8 Aplicações e exemplos Ese capíulo mosra algumas aplicações práicas dos modelos e apona ouras, de anos exemplos exisenes na lieraura. Os modelos apresenados êm implicações para os agenes que auam nos mercados de commodiies. Esas implicações ocorrem ano no curo como no longo prazos. No primeiro caso auam os agenes que buscam no mercado fuuro proeção para suas posições. Desacam-se os compradores e vendedores da commodiy. Tais agenes podem ambém auar no mercado de derivaivos dos mercados fuuros. Já no longo prazo, desacam-se os invesidores e financiadores dos projeos de produção desas commodiies. Porano, é claro que ais modelos podem ser úeis na análise de proeção (hedging) e na orçamenação de capial, ou seja, na análise de decisões de invesimenos denro da disciplina denominada Opções Reais. Em suma, pode-se dizer que há duas grandes verenes que podem fazer uso dos modelos apresenados. A primeira área é a de orçamenação de capial onde esá siuada a disciplina de Opções Reais que raa da valoração dos projeos de desenvolvimeno ou aproveiameno desas commodiies. A segunda é a área de inanças propriamene, onde se desacam as operações de proeção e apreçameno de derivaivos de fuuros. O capíulo possui duas seções, em cada uma é abordado um dos emas mencionado. 8. Implicações para a área de Opções Reais Uma nova disciplina surgiu a parir da evolução dos conhecimenos em inanças a parir da década de 80. Traa-se da Teoria das Opções Reais que abriga Veja em Dixi e Pindyck (994) e em Trigeorgis (996) um desenvolvimeno compleo dos conceios desa nova disciplina.
Aplicações e exemplos 56 as quesões referenes à valoração dos aivos reais ou projeos de invesimenos. Esa disciplina ganhou impulso na década de 90 no meio acadêmico e gradaivamene orna-se mais popular na indúsria. Dezenas de livros, arigos écnicos e páginas na inernee são dedicados ao ema. Um dos pioneiros arigos em Opções Reais foi publicado por Brennan e Schwarz (985). Nele os auores raam dos rês pronos mais relevanes da disciplina: a valoração do aivo, o insane óimo de invesir e o gerenciameno óimo da produção do projeo. Em geral, os esudos denro dese ema consideram que o valor de um projeo é função do preço da commodiy e do empo. Assim, V = V(S, ) reraa o valor do projeo em função do preço à visa e do empo. Em conseqüência, a evolução do preço S afea o valor V. Iso significa que o comporameno esocásico da commodiy é fundamenal na valoração do projeo. Nese arigo mencionado acima, foi analisada a valoração de uma mina de cobre. O valor dese aivo esá ligado ao processo esocásico do cobre. Os auores consideraram apenas uma fone de incereza, iso é, apenas uma variável esocásica, o preço à visa S. A derivação do modelo resulou em uma EDP linear de segunda ordem. Em geral esas equações diferenciais não possuem soluções analíicas fechadas. A solução deve ser implemenada numericamene, como é o caso do valor da mina de cobre. Nem sempre o valor V do aivo esá ligado somene a uma fone de incereza. No caso de commodiies, o mais realisa é considerar duas fones de incerezas. Em Gibson e Schwarz (990) os auores apresenam o preço à visa e o reorno de conveniência como variáveis esocásicas. Enão o valor V será al que V = V(S, δ, ) onde δ é o reorno de conveniência. Como resulado, a derivação do modelo implica em uma EDP que é função desas duas variáveis de esado. Nese caso a EDP resulane é linear e de segunda ordem. Sua solução ambém foi implemenada numericamene. À medida que aumenam as fones de incerezas (ou variáveis esocásicas), o problema ende para soluções mais complexas. Exisem ouras pesquisas que raam de diferenes fones de incereza com em Aiube (995) onde o valor do projeo é função do preço à visa e do volume da reserva: V = V(S, R, ), onde R é uma variável esocásica pois o volume da jazida não é conhecido com precisão, e ao longo do empo o
Aplicações e exemplos 57 conhecimeno dese volume pode acarrear em acréscimos ou reduções. Nese rabalho o valor do projeo resulou em uma EDP de segunda ordem e não linear. Além do valor do aivo, a Teoria das Opções Reais raa do problema do invesimeno como uma opção que pode ser exercida agora ou posergada. O invesimeno é irreversível. Se ese é o caso, uma vez exercida a opção de invesir, o proprieário recebe em roca o aivo projeo. A opção significa um cuso, pois quando exercida, perde-se definiivamene o direio de exercê-la novamene. A regra clássica da decisão de invesir ensina que o invesimeno é viável quando V > I. Agora deve-se levar em consideração o valor da opção de invesir. E a regra da decisão de invesimeno passa a ser V H + I, onde H é o valor da opção de esperar. O valor da opção é função das variáveis que carregam as incerezas: H = H(S, δ, ) para Gibson e Schwarz (990) ou H = H(S, R, ) para Aiube (995), por