CORDAS, CABOS OBJECTOS DEPE

Transcrição

1 Este é o trabalho do alno qe ganho o Prémio Mário Silva de 003 (ª edição). Recorde-se qe esse Prémio foi institído pelo Público e pela Gradiva, contando com o apoio da Sociedade Portgesa de Física e da BP. CORDAS, CABOS OBJECTOS DEPE Uma peqena viagem pelo movimentado mndo da estática A ideia para este trabalho srgi de m problema com qe me vi confrontado há cerca de três anos, m "Desafio" da edição dominical do Público, qe sempre fez as minhas delícias. Originalmente concebido como ma actividade lúdica de cariz matemático, revelo-se capaz de motivar m jovem a tentar descobrir algo mais sobre o modo como a Natreza opera. Decidi por esta razão tratar ma versão (não a original, porqe lhe perdi o rasto) do desafio inicial: Prende-se ma corda de 8 metros, pelas sas extremi-dades, ao topo de dois postes cja altra é 5 metros. O ponto mais baixo da corda encontra-se a metro do chão. A qe distância se encontram os dois postes? Segi a abordagem canónica para este tipo de problemas: fazer m desenho, carregá-lo de informação, e esperar pela inspiração... Apresento aqilo qe poderia mito bem ter sido o me primeiro rascnho. Diogo Oliveira e Silva Ra Fernão Vaz Dorado, Porto dos85@hotmail.com Figra

2 ARTIGO E OUTROS NDURADOS As ferramentas qe iria tilizar ao longo da minha jornada intelectal eram, sspeitava e, o cálclo vectorial e diferencial, associados a sitações de eqilíbrio de forças. Ao longo da resolção apercebi-me, no entanto, da necessidade de recorrer a conceitos ligados ao cálclo integral, e qe entretanto já abordei nas preciosas alas de Análise Matemática da Facldade de Engenharia da Universidade do Porto. Simplificações e casos ideais... Ora cá está ma óptima oportnidade para pôr em prática estes dois conceitos tão amigáveis para m físico. Consideremos pois ma corda homogénea, de comprimento l e densidade niforme, dependrada como mostra a figra. Procedamos à escolha de m referencial ortonormal com origem no ponto O, na vertical com o ponto mais baixo da corda, Q. Não foi preciso mito tempo para qe me srgisse ma ideia: qe tal m referencial cartesiano bem centrado naqele ponto P tão estratégico? Algmas contas com certeza me revelariam a eqação da parábola qe aproxima a forma do cabo, e, como e só qeria a distância de A a B... Voilá! Escsado será dizer qe ma tarde de animada reflexão se revelo... completamente infrtífera! Por mais voltas qe desse ao papel e à imaginação, a corda, teimosa, simplesmente não se deixava render às amarras parabólicas qe lhe qeria impor. Frstrado, nnca mais qis saber do problema... mas a verdade é qe algo deve ter ficado teimosamente agarrado ao me sbconsciente! O resltado está à vista... SOBRE CABOS E CAMPOS GRAVÍTICOS Como aspirante qe so a cientista, achei por bem delimitar rigorosamente os mes objectivos: qal é o problema? Eis o qe consta no topo da primeira página das minhas divagações: Problema: Qe forma adqire ma corda sjeita a m campo gravítico niforme, como na Terra, sspensa por dois postes da mesma altra? Qal é a expressão matemática correspondente? Figra No caso ideal, em qe consideramos desprezáveis acções como a do vento, a de possíveis reacções nos pontos A e B, e a de atritos diversos, qe forças actam nm ponto genérico da corda, P? Apesar da aparente simplicidade, esta qestão foi das mais delicadas qe abordei. Eis o caminho tomado até chegar a ma resposta qe me parecesse convincente: Considere-se, em primeiro lgar, ma corda presa a dois postes, mas bem esticada. Neste caso, o senso comm diz-nos qe a corda fica sjeita, em cada m dos pontos A e B, à acção de ma força horizontal, T. Além disso, podemos representar o peso P da corda aplicado no se centro de massa - recordo qe sposemos qe a massa do cabo estava niformemente distribída. Para o caso presente, no entanto, o sistema em casa é simplificável a tal sitação. 7 GAZETA DE FÍSICA Assnto já e tinha, motivação, mais qe mita... Mãos ao trabalho!

