Sérgio Crvlho Weer Cmpos RACIOCÍNIO LÓGICO Simplificdo Volume ª edição Revist, tulizd e mplid Mteril Complementr PRINCIPAIS CONCEITOS E FÓRMULAS DO LIVRO RACIOCÍNIO SIMPLIFICADO - Vol. www.editorjuspodivm.com.r
SUMÁRIO TÉCNICAS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA... PROBABILIDADE... 5 MATRIZ, SISTEMA LINEAR E DETERMINANTES... 8 GEOMETRIA... 15 TRIGONOMETRIA... 6
PRINCIPAIS CONCEITOS E FÓRMULAS DO LIVRO RACIOCÍNIO SIMPLIFICADO Vol. TÉCNICAS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA 1) PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) Se um contecimento pode ocorrer por váris etps sucessivs e independentes de tl modo que: P1 é o número de possiiliddes d 1ª etp; P é o número de possiiliddes d ª etp;.. Pk é o número de possiiliddes d k-ésim etp, então: (P1 x P x... x Pk) é o número totl de possiiliddes do contecimento ocorrer! ) ARRANJO Pr usr o Arrnjo é necessário que não hj repetição dos elementos, e ordem dos elementos deve ser relevnte, ou sej: 1º Psso) Criremos um resultdo possível pr o sugrupo; º Psso) Inverteremos ordem do resultdo que cmos de crir (no 1º psso); º Psso) Comprremos os dois resultdos que estão dinte de nós (1º e º pssos): Se forem resultdos diferentes: resolveremos questão por Arrnjo! A fórmul do Arrnjo é seguinte: A n, p n! ( n p)! Onde: n é o número de elementos do conjunto universo; e p é o número de elementos do sugrupo. Importnte: Tod questão que pode ser resolvid por Arrnjo, poderá tmém ser resolvid pelo Princípio Fundmentl d Contgem! O cminho de volt Princípio Fundmentl d Contgem pr Arrnjo nem sempre será possível! ) COMBINAÇÃO Assim como o rrnjo, não pode hver repetição dos elementos. E, gor, ordem dos elementos NÃO é relevnte, ou sej: 1º Psso) Criremos um resultdo possível pr o sugrupo; º Psso) Inverteremos ordem do resultdo que cmos de crir (no 1º psso); º Psso) Comprremos os dois resultdos que estão dinte de nós (1º e º pssos): Se forem resultdos iguis: resolveremos questão por Cominção! A fórmul d Cominção é seguinte: C n, p n! p!( n p)!
4 Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr Onde: n é o número de elementos do conjunto universo; e p é o número de elementos do sugrupo. 4) PERMUTAÇÃO A Permutção é tão-somente um cso prticulr do Arrnjo! Qundo estivermos em um questão de Arrnjo (já semos como identificá-l!) e oservrmos que o n (número de elementos do conjunto universo ) é igul o p (número de elementos dos sugrupos), então estremos dinte de um questão de Permutção! Fórmul d Permutção: P n n! Onde: n é o número de elementos do conjunto universo, que é tmém o mesmo número de elementos dos sugrupos que serão formdos! 5) PERMUTAÇÃO CIRCULAR Permutção Circulr é um cminho de resolução que será utilizdo qundo estivermos em um prolem que si por Permutção, e em que os elementos do sugrupo estrão dispostos em um linh fechd, ou sej, todos os elementos do grupo terão um elemento su esquerd e su direit. A fórmul é dd por: PC n ( n 1)! 6) PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO Um vez que lguns elementos do conjunto universo são repetidos, diremos que questão se resolve por Permutção com Repetição! A fórmul d Permutção com Repetição é seguinte: P Y, Z,..., W X X! Y!. Z!... W! Onde: X é o número de elementos do conjunto universo; Y, Z,..., W é o número de repetições de cd elemento que se repete! 7) COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO Pr solução desse tipo de questão é melhor resolver do mesmo modo que é feito no cálculo do número de soluções inteirs não negtivs de um equção do tipo: x + y + z +... = k. Ou sej, utiliz-se representção de pontos e rrs (nº de pontos = k; nº de rrs = nº de vriáveis menos um) e depois se plic fórmul de permutção com repetição.
Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr 5 PROBABILIDADE 1. CONCEITOS INICIAIS # Experimento Aletório: é o experimento que mesmo repetido diverss vezes so s mesms condições, podem presentr resultdos diferentes. # Espço Amostrl: é nd mis, senão o conjunto dos resultdos possíveis de um Experimento Aletório. # EVENTO: um evento será um suconjunto do Espço Amostrl.. CÁLCULO DA PROBABILIDADE Fórmul d Proilidde: proilidde de ocorrênci de um evento X, num determindo experimento letório, e considerndo que cd elemento do espço mostrl deste experimento tem mesm proilidde, será clculd por: P(X) = n(x) = número de resultdos fvoráveis o evento X n(s) número de resultdos possíveis Onde: n(s) é o número de elementos do espço mostrl do experimento; e n(x) é o número de elementos do evento X.. AXIOMAS DA PROBABILIDADE 1 º) A proilidde tem vlor máximo de 100%. Neste cso (P=100%), estremos dinte do chmdo evento certo! A idéi opost o do evento certo é do evento impossível: quele cuj proilidde de ocorrênci é de 0% (zero por cento)! Entre um evento impossível e um evento certo, infindáveis são s possiiliddes (e s proiliddes!), ou sej: 0 P(evento X) 1 º) A som ds proiliddes de cd elemento do espço mostrl é igul 1. º) A proilidde de ocorrênci de um evento X somd com proilidde de não ocorrênci desse mesmo evento é igul 1. Pro(X ocorrer) + Pro(X não ocorrer) = 1 Dizemos que os eventos X ocorrer e X não ocorrer são eventos complementres. Portnto, som ds proiliddes de eventos complementres é igul 1. 4. PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO DE EVENTOS (Regr do E) Ddos dois eventos, A e B, proilidde de que ocorrm A e B é igul : P(A e B) = P(A) x P(B A) A Pro(B A) signific proilidde de ocorrer o evento B sendo que o evento A já tenh ocorrido. Ou, simplesmente: é proilidde de B ddo A. 5. PROBABILIDADE DE EVENTOS INDEPENDENTES Dois eventos, A e B, são independentes qundo ocorrênci, ou não-ocorrênci, de um deles não fet proilidde de ocorrênci do outro.
