 0 deve ser perpendicular à reta 3 y 11 = Determine a e b se as equações a + ( b)y 3 = 0 e (a 1) + by + 15 = 0 repesentam retas que passam pelo ponto (,-3).

38 38 CAPÍTULO. RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS 16. Determine k se a reta 4+5y+k = 0 deve formar com os eios coordenados um triângulo retângulo de área, Determine a distância da reta 4 5y + 10 = 0 ao ponto (,-3). 18. Os vértices de um triângulo são os pontos A(-4,1), B(-3,3) e C(3,-3). Determine o comprimento da altura relativa ao lado BC e a área do triângulo.3 Circunferência.3.1 Conceitos Iniciais Sejam C(a,b) um ponto e r > 0 um número real. Chamaremos circunferência de centro C e raio r o conjunto de todos os pontos P(,y) tais que a distância entre C e P é igual r. Eemplo.3.1 Determine a equação da circunferência de centro (-1,) e raio 3 Solução.3. Claramente, temos ( + 1) + (y ) = ( 3) = 3. Eemplo.3.3 Determine os valores de k para os quais o ponto P (k, 5) pertence à circunferência de centro C(5, ) e raio 85. Solução.3.4 Como P pertence à circunferência, sua distáncia ao centro deve ser igual ao raio, isto é, devemos ter (k 5) + ( 5) = 85 ou ainda Portanto (k 5) + 49 = 85 (k 5) = 36 k 5 = ±6. k = 11 ou k = 1. Eemplo.3.5 Calcule o raio da circunferência de centro C(, 7) e que passa pelo ponto A(3, 1) Solução.3.6 Como a circunferência passa por A devemos ter D AC = raio, isto é, r = (3 + ) + ( 1 7) = 89. Eemplo.3.7 Determine a equação da circunferência que tem o segmento AB como diâmetro, sendo A( 3, ) e B(7, 6).

39 .3. CIRCUNFERÊNCIA 39 Solução.3.8 Sendo AB o diâmetro, o centro será o ponto médio de AB e o raio será a distância do centro a qualquer um dos pontos A ou B ou, ainda, a metade da distância entre A e B. Logo ( centro = C, + 6 ) = C(, 4) e r = D CA = ( + 3) + (4 ) = 9. Portanto, a equação será ( ) + (y 4) = 9. Observação.3.9 e raio r é dada por É simples verificar que a equação de uma circunferência de centro C(a,b) ( a) + (y b) = r (.3) A equação acima, geralmente, é referida como equação padrão da circunferência de centro (a,b) e raio r. Ao desenvolvermos a equação (.3), obtemos que pode ser escrita na forma + y a by + a + b r = 0 (.4) + y + A + By + C = 0 (.5) onde A = a, B = b e C = a + b r. Segue, portanto, que a equação de qualquer circunferência pode ser escrita da forma (.5), denominada equação geral da circunferência. A questão que naturalmente surge é, ao contrário, saber se cada equação da forma (.5) representa uma circunferência. Para responder tal pergunta, usaremos um procedimento conhecido como completar quadrados. Esta técnica consiste em, dada uma epressão do tipo + b + c, escrevê-la como soma ou diferença de dois quadrados, isto é, encontrar números reais r e s tais que + b + c = ( + r) + s. (.6) Se s > 0 teremos soma de dois quadrados, pois, sendo assim, teremos + b + c = ( + r) + s = ( + r) + ( s). (.7) Se s < 0, temos s > 0 e, daí, conseguimos uma diferença de dois quadrados, qual seja, + b + c = ( + r) + s = ( + r) ( s) = ( + r) ( s). (.8) Vejamos como proceder. Como ( + r) + s = + r + r + s, devemos encontrar números r e s tais que + b + c = + r + r + s ou, ainda,

40 40 CAPÍTULO. RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS Daí, teremos Logo, temos Particulamente, se c = 0 temos Vejamos um eemplo. b = r e r + s = c. r = b e s = c r = c ( b ) = + b + c = ( + b ) + 4c b. 4 4c b. (.9) 4 + b = ( + b ) b 4. (.10) Eemplo.3.10 Escrever a epressão na forma (.6) acima. Solução.3.11 Usando (.9) e que b = 4 e c = 3, teremos = ( + ) = ( + ) 1. Eemplo.3.1 Escrever como soma ou diferença de dois quadrados a epressão 5+7. Solução.3.13 Temos, b = 5 e c = 7 o que nos leva, usando (.9), a = ( 5 ) = ( 5 ) + ( 3 ). Eemplo.3.14 Escrever como soma ou diferença de dois quadrados a epressão 4 5. Solução.3.15 Temos, b = 4 e c = 5 o que nos leva, usando, novamente, (.9), a 4 5 = ( ) 9 = ( ) 3. Para aqueles que preferem não memorizar as fórmulas (.9) e (.10), o completamento de quadrados pode ser feito, facilmente, somando e subtraindo à epressão + b + c o número (b/), pois, teremos + b + c = + b + (b/) (b/) + c = + b + b 4 b 4 + c = ( + b ) + Ilustremos com um eemplo. 4c b. 4 Eemplo.3.16 Escrever a epressão + 3 na forma (.6) utilizando o último comentário.

41 .3. CIRCUNFERÊNCIA 41 Solução.3.17 Temos + 3 = + ( 1) ( 1) + 3 = = ( 1) +. Eemplo.3.18 Escrever como soma ou diferença de dois quadrados a epressão y + 4y. Solução.3.19 Utilizando o último comentário, teremos y + 4y = y + 4y + = (y + ). É claro que os dois últimos eemplos poderiam ser resolvidos utilizando diretamente as fórmula (.9) e (.10), respectivamente. Voltemos, agora, ao nosso problema original, qual seja, decidir quando uma equação do tipo + y + A + By + C = 0 representa um circunferência. A ideia será escrever a equação na forma + A + y + By = C e, a seguir, completar quadrados nos termos em e nos termos em y. Vejamos algus eemplos. Eemplo.3.0 Verifique se cada equação abaio representa uma circunferência. Se este for o caso, determine seu centro e raio. (a) + y 6 + 4y 3 = 0 (b) + y 4 6y + 13 = 0 (c) + y 4y + 7 = 0 (d) + y 1 + 8y 15 = 0 Solução.3.1 (a) Temos + y 6 + 4y = y + 4y + = ( 3) + (y + ) = 16. Circunferência de centro C(3, ) e raio r = 4. (b) Temos +y 4 6y = y 6y +3 = ( ) +(y 3) = 0. Ponto P (, 3) (c) Temos + y 4y = y 4y + = ( 1) + (y ) =. Não temos ponto que satisfaça tal equação. (d) Temos +y 1+8y = 15 +y 6+4y = y +4y+ = = ( 3) + (y + ) = 41. Circunferência de centro C(3, ) e raio r = 41.