4 Modelos teóricos para a ETTJ

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1 4 Modelos eóricos para a ETTJ 4.1. Inrodução No capíulo 3, descrevemos e eemplificamos a ETTJ observada e alguns conceios a ela relacionados. Nesa seção, vamos descrever a eoria por rás dos modelos da ETTJ. Os modelos eóricos da ETTJ são derivados usualmene com base em argumenos de não-arbiragem e/ ou de equilíbrio. O clássico modelo de CIR, por eemplo, é um rabalho seminal na derivação de modelos eóricos com base em argumenos de equilíbrio. Modelos derivados por argumenos de equilíbrio como CIR necessiam de especificações para a função de produção da economia e para a função de uilidade dos consumidores (normalmene, raa-se de um consumidor represenaivo) em rabalhos relacionados à ETTJ essas especificações são usualmene funções esocásicas em que a incereza é modelada a parir de um movimeno browniano. Da resolução desse problema de equilíbrio, obém-se a equação esocásica que deermina a dinâmica da aa de curo prazo e/ ou livre de risco da economia (que é a aa de juros de equilíbrio dessa economia). Somene, a parir daí, é que se pode ober uma forma funcional para a ETTJ. A necessidade da resolução de odo um problema de equilíbrio como pré-requisio para a obenção da ETTJ mosra que a resolução desses modelos de equilíbrio pode se ornar basane rabalhosa. Por essa razão, a lieraura eórica aual em se baseado fundamenalmene no esudo de modelos obidos por argumenos de não-arbiragem. A razão para isso é a maior simplicidade de ais modelos, afinal eles prescindem da resolução de um modelo de equilíbrio para a obenção da aa livre

2 Modelos eóricos para a ETTJ 38 de risco. Além disso, como eplicamos abaio, os modelos de não-arbiragem incluem os modelos de equilíbrio. Os modelos derivados por argumenos de não-arbiragem necessiam basicamene de 3 ingredienes fundamenais: 1. Especificam-se equações diferenciais esocásicas para cada um dos faores da economia Especifica-se uma função que deermina a dinâmica da aa de curo prazo da economia a parir dos faores da economia; 3. Especifica-se uma forma funcional para o preço do risco de mercado 21 como veremos o preço do risco de mercado dá a medida da aversão ao risco dos agenes.além disso, como veremos, o preço do risco de mercado esá relacionado à forma pela qual mudamos a medida de probabilidade de um mundo com risco para a medida de probabilidade de um mundo sem risco A parir daí, acoplado à hipóese de não-arbiragem, obém-se um funcional 22 para a ETTJ que associa a cada vencimeno, dada a aa de juros de curo prazo em deerminado insane, uma aa de juros. Um eemplo desse approach é Dai e Singleon (2000), onde a parir de diversas especificações diferenes para as equações esocásicas que regem os faores da economia 23 e da hipóese da eisência de uma medida de probabilidade neura ao risco 24, os auores esudam, para diversos modelos, as equações de apreçameno dos íulos zero-coupon 25 e as esimações dos modelos, sem fazer 20 Em modelos unifaoriais, a aa de curo prazo é o único faor da economia. Assim não há necessidade de se especificar uma função que deermine a aa de curo prazo a parir dos faores da economia ou, de oura forma, a função que deermina a aa de curo prazo a parir do faor único é a função idenidade. 21 Marke price of risk. 22 Esse funcional é obido a parir de écnicas de cálculo esocásico como o lema de Io. Uma referência imporane para esse e ouro resulados é Oksendal (1998). 23 Nessa lieraura, faor e aa de curo prazo são inercambiáveis. A diferença fundamenal é que em modelos de 1 faor, o faor único é usualmene chamado de aa de curo prazo. 24 A hipóese de eisência de uma medida neura ao risco é equivalene à hipóese de nãoarbiragem. 25 A equação 3, no capíulo 3, mosra a ligação enre o preço dos zero-coupons e a ETTJ.