6 Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr Qundo dois eventos (A e B) são independentes, proilidde do evento B ocorrer ddo que A ocorreu, simolizd por P(B A), será sempre igul P(B), pois como são independentes, então B não depende de A (e vice-vers): P(B A) = P(B) Nturlmente, tmém teremos: P(A B) = P(A) Portnto, pr eventos independentes, regr do E pode ser modificd pr: P(A e B) = P(A) x P(B) E podemos firmr que: Dois eventos, A e B, são independentes se, e somente se, ocorrer iguldde P(A e B)=P(A)xP(B). Portnto, se s proiliddes forem fornecids, então temos como testr independênci de dois eventos A e B pel comprção do vlor de P(A e B) com o do produto P(A)xP(B). Sendo iguis serão independentes; cso contrário, dependentes. Pr independênci de três eventos, teremos o seguinte conceito: Três eventos A, B e C são independentes se, e somente se, ocorrerem s seguintes igulddes: P(ABC)=P(A)xP(B)xP(C); P(AB)=P(A)xP(B); P(AC)=P(A)xP(C); P(BC)=P(B)xP(C). 6. PROBABILIDADE DE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS Dois eventos, A e B, são mutumente exclusivos se eles não podem ocorrer simultnemente. Quer dizer que se um evento ocorre, o outro certmente não ocorreu. Por exemplo, em pens dois lnçmentos de um moed, os resultdos possíveis são: S = {(cr, cr); (cr, coro); (coro, cr); (coro, coro)} Os eventos oter dus crs e oter dus coros são mutumente exclusivos, pois eles não podem ocorrer simultnemente: ocorre um ou outro. Ms os eventos oter extmente 1 cr e oter extmente 1 coro não são mutumente exclusivos, pois se o resultdo do primeiro lnçmento for cr e o resultdo do segundo lnçmento for coro, teremos um situção em que esses dois eventos ocorrem o mesmo tempo. Se A e B forem eventos mutumente exclusivos, então teremos: P(A B) = 0 (Proilidde de A ocorrer ddo que B ocorreu é zero); P(B A) = 0 (Proilidde de B ocorrer ddo que A ocorreu é zero); P(A e B) = 0 (Proilidde de A e B ocorrerem simultnemente é zero). Dois eventos (A e B) mutumente exclusivos são representdos grficmente por dois círculos sem interseção (A B = ). Oserve o próximo exemplo. Se dois eventos são complementres, então certmente eles são mutumente exclusivos; ms recíproc nem sempre é verddeir. (Pr dois eventos serem complementres, um evento deve ser negção do outro!) Eventos complementres ou eventos mutumente exclusivos presentm mesm crcterístic de não ocorrerem simultnemente, ou sej, ocorrênci de um evento implic n não ocorrênci do outro. Portnto, os eventos complementres e os eventos mutumente exclusivos são ltmente dependentes! Enqunto que eventos independentes são queles em que proilidde de ocorrênci de um, não é fetd pel ocorrênci do outro.
Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr 7 7. PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS (Regr do OU) Ddos dois eventos, A e B, proilidde de que ocorrm A ou B é igul : P(A ou B) = P(A) + P(B) P(A e B) Repremos em n terceir prcel d fórmul cim: P(A e B). Est prcel trt cerc d proilidde de ocorrênci simultâne dos eventos A e B. Lemremos que pr eventos dependentes, teremos: P(A e B) = P(A) x P(B A) Pr eventos independentes: P(A e B) = P(A) x P(B) E pr eventos mutumente exclusivos: P(A e B) = 0 8. PROBABILIDADE CONDICIONAL A Proilidde condicionl será proilidde de ocorrênci de um evento A, ddo que semos que ocorreu um outro evento B. Fórmul d proilidde condicionl: P( A B) P( A e B) P( B) Podemos tmém resolver um questão de proilidde condicionl pel redução do espço mostrl (levndo em considerção ocorrênci do evento B), e posterior cálculo d frção: (nº de resultdos fvoráveis)/(nº de resultdos possíveis). 9. PROBABILIDADE BINOMIAL Estmos dinte de um questão de proilidde inomil qundo situção que se nos presentr for seguinte: 1º) Hverá um evento que se repetirá um determindo número de vezes; º) Pr esse evento específico, só há dois resultdos possíveis; um chmremos de sucesso e o outro de frcsso; º) Esses dois resultdos possíveis do evento são mutumente excludentes, ou sej, ocorrendo um deles, o outro está descrtdo! 4º) As proiliddes dos dois resultdos mntêm-se constntes o longo ds repetições do evento; 5º) A questão perguntrá pel proilidde de ocorrer um desses resultdos um certo número de vezes. Atenção: Não poderemos utilizr proilidde inomil em questões de sorteio de pessos e retirds de ols d urn que são relizds sem reposição. A fórmul d proilidde inomil é seguinte: P(S eventos sucesso) = Cominção N, S x P(sucesso) S x P(frcsso) F Onde: N é o número de repetições do evento; S é o número de sucessos desejdos; F é o número de frcssos.
