FRENTE ÁLGEBRA MATEMÁTICA E Nas questões de a, calcular o quociente e o resto das divisões dos polinômios, utilizando o Dispositivo de Briot-Ruffini.. x x + 6x + por x MÓDULO 8 DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI TEOREMA DO RESTO 0 6 8 Resposta: Q(x) = x x x + e r = 8. (ESPM) O volume e a altura de um prisma são expressos pelos polinômios V(x) = x x + x + 6 e A(x) = x +, respectivamente, sendo x um real estritamente positivo. O menor valor que a área da base desse prisma pode assumir é igual a: a) b), c) d), e) Sendo S(x) a área da base desse prisma, temos que V(x) = S(x). A(x). S(x) pode ser obtido dividindo-se V(x) por A(x). Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, resulta 6 6 0 Então, S(x) = x x + 6. O menor valor que S(x) pode assumir é dado pela ordenada y v do vértice da parábola que representa S(x), isto é, Δ 8 y v = = = a. x + x 0x + x + 0 6 0 0 Resposta: Q(x) = x + x 6x + x e r =. (FEI) O polinômio P(x) = x x + 8x + m é divisível por (x ). O valor de m é: a) b) c) d) e) P(x) 0 x Q(x) P() = 0. + 8. + m = 0. 6x 9x x 6 + 8 + m = 0 m = 6 9 0 0 6 6 Resposta: 6 6 Q(x) = x + x + x + = x + x + x + r = 0
MATEMÁTICA E 6. Se P(x) for um polinômio de terceiro grau, cujo gráfico está re - presen tado na figura,. (FGV-RJ) A equação polinomial x x 6x 0 = 0 tem raízes x, x e x. O valor da expressão + + é: x x x a) b) c) d) e) o resto da divisão de P(x) pelo monômio x + é: a) 0 b) 6 c) d) 6 e) As raízes reais de P(x) são, e e, além disso, P(0) =. Temos, portanto: P(x) = a(x + )(x )(x ), a 0 P(0) = a. (). ( ). ( ) = a = Logo, P(x) = (x + )(x )(x ) O resto da divisão de P(x) por x + é igual a P( ) = ( + )( )( ) = Se x, x e x são as raízes da equação, então: x + x + x = x. x + x. x + x. x = 6 x. x. x = 0 Assim: x. x + x. x + x. x 6 + + = = = x x x x. x. x 0 MÓDULO 9. (UNESP) Dado que as raízes da equação x x x + k = 0, em que k é uma constante real, formam uma progressão arit mé tica, o valor de k é: a). b). c) 0. d). e). EQUAÇÕES ALGÉBRICAS I. O conjunto verdade da equação x + x + x = 0 é V = {a; b; c}. Obtenha: a) a + b + c b) ab + ac + bc c) a b c d) + + a b c Se a r; a; a + r forem as raízes da equação x x x + k = 0, então: (a r) + a + (a + r) = a = Uma das raízes da equação é e, portanto:. + k = 0 k = Resposta: D a) a + b + c = = b) a b + a c + b c = c) a b c = b c + a c + a b d) + + = = = a b c a b c 0
. Sabe-se que, na equação x + x + x 6 = 0, uma das raízes é igual à soma das outras duas. O conjunto solução (S) desta equação é a) S = {,, } b) S = {,, + } c) S = {+, +, + } d) S = {, +, + } e) S = {, +, + } Se uma das raízes da equação x + x + x 6 = 0 é igual à soma das outras duas, então o seu conjunto solução S é do tipo {a; b; a + b} e, pelas Relações de Girard, temos: a + b + (a + b) = (I) a. b + a(a + b) + b(a + b) = (II) a. b. (a + b) = 6 (III) De (I) e (III), temos: a + b = a + b = a. b. (a + b) = 6 a. b = a = e b = ou a = e b = S = { ; ; } Resposta: B. (FGV) O polinômio P(x) = x x + x + x tem o número como raiz dupla. O valor absoluto da diferença entre as outras raízes é igual a: a) b) c) d) e) O quociente da divisão de P(x) = x x + x + por (x ) é Q(x) = x x, cujas raízes são