3 Modelos eóricos para a ETTJ 39 qualquer referência a argumenos de equilíbrio que envolvam consumidores, firmas e/ ou problemas de oimização. Mas, afinal, perde-se algo ao se abandonar os modelos baseados em equilíbrio? Talvez em inuição econômica, afinal os parâmeros de um modelo baseado em equilíbrio são parâmeros de funções de produção ou de funções de uilidade, o que clarifica basane a sua inerpreação econômica. Enreano como Heah, Jarrow e Moron (1992) apona, as equações esocásicas dos faores especificadas eogenamene em um modelo derivado por não-arbiragem podem ser obidas da resolução de um modelo de equilíbrio. Ou seja, ao invés de solucionarmos odo o problema de equilíbrio para que obenhamos a dinâmica da aa de curo prazo r, podemos simplesmene especificar r eogenamene de forma consisene com o r que eria sido obido da solução do problema de equilíbrio e iniciar desse pono o nosso esudo da ETTJ. Nesse senido, a lieraura de modelos baseados em não-arbiragem (com suas mais diferenes especificações para os processos esocásicos) inclui a lieraura de modelos de equilíbrio 26. Ouro pono imporane na defesa do uso de modelos de não-arbiragem foi ambém levanado por HJM (1992). CIR (1985) criica os modelos de nãoarbiragem com um eemplo, em seu arigo seminal, de que a especificação aparenemene lógica para o preço do risco de mercado, em um modelo desse ipo, pode levar a resulados inconsisenes e oporunidades de arbiragem. HJM (1992) argumena, enreano, que, desde que, as especificações para a dinâmica da aa de curo prazo (ou dos faores) e para o preço do risco de mercado sejam consisenes 27, modelos de não-arbiragem levam a ETTJ s consisenes, ou seja, ETTJ s que não apresenam oporunidades de arbiragem e que, por isso, são consisenes com algum modelo de equilíbrio subjacene, ainda que não nos ineresse saber qual é esse modelo eaamene. 26 O ermo incluir significa que as equações de apreçameno dos zero-coupon e de seus valores coningenes, obidas a parir de um modelo de equilíbrio podem ser obidas aravés de um modelo de não-arbiragem, desde que especifiquemos os processos esocásicos dos faores do modelo de não-arbiragem com base nos faores que eriam sido obidos aravés do modelo de equilíbrio. 27 No caso afim, por eemplo, essa consisência implica que o marke price of risk ome forma afim.

4 Modelos eóricos para a ETTJ 40 Em nosso rabalho, vamos esimar modelos clássicos de cada um dos ramos da lieraura. Vasicek é o modelo clássico da lieraura de não-arbiragem e CIR é o modelo clássico da lieraura de equilíbrio. Enreano, como os modelos de nãoarbiragem incluem os modelos de equilíbrio, nas próimas seções em que descrevemos a eoria por rás dos modelos, vamos nos limiar a descrição da eoria dos modelos de não-arbiragem Modelos de não-arbiragem O arcabouço eórico uilizado na resolução dos modelos de não-arbiragem faz uso da moderna eoria de apreçameno de aivos em empo conínuo. Dado o fao hisórico que al eoria se desenvolveu, muias vezes, de forma desconecada a parir de campos disinos do conhecimeno, ela recebe algumas denominações diferenes. Teoria de apreçameno de aivos por medida maringal equivalene em empo conínuo, eoria de apreçameno de aivos por neuralidade ao risco 28 e/ ou eoria de apreçameno de aivos por não-arbiragem. Apesar das denominações disinas, o fundamenal é que, a não ser por pequenas ecnicalidades que fogem do escopo desse rabalho, a eisência de uma medida maringal equivalene, a eisência de uma medida de probabilidade neura ao risco e a ineisência de arbiragem são oalmene equivalenes. Nessa seção, vamos nos focar na radição da eoria que enfaiza a eisência de uma medida de probabilidade neura ao risco como forma de apreçar aivos Apreçameno neuro ao risco Vamos raar a eoria de apreçameno de aivos por neuralidade ao risco 29 como uma caia prea, aendo-nos somene às implicações fundamenais dessa eoria para nossos propósios. Os capíulos 5 e 6 de Duffie (2001) são referência para as principais demonsrações dos mais imporanes resulados da eoria. 28 A razão pela qual al eoria é chamada neura ao risco advém do fao que sob a medida equivalene, os invesidores demandam como reorno esperado de qualquer aivo o reorno esperado da aa livre de risco. Ou seja, sob essa medida de probabilidade, esses invesidores se ornam indiferenes ao risco. 29 A parir de agora, vamos nos referir à eoria como eoria de apreçameno por neuralidade ao risco, acrediamos que essa denominação seja a mais inuiiva.