8 Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr MATRIZ, SISTEMA LINEAR E DETERMINANTES # Elementos de um Mtriz MATRIZ Sej um mtriz A com m linhs e n coluns, ou sej, do tipo m x n. Um elemento qulquer dess mtriz será representdo simolicmente por ij, em que os índices i e j indicm, respectivmente, linh e colun no qul se encontr tl elemento. # Mtrizes Especiis Mtriz Linh: é quel, como o próprio nome sugere, formd por pens um linh. Mtriz Colun: quel que present um únic colun. Mtriz Nul: quel cujos elementos são todos iguis zero. Mtriz Qudrd: é quel que tem o mesmo número de linhs e de coluns. Mtriz Digonl: é mtriz qudrd em que todos os elementos que não pertencem à digonl principl são iguis zero. Mtriz Identidde ou Mtriz Unidde: é quel cujos elementos d digonl principl são todos iguis 1, e os demis elementos d mtriz, iguis 0 (zero). (A mtriz identidde é um tipo prticulr de mtriz digonl.) Mtriz Tringulr: é mtriz qudrd cujos elementos situdos ixo ou cim d digonl principl são iguis 0 (zero). Mtriz Opost Um mtriz opost é otid trocndo-se o sinl de cd elemento. No exemplo ixo, mtriz B é opost mtriz A. Mtriz Trnspost Trt-se de um conceito muito visdo pels elordors! E tmém um conceito muito simples. Se temos um mtriz A qulquer, diremos que mtriz trnspost de A, designd por A t, será quel que resultr de um trnsposição entre linhs e coluns d mtriz originl. Mtriz Simétric: é mtriz qudrd que é igul su mtriz trnspost. Em outrs plvrs: se mtriz A é simétric, então trnspost de A é igul própri mtriz A. Mtriz Antisimétric: é mtriz qudrd A, tl que A t = -A. Ou sej, trnspost de A é igul opost d mtriz A. # Iguldde de Mtrizes Dus mtrizes de mesm ordem são dits iguis qundo presentrem todos os elementos correspondentes iguis. # Adição e Sutrção de Mtrizes Só é possível somr (ou sutrir) mtrizes de mesm ordem! E o resultdo d som (ou sutrção) entre mtrizes será sempre um outr mtriz, de mesm ordem dquels que form somds (ou sutríds)! Pr somrmos (ou sutrirmos) dus mtrizes, só teremos que somr (ou sutrir) os elementos que estejm ns posições correspondentes!
Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr 9 # Proprieddes d Adição de Mtrizes Sejm A, B, C e O mtrizes de mesm ordem, sendo O mtriz nul. Então, vlem s seguintes proprieddes pr dição de mtrizes: i. Propriedde Comuttiv: A + B = B + A ii. Propriedde Associtiv: (A + B) + C = A + (B + C) iii. iv. Existênci de um elemento neutro: A + O = A Existênci de mtriz opost: A + (-A) = O v. Trnspost d som: (A + B) t = A t + B t # Produto ou divisão de um número rel por um Mtriz Apens multiplicremos (ou dividiremos) constnte por cd um dos elementos d mtriz. E chegremos à mtriz resultnte! Proprieddes Sejm A, B e O mtrizes de mesm ordem m x n, sendo que O é mtriz nul. Considere, ind, que c e k são números reis quisquer. Feits esss considerções, são válids s seguintes proprieddes: i. 1. A = A ii. 0. A = O iii. k. O = O iv. k. (A + B) = k. A + k. B v. (A + B). k = k. A + k. B vi. k. (c. A) = (k. c). A vii. (k. A) t = k. A t # Multiplicção de Mtrizes Pr que sej possível se efetur o produto de dus mtrizes, é preciso que o número de coluns d primeir mtriz sej igul o número de linhs d segund mtriz. Funcion ssim: pr que o produto de dus mtrizes sej possível, comprremos s dimensões dos meios. Se forem iguis, então diremos que é possível, sim, relizr esse produto! Se os meios, o contrário, fossem diferentes, já nem poderímos multiplicr s mtrizes! Um vez consttdo que o produto é possível, verificremos os extremos: e í nós temos qul será dimensão d mtriz produto! Dd s mtrizes A e B ixo, clculremos mtriz produto: C = A x B. A = 11 1 1 1 B = 11 1 1 1
10 Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr C = A x B = 11 1 1 1 x 11 1 1 1 c11 c1 = c1 c Pr chr um elemento d mtriz produto, estremos sempre multiplicndo um linh d primeir mtriz por um colun d segund mtriz. Dí, n hor de clculr o vlor do elemento c 11, fremos o produto dos elementos d 1ª linh d primeir mtriz pelos elementos d 1ª colun d segund mtriz. Ou sej, os índices desse elemento c 11 (d mtriz produto) significm o seguinte: c 11 1ª linh d 1ª mtriz 1ª colun d ª mtriz O elemento c 1 é otido prtir do produto dos elementos d 1ª linh d primeir mtriz (A) pelos elementos d ª colun d segund mtriz (B). O elemento c 1 é otido prtir do produto dos elementos d ª linh d primeir mtriz (A) pelos elementos d 1ª colun d segund mtriz (B). O elemento c é otido prtir do produto dos elementos d ª linh d primeir mtriz (A) pelos elementos d ª colun d segund mtriz (B). # Proprieddes d multiplicção de Mtrizes i. Propriedde Associtiv: (A. B). C = A. (B. C) ii. iii. iv. Propriedde Distriutiv à Esquerd: A. (B + C) = A. B + A. C Propriedde Distriutiv à Direit: (A + B). C = A. C + B. C Existênci de um elemento