e. Portanto, ( ) =. Observe que: 0 0 Resposta: A MATEMÁTICA E. O número complexo i é raiz da equação de coe ficientes reais x 9x + mx + n = 0. O valor de n é: a) 9 b) c) 0 d) e) 9 MÓDULO 0 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS II Se i é raiz da equação, então + i também o é. Seja r a terceira raiz. Das Relações de Girard, decorre que i + + i + r = 9 r =. O produto das raízes é igual a n. Portanto, n = ( i)( + i). n = (9 i ). n = 9 n = 9. Resposta: A. Seja o polinômio P(x) = (x ). (x ). (x ). Assinale a afirmativa falsa. a) O grau de P(x) é. b) O conjunto verdade da equação P(x) = 0 é V = { ; ; }. c) é raiz simples de P(x) = 0. d) é raiz dupla de P(x) = 0. e) 0 não é raiz de P(x) = 0. P(x) = (x ).(x ).(x ) = (x ).(x ).(x + ).(x ) = = (x ).(x + ).(x ) = (x ).(x ).(x ).(x + ).(x ) O polinômio P(x) é de grau e suas raízes são r =, r =, r =, r = e r =. O conjunto verdade da equação P(x) = 0 é V = { ; ; }, sendo raiz simples, raiz tripla e raiz simples. Resposta: D. (MACKENZIE) Se α, β e γ são as raízes da equação x + x + px + q = 0, onde p e q são coeficientes reais e α = i é uma das raízes dessa equação, então α. β. γ é igual a a) b) 9 c) d) e) 9 Se i é raiz da equação de coeficientes reais, então + i também é raiz da equação. Consideremos α = i, β = + i e γ a terceira raiz. Das relações de Girard, temos que α + β + γ = i + + i + γ = γ= Então, α. β. γ = ( i).( + i).( ) = = ( i ).( ) = ( + ).( ) = e, portanto, 0
MATEMÁTICA E. (FATEC) Argamassa é uma mistura de cimento, cal, areia e água a qual serve para o assentamento de tijolos, revestimento de superfícies e execução de juntas. Uma mistura de cimento, cal e areia será preparada de modo que para cada parte de cimento haja duas partes de cal e nove partes de areia. Usando como unidade de medida uma lata de 8 litros, a quantidade de areia para preparar 00 latas dessa mistura será, em metros cúbicos. a),80. b),. c),78. d),0. e),. I) O volume das 00 latas de 8 l cada é 00 l. II) De cada partes de argamassa, 9 são de areia. III) A quantidade de areia, em litros, é 9. 00 = 00 IV) 00 l = 00 dm =,0 m Resposta: D MÓDULO 8 RAZÕES E PROPORÇÕES. (Pref. de Paraúna) Para repartir 00 balas entre seus filhos, uma mãe decide usar as idades das crianças. Sabendo que eles tem 0 anos, 8 anos e 7 anos e que a divisão será diretamente proporcional às idades, quantas balas receberá cada um? a) 08 balas,00 balas e 9 balas, respectivamente; b) 0 balas, 0 balas e 88 balas, respectivamente; c) balas, 9 balas e 8 balas, respectivamente; d) 0 balas, 96 balas e 8 balas, respectivamente. Sendo a, b e c as quantidades de balas que cada filho irá receber, temos: a + b + c = 00 a b c a b c a + b + c 00 = = = = = = = 0 8 7 0 8 7 0 + 8 + 7 Assim, a = a = 0 0 b 8 c 7 = b = 96 = c = 8 Resposta: D FRENTE ÁLGEBRA. (VUNESP) Para pintar um prédio, 7 homens trabalharam por 6 dia. A partir de então, para que o serviço de pintura terminasse mais rapidamente, foram contratados mais 7 homens com a mesma força de trabalho daqueles que já estavam trabalhando. No total, foram necessários 9 dias para completar o serviço de pintura. Se todos os homens estivessem trabalhando juntos desde o primeiro dia de serviço, a pintura do