5 Modelos eóricos para a ETTJ 41 Os íulos zero-coupon são apreçados usualmene aravés de uma medida de probabilidade neura ao risco que chamaremos de Q. Como o nome sugere, sob essa medida arificial de probabilidade, o apreçameno neuro ao risco de aivos é válido. Isso significa que, sob essa medida, os invesidores demandam o mesmo reorno esperado de qualquer aivo na economia, independenemene de seu risco. Sob a medida de probabilidade física, que chamaremos P, os agenes demandam uma compensação pelo risco. Assim para aivos mais arriscados, espera-se um reorno esperado maior. A medida de probabilidade física P é a medida de probabilidade que esá, de fao, ligada ao mundo real. Isso significa que os dados que observamos no mundo real foram, ao menos por hipóese, de fao, gerados a parir de processos ligados à medida P e, não à medida Q. A medida de probabilidade neura ao risco Q é uma medida de probabilidade arificial, sendo que o ermo arificial significa que os processos sob essa medida não êm necessariamene relação com os processos que de fao se realizam no mundo real (eses, como afirmado aneriormene, esão ligados à medida física P). Normalmene, as medidas de probabilidade P e Q não coincidem, uma eceção é observada quando emos agenes neuros ao risco na economia, afinal com agenes neuros ao risco não há compensação por risco no mundo real, e, porano, a medida P e a medida Q devem coincidir. A ligação enre P e Q é dada por uma função de mudança da medida de probabilidade, que esá inimamene ligada à função que chamamos de preço do risco de mercado Apreçameno de íulos zero-coupon Em qualquer modelo eórico da ETTJ em empo conínuo, oma-se como dado um processo para a aa de juros de curo prazo que vamos denominar r 30. Essa aa é a aa livre de risco da economia. Se um invesidor invese $1 em a 30 Na verdade, em modelos mulifaoriais, omam-se como dadas as dinâmicas dos diferenes faores da economia que se combinam, formando a aa de juros de curo prazo. Em modelos unifaoriais, o faor único da economia é a aa de curo prazo e/ou livre de risco.

6 Modelos eóricos para a ETTJ 42 essa aa, e coninua reinvesindo os ganhos, aé o período T>, enão o invesidor erá como reorno desse invesimeno: + ep( rdu u ) (7) Considere um zero-coupon que paga $1 em T e vencimeno no período T. <T? Em T, al íulo valerá obviamene $1, mas qual seu valor em um período Para chegar a essa resposa, repeimos o mais imporane resulado da eoria de apreçameno por neuralidade ao risco: A aa de reorno esperada de qualquer aivo, sob a medida de probabilidade neura ao risco, é igual à aa de reorno esperada da aa de juros sem risco da economia, a aa de curo prazo. A parir desse resulado, emos a igualdade abaio: 1 + Q Q E E ep( rudu) = p (8), onde, E Q 1 p, com prazo ; E Q, é o reorno esperado, sob a medida Q, de um zero-coupon em + ep( ru ) du, é o reorno esperado, sob a medida Q, de um invesimeno no aivo livre de risco da economia., feio em, e manido durane o prazo. Reajusando a epressão acima, emos:

7 Modelos eóricos para a ETTJ 43 + Q p, = E ep( rudu)*1 (9) A equação acima define a esruura a ermo eórica dos preços dos íulos zero-coupon. Dado um deerminado insane, emos o valor de p, que nos fornece o preço, em, do íulo que paga $1 em +. Variando-se, 0< <, emos os preços dos íulos para odos os vencimenos/ mauridades possíveis. A parir do preço de um zero-coupon podemos ober a aa de juros anualizada à que o íulo é negociado e, assim, emos ambém a ETTJ eórica, que é dada pela equação abaio (vide equação 3): y log( p ),, = (10) onde, y,, é a aa anualizada, em, de um zero-coupon com vencimeno + ; p,, é o preço de um zero-coupon em e com vencimeno em + ;, é o prazo, em unidades ano, do íulo. A filosofia para a resolução de qualquer modelo derivado por nãoarbiragem é esa. Especifica-se uma equação para a aa livre de risco da economia (ou para os faores) e resolve-se a epressão (9) ou, equivalenemene, a epressão (10). As caracerísicas diferenciadas de cada modelo surgem das diferenes especificações para a aa livre de risco (ou faores) e das diferenes especificações para o preço do risco de mercado que afea a dinâmica dos faores sob à medida neura ao risco. Nos úlimos anos, a especificação mais popular nessa lieraura em sido a especificação afim que foi esudada por Duffie e Kan (1996). A razão do nome afim vem do fao que solucionando a epressão (10), a ETTJ é dada como uma função afim dos faores da economia, omando a forma: y, = A() + B() (11)