neutro: A. I = I. A = A v. Trnspost do produto: (A. B) t = B t. A t vi. Potênci de um mtriz: A n = A. A. A..... A n ftores Note que não temos propriedde comuttiv, pois não podemos grntir que A.B é igul B.A. # Mtriz Invers O primeiro requisito pr que um mtriz possu invers é que el sej um mtriz qudrd. Além disso, o seu determinnte deve ser diferente de zero. Se mtriz não é inversível, dizemos que el é um mtriz singulr. # Proprieddes d Mtriz Invers Sejm A e B mtrizes qudrds inversíveis e I mtriz Identidde, tods de mesm ordem. A seguir são mostrds lgums proprieddes envolvendo mtriz invers: i. A. A -1 = I ii. A -1. A = I iii. (A. B) -1 = B -1. A -1 DETERMINANTES # Determinnte de um Mtriz Qudrd de 1ª Ordem Seu determinnte será o próprio elemento que compõe mtriz!
Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr 11 # Determinnte de um Mtriz Qudrd de ª Ordem Será clculdo em dois pssos. No primeiro psso, multiplicremos os elementos d digonl principl e os elementos d digonl secundári. No segundo, sutriremos esses resultdos do primeiro psso: (produto d digonl principl menos produto d digonl secundári). # MENOR COMPLEMENTAR Consideremos um mtriz M de ordem n, sej ij um elemento de M. Definimos menor complementr do elemento ij, e indicmos por D ij, como sendo o determinnte d mtriz que se otém suprimindo linh i e colun j de M. # COFATOR Consideremos um mtriz M de ordem n, sej ij um elemento de M. Definimos coftor de ij, e indicmos por A ij, como sendo o número (-1) i+j.d ij. # TEOREMA DE LAPLACE Sej M um mtriz qudrd de ordem mior ou igul. Sore o determinnte dess mtriz, o teorem de Lplce firm: O determinnte de M é igul à som dos produtos dos elementos de um fil qulquer (linh ou colun) pelos seus respectivos coftores. # Cálculo d Mtriz Invers de um Mtriz de Segund Ordem O primeiro psso é clculr o determinnte d mtriz. Depois, divid cd elemento d mtriz pelo vlor do determinnte d mtriz. Pr finlizr, invert o sinl (+ vir, e vir +) dos elementos d digonl secundári e troque de posição os elementos d digonl principl. # Mtriz Invers de um Mtriz de Terceir Ordem A mtriz invers pode ser otid prtir d fórmul: Onde: B B 1 é mtriz djunt d mtriz B. B det B Mtriz djunt é trnspost d mtriz dos coftores, quel formd pelos coftores de cd elemento d mtriz originl. # PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 1ª) Determinnte d Mtriz Trnspost Se A é um mtriz qudrd de ordem n e A t su trnspost, então o determinnte de A t é igul o determinnte de A. ª) Fil Nul det(a t ) = det(a) Se os elementos de um fil (linh ou colun) qulquer de um mtriz A de ordem n forem todos nulos, então o determinnte de A será igul zero. det(a) = 0 ª) Multiplicção de um fil por um constnte Se multiplicrmos um fil (linh ou colun) qulquer de um mtriz A de ordem n por um número k, o determinnte d nov mtriz será igul o produto de k pelo determinnte de A. det(k vezes um fil de A) = k. det(a)
1 Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr 4ª) Multiplicção de um Mtriz por um constnte Se multiplicrmos um mtriz A de ordem n por um número k, o determinnte d nov mtriz será igul o produto de k n pelo determinnte de A. 5ª) Fils prlels iguis det (k. A) = k n. det(a) Se um mtriz A de ordem n tem dus fils prlels formds por elementos correspondentes iguis, então o determinnte de A é igul zero. det(a) = 0 6ª) Fils prlels proporcionis Se um mtriz A de ordem n tem dus fils prlels formds por elementos respectivmente proporcionis, então o determinnte de A é igul zero. det(a) = 0 7ª) Troc de fils prlels Sej A um mtriz de ordem n. Se trocrmos de posição dus fils prlels oteremos um nov mtriz B tl que: det(b) = det(a) 8ª) Produto de Mtrizes Sej A e B são mtrizes qudrds de ordem n, então: det(a. B) = det(a). det(b) 9ª) Mtriz Tringulr ou Mtriz Digonl O determinnte é igul o produto dos elementos d digonl principl. 10ª) Mtriz Invers Sej A -1 é mtriz invers de A, então relção entre os determinntes ds mtrizes A -1 e d mtriz A é ddo por: det(a -1 ) = 1 / det(a) 11ª) Cominção liner de fils prlels Sej A um mtriz qudrd. Se os elementos de um fil (linh ou colun) de A são cominções lineres dos elementos correspondentes ds outrs fils prlels, então o determinnte de A é igul zero. det(a) = 0 SISTEMAS LINEARES Um sistem de equções lineres ou, simplesmente, sistem liner é um conjunto de dus ou mis equções lineres. A mtriz formd pelos coeficientes ds incógnits é chmd de Mtriz Incomplet. # Solução de um Sistem Liner Num sistem com dus incógnits, um pr de vlores (x, y) é solução desse sistem, se for solução ds dus equções. Num sistem com três incógnits, solução é um tripl ordend (x, y, z) que deverá stisfzer tods s equções do sistem. Existem dois métodos em conhecidos pr resolver sistems de equções: o método d sustituição e o método d dição.
Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr 1 # Clssificção de um Sistem Liner A clssificção de um Sistem Liner é feit de cordo com o número de soluções que o sistem possui, d seguinte form: Sistem Possível O sistem liner é clssificdo como possível qundo ele dmite pelo menos um solução. O sistem possível pode ind ser clssificdo como: Determindo: qundo o sistem dmite um únic solução. Indetermindo: qundo o sistem dmite infinits soluções. Sistem Impossível O sistem liner é clssificdo como impossível qundo ele não dmite solução. Vejmos ess clssificção do sistem liner mostrd de outr form, trvés do seguinte desenho: Sistem Liner Possível Admite solução Impossível Não dmite solução Determindo Um únic solução Indetermindo Infinits soluções # Sistems Homogêneos Dizemos que um sistem liner é homogêneo qundo os termos independentes do sistem forem todos iguis zero. Oserve que o sustituirmos s incógnits (x, y,...) por zero, teremos um solução pr o sistem. Ess solução é chmd de solução nul, trivil ou imprópri. Como já temos grntid solução nul, então o sistem homogêneo é sempre possível (dmite pelo menos um solução). Se o sistem possui pens solução nul, ele é possível e determindo. Hvendo outrs soluções, lém d solução nul, ele será clssificdo como possível e indetermindo. Esss outrs soluções receem o nome de soluções não nuls, não triviis ou própris. # Regr de Crmer Qundo um sistem liner tiver o número de equções igul o número de incógnits, e o determinnte d mtriz incomplet for diferente de zero, podemos encontrr solução desse sistem por meio d Regr de Crmer. Suponh um sistem liner com dus equções e dus incógnits (x e y). Pel Regr de Crmer solução do sistem é dd por: det( Ax ) x det( A) det( Ay ) y det( A)
14 Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr Onde A é mtriz incomplet do sistem, A x é mtriz d incógnit x e A y é mtriz d incógnit y. (No próximo exemplo será mostrdo como se constrói tis mtrizes.) Se houvesse três vriáveis (x, y e z), incógnit z que fri prte d solução do sistem, seri clculd de form semelhnte o cálculo de x e y. # Análise do Sistem Liner Vimos n seção nterior que, se o determinnte d mtriz incomplet é diferente de zero ( det(a) 0 ), o sistem é Possível e Determindo, e solução pode ser otid pel Regr de Crmer. Se o determinnte d mtriz incomplet é igul zero ( det(a)=0 ), o denomindor ds frções ds incógnits será igul zero. Deste modo, dependendo do numerdor d frção d incógnit, o sistem pode ser Impossível (não dmite solução) ou o sistem é Possível e Indetermindo (dmite infinits soluções). Em sum, temos: det(a) 0 o sistem é Possível e Determindo. det(a) = 0 o sistem é Impossível ou Possível e Indetermindo. Cso det(a) sej igul zero, teremos que nlisr o sistem pr clssificá-lo em um ds dus situções descrits cim. É recomendável utilizr ess regr pens qundo o sistem tiver prtes literis (letrs que representm números e que não são incógnits).
Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr 15 GEOMETRIA # Tipos de ângulos Ângulo reto: É quele cuj medid é igul 90º (ou / rd). 90º Ângulo rso: É quele cuj medid é igul 180º (ou rd). 180º Ângulo gudo: É quele cuj medid é menor que de um ângulo reto. Ângulo otuso: É quele cuj medid é mior que de um ângulo reto e menor que de um rso. # Ângulos em rets prlels e trnsversis Dus rets prlels r e s, interceptds por um trnsversl, determinm oito ângulos. t d c r s Nomencltur Ângulos correspondentes: e ; e ; c e ; d e Ângulos lternos internos: c e ; d e Ângulos lternos externos: e ; e Ângulos colteris internos: c e ; d e Ângulos colteris externos: e ; e Ângulos opostos pelo vértice: e c; e d; e ; e Propriedde São congruentes. Dí: = ; = ; c = ; d = São congruentes. Dí: c = ; d = São congruentes. Dí: = ; = São suplementres. Dí: c + = 180º; d + = 180º São suplementres. Dí: + = 180º; + = 180º São congruentes. Dí: = c; = d; = ; =
16 Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr # Comprimento d circunferênci C = r # Comprimento de um rco d circunferênci Sendo que um volt complet n circunferênci corresponde um ângulo de 60º (ou rd), podemos encontrr medid de qulquer rco trvés de um regr de três simples. # TRIÂNGULOS Qunto os ldos: Equilátero: tem os três ldos iguis e os três ângulos iguis. 60º Isóceles: tem dois ldos iguis e dois ângulos iguis. Escleno: os três ldos são diferentes e tmém os três ângulos. 60º 60º Qunto os ângulos: Retângulo: possui um ângulo reto. Acutângulo: todos os ângulos são menores que 90º. Otusângulo: possui um ângulo mior que 90º. # Condição de existênci do triângulo B c C A Qulquer ldo do triângulo está compreendido entre diferenç positiv e som dos outros dois. Ou sej: c < < + c c < < + c < c < + # Teorem do ângulo interno A som dos ângulos internos de um triângulo é igul 180. A + B + C = 180º
Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr 17 # Teorem do ângulo externo Em qulquer triângulo, medid de um ângulo externo é igul à som ds medids dos dois ângulos internos não-djcentes. A e = + B C e # Cevins do triângulo Cevin é qulquer segmento de ret que tem um extremidde num vértice de um triângulo e outr num ponto qulquer d ret suporte do ldo oposto esse vértice. Veremos s cevins mis importntes: Medin, Bissetriz intern e Altur. # Medin È o segmento que une um vértice o ponto médio do ldo oposto. # Altur É o segmento que prte de um vértice e é perpendiculr o ldo oposto. # Bissetriz É o segmento que prte de um vértice e divide o ângulo em dus prtes iguis (em dois ângulos congruentes). A C D B Teorem d issetriz intern: issetriz do ângulo interno de um triângulo determin sore o ldo oposto dois segmentos proporcionis os outros dois ldos. D figur cim, temos: BD = AB DC AC
18 Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr # Pontos notáveis do triângulo INCENTRO BARICENTRO A Z Y O B X C O incentro é o ponto de encontro ds issetrizes interns. O incentro será o centro d circunferênci inscrit no triângulo. ORTOCENTRO O ricentro é o ponto de encontro ds medins. O ricentro divide cd medin em dois segmentos de modo que o menor é 1/ d medid d medin. Ou sej: OX = AX/; OY = BY/; OZ = CZ/. CIRCUNCENTRO O ortocentro é o ponto de encontro ds lturs. O circuncentro é o ponto de encontro ds meditrizes dos ldos do triângulo. (A meditriz de um segmento é ret perpendiculr que pss pelo ponto médio desse segmento.) O circuncentro é o centro d circunferênci circunscrit o triângulo. No triângulo eqüilátero, o incentro, o ricentro, o ortocentro e o circuncentro coincidem num único ponto.
Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr 19 # Relções métrics no triângulo retângulo O triângulo ABC ixo é chmdo de triângulo retângulo porque possui um ângulo interno igul 90º. A c h B m n C Vmos crcterizr os elementos seguintes desse triângulo: : hipotenus e c : ctetos h : ltur reltiv à hipotenus m e n : projeções dos ctetos sore hipotenus Temos s seguintes relções métrics no triângulo retângulo: 1) c = h ) c = m. ) = n. 4) h = m.n Teorem de Pitágors: O qudrdo d hipotenus é igul som dos qudrdos dos ctetos. Assim: = + c # Relção de Stewrt Ddo um triângulo ABC qulquer e sendo D um ponto do ldo BC, vle relção: c.n +.m x. =.m.n A c x B m D n C Not: Pode-se clculr medin de um triângulo trvés do teorem de Stewrt. Ao clculr medin reltiv o vértice A, teremos m=n. # QUADRILÁTEROS Qudrilátero é o polígono de qutro ldos. A som dos ângulos internos de um qudrilátero é igul 60º. Alguns qudriláteros notáveis são: prlelogrmo, retângulo, losngo, qudrdo e trpézio. Prlelogrmo É o qudrilátero cujos ldos opostos são prlelos. No prlelogrmo tmém se oserv: - Os ldos opostos são congruentes; - Os ângulos opostos são congruentes; - Os ângulos djcentes são suplementres.
0 Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr Retângulo É o prlelogrmo que possui seus qutro ângulos retos. Losngo É o prlelogrmo que tem os qutro ldos iguis. Qudrdo É o prlelogrmo que tem os qutro ldos e os qutro ângulos iguis entre si. Trpézio É o qudrilátero em que pens dois ldos são prlelos entre si. Bse Médi do Trpézio Sendo M o ponto médio de AD e N o ponto médio de BC, medid do segmento MN, chmd de se médi do trpézio, é dd por: MN = AB+CD. Bse Médi do Triângulo Se interligrmos os pontos médios de dois ldos de um triângulo, teremos um segmento que será: 1o) prlelo o terceiro ldo; o) igul à metde do terceiro ldo. # POLÍGONOS Se os ldos forem todos iguis e os ângulos internos tmém, o polígono diz-se regulr. Digonis de um polígono De um único vértice, num polígono de n ldos (e n vértices), prtem n digonis. Nº de digonis do polígono = n( n ) Ângulos internos e externos de um polígono 1º) A som dos ângulos internos = i 1 + i +...+ i n = 180º.(n-) º) A som dos ângulos externos = e 1 + e +...+ e n = 60º º) Se o polígono for regulr, ele tem todos os ângulos congruentes, dí vem: ângulo interno de um polígono regulr de n ldos = 180 (n ) ângulo externo de um polígono regulr de n ldos = 60 # TEOREMA DE TALES Um feixe de prlels determin, em dus trnsversis quisquer, segmentos que são proporcionis. t 1 t n n A D r 1 B E r C F r
Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr 1 Posto isso, teremos: Ou ind: AB DE BC EF AB DE BC EF AC DF # SEMELHANÇA DE POLÍGONOS Dois polígonos ABCDE... e A B C D E..., com o mesmo número de ldos, são semelhntes se, e somente se: 1º) seus ângulos correspondentes (homólogos) são congruentes, isto é: Â = Â, B = B, Ĉ = Ĉ,... º) seus ldos homólogos são proporcionis, isto é: AB = BC = CD = = k A B B C C D A constnte k, de proporcionlidde entre os ldos, é chmd rzão de semelhnç dos polígonos. Dd constnte k de proporcionlidde entre os ldos, temos tmém que: - A rzão entre os perímetros é k; - A rzão entre s digonis homólogs é k; - A rzão entre s lturs homólogs dos vértices é k; Enfim, rzão entre dois elementos lineres homólogos é k. A rzão entre s áres de polígonos semelhntes é igul o qudrdo d rzão de semelhnç, ou sej, k. # ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS Retângulo: Áre =. Qudrdo: Áre = Prlelogrmo: Áre = se x ltur = x h Trpézio: Áre = (B + ).h Losngo: Áre = D. d d = digonl menor D = digonl mior Triângulo qulquer Áre = se x ltur = x h ou Áre =..sen ou Áre = p( p )( p )( p c), p = semi-perímetro.
Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr Triângulo Eqüilátero h = e Áre = 4 Triângulo Inscrito num Circunferênci c R Áre do triângulo =..c 4R Triângulo Circunscrito um Circunferênci c r Áre do triângulo = (++c).r Áre do Círculo: Áre = r Setor Circulr r Pel plicção d regr de três simples, teremos: Áre = r o 60 Hexágono Regulr: Áre = 6 4
Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr # VOLUME DOS SÓLIDOS Prlelepípedo retângulo Volume = áre d se x ltur =.. c Áre totl = ( + c + c) Cuo Volume = áre d se x ltur =. = Áre totl = ( + + ) = 6 Cilindro Volume = áre d se x ltur = r. h Esfer Áre lterl = r. h Áre totl = áre lterl + áre ds ses = rh +.r Volume = 4R Áre d superfície esféric = 4 R Pirâmide Volume = áre d se x ltur Pr o tetredro regulr (s fces são triângulos eqüiláteros), o volume é: Volume = 4 h Cone Volume = áre d se x ltur = r. h # EQUAÇÃO DA RETA A equção de um ret é dd pel expressão: Onde: y =.x + y: é ordend dos pontos d ret; x: é sciss dos pontos d ret; : coeficiente ngulr d ret; : coeficiente liner d ret. # Coeficiente Angulr d Ret O coeficiente ngulr indic declividde d ret. Qunto mior o seu módulo, mis próxim ret estrá d verticl e qunto menor o seu módulo, mis próxim ret estrá d horizontl. Se o coeficiente ngulr é nulo, ret é horizontl. A ret é crescente se e somente se o coeficiente ngulr é positivo, e ret é decrescente se e somente se o coeficiente ngulr é negtivo.
4 Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr O coeficiente ngulr de um ret é o vlor d tngente do ângulo que ret fz com o eixo ds scisss. = tg O coeficiente ngulr de um ret tmém pode ser determindo prtir de dois pontos d ret. Ddos os pontos P 1=(x 1,y 1) e P =(x,y ), com x 1x, o coeficiente ngulr d ret que pss por estes pontos é o número rel: y x y1 x 1 # Coeficiente Liner d Ret O coeficiente liner de um ret é ordend (ltur) do ponto onde ret cort o eixo y. # Equção d ret prtir de um ponto e do coeficiente ngulr Ddos o ponto P 1=(x 1,y 1) e o coeficiente ngulr, equção d ret pode ser determind por: y y 1 =.(x x 1) # Equção d ret prtir de dois pontos d ret Ddos os pontos P 1=(x 1,y 1) e P =(x,y ), com x 1x, podemos determinr o coeficiente ngulr d ret trvés d expressão: y x y1 x 1 Sustituindo este vlor de n equção nterior d ret, teremos: y y 1 = y x y1 x 1.(x x 1) # Rets Horizontis e Verticis Se um ret é horizontl, o seu coeficiente ngulr é nulo e equção dest ret é dd por y=, onde é ordend do ponto onde está ret cort o eixo Y. Se um ret é verticl el não possui coeficiente liner e nem coeficiente ngulr. Assim, ret é indicd pens por x=k, onde k é sciss do ponto onde ret cort o eixo X. # Rets Prlels e Perpendiculres Rets prlels: Dus rets no plno são prlels se ms são verticis ou se possuem coeficientes ngulres iguis. Rets perpendiculres: Dus rets no plno são perpendiculres se um dels é horizontl e outr é verticl, ou se o produto de seus coeficientes ngulres é igul 1, isto é, '."= 1. # ÁREA DE UM TRIÂNGULO NO PLANO CARTESIANO Ddos três pontos não-colineres: (x 1,y 1), (x,y ) e (x,y ), podemos determinr áre do triângulo que tem por vértices esses pontos. x 1 y 1 1 Áre = 1/. det det ( x y 1) x y 1
Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr 5 Se áre for zero, isso indic que os três pontos são colineres. # EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA Um circunferênci com centro C(x c,y c) e de rio r é o lugr geométrico de todos os pontos (x,y) do plno que distm r de C, ou sej: r = (x x c ) + (y y c ) Elevndo memro memro o qudrdo, teremos: (x x c ) + (y y c ) = r Est equção é chmd de equção reduzid d circunferênci.