prédio ficaria pronta em a) 0 dias. b) 6 dias. c) 8 dias. d) dias. e) dias. A primeira parte do prédio, que foi pintada por 7 homens em 6 dias, teria sido pintada em apenas dias se dobrássemos a quantidade de homens. A segunda parte da pintura do prédio não sofreria nenhuma mudança. Desta forma, o prédio seria pintado em três dias a menos, ou seja 9 = 6 dias.. (UNESP) Os professores de matemática e educação física de uma escola organizaram um campeonato de damas entre os alunos. Pelas regras do campeonato, cada colocação admitia apenas um ocu - pante. Para premiar os três primeiros colocados, a direção da escola comprou 0 chocolates, que foram divididos entre os.º,.º e.º colocados no campeonato, em quantidades inversamente propor cionais aos números, e, respectivamente. As quantidades de chocolates recebidas pelos alunos premiados, em ordem crescente de colocação no campeonato, foram: a), 9 e 6. b), 9 e 60. c) 0, 00 e 60. d) 0, 0 e 7. e) 0, 0 e. Se p, s e t forem as quantidades de chocolates do primeiro, do segundo e do terceiro colocados, respec tiva mente, então: t t p = s = t p =, s = p + s + t = 0 p + s + t = 0 t t p =, s = t t + + t = 0 p = 0, s = 00, t = 60 t t p =, s = t = 60 0
MÓDULO 9 PORCENTAGEM. (UCCB) O gráfico indica o total de frequentadores, por faixa etária, da piscina de um prédio em um domingo. Por acidente, parte do gráfico foi rasgada. MATEMÁTICA E. O gráfico a seguir destaca as nacionalidades que mais contribuíram para o aumento do número de estrangeiros no Brasil, de 009 a 0, sendo que a área de cada círculo é proporcional ao número de indivíduos que ele representa. Nesse dia, 8% dos frequentadores da piscina tinham anos ou mais de idade, o que permite afirmar corretamente que o total de frequen - tadores foi igual a a) 0. b) 9. c) 8. d) 6. e). Até anos existem frequentadores, de a 7 anos existem 0 frequentadores, de 8 a 0 anos existem frequentadores. de a 0 anos existem 8 frequentadores e de ou mais anos existem x frequentadores. Ao todo são + 0 + + 8 + x = + x frequentadores Assim 8 + x = 8% ( + x) 800 + 00x = + 8x 7x = x = 6 O total de frequentadores foi + x = + 6 = 0 Resposta: A BRASIL RECEBE 7% MAIS MÃO DE OBRA ESTRANGEIRA. Folha de S. Paulo, São Paulo, fev. 0, p. B. [Adaptado]. Considerando-se que o diâmetro do círculo que representa o número de bolivianos no Brasil em 0 é o dobro do que representa o nú mero de paraguaios no mesmo ano, determine o porcentual re pre sen tado por y. O número de Paraguaios em 0 no Brasil, em milhares de pessoas foi 77 Z = + 7%. = +. = Sendo d B e d p os diâmetros dos círculos que representam os Bo li - via nos e os Paraguaios no Brasil em 0 e sendo d B = d p temos d B X π. d B = = = () = X = Z Z d P X =. d P π. 77 = 77. Desta forma, 77 6 Y =. 00% =. 00% =. 00% = 0% Resposta: 0% 0