8 Modelos eóricos para a ETTJ 44 onde A() e B() são funções dos parâmeros dos faores e do preço do risco de mercado do modelo. Uma das razões da popularidade de al especificação é o fao de ela incluir como casos pariculares modelos clássicos da lieraura como Vasicek, CIR, Meron e ouros. Dada a naureza de caso geral do modelo afim, vamos esudá-lo na seção 4.6. Assim como vamos esudar ambém os modelos que vamos esimar: o modelo de Vasicek e o modelo de CIR. Mas, anes, aprofundamos as idéias dessa seção com a apresenação de um modelo genérico da ETTJ e sua solução Um modelo genérico da ETTJ Como inroduzimos na seção anerior, um modelo da ETTJ se consiui de rês ingredienes fundamenais: A. uma especificação para a dinâmica dos faores da economia sob a medida P ou a medida Q ; B. Uma função que enha como inpus os faores da economia e como oupu a aa livre de risco da economia; C. uma função para a mudança de medida de probabilidade que possibilie levar os processos na medida de probabilidade física P para a medida de probabilidade neura ao risco Q - a mudança de medida nos permie levar o processo dos faores para a medida P ou Q indiscriminadamene (a mudança de medida carrega uma esreia ligação com a variável denominada preço do risco de mercado, que mede a compensação pelo risco); No caso de modelos unifaoriais, o faor único da economia é a aa livre de risco e, assim, o ingrediene 2 acima é a função de idenidade já que o único faor da economia é a própria aa livre de risco. Em modelos mulifaoriais, os vários faores se combinam aravés de uma função para formar a aa livre de risco. Assim, um modelo genérico para a ETTJ oma a seguine forma:

9 Modelos eóricos para a ETTJ 45 A. A dinâmica para os faores da economia, R n (n indica o número de faores), é dada por um processo markoviano 31 diferencial esocásica abaio: que resolve a equação d = µ ( ) d + σ ( ) dw (12) onde: µ ( ), é o drif da equação acima (raa-se de um veor n 1) ; σ ( ), é o ermo difusão da equação acima (raa-se de uma mariz n n);, é o veor de faores para essa economia (raa-se de um veor n 1); W, é um veor de n movimenos brownianos, sendo que odos são orogonais enre si. O processo é markoviano e homogêneo no empo, pois µ ( ) e σ ( ) dependem eclusivamene do valor de (markoviano) e não de seus valores passados (markoviano). Além disso, o processo independe do valor de, por isso, é chamado homogêneo no empo. Em odos os modelos que esudamos nesse rabalho, os faores são não correlacionados, logo σ ( ) é sempre uma mariz diagonal. B. A aa de juros livre de risco r é uma função dos faores da economia, assim emos: r = r( ) (13) Algumas condições écnicas garanem que qualquer função que enha como parâmero um processo de Io ambém seja um processo de Io. Assim como parâmero o processo de Io ambém é um processo de Io. r, que em 31 O processo de é um processo de Io. Ver Oksendal (1998) para referências sobre processos de Io.

10 Modelos eóricos para a ETTJ 46 C. Função para a mudança da medida de probabilidade enre P e Q. Essa função capura o ajuse ao risco necessário para sairmos de um mundo com aversão ao risco para um mundo com neuralidade ao risco. A função para a mudança de probabilidade é caracerizada pela densidade de probabilidade ξ 32. A equação diferencial esocásica abaio caraceriza essa densidade: dξ σ ξ ( ) dw ξ = (14) ξ 0 = 1 Da equação (3) emos: y, + Q log( E ep( ru( u) du)*1 ) = (15) risco logo a solução y 33,, que nos fornece a ETTJ, é uma função da aa livre de r e, porano, dos faores da economia, mas para chegarmos à solução de y, é necessário que calculemos o valor esperado, sob a medida neura ao risco Q, de uma epressão que depende de. Para isso, emos que ober o processo sob à medida neura ao risco. A parir da definição para a densidade ξ, as condições de Novikov e o eorema de Girsanov (ver apêndice D de Duffie (2001)) garanem que o processo W definido por ' dw dw σ ξ ( ) d = (16) seja um movimeno browniano sob a medida Q. 32 Essa densidade é um processo maringal esriamene posiivo, garanindo que evenos com probabilidade zero sob a medida P ambém enham probabilidade zero sob a medida Q. Para maiores dealhes sobre essa função densidade ver o apêndice E de Duffie (2001).