6 Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr TRIGONOMETRIA # Relções entre dois ângulos Dois ângulos são complementres qundo som deles é igul 90º(ou /). Dois ângulos são suplementres qundo som deles é igul 180º(ou ). Dois ângulos são replementres qundo som deles é igul 60º(ou ). Dois ângulos são explementres qundo sutrção deles é igul 180º(ou ). # A função y = sen x O domínio (os vlores que x pode ssumir) d função seno é igul o conjunto dos reis. Sendo unidde de x em rdinos ou grus. Pelo ciclo trigonométrico consttmos que o seno de x é um vlor no intervlo [-1, 1], ou sej, -1 sen x 1. O gráfico d função seno é chmdo de senóide. Temos seguinte senóide pr vlores de x de -180º (-) 540º (). 1 y = sen x -180º -90º 0 90º 180º 70º 60º 450º 540º x -1 A senóide é periódic com período igul 60º (). # Sinl d função seno eixo dos senos II I III IV # A função y = cos x O domínio (os vlores que x pode ssumir) d função cosseno é igul o conjunto dos reis. Sendo unidde de x em rdinos ou grus. Pelo ciclo trigonométrico consttmos que o cosseno de x é um vlor no intervlo [-1, 1], ou sej, -1 cos x 1. O gráfico d função cosseno é chmdo de cossenóide. Temos seguinte cossenóide pr vlores de x de -90º (-/) 450º (5/). y = con x 1-90º 0 90º 180º 70º 60º 450º x -1
Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr 7 A cossenóide é periódic com período igul 60º (). Note que cossenóide nd mis é que senóide deslocd de 90º pr esquerd. # Sinl d função cosseno II I eixo dos cossenos III IV # D simetri no círculo trigonométrico podemos oter: sen (180º-) = sen cos (180º-) = - cos cos (60º-) = cos sen (60º-) = sen cos (-) = cos sen (-) = sen sen (180º+) = - sen cos (180º+) = - cos # Relção Fundmentl entre Seno e Cosseno sen x + cos x = 1 # Função Tngente sen x tg x cos x # Sinl d função tngente II I III IV # Função Cotngente cos x cot g x ou sen x 1 cot g x tg x
8 Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr # Função Secnte sec x 1 cos x # Função Cossecnte 1 cos sec x sen x # Vlores Notáveis pr s funções sen, cos, tg, cotg, sec e cossec x sen x cos x tg x cotg x sec x cossec x 0º 0 1 0 0 1 0 0º 45º 60º 1 1 1 1 90º 1 0 -- 0 -- 1 180º 0-1 0 -- -1 -- 70º -1 0 -- 0 -- -1 1 # Relções Fundmentis 1ª) sen x + cos x = 1 4ª) ª) sen tg x cos x x 5ª) sec x cos sec 1 cos x 1 x sen x ª) 1 cot g x tg x # Relções Decorrentes 1ª) ª) tg x 1 sec x cot g x 1 cossec x D primeir fórmul, pode-se estelecer um relção diret entre tngente e cosseno, e tmém entre tngente e seno. Vejmos: tg x 1 sec x 1 tg x 1 cos x 1 tg x 1 1 sen x # Relção entre Ângulos Complementres O complementr do ângulo x é o ângulo (90º x). E temos s seguintes relções entre ângulos complementres: 1ª) sen x = cos(90º x) ª) cos x = sen(90º x)
Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr 9 # Fórmuls do rco duplo 1ª) cos x = cos x sen x ou cos x = cos x 1 = 1 sen x ª) sen x =.sen x. cos x # Fórmuls d Som e Diferenç 1ª) cos ( + ) = cos. cos sen. sen ª) cos ( ) = cos. cos + sen. sen ª) sen ( + ) = sen. cos + sen. cos 4ª) sen ( ) = sen. cos sen. cos 5ª) 6ª) tg tg tg( ) 1 tg tg tg tg tg( ) 1 tg tg # Fórmuls de Divisão 1ª) cos (x/) = ª) sen (x/) = 1 cos x 1 cos x # Trnsformção em produto 1ª) cos + cos =. cos (+)/. cos ( )/ ª) cos cos =. sen (+)/. sen ( )/ ª) sen + sen =. sen (+)/. cos ( )/ 4ª) sen sen =. sen ( )/. cos (+)/ # Rzões Trigonométrics no Triângulo Retângulo c sen cteto oposto hipotenus ; cos cteto djcente hipotenus c ; tg cteto oposto cteto djcente c. # Lei dos Senos A c B C
0 Rciocínio Lógico Simplificdo Vol. Mteril Complementr Em qulquer triângulo, o quociente entre cd ldo e o seno do ângulo oposto é constnte. sen Aˆ sen Bˆ c sen Cˆ E sendo R o rio d circunferênci circunscrit o triângulo ABC, vle relção: # Lei dos Cossenos sen Aˆ sen Bˆ c R sen Cˆ Em qulquer triângulo, o qudrdo de um ldo é igul à som dos qudrdos dos outros dois ldos sutríd do doro do produto desses dois ldos pelo cosseno do ângulo formdo entre eles. = + c..c.cos Â