MATEMÁTICA E. (FEI) O salário de João é igual a 80% do de Marcos. Se a diferença entre os salários de Marcos e de João é de R$ 960,00, então o salário de João é de: a) R$ 800,00 b) R$ 00,00 c) R$ 800,00 d) R$ 80,00 e) R$ 960,00 Sendo j e m os salários de João e Marcos, temos em reais: j = 80%m m 80%m = 960 m = 960 = 800 m j = 960 0,0 Assim, j = 80%. 800 = 80 Resposta: D. (VUNESP) O computador que Ricardo quer comprar é R$,00 mais caro na loja A do que na loja B. Ao negociar um preço mais baixo, conseguiu, na loja A, um desconto de 0% para compra à vista, enquanto que, na loja B, conseguiu, para compra à vista, um desconto de 0%. Ao fazer as contas, Ricardo verificou que as propostas nas duas lojas resultavam em um mesmo preço final para o computador, no valor de a) R$.,00. b) R$ 900,00. c) R$.0,00. d) R$.00,00. e) R$.000,00. I) Sendo a e b os preços originais nas lojas A e B, temos: a = b +, pois quem consegue 0% de desconto paga 80% a = 90% b. (UNESP) Um quilograma de tomates é constituído por 80% de água. Essa massa de tomate (polpa + H O) é submetida a um processo de desidratação, no qual apenas a água é retirada, até que a par tici pação da água na massa de tomate se reduza a 0%. Após o processo de desidratação, a massa de tomate, em gramas, será de a) 00. b). c) 0. d) 7. e) 00. ) Um quilograma de massa de tomate é formada por 00 g de polpa e 800 g de água. ) Após a desidratação, teremos x g de água e os mesmos 00 g de polpa, de tal maneira que: x = 0% (00 + x) x = 0 + 0,x x = 0 ) Assim, após a desidratação, a massa de tomate será de 0 g. 80% e quem consegue 0% de desconto paga 90% 8a 80% a = 90% b 8a = 9b b = 9 II) Substituindo na primeira equação, temos: 8a a = + 9a = 8a + a = 9 III) Após a negociação o preço final do computador foi de 80%. = 900 Resposta: B 06
MÓDULO 0 JUROS SIMPLES E COMPOSTO. (FGV) Um investidor aplicou R$ 8 000,00 a juros compostos, durante 6 meses, ganhando, nesse período, juros no valor de R$ 600,00. Podemos afirmar que a taxa de juros anual da aplicação é um número a) entre,% e,% b) entre,% e,% c) entre,% e,% d) entre,% e,% e) entre,% e 6,% MATEMÁTICA E. Maria aplicou a quantia de R$ 600,00 durante um período de 8 meses no regime de juros simples, obtendo no final um montante de R$ 960,00. A taxa de juros anual dessa aplicação foi de a) 9%. b) 0%. c) %. d) %. e) %. Sr. Professor, utilize essa questão para comentar o que é montante e a fórmula para cálculo de juros simples. Sendo J o juros simples obtido na aplicação de um capital C du - rante um tempo t a uma taxa de i%, na mesma unidade de tempo: 600,00 + J = 960,00 J = 60,00 8 600,00. i. Cit J = = = 60,00 i = 00 00 Supondo que a taxa mensal seja constante durante os meses e sendo i a taxa de juros correspondente aos seis primeiros meses, temos: 600 = i. 8000 i = 0, = 0% A taxa de juros anual de aplicação pode ser calculada fazendo duas aplicações consecutivas com taxas de 0% e, portanto, a taxa anual será %, pois (,) =, = %. (FUNDATEC) Qual o montante final de um capital inicial de R$ 600,00 aplicado a juros compostos por meses, à taxa de 6% ao mês? a) R$ 77,7. b) R$ 7,00. c) R$ 6,00. d) R$ 6,00. e) R$ 7,00. Aumentar 6% ao mês equivale a multiplicar mensalmente por,06. Assim, o montante será M = 600.,06 77,8 Resposta: A. (USF) Um capital de R$ 0 000,00 foi aplicado no sistema de juros compostos a uma taxa de,% ao ano. Determine o montante aproximado do capital aplicado decorridos 60 meses da data inicial de aplicação. Utilize (,0) 0,8. a) R$ 800,00. b) R$ 700,00. c) R$ 6 90,00. d) R$ 8 00,00. e) R$ 0 970,00. Aumentar,% ao ano corresponde a multiplicar anualmente por,0. 60 meses depois, isto é, 0 anos depois, o montante da aplicação será, em reais, 0 000. (,0) 0 = 0 000. (,0 0 ) 0 000. (,8) 0 000.,097 = 0 970 07