11 Modelos eóricos para a ETTJ 47 Subsiuindo (16) em (12), obemos a dinâmica dos faores sob à medida neura ao risco Q: d = µ ( ) d + σ ( ) dw (17) Q; e onde, µ µ σ σ ξ σ ' ( ) = ( ( ) ( ) ( )) + ( ) dw σ( ) = σ ( ) é a difusão 34. é o drif do novo processo sob Assim, as epressões (13), (15) e (17) definem a ETTJ ( y, ) no insane como uma função dos faores 35, em, e do prazo para o qual se deseja calcular a aa do íulo zero-coupon, qual seja, = (T-). Equivalenemene, (9), (13) e (17) definem a esruura a ermo dos preços dos íulos zero-coupon. Temos que o preço dos íulos é uma função da aa de curo prazo que por sua vez é uma função dos faores, ou seja: p, = p( r( ), ) = p(, ) (18) Dadas algumas condições écnicas sobre a função p, podemos pelo lema de Io 36 ober a equação diferencial esocásica que descreve a dinâmica de p. A função p ambém será um processo de Io, markoviano e homogêneo no empo. A dinâmica de p será dada por: dp(, ) = µ p(, ) d + σ p(, ) dw (19) p (, ) 33 Aenção à mudança de noação y () = (), onde = T. T, y, 34 O fao da difusão se maner igual é conhecido como o Princípio da Invariância. Ver apêndice D de Duffie (2001). 35 Os faores da economia são ambém chamados de esados da economia. 36 Para referência sobre cálculo esocásico, em paricular, sobre o lema de Io ver Oksendal (1998).

12 Modelos eóricos para a ETTJ 48 onde, ' p (, ) p(, ) 1 ' p (, ) µ p(, ) = + µ ( ) + r σ( ) σ( ) p (, ) p (, ) 2 p (, ) é o drif da nova equação e p (, ), p (, ) e p (, ) denoam as derivadas parciais da função p. Inuiivamene a epressão dp(, ) represena a variação insanânea do p(, ) preço do íulo sobre o preço do íulo, ou seja, a variação na aa paga pelo íulo. Sendo assim, µ (, ) pode ser inerpreado como a aa esperada de reorno p insanânea, em, do zero-coupon com prazo. Se esamos sob à medida neura ao risco Q, enão, para que não eisa oporunidade de arbiragem, a aa esperada de reorno insanânea de um íulo qualquer em que ser igual à aa livre de risco insanânea da economia r. Com esse argumeno inuiivo, chega-se à condição fundamenal aravés da qual resolve-se a equação para o valor de p (, ), qual seja: µ (, p ) = r ( ) (20) Além disso, sabemos que um íulo zero-coupon com prazo zero em valor igual a seu valor de face, ou seja, 1. Logo, para qualquer que seja, emos: p (,0) = 1 (21) Assim, as epressões (19), (20) e (21) nos fornecem uma equação diferencial parcial. Resolvendo-se essa equação obém-se a solução para o valor de p (, ), ou seja, obém-se a esruura a ermo do preço dos íulos zero-coupon. Uilizando-se a equação (10), obém, enão, a ETTJ. O sisema, a parir do qual se obém a ETTJ, é dado por:

13 Modelos eóricos para a ETTJ 49 ' p (, ) p(, ) 1 ' p (, ) + µ ( ) + r σ( ) σ( ) r( ) p (, ) p (, ) 2 = p (, ) p (,0) = 1 (22) y, log( p, ) = Algumas especificações para geram soluções analíicas fechadas para p (, ). Alguns modelos com soluções analíicas fechadas são, por eemplo, Vasicek e CIR. Ouras especificações geram soluções quase-fechadas como o modelo afim de Duffie e Kan. Várias ouras especificações não geram nem uma coisa nem oura e são necessários méodos numéricos 37 para a obenção da solução para p (, ) ou, equivalenemene, a solução para y,. A parir de agora, vamos esudar formas funcionais específicas desse modelo geral. Em paricular o modelo afim de Duffie e Kan e dois de seus casos pariculares: Vasicek e CIR O modelo afim para a ETTJ Como afirmamos aneriormene, em um modelo para a ETTJ, as especificações para a dinâmica dos faores e a especificação para o preço do risco de mercado definem as caracerísicas dos modelos. dada por: Considere a dinâmica genérica para o processo dos faores de uma economia d = µ ( ) d + σ ( ) dw (23) 37 Wilmo (1998) é uma referência para o esudo de méodos numéricos uilizados na solução de equações diferenciais parciais.