exemplo. Iso mosra que a decisão de invesimeno é influenciada pelo processo esocásico seguido pela commodiy, ou ainda de forma mais geral, pelas fones de incerezas ligadas ao modelo. Porano, o insane óimo de invesir * S, alera-se como conseqüência do processo seguido pelo preço. Em Schwarz (997) o arigo é finalizado com uma aplicação no campo da Teoria das Opções Reais. A valoração de um projeo e o insane óimo de invesir são calculados para o caso clássico (fluxo de caixa desconado) e para os rês modelos analisados no arigo. Os resulados mosram que o invesimeno óimo é * muio cedo ( S pequeno) quando é usada a eoria clássica da decisão de invesimeno. Quando é considerada a meodologia em que o reorno de conveniência é consane e o preço à visa um processo geomérico Browniano, o insane óimo de invesir é mais arde ( S * é mais elevado). Os rês modelos analisados no arigo para os preços das commodiies recaem em uma siuação inermediária enre os dois casos acima. Em Schwarz e Smih (000) é apresenada oura aplicação para a valoração de projeos. São analisados dois projeos disinos: (i) um projeo de longo prazo em que se considera o empo para a consrução de rês anos, anes do início da produção e, (ii) um projeo de cura mauração onde o invesimeno é insanâneo. É analisada a esraégia óima de invesimeno para cada caso. O valor do projeo é função de duas variáveis de esado do modelo básico, V( χ, ). O valor da opção de invesir é ambém função desas variáveis H( χ, ). No projeo de cura
Aplicações e exemplos 58 mauração a variável de curo prazo influência na regra de decisão: χ em um papel preponderane e grande V H + I. No projeo de longa mauração a variável de curo prazo é menos relevane. A menor influência da variável de curo prazo esá relacionada ao empo de consrução do projeo e a sua longa duração. Esa insensibilidade sugere que uma possível simplificação do modelo é analisá-lo considerando as duas variáveis de esado, porém somene a variável ξ modelada esocasicamene. A análise de projeos aravés de modelos com mais de um faor gera modelos de valoração muio mais complexos. Normalmene as equações diferenciais parciais ganham a dimensão referene ao número de faores considerados. Sob o pono de visa práico, eses problemas dificulam a aplicação e conseqüenemene a difusão da Teoria das Opções Reais denro das corporações. Em Schwarz (998) o auor propõe um modelo de um faor que guarda as boas propriedades dos modelos de dois faores em relação à esruura a ermo dos preços e das volailidades. Os resulados obidos na valoração de projeos de longa mauração são praicamene os mesmos dos modelos de dois faores. Dias e Rocha (999) apresenam a análise de uma concessão perolífera usando processo de reversão à média com salos para o preço do peróleo. A lieraura em Opções Reais é vasa e evolui rapidamene. Iso significa que os processos esocásicos são permanenemene aprimorados refleindo a evolução dos conhecimenos desa disciplina. Ainda deve-se ressalar que os modelos apresenados nesa pesquisa permiem que os parâmeros sob a MME sejam facilmene deerminados, permiindo a calibração dos modelos de Opões Reais. 8. Implicações para a área de inanças A exisência de mercados fuuros onde são negociados conaos fuuros de commodiies abre a possibilidade do surgimeno de uma infinidade de derivaivos deses conraos. Em ouras palavras, o conrao fuuro é o aivo objeo e ouros aivos são negociados com base na evolução dos preços dos conraos fuuros. Assim é que exisem mercados de opções de fuuros. Um dos mercados mais aivos de opções de fuuros é o de opções de íulos do governo americano,
Aplicações e exemplos 59 negociados na CBOT (Chigaco Board of Trade). Os mercados de commodies agrícolas e de peróleo ambém possuem volumes expressivos de negociação. Por conseguine a aplicação de modelos que apreçam conraos fuuros é imediaa. Seu uso permie o apreçameno de derivaivos de fuuros. oram apresenados modelos em que disribuição dos preços fuuros é lognormal sob a MME. Decorre daí que a opção de compra européia de fuuros em o mesmo ipo de solução de Black e Scholes (973). Porano, os modelos analisados êm um poencial grande de aplicações em inanças, como por exemplo, na consrução de curvas de preços fuuros e para apreçameno de opções. Considere o Modelo Básico. Pode-se escrever enão que os preços das opções de compra (C) e venda (P) européias sobre um conrao fuuro que vence em τ, com preço de exercício K, são dadas por (veja Duffie (989)): C = T, 0N(d) - KN(d - σ( τ)) P = -T, 0N(d) + KN(d - σ( τ)) onde: ( T, K) 0 ln = σ( τ) + d σ( τ) r é a axa livre de risco, σ ( τ) é a variância calculada sob a MME, ou seja -kτ -kτ ξ ξτ + e (- e σ Q -kτ -kτ χ σ ( τ) = VAR (ln τ, ) = e (- e ) + σ k N (.) é a função probabilidade acumulada. ρσχσ ) k As equações acima