MATEMÁTICA E MÓDULO 8 FRENTE GEOMETRIA MÉTRICA. (FATEC-0) Um prego é constituído por partes: uma cabeça cilíndrica, um corpo também cilíndrico e uma ponta cônica. Em um prego inteiramente constituído de aço, temos as seguintes especificações: CONES. (FATEC) A altura de um cone circular mede o triplo da medida do raio da base. Se o comprimento da circunferência dessa base é 8π cm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é: a) 6π b) 8π c) π d) 6π e) 8π ) π R = 8 π cm R = cm ) h = R =. cm = cm π R h ) V = = π. ( cm). cm = = 6 π cm Resposta: A Raio (mm) Altura (mm) cabeça corpo 60 ponta O volume mínimo de aço necessário para produzir 00 pregos é, em mm, a) 700 π. b) 6 00 π. c) 800 π. d) 8 600 π. e) 00 π. Lembre-se: O volume de um cone com raio da base r e altura h é igual a um terço do volume de um cilindro com raio da base r e altura h.. (PUC) A área lateral de um cone reto é igual ao dobro da área da base. Calcule o volume desse cone, sabendo que sua geratriz mede cm. I) A L =. A B π Rg = π R π. = π R R = 6 cm II) g = R + h = 6 + h h = 08 h = 6 cm III) V = π R. h = π. 6. 6 V = 7 π cm Resposta: 7 π cm Sendo V o volume de cada prego, em milímetros cúbicos, temos: V = V cabeça + V corpo + V ponta = π.. + π.. 60 + π.. = = 6π + 0π + 6π = 6π Assim, o volume mínimo de aço necessário para produzir 00 pregos é, em milímetros cúbicos, 6π. 00 = 6 00π Resposta: B 08
. (UFMG) Observe a figura. Essa taça, cujo interior tem a forma de um cone, contém suco até a metade da altura do cone interno. Se o volume do cone interno é igual a V, então o volume do suco nele contido é: a) V b) V c) V 6 9 8. (MACKENZIE) Uma mistura de leite batido com sorvete é servida em um copo, como na figura. Se na parte superior do copo há uma camada de espuma de cm de altura, então a por cen tagem do volume do copo ocupada pela espuma está mais bem aproximada na alternativa: MATEMÁTICA E d) V e) V a) 6% b) 60% c) 0% d) % e) 70% ) V = π (R). h πr V h = 8 ) V suco =. π. R. h V Assim, V suco =. V suco = 8 V 8 Sejam V E, V S e V C, respec tiva mente, os volumes da espuma, da parte consistente de sorvete e do copo. Da semelhança dos sólidos VAB e VCD, conforme a figura, obtémse: V S V C = V S =. V C Como 6 6 V E = V C V S = V C. V C =. V C = 0,88. V C, tem-se: V E = 8,8%. V C 0%. V C. 6 0 6 09
MATEMÁTICA E MÓDULO 9 ESFERA E SUAS PARTES. (UFLA) A intersecção de um plano com uma esfera é um círculo de 6π dm de área. Sabendo-se que o plano dista dm do centro da esfera, o volume da esfera é: a) 00π dm b) 00 π dm c) 00π dm d) 00π dm e) 00 π dm. (MACKENZIE) Uma boia marítima construída de uma deter - minada liga metálica tem o for mato de uma gota que, separada em dois sólidos, resulta em um cone reto e em uma semiesfera, conforme a figura abaixo, na qual r = 0 cm. Se o preço do m da liga metálica é 00 reais, adotando-se π =, o custo da superfície da boia é, em reais, igual a a) 00 b) 700 c) 00 d) 00 e) 800 Sendo S a área da superfície da gota, em metros qua drados, temos: S = S lateral do cone + S semiesfera = π r.. (0,) = π. r. r + =. 