14 Modelos eóricos para a ETTJ 50 No modelo afim de n faores, o valor drif e difusão da equação acima são (1) (1) (1) κ ( θ ) (2) (2) (2) κ ( θ ) µ ( ) = ( n) ( n) ( n) κ ( θ ) dados por: (1) (1) (1) α + β 0 0 (2) (2) (2) 2 0 α + β σ ( ) = 0 ( n) ( n) ( n) 0 0 α + β onde (1) (1) α β (2) (2) α α = β, β =, ( n) ( n) α β (1) κ (2) κ κ = ( n) κ e (1) θ (2) θ θ = ( n) θ são os parâmeros a serem escolhidos para essa especificação. O preço do risco de mercado para modelo afim de n faores é dado por: λ α + β λ α + β σξ = λ α + β nessa especificação. (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) ( n) ( n) ( n) ( n), onde (1) λ (2) λ λ = ( n) λ é o parâmero a ser escolhido faor () () () (1) A epressão λ i α i + β i é o preço do risco de mercado associado ao () i. de esado. Como vemos o drif e o quadrado da difusão são funções afins da variável Além disso, a função que deermina a aa livre de risco a parir dos faores ambém é especificada de forma a ser afim nos faores:

15 Modelos eóricos para a ETTJ 51 r = A + B (24) ' 0 0 Solucionando a equação parcial diferencial (22) para esse modelo, obém-se como solução para ETTJ uma epressão, que ambém é afim nos faores da economia, qual seja: y, = A( )/ + B( )/ (25) onde A( ) e B( ) são solução de um sisema de equações diferenciais ordinárias conhecidas como equações de Ricai -, dado por: da( ) 1 = A0 κµ B B B α σ d ' ( i, j) ( i, j) 2 ( ) ( ) i( ) j( ) ( ) 2 i j db( ) 1 = B0 + κ B B B β σ d ' ( i, j) ( i, j) 2 ( ) ( ) i( ) j( ) ( ) 2 i j (26) Onde: κ = κ σ λ β e κ µ = κθ + σ λ α. A solução para a ETTJ - y, - não em, nesse modelo afim, forma fechada. Para calcularmos a aa de um íulo zero-coupon - dados os parâmeros do modelo, dada sua mauridade e dado o valor dos faores da economia - é necessário que calculemos o valor de A( ) e B( ) numericamene por algum méodo que ache solução para sisemas de equações diferenciais ordinárias. Essa é a maior dificuldade em se esimar o modelo afim, pois é necessário implemenar algum méodo numérico que resolva o sisema (26) acima. Como veremos nas próimas seções, os casos pariculares do modelo afim Vasicek e CIR apresenam forma fechada para a solução de A( ) e B( ), o que facilia basane o rabalho de esimação. Oura função ineressane advinda do modelo afim é o ecesso de reorno esperado de um íulo zero-coupon com prazo (ver capíulo 3) sobre a aa livre