mosram que o cálculo da volailidade foi decorrene do modelo básico. Ese parâmero afea direamene os valores das opções de compra e venda. Oura uilidade dos modelos é na consrução de curvas ou rajeórias dos preços aravés da simulação de Mone-Carlo ano para o preço à visa como para o preço fuuro. Cada caminho gerado dá origem a um preço na daa do vencimeno. Conhecendo-se a disribuição, assim gerada, o valor de um derivaivo pode ser apreçado. Por exemplo, o valor de uma opção de compra em pode ser Q r( τ ) calculada usando a expressão ( ) C = E C e onde E Q (.) significa o valor esperado em sob a MME e o argumeno é o valor da opção no vencimeno τ. Usando a simulação de Mone-Carlo são gerados vários caminhos sob a MME e cada caminho resula um valor para o preço no vencimeno e conseqüenemene
Aplicações e exemplos 60 n * i i = n C r( τ ) para a opção. A equação acima pode enão ser subsiuída por Ĉ = ( ) e onde Ĉ é um esimador do valor da opção. Uma das vanagens desa meodologia é que Ĉ é um esimador não endencioso do preço da opção. Ainda mais, como resulado do eorema do limie cenral, à medida que n cresce, a disribuição de Ĉ é assinóicamene normal e possui erro padrão dado por * VAR(C ) n e r( τ ). A primeira eapa para o procedimeno acima é esimar os parâmeros do modelo. Depois devem ser geradas as curvas referenes as variáveis de esado e ξ sob a MME. Os processos padrões de Wiener desas duas variáveis de esado χ devem ser ais que dw dw χ ξ = ρd. Se, além disso, houver ineresse em gerar caminhos para o preço fuuro o procedimeno segue as eapas do capíulo 6 onde foram gerados os dados arificiais. Muios mercados, que por longos empos sofriam inervenções dos governos, sejam aravés de barreiras proecionisas sejam aravés do exercício monopolisa da aividade, passaram nas úlimas décadas por um processo de desregulamenação, como por exemplo, o mercado de energia elérica. Esa commodiy, que não pode ser esocada, apresena caracerísicas especiais como, por exemplo, picos de demanda por escassez emporária. O comporameno relaivamene regular das curvas de preço de energia (demanda sazonal) raz implicações para o apreçameno dos derivaivos de energia elérica. Em Lucia e Schwarz (00) os auores capuram os efeios da sazonalidade aravés de funções senoidais e explicam o formao das curvas de preços fuuros a parir do padrão de sazonalidade ao longo do ano. Villaplana (004) ambém analisa o mercado de energia e avalia o premio de risco dos salos dos preços decorrenes de sua escassez. Usa para al o modelo de dois faores. Para as decisões de proeção (hedge) os modelos apresenados êm implicações imporanes. Considere que se deseja buscar proeção conra as variações de preço do peróleo para a enrega em cinco anos. Enão para se fazer uma proeção adequada com os modelos apresenados deve-se formular o problema da seguine maneira: a sensibilidade do valor presene do compromisso de enregar a commodiy daqui a cinco anos com relação a cada um dos faores, deve ser igual a sensibilidade do porfólio de conraos fuuros usado para
Aplicações e exemplos 6 esabelecer a proeção. Em ermos analíicos, seja ( χ, τ) o preço do conrao fuuro que vence em cinco anos. Deseja-se saber quanos conraos de um ano e de um mês devem ser adquiridos/vendidos para apropriadamene proeger o compromisso de enrega da commodiy em cinco anos. Enão o porfólio é formado por ( χ,, ) e ( χ,, ) para os conraos de um mês e um ano, ξ ξ respecivamene. Sejam ω e ω as quanidades de cada um deses conraos. Enão deve-se usar a condição acima: ω χ, ) + ω χ, ) = e -rτ χ, τ) ω ξ, ) + ω ξ, ) = e -rτ ξ Tomando as derivadas parciais do modelo básico e resolvendo o sisema acima para ω e ω, em-se as posições desejadas para fazer a proeção. Os sinais algébricos indicam a posição de comprado (posiivo) e de vendido (negaivo) no mercado fuuro. O sisema acima foi resolvido para vários preços à visa S. oram uilizados os parâmeros da Tabela 3 esimados usando o painel A pelo P. A axa livre de risco foi assumida como sendo 5% ao ano e consane durane odo o período. A igura 8 mosra o comporameno das curvas ω e ω. No domínio da variável S analisada, noa-se que a posição do conrao de um mês será sempre vendido, enquano que no conrao de um ano será sempre comprado. Seja por exemplo, τ) S = $45,5/ bbl, enão ln( S) = 3, 8 e conseqüenemene enconra-se ω = 0,33 e ω =, 3 conraos conforme mosrado na figura. Ese mesmo exemplo pode ser repeido para diferenes mauridades. É ineressane noar que quano maior a mauridade do conrao, a sua sensibilidade em relação a variável ξ será bem maior do que em relação a enconrado: ξ χ ( χ ( χ, ) =,6, ) χ. Assim para o exemplo acima foi ξ χ ( χ ( χ onde os subscrios são as derivadas parciais., τ) =, τ)
Aplicações e exemplos 6 igura 8 Posição nos conraos fuuros de um mês e um ano