2018 Dr. Walter F. de Azevedo Jr. Séries de Fourier

Transcrição

1 208 Dr. Walter F. de Azevedo Jr

2 Cristalografia Etapas para resolução da estrutura 3D de macromoléculas biológicas por cristalografia 3. Interpretação do padrão de difração de raios X 2. Coleta de dados de difração de raios X.. Cristalização. 4. Resolução da estrutura. 5. Análise. 2

3 Esfera de Ewald Vimos na aula 6 que podemos repretar o fenômeno de difração de raios X por um cristal, como a passagem de um ponto do retículo recíproco pela esfera de Ewald, como indicado na animação ao lado. Fonte: 3

4 Esfera de Ewald As refleões registradas na imagem de difração podem ser interpretadas como resultado da refleão de um plano de índice hkl, onde hkl são os índices de Miller da família de plano. Placa de imagem Padrão registrado na placa de imagem Retículo recíproco Fonte de raios X Esfera de Ewald Cristal Cabeça goniométrica 4

5 Veremos hoje que sistemas periódicos, como cristais, podem ser repretados por funções simples, como o ou coso. Não iremos fazer da dedução matemática de tal afirmação, simplesmente veremos como podemos somar funções simples que geram repretações compleas repetitivas. A melhor forma de entendermos é através de um eemplo prático. As funções matemáticas, que fazem uso de o e coso para repretação de sistemas periódicos, são chamadas de séries de Fourier. Densidade eletrônica de uma cristal de proteína 5

6 Com um pouco de abstração, podemos imaginar um cristal unidimensional, que usaremos como eemplo para repretar a densidade eletrônica, a partir da soma de funções o e coso. Veja o trecho de uma densidade eletrônica dehado abaio, onde temos a repetição da cadeia lateral da fenilalanina. 6

7 Podemos aproimar a densidade eletrônica, dehada com um gradeado azul, como uma função degrau, sobreposta à imagem. A preça de densidade eletrônica da cadeia lateral da fenilalanina, pode ser aproimada por uma caia que a envolve, dehada pela linha branca. 7

8 A altura da linha branca é o valor da função da posição, ou seja, f(), como repretado abaio. Podemos considerar que o período da função f() é 2, ou seja, para cada 2 a função f() se repete. Assim podemos reduzir o problema da repretação matemática do nosso cristal unidimensional, a uma repretação de f(). f() 2 8

9 Abaio temos nossa função f(). Podemos repretar nosso eio cortando os degraus pela metade, como repretado abaio. A função f() varia entre um máimo e um mínimo, por conveniência fiaremos o máimo em e o mínimo em -, como indicado abaio. f() 0-2 9

10 Por último, podemos repretar nosso sistema, considerando só a parte que se repete, como indicada abaio. A função f() não tem relação óbvia com as funções o e coso, mas podemos repretá-la como uma soma dessas funções, ou seja, podemos aproimar a função degrau com um soma de os. f() 0-2 0

11 Consideremos que a função f() varia entre - e e tem período de 2, ou seja, ela é periódica. Podemos repretar esta função periódica f() na forma de soma de os (série de Fourier), como segue: Se eplicitarmos os primeiros termos da série de Fourier para a função degrau, teremos a seguinte epressão: Observe que a soma restringe-se aos n ímpares. O número de termos que usarmos na função, influenciará diretamente na qualidade de aproimação, ou seja, quanto mais termos usarmos, melhor será a repretação da função degrau pela soma de os. Nos próimos slides veremos alguns casos. = =,..,, ) ( n n n f...} { ) (,..,, = = = n n f n

12 Vejamos quando só somamos os dois primeiros termos da série de Fourier, como indicado abaio. n 4 3 f ( ) = = { + } n n= 0 2 2

13 3 Vejamos quando só somamos os cinco primeiros termos da série, como indicado abaio. }... { ) ( = = = n n f n

14 Vejamos quando só somamos os 0 primeiros termos da série, como indicado abaio. f n ( ) = = { } n n= 0 2 4

15 Vejamos quando só somamos os 20 primeiros termos da série, como indicado abaio. f n ( ) = = { } n n= 0 2 5

16 Vejamos quando só somamos os 50 primeiros termos da série, como indicado abaio. f n ( ) = = { } n n= 0 2 6

17 Vejamos quando só somamos os 00 primeiros termos da série, como indicado abaio. f n ( ) = = { } n n= Vemos claramente uma aproimação com a função degrau, conforme aumentamos o número de termos na série de Fourier 0 2 7

18 Referências Drenth, J. (994). Principles of Protein X-ray Crystallography. New York: Springer- Verlag. Rhodes, G. (2000). Crystallography Made Crystal Clear. 2 nd ed.san Diego: Academic Press. Stout, G. H. & Jen,. H. (989). X-Ray Structure Determination. A Practical Guide. 2nd ed. New York: John Wiley & Sons. Última atualização em 8 de outubro de