16 Modelos eóricos para a ETTJ 52 de risco. No modelo afim descrio acima, o reorno esperado insanâneo de um zero-coupon com prazo, é dado por: (27) 1 p (, ) y (, ) µ = r+ σσξ = r+ σσξ = r+ λ α+ β B( ) ' P (, ) i( i i ) i p (, ) i Na epressão acima, vemos com mais clareza porque σ ξ é chamado preço do risco de mercado. O reorno esperado insanâneo do íulo p (, ) é proporcional á quanidade de risco do íulo associada a variações inesperadas nos faores (por isso, ambém chamados de faores de risco), quais sejam, y (, ) σ. Mas essa quanidade de risco é muliplicada pelo faor σ ξ, que, inuiivamene fornece o preço do risco em ermos de rendimeno adicional esperado requerido (ou seja, o ecesso de reorno esperado). O ecesso de reorno esperado insanâneo sobre a aa livre de risco desse íulo é, enão, dado por: e 1 p() ( ) (28) ξ ' P( ) = σ σ = λi( αi + βi) B i p() i 4.7. O modelo de Vasicek para a ETTJ Vasicek é um caso paricular do modelo afim descrio na seção anerior. Nesse modelo os parâmeros α, β, A 0 e B 0, descrios na seção anerior, assumem valores específicos. Como o modelo de um faor é uma simplificação do modelo de dois faores, apresenamos abaio o modelo de dois faores de Vasicek. No modelo Vasicek os parâmeros α e β do modelo afim assumem valores (1) σ específicos, quais sejam, α = (2) σ e 0 β = 0.

17 Modelos eóricos para a ETTJ 53 por: Nesse caso, a dinâmica do faor, sob à medida física P, passa ser dada (1) (1) (1) (1) (1) θ σ 0 W d κ κ d (2) = (2) (2) (2) (2) + d (29) θ 0 σ W As variáveis A 0 e B 0 ambém assumem valores específicos, quais sejam: 0 A0 = 0 e 1 B0 = 1 Nesse caso, basa verificar que a relação enre o faor e a aa livre de risco r é dada pela relação: r = + (30) Uma caracerísica ineressane dessa especificação é que, no caso do modelo de Vasicek com somene um faor (2) (1) = 0, emos r =, a aa de juros r é formada por um processo que em endência a sempre reornar a um valor deerminadoθ que é, por isso, inerpreado como o valor de equilíbrio para a aa de curo prazo/ livre de risco. No caso do modelo de dois faores, r é formada pela soma de dois processos com essa caracerísica. A soma dos valores θ = θ + θ é enão inerpreada como um valor de equilíbrio para a aa de curo prazo no caso de dois faores. O valor incereza de r é modelada aravés de um movimeno browniano W e a inensidade dos choques sobre r é conrolada pela mariz σ, que é consane ao longo do empo. Ou seja, o processo da aa volailidade insanânea do processo é dada por σ. r é homocedásico e a mariz de

18 Modelos eóricos para a ETTJ 54 A variável κ conrola a velocidade com que os faores e reornam ao seu valor de longo prazo, qual seja, θ e θ. Valores posiivos de κ indicam que o processo ende de fao a reverer para seu valor de equilíbrio e, porano, processo esacionário. e são processos esacionários e é um r Com κ <0, o processo é não-esacionário, uma propriedade basane indesejável para a aa de curo prazo da economia. Dados os valores que α e β assumem no modelo de Vasicek, a epressão para o preço do risco de mercado é dada por: (1) λ σξ = (2) λ (31) A resolução do sisema de equações diferenciais ordinárias (26), nesse caso específico de Vasicek, em solução fechada. Os valores de A e B são dados por: 2 2 ep( γ *( B( ) ( )) σ * B( ) ) A( ) = ln 4* κ, para i=1,2 (32) (1 ep( κ* )) B( ) = κ onde: γ () i () i () i 2 = σ * λ ( σ ) θ + () i () 2 κ 2*( κ i ), para i=1,2. () i () i Temos enão: A A A 1 2 ( ) = ( ) + ( ) B B B 1 2 ( ) = ( ) + ( ) (33)

19 Modelos eóricos para a ETTJ 55 Repeimos a epressão para a ETTJ, que é dada, enão, por: y, = A( )/ + B( )/ O ecesso de reorno de íulo zero-coupon com prazo é dado, enão, por: (1) (1) (2) (2) ep (, ) = λ σ B ( ) + λ σ B ( ) (34) Agora, emos ainda mais claro do porquê σ ξ = λ ser chamado preço do risco de mercado. Afinal, como discuimos no capíulo 3, íulos com prazos mais longos são mais arriscados que a aa de livre de risco, por isso, espera-se que os invesidores demandem uma compensação por esse risco. Uma das maneiras de se medir essa compensação pelo risco é o ecesso de reorno que se espera que íulos mais longos realizem sobre invesimenos na aa de curo prazo. Como vemos, esse ecesso de reorno é obido muliplicando-se o preço do risco de mercado, ou seja, o preço de risco pela quanidade de risco que é medido por B( ) que mede a correlação do preço/ aa do íulo zero-coupon com a volailidade associada ao faor. O modelo de um faor de Vasicek é obido facilmene a parir da descrição do modelo de 2 faores, basando para isso que odas os parâmeros e variáveis com índice (2) sejam igualadas a zero O modelo de CIR para a ETTJ CIR é ouro caso paricular do modelo afim descrio na seção anerior. Como fizemos na seção anerior, apresenamos o modelo de CIR de dois faores, a parir do qual pode-se facilmene inferir o modelo de um faor. No modelo de CIR as variáveis α e β do modelo afim assumem como (1) σ valores específicos α = (2) σ e 1 β = 1.