3 CORDAS, CABOS E OUTROS OBJECTOS DEPENDURADOS Foi pensando em sitações como esta qe chegei à conclsão, à primeira vista não evidente, qe deveria procrar estdar as forças qe actam, não nm ponto genérico da corda, mas nm segmento de corda. Vejamos porqê: Figra 3 - Apliqemos agora ao sistema ma sobrecarga em C. O qe se passa é algo de semelhante à figra 4. Vejamos a figra 6. O primeiro problema qe natralmente srge ao tentar estdar as forças aplicadas nm ponto genérico da corda relaciona-se com o peso. De facto, para além das forças de ligação (tensões do fio) presentes em qalqer ponto do fio, não nos podemos esqecer qe a força gravítica contribi para o sistema de forças responsável pelo eqilíbrio do sistema. Mas qe sentido se deve atribir ao peso de m elemento pontal da corda? Foi principalmente por esta razão qe decidi estdar o qe se passa nm segmento genérico da corda. 8 GAZETA DE FÍSICA Figra 4 Nesta sitação, o qe acontece às tensões no fio em A e em B? Não nos vamos pronnciar qanto a aspectos qantitativos, pois não possímos dados para tal. Podemos, isso sim, tentar perceber o qe se passa qanto à linha de acção da força. E, neste caso, é qase imediato conjectrar qe T passa a actar, não segndo a horizontal, mas segndo a "continação" da corda, como se vê na imagem. Podemos afirmar qe T é tangencial à corda. À figra 5 podemos associar o caso em qe dois corpos de igal massa são sspensos nos pontos C e D. Mais ma vez, o interesse do esqema centra-se na direcção a atribir à força T. Considerem-se pois os pontos P e Q. P é o ponto mais baixo da corda, de coordenadas (0, y o ). Em primeiro lgar, o arco PQ, de comprimento l, tem massa igal a ρsl, em qe S é a área da secção recta (qe spomos constante ao longo do fio). Podemos, por isso, representar o vector peso P aplicado ao centro de massa do segmento e dizer qe a sa norma é ρslg. Recando às sitações abordadas nas figras 4 e 5, será qe podemos dizer algo acerca das tensões em P e Q? Os dados previamente explanados fornecem fortes indícios acerca da direcção de tais forças. Qe tal considerá-las tangentes à corda? Encontramo-nos, pois, na seginte sitação: Figra 6 Figra 5 Todas estas considerações assentaram nm pressposto qe ainda não foi explicitamente referido: o sistema encontra-se em eqilíbrio. É pois imediato qe o somatório vectorial das forças aplicadas ao sistema é nlo. Assim, H+P+T=0. Podemos ainda decompor as forças nas sas componentes segndo x e y (recorde-se qe na figra definimos m sistema de coordenadas cjos versores segndo x e y eram, respectivamente, i e j):

4 ARTIGO H = H i P= ρsgl j T = T i+ T j A condição de eqilíbrio implica então qe (T x - H) i + (T y - ρslg) j = 0, o seja: T = H T = ρsgl x y Com vista a manter a clareza do texto e a evitar qalqer desvio do intito primordial qe motivo todo este raciocínio, apresento de segida apenas os passos fndamentais condcentes ao resltado final. Não qero deixar de referir qe esta foi possivelmente a parte mais difícil de todo o trabalho qe só tomo o presente aspecto após várias tentativas frstradas e leitras complementares. Atente-se, em pormenor, no qe se passa no ponto Q. Já nos pronnciámos qanto à direcção de T, qe se afirmo ser tangente à corda nesse ponto. Qal é o nosso objectivo último? Determinar a expressão matemática para a forma da corda, algo do tipo y=f(x). E o qe nos dizem as com-ponentes segndo x e y de m vector tangente à crva nm dado ponto? É prematro afirmar qe o nosso problema está resolvido, mas vejamos como a seginte observação nos pode condzir até mito perto da solção. Em primeiro lgar, recordemos qe a derivada de ma fnção nm ponto é dada pelo declive da recta tangente à crva representativa da fnção nesse ponto. Consideremos o ponto Q, de abcissa xq. Nesse caso: T ρ dy y lsg dy Sg = = = l x= xq Tx H x= xq H x ρ y () () (3) b dy l = a Combinando as Eqs. (3) e (4), o raciocínio feito até agora condz-nos à seginte eqação diferencial de segnda ordem: d y k Para x=0, sabemos qe y=y o e dy/=0. dy = + Não possindo as ferramentas necessárias para resolver esta eqação pelo método geral, ma sgestão qe encontrei nm livro de Análise Matemática 3 revelo-se extremamente frtífera: vejamos a qe nos condz a sbstitição, formalmente válida, do tipo (x)=dy/: d y dy dy k ( x) = + = d = k Esta última eqação já admite ma abordagem mais acessível, qe apresentamos de segida: d = k d = k d = k (4) (5) (6) (7) De facto, o qociente entre as componentes vertical e horizontal do vector T (no fndo, a variação das ordenadas a dividir pela variação das abcissas) não é mais do qe o declive da recta qe é a linha de acção do vector, e portanto da tangente à crva no ponto Q. A segnda igaldade jstifica-se se atentarmos na Eq. (). Uma observação pertinente: O coeficiente ρsg/h é característico para ma dada corda dependrada a ma determinada latitde. Fazendo k= ρsg/h, podemos dizer qe a derivada pretendida é igal a kl. Por otro lado, é bem conhecida do cálclo integral a seginte expressão para o comprimento l de m arco de crva em coordenadas cartesianas : O segndo membro é fácil de calclar: é igal a kx+c. Para o desenvolvimento do primeiro membro, o hábito levo-me a tentar a sbstitição canónica da forma = tg t. Algmas contas indiciam qe esta não é com certeza a abordagem mais eficaz e, apesar de sspeitar qe eventalmente o resltado pretendido acabaria por emergir, resolvi segir ma otra sgestão e recorrer às chamadas fnções hiperbólicas. Recordando a igaldade 4 cosh (x)-sinh (x)=, a sbstitição qe à primeira vista se oferece é = sinh t: d = sinh( t) cosh( t) d dt = = cosh( t) = cosh( tdt ) = dt= sinh t cosh ( t) = dt = t + C = sinh ( ) + C (8) 9 GAZETA DE FÍSICA