0,.. 0, + =,7 Assim, o custo da superfície da boia é, em reais,,7. 00 = 00 I) A círculo = 6π πr = 6π r = dm II) R = r + d R = + R = dm III) V Esfera =. π. R =. π. 00 V Esfera = π dm. (FGV-SP) Um observador colocado no centro de uma esfera de raio m vê o arco AB sob um ângulo α de 7, como mostra a figura. Isso significa que a área do fuso esférico determinado por α é a) 0 π m b) π m c) 0 π m d) π m e) π m Sendo S a área do fuso, em metros quadrados, temos: 7 S =. π. = 0π 60 Resposta: A 0
. (FGV-0) Um sorvete de casquinha consiste de uma esfera (sorvete congelado) de raio cm e um cone circular reto (cas quinha), também com cm de raio. Se o sorvete derreter, ele encherá a casquinha completa e exatamente. Suponha que o sorvete derretido ocupe 80% do volume que ele ocupa quando está congelado. Calcule a altura da casquinha.. (FUVEST) Um recipiente cilíndrico, cujo raio da base é 6 cm, contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço é colocada no interior do recipiente ficando totalmente submersa. Se a altura da água subiu cm, então o raio da esfera é a) cm b) cm c) cm d) cm e) cm MATEMÁTICA E Sendo h a altura da casquinha, em centímetros, e sabendo que o volume do sorvete derretido enche a casquinha completa e exatamente, temos: V casquinha = 80%. V sorvete congelado. π. 80. h =.. π. h = 9,6 00 Resposta: 9,6 cm I) Sendo r a medida do raio da esfera, temos: V ESF = π r II) Sendo V o volume da água que subiu, temos: V = π. 6. V = 6π cm III) V ESF = V π r = 6π r = 7 r = cm
MATEMÁTICA E MÓDULO 0 POLIEDROS V A + F = (Relação de Euler) Assim:. + 0. 6 V + (0 + ) = V 90 + = V = 60. (UNIFESP) Considere o poliedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um cubo. O número de faces triangulares e o número de faces quadradas desse poliedro são, respectivamente: a) 8 e 8 b) 8 e 6 c) 6 e 8 d) 8 e e) 6 e 6 O cubo possui exatamente 6 faces e 8 vértices. Assim sendo, o novo poliedro possui exatamente 8 faces trian - gulares (uma para cada vértice do cubo) e 6 faces quadradas (uma para cada face do cubo). Resposta: B. (FUVEST) O número de faces triangulares de uma pirâmide é. Pode-se, então, afirmar que esta pirâmide possui a) vértices e arestas. b) vértices e arestas. c) vértices e arestas. d) vértices e arestas. e) vértices e arestas. Se uma pirâmide tem exatamente faces triangulares, então a sua base é um polígono de lados. Assim, sendo V o número de vértices e A o número de arestas dessa pirâmide, têm-se: ) V = + V =. +. ) A = A =. (UNIV. SÃO JUDAS TADEU) Um poliedro con vexo apresenta 8 faces quadrangulares e 6 faces trian gu lares. O número de vértices desse poliedro é: a) 7 b) c) 8 d) e) I) F = 8 + 6 F = 8. + 6. II) A = = III) V + F = A + V + = + V =. (CESGRANRIO) O poliedro da figura (uma invenção de Leonardo da Vinci utilizada moder namente na fabricação de bolas de futebol) tem como faces 0 hexágonos e pentágonos, todos regulares. O número de vértices do poliedro é:. O número de vértices do icosaedro regular é: a) 0 b) c) 8 d) 6 e) O icosaedro tem 0 faces triangulares. Assim, I) F = 0 0. II) A = = 0 III) V + F = A + V + 0 = 0 + V = Resposta: B a) 6 b) 90 c) 60 d) 7 e) 6