20 Modelos eóricos para a ETTJ 56 Nesse caso, a dinâmica dos faores passa ser dada por: (1) (1) (1) (1) (1) (1) θ σ 0 W d κ κ d (2) = (2) (2) (2) (2) (2) + d (35) θ 0 σ W No modelo de CIR as variáveis A 0 e B 0 ambém assumem valores específicos, quais sejam: 0 A0 = 0 e 1 B0 = 1 Nesse caso, basa verificar que a relação enre o faor e a aa livre de risco r é a dada pela relação de idenidade: r = + (36) As inerpreações para os valores de θ e κ são idênicas às inerpreações desses modelos no modelo de Vasicek. È ineressane noar que o processo para os faores e não é mais homocedásico e, sim, heerocedásico, dado o fao que a volailidade insanânea de ais processos é dada pela mariz σ (1) (1) 0 σ 0 (2) (2) que depende do nível dos faores e. Essa modificação na equação que define a dinâmica de e gera uma imporane resrição aos valores que e podem assumir. Os valores de e nunca são negaivos. Inuiivamene, isso ocorre pelo fao de que quando o valor de e esá próimo de zero, ainda que os choques advindos dos movimenos brownianos sejam muio negaivos, esse choque é muliplicado pela raiz dos faores (que é um número muio pequeno para e pequenos) se orna basane pequeno, impossibiliando que e ulrapassem a froneira do zero.

21 Modelos eóricos para a ETTJ 57 Em poucas palavras, quando e esão próimos a zero, os choques se ornam eremamene pequenos. De fao, caso as variáveis assumam o valor zero, os choques se einguem e a única força agindo sobre os faores é a pare deerminísica da equação (35) que empurra os faores em direção aos valores posiivos de θ e θ, afasando-os novamene do zero. Dados os valores que α e β assumem no modelo de CIR, a epressão para o preço do risco de mercado é dada por: (1) (1) λ σ ξ = (2) (2) λ (37) O ineressane dessa especificação para o preço do risco de mercado é o fao de que o prêmio de risco de mercado esá relacionado ao nível dos faores da economia. Inuiivamene, emos que, em ambienes com aas de curo prazo alas, o prêmio de risco é mais alo. A resolução do sisema de equações diferenciais ordinárias (26), nesse caso específico de CIR, em solução fechada. Os valores de A e B são dados por: A B () i () i ( i) ( i) 2κ θ ( ) ( ) ( ) ( i )2 i i i () i ( κ + λ + γ )( /2) σ 2γ e ( ) = ln ( i ) () i () i () i γ () i ( κ + λ + γ )( e 1) + 2γ, para i=1,2. ( ) (38) ( i ) γ 2( e 1) ( κ + λ + γ ) ( e 1) + 2γ = ( i ) () i () i () i γ () i onde: 1 () i () i () i 2 ()2 i 2 ( ) γ = κ + λ + 2σ, para i=1,2.

22 Modelos eóricos para a ETTJ 58 Temos enão: A A A 1 2 ( ) = ( ) + ( ) B B B 1 2 ( ) = ( ) + ( ) (39) Repeimos a epressão para a ETTJ, que é dada, enão, por: y, = A( )/ + B( )/ O ecesso de reorno de íulo zero-coupon com prazo é dado, enão, por: (1) (1) (1) (2) (2) (2) ep (, ) = λ σ B ( ) λ σ B ( ) (40) Como o preço do risco de mercado é dependene do nível dos faores (de risco), o ecesso de reorno demandado é ambém proporcional ao nível dos faores da economia. O modelo de um faor de CIR é obido facilmene a parir da descrição do modelo de 2 faores, basando para isso que odas os parâmeros e variáveis com índice (2) sejam igualadas a zero.