5 CORDAS, CABOS E OUTROS OBJECTOS DEPENDURADOS O "milagre" torna-se evidente qando sbstitímos esta última expressão na Eq. (7): d = k = + = + sinh kx C sinh( kx C) (9) salta imediatamente à vista: atentando nos longos cabos de aço qe lhe conferem o estatto de ponte sspensa, mais ma vez nos encontramos no mndo dos objectos dependrados... GAZETA DE FÍSICA 30 Das condições iniciais (se x=0, y=y o e dy/=0), retira-se facilmente qe C =0, pelo qe (x)=sinh(kx). Mas definimos inicialmente (x)=dy/! Conclindo: dy = sinh( kx) y = f( x) = cosh( kx) + C k (0) Mais ma vez, C=0. Recordamos ainda qe k= ρgs/h. Parece qe o objectivo inicial foi cmprido: partindo de considerações estáticas logicamente consistentes, chegámos a ma expressão para a crva descrita pelo nosso objecto dependrado. Esta crva tem o nome de catenária, e nas conclsões deste trabalho abordamos scintamente a sa "evolção histórica". Veremos de segida como reagem os nossos cabos qando sobre eles pesar algo mais qe a "insstentável leveza do ser"... QUANDO OS CABOS SUSTENTAM PONTES... Já toda a primeira parte do trabalho estava pronto qando resolvi acrescentar-lhe ma crta abordagem a...pontes! Resolvi inclir esta secção por das razões fndamentais: ma de ordem estética, otra m poco mais pragmática. As pontes encontram-se, sem dúvida, entre os grandes feitos da engenharia. A sa tilidade, desempenho e estética tornam-nas verdadeiras obras de arte e objectos da minha especial admiração. Por otro lado, e de m ponto de vista mais prático, nma ponte sspensa assistimos talvez a ma das mais engenhosas aplicações qe os cabos têm no qotidiano. A sa drabilidade, leveza e flexibilidade tornam-nos ideais para estas sitações. Achei por bem fgir a m excessivo formalismo matemático, dominante na primeira parte, com ma crta deamblação por este assnto tão fascinante. Na Figra 7, apresento dois esqemas da vista frontal da Golden Gate Bridge, de São Francisco, Califórnia. Algo Figra 7 Novo problema: o qe nos garante qe a forma dos cabos qe sstentam o tableiro horizontal pode, mais ma vez, ser aproximada por ma catenária? Srpreendentemente, nada! O qe é essencial ter em conta neste novo problema centra-se no facto de a massa do sistema deixar de estar niformemente distribída ao longo do cabo. É evidente qe a massa do cabo de sstentação é mito inferior à massa do tableiro horizontal. Podemos, em primeira aproximação, considerá-la desprezável. Assim sendo, é lícito afirmar qe a massa do sistema passa a estar niformemente distribída na direcção horizontal: caminhando x metros ao longo da ponte, não interessa entre qe pontos, a massa dessa secção da ponte é a mesma. Na secção anterior, comecei por fazer várias considerações sobre as forças actantes e como assegrar o eqilíbrio do sistema. Pois bem, por qe não mantê-las válidas? Com m peqeno senão: o peso a considerar entre qaisqer dois pontos P e Q tem qe passar a assmir m novo aspecto, nomeadamente P = - ρsgx j, onde x é natralmente a projecção da distância entre P e Q no eixo das abcissas. A Eq. (3) toma, neste caso, a seginte forma: dy x= xq ρsg = x H ()...o qe nos popa imenso trabalho! De facto, a solção está à vista. Integrando ambos os membros em ordem a x, obtemos a expressão pretendida:

6 ARTIGO dy ρsg ρsg = x y( x) = x H H ρsg yx ( ) = x + C H Fazendo a= ρsg/h, facilmente se vê qe a crva obtida é a tão desejada parábola, da forma y(x)=ax +C. Fiqei intrigado com o resltado. Consltando bibliografia qe me foi aconselhada, encontrei a resposta parcial (qe, acrescente-se, não me satisfez por completo) à jstificação da parábola: Considere-se m cabo sem qalqer sobrecarga adicional. Qanto mais esticado estiver o cabo (isto é, qanto maior for a intensidade das forças de tensão em A e B), mais a crva por ele descrita se aproxima de ma parábola. Assim, é natral qe m cabo qe tenha como "missão" sportar grandes cargas adicionais (o qe se passa nas pontes) desempenhe melhor a sa tarefa se tiver ma forma parabólica, capaz de sportar sobretensões, não apenas nas sas extremidades, mas distribídas ao longo do se comprimento. Para terminar esta secção, não qero deixar de referir qe o comportamento qe atribí aos cabos qe sstentam pontes se afasta com certeza do qe na realidade se passa. A abordagem qe fiz, necessariamente incompleta, não tomo em linha de conta aspectos como os atritos, a resposta à erosão, a correntes e a sismos, e mitos otros factores relacionados com a segrança. Qal a "adaptação" da forma dos cabos face a estes splementos é ma qestão qe, apesar do interesse qe me sscita, se revelo intratável no presente estádio do me conhecimento. CONSIDERAÇÕES FINAIS () o caso de cabos não isolados, mas antes integrados em estrtras mais complexas como é o caso de pontes. Parece qe, em certas condições, a tão desejada forma parabólica pode mesmo vir ao de cima... Por último, ma peqena nota qanto à solção do problema inicial, o enigmático "desafio" qe aparentemente motivo toda esta "cavalgada": a resposta não é mais qe m rotndo ZERO! De facto, nas condições do ennciado, para qe o ponto P se encontre a metro do solo, é necessário qe os dois postes coincidam. E e qe pensava qe catenárias, segmentos de arco e fnções exponenciais nada tinham a ver com cordas... verticais! NOTAS Refira-se qe a condição de eqilíbrio exige ainda qe o somatório dos momentos das forças exteriores aplicadas seja nlo. Como não existem forças qe isoladamente imprimam movimento de rotação ao sistema, esta observação não foi inclída no texto principal. Cf., por exemplo, PISKOUNOV, Cálclo Diferencial e Integral, vol. I, Lopes da Silva Ed., Lisboa, p WYLIE e BARRETT, Advanced Engineering Mathematics, McGraw-Hill, Nova Iorqe, Por definição, cosh x=(e x + e -x )/ e sinh x=(e x - e -x )/, pelo qe a igaldade sege com m poco de álgebra. BIBLIOGRAFIA Regressados qe estamos da nossa breve viagem, não podemos deixar de salientar os pontos de maior relevo qe foram focados: em primeiro lgar, ma demonstração elementar da forma adqirida por m cabo de massa niformemente distribída, qando sjeito exclsivamente à acção do se peso encontrámos neste estádio a crva denominada por catenária. Neste ponto, ma peqena criosidade histórica: em resposta aos trabalhos prévios de Galile, Hygens demonstro em 656 qe a catenária é ma crva não algébrica. O cientista italiano, motivado pelo scesso qe foi a aplicabilidade de cónicas ao mndo natral, nomeadamente à forma da trajectória de m projéctil, por ele próprio dedzida, e de m planeta em rotação à volta do Sol, frto dos trabalhos de Kepler, estava plenamente convencido qe a forma da corda dependrada não era mais do qe ma simples parábola... Nma segnda fase do trabalho, dedicámo-nos a analisar - BEDFORD, Anthony e FOWLER, Wallace, Statics - Engineering Mechanics, Addison-Wesley, Astin, BEER, Ferdinand e JOHNSTON, Rssell, Mecânica Vectorial para Engenheiros - Estática, McGraw-Hill, BOYER, Carl B., A History of Mathematics, John Wiley & Sons, Nova Iorqe, DEUS, Jorge Dias de et al., Introdção à Física, McGraw-Hill, Lisboa, 99 - PISKOUNOV, N., Cálclo Diferencial e Integral, vol. I, Lopes da Silva Editora, Lisboa, WYLIE, C. Ray, e BARRETT, Lois C., Advanced Engineering Mathematics, McGraw-Hill, Nova Iorqe, 995 GAZETA DE FÍSICA 3